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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA GERÊNCIA EDUCACIONAL DE ELETRÔNICA Resposta em Freqüência FILTROS PASSIVOS AUTOR: PROF. FERNANDO LUIZ ROSA MUSSOI REVISÃO: PROF. CARLOS G. ESPERANÇA EDIÇÃO 2.0 FLORIANÓPOLIS JULHO, 2004.

Filtros passivos

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  • 1. CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DE SANTA CATARINA GERNCIA EDUCACIONAL DE ELETRNICAResposta em Freqncia FILTROS PASSIVOS AUTOR: PROF. FERNANDO LUIZ ROSA MUSSOI REVISO: PROF. CARLOS G. ESPERANA EDIO 2.0FLORIANPOLIS JULHO, 2004.

2. Gerncia Educacional de EletrnicaNota do AutorO objetivo deste material fazer a apresentao terica e matemtica do comportamento dos circuitos passivos filtrantes, disponibilizando ao professor tempo para uma abordagem mais prtica desses circuitos, em laboratrio e atravs de simulao eletrnica. Este material no tem a pretenso de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado mas, simplesmente, facilitar a dinmica de aula e a compreenso por parte dos alunos. Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, devidamente citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experincia do autor na abordagem do assunto com os alunos. Em se tratando de um material didtico elaborado em uma Instituio Pblica de Ensino, permitida a reproduo do texto, desde que devidamente citada a fonte. Quaisquer contribuies e crticas construtivas a este trabalho sero bem-vindas pelo [email protected] 3. Resposta em Freqncia Filtros Passivos2ndice NOTA DO AUTOR.........................................................................................................................................................1 NDICE ............................................................................................................................................................................2 1. RESPOSTA EM FREQNCIA...............................................................................................................................4 1.1. RESISTOR QUANTO FREQNCIA:.........................................................................................................................4 1.2. CAPACITOR QUANTO FREQNCIA:......................................................................................................................5 1.3. INDUTOR QUANTO FREQNCIA: .........................................................................................................................5 2. RESSONNCIA..........................................................................................................................................................7 2.1. FREQNCIA DE RESSONNCIA:..............................................................................................................................7 2.2. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................12 3. FUNO DE TRANSFERNCIA ..........................................................................................................................14 3.1. DIAGRAMA DE BLOCOS: .......................................................................................................................................14 3.2. FUNO DE TRANSFERNCIA: ..............................................................................................................................14 3.3. GRFICOS DA FUNO DE TRANSFERNCIA .........................................................................................................16 3.4. GANHO, ATENUAO E FASE ...............................................................................................................................17 3.5. DECIBEL (DB).......................................................................................................................................................18 3.6. FREQNCIA DE CORTE:.......................................................................................................................................21 3.7. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................22 4. FILTROS ...................................................................................................................................................................24 4.1. TIPOS DE FILTROS QUANTO TECNOLOGIA EMPREGADA:......................................................................................24 4.2. TIPOS DE FILTROS QUANTO FUNO EXECUTADA:.............................................................................................25 5. FILTROS PASSA-BAIXA .......................................................................................................................................26 5.1. FILTRO PASSA-BAIXA IDEAL ................................................................................................................................26 5.2. FILTRO PASSA-BAIXA RL .....................................................................................................................................27 5.3. FILTRO PASSA-BAIXA RC.....................................................................................................................................32 5.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................37 6. FILTRO PASSA-ALTA ...........................................................................................................................................40 6.1. FILTRO PASSA-ALTA IDEAL ..................................................................................................................................40 6.2. FILTRO PASSA-ALTA RL.......................................................................................................................................41 6.3. FILTRO PASSA ALTA RC .......................................................................................................................................45 6.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................48 CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 4. Resposta em Freqncia Filtros Passivos37. FILTRO PASSA-FAIXA..........................................................................................................................................50 7.1. FILTRO PASSA-FAIXA IDEAL .................................................................................................................................50 7.2. FILTRO PASSA-FAIXA SRIE: ................................................................................................................................51 7.3. FILTRO PASSA-FAIXA PARALELO ..........................................................................................................................56 7.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................61 8. FILTRO REJEITA-FAIXA .....................................................................................................................................62 8.1. FILTRO REJEITA-FAIXA IDEAL: .............................................................................................................................62 8.2. FILTRO REJEITA-FAIXA SRIE ...............................................................................................................................63 8.3. FILTRO REJEITA-FAIXA PARALELO .......................................................................................................................68 8.4. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................73 9. FATOR DE QUALIDADE .......................................................................................................................................74 9.1. EXEMPLOS:...........................................................................................................................................................75 9.2. EXERCCIOS:.........................................................................................................................................................76 10. LARGURA DE FAIXA E SELETIVIDADE ........................................................................................................78 10.1. EXERCCIOS ........................................................................................................................................................79 APNDICE A - DIAGRAMAS DE BODE .................................................................................................................81 APNDICE B SRIES DE FOURIER ....................................................................................................................82 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................................................85CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 5. Resposta em Freqncia Filtros Passivos41. Resposta em freqncia At aqui estudamos a resposta de tenso e corrente de um circuito de corrente alternada com freqncia fixa, ou seja, no domnio do tempo e da freqncia. O objetivo desta unidade estudar a resposta em freqncia, ou seja, o comportamento dos circuitos quanto variao da freqncia dos sinais de tenso ou corrente aplicada (excitao). Sabemos, do estudo dos componentes passivos, que o resistor o capacitor e o indutor apresentam comportamentos tpicos quanto freqncia do sinal a eles aplicado, conforme demonstra a figura 1.R () XC () XL ()XLR|XL| = |XC|XC R (rad/s) f (Hz)Figura 1.1 Comportamento da Resistncia, da Reatncia Indutiva e da Reatncia Capacitiva com a variao da freqncia1.1. Resistor quanto freqncia: Sua resistncia independe da freqncia do sinal aplicado. Depende apenas da relao entre a tenso e a corrente, conforme a Lei de Ohm:R=V IPortanto, graficamente seu comportamento expresso atravs de uma reta de resistncia CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 6. Resposta em Freqncia Filtros Passivos5constante como na figura 1.1.1.2. Capacitor quanto freqncia: Sua reatncia capacitiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao da reatncia capacitiva inversamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso:XC =1 1 = C 2 f CPela figura 1.1 podemos perceber que: quanto maior a freqncia do sinal aplicado, menor ser a reatncia capacitiva. Para freqncias muito altas, o capacitor se comporta como um curto-circuito.quanto menor a freqncia do sinal aplicado, maior ser a reatncia capacitiva. Para freqncia zero (CC), o capacitor se comporta como um circuito aberto.1.3. Indutor quanto freqncia: Sua reatncia indutiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao da reatncia indutiva diretamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso:X L = L = 2 f LPela fig 1.1 podemos perceber que: quanto maior a freqncia do sinal aplicado, maior ser a reatncia indutiva. Para freqncias muito altas, o indutor se comporta como um circuito aberto.quanto menor a freqncia do sinal aplicado, menor ser a reatncia indutiva. Para freqncia zero (CC), o indutor se comporta como um curto-circuito.CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 7. Resposta em Freqncia Filtros Passivos6Observao: Devemos lembrar que a Resistncia, a Indutncia e a Capacitncia depende das caractersticas construtivas do componente.Exemplo 1.1: Para o circuito RLC srie da figura 1.2, analise sua resposta em freqncia preenchendo o quadro abaixo. Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1FFigura 1.2 Circuito RLC SriefR(rad/s)(Hz)()|XL| |XC| ()()ZEQZEQ() ret.() polarF.P.ITVRPRcos (A)(V)(W)0 10 100 1K 9K 10K 11K 100K 1MCEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 8. Resposta em Freqncia Filtros Passivos72. Ressonncia Como percebemos, da anlise da resposta em freqncia do exemplo 1.1, existe uma determinada freqncia em que as reatncias indutiva e capacitiva se anulam, pois so iguais em mdulo e o circuito apresenta um teor resistivo puro (Fator de potncia unitrio). Neste caso, o ramo LC se comporta como um curto-circuito e toda a tenso da fonte estar sobre o resistor, provocando mxima dissipao de potncia. Essa condio chamada de Ressonncia. A freqncia que provoca esta situao no circuito da figura 2 ( = 10.000 rad/s) chamada de Freqncia de Ressonncia e dizemos que o circuito ressonante. Assim um circuito RLC ressonante srie aquele que apresenta a menor oposio possvel passagem de corrente eltrica numa determinada freqncia, a chamada Freqncia de Ressonncia [1]. Para quaisquer valores de freqncia inferiores ou superiores a esta, o circuito srie apresentar maior oposio corrente. Assim, em qualquer circuito RLC, ressonncia a condio existente quando a impedncia equivalente puramente resistiva, ou seja, a tenso e a corrente nos terminais de entrada (fonte) esto em fase e o fator de potncia unitrio (cos=1) [2]. No circuito RLC ressonante paralelo ocorre o contrrio do descrito acima, ou seja, a maior oposio possvel a passagem da corrente.2.1. Freqncia de ressonncia: A Freqncia de Ressonncia a freqncia na qual um circuito RLC se comporta como um circuito resistivo, ou seja, na qual o fator de potncia unitrio e, portanto, h a mxima transferncia de potncia da fonte para a carga. A Ressonncia pode ocorrer em circuitos RLC sries, paralelos ou mistos.2.1.1. Ressonncia Srie: Seja o circuito RLC srie como o apresentado na figura 1.2. A sua impedncia equivalente determinada por:CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 9. Resposta em Freqncia Filtros Passivos8Z EQ = R + X C + X L = R + jL j1 CO circuito srie ressonante quando Zeq = R e |XL| = |XC|, ou seja, a reatncia total deve ser nula, ento:jL j1 =0 CjL = j L =1 C1 C 2 LC = 1 =1 LCA freqncia de ressonncia num circuito RLC srie pode ser dada por:R =1 L. C(rad/s)oufR =1 2 L.C(Hz)Na figura 1.1 a freqncia de ressonncia R aquela onde as curvas de XL e XC se cruzam, ou seja, quando |XL|=|XC|. Se para o exemplo 1 traarmos as curvas de Z x e PR x obteramos os grficos da figura 2.1.CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 10. Resposta em Freqncia Filtros Passivos9TEOR RESISTIVOPR (W)|Z| () TEORTEORCAPACITIVOINDUTIVO|Z| = R 100 (rad/s) (rad/s) R = 10Krad/sR = 10Krad/s a) Curva Impedncia x Freqnciab) Curva Potncia x FreqnciaFigura 2.1 Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 1.1Portanto, dos grficos da figura 1.1 e 2.1 podemos concluir que na ressonncia srie: f < fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada da tenso.f > fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada da tenso.f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedncia equivalente mnima e a corrente est em fase com a tenso. A corrente mxima e a tenso da fonte est toda sobre a resistncia. A potncia dissipada no resistor ser mxima. H tenso no indutor e no ocapacitor, iguais em mdulo, porm defasadas de 180 , anulando-se.2.1.2. Ressonncia Paralela: Seja um circuito RLC paralelo, como o apresentado na figura 2.2. A sua impedncia equivalente dada por:Z eq = R || X L || X CCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica X XC R L X +X C L = X XC R+ L X +X C LProf. Fernando Luiz Mussoi 11. Resposta em Freqncia Filtros Passivos10Figura 2.2 Circuito Ressonante SrieO circuito somente ser ressonante quando Zeq = R, ou seja, quando a reatncia equivalente do paralelo do capacitor com o indutor for infinita (circuito aberto).Exemplo 2.1: Encontre a expresso para o clculo da freqncia de ressonancia do circuito paralelo da figura 2.2.Conclumos, ento, que a freqncia de ressonncia num circuito RLC paralelo pode ser dada por:R =1 LC(rad/s)oufR =1 2 LC(Hz)Exemplo 2.2: Para o circuito RLC paralelo da figura 2.2, analise sua resposta em freqncia preenchendo o quadro e esboce os grficos da Zeq x e da PR x . Analise o comportamento do circuito com relao variao da freqncia. Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1FCEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 12. Resposta em Freqncia Filtros PassivosfR(rad/s)(Hz)()11|XL| |XC| ()()ZEQZEQ() ret.() polarF.P.ITVRPRcos (A)(V)(W)0 10 100 1K 9K 10K 11K 100K 1MPR(W)|Z| () (rad/s) (rad/s) R a) Curva Impedncia x FreqnciaR b) Curva Potncia x FreqnciaFigura 2.3 - Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 2.2Analisando a resposta em freqncia do circuito do exemplo 2.2, podemos concluir que na ressonncia paralela: f < fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada em relao a tenso.f > fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada em relao a tenso.f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedncia equivalente mxima e a corrente no resistor mnima (igual a da fonte) e estar em fase com a tenso. A potncia dissipada ser mxima. Existem correntes no indutor e no capacitor, iguais em mdulo, porm defasadas de 180, anulando-se.CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 13. Resposta em Freqncia Filtros Passivos12Ressonncia Mista: Alm dos circuitos RLC srie e paralelo, outros circuitos tambm podem apresentar freqncia de ressonncia. Para determinarmos a equao para clculo da freqncia de ressonncia em circuitos mistos, necessrio lembrarmos das condies para haver a ressonncia e, ento, procurarmos anular a parte imaginria (reatncias) da equao. A freqncia de ressonncia para o circuito RLC misto da figura 2.3 pode ser calculada por [2]: 1 R2 R = L.C L2 Figura 2.4 Circuito Misto Ressonante2.2. Exerccios: 2.2.1) Determine a freqncia de ressonncia em rad/s e em Hz para os seguintes casos: a) L= 300 H e C= 0,005 F b) L= 250 H e C= 400 pF2.2.2) Qual o valor do indutor necessrio para obter a ressonncia 1500 kHz com uma capacitncia de 250 pF?2.2.3) Qual o capacitor que dever ser colocado em srie com um indutor de 500 mH para haver ressonncia em 50 Hz?CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 14. Resposta em Freqncia Filtros Passivos132.2.4) Um circuito srie formado por R-125, L=800 mH e C=220pF. Qual o valor da impedncia (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torn-lo ressonante a 10 kHz [2]?2.2.5) Um circuito srie formado por R=30, L=0,382H e C=0,2F, determine: a) Zeq em 550kHz b) O capacitor C ser ligado em paralelo para provocar ressonncia numa freqncia2.2.6) Seja circuito de ressonncia de um rdio AM tem uma bobina de 100H. Quais os limites de um capacitor varivel para que o rdio sintonize de 530kHz a 1600 kHz?2.2.7) Um capacitor de sintonia pode variar de 20pF a 350pF [2]. a) Calcule a indutncia a ser ligada em srie para produzir a freqncia de ressonncia mais baixa de 550 kHz. b) Calcule a freqncia de ressonncia mais alta.2.2.8) Determine a freqncia de ressonncia para os circuitos abaixo:CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 15. Resposta em Freqncia Filtros Passivos143. Funo de Transferncia Os equipamentos e sistemas eletrnicos podem ser constitudos de vrios componentes e circuitos. A fim de mostrar as funes desempenhadas pelos componentes, circuitos ou conjuntos destes, usamos em anlise de circuitos, os diagramas de blocos.3.1. Diagrama de Blocos: Um diagrama de blocos de um equipamento ou sistema eletrnico uma representao das funes desempenhadas por cada componente ou circuito e do fluxo dos sinais dos quais estamos interessados e indica a inter-relao existente entre os vrios circuitos [4]. Exemplo 3.1:Cada bloco desempenha uma funo ou um conjunto de funes e corresponde a um ou vrios circuitos eletrnicos. Quando se analisa um bloco, estamos interessados nas informaes (sinais de tenso e corrente) presentes na sua entrada, na sua sada e na relao existente entre elas. Por exemplo, se dispusermos de informaes sobre os valores de tenso e corrente de entrada de um circuito (bloco) e poderemos obter os valores de tenso e corrente na sua sada, desde que conheamos qual a relao existente entre entrada e sada proporcionada pelo bloco (circuito).3.2. Funo de Transferncia: Em um diagrama de blocos, todas as variveis do sistema so ligadas umas s outras atravs de cada bloco. Assim, cada bloco pode ser representado por uma operao matemtica relacionando os sinais de entrada e de sada. Por exemplo, no bloco da figura 3.1 aplicado um sinal de tenso na entrada e estamos interessados no valor de tenso que teremos na sada. Este valor depende da funo que o bloco desempenha, ou melhor, da funo que desempenha o circuito que o bloco representa. CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 16. Resposta em Freqncia Filtros Passivos15Entrada VeBLOCO 1 Circuito 1Sada VsVe(t) = VP.sen(.t) Figura 3.1 Representao por BlocoSe, por exemplo, o bloco representar o circuito da figura 3.2, podemos relacionar matematicamente o sinal de sada Vs em funo do sinal de entrada Ve por um divisor de tenso:Figura 3.2 Circuito que desempenha a funo do bloco da figura 1Vs =XL Ve R + jX LSe relacionarmos a tenso de sada com a tenso de entrada, temos: Vs XL = Ve R + jX L Vs jL = Ve R + jLComo podemos perceber, a relao Vs/Ve depende da freqncia do sinal (). A expresso que relaciona o sinal de sada com o sinal de entrada em um bloco, em funo da freqncia angular chamada de Funo de Transferncia H(). Assim, a funo de transferncia H() para o bloco da figura 3.2 dada por: Vs jL = H() = Ve R + jLCom esta representao matemtica e de posse dos valores do resistor e do indutor, podemos calcular o mdulo e a fase (ngulo) de tenso de sada para cada valor de freqncia dado. Uma funo de transferncia H() pode relacionar: CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 17. Resposta em Freqncia Filtros Passivos16 Tenso de sada / Tenso de entrada:H ( ) =Vs ( ) Ve ( ) Tenso de sada / Corrente de entrada:H ( ) =Vs ( ) I e ( ) Corrente de sada / Corrente de entrada:H ( ) =I s ( ) I e ( ) Corrente de sada / Tenso de entrada:H ( ) =I s ( ) Ve ( )Com a Funo de Transferncia de um circuito conhecida, poderemos, por exemplo, avaliar o sinal de sada em funo do sinal de entrada, tanto para o seu mdulo, ngulo e freqncia, assim:Vs = Ve H ( ) Exemplo 3.2: Para o circuito da figura 3.2, determine o mdulo e o ngulo do sinal de sada para quando o sinal de entrada tiver as freqncias =10 rad/s, =1000 rad/s e =100Krad/s sendo R=50 e L=10mH. Ve(t)=20.sen(t).3.3. Grficos da Funo de Transferncia Como podemos perceber, a Funo de Transferncia H() um nmero complexo e pode ser representado na forma polar (mdulo e fase) e nos permite fazer a anlise de resposta em freqncia de um circuito, ou seja, analisar o comportamento dos sinais em funo da variao da freqncia. Portanto, podemos representar graficamente a funo de transferncia atravs de grficos do mdulo e da fase em funo da freqncia. CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 18. Resposta em Freqncia Filtros Passivos17H ( ) = H ( ) ( )O grfico do mdulo da funo de transferncia com relao variao da freqncia e o grfico do ngulo de fase da funo de transferncia com relao variao da freqncia para o circuito da figura 3.2 tero a aparncia mostrada na figura 3.3: |H()|C (rad/s) f (Hz)Curva Caracterstica do Mdulo de H() - Ganho () C (rad/s) f (Hz)o-45o-90Curva Caracterstica do ngulo de H() - Fase Figura 3.3 Curvas de Resposta em Freqncia para a Funo de Transferncia do circuito da Figura 3.23.4. Ganho, Atenuao e Fase Como pudemos perceber, a funo de transferncia H() um nmero complexo e, como tal, pode ser expresso (na forma polar) por um mdulo (amplitude) e um ngulo (fase).3.4.1. Ganho e Atenuao O mdulo da funo de transferncia chamado de Ganho, assim, o ganho a relao entre o mdulo do sinal de sada e o mdulo do sinal de entrada. O ganho pode ser expresso como: CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 19. Resposta em Freqncia Filtros Passivos18 Ganho de tenso:GV = H() = Ganho de corrente:GI = H() = Ganho de potncia:GP = H () =Vs Ve Is Ie Ps PeSe o valor do ganho for maior que 1, o circuito um amplificador, ou seja, o sinal de sada maior que o sinal de entrada. Se o ganho for menor que 1 o circuito um atenuador, ou seja, o sinal de sada menor que o sinal de entrada. Observao: como o Ganho uma relao entre duas grandezas de mesma natureza (mesma unidade) adimensional.3.4.2. Fase: A fase de uma funo de transferncia () o seu correspondente ngulo, ou seja, o ngulo do nmero complexo na forma polar. Representa o adiantamento do sinal de sada em relao ao sinal de entrada. s ( ) = ( ) + e ( )3.5. Decibel (dB) No tpico anterior estudamos que o Ganho de uma funo de transferncia relaciona duas grandezas de mesma natureza e , portanto, adimensional. O Decibel uma forma de medir a relao entre duas grandezas fsicas de mesma natureza, sendo adotado para expressar o ganho nas curvas de resposta em freqncia de circuitos eletrnicos. O nome Decibel deriva do sobrenome de Alexander Grahan Bell. O conceito de Decibel (dB) est ligado aos nossos sentidos, em especial audio [1]. O ouvido humano no responde de forma linear aos estmulos que lhe so impostos (potncia sonora), mas de forma logartmica. Por exemplo, se a potncia sonora sofrer uma variao de 1W para 2W, a sensao sonora no dobrar. Para que a sensao sonora dobre, a potncia associada a CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 20. Resposta em Freqncia Filtros Passivos19ele dever ser multiplicada por dez, ou seja, variao de forma logartmica (1, 10, 100, 1000, ...). Os logaritmos so usados para comprimir escalas quando a faixa de variao de valor muito ampla e, tambm para transformar as operaes de multiplicao e diviso em operaes de soma e subtrao, respectivamente. Na anlise de circuitos eletrnicos comum usarmos a escala logartmica para expressar os valores de Ganho, em Decibel. O Decibel (dB) equivale a um dcimo de um Bel (B). O Bel relaciona dois nveis de potncia Pe e Ps da seguinte forma [5]: GP = logPs Pe(B)Desta forma, se Ps=10.Pe o ganho de potncia vale 10 pois a sada dez vezes maior que a entrada: GP = log10 Pe = log 10 = 1 PeEnto o ganho de potncia 1B, isto , Ps est 1 bel acima de Pe (temos uma amplificao de 1 Bel). Para as grandezas que estudaremos, a unidade Bel muito grande, por isso, usamos o Decibel atravs da seguinte equao: P GP | dB = 10 log s P e Desta forma, se Ps=1000.Pe, o ganho de potncia vale 1000 pois a sada mil vezes maior que a entrada,, ento: GP | dB = 10 log 1000 = 10 3 = 30E o ganho de potncia de 30 dB, isto , uma amplificao de 30 dB. Por outro lado, se Ps=0,001Pe o ganho de potncia vale 0,001, pois a sada ser mil vezes menor que a entrada, ento: GP | dB = 10 log 0,001 = 10 ( 3) = 30O ganho de potncia de -30dB, ou seja, uma atenuao de 30 dB. CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 21. Resposta em Freqncia Filtros Passivos20Consideremos um quadripolo (circuito com quatro terminais) representando um circuito eletrnico com uma impedncia de entrada Ze e uma impedncia de sada (carga) Zs, conforme a figura 3.4.+ VePe+Ps~ZsZeVs __ QuadripoloFigura 3.4 Quadripolo representando um circuito com uma entrada e uma sadaAs potncias mdias de entrada e de sada so dadas por: 2Ve RePe =2eVs RsPs =Observao: a potncia mdia (ativa) est relacionada apenas com a parcela resistiva da impedncia. Calculando o Ganho de Potncia em dB, temos: Ps GP | dB = 10 log = 10 log P e V GP | dB = 10 log s V e22 Vs Vs 2 R e Rs = 10 log 2 2 V R Ve s e Re R + 10 log e R s = 10 log Vs Ve V = 20 log s V eR + 10 log e R s2 Re R s Como o ganho de tenso a relao entre a tenso de sada e a tenso de entrada, podemos concluir da equao acima, que o ganho de tenso de um quadripolo em dB calculado pela expresso: V GV | dB = 20 log s V e Da mesma forma, o ganho de corrente: I GI | dB = 20 log s I eCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi 22. Resposta em Freqncia Filtros Passivos21Observao: !"Podemos desprezar a ltima parcela porque consideramos a condio de Casamento de Impedncia, ou seja, situao de mxima transferncia de potncia, onde Re = Rs. Quando Re=Rs os ganhos de potncia e tenso sero iguais ( situao de mxima transferncia de potncia). R 10 log e R s = 10 log(1) = 0 A classificao de equipamentos eletrnicos de comunicao, como por exemplo, amplificadores e microfones, normalmente estabelecida em dB. A equao de ganho de potncia em dB indica claramente uma relao entre dois nveis de potncia. Para uma Ps especificada, deve haver um nvel de potncia de referncia (Pe). O nvel de referncia normalmente aceito 1mW. A resistncia associada ao nvel de potncia de 1 mW 600 (valor de impedncia tpico de linha de transmisso de udio). Quando se adota 1mW como nvel de referncia, comum a unidade dBm, como indica a equao: Ps GP | dBm = 10 log 1mW | 600 3.6. Freqncia de Corte: definida como a freqncia na qual a potncia mdia de sada a metade da potncia de entrada, ou seja, quando o Ganho de Potncia for 0,5. Matematicamente, P 1 GP = s = Pe 2 V2 como: Ps = s RsePe =Ve 2 Re, temos:GP =Vs 2 Rs 2Ve Re=1 2Para RsRe, temos: Vs 2 Ve 2 CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica=1 Vs 1 = 0,707 2 Ve 2Prof. Fernando Luiz Mussoi 23. Resposta em Freqncia Filtros Passivos22Portanto, na Freqncia de Corte; Vs0,707.VeouGV =1 2Ento: V GV | dB = 20 log s V e 0,707 Ve = 20 log Ve = 20 log( 0,15) = 3 O Ganho de Tenso ser GV|dB= -3dB na freqncia de corteTambm podemos dizer que:A Freqncia de Corte a freqncia na qual a tenso de sada aproximadamente 70,7% da tenso de entrada, ou seja, a freqncia que provoca um ganho de -3dB.3.7. Exerccios: 3.7.1) Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensional e em dB e a fase do sinal para o circuito abaixo para as freqncias de 60Hz, 1700Hz e 10kHz e compare os resultados. Sejam R=5 e L=3mH.3.7.2) Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensional e em dB e a fase do sinal para o circuito do exerccio 1, invertendo as posies do resistor com o indutor, para as freqncias de 60Hz, 1700Hz e 10kHz e compare os resultados. Sejam: R=50 e L=25mH. 3.7.3) Um quadripolo tem ganho de tenso de 10 dB. Se a tenso de entrada 5V, qual a tenso de sada ? 3.7.4) Qual a potncia e dB quando a relao entre Ps/Pe : 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100 e 1000 ? 3.7.5) Determine a funo de transferncia, o mdulo e a fase do sinal para =100 rad/s, CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 24. Resposta em Freqncia Filtros Passivos23=1000 rad/s e =100Krad/s considerando o circuito abaixo. Ve(t)=10.sen(t)CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 25. Resposta em Freqncia Filtros Passivos244. Filtros At aqui estudamos o comportamento dos circuitos RLC mistos em regime permanente (freqncia constante), a resposta em freqncia dos componentes passivos e a ressonncia que ocorre nos circuitos. Existem vrias configuraes simples de circuitos, tambm chamadas de redes, que so de grande importncia principalmente para os circuitos eletrnicos. Estas redes (circuitos) so chamadas de Filtros. Na sua definio mais simples, Filtro um circuito que apresenta um comportamento tpico em funo da freqncia do sinal a ele aplicado, permitindo a passagem de sinais com certas freqncias, enquanto suprime sinais com outras freqncias [3]. Os filtros so basicamente compostos por impedncias interligadas (redes) e o comportamento destes circuitos depende do valor das resistncias, capacitncias e indutncias envolvidas e da maneira como so interligadas. Os filtros so classificados quanto tecnologia e componentes empregados na sua construo e quanto funo que dever ser executada por ele num circuito eletrnico [2].4.1. Tipos de filtros quanto tecnologia empregada: a) Filtros Passivos: So os filtros construdos apenas com os elementos passivos dos circuitos, ou seja, resistores, capacitores e indutores. b) Filtros Ativos: So os filtros que empregam na sua construo elementos passivos associados a algum elemento ativo amplificador, como por exemplo, transistores e amplificadores operacionais. c) Filtros Digitais: So os filtros que empregam tecnologia digital na sua construo, implementados atravs da programao de um sistema microprocessado.CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 26. Resposta em Freqncia Filtros Passivos254.2. Tipos de Filtros quanto funo executada: a)Filtros Passa-Baixas; b)Filtros Passa-Altas; c)Filtros Passa-Faixa (Passa-Banda); d)Filtros Rejeita-Faixa (Rejeita-Banda);Nesta apostila estudaremos em maiores detalhes os Filtros Passivos que, como vimos, so aqueles circuitos capazes de selecionar determinadas faixas de freqncias usando apenas componentes passivos. O ganho dos filtros passivos geralmente menor ou igual a 1, com algumas excees.CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 27. Resposta em Freqncia Filtros Passivos265. Filtros Passa-Baixa Um Filtro Passa-Baixa Passivo um circuito que permite a passagem de sinais de tenso e corrente somente em freqncias abaixo de um certo limite, atenuando os sinais cuja freqncia ultrapassar esse valor. Esse valor limite de freqncia a Freqncia de Corte (C) do filtro.5.1. Filtro Passa-Baixa Ideal Para sinais de freqncias abaixo da freqncia de corte do filtro, o ganho unitrio, ou seja, o mdulo do sinal de entrada igual ao de sada. Para freqncias acima da freqncia de corte o ganho zero, ou seja, o mdulo do sinal de sada atenuado at zero. Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-baixa ideal como apresentado na figura 5.1.GV(dB) 10(rad/s)cFigura 5.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Baixa IdealSimbologia Usual:VeCEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaVsVeVsProf. Fernando Luiz Mussoi 28. Resposta em Freqncia Filtros Passivos275.2. Filtro Passa-Baixa RL Um circuito RL passivo como o apresentado na figura 5.2 pode comportar-se como um filtro passa-baixa real. Para sinais de baixa freqncia o indutor apresenta baixa reatncia, XL > R e seu comportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o indutor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito pequena. Podemos dizer que o circuito impede a passagem de sinais de altas freqncias.Figura 5.2 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Baixa RL5.2.1. Ganho e Fase Para este circuito a tenso de sada em funo da tenso de entrada pode ser dada pela expresso: Vs =R Ve R = Ve R + X L R + jLou ainda: Vs R = Ve R + jLSe fatorarmos a expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos: CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 29. Resposta em Freqncia Filtros Passivos28Vs R R = = Ve R + jL R1 1 + jL RPortanto, esta expresso a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Baixo RL, na forma fatorada: H() =1 1 + jL RSabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o ganho de tenso o mdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo. Observao: Para determinarmos o mdulo e o ngulo de um nmero complexo devemos lembrar: Mdulo =(Re al)2 + (Im aginria )2 Im aginria ngulo = arctg Re al Para encontrarmos o mdulo precisamos obter a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginria, tanto do numerador como do denominador. Assim, H() = GV =12 + 0 2 L 1 + R 22=1 L 1+ R 2Portanto, a expresso para o Ganho de Tenso de um Filtro Passa-Baixa RL :GV =1 L 1+ R2Para obtermos a Fase precisamos subtrair o ngulo do numerador com o ngulo do denominador. CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 30. Resposta em Freqncia Filtros Passivos29Estes ngulos so calculados pelo arco tangente (tg-1) do quociente da parte imaginria pelaparte real. L 0 L = arctg arctg R = 0 arctg 1 1 R Portanto, a expresso para a Fase de um Filtro Passa-Baixa RL : L = arctg R5.2.2. Freqncia de Corte: Sabemos que o ganho na freqncia de corte : GV | c =1 2= 0,707Ento: 1 21=L 1 + c R 2elevando ao quadrado ambos os lados da expresso e operando a expresso para isolarmos C, temos: 1 = 21 L 1 + c R 22L 1 + c = 2 R 2L c = 2 1 R c L = 1 =1 RPortanto, a Freqncia de Corte para um Filtro Passa-Baixa RL dada por:CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 31. Resposta em Freqncia Filtros Passivos30c =R LNa freqncia de corte ( = C), a fase ser: L R L = arctg c = arctg = arctg (1) R L R = 45 !5.2.3. Curvas Caractersticas: Com a expresso do ganho e da fase podemos traar as curvas de resposta em freqncia do Filtro Passa-Baixa RL, como indicam as figuras 5.3a e 5.3b. GV 1 0,707 (rad/s) 0cFigura 5.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tensoc (rad/s)0-45o-90o Figura 5.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL FaseCEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 32. Resposta em Freqncia Filtros Passivos!"31Ganho: = 0 GV = 1 = c GV =1 2= 0,707 GV = 0 !"Fase:( ) = 0 = arctg 0 ! = 0 = c = arctg(1) = 45 ! = arctg( ) = 90 !Tambm podemos traar a curva de resposta em freqncia do Ganho em dB de um Filtro Passa-Baixa RL usando uma escala logartmica, como indica a figura 5.4.GV|dB -3c 010.c100.c (rad/s)-20-40 Figura 5.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tenso em dB (escala logartmicaPela curva da resposta em freqncia para o ganho em dB de um Filtro Passa-Baixa, podemos perceber que aps a freqncia de corte, cada vez que a freqncia aumenta de um fator de 10, o ganho diminui em 20dB. Dizemos que h uma atenuao de 20dB por dcada de aumento da freqncia. Tambm podemos usar uma aproximao do grfico da figura 5.4 atravs de retas, chamadas Assntotas. O grfico de resposta em freqncia aproximado por retas assintticas chamado Diagrama de Bode, como o apresentado na figura 5.5 para o Filtro Passa-Baixa RL.CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 33. Resposta em Freqncia Filtros PassivosGV|dB -332c10.c0100.c (rad/s)-20-40 Figura 5.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tenso em dB (escala logartmica) Diagrama de Bode aproximao por assntotas5.3. Filtro Passa-Baixa RC Um circuito RC como o apresentado na figura 5.6 pode comportar-se como um Filtro Passivo Passa-Baixa. Para sinais de baixa freqncia, o capacitor apresenta alta reatncia, XC >> R e seu comportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o capacitor de sada. Podemos dizer que o circuito apresentado deixa passar sinais de baixa freqncia. Para sinais de altas freqncias, o capacitor apresenta baixa reatncia, XC >R) e seu comportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o indutor de sada. Podemos dizer que o circuito deixa passar sinais de alta freqncia. Para sinais de baixa freqncia, o indutor apresenta baixa reatncia (XL