Filtros TEA

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 2 de 2 

    ESPECIFICACIONES FILTRO PASO DE BAJA (LP)

    1

    p!   !

    ( )2

    H j!

    Filtro Paso de baja ideal: atenuación cero en la bandapasante, infinita en la de rechazo y transiciones verticales.

    1

    s!  !

    ( )2

    H j!

    p!

    ( )21

    1+ "

    ( )21

    1+ #

    Filtro Paso de baja real con tolerancias en banda pasante(" >1) y banda de rechazo (#>1).

    AtenuacióndB

    s!  !

    p!

    minA

    maxA

    Una función de transferencia de segundo orden queimplementa una característica paso de baja es:

    ( )2 2

    n n2 2 2

    2 2n n nn

    n

    Kb K KH s

    s as b s 2 ss sQ

    Q Factor de calidad ; =1/2Q Factor de Amortiguamiento.

    H(0) = K Ganancia en DC ; Frecuencia Natural.

    ! != = =

    !+ + +   $!   + !+ + !

    % $ %

    % ! % 

    ! La función básica de un filtro LP es pasar las frecuencias bajas con muy pocas pérdidas y atenuar las altas frecuencias.

    ! Debe pasar las señales en la banda de frec. entre DC y la frec. de corte !p (banda de paso), con una atenuación máxima de Amax dB. Lasfrecuencias por encima de !s (banda de rechazo) deben tener al menos Amin dB de atenuación. (!s = frecuencia límite de la banda derechazo). La banda de frecuencias entre !p y !s se denomina banda de transición.

    ! Los parámetros !p , !s, Amin y Amax describen completamente las especificaciones del filtro LP.

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 3 de 3 

    ESPECIFICACIONES FILTRO PASO DE ALTA (HP)

    Atenuación

    dB

    s!  !

    p!

    minA

    maxA

    Las pérdidas de la señal en cualquier lugar de labanda de paso son de hasta Amax dB

    Las pérdidas de la señal en cualquier lugar de labanda de rechazo son como mínimo de Amin dB

     

    ! Un filtro paso de alta pasa las frecuencias por encima de una frecuencia denominada frecuencia de corte !p.

    ! La banda de paso se extiende desde !p a &. La banda de rechazo desde 0 hasta !s 

    ! Los parámetros !p , !s, Amin y Amax caracterizan completamente las especificaciones del filtro HP.

    ! Una función de transferencia de segundo orden con característica paso de alta es:

    ( )2 2 2

    2 2 22 2n n n

    n

    Ks Ks KsH ss as b s 2 ss s

    Q

    = = =!+ + +   $!   + !+ + !

     

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 4 de 4 

    ESPECIFICACIONES FILTRO PASO DE BANDA (BP)

    ! Un filtro paso de banda pasa las señales en

    una banda de frecuencias con atenuaciónmuy baja mientras que rechaza lasfrecuencias a ambos lados de esa banda.

    ! La banda de paso, desde !1  a !2, presentauna atenuación máxima de Amax dB y las dosbandas de rechazo, desde DC a !3 y de !4 a&, tienen una atenuación mínima de Amin dB.

    ! Una función de transferencia de 2º orden con característica paso de banda es:

    ( ) o o2 22 2o o

    o

    o o

    1 2o 1 2 o

    K s K sH s =

    s BWss sQ

    f Factor de Calidad de un F. BP Q

    BW(rad /s) BW(Hz)

    f f Frecuencia Central f = f f ; Para Q > 10 f

    2

    ! !=

    !   + + !+ + !

    !%   = =

    +%   !   '

     

    En !o: ( ) 0 0 0 00 2 20 0 0

    K j KH jw K K Q

     j B B B

    ( ! ( ! ( ! != = =   (   =   (

    )!   +   ! (   + ! 

    Atenuación

    dB

    1!  !

    2!

    minA

    maxA

    3! 4!  

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 5 de 5 

    DISEÑO DE FILTROS

    Partiendo de un conjunto de especificaciones que describen las propiedades deseadasdel filtro selector de frecuencias:

    1.- Aproximación de una respuesta en frecuencia preestablecida por medio de unafunción de transferencia racional que presentan un sistema que es tanto causal comoestable.

    2.- Realización de la función de transferencia aproximada mediante un sistema físico.

    CLASIFICACIÓN DE FILTROS SEGÚN SU TECNOLOGÍA

    Filtros Pasivos:

    ! Se construyen exclusivamente con elementos pasivos como resistencias, condensadores y autoinducciones. Se usangeneralmente por encima de 1 MHz (a bajas frec. exigen inductancias muy elevadas), no tienen ganancia enpotencia y son difíciles de sintonizar. No requieren fuentes externas de energía y funcionan sin alimentación.

    ! Orden de un filtro pasivo (n): es igual al número de autoinducciones y condensadores en el filtro. De esta forma, elorden indica la complejidad del circuito. (A mayor n, mayor pendiente en la región de transición)

    Filtros Activos:

    ! Se construyen con resistencias, condensadores y amplificadores operacionales. Por tanto, necesitan alimentaciónexterna para su funcionamiento. Se usan por debajo de 1 MHz, tienen ganancia en potencia y son relativamente

    fáciles de sintonizar. Además, proporcionan amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que puede serimportante al trabajar con señales de niveles muy bajos.

    ! El orden de un filtro activo depende del número de circuitos RC que contentan. Salvo excepciones ocasionales,coincide con el número de condensadores. 

    1

    p!   !

    ( )2

    H j!

    1

    s!   !

    ( )2

    H j!

    p!

    ( )21

    1+ "

    ( )21

    1+ #

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 6 de 6 

    APROXIMACIÓN DE FILTROS LP

    En el análisis y diseño de filtros, los filtros LP son el prototipo, un circuito básico que puede ser modificado para

    conseguir otros circuitos. Normalmente, cualquier problema en un filtro se transforma en el equivalente para el filtroL.P. y se resuelve; la solución a este problema se transforma de nuevo a la del filtro original.

    Criterios de aproximación:

    - Aproximación de Butterworth (ó aproximación máximamente plana): la atenuación en la mayor parte de la bandapasante es cero y disminuye gradualmente hasta Ap al final de la banda pasante (Ap = atenuación máxima permitida

    en la banda pasante). Por tanto los filtros de Butterworth poseen como principal ventaja la propiedad de tener una curva

    de respuesta lo más plana posible en el punto de frecuencia cero. Su mayor desventaja es lo relativamente despacio quedecae en la región de transición (decae a un ritmo aproximado de 20n dB por década, donde n es el orden del filtro)

    comparado con otras aproximaciones. (Pendiente de Filtro Butterworth en Región de Transición = 20n dB/dec). 

    - Aproximación de Chebyshev: presenta en la región de transición una pendiente de decaimiento más pronunciadaque la aproximación Butterworth. Por ello, la atenuación con un filtro de Chebysehv a una frecuencia dada de la región

    de transición es siempre mayor que la atenuación con un filtro de Butterworth del mismo orden. Sin embargo la banda

    pasante no tiene una respuesta plana, sino que aparece en ella un rizado. El número de rizados en la banda pasante de

    un filtro LP de Chebyshev es igual a la mitad del orden del filtro.

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 7 de 7 

    FUNCIONES DE APROXIMACIÓN DE FILTROS LP: FUNCIÓN DE BUTTERWORTH (I)

    # Respuesta en magnitud máximamente plana. Para un filtro LP de orden n, esto se consigue imponiendo que las 2n-1

    primeras derivadas sean nulas.

    # La función de Butterworth viene definida por la ecuaciones:

    2

    2 2n 2n

    c c

    2

    2 2n 2n

    c c

    H( ) H( )1 1 

    H(0)H(0)1 1

     

    H(f ) H(f )1 1 

    H(0)H(0) f  f 1 1f  f 

    ! !=   !   =

    " #!   " #!+   +$ %   $ %!   !& '   & '

    ( (

    =   !   =" #   " #+   +$ %   $ %& '   & '

     

    donde:

    !c=2*f c  % Frecuencia de corte (aquella a la que |H(!)| cae 3dB respecto a DC en filtros LP)

    n % orden del filtro.

    Ejemplo:

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 8 de 8 

    FUNCIONES DE APROXIMACIÓN DE FILTROS LP: FUNCIÓN DE BUTTERWORTH (II)

    Ejemplo 1.-:  Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50Hz , empleando un filtro Butterworth con una

    frecuencia de corte fc=10 Hz. Determinar el orden del filtro.

    Atenuación de un filtro viene determinada por la ecuación dBH(f)

    A 20LogH(0)

    = )   ; Función de Butterworth:

    2

    2 2n

    c

    H(f) 1

    H(0) f 1

    =" #

    + $ %& '

     

    dB dB

    2n 2n 2n

    dB

    c c c

    2nA A

    10 10

    c c

    H(f ) H(f ) Af f f 2Log Log 1 20Log 10Log 1 Log 1

    H(0) f H(0) f 10 f  

    f f   10 1 Log 10 1 2nLog

    f f 

    ) * ) * ) *) * ) *" # " # " #+ , + , + ,= )   +   + )   = +   !   = +   !+ , + ,$ % $ % $ %+ , + , + ,& ' & ' & '- . - .- . - . - .

    ) *" # " !   )   =   !   )   =+ ,$ %

    & ' & - .

    dBA

    10

    c

    Log 10 1

      nf 

    2Logf 

    ) *)+ ,

     #   - .!   =$ %" # '$ %& '

     

    Luego, en nuestro ejemplo:

    dBA 60

    10 10

    c

    Log 10 1 Log 10 16 3

    n 4.2950 2Log5 Log5f  2Log2Log10f 

    ) *   ) *) )+ ,   + ,

    - . - .= = = = =" # " #

    $ %$ %& '& '

    . El orden sería n=5 ya que  se debe

    construir el mejor filtro posible para así cumplir todas las especificaciones.

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 9 de 9 

    FUNCIONES DE APROXIMACIÓN DE FILTROS LP: FUNCIÓN DE CHEBYSHEV (I)

    # Presentan una transición entre la banda de paso y la de rechazo más abrupta que las funciones de Butterworth. Por el

    contrario, la banda de paso no es plana, esto es, presenta rizado.

    # La función de Chebyshev viene definida por la ecuaciones:2

    2

    2 2n

    0

    H(f) 1

    H(0) f 1 C

    =/   01

    + " (   2 31   45

      , donde:

    1. Cn(f) (polinomio de Chebychev de 1ª especie y de orden n) es

    un polinomio que oscila entre –1 y 1 para0 1, ! , .

    0 0

    n

    0 0

    f f cos n arccos ; 0 1

    f f C

    f f cosh n arccosh ; 1

    f f 

    /   ) *" #( , ,1   + ,$ %

    & '1   - .= 2

    ) *" #1(   >+ ,$ %1

    & '- .5

     

    2. "  es el denominado factor de rizado (""""2,,,,1). Se especifica mediante el valor pico a pico en decibelios

    ( )2dB 21R 20log 10log 1

    1= )   = + "

    + ". Si n es par el rizado será positivo (señalado en la figura) y si es impar neg. 

    3. f 0 es la frecuencia natural (donde acaba el rizado) ; !!!!0=2****f 0.

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 10 de 10 

    FUNCIONES DE APROXIMACIÓN DE FILTROS LP: FUNCIÓN DE CHEBYSHEV (II)

    # Orden n según la función de Chebyshev:

    ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

      { }

    { }   ( )

    dB

    dB dB

    2 2

    2 2n2 22 2 2 2

    n n

    1A 2

    1 10

    1/ 2A A2 2 2 2 110 10

    dB n n n 0

    H f H f H f  1 110log 10log 20log 10log 1 C1 C 1 C H 0H 0 H 0

    arccosh 10 1

    A 10log 1 C 10 1 C C 10 1 f f  

    arccosh

    )

    )

    / 0   / 0/ 01 1 1 1=   + )   = ) + )   = + "2 3 2 3 2 3+ "   + "5 4   1 11 1   5 45 4

    ) *" #+ ," )$ %+ ,& '+ ,) *   - .= + " + )   = "   !   = " )   = > =+ ,- .

    0

    " #

    $ %& '

     

    # Relación entre f c (frecuencia de corte de caída 3dB) y f 0:

    ( )   ( )

    2

    c c c 2 2 2 2c c c3dB n n n2

    0 0 0

    c c cn 0

    0 0 0

    H(f ) H(f ) H(f ) f f f 1 1A 20log 3dB 1 C 2 C 1 C 1

    H(0) H(0) 2 f f f  2 H(0)

    arccosh 1/f f f 1 1C f f cosh n.arccosh arccoshf f n f  

    / / /0 0 01 1 1= )   =   !   =   !   =   !   + " (   =   ! " (   =   ! " (   =   !2 3 2 3 2 3

    1 1 14 4 45 5 5

    / ) *   "0 " # " #1!   =   +   >   +   =   +   =2 3   + ,$ % $" "1   4 & ' &  5 - .

    ( )c 0 1arccoshf f cosh n) *"+ ,!   =   (% + , '- .

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 11 de 11 

    FUNCIONES DE APROXIMACIÓN DE FILTROS LP: FUNCIÓN DE CHEBYSHEV (III)

    Ejemplo 2.-: Se desea atenuar en 60 Db una interferencia de 50Hz , empleando un rizo de Chebyshev de 0.1dB y una

    frecuencia natural de f 0 = 5 Hz. Determinar el orden del filtro y su frecuencia de corte.2

    dBR 10Log 1 0.1dB 0.1526) *= + "   =   ! " =- .  

    2 2dB n dB

    62 2 2 2 2 2 6 2

    n n n n n2

    H(f)A 20log 10Log 1 C ; Cuando f = 50 Hz A 60dB

    H(0)

    10 160dB = 10Log 1 C 6 = Log 1 C 1 C 10 C C 6553.0

    ) *= )   = + " (   !   =   !- .

    )) * ) *+ " ( +   + " (   !   + " (   =   !   =   !   =- . - . "

     

    Por otra parte, para este valor de Cn, calculado para una frecuencia de 50Hz que es mayor que f 0 = 5Hz:

    ( )( )   ( )( )n

    arccosh 655350Hz 50 9.48C cosh n arccosh 6553 = cosh n arccosh 10 n = 3.16

    5Hz 5 arccosh 10 2.99

    " #/ 0 " #=   ( + (   !   = =2 3   $ %$ %

    5 4 & '& ' 

    Por tanto, el orden sería 4 para poder cumplir todas las especificaciones.

    La frecuencia de corte para un orden de n = 4:

    ( )c 0

    1arccosh

    f f cosh 6.06n

    ) *

    "+ ,=   (   =+ ,- .

    Hz

    Si hubiésemos utilizado un orden de n = 3 ! f c = 6.94 Hz (observar como se están suavizando las especificaciones del filtro)

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 12 de 12 

    NORMALIZACIÓN DE PARÁMETROS

    ! Cuando se trabaja con circuitos eléctricos es usual normalizar la frecuencia y el nivel de impedancia. Lanormalización no causa ninguna pérdida de generalidad y se efectúa únicamente por conveniencia del cálculonumérico (para evitar la manipulación de grandes potencias de 10 y minimizar el efecto de los errores de redondeo).

    ! La normalización en frecuencia  consiste simplemente en un cambio en la escala de la frecuencia mediante ladivisión de la variable frecuencia por una frecuencia de normalización 0-  escogida adecuadamente. Por tanto, lafrecuencia normalizada es n 0s s /=   - .

    ! La normalización del nivel de impedancias  se efectúa dividiendo todas las impedancias del circuito por unaresistencia de normalización 0R . Los valores de resistencias, inductores y condensadores se normalizan como sigue:

    00 n 0 0L

    n Ln n n n0 0 o 0 0 0

    CCn n 0 o

    0 0 n 0 o n n0 o

    0

    sL s LZR sL

    R ; Z = = = s L L = LR R R R R R

    Z 1 1 1 1Z = = = = = C C R

    sR sCR s CR s CCR

    -- - -= = =   !

    !   =   --

    --

     

    ! Desnormalización del circuito: se dividen los valores normalizados de L y C, L   y C , por la frecuencia denormalización 0-  , y se multiplican los valores normalizados de R y L, R y L , por la resistencia de normalización

    R0, dividiéndose por ésta el valor normalizado de C, C :

    0n 0 n n

    o o 0

    R 1R R R R ; L L L ; C C C

    R.   =   .   =   .   =

    - - 

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 13 de 13 

    REALIZACIÓN DE FILTROS PASIVOS LP (I)Aplicación a: Redes (filtros) Terminados (impedancia de la fuente Rs = impedancia de carga Rc)

    Redes (filtros) No Terminados (impedancia de carga infinita – termina en abierto)

    METODOLOGÍA:

    1.- Se calcula el orden del filtro.

    2.- Se construye un filtro LP normalizado: segúnla figura y valores de la tabla, se toma como diseñode partida el circuito correspondiente al ordencalculado. Estos diseños son filtros de ButterworthLP normalizados con valores de resistencia de fuentede 1- y frecuencias de corte (-3dB) de 1 rad/seg.

    3.-  Se desnormaliza  para una frecuencia denormalización 0 c-   = !  (frecuencia de corte del filtroque se pretende diseñar) y para una resistencia denormalización o sR R=  (resistencia de la fuente real)

    s

    s

    c c s

    R R R R

    R 1L L L ; C C C

    R

    .  =

    .   =   .   =! !

     

  • 8/16/2019 Filtros TEA

    14/36

    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 14 de 14 

    REALIZACIÓN DE FILTROS PASIVOS LP (II)

    Ejemplo 3.-: Realizar un filtro LP Butterworth a disponer entre una fuente de 600- (RS) y una carga de 600-, cuya

    frecuencia de corte sea de 5KHz y que atenúe los 20 KHz al menos 40 dB por debajo del nivel decontinua.

    Primero calculamos el orden del filtro:

    dBA

    104

    c

    Log 10 1Log 10 1

    n 3.3 n = 420Kf  2 Log2 Log5Kf 

    ) *)+ , ) *)- . - .= = =   !

    " # " #((   $ %$ %

    & '& '

     

    Construimos el filtro normalizado ( c s1rad /s y R 1!   = =   - )

    Ahora desnormalizamos el circuito:

    Ejemplo con Primera Autoinducción:

    L 0.7654H=  

    s

    c

    R 600L L 0.7654 0.0146H 14.6mH

    2 5000= = = =

    ! * 

  • 8/16/2019 Filtros TEA

    15/36

    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 15 de 15 

    REALIZACIÓN DE FILTROS PASIVOS HP (I)

    A partir del diseño de un filtro paso-bajo, pueden

    obtenerse filtros paso-alto, paso-banda y rechazo-banda que cumpla similares especificaciones,mediante el uso de transformaciones.

    METODOLOGÍA:

    1.- Construimos un filtro LP normalizado.

    c s1rad /s y R 1!   = =   -  

    2.- Transformamos L y C siguiendo la siguiente regla de transformación:

    Transformación pasobajas a pasoaltas:1

    ss

    . , donde se ha denotado

    s  como la variable del filtro LP normalizado en  c s1rad /s y R 1!   = =   - .

    L C 1/ L

    1 1( Ejemplo Z Ls L Z )

    1ssL

    =!   =   .   = =  

    3.- Se desnormaliza: ssc c s

    R 1R R R R ; L L L ; C C C

    R.   =   .   =   .   =

    ! ! 

  • 8/16/2019 Filtros TEA

    16/36

    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 16 de 16 

    REALIZACIÓN DE FILTROS PASIVOS HP (II)

    Ejemplo 4.-: Diseñar un filtro Butterworth paso alto de tercer orden con una fc de 500Hz y que trabaje con Rs=100- y

    Rc=10 M-.Para el diseño del filtro LP normalizado, es posible considerar que se trata de una red no terminada al ser R c muy alta(el diseño será entonces una aproximación – si queremos ser exactos debemos hacerlo utilizando adaptación deimpedancias).

    !c= 2**500=1000*  rad /s ; Rs=100-  ; Rc=10M- (. &)

    V0 

    V0 

    00

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    REALIZACIÓN DE FILTROS PASIVOS BP (I)

    METODOLOGÍA:

    1.- Construimos un filtro LP normalizado a

    c s1/ Q rad /s y R 1!   = =   -  , siendo0 0f Q

    BW(rad/s ) BW(hz)

    != = ,

    el factor de calidad del filtro BP.

    2.- Transformamos L y C  siguiendo la siguiente regla detransformación:

    Transformación pasobajas a pasobanda: 1s s s.   +  

    L L C 1/ L

    1 1( Ejemplo Z Ls L s Ls Z Z )

    1s sL

    =

    " #!   =   .   + = + = +$ %

    & ' 

    3.- Se desnormaliza para una frecuencia de normalización 0 0-   = !  (frecuencia central del filtro BP que se pretende diseñar) y para unaresistencia de normalización o sR R= .

    ss

    0 0 s

    R 1R R R R ; L L L ; C C C

    R.   =   .   =   .   =

    ! ! 

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    REALIZACIÓN DE FILTROS PASIVOS BP (II)

    Ejemplo 5.-: Diseñar un filtro paso-banda pasivo de tercer orden con frecuencia central 1Khz y ancho de banda 100hz

    para disponer entre una fuente de señal de 100- de resistencia de salida y un amplificador de resistenciade entrada muy alto.

    f 0=1 Khz ; BW= 100 hz ; Rs=100-  ; Rc=& $ Filtro no terminado ;1K

    Q 10100

    = =  

    1.-  Se ha de diseñar un filtro LP normalizado a c1

    0.1rad/segQ

    !   = =  y sR 1=   - : para ello, se parte del filtro LP normalizado a

    c 1rad/seg!   =  y sR 1=   -  y se desnormaliza este filtro a una frecuencia c 0.1rad/seg!   = de según:

    ss

    c c c s c

    R 1 1 1R R R R= R ; L L L L ; C C C C

    R

    .   =   .   = =   .   = =

    ! ! ! !

     

    2.- Se transforman L y C, y se desnormaliza a s 0R 100 y 2 .1000 2000 rad /s=   - !   =   *   =   *  

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    ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS (I)

    ¿Qué ocurre si nos piden el diseño de un filtro que no es ni terminado 

    (resistencia de la fuente /  resistencia de carga) ni no terminado (resistencia de carga /&)?.

    Por ejemplo: Diseñar un filtro Butterworth a disponer entre una fuentede 20- (RS) y una carga de 4-.

    2 Soluciones basadas en la inserción de un dispositivo entre el filtro y la carga que modifique la resistencia vista por elfiltro a su salida para convertirlo en un filtro terminado o no terminado:

    1ª Solución: insertar un seguidor de tensión.

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    ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS (II)

    2ª Solución: insertar un transformador tal que la resistencia vista desde su entrada sea la misma que la resistencia de la

    fuente.Transformador: es una bipuerta definida por 1 2V n V=   (   y 2 1i n i= ) (  donde n es el llamado TURNS RATIO.

    Una propiedad importante de un transformador es que podemos ajustar laresistencia vista desde su entrada a través del Turns Ratio.

    Por ejemplo, si conectamos una resistencia R a su puerta 2:

    ( ) 21 2 2 1 1 eq 1V n V n i R n n i R n R i R i=   (   =   ) (   =   ( ( (   =   ( (   =  

    De esta forma, si en el ejercicio anterior insertamosun transformador de turns ratio 2.2, tendríamos unfiltro terminado:

    2 2 2eq 0 sR n R 4n R 20 n 5 n 2.2= = == =   !   =   !   =  

    n : 1 V0 

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    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 21 de 21 

    FILTROS ACTIVOS

    ! Se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores (OPAMP’s), los cuales necesitan alimentaciónexterna para su funcionamiento.

    ! Además de filtrar, los filtros activos pueden amplificar la señal.

    ! Su principal ventaja radica en la posibilidad de ofrecer las mismas prestaciones que los filtros pasivos sin usarinductancias (a bajas frecuencias, son voluminosas, pesadas y caras).

    ! Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples.

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS

    1. Filtros LP de 2º Orden y Estructuras indicadas para su implementación.

    2. Diseños normalizados de filtros activos LP de orden 2 y 3 ! Permitirán el diseño de un filtro activo LP decualquier orden.

    3. Diseños de filtros activos HP.

    4. Diseños de filtros activos BP.

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    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 22 de 22 

    FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN FILTRO LP DE 2º ORDEN

    ( )( ) ( )

    2 2n n

    2 2n n 1 2

    K KH s

    s 2 s s P s P

    ! ( != =

    +   $!   + ! ) ( ) 

    ! H(0) = K Ganancia en DC%   (controla laganancia del filtro – su altura)

    ! n  Frecuencia Natural! %   (está estrechamenterelacionada con la frec. de corte del filtro -

    ( )c nf !   = ! $ . Fija, por tanto,  el ancho de bandadel filtro: a mayor n! mayor es la anchura del

    filtro). Para un LP de 2º orden:( )2 4 2C nBW 1 2 4 4 2= !   = ! ( ) $   +   $ ) $   +  

    ! =1/2Q Factor de Amortiguamiento$ %   (fija la

    forma de ( )H s , de manera que dos filtros idénticos salvo escala tendrán el mismo $) ! Como se observa en la fig.

    para 1 2 0.7071$ < =  se produce pico de resonancia. Para C n0.7071$ =   !   !   = !  

    ! Los polos de esta función de transferencia: 2 2n n

    s 2 s 0+   $! (   + !   =  2

    1 n n n p

    22 n n n p

    P j 1 j

    P j 1 j

    = )$!   +   ( ! ) $   = )$!   +   ( !

    = )$! ) ( ! ) $   = )$! ) ( ! 

    nw$ )  

    Pnw   ! $    =) 21

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 23 de 23 

    FILTROS ACTIVOS LP DE 2º ORDEN: ESTRUCTURAS INDICADAS PARA SU IMPLEMENTACIÓN

    1.- Estructura VCVS (fuente de tensión controlada por tensión):

    2.- Estructura Bicuadrática:

    23n n2

    1 3 4 2

    R 1 1K ; ; 2

    R R R C R C=   !   =   $ ( !   =

    ( ( ( 

    (Estructura más fácil de sintonizar)

    ( )2

    n2 2

    n n

    KH s

    s 2 s

    !=

    +   $!   + ! 

    24n

    3 1 1 2 2

    4

    3n

    2 2 1 1 2 1

    R 1K 1 ;

    R R C R C

    RR 1 1

    2R C R C R C

    = +   !   =( ( (

    $ ( !   = )   + +( ( (

     

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 24 de 24 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE BAJO (I)1.- Calcular el orden. 2.- Construir un filtro normalizado a una frec. de corte de 1 rad/s. 3.- Escalar a la frec. deseada.

    --------------------------------------------------------------

    2.- Filtros Activos LP basados en la estructura VCVS Normalizados a K=1 y  c 1rad/s!   = . Los valores de lasresistencias iR son de 1- y los de los condensadores iC  están tabulados en la siguiente tabla (en Faradios).

    K = 1 (observar que R4=0) y orden n=2

    K = 1 y orden n=3

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 25 de 25 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE BAJO (II)

    3.- Se escala a la frecuencia !c y resistencia R deseada: modificando el valor de los condensadores según iic

    CC

    R=

    ESCALADO DE FRECUENCIA: Consideraciones.

    Sea un filtro LP activo de 2º orden implementado con estruct. VCVS o bicuadrática, caracterizado con K, $  y !n  dadas. Si queremosescalar su frecuencia natural y pasar de n n n* a! . !   =   !   sin cambiar la forma del filtro, debemos garantizar que $   se mantengaconstante, que es el parámetro que define su forma:

    ! Para una estructura bicuadrática de 2º orden: 2n n23 4 2 2 n

    1 1 1  ; 2 2

    R R C R C R C!   =   $ ( !   =   !   $ =

    ( ( ( ( ( ! 

    Si queremos cambiar n!  manteniendo constante $, debemos hacerlo de forma que: 2 n 2 nR C = R * C * * = constante( ( ! ( (!  

    ! Para una estructura VCVS de 2º orden:4 4

    2 3 3n n

    1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 n 1 1 n 2 1 n

    R RR R1 1 1 1 1

      ; 2 2R C R C R C R C R C R C R C R C

    !   =   $ ( !   = )   + +   !   $ = )   + +( ( ( ( ( ( ( ! ( ! ( !

     

    Si queremos cambiar n!  sin que cambie $, debemos hacerlo de forma que los productos se mantengan constantes con los nuevos valores:

    2 2 n 2 2 n 1 1 n 1 1 n 2 1 n 2 1 nR C = R * C * * ; R C = R * C * * ; R C = R * C * *( ( ! ( (! ( ( ! ( (! ( ( ! ( (!  

    !!!!  Aplicándolo a las estructuras VCVS normalizadas anteriores, para las que todas las resistenciasR  son iguales a 1-, la condiciónpara escalar la frecuencia !n (y por tanto c! , ya que ( )c nf !   = ! $ ) manteniendo $ constante, es:

    ( )i n i n i c i c c i i c i i cR C R C R C R C R 1 y 1rad /s C R C C C / R( ( !   =   ( ( ! + ( ( !   =   ( ( !   !   =   - !   =   !   =   ( ( !   !   =   ( !  

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 26 de 26 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE BAJO (III)

    Ejemplo 6.-: Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc = 1KHz, utilizando resistencias de 1 K-.

    c 2 1000 2000 rad /s!   =   *   =   *   ; R = 1 K-.

    1.- Partir de la Estructura VCVS normalizada de 2º orden, con valores de C obtenidos por

    tablas: 1 1C 1.414F ; C 0.7071F= = .

    2.- Modificar el valor de las resistencias a 1 K- y de los condensadores:

    1 21 2

    c c

    C CC 225nF ; C 112.54nF

    R R

    = = = =

    ! !

     

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    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE BAJO (IV)

    Ejemplo 7.-: Diseñar con estructura VCVS un filtro Butterworth paso-bajo de orden 5 con fc= 5Khz y R=100K-.

    Cuando el filtro es de orden 4 o superior debemos utilizar etapas de 2º y 3er   orden dispuestas en serie (los valores de iC de cada etapa se

    obtienen de las tablas para el orden del filtro a diseñar (n = 4, 5 o 6).  De esta forma, un filtro de orden 5 estará formado por una primera

    etapa de orden 3 y una segunda de orden 2 en serie.

    11 9

    c 11 9

    c22 9

    c 22 9

    c33 9

    c

    C 1.753C 558pF

    R 10 C 3.235C 51.03nF

    R 10C 1.354Etapa de orden 3 = C 431pF + Etapa de orden 2 =

    R 10 C 0.309C 98pFR 10C 0.421

    C 134pFR 10

    /= = =1

    ! ( * (   /1 = = =11   ! ( * (1 1= = =2 2

    ! ( * (1 1 = = =1 1   ! ( * (51   = = =

    ! ( * (15

     

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    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 28 de 28 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE ALTA (I)

    1.- Calcular el orden. 2.- Construir un filtro HP normalizado a una c! de 1 rad/s. 3.- Escalar a la c!  deseada.--------------------------------------------------------------

    2.- Filtros Activos HP basados en la estructura VCVS Normalizados a K=1 y  c 1rad/s!   = . Los condensadores son de

    1F, iC 1F= , y las resistencias se calculan segúntab

    i iR 1/ C= , dondetabiC  son los valores que aparecen tabulados en la tabla. 

    K = 1 (observar que R4=0) y orden n=2

    K = 1 y orden n=3

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 29 de 29 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE ALTA (II)

    3.- Se escala a la frecuencia !c y valor de C deseado, modificando el valor de las resistencias según i tabc i

    1R

    C C=

    ! ( ( 

    ! Función de transferencia de segundo orden con característica paso de alta es: ( ) 22 2n n

    KsH ss 2 s

    =+   $!   + !

    , donde, al igual que en el

    caso anterior, Factor de Amortiguamiento$ % , fija la forma del filtro.

    Para las estructuras VCVS HP anteriores, para las cuales c 1rad/s!   =   , C 1F=   ytab

    i iR 1/ C valor conocido=   % , lacondición para modificar la c!  del filtro HP, sin variar su forma, es decir manteniendo $  constante es:

    ( )   ( )tabi c i c c i i c i i c i cR C R C C 1F y 1rad /s R R C R R / C 1/ C C( ( !   =   ( ( !   !   =   !   =   !   =   ( ( !   !   =   ( !   =   ( ( !  

    Ejemplo 8.-: Diseñar un filtro activo HP Butterworth de orden 2 con fc= 100 Hz, utilizando condensadores de 1µF.

    ( )   ( )   ( )

    ( )   ( )   ( )

    1 tab 6c 1

    2 tab 6

    c 2

    1 1R 1125.56

    C C 200 1 10 1.414

    1 1R 2250.81

    C C 200 1 10 0.7071

    )

    )

    = = =   -! ( (   * ( ( (

    = = =   -

    ! ( (   * ( ( (

     

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 30 de 30 

    FILTROS PASO-BANDA: consideraciones generales

    Fnción de transferencia de 2º orden: ( ) o o2 22 2o o

    o

    K s K sH s =

    s Bss sQ

    ! !=

    !   + + !

    + +!

     donde:.

    o o0

    f B = BW en rad/seg ; Q = Factor de Calidad Q ; Frecuencia Central

    BW(rad/s ) BW(Hz)

    !%   = =   ! %  

    Ganancia en la frecuencia central !o: ( ) 0 0 0 00 2 20 0 0

    K j KH jw K K Q

     j B B B

    ( ! ( ! ( ! != = =   (   =   (

    )!   +   ! (   + ! 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS PASO DE BANDA

    1.- Filtro BP a partir de la conexión en serie de un filtro HP y otro LP:

    2.- Filtro BP a partir de estructuras básicas VCVS (para Q < 4) y Bicuadrática (Q 00000000 hasta 100).

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    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 31 de 31 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS BP: a partir de estructura VCVS (para Q < 4) (I)

    ( ) 0 o2 2i o

    3

    20 0

    1

    V K sSe puede demostrar (*) que H s ,

    V s BsR1 R 2

    con: K = ; B = 2 2 K yR C2

    != =

    + + !+

    ) *) ( ! !   =- .

     

    El factor de calidad de este filtro:

    o 0

    3 30

    2 2

    1 2Q

    R RB 2 2 K 1 3

    R R2 2 2

    ! != = = =

    ) *) ( !   +   )- .)

     

    Si se desean 3 3

    2 2

    R RQ 3 0 3

    R R00   !   ) .   !   1   ! el filtro

    es muy sensible al valor de estas dos resistencias ! esta estructura sólo se aplica para Q < 4.

    (*): ( )   ( )

    0 x x 0 in 0 x x 0in x x

    1 1 C C 1 C 0

    x 0 0 x 0 0 1

    C 1 C 1

    V V V a V V V 2V 2V a VV V V

    R R Z Z R Z V s  H sV a V a V V a V a V V (s)

    Z R Z R

    ) ) (   +   ) ) ()   0 /+ = + =1 1

    1 1.. ..   =3 2) ( ( ) ( (1 1= =

    1 14 5

     

    Vx! !#$

    a

     R R

     R

    V  32

    2

    0 +(

     

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 32 de 32 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS BP: a partir de estructura VCVS (para Q < 4) (II)

    Ejemplo 9.-: Diseñar un filtro activo paso de banda con f 0 = 10Khz y ancho de banda (BW) de 5 Khz.

    0 2 ·10KQ 2 4 EstructuraVCVSB 2 ·5K

    !   *= = = <   .

    3 30

    1 4 2 1B 2 2 K 2 ·5·10 2 2 K 2 ·10·10 2 2 K K 2.328

    2 2

    )) * ) * ) *=   ) ( ! + *   =   ) ( * +   =   )   !   = =- . - . - .  

    3

    32

    2

    R1 RRK 2.328 2.29

    R2

    += =   !   = .

    Podemos tomar R2=1K R3=2.29K

    0 11 0

    2 2  R

    R C C!   =   !   =

    !  .

    Si C = 1nF $  1 3 92

    R 22.5K2 10·10 1 10)

    = =   -* ( ( (

     

    Ganancia en frecuencia central: ( )0H j K·Q 2.323·2 4.656!   = = =  

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 33 de 33 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS BP: a partir de estructura Bicuadrática (Q00000000 hasta 100) (I)

    ( ) 0 o2 2i o

    3 4 20 2

    1 2 3 4

    Se puede demostrar (*) que:

    V K sH s ,

    V s Bs

    R R 1 1con: K = ; B = y

    R R C R R C

    != =

    + + !

    !   =

     

    (*):

    C0

    0 4 i

    2 C 3 1

    ZV

    V R V

    R // Z R R

    )

    = +   2 

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 34 de 34 

    DISEÑO DE FILTROS ACTIVOS BP: a partir de estructura Bicuadrática (Q00000000 hasta 100) (II)

    Ejemplo 10.-: Diseñar un filtro activo paso de banda de orden 2, centrado en 1Khz y de ancho de banda 100Hz.

    BW = 100Hz ; f 0 = 1KHz !  0f  1000

    Q 10 4 BicuadráticaBW 100

    = = = >   !  !  23 4 0 21 2 3 4

    R R 1 1K ; B ;

    R R C R R C= =   !   =  

    Por comodidad podemos hace: . 23 4 1 0 02 21 1

    1 1K 1 R R R

    R C R C=   !   = =   .. !   =   ! !   =  

    01 1

    2 2

    22 1

    1

    1 12 ·f 2 ·1000

    R C R C 

    1 12 ·BW 2 ·100R C R C

    R  10 R 10·R

    R

    0 0*   =   *   =1 1

    1 1+ +3 3

    1 1*   =   *   =1 14 4

    +   =   !   =

     

    Tomando: 3 4 1 2R R R 1K R 10K= = =   - ..   =   -  

    0 4 41

    1 1 1

      2 ·100 C 159.15nFR C 1·10 ·C 1·10 ·2 ·100!   =   + *   =  !

      = =*  

    0Ganancia en K·Q 1·10 10!   = = =  

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

    - Departamento de Ingeniería Electrónica, Sistemas Informáticos y Automática  Página 35 de 35 

    SENSIBILIDAD

    Para un parámetro P, su sensibilidad normalizada a un factor F, se define como:

    ( )( )

    PF

    dP d ln PPSdF d ln F

    F

    = =  

    ! La sensibilidad muestra cómo le afecta a una propiedad del sistema la variación de un determinado parámetro.

    Por ejemplo, si la sensibilidad de la frecuencia de corte de un filtro respecto a las variaciones de una resistencia R 1 

    es -1/2,

    ( )( )

    c

    1

    cc c

    R11

    1

    dd ln 1S

    dRd ln R 2R

    !!!   !

    = = = )  

    ! Significa que si la resistencia R1 crece, por ejemplo, un 10% de su valor, la frecuencia de corte !c  del filtro

    decrecerá un 5% de su valor.

    !  Significa que si la resistencia R1 tiene, por ejemplo, derivas de6100 10 / º C( , ello provoca derivas en la

    frecuencia de corte !c de650 10 / ºC( , y que cuando R1 aumenta !c disminuye y viceversa.

  • 8/16/2019 Filtros TEA

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    Filtros Activos y Pasivos . TECNOLOGÍA ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA.

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    FILTROS DE CAPACIDADES CONMUTADAS

    ! Los filtros de capacidades conmutadas (SC, switched capacitor) son una clase particular de filtros activos que noemplean resistencias, sino solamente A.O., condensadores e interruptores (transistores), por lo que están

    especialmente indicados para la integración monolítica (las resistencias ocupan mucho espacio en los C.I.).

    Veamos como ejemplo la célula integradorabásica y su equivalente analógico:

    31  y 32  son las señales de control de losinterruptores gobernadas por una señal de reloj.Esta señal de reloj conmuta alternativamentelos dos interruptores de modo que si el periodo

    es T=1/f r  (f r % frecuencia de la señal de reloj) la corriente de entrada queda:Im=Q/T=Vi·C/T=Vi·C·f r.. Por tanto:Vi=Im·(C·f r)

    -1=Im·Req ; con Req=(C·f r)-1. Obviamente f r debe tener un valor alto.

    VENTAJAS:

    • Reducido tamaño.

    • Alta precisión (bajas derivas)

    • Estabilidad

    • Fácil ajuste (mediante f r)• Reducido coste.

    INCONVENIENTES:

    • Útiles sólo a bajas frecuencias (200Khz) debido ala aparición de interferencias y ruidos. 

    • Bajo rango dinámico. 

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