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Descontos

• Conceito: a chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual.

Descontos

• Fórmula: D = FV – PV

• Onde:

• D = valor monetário do desconto

• FV = Valor Futuro (Valor de Face)

• PV = Valor Presente (Valor creditado ou pago ao seu titular)

Descontos

• O critério mais utilizado pelo mercado é o chamado desconto simples, que envolve cálculos lineares, com um detalhe: o taxa no período incide sobre o valor futuro e não sobre o valor presente (como são as demais operações)

Descontos

• Conhecido no mercado financeiro como desconto bancário ou comercial, o desconto simples é obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:

Descontos

• D = FV x i x n

• Onde:

• D = Valor do Desconto ($)

• FV = Valor Futuro ou de Face

• i = taxa de desconto

• n = o prazo

Descontos

• Para se obter o chamado valor descontado (ou valor presente), basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:

• PV = FV - D

Descontos

• Assim, temos as duas fórmulas básicas:

• D = FV x i x n

• PV = FV - D

Descontos

• Exemplos:

• 1- Qual o valor do desconto simples de um título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?

• Dados:

• FV = 2.000,00

• n = 90 dias = 3 meses

• i = 2,5% ao mês

Descontos

• D = FV x i x n

• D = 2.000 x 0,025 x 3

• D = 150,00

Descontos

Cálculo do valor do desconto simples para séries de títulos de mesmo valor:

Fórmulas:

PVt = FV x N - Dt

Dt = FV x N x i x (t1 + t2)/2

Descontos

• Onde:

• Dt = valor do desconto total

• N = número de títulos

• i = taxa de juros

• t1 + t2 = prazo médio dos títulos

2

Descontos

• Exemplo: Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.

Descontos

• Dados:

• FV = 1.680,00

• N = 12

• t1 = 1

• tn = 12

• Pt = ?

• i = 2,5%

Descontos

• Solução:

• Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x (1 + 12)/2

• Dt = 3.276,00

• Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00

• Pt = 16.884,00

Descontos

• Taxa Efetiva de Desconto (ie)

• É aquela que, como o próprio nome diz, remunera efetivamente uma operação de desconto.

• Há uma mudança de enfoque, veja:

• A loja de eletrodomésticos, ao permitir que seus clientes paguem 30 dias após a compra, está realidade, abdicando de receber $ 900,00, hoje, para receber $ 1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará com isso?

Descontos

• O rendimento será de $ 100,00 sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de remuneração ou taxa efetiva será:

• Ie = 100/900 x 100 = 11,11%.

Descontos

• Assim podemos dizer:

• A taxa nominal de desconto (id) incide sobre o valor nominal do título. Já a taxa efetiva de desconto (ie) é aplicada sobre o valor líquido da operação.

Descontos

• ie = id x 100

100 – id

Onde:

ie = taxa efetiva de desconto

id = taxa nominal de desconto

Juros Compostos

• No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial rende juros, mas eles são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados.

Juros Compostos

• PV = Capital inicial

• n = Números de períodos

• FV = Montante no regime de juros compostos

• No regime de juros compostos, a taxa de juros (i) incide sobre o montante (PV+J) do período anterior. Portanto, difere do regime de juros simples, em que a incidência é sempre sobre o capital inicial (PV).

Juros Compostos

• Exemplo 1: Para um capital de $ 100.000,00, aplicado à taxa de 10% ao mês, em juros compostos, por 3 meses, teríamos:

Juros Compostos

n PV J juros acumulados Montante (PV+J)

10%

0 100.000 0 0 100.000

1 100.000 10.000 10.000 110.000

2 110.000 11.000 21.000 121.000

3 121.000 12.100 33.100 133.100

Juros Compostos

• Observe que os juros são cobrados a cada período de capitalização que, neste caso, é mensal. No período n=0, o capital ainda não rendeu juros, pois é nesse momento que a aplicação se inicia. A remuneração (juros) de cada período é obtida pela multiplicação do montante do período anterior pela taxa de juros.

Juros Compostos

• A) Primeiro período:

• Juros: J1 = PV x i

100

J1 = 100.000 x 10/100 = 10.000

Montante: FV1 = PV + PV x i 100

FV1 = PV ( 1 + i )

100

Montante do primeiro período

Juros Compostos

• B) Segundo Período

• Juros: J2 = FV1 x i

100

J2 = 110.000 x 10/100 = 11.000

Verifique que o juro aumentou em 1.000, que corresponde à parcela incidente sobre os juros do período anterior (10.000 x 10/100). Por isso os juros compostos são chamados de juros sobre juros.

Juros Compostos

• Montante: FV2 = FV1 + J2

• FV2 = FV1 + FV1 x i 100

• FV2 = FV1 ( 1 + i ) 100

• FV2 = PV ( 1 + i ) x ( 1 + i ) 100 100

• FV2 = PV ( 1 + i )2 Montante 2.º período

100

Juros Compostos

• C) Terceiro Período:

• Juros: J3 = FV2 x i

100

J3 = 121.000 x 10/100 = 12.100

• Montante: FV3 = FV2 + J3

• FV3 = FV2 + FV2 x i 100

• FV3 = PV ( 1 + i ) 2 x ( 1 + i ) 100 100

• FV3 = PV ( 1 + i )3 Montante 3.º período

100

Juros Compostos

• Portanto, generalizando a fórmula para “n” períodos, temos:

• FVn = PV ( 1 + i )n

100

ESTA É A FÓRMULA GERAL DE JUROS COMPOSTOS.

Juros Compostos

• Observação:

• A unidade de tempo utilizada para o período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em:

• Dia – taxa em dia (i% a.d.);

• Mês – taxa em mês (i% a.m.);

• Ano – taxa em ano (i% a.a.)

Juros Compostos

• Outro exemplo: Uma aplicação de $ 50.000,00, pelo prazo de 3 meses, a uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.), capitalizável mensalmente, quanto renderá?

• FVn = PV ( 1 + i )n

100

Juros Compostos

• FV = 50.000 ( 1,05 )3

• FV = 57.881,25

• Esse é montante, os juros (rendimentos) são:

• J = MONTANTE – CAPITAL INICIAL

• J = 57.881,25 – 50.000,00

• J = 7.881,25

• Veja o que ocorreu em cada período no quadro a seguir:

Juros Compostos

Período Capital Taxa Juros do Período Montante

n PV i J FV

1 50.000,00 5% 2.500,00 52.500,00

2 52.500,00 5% 2.625,00 55.125,00

3 55.125,00 5% 2.756,25 57.881,25