FIS 26

Mecânica II

* https://def.fe.up.pt/dinamica/movimento_curvilineo.html** http://www.met.reading.ac.uk/pplato2/h-flap/phys5_3.html*** http://www.esquerda.net/artigo/como-explicar-ondas-gravitacionais-tua-avo/41226**** https://pt.wikipedia.org/wiki/Gravidade***** http://www.cim.mcgill.ca/~michalsk/tip.html

* **

*** **** *****

Apresentação do curso- EmentaDinâmica do corpo rígido (Pedro Pompeia)

Movimento oscilatório (Ronaldo Pelá)

Movimento ondulatório (Rene Spada)

Gravitação (Bogos Sismanoglu)

Introdução à Mecânica Analítica (Bogos Sismanoglu)

Bibliografia:

– Hibbeler, R. C., Mecânica para Engenheiros, Vol 2, 12ª ed., Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2005;

– Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vols 1 e 2, 2ª ed., Edgard Blücher, São Paulo, 1993;

– Arya, A. P., Introduction to Classical Mechanics, 2ª ed., Prentice Hall, New York, 1997.

FIS 26

Mecânica II

Aula 1: Revisão de Mecânica I.

Corpo rígido - movimento plano.

Revisão de Mecânica ISistema de (várias) partículasConsidere um sistema composto por n partículas distribuídas no espaço.

Massa total

Vetor posição do Centro de Massa

y

z

x

CM

O

Distribuiçãolinear

Distribuiçãosuperficial

Distribuiçãovolumétrica

Revisão de Mecânica ISistema de (várias) partículasPara sistemas com distribuição contínua de massa:

Revisão de Mecânica ISistema de (várias) partículasO momento linear total do sistema, dado como a soma dos momentos de cada partícula, pode ser expresso como o momento de um única partícula contendo toda a massa do sistema, com posição dada pelo CM.

A segunda lei de Newton mostra que o movimento do CM comporta-se como se toda a massa do sistema estivesse concentrada neste ponto e como se todas as forças dos sistema estivessem atuando nele.

Momento linear total Segunda lei de Newton

Teorema do impulso e momento

Revisão de Mecânica ISistema de (várias) partículasA energia cinética total do sistema é dada pela soma da energia cinética do centro de massa com as energias cinéticas relativas a este. O teorema do trabalho e energia (para forças independentes do tempo) mostra que a variação da energia cinética do sistema entre os instantes t

2 e t

1 é igual à

soma dos trabalhos da forças internas e externas.

Teorema do trabalho e energiaEnergia cinética

Energia potencial total

Para forças conservativas (internas e externas) a energia potencial total é dada pela soma das energias cinéticas das forças internas e externas.

Conservação da energia total

Revisão de Mecânica ISistema de (várias) partículasO momento angular total do sistema em relação a um ponto O é dada pela soma dos momentos angulares de todas as partículas e mostra-se que ele é igual à soma dos momentos angulares da partículas em relação ao centro de massa com o momento angular do centro de massa em relação a O. O torque resultante/total do sistema em relação a um ponto O é igual à variação temporal do momento angular total, sendo válido o teorema do impulso e momento angulares, onde o impulso angular de um torque é definido pela sua integral temporal em um dado intervalo.

Teorema do impulso e momento angulares

Torque resultanteMomento angular

Impulso angular

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Aceleração

Velocidade

Posição

Revisão de Mecânica IReferenciais não inerciaisÉ possível relacionar as quantidades cinemáticas em diferentes referenciais. O movimento relativo entre referenciais estabelece relações entre quantidades cinemáticas absolutas e relativas:

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Revisão de Mecânica IReferenciais não inerciaisO movimento mais geral que se pode considerar é entre referenciais não inerciais em rotação e translação: considere que há uma rotação em torno de um ponto A e que A translada com relação a um referencial parado. Para descrever corretamente o movimento do ponto de vista do referencial não inercial é preciso considerar as forças de inércia (“fictícias”).

Forças de interação

Força inercial de translação

Força de Euler

Força centrífuga

Força de Coriolis

Forças inerciais

Corpo rígido- Roteiro

O que é um corpo rígido?

Movimentos do corpo rígidoTranslação

Rotação em torno de um eixo

Movimento geral planar

Movimento geral tridimensional

O que é um corpo rígido?Definições:

– “Um corpo rígido é definido como um sistema constituído por um grande número de massas puntuais, chamadas partículas, tal que as distâncias entre os pares de massas puntuais permanece constante, mesmo quando o corpo está em movimento ou sob a ação de forças exernas.”¹

Corpo rígido

1 – Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., 1990.

2 – Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, 1993.

3 – Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

– “Um corpo é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável.”²

– “Definimos um corpo rígido como uma coleção de partículas cujas distâncias relativas são vinculadas a permanecer absolutamente fixas.”³

Corpo rígidoO que é um corpo rígido?Observações:

– “ nenhum corpo de qualquer tamanho físico é estritamente rígido; ele se deforma sob a ação de forças aplicadas.”¹

– “Nenhum corpo é perfeitamente rígido: uma barra de aço se deforma sob a ação de forças suficientemente intensas (...)”²

- (…) as partículas compondo todo corpo (os átomos) estão sempre sujeitas a algum movimento relativo (…), uma pancada (em uma barra) seria sentida instantaneamente na extremidade oposta. Isso corresponde a uma transmissão de sinal com velocidade infinita – uma situação que, pela teoria relativista, sabemos ser impossível” ³

1 – Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., 1990.

2 – Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, 1993.

3 – Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

Corpo rígidoO que é um corpo rígido?Validade:

– “Todavia, o conceito de um corpo rígido idealizado é útil na descrição do movimento, e os desvios resultantes não são tão significativos.”¹

–“as deformações são em geral suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas em primeira aproximação.”²

– “podemos seguramente desprezar as mudanças em tamanho e forma causadas por tais deformações e obter equações de movimento válidas com um alto grau de exatidão”³.

1 – Arya, A.P., Introduction to Classical Mechanics, 1ª ed. Allyn and Bacon, 1ª.ed., 1990.

2 – Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica, Vol. 1, 2ª.ed., Edgard Blücher, 1993.

3 – Marion, J. B., Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4ª.ed., Saunders College Pub.,1995.

Corpo rígidoMovimentos do corpo rígido

Corpo rígidoMovimentos do corpo rígidoTranslação:

– trajetória de translação retilínea¹

– trajetória de translação curvilínea¹.

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígidoMovimentos do corpo rígidoTranslação:

– trajetória de translação retilínea¹

– trajetória de translação curvilínea¹.

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Rotação:

– rotação em torno de um eixo¹

Corpo rígidoMovimentos do corpo rígidoTranslação:

– trajetória de translação retilínea¹

– trajetória de translação curvilínea¹.

Rotação:

– rotação em torno de um eixo¹

– rotação em torno de um ponto fixo²

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

2 – Beer et al- Vector Mechanics Engineers Statics Dynamics 9ª Ed. McGraw Hill

Corpo rígidoMovimentos do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Movimento geral planar:

– translação + rotação:

Movimento geral:

– translação + rotações (em torno de 3 eixos):

Corpo rígidoMovimentos planares do corpo rígido

Movimento em que “todas as partículas de um corpo rígido movem-se ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo”¹.

Translação:

– trajetória de translação retilínea¹

– trajetória de translação curvilínea¹.

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Rotação:

– rotação em torno de um eixo¹

Movimento geral:

– translação + rotação:

Corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Movimentos planares do corpo rígido

Identifique os tipos de movimentos dos objetos abaixo:

Pistão

Barra 3Barra 2

Barra 1Disco

– translação retilínea

– translação curvilínea

– rotação em torno de um eixo

– translação + rotação:

Corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Movimentos planares do corpo rígido

Identifique os tipos de movimentos dos objetos abaixo:

– translação retilínea

– translação curvilínea

– rotação em torno de um eixo

– translação + rotação:

Corpo rígido

Translação:

– para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo – possui coordenadas x´, y´, z´: x//x´, y//y´, z//z´, para todo t.

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Movimentos planares do corpo rígido

Corpo rígido

Translação:

– para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo – possui coordenadas x´, y´, z´: x//x´, y//y´, z//z´, para todo t.

Vetor de posição

Posição de B

Posição de A

Posição de B em relação a A

Movimentos planares do corpo rígido

Corpo rígido

Translação:

– para descrever o movimento do corpo rígido é interessante, em muitos casos, utilizar dois sistemas referenciais. Um deles é um sistema fixo, com coordenadas x, y, z, e outro apenas translada com relação ao sistema fixo – possui coordenadas x´, y´, z´: x//x´, y//y´, z//z´, para todo t.

Para ser corpo rígido, para todos t e t

0 :

Movimentos planares do corpo rígido

Vetor de posição

Corpo rígido

Translação:

Para ser translação :

Para ser corpo rígido, para todos t e t

0 :

Vetor de posição

Movimentos planares do corpo rígido

Corpo rígido

Translação:

Vetor de posição

Velocidade

Aceleração

Movimentos planares do corpo rígido

Corpo rígido

Translação:

Vetor de posição

Velocidade

Aceleração

Na translação todos os pontos possuem a mesma velocidade e a mesma aceleração.

Movimentos planares do corpo rígido

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

→ Deslocamento do ponto P

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Módulos de vetores

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Define-se o vetor

Perpendicular ao plano de rotação

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Define-se o vetor

Perpendicular ao plano de rotação

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

“Todas as partículas do corpo, exceto aquelas que encontram-se sobre o eixo, movem-se ao longo de trajetórias circulares¹”

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Rotações infinitesimais são comutativas, diferentemente das rotações finitas.

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

Define-se a velocidade angular de rotação como sendo um vetor. A partir de sua definição, pode-se obter a velocidade (linear).

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Velocidade

Velocidade angular

Corpo rígidoMovimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Aceleração angular

Rotação em torno de um eixo:

Por se tratar de um movimento planar ao redor de um eixo, o eixo não pode mudar de direção.

Corpo rígidoMovimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Aceleração angular

Rotação em torno de um eixo:

Exercício: Partindo das expressões abaixo, mostre como a aceleração é expressa em termos de

Velocidade

Corpo rígidoMovimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Aceleração

Rotação em torno de um eixo:

Exercício: Partindo das expressões abaixo, mostre como a aceleração é expressa em termos de

Aceleração angular Velocidade

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Rotação em torno de um eixo:

Exercício: A rotação do braço robótico ocorre devido ao movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se este movimento induz a engrenagem D a rotacionar no sentido horário a 5 rad/s, determine a magnitude da velocidade e aceleração da parte C, segura pela pinça.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Movimento geral planar:

O movimento geral planar pode ser entendido como a superposição de um movimento de translação com um movimento de rotação ao redor de um eixo.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Movimento geral planar:

O movimento geral planar pode ser entendido como a superposição de um movimento de translação com um movimento de rotação ao redor de um eixo. É conveniente usar dois sistemas de coordenadas.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Movimento geral planar:

O ponto A pode ser um ponto qualquer e é chamado “ponto de base”. É conveniente escolher A de forma que sua trajetória seja conhecida. A distância de B a A é fixa.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Movimento geral planar:

O ponto A pode ser um ponto qualquer e é chamado “ponto de base”. É conveniente escolher A de forma que sua trajetória seja conhecida. A distância de B a A é fixa.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Posição de B em relação a (x,y)

Posição de A (“ponto de base”) em relação a (x,y) Posição de B em relação a A (x’,y’)

Corpo rígido

Movimento geral planar:

O deslocamento de B pode ser entendido como uma translação de drA,

seguida de uma rotação de drB/A

em torno da posição final de A.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Movimento geral planar:

O deslocamento de B pode ser entendido como uma translação de drA,

seguida de uma rotação de drB/A

em torno da posição final de A.

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

Corpo rígido

Movimento geral planar:

Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um ponto B do corpo rígido são:

Movimentos planares do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

e são paralelos.

Corpo rígido

Movimento geral:

Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um ponto B do corpo rígido são:

Movimentos tridimensional do corpo rígido

1 – Hibbeler, R.C., Mecânica para Engenheiros, Vols 1 e 2, Pearson Education, 12ª.ed.

e NÃO são paralelos.