. "... **k^-*~ —

Çfwijiwatujr-CL

Mecânica e mecân ica estat íst ica

Tem-se em mãos uma certa quantidade de gás e pretende-se estudá-la. Sabendo-se que o gás se compõe de moléculas e que elas estão em contínuo movimento e são razoavelmente independentes umas das outras, uma boa ideia para estudar essa massa de gás seria descrever o movimento de cada molécula. Como mesmo uma pequena massa de gás contém trilhões e trilhões de moléculas, essa forma de atacar o problema é claramente inviável. O recurso é aplicar a estatística e analisar o comportamento médio das moléculas, o que se convencionou chamar de mecânica estatística.

Variáveis de estado.

As variáveis de estado são grandezas macroscópicas de interesse para o estudo das propriedades de um gás. As mais importantes são:

• Pressão

A pressão é definida como a relação entre a força média exercida pelas moléculas de um fluido sobre o recipiente que o contém por unidade de área da parede do recipiente, ou

p - f - a ( . .d

A pressão é medida em(N/m*] unidade que foi batizada como pascal (Pa). A pressão atmosférica padrão mede 101325 Pa.

• Volume. O volume é o espaço ocupado por polo gás a uma determinada pressão. É medido em

m 3 , embora possa também ser adotado o litro ( l ) , tomado como 10' 3m\

• Quantidade. A quantidade de gás pode ser expressa em massa ou em número de moles. O número de

moles é a relação entre a massa do gás m expressa em g e a massa molecular M do gás, ou

Ma3 2

m n = —

M (1-2)

O número de moles é adimensional. Em 1 807 Amedeo Avogadro estabeleceu que, para qualquer gás, números idênticos de moles ocupavam, à mesma pressão, o mesmo volume. Em sua homenagem, o número de moléculas existentes em um mol de gás ou de qualquer substância (que é á quantidade equivalente a M g da substância) é o número de Avogadro N A , correspondente a 6 ,022x10" moléculas/mol.

• Temperatura

A temperatura é uma medida da energia cinética média das moléculas do gás. É expressa em kelvin (K).

Exemplo 1.1 • -Achar o número de moles e o número de moléculas contidos em 0,14 kg de água. A molécula de água tem como fórmula HiO, de forma que contém um átomo de oxigénio para dois de hidrogénio. Sendo aproximadamente 1 a massa atómica do hidrogénio e 16 a do oxigénio, um mol de água tem M = 2 x 1 + 1 x 16 = 18 g Logo, o número de moles em 0,14 kg de água é

m 140 ' n = — = —— = 7,7» omv°à^

Aí lis Como um mol de uma substância contém um número de Avogadro de moléculas, o número total de moléculas é _̂ -»-fi7*z - 6,*3. •.• j õ

N = nNA = 4,68 x 10 J 4 c^sVv, ' S£Sf9£ I ww Ov (TO |

EXemplo 1.2

Qual a força total exercida por 2 atm de gás contidas em um recipiente ^iHndriçp1 de 0,44 m de diâmetro e 0,35 m de altura sobre suas paredes? Duas atmosferas equivalem a 2,03x1o5 N/m2. A força total sobre as paredes do recipiente é o produto dessa pressão pela área das paredes. A parede lateral tem área AL = 2nrh = 2K x 0,22 x 0,35 = 0,484 ml

| e a área das bases é

AB = 2rrrr2 = 2K x 0,22 2 = 0,304 m2

| Logo, a força total pedida é

r; = p(AL + AB ) = 2,03 x 10 3 x 0,788 = 1,6 x 10 s N L

/ f&CSJ

A 1 6

equilíbrio térmico e lei zero da termodinâmica

0 estado de equilíbrio termodinâmico existe quando todas as variáveis de estado do sistema permanecem constantes no tempo e uniformes em todo o sistema.

Como exemplo de equilíbrio térmico, serão analisados dois sistemas separados por uma parede adiabática (Fig. 1.1a). Como essa parede não permite qualquer contacto térmico, ambos os sistemas permanecem em equilíbrio. Substituindo-se a parede adiabática por outra diatérmica, haverá contacto térmico (Fig. 1.1b). Com isso, as variáveis de estado dos dois sistemas sofrerão alterações, até fixar-se Fi9- 1-1 - Sistemas liga-

1 . , i i i • . dos (a) P°r uma parede em valores constantes. Nesse momento, cada um dos sistemas estará adiabática e (b) por uma

em equilíbrio térmico e os dois estarão em equilíbrio térmico entre si. P a r e £ , e diatérmica.

Caso um terceiro sistema seja posto em contacto, por meio - i de paredes diatérmicas, com dois sistemas separados por uma

parede adiabática, as variáveis de estado dos três sistemas vão sofrer alterações e, com o tempo, estabilizar-se (Fig. 1.2). O terceiro sistema estará em equilíbrio térmico tanto com o primeiro quanto com o segundo. Nesse momento, sendo o terceiro sistema

:ig. 1.2 - A lei zero da removido e os dois primeiros postos em contacto através de uma ermodinSmica. parede diatérmica, nenhuma alteração terá lugar. Logo, os dois

primeiros sistemas, por estarem em equilíbrio térmico com um terceiro, estarão em quilíbrio térmico entre si. Essa é a lei zero da termodinâmica.

Ib)

\a da temperatura

O registro da temperatura é feito por meio de termómetros. O funcionamento do vtírmômetro é baseado nas alterações sofridas por um material em função da variação da temperatura. A variação mais facilmente registrada é a expansão térmica (que será vista em uetalhe no fim do capítulo). Outros processos envolvem alterações na resistividade (base de rúncionamento dos termopares), mudança de cor (empregada nos pirómetros) e variações ue pressão (termómetros a gás). ' '

A variação da pressão de gases confinados com a temperatura foi equacionada no atículo XVIII por Charles e Gay-Lussac. Em princípio, quanto maior for a temperatura, maior «a pressão do gás mantido a volume constante. Charles e Gay-Lussac estabeleceram que irdvia, dentro de certos limites, uma relação linear entre temperatura e pressão. Com as b.iiclades de hoje, estando um gás a uma pressão p, a uma temperatura T„ ele terá uma cessão pj a uma temperatura T2 segundo

T, i _ Pi 7-,

0-3)

m a

V t f K W H '

Essa equação é aplicaria ao cálculo de temperaturas com o termómetro a gás a volume constante (Fig. 1.3). Nesse termómetro o aumento da pressão do gás contido no bulbo com a temperatura é registrado pela variação do comprimento da coluna de mercúrio.

O termómetro a gás permite dessa forma o cálculo da variação entre temperaturas. Mas que valores devem ser estabelecidos para essas temperaturas? Embora Galileu tenha começado a atacar esse problema no século XV; i , foi Daniel Gabriel Fahrenheit, o inventor dos termómetros de álcool e de

mercúrio, quem criou a primeira escala prática de temperatura, F i g 1 3 _ U m termómetro a no início do século XVIII. Fahrenheit estabeleceu inicialmente o a volume constante.

valor zero para uma mistura de gelo, água e sal amoniacal em partes iguais, uma mistura que tinha a reputação de ser a mais fria dentre as que continham água. Para a temperatura do corpo humano, um dos "pontos notáveis de temperatura" estabelecidos naquela época, ele atribuiu o valor de 90 graus. Com instrumentos mais acurados, e tendo percebido que o ponto de fusão do gelo e o de vaporização da água eram mais confiáveis, ele findou por adotar o valor de 32 graus para o primeiro e 212 graus para o segundo (visto ser esses os valores aproximados indicados pelo seu termómetro nesses dois pontos).

Em 1742 Anders Celsius resolveu adotar para a graduação dos termómetros os mesmos pontos escolhidos por Fahrenheit, tomando 0 para o de vaporização e 100 para o de congelamento da água. Oito anos mais tarde, Martin Strõmer inverteu esses números. Por ter 100 divisões entre os pontos usados para sua calibração, essa escala foi chamada de centígrada até 1948, quando foi oficialmente -b.^tizada de escala Celsius, tendo como símbolo °C.

Conveniente como possa parecer, a escala Celsius é imprópria para o termómetro a gás, pois temperaturas negativas implicariam em pressões negativas, que obviamente não existem, sem falar ;-.o caso da temperatura nula. Era fundamental a introdução de uma escala "absoluta" de temperatura. Já se sabia, desde meados do século XIX, que se a reta correlacionando pressão e temperatura de um gás fosse Fl3-1 Determinação do zero absoluto.

extrapolada até o ponto em que a pressão se anulasse (Fig. 1.4) essa temperatura seria equivalente a -273,1 5°C para qualquer gás (a justificativa para a extrapolação era o fato de que èm determinada temperatura o gás iria liquefazer-se, de maneira que temperaturas mais baixas poderiam existir, mas seria impossível registrá-las). Essa temperatura foi posteriormente tomada como a origem da escala absoluta, mais tarde rebatizada como escala Kelvin (em homenagem a Will iam Thomson, Barão Kelvin de Largs).

A escala absoluta permite a determinação precisa de qualquer temperatura com o termómetro a gás, sendo conhecida a pressão do gás a uma temperatura padrão. Em laboratório, uma temperatura constante de fácil obtenção é a do ponto triplo da água. Nessa

273.15-C

S

temperatura, 273,16 K a 610 Pa, gelo, água e vapor d'água estão em equilíbrio. Assim, construindo-se um termómetro de gás a volume constante e medindo-se a pressão p} no ponlo triplo, a temperatura T a qualquer pressão p será

T = 273,16-*-/: P3

(1.4)

Exemplo 1.3

Determinar a temperatura de ebulição do N2 , sabendo-se que um termómetro de gás indica 280 Pa nessa temperatura e 1020 Pa no ponto triplo. Usa-se diretamente a equação 1.4 e acha-se

280 T = 273,16—^— = 77,1/íT 1020 3£3£3f 0v Ov ( ro

Termómetros de gás dão indicações '• c

diferentes para uma mesma temperatura se o 4 4 í ) l , gás for mudado ou, mantendo-se o gás, 445.5

alterar-se sua quantidade. A observação «s.o mostra, no entanto, que as leituras feitas com • , 4 4 > 5

termómetros de gases diferentes tendem ao 4 U ' V

mesmo resultado se o gás for muito rarefeito, ou seja se p ->• 0 (Fig. 1.5). Isso quer dizer que, para qualquer gás,a temperatura medida Fig. 1.5- Variação da leitura de termómetros de gás

pelo termómetro é dada exatamente por c o m a PressSo <a t™P™*™ •»«• * 444,rc).

".5 i.5 r>. Mm

T = 273,16 lim K (1.5)

Um gás nessas condições é dito ideal.

A expansão térmica.

Um dos aspectos mais interessantes de virtualmente todas as substâncias é o aumento de suas ' dimensões com a elevação da temperatura. Como os sólidos têm formas bem definidas, essa expansão é mais facilmente observada, e sua quantificação consequentemente mais simples.

A razão pela qual os sólidos aumentam de volume com a temperatura pode ser explicada por meio do diagrama da Fig. 1.6. Esse diagrama mostra a variação da energia potencial das moléculas ou átomos de um corpo em função da distância intermolecular (ou interatômica). A figura mostra uma curva que tem um ponto de energia mínima, correspondente a uma determinada distância r0 entre moléculas ou átomos. Distâncias menores ou maiores que esse valor levam a energias maiores, de forma que a tendência é

fazer com que, por meio das forças de repulsão ou de coesão, a distância intermolecular (ou interatômica) volte ao valor rn.

Caso haja uma elevação de temperatura, o que representa um aumento na energia interna do corpo, a distância intermolecular (ou interatômica) passa a oscilar entre dois pontos da curva definidos por essa nova energia potencial (a-b, a'-b', a"-b"). Pela assimetria da curva, o valor médio da distância intermolecular (ou interatômica) nessa nova energia é maior que r0 , o que conduz a uma expansão do material.

0

Fig. 1.6 - Variação da energia potencial em função da distância Interatômica (ou

Como um sólido, embora tenha volume, intermolecular).

duas dimensões pode ter uma ou duas dimensões tão preponderantes que as outras (ou outra) possam ser consideradas desprezíveis, a expansão de um sólido pode ter características lineares, superficiais ou volumétricas.

• A ^ M a c ã o l i n e a r Tomando-se um barra metálica

de pequeno diâmetro, sua expansão com a temperatura pode ser visualizada na direção longitudinal com um instrumento denominado pirómetro de quadrante (Fig. 1.7). No aparelho mostrado, a barra é ancorada no ponto B e toca num ponteiro pivotado em A. Uma chama é acesa • , , . . . . . , r Fig. 1.7- Um pirómetro de quadrante. sob a barra, sendo a alteração no seu comprimento visualizada no quadrante, que é graduado em unidades de comprimento. Tendo a barra originalmente um comprimento í.p , após sofrer um acréscimo de temperatura AT a barra passa a ter um comprimento L=L0+AL. Estudos mostraram que, dentro das faixas de temperaturas comumente encontradas,.o acréscimo relativo no .comprimento de um sólido é aproximadamente proporcional à elevação da temperatura. Assim, é possível escrever

^8»

(1.6)

onde cré uma constante'específica para cada substância, com unidades em K"\(ou "C" 1). Daí, chega-se à equação que descreve o comprimento final de uma barra sujeita a uma elevação de temperatura:

. 9 ^ m a

L = L0{l + aAT) "P5I Os valores de cr são determinados experimentalmente, de acordo com a equação

(1.7). Virtualmente todos os resultados encontrados se situam na faixa de IO" 6 a 10" s K'1, como mostra a Tabela 1.1, e são essencialmente constantes, para cada substância considerada, dentro de uma razoável faixa de temperaturas.

TABELA 1.1 - Coeficientes de expansão térmica de sólidos

Substância a , K1

Aço 1,1x1 O'5

Latão 1,9x10" 5

Alumínio 2,4x10" 5

Diamante 1,2x10" 6

Grafite 7,9x10" 6

Vidro comum 9x10" 6

Vidro pyrex 3,2x10" 6

Invar 1x10" 6

Gelo 5,1x10" 5

Exemplo 1.4

Uma ponte de aço tem 1 km de comprimento. Qual deve ser a sua expansão se a temperatura variar, de 30°C? Como o coeficiente de dilatação linear do aço é 1,1x10'5/°C, a variação do comprimento da ponte é dada por AL = LòaAT = 1000x 1,1 x 10"5 x 30 = 0,33 m Para evitar que a ponte sofra danos em sua estrutura, Juntas de dilatação são construídas a intervalos, o que permite a livre expansão do aço. 3£3£S£ <rv €rv (79

Muitos corpos têm . uma dimensão muito menor que as outras duas, de forma que a expansão térmica só é significativa em duas dimensões • • (Fig. 1.8). O equacionamento da expansão superficial é feito tomando fíg 1 8 _ D i l a t g ç S o s u p e r f i c i a l : u m a V 9 Z a q u e c W a j 8 m o e d a

por base expansões independentes nSocabe mais no anel.

ocorrendo em duas direções perpendiculares, por exemplo, x e y. Ghamando de L0x um comprimento medido à temperatura T na direção x e de Lny um comprimento medido nas mesmas condições na

F&CS3

direção y, a área definida por esses dois comprimentos à temperatura T é A^i^L^ Elevando-se a temperatura do corpo de AT, os novos comprimentos serão respectivamente L 0 x(1+aA7) e L0y (1+aAT), de forma que a nova área é

A = L0xL0y(l + aAT)2 =A0(\ 2aAT + a1 {AT)2 )= A0 (l + 2aAT) (1.8)

-10 onde o termo em 2 o grau foi eliminado porque a2 é usualmente menor que 10 Comparando-se a equação (1.8) com a equação (1.7), vê-si que as duas se tornam similares fazendo-se 2a=fi. Assim, toma-se o coeficiente de expans. o superficial de um corpo como o dobro do coeficiente linear.

(

• A dilatação volumétrica Raciocínio similar é empregado

no equacionamento da expansão volumétrica (Fig. 1.9). Encontra-se

V = V0(\+yAT) (1.9)

onde y=3 a é o coeficiente de expansão volumétrica do material.

Exemplo 1.5 -

Fig. 1.9 - Anel de s'Gravei \nde, para demonstração da expansão térmica volumétrl j .

Uma esfera de aço de 5,01 cm de diâmetro repousa sobre um anel de zinco de 5 cm de diâmetro, ambos a 0°C. A que temperatura a esfera passará pelo anel? Qmr-se achar em que temperatura o raio da esfera, cujo volume é

V = -nr3

3 e sofre dilatação volumétrica, se igualará ao do anel, de comprimento L = 2nr que sofre dilatação linear. Assim, o volume da esfera após o aquecimento será V = V0 (1 + yAT).-. l * r J = | ^ ( l + 3aF, Ar) . - . r 3 = r 0 ' ( l + 2aF, AT)

onde afr=l,lxlO" 5//C Para o anel, tem-se L = L0(l + aAT):. 2nR = 2nR0 (l + a u AT):. R = RQ(l + a^AT) onde a&,=3,l x IQ'5/K. O que se quer é r-R, ou r 3 =Ã 3 , de forma que r 0 3 ( l + 3aFtAT)=Rl{\ a^ATf = K03 (l + 3a ^AT) Entrandò-se com os valores numéricos, acha-se AT= 100,5 K. A tempera ura pedida é 100,5 °C. D D V U O U

€

t G

fítíaJ 8

A dilatação dos líquidos.

Da mesma forma que os sólidos, os líquidos também exibem expansão com a elevação da temperatura. Claro está que essa expansão é volumétrica, tendo em vista a impossibilidade de se ter um líquido còm forma constante. No entanto, é possível a verificação da expansão linear de um líquido quando ele estiver encerrado em um tubo fino, como num termómetro. Portanto, de maneira geral, a expansão térmica de um líquido que sofre uma elevação de temperatura A T é dada por

V = V0(\ yAT) (1.10)

onde yé o coeficiente de expansão térmica do líquido considerado. A tabela 1.2 mostra os valores desse coeficiente para alguns líquidos selecionados.

TABELA 1.2 - Coeficientes de expansão térmica de líquidos

Material Água 2 , 0 7 x 1 0 ' 4

Mercúrio 1,8x10-"

Álcool 1 x 1 0 3

Acetona 1,5x10" 3

Petróleo 1,2x10" 3

Da mesma forma que com os sólidos, os coeficientes de expansão de líquidos diferentes não apresentam grandes discrepâncias, além de se manterem essencialmente constantes ao longo de uma faixa de temperaturas razoável. A água, no entanto, apresenta um comportamento distinto, pois seu coeficiente de dilatação sofre variações para mais e para menos (Fig. 1.10). Isso faz com que a massa

específica da água seja máxima, e igual a 1 , 0 0 0 x 1 0 3 kg/m3, a 4 °C . Esse comportamento anómalo da água é fundamental para a manutenção da vida aquática em regiões frias. A temperatura caindo abaixo de zero em uma região lacustre, por exemplo, provoca o congelamento da superfície da água. Antes disso, porém, com a temperatura da superfície da água chegando a 4°C , essa massa de água vai para o fundo, por ser mais densa. O gelo se forma nas camadas superiores e, por ser. bom isolante térmico, mantém a água em forma líquida no fundo do lago, garantindo assim a sobrevivência de peixes e outros animais.

Fig. 1.10- Dilatação anómala da égua.

V

Exemplo 1.6 •

Um frasco de 1 litro de capacidade está cheio até as bordas com álcool a 1 0 ° C Se a temperatura se elevar a 30°C, qual a quantidade de álcool que transbordará do frasco? Comparando-se o coeficiente de expansão térmica do álcool (\3IC') com o do vidro comum (9x10"6 K1), vê-se que só a dilatação do líquido é relevante. Assir.:, de acordo com a equação (1.10). essa dilatação é dada por AV = V0yAT = 1 x 1 x 10"3 x 20 = 0,02 litros = 20 ml Assim, 20 ml do álcool transbordam. 3f3£3f <TO <FV frV

Exemplo 1.7

Um termómetro de mercúrio é feito de um tubo de vidro comum * om diâmetro interno de 0,60 mm. A distância entre o ponto do gelo e o ponto do vapo. deve ser de 20,0 cm. Calcular o volume de mercúrio que deve ser colocado no termômet o. O que se quer é aciar o volume de mercúrio que sofra, após uma vari. ção de temperatura de \00°C, uma xariaçãi de volume

bV = n — h = x: 3 ^ - x 20 = 0,05655 cm 3

4 4 \* Aplicando a equa> -ão da expansão, vem

Air v A r v A F 0,05655 " 3 AV = V0yAT :. V0 = = = 3,14 cm yAT 1,8x10-" x 100

- 1/

.5

i

()0 '3, íí^o .i,<i

/fct»J

êaplàdô-2 cá. tifaiu.i(eniL(}ixi dô- eaiav-

Os processos de transferência

O calor é uma forma de energia associada ao movimento das moléculas de um corpo. Isso é evidenciado matematicamente nos gases, mas é também verdadeiro para os líquidos e sólidos.

É um fato facilmente verificável a transmissão de calor de um corpo pará outro. Os principais processos que levam à transferência de calor são:

• Condução - quando a energia cinética é transferida às moléculas do corpo pelo contacto direto ou indireto do corpo com a fonte de calor

• Radiação - quando a fonte é capaz de aumentar a energia cinética das moléculas do corpo sem que haja qualquer contacto material com ele

Fluxo de calor, q O equacionamento da condução do calor

O exemplo mais simples da condução do calor é mostrado na Fig. 2.1: uma barra condutora de seção transversal uniforme A e comprimento L liga dois reservatórios térmicos. Um dos reservatórios tem uma temperatura constante T, e .o outro uma temperatura também constante T2, com T2>7",. Admite-se que calor não escapa da barra para o exterior. A análise desse processo aponta para o seguinte:

• Em qualquer instante, como os reservatórios térmicos são considerados/como infinitamente F l g . 2.1 - Barra condutora ligan* grandes, a temperatura na face esquerda da barra dois reservatórios de calor. será sempre T2, sendo T, na face direita.

• No instante inicial a barra lenrem toda a sua extensão uma temperatura T 0 , excet nas faces esquerda e direita, como evidenciado acima.

• À medida que o lempo vai passando, a temperatura ao longo da' barra vai sofrenc alterações, com os pontos nas vizinhanças da face esquerda tendendo a um vali próximo a 7\ aqueles nas vizinhanças da face esquerda tendendo a um vai

próximo a 7,; durante o período em que a temperatura da barra sofre alterações a condução se realiza em regime transiente

• Após um intervalo de tempo suficientemente longo, as temperaturas ao longo da barra irão decair uniformemente de 7 2 p3ra 7, (Fig. 2.1); a partir desse momento, o fluxo de calor entre os dois reservatórios será constante e a condução passará a se realizar em regime permanente

Fica evidente que o fluxo de calor através da barra irá variar proporcionalmente com a área da seção transversal. Como, por melhor condutora que seja a barra, perdas na condução irão ocorrer, o fluxo de calor certamente deverá ser inversamente proporcional à distância entre os reservatórios. Fica também claro que, quanto maior for a diferença entre as temperaturas 7, e 7 2 , maior será o fluxo de calor. Finalmente, esse fluxo irá também depender do material de que é feita a barra. Dessa forma, o fluxo de calor q pode ser escrito

. . . . a r \ q = -k.i — I

ox I

(2.1)

onde o sinal indica que o fluxo se faz do reservatório mais quente para o mais frio. O quociente õTIdx é o gradiente térmico da barra e k é uma constante, denominada coeficiente de condutividade térmica, que varia de material para material, como mostra a Tabela 2.1.

TABELA 2.1 - Coeficientes de condutividade térmica Substância k, W/mK Alumínio 238 Chumbo 35 Cobre 397 Ferro 80 Ouro 314 Prata 427 Argônio 0,0234 Hélio 0,138 Hidrogénio 0,172 Oxigénio 0,0238 Água 0,6 Amianto 0,08 Borracha 0,2 Concreto 0,8 Gelo " 0,2 Vidro 0,8 Madeira 0,08

Escolhendo-se na barra uma seção transversal qualquer, a equação (2.1) indica que, após decorrido um intervalo de tempo Af, a quantidade de calor AQ que atravessou a seção é

A£> = -Àr — AM ox

(2.2)

1

Logo; escolhendo-se dois pontos a e b na barra, a quantidade de calor absorvida nesse

intervalo de tempo Af no elemento da bqrra assim definido será a diferença entre o calor que

entra em a e o calor que sai em b (Fig. 2.2) , ou

àQ = áQ0-AQb=-k^-ox

Aát-{ *] AM

õ'T = k-^rAàxàt (2.3)

Como a quantidade de calor A Q absorvida por um corpo

de massa m é dada por mc&T, onde c é o calor específ ico

do material do corpo e A T a var iação de temperatura por

ele sofrida, tcm-so, para n barra ,

k—^-A&x&t = mc&T = Aàxpt&T = Aàxpc^—N dx7 ^'fit J

(2.4)

onde substituiu-se a massa m pelo volume do elemento da

barra (AAx) mult ip l icado pela massa específica do material

ip). Da í ,

Direção do fluxo de calor com T, > 7",

, d-T dT k —— = pc

dx1 dt dt dT=a> a2r

dx3' (2 .5 )

<3u

Flg. 2.2- Transferência de calor num elemento de uma barra.

onde a =k/{pc).

A condução em regime permanente

No regime permanente , a temperatura em cada ponto da barra independe do tempo.

'. • Logo, a condução pode ser equacionada segundo (2 .1) . Nesse caso, o gradiente térmico ao

1 w longo c la barra é constante e dado por i %

) 0 dT ( 7", - T2 \ d x K ^ L j '

(2 .6)

> 0 Da í , ) 0

q - kA — L

L (2.7)

Exemplo 2.1 Achar qual deve ser a taxa de transferência de calor através de duas chapas justapostas de

espessuras L% e L7e coeficientes de condutividade térmica A-, e k2, respectivamente. A situação está mostrada na Fig. 2.3. À esquerda a temperatura é T: e à direita é Ti. Na interface dos dois materiais a temperatura é T. A taxa de transferência de calor através da chapa 2 é

_ k2A(T2 - T j <7i - - .

Por sua vez, através da chapa 1 a taxa de transferência de calor é

_ kxA{T - 7 . ) <7i - l

i No regime permanente, a taxa de transferência através da chapa é constante cm qualquer ponto. Logo,

física 3 A S

M ( 7 2 ~ 7 ' ) _ M ( 7 - I , )

Resolvendo, acha-se

•p _ ^ \\ k 2 L \2

k,L7 k 1 L i

Daí U

tro <ro <ru

F/g. .2.3 - Transferência de calor através de duas chapas condutoras. ^

O resultado ac ima jode ser estendido a diversas chapas , chegando-se a

Exemplo 2.2 * U m a janela tem 6 m de área e é constituída de duas camadas de vidro de 4 mm cada, separadas por uma .amada de ar de 5 mm. Internamente a temperatura é de 20°C e externamente é de -3í)°C. Qual é a perda de calor através da janela? A perda é calculada se >undo a equação (2.8). Com os dados da Tabela 2.1 tem-se

50 9 = 6

0,005 2 x 0.1.04 0,0234 Õ.í

= 1341 W

3£3£S£ trp &w tro

A equação de Newton para o r«fjjajaiej3JLxL

<m

m

% %

%

U m corpo aquecido, em contacto c o m u m meio que pode ser considerado infinito, irá

perdendo calor paulatinamente, até atingir a temperatura do meio. É razoável admitir-se que a

perda de calor seja proporcional à di ferença de temperatura entre o corpo e o meio. Em termos

matemáticos ,

dT di

=.-k(T-Tm) (2.9)

onde Tm é a temperatura do meio e k um coef ic iente de proporcionalidade dependente, acima

de tudo, da condutiv idade térmica do meio . Integrando-se a equação (2.9) chega-se a

T = Tm+{T0-Tmykl (2.10)

onde 7"0 é a temperatura inicial do corpo . Essa é a lei de Newton para o resfriamento.

h - ^ - — h

?2 k2A{r2-r) _kXr-T{)

Rcsohrntio. acha-se

k^ L2T^ k 2 L \ 2 kxL2

T =

Da/

Ai_ + Al.

k2L, 1 «Si m

Fig. .2.3 - Transferência "~ de calor através de duas r'W chapas condutoras. ^£

m O resultado ac ima jode ser estendido a diversas chapas , chegando-se a

<1 = A \1 (2.8)

Z r 1 * l

Exemplo 2.2 *

U m a janela tem 6 m de área e é constituída de duas camadas de vidro de 4 mm cada,

separadas por uma .amada de ar de 5 m m . Internamente a temperatura é de 20°C e

externamente é de -30°Ç. Qual é a perda de calor através da janela? A perda é calculada se fundo a equação (2.8). Com os dados da Tabela 2.1 lem-se

q = 6

m m m m m

0,005 2 xO 1.04 Õ7Õ234 Õl'~

= 1341 W

<7T> CTD tTO

A equação de Newton para o re^fjjajrxiejita. %

U m corp-) aquecido, em contacto c o m u m meio que pode ser considerado infinito, irá

perdendo calor paulatinamente, até atingir a temperatura do meio. É razoável admitir-se que a

perda de calor seja proporcional à di ferença de temperatura entre o corpo e o meio. Em termos

matemát icos ,

dT dt •

= -k(T - Tm) ( 2 . 9 )

onde Tm é a temperatura do meio e k um coef ic iente de proporcionalidade dependente, ac ima

de tudo, da condutiv idade térmica do meio . Integrando-se a equação (2.9) chega-se a

r=Tm+(TQ-Tmykl (2-10»j

onde 7 " 0 éa temperatura inicial do corpo . Essa é a lei de Newton para o resfriamento.

Exemplo 2.3

U m corpo tem sua temperatura reduzida de 100°C para 4 0 ° C em 38 minutos. A temperatura ambiente é de 2 2 ° C . Q u a l o valor da constante de resfr iamento? / I / l i { ^ v i A<; equação (2.10) quer-sc u valor de k. Tein-se 'Y^ ^ *

- t f

r - r . .. . r - T m . i . r - r /. -kt = In - .-.* = - - I n _ w _y«

<v,/,7n . „ I A '- T Acha-se então

k = _ J _ i n 4 2 " 2 2 = 3,52 x l O : 2 min 38 100 - 22

• J

A transferência efe calor por radiação

Em que pese tudo o que já se falou acerca de radiação, essa nada mais é do que um

processo pelo qua l energia é transferida de um corpo para outro sem necessidade de contacto

entre eles, ou seja, sem necessidade de que exista um meio material entre eles. A transferência

de calor é um exemplo muito simples de transferência de energia que pode ser feito ou não por

radiação.

Na Fig. 2.1 é mostrado um caso de transferência de ca lor por condução. A barra que

liga os dois reservatórios de calor é aquecida , por estar em contacto com os dois reservatórios.

A mesma barra poder ia ser aquecida por radiação, por exemp lo , expondo-a ao sol . A radiação

solar atravessará os quase 150 milhões de quilómetros entre o sol e â Terra e aquecerá a barra.

No século X IX , uma vez que tinha ficado estabelecido que o espaço entre os corpos

celestes era v a z i o , o problema da transmissão de radiação desses corpos parecia insolúvel . A

luz já era reconhecida como o resultado da propagação de ondas , mais ou menos da mesma

forma que o som. Mas o som se propagava pelo ar, pela água, mas não pelo vácuo . Comp

chegava a nós a luz das estrelas? Fora postulada por Aristóteles a existência, no espaço

interestelar, de u m f luido transparente, sem massa, denominado érer. A propagação da luz pelo

espaço seria feita através do éter, uma ideia que os físicos do sécujo XIX abraçaram. ^

Na segunda metade do século XIX james C lerk Maxwel l introduziu a teoria

eletromagnélica da propagação da luz . Pela teoria, a luz seria o resultado da propagação de,

campos elétricos e magnéticos oscilantes, na forma de ondas (as ondas eletromagnéticas foram

eíetivamente descobertas em 1888 por Heinr ich Hertz) . Embora efeitos elétricos e magnéticos

se produzam no vácuo , Maxwel l a inda cr ia na existência do éter, tendo acomodado sua

presença a suas teorias (ainda hoje há quem faça essas tentativas). .

A partir de 1881 , Albert Michelson e Edward Mor ley , numa série de experimentos

clássicos, demonstraram, por meio de um sensível interferômetro (aparelho que faz medidas

com base na interferência de ondas luminosas), que o éter não existia. Sua descoberta de que a

velocidade da luz era invariante em qualquer direção no espaço foi a base da Teoria Especial

da Relatividade de Albert Einstein.

A drscobcr ln da radiação de ca lor pelos corpos foi feila pelo astrónomo Sir Wi l l i am

Herschel em 1800 . Usando um pr isma para dispersar a luz solar, ele passou u m termómetro

pelo espectro e notou que as maiores temperaturas eram registradas na região do verme lho . Ele

resolveu remover o termómetro para a região escura além do verme lho , notando que a

temperatura subia a inda mais . Logo f icou evidente que todos os corpos aquec idos emitiam

radiação de f requência ondulatór ia menor dp que a da luz vermelha , ou infravermelha.

Em 1 8 7 9 , josef Stefan :hegou empir icamente a uma equação que fornecia a taxa de

energia irradiada por um c< rpo aquec ido . Essa equação, der ivada matemat icamente por

Luclwig Bo l tzmann alguns a n o . mais tarde, tem a forma seguinte:

• • •

I=eoAr (2.11)

Nessa equação , 7 é a laxa de energia i r radiada, em W , e é um parâmetro inerente ao material do corpo denominado emis1 ividade - que pode assumir valores entre 0 (não-irradiador) . e 1 (irradiador perfeito) - cré a .onstante de Stefan - igual a 5 ,6703x10" f l W / m 2 K 4 - / \ é a área da superfície externa do corpo i 7 sua temperatura absoluta.

U m corpo que r e a oe rad iação absorve energia, que se traduz no aumento de sua temperatura. A lei de Stel m-Bol tzmann também pode ser apl icada à taxa de absorção de energia segundo

/„ = aoAT* (2.12)

onde o é o fator de abson ão de energia irradiada para o corpo, que , da mesma maneira que a

emissividade, pode assurr r valores entre 0 e 1.

Tomando-se u m o i j e t o qualquer , a uma temperatura ac ima do zero absoluto, ele estará

emit indo radiação. Isso s gnifica que , passado algum tempo, sua temperatura dever ia diminuir ,

mas isso nem sempre acontece. Estando o corpo e o ambiente à temperatura constante, o

corpo estará emit indo ra i iação para o ambiente e, ao mesmo tempo, absorvendo energia dele.

Como a temperatura do corpo não var ia , e le estará então emitindo energia exatamente com a

mesma taxa que a abs )rve. Isso só será poss/vel se a emissividade e for igual ao fator de

absorção de energia o. Zaso o corpo esteja a uma temperatura T maior do que a do ambiente

T 0 , a taxa de energia I quida irradiada pelo corpo será a diferença entre a taxa de energia

irradiada, dada pela ec uação (2 .11 ) , e a taxa de energia absorvida, dada pela equação (2.12).

Tendo em vista a igualdade entre a e e, essa taxa líquida é

/ / ( í = ^ ( r - 7 - c y (2.13)

Exemplo 2.4

m m m % % % % % % %

% % % % %

0 filamento de tungsténio numa lâmpada de 100 W tem uma área de 0,26 c m 2 e atinge cerca

de 3430 °C . Admitindo-se que os 100 W correspondam à taxa total de emissão de energia,

qual a emissividade do filamentd? Na equação (2.13), 7'= 3 700 K e Tn pode ser tomado como 300 K. Tem-se

1 = eo-4TÍ~T0i)= lOOfP .-.* = — r - / n = j j-i ; n = 0 , 3 6 oví(r 4 -T0\) 5,6873 x 10 _ s x 0,26 x 10: 4 (3700 4 - 300 <J

vv Cv €rV I

/fcfcyj. _ , _ p

Exemplo 2.5

Calcular a perda líquida de energia irradiada por uma pessoa despida numa sala a 20°C

admitindo que ela é um irradiador perfeito com área externa de 1,4 m 2 e temperatura

superficial de 3 3 ° C

Na equação (2.13) toma-se T--306 K. Tn~293Ke c = l (por se tratar de um irradiador perfeito), pai

1 = eoví ( r 4 -Tj)= 1 x 5,6783 xl0~ s x 1,4(3064 -293 4 ) = 111 W Como a taxa do metabolismo basal de uni adulto c de cerca de 100 W, essa pessoa sente frio. 3£3£3£ tTv &w Ov

f; evidente que u m irradiador perfeito, cia mesma forma

que um absorvedor perfeito, é apenas uma abslração

matemática: o ca rbono , na forma de grafite, consegue ter uma

emissividade e m torno de 0,97. Como os corpos escuros têm

uma tendência maior a absorver radiação - e também a emiti-la

- um absorvedor ideal é tradicionalmente denominado corpo

negro. U m a representação apropriada de um corpo negro é uma

cavidade com um pequeno orifício (Fig. 2.4). Nessa cavidade, a

radiação que entra , mesmo que seja refletida pelas paredes . r u U - I - J J J i c • J Fí9- 2 4 ~ Cavidade como internas, terá muito pouca probabilidade de sair pelo orif ício, de s i m u , a ç à o d e u m c o r p o n e g f D >

forma que fica essencialmente absorvida em sua totalidade.

As estrelas, apesar do bri lho, são também consideradas como corpos negros (ou seja, elas absorvem quase que perfeitamente a radiação dirigida a elas e, ao mesmo tempo, emitem

radiação da mane i ra mais eficiente possível). Esse conceito é empregado nas determinações

das taxas de emissão de energia das estrelas.

Exemplo 2.6

O sol tem um raio de 7x10' m e uma temperatura superficial de cerca de 5000 K. Qual a taxa de emissão de energia radiante do sol? Qual é essa táxà, por m 2 , na região da órbita da Terra? A área da superfície do sol é

A = 4nR7 =4xx{7x]0lJ = 6 , l 6 x l 0 , í m I

Entrando com esse dado na equação (2.. 11), acha-se

l = eA o~T* = 1x6,16x10" x 5,6783 xlO'' x 5000 4 = 2,18x10"^ A energia do sol se espalha igualmente em todas as direções. Isso quer dizer que, se forem traçadas cascas esféricas concêntricas com o sol, a taxa de energia atravessando cada casca é a mesma. A taxa por unidade de área nessas cascas irá, no entanto, diminuindo com seu raio. Para uma casca de raio r, a taxa por unidade de área será

I 4/rr-

Mí região da órbita da Terra, r-l,49xíOn m. Logo,

2,18x 10 36

4n x ( l , 4 9 x 1 0 " J XTv PO Co

= 770 W ' / » i '

física 3 \

A lei do deslocamento de Wien

U m dos mais prementes problemas da física do final do século X IX envolveu a análise

da rad iação emit ida por um corpo negro. U m a das descobertas foi a de que a emissão da

rad iação de u m corpo aquecido é feita em especlro. U m espectro é um histograma, ou gráfico

de f requências dos valores que uma dada var iável pode assumir. Como já era conhecido que

u m corpo tem sua cor alterada com n temperatura (pas .ando do vermelho escuro ao vermelho

v i v o , ao laranja , ao amarelo e ao branco) , cada lempi ratura tem seu espectro característico.

Ass im , o espectro de emissão de um corpo mostra a f requência com que os comprimentos de

onda da radiação emitida se distr ibuem.

O especlro d e . um corpo a

vár ias temperaturas apresenta formas

s imi lares , alterando-se apenas o

compr imento de onda para o qual a

emissão é m á x i m a (Fig. 2.5). F.sse

" p i c o " no espectro muda de posição,

em direção a comprimentos de onda

menores , à medida que a

temperatura do corpo aumenta. O

tamanho do espectro também var ia ,

refletindo o acrésc imo oa emissão

total c o m a temperatura.

Em 1893 W i l h e l m W i e n

observou experimentalmente que os

compr imentos de onda referentes a cada "p i co " var iavam c o n o inverso da temperatura do

corpo . Hoje essa importante lei , conhec ida c o m o lei do deslocamento de Wien, é escrita

W0&M$M$$IPomp' m e n t 0 d e o n d a ^ ^ Ê $ $ Ê f è

m

Fig. 2.5 - Espectros de em ssáo de radiação de um corpo em várias temperaturas.

, 2,898 =—-—mm (2.14)

•m %

Exemplo 2.7

A temperatura superficial do sol é de cerca de 5000 K. Qual o comprimento de onda na qual

a emissão é máxima? Pela equação (2.14),

2 898 X m = l o õ õ " = 5 , 8 x 1 0 " 1 = 5 8 0 n m

Esse comprimento de onda se situa no amarelo. S£S£3£ 0v <TD 0T>

A lei de W i e n permite que, pela anál ise do espectro de uma estrela, uma estimativa.da sua temperatura superficial seja feita.

A teoria quântica da radiação do corpo negro

Espectro observado

^Equação de Rayleigh-Jeans

\

\

\

Ultravioleta Visível Infra- •

.verme*»

Wien tentou derivar uma equação

matemática para a curva espectral , sem muito í

sucesso. Alguns anos mais tarde, Lord Rayleigh e ]

James Jeans derivaram uma equação que foi s

melhor sucedida, admit indo que a radiação, que

se fazia na forma de ondas, resultava das

oscilações dos átomos do corpo . Essa equação,

que definia a intensidade tln emissão num dado

comprimento de onda c o m o inversamente

proporcional à quarta potência desse comprimento

de onda , significava que , para comprimentos de n

onda muito pequenos (como acontecia , por

exemplo, na região do ultravioleta) , a intensidade O ' ^ s e ^ d o e 0 p r e W s f o p e / a e q u a ç S o d e

da emissão era quase inf inita. Isso não era Rayleigh-Jeans.

confirmado pelo especlro real (F ig. (2 .6 ) .

Em 1900, Max P lanck propôs uma ideia revolucionária. A emissão de rad iação seria

ondulatória. Porém, diferentemente da hipótese de Rayleigh-Jeans, pela qual os átomos

oscilantes poderiam emitir energia radiante de qualquer valor, Planck considerou que apenas

alguns valores seriam" possíveis: haver ia um valor "fundamental" , e os valores de energia

possíveis seriam múlt iplos desse valor . A emissão de radiação se faria portanto na forma de

"pacotes" de energia ondulatória com uma energia definida. Ele batizou cada um desses

pacotes de "quantum" (quantidade, em latim), de"forma que sua revolucionária teoria é hoje

conhec ida como teoria dos quanta.

Pela teoria dos quanta existe uma relação entre a energia E d e . uma radiação

' eletromagnética e sua frequência v d a d a por

Comprimento di onda

Fig. 2.6 - Comparação entre o espectro

E = h\> (2.15)

A constante h, hoje chamada de constante de Planck , vale 6 , 6 2 6 2 x 1 0 M J . s . C o m o na

propagação das ondas existe uma relação inversa entre o comprimento de onda X e a

frequência v, com o produto dos dois igual à ve íoc idade de propagação, sendo c a ve loc idade

de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo (que é igual à velocidade da luz ) , a

i equação (2.15) pode também ser escrita

E = hc-l X

(2.16)

• # P e l a hipótese de P lanck , não apenas a emissão .de energia radiante, como também sua

- • a b s o r ç ã o eram feitas pelos átomos do corpo "pacote a pacote". Isso queria dizer que , se para a

- #oco r rênc i a de um determinado fenómeno fosse necessária a absorção, por átomo, de urna certa

•quan t idade de energia radiante f , os pacotes de energia emitidos teriam de ter, no mín imo,

#essa energia. Como a energia estava associada à frequência , a radiação emitida teria de ter uma

; 0 r e q u ê n c i a mín ima , ou l imiar , para que o fenómeno ocorresse. Se a fonte de radiação emitisse

[• p a c o t e s de onda c o m frequência inferior a essa, mesmo se a intensidade da fonte fosse

fintes 3

aumentada, o que iria aumentar a laxa de energia emit ida , o fenómeno não iria ocorrer , pois a

absorção dessa energia pelos átomos do corpo é feita na forma de pacotes indiv iduais .

O sucesso da teoria quânt ica na exp l i cação de diversos fenómenos foi u m a das mais

importantes revoluções da física do século X X . A "quant ização" , ou adoção da hipótese de que

diversas grandezas naturais só podem assumir números inteiros de uma quantidade bás ica , foi

estendida à carga elétr ica e aos chamados níveis de energia dos eléctrons nos átomos. Mesmo

a l inguagem passou a adolar a expressão "salto quânt ico" quando descreve u m a situação

evolui de um estágio para outro bem diferente sem sofrer alterações paulatinas.

Exemplo 2.0 A emissão de uma fonte de radiação tem uma energia associada de 2. keV. Qual o

comprimento de onda? Dejine-se um eV (eléctron-voll) como a energia adquirida por um eléctron ao se deslocar entre dois pontos do espaço separados por uma diferença de potencial de 1 V, ou 1,602x10'19J. Como a energia da radiação é de 2 keV, tem-se

hc 6,6262 x IO"3 4 x 3 x IO8

À E = 6,2 x 1(T I 0/ÍI = 6,2 A

2 x IO3 x 1,602 x 10"" Esse comprimento de onda é o dos raios-X de baixa energia. 0V 09 <TO

t u

l i

Exemplo 2.9 A molécula de água se ioniza (ou seja, perde um eléctron, convertendo-se num íon positivo) ™

quando absorve 12 eV de energia. Sendo essa energia fornecida por uma fonte de radiação.^

eletromagnética, qual deve ser a frequência limiar da radiação? , 0 Pela equação (2.15)

J £ _ 12 x 1,602 x 10 -19

-U = 2,9 x 10 l5/7z

h 6,6262 x10 Essa frequência se situa na faixa da luz ultravioleta. Dada a prevalência da água nos tecidos biológicos, radiações com energia superior a essa são ditas "radiações ionizantes ". A dissociação molécula de água favorece a geração de radicais livres dentro da célula, que podem levar à produçM^ de compostos tóxicos que têm o potencial de modificar informações genéticas ou mesmo destrui-la. r cn> Cv tro , ,

FUa3 21

Qafújtalo- 3

Características dos gases

O s gases, c o m o os líquidos, também são fluidos. A diferença primordial entre os dois

pçtá na força dp rnpsãn intprna, qup é praticamente inexistente nos gasps. Como resultado,

eles tendem a ocupar todo o volume de um recipiente. C o m o , pela quase total ausência das

forças de coesão, as moléculas de um gás são livres, a energia c inét ica dessas moléculas por

efeito do calor se traduz por movimentos de translação. Ass im, as moléculas de um gás

continuamente co l idem com as paredes do recipiente onde estão armazenadas ; o resultado

dessas colisões é a pressão exercida sobre as paredes.

D a mesma forma que com os líquidos, o equacionamento das propriedades de um

gás é compl i cado por fatores que lhe são inerentes, especialmente no que tange à forças de

coesão interna. N o entanto, o comportamento de gases muito rarefeitos permite a dedução

de quais ser iam as propriedades de um gás ideai. A partir dessas propriedades, as

características dos gases reais podem ser equacionadas, embora de maneira aproximada.

Propriedades de um gás ideal

O modelo de um gás ideal é baseado em uma série de simplif icações do

comportamento rea l . Essas simplificações podem ser resumidas da seguinte forma:

• As molécu las do gás têm dimensões desprezíveis diante do recipiente, ou seja,

são admit idas como puntiformes, cada uma com massa m.

• As molécu las estão em movimento, sendo apl icáveis a esse movimento as leis de

N e w t o n .

• As col isões entre moléculas do gás ou com as paredes do recipiente são

consideradas como elásticas (ou seja, a energia c inét ica é conservada) .

• Forças de coesão interna, bem como aquelas entre as moléculas do gás e das

paredes do recipiente, são desprezíveis. f jv .

FUnS

A equação de estado dos gases ideais

A primeira equação re lac ionando o vo lume ocupado por um gás com as condições

ambientais foi estabelecida no século XVII a partir de experimentos, sendo hoje conhec ida

como lei de Boyle (também de Boyle-Mar iotte) :

O s vo lumes gasosos, considerados a temperatura constante, var iam na razão | inversa das pressões que suportam.

Em termos matemáticos,

(3.1)

No final do século XVII I foi estabelecida, também a partir de experimentos, a lei de

Charles (também de Char les-Gay-Lussac ) :

O s volumes gasosos, considerados a pressão constante, var iam na razão

direta das temperaturas absolutas 3 A equação referente é:

(3.2)

Combinand' i-se essas duas equações conclui-se que o produto da pressão de um gás

pelo seu vo lume é de alguma maneira proporcional à temperatura absoluta T. A constante

de proporcionalic ade depende do gás, mas não é difícil imaginar que ela deva ser

proporcional ao número de moléculas N do gás. Ass im, chega-se à pr imeira forma da

equação de estado ou lei dos gases ideais: PV = NkT (3.3)

A constante k é a constante de Boltzmann e tem o valor de 1 ,38x10'"J/K .

Costuma-se expr imir a equação (3.3) em função do número de moles n do gás, ao

invés do número de moléculas N. Como n é N d iv idido pelo número de Avogadro , basta

substituir o N por n na equação (3.3) e

mult ipl icar k por 6 , 0 2 3 x 1 0

chegando-se à equação de Clapeyron:

23 PV J

PV = nRT (3.4)

n7"mol.K 8 ,60"

8,2C~

8.0C"

7.80"

onde R é a constante dos gases ideais,

igual a 8 ,314 j /mo l .K , ou 0 ,08206

(£atm)/(mol.K). A val idade dessa outra

forma da lei dos gases ideais está

mostrada na Fig 3 .1 : a relação PV/nT tende a R a baixas pressões para Fig. 3.1 - Comprovação da lei dos gases ideais para diversos gases. diverso* gases.

"8.31 mol.K

CO

Oi

J _ 5 10 15 20 25 '30 35 40 P, atm

13 23

A pressão como resultado do movimento térmico das moléculas

A pressão exerc ida por um gás

sobre as paredes de um recipiente pode

ser faci lmente ca lcu lada a partir do

impacto das molécu las sobre as

paredes. A F ig . 3.2 mostra um

recipiente cúb ico de lado C U m a

molécula (o c í rcu lo escuro) se move da

face F2 para a face F,. Admitindo-se

0 q u e sua velocidade é paralela ao eixo

0 d o s x, sua quantidade de movimento p

^ s e r á igual a mvx. Se essa molécula

0 c o l i d i r elasticamente c o m a face F „ a

^conse r vação da quantidade de

^ m o v i m e n t o garantirá que sua nova

• q u a n t i d a d e de mov imento seja -mv x . r-w / - i . - i i Fig< 3.2- Molécula de gás em uma caixa cúbica. ^Dessa forma, a var iação da quantidade

0 J e movimento da molécu la será 2/77 VJ,.

^ . V indo essa molécu la a atingir a face F2 sem colidir com qualquer outra molécu la no

c a m i n h o , esse percurso será real izado num intervalo de tempo £/v„ de forma que ela

. 0 o l t a r á a atingir F, após decorr ido um tempo 2 /7v, . Logo, a frequência de colisões dessa

;. 0 i o l é c u l a com a parede F, é vj2f, o que faz com que o impulso transmitido a F, por

h # n i d a d e de tempo, que é a força que a molécula exerce sobre a parede, é o produto da

!; # a r i a ç ã o da quantidade de movimento da molécula mult ipl icada pela frequência das

^ #r j l isões, ou mv2Jf.

* # A força exerc ida pelo gás sobre F, (que é obviamente igual à que atua sobre todas as

! # j t r a s faces) é ca l cu lada á partir do número de moléculas que atinge essa face. U m a

* • p o s i ç ã o perfeitamente aceitável é a de que 1/3 das N moléculas do recipiente se

l # o v i m e n t e m segundo cada eixo coordenado. A pressão sobre cada face será, igual à força

* # s i m ca lcu lada d iv id ida pela área da face, que é C1. Como não se pode afirmar que as

* Moléculas têm a mesma veloc idade, deve-se no cálculo util izar a velocidade quadrática | Média, o u W r m 5 , def in ida como

(3.5)

Colocando-se a velocidade quadrática média na fórmula, chega-se a

P = — = 1 1 N m V

2 rrm t 3 £

1 1 j r 2 = NmvL,

V 3

,PV = -Nmv (3.6)

Como a energia c inét ica média das moléculas é V2mv2mvJ o produto PV é 2N/3 vezes

essa energia. Como PV=NkT, tem-se que a energia c inét ica média das moléculas de um gás

é dada por -

2 kT (3 .7)

A equação (3.6) também leva a outra conc lusão interessante. Como m/V é a

específ ica pdo gás, conclui-se que massa

v = /-nu ^ P

(3.8)

Pode-se então ca lcular a ve loc idade quadrát ica média de qualquer gás, conhecidas sua

pressão e sua massa específ ica .

A equação (3.7) leva a outra conc lusão de grande interesse prático. Para uma mesma

temperatura e pressão, tem-se para dois gases diferentes a relação

T __.2 mxvXrmt

3Jfe 2

2 777,V

3k (3.9)

Deduz-se daí que

ou seja, a ve loc idade quadrát ica média de moléculas de gases diferentes à mesma

temperatura é proporcional ao inverso de suas massas. Isso permite que o 2 3 5 U seja separado

do 2 3 8 U por difusão gasosa, um processo pelo qual hexafluoreto de urânio gasoso é forçado,

sob pressão, através de uma parede metál ica porosa. Como o 2 3 5 U é um pouco mais rápido

que o 2 3 8 U , o gás que é recolhido atrás da parede é enr iquecido em 2 3 5 U .

As colisões intermoleculares

N o modelo simples apresentado

até aqu i , admitiu-se que as moléculas

do gás não col id iam entre s i . No

entanto, essas colisões são inevitáveis ,

devendo-se imaginar que sua frequência

cresça com a pressão a que o gás está

submetido. I

A Fig. 3.3 mostra a trajetória de

uma molécu la , ao longo da qual e la

encontra 11 moléculas (pontos escuros) .

O caminho percorrido pela molécula

entre duas colisões consecutivas é o _ „ , Fig. 3.3 - Colisões de uma molécula de gás ao longo

livre trajeto. A o longo.de sua trajetória, de sua trajetória.

a molécula eíetuará diversas col isões; à média dos consequentes livres trajetos é dado o

nome de livre trajeto médio.

Fossem as moléculas

verdadeiramente puntiformes, a col isão

entre elas seria impossível . Tomando-se

o diâmetro de uma molécula como cr, a

colisão entre duas moléculas iguais

ocorrerá quando a distância entre seus

centros for cr (F ig. 3 .4a) . Para efeito de

cá lculo , isso pode ser representado

como a colisão entre uma molécula de

diâmetro 2o e outra puntiforme (Fig.

3.4b). Dessa forma, a frequência de Fi9- 3.4 - (a) Colisão entre duas moléculas de

colisões das moléculas de um gás pode

(b)

ser dada pelo número total de

moléculas puntiformes atingidas por

unidade de tempo por uma molécula de

diâmetro 2a. Essa molécu la , num

intervalo de tempo í, irá cobrir u m

ci l indro de seção transversal no2 e

' ^compr imento vj. (Fig. 3 .5) , onde vm é

j ^ velocidade média da mo lécu la ,

j ^Havendo no gás n noléculas por

^ ^ i n i d a d e de vo lume, o número de

( c o l i s õ e s no intervalo t será no^vjrit. O

I 3 i v r e trajeto médio corresponde à

I ^ i s t â n c i a média entre colisões, ou seja ,

^ ^ a dis^ância_j :oberta d iv id ida '

j ^ ú m e r o de colisões:

diâmetro a; (b) representação como colisão entre uma molécula de diâmetro 2a e outra puntiforme.

vj 1 (3.11)

Fig. 3.5 - Trajetória de uma molécula de velocidade média vm num tempo t.

Como na verdade a molécu la em movimento irá atingir moléculas também em Wiovimento, a frequência de colisões é multipl icada por um fator V2 . Daí , o livre trajeto ^ léd io é reduzido a

(3.12)

« Apenas para efeito de comparação , o livre trajeto médio de moléculas de ar à ressão atmosférica é de 0 ,1 u. A uma pressão de 0 , 0 0 1 mmHg (equivalente a cerca de 1 0 0

, T I de altitude), esse livre trajeto médio aumenta para 1 m. A 10~G m m H g , esse valor sobe t S r a 1 0 km .

A distribuição de Maxwell-Boltzmann

Nurn volume macroscópico de gás, as moléculas têm suas velocidades

constantemente alteradas, em função das múltiplas colisões a que estão sujeitas. A energia

c inét ica média das moléculas , e por extensão sua veloc idade média , permanecem

constantes para uma dada temperatura. Isso quer dizer que , escolhida uma determinada

faixa de velocidades, a fração de moléculas de um gás deptro dessa faixa permanece

constante. A distribuição das moléculas nas faixas de veloc idade foi obtida teoricamente por

James Maxwe l l e estendida por Ludwig Boltzmarífí/ e recebe o nome de distribuição de

Maxwell-Boltzmann. Chamando de oVnver i ração de moléculas com velocidade entre v e

v+d^jessa fração é dada por

— = 4/r n

m 3/2 exfS

mv v2dv (3.13) — = 4/r

n \2knT j

3/2 exfS v2dv (3.13) \2knT j

dn/n dessa distribuição para duas

temperaturas diferentes, r 2 > T , . N a

t u r v a correspondente a T 2 são

indicadas também a velocidade média

( v j , a velocidade mais provável (vj e

a raiz quadrada da ve loc idade

quadrát ica média . Essas velocidades

podem ser obtidas a partir da massa de

cada molécula (m) e de k. Porém,

mult ipl icando-se ambos esses fatores

pelo número de Avogadro obtém-se

respectivamente a massa molecular M

e a constante dos gases ideais R. Dessa

forma, as equações correspondentes a Fig. 3.6 - Distribuição de Maxwell-Boltzmann para duas vP, v m e passam a ser: temperaturas diferentes.

Í2RT\"2

MJ (3.14)

( zrt\rdvf) (3.15)

(3RT\^rms {m ) (3.16)

m m

% %

% % %

^ A distribuição barométrica

^ Num campo de forças, por exemplo , gravitacional , é de se imaginar que a

^ distribuição das moléculas de um gás não seja a mesma em todos os pontos. No caso da

^ atmosfera terrestre, por exemplo, intuitivamente se aceita que a concentração de moléculas

^ vá diminuindo com a altitude. Isso pode ser o resultado da atuação de dois efeitos distintos

^ agindo ao mesmo tempo:

^ • Como os gases são altamente compressíveis , o ar na superfície da Terra seria mais

^ comprimido, em função da pressão da coluna de ar ac ima.

^ . • A força gravitacional diminui com a distância à superfície, o que reduz o efeito

^ de compressão com a altura. <^ 7^9^

^ A forma dessa distribuição pode ser estimada a partir de considerações bastante

^ simples. Para isso, toma-se uma coluna vert ical de gás. A pressão num determinado ponto

^ irá depender exclusivamente da massa de gás ac ima daquele ponto. No entanto, devido

^ especialmente à grande compressibi l idade dos gases, essa pressão não pode ser ca lcu lada

—,. diretamente com base em

P^PZk ( 3 . Í 7 )

A razão para isso é simples: dada a compressibi l idade, a massa específica do gás cresce com

i a pressão.

i É possível, por outro lado, o cá lcu lo da diferença de pressão entre dois pontos de

i altitudes muito próximas, admitindo-se para tanto que a massa específica do gás, que agora

|é var iáve l , não se altera significativamente entre esses dois pontos. Assim, sendo a pressão

, em um ponto igual a p e no outro igual a p+dp, tem-se, aplicando o teorema fundamental

ida hidrostática 0

p-(p + dp) = p ^ (3.18) londe se admitiu que as altitudes em si não eram tão grandes, dè forma a se considerar a

(aceleração gravitacional como constante. Da í ,

{dp = -pgdh (3.19) , ^ o n d e o sinal negativo indica, como esperado, que a pressão cai com a altitude.

, q A massa específ ica do gás deve crescer com a pressão, já que a pressão tende a

^ ^ a p r o x i m a r as moléculas . De fato, na equação de Clapeyron (equação (3.4) n é o número de

^ ^ m o l e s , definido c o m o a relação entre a massa m de gás e a sua massa molecular M, ou

s ^ n = m / M .

, A Substituindo n por m/M na equação de C lapeyron , obtém-se

pV = HLRT.:.PM- = 1 = p (3.20)

\ Enlra-se então com essa equação para a massa específica na equação (3.19),

p ^chegando-se a:

* m

mas

dP = - ^ d h * / ? $ a h (3.21)

A solução da equação (3 .21) é

(3.22)

O valor da constante C é

definido para h=0, onde se considera

p=p0/ a pressão atmosférica padrão.

Nesse caso, a equação (3.22) passa a

ser escrita

p = j P o e x p ^ - ^ j (3.23)

A equação de C lapeyron

aponta para uma relação estreita entre

a pressão de um gás e sua

concentração molecular (o fator n/V).

Dessa forma, a var iação sofrida pela

pressão é a mesma sofrida pela

concentração de moléculas n', ou

Fig. 3.7 - Jistribuição teórica da concentração das moléculas de um gás com a altitude.

onde n 0 ' é a concentração para h=0.

A Fig. 3.7 mostra o formato da curva de var iação da densidade de molécu las de um

gás c o m a altitude, de acordo com a equação (3.24). A mesma curva seria apropriada para o

estabelecimento da var iação da pressão com a altitude.

Por seu turno, as equações (3.23) e (3.24) mostram que a pressão e a concentração

molecular de um gás num campo gravitacional variam inversamente c o m sua massa

molecular . É por isso que os gases mais leves (hélio e hidrogénio) são encontrados mais

faci lmente a distâncias maiores da superfície da Terra . Elas também exp l i cam a virtual

ausência de atmosfera na Lua , onde a acaleração gravitacional é 1/6 da -da Terra e a

presença de u m a atmosfera muito rarefeita em Marte, onde a aceleração gravitacional é um

pouco menor que 0,4 g.

A compressibilidade dos gases

No item anterior foi abordada a existência da compressibi l idade dos gases.

Claramente são os gases muito mais compressíveis que os sólidos ou os l íquidos, em função

da sua apresentação sob a forma de moléculas isoladas com muito pouca ligação entre s i .

w W „ ^ í { - ~ j (3-24)

A determinação do módulo de compressibi l idade dos gases pode ser feita

experimentalmente. Como a temperatura é um fator de grande importância para o

comportamento dos gases, essa determinação, de forma a ter val idade, deve ser feita a

temperatura constante, o que faz com que o experimento seja de execução um tanto

complexa .

No entanto, caso se admita que os gases seguem a lei dos gases perfeitos, pode-se

chegar a um resultado teórico bastante simples. O módulo de compressibil idade B de uma

substância é definido de maneira idêntica à do módulo de Young para os sólidos.

Estabelecendo-se -A V/V como a redução relativa do vo lume de um gás em função de um

acrésc imo de pressão Ap, tem-se Ap=-B(A V/V). Da í ,

(3.25)

) V Toma-se então a equação dos gases perfeitos, pV=nRT e faz-se sua diferenciação. Como a

temperatura não var ia , obtém-se

pdV + Vdp = 0:.p = -~^r (3.26) dV

^Arranjando:

\e é a equação de B em forma diferencia l . Em outras palavras, o módulo de

>; ^compress ib i l idade de um gás a temperatura constante é igual à pressão a que ele está

^suje i to . Em outras palavras, quanto mais se compr ime um gás, mais esforço deve ser feito

». 0 3 a r a compr imi- lo .

' 0Ds gdses reais: a equação de van der Waals 1 • * 9) As suposições feitas pára um gás ideal são bastante satisfatórias para gases a baixa

^ p r e s s ã o . À medida que a pressão aumenta, entretanto, as distâncias intermoleculares

* • i m i n u e m , de forma que as forças entre moléculas de ixam de ser desprezíveis. A lém disso,

; • d m i t e - s e que as moléculas sejam perfeitamente puntiformes, quando se sabe que elas têm

' ^ D l u m e , embora pequeno. Finalmente, em altas pressões e baixas temperaturas os gases se

* • q u e f a z e m , de forma que é óbvio que a equação de estado dos gases perfeitos não é mais

[ %» l i cáve l em condições próximas a essas.

* • Esse problema foi atacado na segunda metade do século XIX por Johannes van der

f • ' a a l s . Em primeiro lugar, ele acrescentou à equação dos gases perfeitos um parâmetro, b, ^ Gbrrespondente ao menor volume que pode ser ocupado por um mol de um gás (também

^ 0 a m a d o de covolume do gás). Esse parâmetro é subtraído do volume na equação dos gases

^ jfcrfeitos, pois para um mol , tem-se pV=RT, ou seja, para p -» oo tem-se V - > 0 , o que é uma * m

m*3 30

impossibi l idade. O parâmetro h é então subtraído do volume, de forma que a equação se

torna p(V-b)=RT; isso faz c o m que , a altas pressões, o volume tenda ao covo lume b. O outro

fator leva em conta a existência de u m a pressão dependente das forças internas do gás, e

não apenas das col isões elásl cas entre moléculas . A influência desse fator, a (também

chamado de copressãó), d imin jí com o volume ocupado pelo gás não diretamente, mas em

função do seu quadrado.

Ass im, a equação de V Í i der Waa l s de um gás é escrita

Valores de a e b foram ob t : Jo s para diversos gases. A equação apresenta resultados muito

bdns até pressões de algum js centenas de atmosferas.

m m

m

físks3 6 v i m o f*ve'»c€.

QjCLpíbik-4

O ealú^ # s $ i

As ideias sobre o calor

Até o século XIX acreditava-se que corpos quentes necessariamente possuíam mais "calor" que os frios. Esse "calor" tinha a forma de um fluido muito leve e invisível, que fera chamado de "calórico".

. É bem verdade que na segunda metade do século XVIII Joseph Black já havia feito a separação entre calor e temperatura. E que em 1798 o conde Rumford (na verdade, um americano de nome Benjamin Thompson) deixara claro que o tal calórico não deveria existir. Mas só em 1847 James Joule escreveria um trabalho sobre o equivalente mecânico do calor, que mostraria ser o calor mais uma forma de energia e levaria à primeira das duas leis da termodinâmica. ^

Capacidade calorífica e calor específico

É fácil observar que o fornecimento da mesma quantidade de energia térmica a diferentes corpos irá provocar neles diferentes elevações de temperatura. Diz-se então que cada corpo tem , sua capacidade calorífica C, definida como a quantidade de energia térmica capaz de elevar a ' temperatura do corpo de um certo valor fixo. No SI, esse valor é estabelecido como 1 K, de . forma que a capacidade calorífica é dada em J/K. Diante disso, a quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura de um corpo de A7"é ' ;

(J = CAV (4.1)

Torna-se evidente que, para corpos feitos de um mesmo material, a capacidade calorífica

de cada um deverá ser proporcional à sua massa. Assim, é possível definir para um material um

parâmetro denominado calor específico c como a relação entre a capacidade calorífica de um

corpo feito com esse material e sua massa, ou *

c = — • (4.2) m

Com isso, a equação (4.1) passa a ser escrita

Q = mcàT (4.3)

O calor específico é expresso é expresso, no Si, em jAg.K. É comum encontrar-se o calor

específico em cal/g°C. A caloria (cal) é uma unidade antiga de energia térmica, definida como a

quantidade de calor necessária para se elevar de 1°C (ou 1 K) 1 g de água 1 . Sendo adotada a

caloria, o calor específico da água terri valor unitário, l i m a caloria equivale a 4,184 J . .

O calor específico dos diversos materiais sólidos e líquidos apresenta enormes

variações, conforme pode ser observado na Tabela 4 .1 .

TABELA 4.1 - Calores específicos selecionados

Substância c,J/kg.K Água 4184

Álcool etílico 2400

Alumínio 900

Berilo 1830

Bronze 380

Cádmio 230

Chumbo 128

Cobre 387

Ferro 448

Gelo 2090

Germânio 322

Madeira 1700

Mármore 860

Mercúrio 140

Ouro 129

Prata 234

Silício 703 Tungsténio 134 ; Vidro 837

As diferenças entre calores específicos dos diversos materiais

podem ser evidenciadas por meio de um experimento simples,

imaginado por John Tyndall . Esferas efe melais diferentes, mas de «

mesma massa e diâmetro (o que significa que quase todas são ocas,

devido às diferentes massas específicas), são aquecidas em óleo

fervente e, a seguir, colocadas sobre uma placa suspensa de cerá (Fig.

4.1) . Como, em função dos diferentes calores específicos, cada esfera

terá sua própria capacidade calorífica, elas absorverão mais ou

menos calor. Como resultado, umas derreterão' pouco a cera no

1

Fig. 4.1 - Experimento de Tyndall.

' Na verdade, dado que esse valor não é uniforme entre 0 e 100°C, a caloria era definida como a quantidade de calor necessária para se elevar 1 g de água de 14,5 a 15,5"C.

fíU&3 33

processo de resfriamento, penetrando pouco, Outras, no entanto, terão armazenado mais

calor e derreterão mais a cera, a ponto de perfurá-la completamente.

A Tabela 4.1 parece indicar que os calores específicos dos elementos químicos

diminuem com suas massas atómicas. Multiplicando-se os calores específicos pelas massas

atómicas obtém-se a tabela seguinte:

TABELA 4 .2 - Calores específicos x massas atómicas 1

Substância* • c M cM Alumínio 900 26,98 24282 Berilo 1830 9,01 16488 Cádmio 230 112,4 25852

Chumbo 128 207,2 26522 Cobre 387 63,54 24590 Ferro 448 55,85 . 25021

Germânio 322 72,59 23374

Mercúrio 140 200,59 28083 Ouro 129 196,97 25409 Prata 234 107,87 25242 Silício 703 28,09 19747 Tungsténio 134 183,85 24636

Excetuando-se os elementos não-metálicos, os produtos dão resultados muito

próximos. Essa é a lei de Dulong-Petit, que estabelece que o produto do calor especifico.de

um elemento por sua massa atómica fornece um número próximo de 26500 (ou 6,4, se o

calor específico estiver em cal/g.K).

Exemplo 4.1 Que quantidade de calor é necessária para se elevar de 20°C a temperatura de 3 kg de

cobre? Como o calor especifico do cobre é 3X7 J/kg. K, a quantidade de calor pedida é Q = mcAT = 3x 387 x 20 = 2,32 x IO 4 J ' pó trv Cu

f Exemplo 4.2 lUm bloco de alumínio de 2 kg está, inicialmente, a 10°C . Se o bloco receber 36 kj Vde

^energia térmica , qual será sua temperatura final? ' calor especifica do alumínio c 900 J/kg.K. Logo,

<2 = mcA7" = 2 x 9 0 0 A r = 3 ,6x lO• , .-. &T = 2 0 ° C A temperatura final do bloco será, então, de 30°C.

Exemplo 4.3 Que quantidade de calor deve ser fornecida para se aquecer 3 kg de água de 25 °C até a

ebulição, estando a água em um (vaso de cobre de 500 g? A variação de temperatura é de 75 K. A quantidade de calor necessária é Q = {>»cuccu + " ' / j A r = (0,5 x 387 + 3 x 4184-)x 75 = 9,56 x IO 5 . / CTO CH5 PD

Calorimetria

Um dos métodos mais simples para determinação do calor específeo de uma substancia

envolve um aparelho denominado calorímetro (Fig. 4.2). Ele consiste de um vaso o mais possível

isolado cheio de água. A temperatura da água/cuja uniformidade é obtida pela ação do agitador"

A, pode ser lida no termómetro T.

Para se determinar o calor específeo de uma substância, uma

certa quantidade dela de massa m é aquecida até uma temperatura T0. Essa massa é então colocada dentro da água, que tem uma massa mA e

está inicialmente a uma temperatura TN que é a mesma temperatura do

vaso do calorímetro, que tem massa m ( e é feito de um material de

calor específico c^ Após um certo tempo, o vaso, a água e a substância

estarão à mesma temperatura T. Admitindo-se que não houve perda de

calor para o exterior, todo o calor cedido pela substância terá sido

absorvido essencialmente pela água e pelo vaso. Logo, . A :\» -) •

mc {T0 - T)= {m.A x 4184 + mvc,XT - TA ) (4.4) Fig. 4.2- Um calorímetro.

de onde se obtém o valor de c

( m „ X4I84 + m r c r X r - 7 - J >(T,-T)

(4.5)

Exemplo 4.4 U m lingote metálico de 50 g foi aquecido a 200°C c jogado num calorímetro com 400 mL

de água dentro de um vaso muito leve. A água, inicialmente a 20°C, passa a 22,4°C. Qua l

o calor específico do metal? Como o vaso é muito leve, o produto nu-c, na equação (4.4) pode ser desprezado. Assim o calor especifico do metal é

0,4x 4184 (22,4 - 20) „ f n , , , „ • >'' c = — 7—*—- v-± = 452 J IkR.K

0,05(200 - 22,4) . lisse calor específico, associado a outras características do melai (cor, massa específica), permite que ele seja identificado. No caso, liem poderia ser o ferro. 3£3£3£ (TO DO CTO

físks3 35

Exemplo 4.5 Um calorímetro de alumínio, com massa de 100 g, contém 250 g de água. O calorímetro e a água estão em equilíbrio térmico a 10°C. Dois blocos metálicos são colocados na água. Uni deles é um pedaço de cobre, com 50 g, a 80°C. A outra amostra, com massa de 70 g, estava originalmente a 100°C. Todo o sistema se estabiliza a 20°C. a) Determinar o calor específico do metal desconhecido; b) identificá-lo. a) O calorímetro e a água, originalmente uma temperatura inferior à de equilíbrio, absorverão calor, que será cedido pelos dois bhcos metálicos. O' equacionamento do problema é então o seguinte:

Qc = Q. ••• {rnacB + m a l C c a l %T, - Ta)= mCucCu {TCu -T,)+ mxcx (t, -T,)

Entrando com os números,

(0,25x4184 +0,1x900X20 - 1 0 ) = 0,05 x387(80 -20)+0,07c,(l00 - 2 0 ) Resolvendo, encontra-se cx=1,82x103J/kg.K. b) A Tabela 4.1 indica que o bloco poderia ser de berilo. t ^ Cx> trV vO

voo o P;0

V rrifeí

' 4

CO D B « o. E 01

A mudança de estado

O fornecimenlo de calor a um corpo inicialmente aumenta sua temperatura. A seguir, o aumento da agitação molecular leva a uma mudança dc. estado} ou seja, o corpo passa de sólido a líquido (íusão), ou de líquido a gás Calor fornecido

(vaporização). Joseph Bia Fig. 4.3- Gráfico da elevação da temperatura de um corpo. e haja alteração de temperatura. Isso quer dizer que, uma vez atingida a temperatura de mudança de íase, a temperatura do material se mantém constante até que toda a massa tenha eíetuado a mudança (Fig. 4.3).

A quantidade de calor necessária para fundir ou vaporizar uma certa quantidade de material depende da massa do material e de um parâmetro que lhe é intrínseco, que se

I

; i

l i l i " ; Fusão \ Gás ; ; ao nao -t- uquiao r •

Gás nao -t- uquiao r •

Ebulição Liquido 4 Gás : Sólido \ S

Ebulição Liquido 4 Gás : \

Liquido

Ebulição Liquido 4 Gás

\ Liquido

Ebulição Liquido 4 Gás

\ Liquido

|: > \

Liquido

|: > - 4 - -+- - 4 - - 4 - • 4 - -4- -4-1 - f - - H - 4 - -+- - 4 - -t-H -4-J

Q = mb (4 .6)

denomina calor lalenle L. O calor latente é definido como a quantidade de energia térmica por unidade de massa que deve ser fornecida a um corpo para que ele mude de estado. No 51, o calor lalenle é expresso em J/kg. Assim, a quantidade de calor necessária para que ocorra a mudança de estado de um corpo de massa m é

38

Os valores de L variam substancialmente de material para material, conforme indica a Tabela 4 .3 .

TABELA 4.3 - Calores Ia1 tentes de fusão e de vaporização

Substância pf, k L>J/kz PV, K Hélio 3,5 5 ,23x10 3 4,2 2 ,09x10 4

Nitrogénio 63,2 2 ,55x10" 77,4 2 ,01x10 5

Oxigénio 54,4 1 ,38x10 4 90,2 2,1 3x10 5

Álcool etílico 159 1 ,04x10 5 351 8 ,54x10 S

Mercúrio 234 1 ,13x10 4 630 2 ,96x10 5

Água 273,15 3 ,33x10 5 373,15 ' 2 ,26x10 6

Enxofre 308 3,81x10" 718 , 3 ,26x10 5

Chumbo 600 2 ,45x10 4 2023 8.70x1 O5

Zinco 692 1 ,02x10 5 1184 1 , "7x10 6

Alumínio 933,15 3 ,97x10 S 2723 1 ,14x10 7

Prata 1234 8 ,82x10 4 2436 2 , : 3 x 1 0 6

Ouro 1336 6 ,44x10 4 3081 1 ,58x10 6

Cobre 1356 1 ,34x10 5 2839 5 ,06x10 6

Exemplo 4.5 ' Qual a massa de vapor d'água, inicialmente a 130°C , capaz de aquecer 200 g de água,

num balão de vidro de lOOg, de 20 a 50°C? O calor específico do vapor d'água é

2 ,01x10 3 J/kg.K . A massa de vapor d'água nt, passará por três estágios. No primeiro, sua temperatura será reduzida de 130 a Í00°C, sendo liberada uma quantidade de calor igual a

Ô, = " ' , c . , r A r = 6,03 x I O 4 m , J / %

| Na segunda, ela passará do estado gasoso ao liquido, liberando

Q2 = msLv = 2,26 x }06mJJ Ikg | l''inalmente, a massa de água gerada irá ter sua temperatura reduzida de 100 a 50°C, o que libera

Como se pretende aquecer 200 g de água iram balão de vidro de 100 g com o calor liberado pelo vapor, teni-se •

fí, + ( 2 2 + 03 = 2,53 X K ) 6 / M , = ( 0 , 2 x 4184 + 0 , 1 x 8 3 7 X 5 0 - 4 0 ) . ' . mx = 0,0109 kg

I xxx . J y^<fof _

Exemplo 4 . 6 . y ;

Se 500 g de chumbo fundido, a 327°C , forem líerramados numa grande cavidade aberta num bloco dc gelo, qual a quantidade de gelo que será fundida?

•ff 37

Numa primeira aproximação, considerar-se-á que nem todo o gelo será fundido. Assim sendo, a

Q ~ mPb {cPb&T + Lf)~ 0,5( l28 x 327 + 2,45 x 1 0 4 ) = 3,32 x 10 V

temperatura final do chumbo é de 0°C. Nesse caso, o calor cedido pelo chumbo será ' Esse calor será utilizado para fundir parte do bloco de gelo. A massa fundida é de i.

m = — = 0,0997 kg

po Ov <n>

A ebulição

,'*•• V

hm

Um líquido entra em ebulição basicamente quando a pressão

de vapor em seu interior supera a pressão atmosférica reinante. Isso

quer dizer que a água entra em ebulição a 100°C, quando exposta à

pressão atmosférica padrão, porque é nessa temperatura que sua

pressão de vapor atinge 760 mmHg. A ebulição é aparente pelas bolhas

de vapor d'água que saem do seio do líquido (Fig. 4.4).

Como consequência, a água pode entrar em ebulição a

temperaturas inferiores a 100°C, desde que a pressão atmosférica seja

inferior à padrão. Ao mesmo tempo, a água pode manter-se líquida a

temperaturas superiores a 100°C, quando a pressão do gás acima dela

for superior à da atmosfera padrão. Esse é o princípio de

funcionamento das panelas de pressão. Nessas panelas, a água entra

em ebulição e o vapor produzido vai aumentando a pressão acima da

sua superfície. Isso faz com que a água se mantenha em forma líquida a r ~i o ^ Fig 4.4 - Liquido em

temperaturas bem superiores a 100°C, ó que permite que o alimento ebulição.

seja cozido mais rapidamente.

A pressão de vapor de um líquido

varia com a temperatura, com seria de se

esperar. A função que rege a variação, no

entanto, não pode ' ser derivada

matematicamente. O que se faz são

ajustamentos à curva pressão de vapor

versus temperatura. A curva para a água

está mostrada na Fig. 4 . 5 . Uma equação

que apresenta bons resultados é a-seguinte:

800

700 -

600 •• - 01 I 500 c E_ 400 o

S 300 H ^ 200

100

o

760 mrotty • 100-C

20 40 60 T c m p i n t u n , *C

80 100 120

Fig. 4.5- Elevação da pressão de vapor com a temperatura.

log p = 9,1466 - 2316 ( 4 . 7 )

A equação (4.5) indica a pressão de vapor d'água a uma dada temperatura e também

qual a pressão mfnima a ser exercida sobre a água para que ela permaneça líquida. Existe,

porém, um limite de temperatura para que um líquido se mantenha nesse estado. Esse limite é a

temperatura crítica. A pressão que mantém a substância em forma líquida na temperatura crítica

é a pressão crítica. A Tabela 4.4 mostra as temperaturas e pressões críticas para diversos

materiais. Próximo à temperatura crítica a equação (4.7) apresenta resultados pouco confiáveis.

TABELA 4.4 - Temperaturas e o ressoes críticas

Substância TC,K pe, ro*Pa Hélio 5,2 2,29 Hidrogénio 33,2 13,0

Nitrogénio .126 ,2 34,0

Oxigénio 154,6 50,4

Ar 132,4 37,7

G 0 2 304,2 73,9

Água 647,3 221,2

A ebulição da água a temperatura inferior a 100°C pode ser

demonstrada por um experimento simples, atribuído a Benjamin Franklin.

Um balão de vidro é cheio com água e colocado sobre uma fonte dé calor,

até que a água entre em ebulição. A temperatura da água, nesse momento,

é essencialmente de 100 °C O balão é retirado da fonte de calor e

firmemente arrolhado; a ebulição cessa, porqUe a água começa a resfriar.

O balão é então invértico e água fria é jogada sobre sua base (Fig. 4.6).

Parte do vapor d'água presente no espaço sobre a água se condensa,

virando água. Isso faz cair a pressão dentro do balão, e a água volta a

ferver, a menos de 100°C. Fig. 4.6- Experimento de Franklin.

Exemplo 4.6

A que pressão a água entrará cm ebuliçãb a 0°C? A'Í7 equação (4.7)faz-se T-273,15:

log p = 9,1466 = 0,668 ;.\ = 4jb5-mmHg 273,15 &

S£3£3£ oC wv Ov

A. mais comum aplicação da ebulição da água a temperaturas superiores a 100°C c a panela de pressão. No entanto, o uso mais importante dessa propriedade da água é feito dentro do chamado PWR (Prcssurized Wafer Reactor, ou realor a água pressurizada). O PWR é o tipo

de reator mais utilizado no mundo (inclusive em Angra), tendo derivado de um projeto de reator

desenvolvido para submarinos.

Um reator nuclear funciona à base das fissões em cadeia produzidas dentro de s e u .

combustível. A fissão é uma reação na qual o núcleo de um átomo se parte em dois, com

liberação de energia. Essa energia é usada para produzir vapor e acionar turbinas. Poucos

núcleos se fissionam com facilidade. Um deles é o do 2 3 S U (urânio-235), que ocorre na natureza

na proporção de 1 núcleo de H 5 U para 139 de 2 3 8 U , que á a forma mais comum. O urânio usado

como combustível deve então ser enriquecido em ^U* , tendo sua proporção alterada de 1:139

para 1:30.

Dada a formação do vapor, um componente essencial para o funcionamento do reator é

a água. A água num reator tem três finalidades: 1. Resfriar o combustível, impedindo que ele se funda; 2. produzir vapor; e

3. permitir as reações em cadeia.

As duas primeiras ações da água são óbvias. A terceira é baseada num raciocínio simples. A reação em cadeia na fissão ocorre quando uma fissão dá origem a exatamente outra. A fissão do 2 3 5 U ocorre pela incorporação, em seu núcleo, de um nêutron. Como cada fissão é

acompanhada da emissão de 2 a 3 nêutrons, eles podem vir a provocar novas fissões, levando à reação em cadeia.

A reação em cadeia será garantida se pelo menos um nêutron produzido numa fissão provocar outra. Acontece que o reator não se compõe apenas de 2 , : , U . Existem os suportes das varetas de combustível, o 2 M U e as impurezas, algumas geradas nas fissões. Todos esses materiais competem pelos nêutrons, juntamente com o 2 , r ' U . É sabido que esse isótopo tem muito mais afinidade pelos nêutrons do que os outros materiais do reator, mas somente quando os nêutrons são bem lentos - e os emitidos na fissão têm grande velocidade. Para que os nêutrons percam velocidade rapidamente, é preciso que eles sofram, colisões com átomos que tenham aproximadamente a mesma massa deles (Fig. 4.7). Os átomos que têm massa mais parecida com a do nêutron são os de hidrogénio, daí se usar a água como Fig. 4.7 - a moderação dos

moderador dos nêutrons. nêutrons num reator.

No PWR a água que resfria o combustível não c a mesma que é transformada em vapor.

Esse reator possui dois circuitos de água. No circuito primário, a água entra e sai do núcleo do

reator em forma líquida. A que sai, a uma temperatura da ordem de 350°C, passa por um

gerador de vapor (Fig. 4.8). O gerador de vapor é uma grande serpentina, refrigerada pela água

do circuito secundário, que é a que se transforma cm vapor. Não existe contacto, exceto

térmico, entre os dois circuitos, de forma que eslá descartada a contaminação das turbinas com

material radioativo transportado na água do circuito primário.

oo2° 0 °<kò

.mCo o o o o

fístoti 40

CIRCUITO PRIMÁRIO CIRCUITO SECUNDÁRIO

Para que a água exerç \o efetiva, é preciso c je ela permaneça na forma

líquida, garantindo assim o fun :ionamento do reator. Como as emperaturas dentro do reator

. são muito altas, as pressões a qu : a água do circuito primário es*.* sujeita são, da mesma forma,

muito elevadas. Qualquer que( a de pressão como, por exer iplo, num vazamento, leva à

vaporização da água e em marc.ida diminuição do seu poder moderador. O resultado é que as

reações em cadeia cessam irriec i itamente e o reator começa a esfriar. Isso quer dizer que os

reatores moderados a água têm t ;se dispositivo natural de segurança: qualquer vazamento de

água no circuito primário lev; ao desligamento do reator, sem risco de explosão ou

superaquecimento.

Exemplo 4 .7 • /

Num PWR a temperatura m á x i n a da água é de 350°C . Qual a pressão mínima no circuito

primário? Na equação (4.7) faz-sc f=623.15 i.se acha

lois p = 9.1466 —.= 5,43 :. p = 2,69 x IO 4 mmHg = 354 atm 623,15 ' &

Como a temperatura da água es.á muito próxima da critica, a equação não dá um resultado confiável. Na verdade, a pressão è um pouco menos da metade dessa. PU UU Cv l

JJ

m

.'••-íi

te* ->• r i . '

t h

m f

m

• m

m m

•

O r i g i n a ' P o l i

X e r o i t 2.

• Capitulo 5

CÂ piímma. Iii do, tmmulinamhoi a i

O equivalente mecânico do calor

•

Embora desde o final do século XV11I diversas evidências apontassem para a

inexistência do calórico, fluido invisível e sem massa cuja quantidade num corpo definia-sua

temperatura, e para o reconhecimento do calor como forma de energia, só em 1843 isso se

tornou definitivamente estabelecido. É provavelmente apócrifa a história segundo á qual

James Joule, em viagem de núpcias à Suíça, teria observado que a água na' base das cascatas

era ligeiramente mais quente do que no alto (essa diferença dificilmente supera 1 K, de

maneira que é difícil acreditar que ele a tenha percebido). De qualquer modo, Joule

imaginou um experimento com o qual pôde não apenas confirmar que o calor é uma forma

de energia, como também estabelecer a quantidade de

energia mecânica necessária para se elevar de uma

determinada temperatura uma massa de água (ou dc qualquer

material).

O dispositivo de Joule está mostrado na Fig. 5.1. Um

recipiente, o mais possível isolado, contém uma massa de

água conhecida. Palhetas agitam a água com a queda de duas

massas. Uma manivela permite que o experimento seja

repetido quantas vezes quanto -necessário, suspendendo as

massas após cada queda. Igualando-se a variação total da

energia potencial das repetidas quedas das massas ao calor

adquirido pela água (admitindo-se que o recipiente absorveu

muito pouco desse calor) , é possível chegar-se ao equivalente mecânico do calor. Como a unidade antiga de calor era a

caloria (definida no Capítulo 3) , esse equivalente foi F i g 5 1 _ E x p e r I m e n t 0 d g J o u l e ; '

estabelecido em 1948 como 1 cal=4,1 84 J thoje 4,186J) .

Isolamento lénnico

- ' t—' fl „/1 /7i '

Exemplo 5.1

Um estudante faz uma refeição de 2000 Calorias e quer perdê-las levantando diversas

vezes 50 kg. Admitindo que ele ergue essa massa de uma altura de 2 m e que não há

trabalho realizado na descida da massa, quantas vezes o estudante deve erguê-la?

Uniu caloria de alimentas equivale a 1000 caiarias, ou 7/.SV ./. O trabalho executado para erguer os 50 kg é . ....

W = mgh = 50x9,81x2 = 981./ X> . < í ^ °

Como o estudante ingeriu 8,31x1 (f .1 de alimentos, ele precisará erguer os 50 kg

8,37x10" n =

tfò tfò <fr> 981

= 8,53x1 tf vezes

Exemplo 5.2 U m atirador dispara uma bala de prata de 2 g contra uma ábua espessa. A bala atinge â

tábua com uma velocidade de 200 m/s e f ica presa. Admh'ndo-se que 9 0 % da energia

térmica gerada pelo impacto sejam absorvidos pela bal. , de quanto se eleva sua

temperatura? Noventa por cento da energia cinética cia bala são usados para aqut :ê-la. Isso quer dizer que

0,45 x2003 no 1 2 A 7" A t °'45v,í 0,9x —;;iv = H J C A 7 . . A / = 2 c

\S£SP9£ trO trO CV

234 = 76,9 K

O diagrama p-Ve os processos quase-cstáticos

BOO

600 -I

400 -

200 -

Como foi vislo no Capítulo 3, dada uma certa

quantidade de gás seu volume, sua pressão c sua

temperatura estão "amarrados" pela equação de

Clapeyron (equação (3.3)). O comportamento dessas

variáveis pode ser convenientemente mostrado num

diagrama p-V. Quando esse diagrama indica a

variação com o volume do gás para uma dada

temperatura, as curvas que o compõem são

denominadas isotermas (Fig. 5.2). Fig. 5 . 2 - t so te rvas de um gás.

As isotermas mostram, na verdatle,. uma situação muito

ideal izada. Pressupõe-se que toda a massa de gás lenha, num

certo instante, as mesmas variáveis de estado, de maneira que

uma simples linha pode representar o comportamento de todo

o gás. A Fig. 5.3 representa, com um pouco mais de realismo,

o que acontece quando uma massa de gás passa de uma condição inicial / para uma final /'. A mancha indica que dentro do |>ás existem as mais diversas pressões e

temperaturas. É possível, entretanto, fazer um experimento Fig. 5.3 - Diagrama p-V mais . . . . realittico de uma massa de gás.

desse tipo e garantir que a massa do gas apresente praticamente as mesmas variáveis de eslado em qualquer ponto: basta que a transformação

*f

f,i/< O-y, i

7,-47

do gás

(c)

seja bastante lenia. Processos que se operam dessa maneira são chamados de quase

estáticos. Processos quase-eslálicos em gases podem ser:

• Isotérmicos - quando a temperatura do gás

permanece constante (Fig. 5.2)

• Isobáricos - quando a pressão do gás

permanece constante (Fig. 5.4a). '

• Adiabálicos! - quando não há troca de calor

com o exterior (Fig. 5.4b).

• Isocóricos - quando o volume

permanece constante (Fig. 5.4c).

(o)

Fig. 5.4 - Processos térmicos em gases.

A geração de trabalho

A Fig. 5.5b mostra um cilindro de seção

transversal A com um êmbolo onde está encerrada

uma certa quantidade de gás. O êmbolo exerce

uma força F sobre a massa de gás e a situação é

considerada como de equilíbrio. Vindo o gás a

expandir-se quase-estaticamente, subindo o embolo

de uma ciy o trabalho realizado pelo gás sobre o

êmbolo é

7 vil 25

dW = Fdy = pAdy = pdV (5.1)

Fig.5.5 - Expansão de um gás,

Esse trabalho é positivo no caso de uma expansão,

sendo negativo quando o gás for comprimido

(nesse caso, diz-se que foi realizado trabalho sobre

o gás). Não havendo expansão, o trabalho é nulo. A partir da equação (5.1) pode-se calcular

o trabalho realizado.quando o gás passa de um volume V,para um volume Vf segundo

w - f / P d V (5 .2)

— t -

" rt

Representando-se o

processo de expansão num

diagrama p-V fica claro que o

trabalho realizado é dado pela

área subtendida pela curva

entre os pontos inicial e final.

O cálculo dessa integral

depende, obviamente, de

como varia a pressão durante

o processo, e não apenas dos estados inicial e final. A Fig. 5.6 mostra três situações possíveis

para os mesmos estados inicial e final.

0»)

Fig. 5.6 - Um gás se expande do volume Vi ao volume v> segundo três caminhos diferentes.

Nn Fig. 5.6a o processo foi isocórico enquanto a pressão caiu de P ; a P, e isobárico

durante a expansão de V, a V , . Na Fig. 5.6b :> processo foi isobárico durante a expansão de

V, a V, e isocórico daí em diante. Finalmente, na Fig. 5.6c a pressão caiu paulatinamente

durante a expansão. A área sob cada curva indica claramente que o trabalho realizado em

cada caso foi diferente.

A p r i m e i r a lei da t e r m o d i n â m i c a

Para que uma massa de gás se expanda a pressão constante, é preciso que lhe seja

fornecido calor. O mesmo acontece no caso de uma expansão a temperatura constante.

Parece haver uma contradição, mas é necessário que se lembie que foi realizado trabalho;

assim, calor deve ser fornecido, já qde calor é energia. Dessa forma, o equácionamento da

expansão de um gás leva em conta dois fatores: o calor Q fomrcido ao sistema è o trabalho

W realizado pelo sistema. Muito embora o trabalho realizado c ependa de como o processo

é realizado (e, por conseguinte, de como o calor é fornecido), \a mostra que ao

longo de todo o processo a diferença Q-W permanece consta ite. Essa diferença é igual à

variação da energia interna A U (em outras palavras, da tempei atura) do gás. O resultado

anterior é conhecido como a primeira lei da termodinâmica, que tem como enunciado

Para qualquer sistema que realiza trabalho quando a ele se acrescenta calor

a diferença entre o calor fornecido e o trabalho realizado é igual à var iação

da energia interna do sistema.

Matematicamente, a primeira lei da termodinâmica é escrita AU = Q-W (5 .3)

A capacidade calorífica de um gás ideal monoatômico

Quando se aquece um gás sua temperatura (ou energia interna) é elevada, como acontece com qualquersubslância . Caso o gás se expanda ele realiza trabalho; nesse caso, o calor fornecido irá aquecer o gás e realizar trabalho. O resultado disso é que se a mesma quantidade de calor for fornecida a quantidades idênticas de um mesmo gás, aquele que se expandir será menos aquecido. Assim sendo, a capacidade calorífica de uma massa de gás irá variar em função de ele realizar ou não trabalho. Como a capacidade caloríf ica de um corpo é definida com base na energia necessária para elevar de um valor unitário sua temperatura, duas situações podem ocorrer aqui :

• Calor é fornecido a uma massa de gás a pressão constante • Calor é fornecido à mesma massa gás a volume constante

No primeiro caso, há expansão do gás, o que não acontece no segundo. Assim, para se

obter o mesmo aquecimento, o primeiro processo demanda mais calor que o segundo.

Logo, a capacidade calorífica de um gás a pressão constante C ( ) é maior do que a

capacidade calorífica a volume constante C v . A relação C ( / C w universalmente conhecida

como y, é um valor maior-do que 1e varia com o gás. Ela ó, no entanto, praticamente a

mesma para gases que tem o mesmo número de átomos na molécula. Por exemplo, y é

aproximadamente 1,67 para gases monoalômicos e 1,40 para diatômicos.

O valor da capacidade calorífica de uma m'assa de gás é obtido matematicamente a

\r da teoria cinética dos gases. No estudo feito no Capítulo 3, concluiu-se que a energia

• cinélicn de n moles de um gás, que é a própria energia interna, ó dada por ^

U-±»RT . ê ^ T ^ ( 5 . 4 )

Sendo calor fornecido ao gás a volume constante, ele não realizará trabalho, de forma que o

calor irá unicamente alterar a energia interna do gás. Pela I a lei da termodinâmica,

Í J = A ( ; = ! » / M 7 ' $ 0 - Q . [K) ' (5.5)

Pela definição do que é capacidade çalorifica,

nCvAT = -nKLT :. CV = ^R (5.6)

No caso de se fornecer calor ao gás a pressão constante, ele irá realizar trabalho. Pela 1° lei da termodinâmica, a variação da energia interna dõ gás será a diferença entre o calor fornecido e o trabalho realizado, ou

A(/ =Q-W =nCrAT-pt\V (5.7)

onde se usou a definição de trabalho dada pela equação (5.1) . D a equação de Clapeyron lira-se

pV = nRT :. pAV = nRAT (5.8)

Assim, a equação (5.7) passa a ser escrita

AU = nCrAT = nCpAT - nRAT C , , - C , = R (5 .9)

O resultado acima vale para qualquer gás ideal embora, na dedução da equação (5.4), feita

no Capítulo 3 , o gás era considerado como monoatômico; Assim sendo, a capacidade

calorífica a volume constante dada pela equação (5.6) se aplica exclusivamente a gases

monoatómicos. Pela equação (5.9) obtém-se um valor de (5/2)R para Cp. Como resultado, o

valor teórico de y para gases monoatómicos é 5/3, ou 1,67.

A equipartição da energia e as capacidades caloríficas para gases poliatômicos

Na dedução da equação básica da teoria cinética dos gases (Capítulo 3) foi ,

considerado que, dado que as moléculas de uma massa de gás eram livres para caminhar

em qualquer direção, 1/3 da energia cinética delas, em média, correspondia ao movimento

delas ao longo de cada um dos eixos coordenados. Fsse resultado é explicado pela

(a)

mecânica estatística, que diz que a energia de um sistema de partículas se reparte

igualmente por todos os graus de liberdade disponíveis.

Os graus de liberdade são definidos a partir dos movimentos possíveis da partícula.

No caso de moléculas monoalôrpicas, cada molécula pode sofrer translação nas três

direções e rotação segundo os três eixos coordenados. Como um átomo é muito pequeno, â

energia da rotação pode ser considerada desprezível, de maneira que a molécula possui três

graus de liberdade. Como a energia associada a essa molécula é (3/2)/cT, (1/2)/rT está

associado a cada grau de liberdade. Esse é o leorema da equipartição da energia para gases.

O modelo empregado na análise de moléculas

diatômicas é o do haltere (Fig. 5.7). Nele, a ligação

covalente entre os dois átomos é representada por uma

mola . Três movimentos são possíveis:

Translação segundo os três eixos coordenados

(Fig. 5.7a) h Rotação segundo os três eixos coordenados (Fig.

5.7b)

Vibração (Fig. 5.7c)

A análise de uma molécula diatômiça mostra que a

energia da rotação em torno de um eixo que passa pelos

centros dos dois átomos é desprezível. Tomando, , em

princípio, a energia da vibração como muito pequena

diante das outras, uma molécula diatômiça tem 5 graus de

liberdade. Assim, a energia interna dessa molécula é dada

por {5/2)nRT, o que faz com que Cv seja igual a (5/2)/?. Pela

equação (5.9) , Cp=(7/2)R. Logo, y=7/5=1,4.

A Tabela 5.1 mostra como os dados experimentais

para diversos gases se ajustam a esses resultados teóricos.

Em primeiro primeiro lugar, observa-se para todos os gases a

consideração teórica de que a diferença entre os calores F l g S 7 _ G f a u s d e / / í > e r d a d e d e

específicos a pressão constante e a volume constante é uma molécula diatômiça.

efetivamente igual à Constante dos gases ideais R (8,31' J/molK). A seguir, verifica-se que os

gases monoatómicos seguem mais de perto a teoria do que os outros. Isso sugere que os

modelos para os outros gases, : embora apresentem resultados aceitáveis, são na realidade

simplif icações. A discrepância para o cloro é explicada pela grande energia de vibração de

sua molécula . Finalmente, o fato de-que y para os gases poliatômicos é muito próximo de

9/7 parece indicar que suas moléculas, independentemente do número de. átomos, possuem

7 graus de liberdade.

(e)

ILWslit

TABELA 5.1 - Calores específicos de gases op/6. Gás c„ C C-C y

He 20,« ' 12,5 8,3 1,67 _Ar_

_ N e _ _

Kr

20,8 . 12,5 ( 8,3 1,67 _Ar_

_ N e _ _

Kr

20 ,» 12,7 \ 8,1 1,64

_Ar_

_ N e _ _

Kr 2 0 , 8 > 12,3 -y 8,5 1,69'

H f 1 20,0 ) 20,4 8,4 1,41

Ní 29,1 / " 20,8 8,3 1,40

Q j 29,4 } 21,1 8,3 1,40

C O 29 ,1 21,0 8,3 1,40 .

C l , ^ 3 4 ^ 25,7 9,0 1,35 ,

C O , t 37,0

28,5 8,5 , 1,30

s o . 40,4 31,4 9,0 1,29

H , 0 35,4 27,0 - 8,4 1,30

CH„ 35,5 27,1 8,4 1,31

A produção de trabalho em alguns processos termodinâmicos em gases

• Processo isocórico

Como não há variação de volume, o trabalho realizado, segundo a equação (5.2), é

nulo.

• Processo isobárico

É efetuado a pressão constante. Logo, o trabalho realizado é

W = Jf/ pdV = p £' dV = p{Vf -V,) (5.10)

Exemplo 5.3 . -Duzentos moles de um gás monoatômico estão num vaso de 4 m 3 à pressão de 1,5 atm. O

gás se expande à pressão constante até dobrar de volume. Qual o trabalho realizado?

Quanto de calor foi fornecido? Qual a variação da energia interna do gás? Trata-se de um processo isobárico no.qual o volume inicial é 4 m3 e o final é 8 m3. Logo, o trabalho realizado é

W = p(vf - V.) = 1,5 :< 101325 x (8 - 4) = 608 kJ

| As temperaturas inicial e final do gás podem ser calculadas pela equação de Clapeyron. . pV 1.5x101325x4

7 = = = 365,6 K nR 200x8.314

<1

- 'J- :. Tf = - x 365,6 = 731,2 K

Ç> = nCpáT = n | / iA7 = 200 x 2,5 x 8,314x365,6 = i;52A/J

Pela I" lei da termodinâmica, AU =Q-lV = 9\2kJ O mesmo resultado poderia ser obtido aplicando-se a equação (5.5). 3£3£3£ <ro vX> ov

m

/Si ? *

• Processo isotérmico ——————————————— }* Neste caso a temperatura se mantém constante, mas a pressão varia . Exprimindo-se a f ^

pressão em função do volume segundo a equação de Clapeyron,

W = [' pdV = nRT l ' *L = nRT In V-±-V,

(5.11)

Exemplo 5.4

Calcular o trabalho efetuado por um mol de gás ideal que se expande, a 0°C, de 3 a 10 L.j^ Quanto calor deve ser fornecido para tal? 1^ Trata-se de um processo isotérmico. O trabalho realizado é ^

W = nRT ln = 1 x 8,314 x 273,15 In — = 2,73 kl Vi 3

Num processo isotérmico não há variação da energia interna. Logo, pela Ia lei da termodinâmica^, é preciso fornecer ao sistema 2,73 kJ de calor. 3£3£3£ ' PT ffC OXi

3 £ Ç & - q - / v

Processo adiabâtico £v tfT ^ Na expansão adiabática não há troca de calor com o ambiente, mas pressão, volume temperatura var iam. Para se achar a relação entre a pressão e a temperatura usa-se a 1^ ?

lei da termodinâmica. Como não há troca de calor,. Q=0. Lugo, em forma diferencial ,

1»

( 5 -12 ) L

Como o gás está sendo visto como ideal , vale a equação de Clapeyron que, d i ferenc iada^ leva a • »

pr/K + Vdp = nRdT (5-13)fe

Pode-se eliminar ç/Tutilizando-se a equação (5.12). Vem então

V i 3

pdV + Wp = — r P d V

Fazendo-se /?=C ( 1-C„e dividindo-se toda a equação (5.14) por pVchega-se a

I' + » _p 2 j

c„ dV ( ,dV dp dV n

v K r ' v p v (5.15$

T l .

m

)ntegrando-se, /Tf, (y V

®

• • • • •

. x . , t i ,nt j . .

M V ? 4»

1/ *C f K í "

In /> + r In T = ff;/;.v/ .'. pV r = consl

£ 7}

Exemplo 5.5 2 £ ~ & s

(5.16)

O ar, no cilindro de um motor diesel, está inicialmente a 20 °C . Ele é comprimido

adiabaticamente dei800 cm 3 a i atm até 60 cm 3 . Qual sua temperatura final? O ar é basicamente uma mistura de gases dialômicds de forma que se pode tomar y=l,4. Daí, a pressão final do ar é V - 7 ,

f* ~J2 ^

Pt'! = P.rV} •Pf-P.j Vf

= 1 8 0 0 =

.60 J 37,6 atm

f l

f

\Tomando-se o ar como um gás ideal, a equação de Clapeyron é válida ao longo de todo o\

P,Vi _ Pfví . r _ r ( PfVf V o o , , / 37,6 x 60^

' t , s T \ m Y 2 9 3 , 1 5 1 1x800 = 827K = 554°C

processo. Logo, 3£3£3£

A temperatura final num processo adiabático pode ser calculada diretamente. A equação (5.16) pode ser escrita

: l \

í

\ ^

i

Pf l v, J

r (5.17)

Leva-se então esse resultado à equação de Clapeyron e se acha

T,

r .-. Tf''1 = TfV}-x (5.18)

No processo adiabático 0 trabalho realizado é calculado segundo

pdV = const = V • *i 1 - r

-v>-'i< = c o n s t (vr vf) (5,19)

onde se inverteu 0 sinal porque \-y é sempre negativo, A constante é igual

longo de todo 0 processo, ou seja, é igual a pyf e a p(VJ, Daí , a p V a o

vx.r PfiVrfl v ^ _PiVi-PfV/ (5.20) r - i 1 1 f< ~ (5.20)

Exemplo 5.6 Uma certa massa dç ar com 2 L, a uma pressão de 2 atm e a 20°C, se expande

adiabaticamente, vindo a dobrar de volume. Calcular a pressão e a temperatura finais e o

trabalho realizado. Para o ar, y=l,4.A pressão final ê calculada segundo

P/=Pi f y Y

KVf)

1.4 = 2x|-l | = 0,758o//n

J.M.-itw »,.,,—1 ;jL..vJb.-j'.

[('tira o cálculo da neva temperatura, empre^a-se a equação (5.17):

r j /> -i _ y r/r i . 7 - - r ( y V = 222 A'

[Finalmente, o trabalho realizado é calculado pela equação (5 20)

y-\ <rX> PO (7E>

^ 1 »

r" , ™

t h

-tf) ? W

• ^japíhdô- 6

m c segunda lei. da temiãdinâniJjpa.

# Calor não é exatamente trabalho

• ^ A I a lei da termodinâmica é uma lei de conservação da energia. Ela deixa claro que i ^ existe uma equivalência entre calor e trabalho e introduz o importante conceito de energia P% interna. Assim, se 10 J de trabalho forem realizados sobre um sistema, sua energia interna.se V% elevará de 10 J , o mesmo ocorrendo se o sistema receber 10 J de calor. A diferença entre

# trabalho e calor se manifesta quando se inverte o processo. É perfeitamente possível retirar )' % 10 J de calor de uma fonte e transferi-los a um sistema, que passa a ter u m a energia interna r % 10 J maior. Mas não se pode esperar converter esses 10 J integralmente em trabalho, a não fQ ser que haja, como se costuma dizer, uma alteração nas vizinhanças.

A possibilidade ou impossibilidade da ocorrência de determinados processos na i>' £ natureza é estabelecida pela 2 a lei da termodinâmica. Ela se baseia em diversos aspectos já y ̂ vistos da termodinâmica, aos quais se ac:-~scenta a reversibilidade (e também a * £ irreversibilidade). A 2 a lei tem, como importante corolário, o estabelecimento da eficiência, j £ ou rendimento, das máquinas térmicas.

I £ Processos 'reversíveis e irreversíveis

> # y 0 Numa primeira aproximação, um processo reversível seria aquele que levasse um

) 0 sistema de um estágio inicial para um final pela real ização de uma ou mais etapas e que,

5 # P e ' a reversão dessas etapas, retornasse o sistema ao estágio inic ia l . Se um copo de vidro cair

^ ^ no chão e se quebrar, esse processo seria considerado reversível se fosse possível, pela

) ^ reversão das etapas - ou seja, as peças de vidro sendo reunidas e soldadas e o copo

) £ levantado de volta à sua posição original - farer com que o copo voltasse exatamente a seu

^ ^ estado in ic ia l , como um filme passado de trás para a frente. Esse é o detalhe crucial d o s '

j 0 processos reversíveis: na reversão das etapas os efeitos sobre os sistema devem ocorrer

vj ^ exatamente na sequência inversa.

0 ^ e x t e n s ^ ° e ° relaxamento de uma mola têm todas as características de processos

^ ^ reversíveis. Se a mola for estendida e relaxada bruscamente, no entanto, a reversibilidade

^ f ica prejudicada. Aplicando-se bruscamente uma força a uma mola fixa por uma

física 3 52

A A A A A

extremidade, a deformação se inicia pela extremidade onde

a força foi aplicada e propaga-se ao longo da mola até a „\

extremidade fixa. Abandonondo-se a mola; ela começa a ^

relaxar-se pela extremidade onde atuava a força até chegar

à extremidade fixa. A mola, portanto, retorna a seu estágio FiB-<>•>-tensão de uma mola. in ic ia l , mas não exatamente na sequência inversa (ou seja, com o relaxamento se in ic iando

na extremidade f ixa, já que a deformação terminou aí) .

Pelas características dos processos de extensão e compressão é possível, no entanto,

realizá-los de maneira reversível. Basta que tanto a extensão quanto o relaxamento sejam

realizados o mais lentamente possível, ou seja, quase-estaticamente. Nesse ca so , as

alterações realizadas a cada etapa serão infinitesimais, de forma que, durante sua execução ,

toda a mola estará essencialmente em equil íbrio, inclusive na sua reversão. C o m o as

condições nas etapas de ida e volta são as mesmas, os processos são> agora, reversíveis.

O mesmo acontece

nb caso da expansão e da

compressão de um gás. Se

um gás é mantido sob

compressão pela aplicação

de diversos pesos

pequenos a um pistão (Fig.

6.2a) e cada peso é

retirado paulatinamente, O Fig. 6.2 - Expansão e compressão reversíveis He um gás. gás se expande lentamente

até atingir a pressão externa (mais a pequena pressão exercida pelo peso do pistão, Fig.

6.2b). O gás é- então recomprimido, retornando-se, um a u m , os pesos. O gás volta

exatamente às suas condições iniciais , sem qualquer alteração nas v iz inhanças (Fig. 6 .2c ) .

Como ambos os processos podem ser considerados como quase-estáticos, durante a

execução de cada etapa o volume total de gás está em equilíbrio, tanto na expansão quanto

na compressão, de maneira qué a reversibilidade está assegurada.

Se a expansão

ocorrer bruscamente (Figs.

6.3a e 6.3b) , o

desequilíbrio dentro da

massa de gás ' levará a rn, | \íúíM-^Súi I P*l I 1 ' 1

interações com o meio exterior que não serão compensadas exatamente se O processo for revertido Fig. 6.3 - Expansão e compressão irreversíveis de um gás. (no caso, as condições

iniciais só foram atingidas pela ação de um peso diferente do inicial) . Além disso, não se pode afirmar que a compressão tenha ocorrido exatamente ao contrário da expansão, tendo

Ifil | Ifil |

FO á l Ifll \

WlsíÊÊÊÊÈ

I

v») (r)

m m

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0

m

físfáJ « 7

em vista o desequilíbrio termodinâmico dentro da massa de gás nos dois processos. O s dois processos são, agora, irreversíveis.

Irreversibilidade e probabilidade

O conceito pelo qual a irreversibilidade sugere a impossibilidade de que os processos

ocorram exatamente jna sequência inversa com á reversão das etapas não é exatamente

correto. Isso é mais verdadeiro quando se leva em conta que processos irreversíveis em

escala macro são resultantes de processos que, em escala micro, são reversíveis.

U m caso em pauta é o da expansão dos gases. Se um pequeno volume de gás for

injetado para dentro de um recipiente de volume bem maior, é evidente que, em pouco

tempo, todo o recipiente será ocupado pelas moléculas do gás. Isso irá acontecer em

consequência das colisões entre moléculas e delas com as paredes do recipiente. C o m o

essas colisões podem ser consideradas como perfeitamente elásticas, seria de se esperar que

esse processo de expansão pudesse ser reversível, mas não o é: não é razoável esperar-se

que, após um determinado número de colisões, as moléculas do gás voltem a ocupar o

volume inicialmente injetado. A razão para que isso não venha a

ocorrer, ou melhor, seja praticamente impossível de ocorrer,

decorre de considerações estatísticas.

Tome-se um recipiente vazio de volume V e coloque-se

dentro dele uma molécula de gás. Dividindo-se esse volume num

número qualquer de volumes iguais, por exemplo, cinco, a

molécula estará contida numa dessas partições, que tem volume

V/5 (Fig. 6.4). Como o movimento da molécula é aleatório, fica

claro que ela tem a mesma probabilidade de estar em qualquer das

partições, ou seja 1/5. Assim, não é impossível que, após decorrido

um certo^empo, a molécula esteja em sua posição original.

O problema se complica quando o número de moléculas

começa a crescer. Caso duas moléculas tivessem sido injetadas

para dentro do mesmo volume inic ia l , à probabilidade de que as

duas voltassem à posição inicial cairia para (1/5) 2 . Com três Fig. 6.4 - irreversibilidade moléculas , a probabilidade, iria para (1/5) 3 , e assim por diante, eprobabilidade. Como mesmo uma ínfima massa de gás contém bilhões de bilhões de mo lécu las , -a

reversibilidade (ou seja, o retorno espontâneo à situação inicial) se torna cada vez mais

improvável . Dessa forma, a irreversibilidade não significa exatamente impossibil idade de

reversão, mas antes uma probabilidade desprezível de reversão.

Para verificar como essa probabilidade de reversão é verdadeiramente minúscu la ,

tome-se um recipiente vazio de volume total V c o m uma partição que segrega um vo lume

V". lntroduzindo-se N moléculas de gás para dentro da partição e, após certo tempo,

abrindo-se a partição, é óbvio que as N moléculas passarão a ocupar o volume V. Q u a l seria

p =

a probabilidade de que as moléculas ocupassem quase lodo o volume V ? Por exemplo , se V=1 c m 3 e o volume ocupado pelo gás, a 300 K e à pressão atmosférica, fosse I c m 3 menos 10' 9 cm 3 ? ;

Pelo raciocínio feito até aqui , essa probabilidade P seria

onde V" é o volume efetivan ente ocupado pelo gás. No caso presente, V"/V=1-10" 9. Em 1 c m 3 de um gás ideal a 1 atm < 300 K, o número de moléculas presentes é

pV l ,013xl0 5 xH" 6 n A 1 A , 9 , kT l,38xlO" 2 3x "00

Logo,

U m dos limites notáveis é

lim = {\-x) x =e . T - » 0

Daí ,

.' o \ 2 , 4 x l 0 1 9 1 1

P = ( l - 1 0 _ 9 r = ^ = 1 1

9 j _ _ i _ x 2 , 4 x l 0 , 9 x l 0 - 9 ' g+2,4*l° . 1 0+0,43x2,4xl0 , u J Q I O 1

ou seja, uma probabilidade verdade ramente diminuta.

( l - 1 0 - 9 ) " i o - 9

O rendimento das máquinas térmicas e refrigeradores

Dá-se o nome de máquina tért uca a qualquer dispositivo capaz de converter energia térmica 2m energia mecânica ou outra forma útil de energia (elétr.ca, por exemplo) . Esse dispositivo opera em ciclo e em cada t m desses c ic los :

1. Calor é absorvido por um "fiuido de trabalho" de uma fonte a alta temperatura;

2 . a máquina realiza trabalho; ,

3 . calor é rejeitado para i m reservatório a baixa temperatura.

A Fig. 6.5 é a representação esquemática de uma. máquina térmica. Ela absorve uma quantidade de calor Qq de uma fonte e realiza um trabalho W, rejeitando Qf de calor para um reservatório frio. Fica evidente que

...............

Mólor j

o;

Fig. 6.5 - Esquema de uma máquina térmica.

fígkaa

(6.1) —i —j \—/

Como Q , é o calor fornecido e W é o trabalho efetivamente realizado, define-se o

rendimento n da máquina como w _Qq-Qf _] Qf

Qg Qg Qg (6 .2)

Para que o rendimento seja 1, ou 1 0 0 % , é preciso que não haja

calor rejeitado. Isso é impossível , de forma que as melhores

máquinas térmicas têm' rendimentos entre 35 e 4 0 % . Assim, o

enunciado da 2 a lei da termodinâmica segundo (Lord) Kelvin-

(Max) Planck diz que:

mmm

'.O,',

n«trl9trít)or • IV É impossível construir uma máquina operando em ciclo que converta todo o calor absorvido de | uma fonte quente em trabalho.

Essa máquina impossível está mostrada na Fig. 6.7a.

U m refrigerador, (ou bomba de calor) é como uma máquina térmica operando às avessas. Pela adição de trabalho,

torna-se possível forçar o f luxo de calor de um reservatório frio

para um quente (Fig. 6.6) . Em termos matemáticos,

Fig. 6.6 Esquema de um refrigerador.

W = (6.3)

O rendimento, mais comumente

chamado de coeficiente de

desempenho, de um refrigerador é

w (6.4)

U m refrigerador perfeito dispensaria b trabalho, permitindo o f luxo espontâneo de calor do reservatório frio para o quente (Fig. 6.7b), o que é claramente impossível. Parte daí o enunciado de (Rudolf) Clausius da 2 a

lei da termodinâmica: Fig. 6.7 - Uma máquina térmica perfeita (a) e um refrigerador perfeito (b)

É impossível construir uma máquina operando em ciclo que permita a |

|transferência espontânea de calor de uma fonte fria para outra quente. .

"O calor rejeitado é, convencionalmente, negativo. Com a intenção de reforçar a ideia de que esse calor é deduzido do calor absorvido Q r ele é expresso em módulo e subtraído.

"Aqui o trabalho é negativo (já que esta sendo fornecido), bem como Qq (já que é o calor rejeitado).

Exemplo 6.1

Uma máquina tem rendimento de 2 0 % , efetuando 100 J de trabalho em cada ciclo. Achar a quantidade de calor absorvida e a rejeitada em cada ciclo. ^ " ^Q^ ~ „ Da equação (6.2), ^ 0 ^ / ^ « ÓOO ^

Pela equação (6.1), QrQq-W=400 J. S£3f3£

Exemplo 6.2

Um refrigerador absorve 5 k| de um reservatório frio e rejeita 8 kj. Qual seu coeficiente de desempenho? ,\ - ^ Da equação (6.3), W=8-5=3 kJ. Logo, o coeficiente de desempenho é A 1 ~ —) ) 0 _ _ J 1 \?\

K = - = 1,67 -

I 3€ ~ ^2

A entropia

Se a lei zero da termodinâmica envolve o conceito de temperatura e a 1 a lei o da

energia interna, a 2 a lei da termodinâmica também leva a outra variável de estado, a

entropia. Esse importante conceito, introduzido pelo físico alemão Rudolf Clausius, parte de

um processo reversível (obrigatoriamente quase-estático) entre dois estados de equi l íbr io.

Sendo dQ o calor transferido nesse processo, a variação da entropia é definida como

T ( 6 . 5 )

onde T é a temperatura na qual a transferência tem

à diferença de entropia entre dois estados: lugar. A integração da equação (6.5) leva

(6 .6 )

A unidade SI de entropia é o J/K. ,

O conceito de entropia ganhou grande impulso com o advento da mecân ica estatística, na segunda metade do século X I X . A mecânica estatística, como foi visto no capítulo 1 , descreve o comportamento de uma substância a partir de parâmetros estatísticos dos átomos e moléculas que a constituem. O que essa análise mostra é que o movimento das moléculas, por exemplo, de um gás é totalmente aleatório. Mesmo quando todas as moléculas de um sistema gasoso são, inicialmente, "bem comportadas", sua tendência é a total deserdem.

U m exemplo típico é o da difusão gasosa. Caso seja colocada uma pequena quantidade de amónia gasosa no canto de uma sala fechada, a situação inicial é bem

^ f c t a J : \

• d e f i n i d a : naquele canto a concentração de amónia é alta, enquanto que no resto da sala é

^ í u l a . As colisões entre moléculas de amónia e dos componentes do ar tenderão a espalhar a

; ^amónia , de forma que, ao fim de um período de tempo mais oú menos longo, a amónia se

> ^ e r á espalhado uniformemente pela sala. U m a situação inicial de ordem - amónia aqui e

•f 9hão acolá - foi substituída peia desordem, com amónia e moléculas de nitrogénio, oxigénio,

?; f f c 0 2 etc. deslocando-se tresloucadamente pelo volume da sala. Diz-se então que os sistemas

£' # iso lados tendem à desordem, sendo a entropia uma medida desse estado de desordem. Em

% 0nut ras palavras, {

* • ' . • • : tm Todos os processos naturais levam ao aumento da entropia.

^0 Nos processos reversíveis a variação de entropia de um sistema depende dos estados

| ^ d e equilíbrio inicial e final desses processos. Fica evidente que, num processo adiabático,

| ^ A 5 = 0 , por não haver troca de c ! o r . Isso, entretanto, é verdadeiro para qualquer processo

^ ' • c í c l i c o reversível (como na máquina de Carnot, que será estudada no capítulo 7) . Nesse

h ' caso , dQ

= 0 (6.7)

p j ^ o n d e a integral é calculada sobre uma l inha fechada. Diz-se então que

A entropia do universo não se altera nos processos reversíveis.

|P Exemplo 6.3 Achar a variação da entropia de uma massa de gás ideal que passa de um estado inicial T,e

volume V, para um estado final T,, V,. Pela 1" lei da termodinâmica,

dQ = dU + Pdy- = nCvdT±?y^dV

\Dividindo-se toda essa equação por T, „"

T T V \lntegrando-se entre os limites Ti, V,eT[, Vf,

\ AS = nCv \n — + nR In — * T T, V,

Se o processo for cíclico, Tt=T/e Vi=V/, deforma que AS=0. (TO C7v OT

Exemplo 6.4 N u m processo de fusão, m kg de uma substância à temperatura de fusão Tf passam do

estado sólido ao l íquido. Qual a variação da entropia? Fazer o cálculo para 300 g de Pb . . Admitindo-se que a fusão ocorra reversivelmente,

•> T T Tf

\Onde Lfé o calor latente de fusão. Para o Pb, L/=24,5 kJ/K e T/=327 °C. Logo,

AS = 0,3x24,5x10 3

600 U,3J/K

I trJ> «TO (rv

Variação da entropia em processos irreversíveis

Muito embora e ei tropia, por def inição, seja estabelecida para processos reversíveis,

deve-se lembrar que sua /ariação depende exclusivamente dos estados de equil íbrio inic ia l

e final do sistema, e nã> do que ocorrer entre um e outro. Dentro desse pressuposto, é

possível o cálculo da vr.riação da entropia entre o estado final e o inicial de um processo

irreversível.

• Condução do calor

A condução dc calor é, c laramente, um processo irreversível. Tem-se um reservatório à temperatura Tq que ';ede uma quantidade Q de calor para outro reservatório à temperatura Tf. A entropia do pri.neiro reservatório diminui de Q/fq, enquanto que a do segundo cresce de Q/Tr. A variação de entropia é , então,

a | »

7 , t (6.8)

pois Tf<Tq . Isso confirma o princípio pe lo qual a entropia aumenta em processos irreversíveis.

Exemplo 6.5

Uma pequena qcântidade de calor, em torno de 10 J, é transferida de um reservatório a 100°C para outri a 0 o C . Qual a variação da entropia? De acordo com a equação (6.8),

Tf Tq ', 73 373 = 0,0098 J /JC

J

Expansão livi» de um gás

Tem-se u na massa de gás que ocupa um volume V, dentro de um vaso isolado de ' ^volume total Vf . U m a partição confina o gás e no resto do vaso predomina o vácuo . A

'partição é romp da e o gás passa a ocupar todo o volume Vr. Essa expansão é, como se v i u , irreversível.

c i f .

'•Esi' ti

tfâ éi? •

% t l

m k •

® l i

K t f r

é

© V

Q k.

Fiska3 58

Como o gás não realiza trabalho sobre o vácuo e o vaso é isolado, Q=0 e W=0. Pela 1 a lei , conclui-se que AU=0; se o gás for considerado ideal, AT=0. Apesar disso, a entropia varia.

A variação da entropia pode ser calculada com base numa expansão isotérmica (já que a temperatura final é igual à inicial) . Pela equação (6.6),

Numa expansão isotérmica o calor fornecido se iguala ao trabalho realizado. Daí , — — r-r - - _

AS = — nrT In ~^- = nR I n ' (6 .9) T V, Vf K J

Como Vf>V, , fica evidente que há aumento da entropia. Pode ter parecido estranho o cálculo dessa maneira. Deve ser lembrado, entretanto, que a variação da entropia só depende dos estados inicial e final do sistema. Como a expansão isotérmica produz o mesmo resultado final da expansão livre, ela pôde ser utilizada no cálculo.

Exemplo 6.6 Calcular a variação da entropia de 2 moles de um gás ideal que, numa expansão livre, triplica de volume. Pela equação (6.9),

Vf

AS = nR \n-l- = 2 x8,3141n 3 = 18,3 Jl K Vi

| • Transferência irreversível

U m corpo de massa m e calor específico c tem sua temperatura elevada de T, para T, ao receber calor de uma fonte. É evidente que houve variação de entropia, ca lculada segundo •

A c [f dQ í7"/ dT ' Tf AS = • — = L mc = mc ln —

Jr T ir, T Tt

Exemplo 6.7 São misturados dois corpos de massas mT e m2l calores específicos c, e c2 e temperaturas

iniciais 7", e T3r respectivamente. Atingido o equilíbrio, a temperatura final é 7). Achar qual

foi a variação da entropia. Pela equação (6.10) tem-se

A 5 = [ ^ + f ^ = m i c 1 l n Í + , l 2 c 2 l n Í AT h T T{ T2

Como Tf estará obrigatoriamente entre Ti é Ti, um dos termos da-equação acima é positivo e o outro é negativo. O positivo, entretanto, será sempre o maior dos dois. oD py 00

(6 .10)

Fisks3

Exemplo 6.8

Um quilograma de água a 0°C é misturado a outro quilograma de água a 100°C. A

temperatura de equilíbrio é de 50°C. Achar a variação da entropia do sistema. Aplicando-se o resultado do exemplo anterior,

• * . ' ' - •

A5 = íx4l861n — + 1x4186ln — = 102J/Jk 273 373 ;

O resultado, como se esperava, é positivo. 3£3£3£ 0o PB CTO

m •

a- J O fcu„ :

(- u 1 \

I I I

li--* ''''

( v l . U£

V

®

@aptJtuh- 7

Os, cLclôs. das, mÁquLbiax tésnueax

i » 'l

Os diversos tipos de máquinas

O rendimento das máquinas térmicas, como foi visto no capítulo 6, depende

exclusivamente das trocas de calor entre a máquina e o ambiente. Como essas trocas podem

processar-se de maneiras diferentes, máquinas diversas operando entre os mesmos

reservatórios frio e quente irão ler rendimentos bastante diferentes, mesmo que as perdas por

atrito e condução do .ca lor sejam desprezadas. Como, para produzir potência

continuamente, as máquinas térmicas precisam operar dentro de um ciclp fechado, são as

características desse c ic lo que influem no rendimento. Uma máquina a vapor tem um

funcionamento - e consequentemente um ciclo - bem diferente daquele de um motor a

gasolina. Um motor Diesel é, por seu turno, uma máquina diferente da máquina a vapor ou

do motor a gasolina.

Claro está que, diante da relativa complexidade de operação das várias etapas das

máquinas térmicas, um ciclo descrevendo pormenorizadamente todas essas etapas seria de

dif icí l ima análise. Para tanto, algumas simplificações são feitas, de forma a se chegar a ciclos

.cuja análise matemática possa ser realizada sem maiores complicações e que, mesmo

aproximadamente, permitam a obtenção de informações úteis sobre as máquinas

respectivas. *

O ciclo de Carnot

Em 1824, quase um quarto de século antes da determinação do equivalente

mecânico do calor, o engenheiro francês Nicolas Sacli Carnol conseguia descrever um ciclo

de uma máquina térmica reversível que leria o maior rendimento possível. Admitindo-se

que o fluido de trabalho dessa máquina seja um gás ideal, o c ic lo da máquina de Carnot tem

as seguintes etapas que, para se ler garantida a reversibilidade, são todas executadas quase-

eslaticamcnte:

1. O gás v posto cm contacto com um reservatório a uma alia temperatura T , ( , de forma que ocorre uma expansão isotérmica com realização de trabalho (Fig. 7.1a).

s - r

fístsJ

(a)

^ ^

i i

•.lPi.i.:c t.t

iUi&áaJLJ.. Tw.»c:v5t.>rin ic iV.cr.

. T,

(b) (c) ; (d)

rvHiVio Uc calor, 1

- . . * > - J

o í;

S t

Fig. 7.1 - Operação de uma n equina de Carnot. l •

2. Num dado ponto da expansão, a máquina é totalmente isolada, de forma que, daí

por diante, o gás se expande adiabatican ente, realizando mais trabalho e se

resfriando a-é.atingir uma temperatura Tf (F ; >. 7.1b) .

3. Nesse pon':>, o gás é posto em contacto cc m um reservatório a uma temperatura

Tf e é entro comprimido isolermicamente/ de forma que calor deve ser rejeitado

para o exterior (Fig. 7.1 c) .

4. Finalmente, a máquina é mais uma Ve : totalmente isolada e a compressão continua até que a temperatura atinja Tq , recomeçando-se o cic lo (Fig.- 7.1 d).

O ciclo dessa máquina está representado no diagra na p-V da Fig. 7.2. A área sombreada é, ciar ; :mente, o trabalho cfetuado pela máquina.

O rendinv.i .to de uma máquina de Carnot é dado pela equação (6.2. Pelas características do cic lo,

5 !

.Ç~) \i

m t

m 1

m 1+

a i ; * í!4 í. •

já que se trata dt traba horea l i zado isotermicamente

durante a expansão Da mesma forma,

Qf^lVa^nRTj^

Fig. 7.2 - Diagrama p-V do ciclo da máquina de Carnot.

Deduz-se daí que

Qf J f " ' " O - u ) Qn Tq l n ( l / . / r , )

As outras clu.v: etapas tio ciclo são adiabáticas, para as quais, como já se v iu , 7 V ' ' = -

% 1 **1

constante. Entre B c •..

V 11 e entre D e A

7 , 1 ; r ' = 7 / i

®

^Dividindo-se uma relação pela outra, chega-se a

.In "Qa ^

Logo, o rendimento de uma máquina de Carnot é também dado por

O teorema de Carrtol diz que

Nenhuma máquina real, operando entre dois reservatórios, de calor, poderá | ^ Ni

ter um rendimento melhor do que o de uma máquina reversível (ou dej

Carnot) operando entre esses mesmos reservatórios.

Como consequência, todas as máquinas reversíveis têm, nas mesmas condições, o mesmo

rendimento.

Exemplo 7.1

A caldeira de uma máquina a vapor opera a 500 K. Nessa temperatura, a água se transforma em vapor, que aciona um pistão e, a seguir, é descarregado para o ambiente, que está a 300 K. Qual o rendimento ideal dessa máquina? Se, em cada ciclo, são absorvidos 200 J de calor, qual o trabalho máximo, por ciclo, que ela é capaz de realizar? Da equação (7.1).

300 77 = 1

500 = 0,4

\Como Q9=200J^o-imbx3lho efelivameule realizado é W = 0 ,4x200 = 807 I

- C , bCO f L

O ciclo de Otto

De todas as máquinas térmicas, nenhuma leve a popularidade do motor a gasolina a

quatro tempos, desenvolvido na segunda metade do século XIX pelo engenheiro alemão

Nikolaus Otto. Esse motor tem um ciclo descrito da seguinte maneira:

1. Admissão, para a câmara (ou cil indro), de uma mistura de ar e gasolina. Para isso,

abre-se a válvula de admissão e o recuo do pistão aspira a mistura (Fig. 7.3a).

2. Compressão da mistura, pelo avanço cio pistão (Fig. 7.3b).

3. Ao final da compressão, ocorre a ignição da mistura, iniciada por uma faísca'

elélrica (no vela , Tig. 7.3c). Tem então lugar a expansão brusca do gás no>cilindro,

que é quando o trabalho é eíetivamenle realizado (Fig. 7.3cl)

Válvula dc Válvula do admissão exaustão

Mistura \ , j ar-conibuslívcl r l - v

1— ! i I

t (b)

Vela

r EMES.»-.

I1

F/g. 7.3 - O ciclo de Oito de um motora gasolina.

Gases i!e exaustão

" 1

Gases de exaustão

(0

4 . O pista , atinge o curso máx imo, a válvula cie exaustão é aberta (Fig. 7 .4e) , o

pistão ; .vança c os gases da comb.ust; o são expelidos (Fig. 7 .40.

Torna-se < ridente que há diferenças ent r : a máquina de Carnot e o motor'a gasolina.

Certamente as n.ais importantes dizem respeito 1 0 fluido de trabalho, que não recircula, e à

fonte de calo.', que resulta da combustro do próprio fluido de trabalho (a mistura ar-

gasolina). Es«a < ombuslão do próprio fluic' D de t abalho faz com que o motor a gasolina seja

um motor de c< mbusfão interna. O c ic lo • ,uc o descreve é o ciclo de Otto 1 .

A Fig. 7.4 mostra o diagrama p-V do ciclo de Otto. Tanto a admissão quanto a exaustão são processos considerados como alterações de volume a pressão constante, sem implicações para a produção de trabalho ou para mudanças na energia interna. U m a vez admitida a mistura ar-gasolina, ela se expande (etapa A-B). Tem início então uma compressão, idealmente adiabática, de forma que o volume do fluido de trabalho recua para Vr_ „(valor, incidentemente,

Fig. 7.4 - Diagrama p-V do ciclo de t n motor a gasolina. similar a V J . Durante O processo de

ignição a pressão dentro do ci l indro aumenta, enquanto o volume jral icamenle não se altera (etapa C-D). Vem então a expansão do fluido de trabalho do voh ne V n ao volume VL , lambem vista como adiabática, onde o trabalho é efetivamenie prod ziclo. ,Ao fim da expansão, a válvula de expansão é aberta, o que corresponde a uma quecl i de pressão a volume razoavelmente constante (clapa E-B). O retorno dp pistão expulsa, a pressão constante, os gases queimados (etapa B-A), recomeçando-se, a seguir, o c c io .

'Na verdade, cjévcrio ser ciclo de R> elws, jn que foi pnlei :ido pelo engenheiro francês Alphonse de Rochas.

Hska3

Q * X i á à <

mm, O r e n d i m e n t o d e u m m o t o r q u e s i g a o c i c l o d e O t t o é t a m b é m d a d o p e l a equação

(6.2). D e v e ser l e m b r a d o q u e Q n é a b s o r v i d o q u a n d o d a i g r n ç ã o e q u e o c a l o r Q, é r e i e i t a d ò f É ^ ^ ^ i

n o t e m p o d e e x a u s t ã o . C o m o e s s e s d o i s p r o c e s s o s s ã o c o n s i d e r a d o s c o m o a p r o x i m a d a m e n t e | ? H p l t l ~

i s o c ó r i c o * , ^ \f-cX<2- •

e

D i a n t e d i s s o , ;

Qq Tn-Tc

C o m o as d u a s o u t r a s e t a p a s s ã o a d i a b á t i c a s , v a l e a r e l a ç ã o T V r*'= c o n s t a n t e . A l é m d i s s o ,

VgVt e VA*Vc*Vn . L o g o , =

S u b t r a i n d o - s e m e m b r o a m e m b r o , j/y

Exemplo 7.2 A relação entre VB e V^.(ou seja, entre os valores máximo e mínimo do volume do cilindro) é a razão de compressão r. Seu valor máximo é aquele que permita a compressão adiabática da mistura ar-gasolina (que necessariamente eleva -sua temperatura) sem que haja ignição espontânea (antes da faísca). Na prática/é um valor próximo a 7. Para 7=1,4 (já que a maior parte do fluido de trabalho é de ar), achar o rendimento máximo de um motor no ciclo de Otto. j Aplicando-se a equação (7.2), JyJÒ-, -

17 = 1 -g r - *

= 0,54 ou 5 4 %

Perdas por atrito e dissipação do calor colocam esse valor mais próximo de 20%. 9£5£3£

vV Cv ÉTP

Exemplo 7.3 Mostrar que uma máquina de Carnot tem um rendimento superior ao de uma máquina de

Otto (o que confirma o teorema de Carnot). \ O rendimento no ciclo de Otto é f í \

7 = 1-(y V

\II )

orno

\isso quer dizer que

Tc Tc \Yb)-Ao longo do ciclo, a tempera/ura mais alia éTDe a mais baixa é TB. Essas temperaturas equivalem a Tq e T/na equação (7.1), de forma que, no ciclo de Carnot,

T„ Tr

um valor claramente maior do que no ciclo de Otto. Ot> tsv va

O ciclo dos motores Diesel

t

Se o motor a gasolina é a mais popular das máquinas térmicas, tem-se como certo que a maior parte da potência geradas por máquinas térmicas em todo o mundo provém de motores Diesel . O motor Diesel foi criado pelo engenheiro alemão Rudolf Diesel na última década do século XIX, apenas alguns anos após o motor a gasolina. Ele funciona segundo as etapas seguintes:

1-2 2-3 3-4 4-6 &-6 6 - 7 7-1

Fig. 7 . 5 - Cleto completo (dito "aberto") de um motor Diesel.

m f »

m tm

•fim

...... m

è

«te

.,-1-

1. O cic lo se inicia com a compressão do ar dentro do cil indro (1 -2 na Fig. 7.5) . Essa

compressão é tomada como adiabática e reversível.

2. No ponto máximo de avanço do'pistão, a compressão eleva a temperatura do ar a

mais de 500°C . Nesse momento, o óleo Diesel é injetado para dentro do cilindro

(2-3 na Fig. 7.5) , num processo visto como isobárico.

3. A combustão instantânea do óleo Diesel provoca expansão da mistura gasosa e o T

retorno do pistão (3-4 na Fig. 7.5) , num processo tomado como adiabático. • l 4. Abre-se a válvula de exaustão (4-5 na Fig. 7.5) e os gases queimados começam a

deixar o ci l indro, até que a pressão interna se iguale à externa, num processo

aproximadamente isocórico.

5. O pistão volta a avançar, expulsando isóbaricamenle os gases queimados

restantes (5-6 na Fig. 7.5) .

6. No pontoide avanço máximo do pistão,,abre-se a válvula de admissão (6-7 na Fig.

7.5).

7. O retorno do pistão força a entrada isobárica de ar (7-1 na Fig. 7.5) e o ciclo é

reiniciado.

O diagrama p-V do cic lo de Diesel está mostrado na

Fig. 7 .6. A geração de trabalho tem lugar no ramo adiabático

3-4. A entrada de calor ocorre na combustão (etapa 2-3) e a

retirada de calor na exaustão (etapa 4-5).

A análise do ciclo completo do motor a Diesel , mesmo

admitindo-se que, tanto na compressão quanto na expansão, o

gás dentro do cilindro seja composto essencialmente de'ar (o

que faz com que o c ic lo seja também denominado ciclo de padrão de ar de Diesel), é um tanto complicada. Para uma

análise simplificada, esse Ciclo é substituído pelo ciclo

fechado, no qual a admissão de ar e a exaustão dos gases são V

. . . • i ... . • • t • . Fig. 7.6 - Diagrama p-V do ciclo omitidas e substituídas por uma etapa de resfriamento a de Diesel aberto

volume constante. Esse ciclo está mostrado na Fig. 7.7. No ciclo simplificado, à etapa

1 - 2 de compressão (1-2 na Fig. 7.7)

segue-se uma de injeção e combustão

(2-3) e outra de expansão (3-4). As

etapas 4-5 , 5-6, 6-7 e 7-1 do cic lo

aberto (ver Fig. 7.5) são substituídas

por apenas uma etapa de

resfriamento(4-1), que faz o sistema

retornar às condições iniciais.

O diagrama p-V desse c ic lo

fechado está mostrado na Fig. 7.B.

Vê-se que apenas as etapas de

admissão e exaustão foram retiradas,

sendo mantidas todas as suposições

tomadas como válidas para o cic lo

aberto. É com esse ciclo que

'1-6 'ò-A 4-1

^ # — - — " f,g. 7.7

% 0 c o n s i d e r a ç õ e s a c e n a tio r e n d i m e n t o Diesel.

£ # d o m o t o r D i e s e l s e r ã o feitas.

Ciclo simplificado (dito "fechado") de um motor

resto 3

Na operação do motor Diesel , o sislema absorve um

c^for Q a n o processo isobárico 2-3 (a combustão) e rejeita um

calor Qf no processo isocórico 4-1 (o resfriamento, no ciclo

fechado). Da definição de rendimento,

7 = 1 -

Como CJCv=y,

Qq nCp{T,-T2)

7 = 1- 7*4-7-, T,

= ]-•

•1

2 3

Fig. 7.8 - Diagrama p-V de um |f!> | c/cio de Diesel fechado.

O s processos enlre 3 e 4 e entre 1 e 2 são tomados como adiabálicos, de forma que

rj^-1 =T4V/~l

m

Logo,

T. r. - i 5*1

já que V',= V 4 . Como o processo 2-3 é isobárico,

Então,

7; I ' W) Daí , o rendimento passa a ser

7 = 1--

-1

yr2

= i - -

- i

Lembrando, mais uma vez, que a compressão 1-2 0 adiabática, \

_ i . ' / - i r / i -y _ i / r - i _ j _ 1 2 ' I ~ '• 2 TTTT

V. ' 1 J D a í ,

7 = 1- 2 1 ' 2

Dcfine-se a razão de expansão r r como Vj/V, e a razão de compressão r c c o m o VJVU •. Logo,

i í

TfcfcJj

Os motores Diesel têm sobre os motores a gasolina a vantagem de um melhor r e n d i m e n t o ^ 5 ! ^ ^ t

já que trabalham com taxas de compressão bem maiores (quase o dobro). São, no entanto : . •:''MM

mais ruidosos, têm uma razão potência/peso inferior e sua emissão é mais poluente. > t • "'iS^e

Exemplo 7.4

u

LI

r

A razão de expansão ide um motor Diesel é J5,e* a de compressão é 15. Qual seu

rendimento? Como o ciclo trabalha essencialmente com ar, y=l,4. Aplimndo-se a equação (7.3),

5 - M _ 1 5 - W , = 0,62OÍÍ62%

1,4(5-"-15-')!

Perdas por atrito e dissipação do calor fazem com que o rendimento real fique em torno de 40%. S£3£3£ cm pp <rv

A escala absoluta de temperatura

Os diversos tipos de termómetros se baseiam em alterações mensuráveis das

propriedades de diversos materiais quando sujeitos a variações de temperatura. Essas

^ • p r o p r i e d a d e s , no entanto, não são perfeitamente lineares: um mesmo aumento de

temperatura causará alterações ligeiramente diferentes se ocorrer, num primeiro momento,

í g e m torno dos 10°C e depois em torno dos 500°C. Seria, então, altamente desejável a.

definição de uma escala de temperatura independente das propriedades de qualquer

^material. O ciclo de Carnot permite a construção de uma escala verdadeiramente absoluta.

^ No ciclo de Carnot ficou claro que a relação entre o calor rejeitado Qf e o calor

^absorvido Q,,i é exatamente a relação entre-a temperatura cio reservatório frio T( e a do

^reservatório quente T ( ( . . Operando-se uma máquina reversível num ciclo de Carnot e

b jned indo-se , cuidadosamente, Q, e Q , ( , uma temperatura qualquer 7" pode ser determinada

I ; se um dos reservatórios for mantido a uma temperatura conhecida. Como,

|? in ternac iona lmente , o ponto triplo da água é a mais importante referência de temperatura (e

|? domado como 273 ,16 K) , mantendo-se um reservatório nessa temperatura e o outro na

| | temperatura que se quer determinar, mecle-se Q, (o calor rejeitado ou absorvido para o

I* teservatór io no ponto triplo) e Q (o calor absorvido ou rejeitado para o outro reservatório) e

% t c h a - s e T segundo

t Vi

T = 273,16-^- K 03

(7.4)

w A equação acima é similar à do termómetro a gás a volume constante (equação (1.4)) ,

y t i a s com a vantagem de independer do gás e poder ser usada a temperaturas muito baixas ,

'̂ t i s quais todos os gases já estão liquefeitos e solidificados.

hm i m

m m

•a-

física 3

Pela equação (7.1) o rendimenlo de uma máquina de Carnot será de 100% se a

temperatura do reservatório frio for de Q K, o que fará com que Q,=0. Assim, Lord Kelvin,

que propôs a escala absoluta de temperaturas, dizia que •

O zero absoluto é a temperatura do reservatório para o qual a máquina de | Carnot não rejeita calor.

A máquina de Carnot permite demonstrar quê, num processo cíc l ico reversível, a

variação da entropia é nula. Pela equação (6.6)

* T Tq Tf

Como, num cic lo de Carnot, Q,/Ti=Ql]/T,l, fica claro que AS=0.

A 3'- lei da tem odinâmica

O falo de que havia uma redução na velocidade da moléculas de um gás com a í §

temperatura, corno fica evidenciado pela equação (3 .7) , levou diversos cientistas e<§

pesquisadores a acreditar que, na temperatura do zero absoluto, as moléculas de q u a l q u e r ^ jP

corpo estariam imóveis. Na verdade, a mecânica quântica não aceita esse . . r ac ioc ín io .^

Segundo a mecânica quântica, no estado mais baixo de energia para um átomo essa e n e r g i a ^

não é nula. E la , embora possa ser descrita teoricamente e mesmo medida, não pode, n o 0

entanto, fluir para, outro corpo, ou seja, o átomo, no zero absoluto, está num estado de@ §"'•'_

mínima entropia que não pode ser alterado.. <ll IN

Com base em experimentos a baixas temperaturas, o químico alemão Walther N e r n s © | í

estabeleceu que # p<-

m m No zero absoluto, mudanças de estado se processam sem alteraç

entropia.

Essa afirmativa ficou conhecida tomo a 3° lei da termodinâmica. Como se v iu , se um reservalório estiver na lempetatura do zero absoluto, umíP |

máquina operando no ciclo de Carnol terá rendimento de 100%, o que é c laramente | '- :

impossível . De fato, Nernsl também observou que, á medida que se resfria um corpo^ |

quantidades maiores de calor precisam ser dele retiradas para se obter quedas cada vef ; |

menores em sua temperatura. Nernsl então propôs que sua lei deveria ser escrita ^ g

O zero absoluto é inatingível

m I

V

81

j

êapLÍLu/ô- 8

' i %

• - I

A evolução dos conceitos sobre a luz

Só no século XVII as primeiras ideias sobre a luz foram desenvolvidas de maneira

científica. Elas envolveram dois dos maiores expoentes da ciência da época: Isaac Newton e

Christiaan Huygens.

Newton, um atomista, defendia a ideia de que a luz era o resultado da propagação de

pequenos corpúsculos luminosos, ou átomos de luz, pelo espaço. Por essa teoria corpuscular da luz os fenómenos associados à luz, como a reflexão e a refração, seriam

explicados com base no movimento desses corpúsculos. Na reflexão, os corpúsculos

colidiam contra uma superfície polida, da mesma maneira que uma bola contra uma

parede. Na refração, os corpúsculos mudavam de direção quando atravessavam a fronteira

entre dois meios transparentes (do ar para o vidro, por exemplo).

Já Huygens defendia a teoria ondulatória da luz, introduzida algumas décadas antes

por Robert Hooke. Segundo essa teoria a luz se propagava da mesma forma que as ondas

que se formam quando uma pedra atinge a superfície da água. Quando as ondas de luz

atingiam uma superfície polida elas eram refletidas da mesma maneira que as ondas na água

quando batiam contra um obstáculo rígido. A me$ma;,analogia era feita com relação à

refração.'A teoria ondulatória pressupunha que as ondas de luz eram em tudo similares às

ondas mecânicas (como as ondas produzidas na água ou as ondas de som). Essas ondas

exigem um meio para sua propagação. Como se sabia que entre os astros só existia o vácuo,

foi postulada a existência de um meio específico para a propagação das ondas de luz, o éter. Transparente, sem massa, inodoro, insípido, o éter existia em toda a parte e só foi declarado

inexistente ao final do século XIX, num simples e magistral experimento realizado por Albert

Michelson e Edward Morley.

A disputa entre os dois modelos de propagação da luz começou a pender em favor

da teoria ondulatória com os experimentos sobre interferência da luz realizados por Thomas

Young no início do século XIX. Um importante reforço foi dado pela sugestão de que a luz

era o resultado da propagação de campos elétricos e magnéticos, feita por^ames Maxwell

mais de meio século mais tarde. No início do século XX, a explicação do"efeito fotoelétrico

por Albert Einstein, realizada com base na teoria dos quanta, iria mostrar que aMuz se

propaga na forma de pacotes de onda, cuja energia depende da frequência da emissão da

luz, o que de certa forma reuniu as duas teorias.

Física 3 82

A determinação da velocidade da luz

Um dos mais fascinantes capítulos da história da ciência envolve a determinação da

velocidade da luz. É um conceito intuitivo o de que essa velocidade é verdadeiramente

enorme, e durante muitos séculos a propagação da luz foi considerada como essencialmente

instantânea. Isso fazia com que a luz tivesse uma velocidade improvavelmente infinita.

A primeira tentativa realmente

científica de determinação da velocidade

da luz foi feita em meados do século XVII e

se deveu a Gali leo Gal i le i . Cônscio de que

a velocidade da luz deveria ser muito

grande, ele sabia que só seria possível

medi-la (ou ao menos reconhecer que ela

era finita) ao longo de uma distância

razoável. Sua solução para esse problema

foi colocar à noite dois observadores em

duas colinas separadas por uma distância

razoável, um de frente para o outro (Fig. F i g 8 1 _ M 6 t o d o d e G a l l l 6 0 ^ d e t e r m i n a ç S o d a

8.1). Cada observador carregava um velocidade da luz.

lampião coberto com um pano. Em dado momento, um deles descobria o lampião. No

momento em que o outro percebesse essa luz, descobriria o seu lampião, que por sua vez

seria percebido pelo primeiro observador. O tempo decorrido entre descobrir seu lampião e

ver a luz do outro permitia ao primeiro observador calcular a velocidade da luz, já que a

distância entre ele e o segundo observador era conhecida.

Esse experimento não trouxe resultados conclusivos. Hoje sabe-se ! que, mesmo

tomando-se uma distância razoável entre os observadores, o tempo de trânsito da luz seria

várias ordens de grandeza menor que o tempo de reflexo humano. Uma vez mais a luz era

vista como infinitamente rápida. :

Ficou claro que era preciso medir à velocidade da luz ao longo de uma distância

bem maior. Algumas décadas mais tarde, o astrónomo dinamarquês Ole R0mer sugeriu em

1676 um método baseado nas distâncias interplanetárias. Por essa época, os quatro maiores

satélites de Júpiter j á tinham sido exaustivamente estudados, de forma que os períodos de

suas órbitas já eram conhecidos com razoável precisão. O plano da órbita dos satélites é

praticamente o mesmo da órbita da ter ra e de Júpiter," de maneira que, relativamente à

Terra, eles são eclipsados por Júpiter. R0imer observou durante alguns anos os eclipses de

lo, um dos satélites. Ele percebeu que, a partir de um certo mês, os eclipses começavam a se

atrasar a cada observação, atingindo um atraso máximo de uns 10 minutos após cerca de 6

meses. A partir daí, os eclipses começavam a. ocorrer paulatinamente mais cedo, e em 6

meses registravam um adiantamento de outros 10 minutos. R0mer achou que isso tinha algo

a ver com a posição da Terra em relação a Júpiter. Começando com a Terra no ponto de sua

órbita mais próximo de Júpiter (o que se chama de oposição), à medida que a Terra se

afasta, o eclipse se atrasa porque a luz de lo deve cobrir uma distância maior até chegar à

~ Pâ '.{4

Fig. 8.2 - Como Remer mediu a velocidade da luz.

Poslçào rea! da wirela -.:

1

PosIçSo «parente da «trela

I Direção d* luz T

Terra (Fig. 8.2) . Assim, 10 miriutos era o tempo

necessário para a luz cobrir o raio da órbita da Terra.

Como esse diâmetro era conhecido (embora não muito

bem), sua divisão pelos 10 minutos resultou num valor

para a velocidade da luz hoje equivalente a 214.000

km/s (cálculo que, aparentemente, não chegou a ser

feito por R0mer).

Uma determinação mais acurada segundo um

método astronómico foi feita e m . 1728 pelo físico e

astrónomo Joseph Bradley. Como a Ter ra se move em

sua órbita a uma velocidade de cerca de 30 km/s, os

raios de luz de uma estrela que esteja exatamente no

zénite não poderão atravessar um fino tubo

perfeitamente na vertical (da mesma maneira que a

chuva, caindo verticalmente, irá bater contra a parede

de um tubo vertical que esteja sendo deslocado

horizontalmente). A pequena inclinação que deve ser

dada ao tubo para que a luz da estrela o atravesse é a

aberração estelar. A tangente do ângulo de inclinação

é, obviamente, a relação entre a velocidade da luz e a

daTerra.(Fig. 8 .3) .

É evidente que, para que a medida fosse feita, a

posição real da estrela teria de ser conhecida, o que

não é possível, j á que sua observação necessariamente

inclui a aberração estelar. Bradley usou a mesma

técnica de Romer: mediu a posição de uma estrela da

constelação do Dragão ao longo de um ano e, com os

instrumentos de que dispunha na época, observou que

entre duas medidas espaçadas de seis meses tinha luz (c) pela aberração estelar.

havido uma variação de 40 ,9" . Esse ângulo é o dobro do ângulo a da Fig. 8 .3 , pois

representa a soma da aberração num momento em que a Terra está andando em sua órbita

num sentido com a aberração num momento em que a Terra está andando no sentido

oposto. Logo, a tangente de 20 ,45" é a relação entre a velocidade da Terra em sua órbita e a

velocidade da luz. Com isso, Bradley determinou a velocidade da luz como sendo, em

números atuais, 301.000 km/s.

Embora esse último resultado seja menos de 0,4% maior do que o que se adota hoje

em dia, ficou evidente que a determinação precisa da velocidade da luz dependeria da

realização de experimentos controlados, o que só seria possível se eles fossem realizados na

própria Terra. O primeiro experimento desse género bem sucedido foi realizado por

Armand-Hypolite Fizeau em 1849. Ele utilizou um sistema de espelhos e uma roda dentada

giratória (Fig. 8.4).

O experimento de Fizeau é feito da seguinte maneira:

>

CM

Fig. 8.3 - Determinação da velocidade da

FtsUaJ 84

Espelho jemi-transparente Espelho

• Luz de uma fonte intensa

é concentrada por uma

lente e atravessa um

espelho semitransparente

inclinado em 45°com a

vertical, chegando a uma

roda dentada;

• com a roda dentada

colocada de tal forma Fig. 8.4-Método de Fizeau para determinação da velocidade da

que o espaço entre dois l u z

dentes esteja alinhado com o feixe, a luz atravessa a roda, passa pelas duas lentes,

atinge o espelho e faz todo o caminho de volta até o espelho semitransparente,

sendo refletida; para o observador;

• alinhando um dente com o feixe,,o observador não vê a luz;

• a roda é posta a girar com velocidade angular crescente; i

• o observador; yê a luz piscar com frequência cada vez maior, até que passa a não

mais ver" a luz: isso significa que o tempo requerido pela luz para ir da roda

dentada ao espelho e de volta à roda é igual ao tempo necessário para um

deslocamento angular da roda de um espaço para um dente;

• acelerando-se ainda mais a roda, a luz volta a ser vista, de forma que o tempo

requerido pela luz para ir da roda a espelho e de volta à roda é agora igual ao

tempo necessário para um deslocamento angular entre dois espaços;

• . sendo conhecidos o ângulo entre um espaço e um dente (ou entre dois espaços), a

velocidade angular da roda e a distância entre a roda e o espelho, a velocidade da

luz pode ser calculada.

Fizeau encontrou 313.000 km/s.

Exemplo 8.1 A roda dentada de Fizeau tinha 720 dentes e a distância entre ela e o espelho era de 8.630

m. Qual a velocidade angular da roda para a qual a luz da fonte se tornará invisível? O ângulo entre um dente e o espaço entre dentes seguinte é de 271/1440 rad. Tomando-se a velocidade da luz pelo seu valor aproximado de 3x108 m/s, o tempo necessário para que ela passe pela roda, re/lita-se no espelho e retorne à roda é de

3x10* \ Nesse intervalo de tempo a roda deverá executar um deslocamento angular de 2rc/1440 rad. Logo, a velocidade angular deverá ser de

w = 2 -̂/1440 5.75x10"5

75,9 rad Is = 12,1 rps

9£3£5£ oO uv CTD

m um

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3.

@ I m í $ 3 B

m

Física 3 85

Espelhi rotativo

o

Espelho fixo

Em 1850, Jean Leon Foucault

modificou o desenho de Fizeau,

substituindo a roda dentada por um

espelho rotativo (Fig. 8.5). O método de

Foucault funciona da seguinte maneira:

• Tomando-se por base o plano

do espelho fixo, existe um

ângulo a entre o espelho

rotativo e esse plano para o

qual a luz da fonte é reflètida

para o espelho fixo pelo

espelho rotativo; r Fig. 8.5 - Método de Foucault para determinação da

• nessas condições, o feixe de velocidade da luz.

luz retorna para a fonte;

• pondo-se o espelho rotativo a girar, o reflexo começa a afastar-se da fonte;

• isso acontece porque no espaço de tempo necessário para a luz partir do espelho

rotativo e retornar para o espelho fixo, o espelho rotativo girou ligeiramente;

• o ângulo 0 entre o feixe primário (que partiu da fonte) e o refletido é o dobro do

ângulo de rotação a do espelho móvel , e pode ser facilmente medido;

• conhecidos a e a velocidade angular do espelho rotativo, sabe-se o tempo

necessário para que ocorra o deslocamento angular a ;

• diVidindo-se o dobro da distância entre os espelhos por esse tempo, acha-se a

velocidade da luz.

Foucault encontrou para a velocidade da luz-um valor de 298.000 km/s, não tão bom

quanto o de Bradley, mas bastante próximo do adotado hoje em dia. A grande vantagem do

método de Foucault estava na boa precisão que poderia ser atingida na medição do ângulo

6, mesmo que esse ângulo fosse muito próximo de zero. Isso permitiu que o experimento

pudesse ser realizado num espaço relativamente pequeno. Em vez dos 8.630 m de Fizeau, a

distância entre os espelhos no experimento de Foucault era de apenas 20 m. ,Em

experimentos seguintes, Foucault colocou entre os dois espelhos um tubo cheio de água,

achando uma velocidade menor do que a encontrada para a propagação da luz no ar. Com

isso, ele foi o primeiro a determinar que a luz viajava com velocidades diferentes em

diferentes meios.

Em 1879 Albert Michelson realizou o primeiro de um série de experimentos que

iriam ocupá-lo por meio século e resultar em medidas cada vez mais acuradas da

velocidade da luz. O processo empregado era geralmente o mesmo, e baseado no espelho

giratório de Foucault. A inovação foi o uso de um espelho multifacetado, na forma de um

prisma reto de base octogonal. •• •, • ;

Um dos melhores experimentos de Michelson foi realizado em 1926 e está mostrado

na Fig. 8.6, levando a um resultado de 299.796 km/s. No experimento, com o espelho

multifacetado estático e ajustado de forma que uma de suas faces fique paralela ao espelho

fixo M, e outra ao espelho fixo M 3 , a luz da fonte A é visível ao telescópio T . Pondo-se o

. Mi

Ftska3 ; 86

espelho multifacetado a girar com

velocidade angular crescente, o observador

inicialmente verá "flashes" de luz,

correspondentes aos eventos de alinhamento

mencionados acima. Aumentando-se*" a

velocidade angular, a.sequência de eventos' é

a seguinte: : M , x

• A luz atinge a face 1 do espelho Fig 8.6 - Experimento de Michelson para medida da multifacetado; ' velocidade da luz.

• estando essa face alinhada com M, , a luz será dirigida para M 2 e M 3 e para a face

5 do espelho multifacetado;

• como o espelho multifacetado girou enquanto a luz fazia esse percurso, no

momento em que a luz atingir o espelho multifacetado a face 5 não estará mais

alinhada com o espelho fixo M 3 , de maneira que a luz não chegará ao telescópio;

• aumentando-se a velocidade angular, porém, a luz voltará a ser visível; »

• isso acontecerá porque a velocidade angular é, nesse momento, tão grande que a

luz refletida pelo espelho fixo M 3 atingirá o espelho multifacetado no instante em.

que a face 4 estiver alinhada com M 3 ;

• conhecida à distância total percorrida pela luz (no caso real, cerca de 70 km) e a

velocidade angular nesse instante, determina-se a velocidade da luz.

Após ter Maxwell estabelecido a natureza eletromagnética da luz, foi aberta a

possibilidade de se determinar a velocidade da luz com base em parâmetros

eletromagnéticos. Pela teoria eletromagnética, a velocidade da luz no vácuo c é dada por

c = ( 8 . 1 )

onde £ 0 é a constante de permissividade do vácuo e p0 é a constante de permeabilidade do

vácuo. A primeira determinação desse tipo foi feita em 1907 por E.B. Rosa e N.E. Dorsey,

que encontraram 299.788 km/s. •

Após uma sequência de resultados cada vez mais próximos para a velocidade da luz

no vácuo, a Comissão Internacional de Pesos e Medidas adotou em 1983 o valor exato de

299.792.458 m/s, sendo â partir de então o metro definido como a distância percorrida pela

luz no vácuo em 1/299.792.458 do segundo.

Exemplo 8.2 _ J

Em astronomia, a unidade padrão de medida é o ano-fuz, definido como a distância

percorrida pela luz em 1 ano. Qual é essa distância em km? Um ano possui 365x86400 = 3,1 54 xl0 7s - ;

| Logo, o ano-luz tem

3,154x10' x3xl0 5 = 9,461 x IO15Ârm I JSfijfif 1 trv trV frv

3 f l

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til i

9 %

hm

© 1 %

Eletricidade e luz: o efeito fotoelétrico

Fig. 8.7- Bobina de Ruhmkorff.

Ao final do século XIX, fontes de tensão de

milhares de volts já haviam sido desenvolvidas.

Uma dessas fontes de alta tensão era a bobina de

indução ou de Ruhmkorff {Fig. 8.7). Nessas bobinas,

a rápida interrupção e religação do circuito do

eletroímã E induzia íelevadas tensões na bobina'

externa. Caso fossem ligados dois életrodos ( f e f ) às'

extremidades dessa bobina, a visualização da alta

tensão induzida era possível pela presença de

descargas elétricas entre os dois quando eles

estivessem suficientemente próximos um do outro.

Em 1888, Heinrich Hertz observou que a distância de descarga entre dois életrodos

ligados a uma bobina de indução poderia ser substancialmente aumentada se eles fossem

iluminados com luz ultravioleta (Fig. 8.8).

Hallwachs prosseguiu essas experiências, ^

demonstrando que metais carregados

negativamente perdem essa carga quando

banhados em luz ultravioleta. Em outras

palavras, cargas negativas pareciam ser

ejetadas de um metal quando com ele Fig. 8.8 - Experimento de Hertz.

interage luz de alta frequência. Philip Lenard,

em 1900, conseguiu desviar essas cargas com um "campo magnético, e demonstrou que se

tratavam dos eléctrons, recém-identificados como componentes, do átomo por Joseph John

Thomson. (No modelo de Thomson, o átomo era uma esfera de carga positiva na qual os

eléctrons estavam inseridos como ameixas

num pudim.)

Conclusões ainda mais detalhadas

podem ser tiradas a partir de experimentos

realizados com o equipamento mostrado

na Fig. 8.9. P e M são dois életrodos

ligados a uma fonte de corrente contínua

regulável através de um galvanômetro. No

momento em o eletrodo M recebe um

fluxo de luz, uma corrente flui no circuito,

o que pode ser constatado pela leitura do

galvanômetro em série com o circuito.

Esses experimentos apontam para as seguintes conclusões:

• Fazendo-se a diferença de potencial entre P e M maior ou igual a zero, uma

corrente constante aparece no circuito: essa é a corrente de saturação ls ;

Luz

Tubo do quartzo

Fig. 8.9 - Aparelho para verificação do efeito fotoelétrico.

Corrente de saturacuo

Poi&ncial dc írefimenio

Física 3 , : ; 88

tornando P mais negativo que M, a corrente continua a circular no mesmo

sentido, mas sua intensidade decresce com a diferença de potencial, até que, para

um determinado valor, a corrente se anula; essa diferença de potencial é o

potencial de frèamento Vs (Fig. 8.10) • Quanto maior a intensidade da luz,

maior a intensidade da corrente de

saturação, mas não há alteração no

potencial de frèamento, desde que a

frequência da luz não se altere (Fig.

8.11)

• A variação da • frequência da luz

incidente conduz a alterações na

corrente de saturação e no potencial de

frèamento; de maneira geral, quanto R g 8 1 0 _ R 9 p r B s m t a ç S o g i M c a d a c o r r e n t e d e

maior a freqiiência, maior ls e mais saturado e do potencial do freamenUi.

negativo Vs.

• Existe uma frequência limiar abaixo da

qual o efeito fotoelétrico não se verif ica;

essa frequência, no entanto, varia com

o metal onde a luz incide, sendo mais

baixa para os metais alcalinos (Fig.

8.12).

A teoria ondulatória clássica da luz podia

muito bem explicar alguns dos aspectos

experimentais do efeito fotoelétrico. O efeito em si a . í í - Dependência da corrente de

era' apenas o resultado da transformação da saturação com a intensidade da luz.

energia dá luz incidente em energia

» 3

Intensidade completa da luz

50% de intensidade

25% de intensidade

V, votts •

cinética dos portadores de carga do

metal. Af inal , pouco tempo antes James

Maxwel l havia apresentado sua teoria

eletromagnética da luz, pela qual a luz

se propagava na forma dè campos

elétricos e magnéticos ondulatórios,

perpendiculares entre si e à direção de

propagação, de maneira que sua

influência em fenómenos elétricos era de Fig. 8.12 - Frequência limiar para o eleito fotoelétrico em diversos metais.

se esperar.

Assim, quanto maior a intensidade da luz, mais energia era cedida e mais portadores

eram extraídos do metal, daí o aumento da intensidade da corrente. Mas por que a

frequência da luz era relevante? E qual a influência do metal no processo? Para essas

perguntas a teoria clássica não tinha respostas, mas uma teoria proposta para explicar a

emissão e absorção de radiação por corpos negros iria solucionar o problema.

o tm 0 m

O Q ® •VM

m Hia»'

9

S B <J ímm

; 0 £ 3

b§m

m...

m Pm

0 í(m

:.:y i$\

A teoria dos "quanta'' aplicada ao efeito fotoelétrico

Em 1900, Max Planck propôs uma teoria segundo a qual a emissão e especialmente a

absorção de radiação por um corpo negro se fazia por meio de "pacotes" de energia

definidos. Segundo a teoria, a energia emitida ou absorvida teria a forma

~Ê~= nh v , , ( 8 . 2 )

onde n=0, 1, 2. . . , h é uma constante e v é a frequência da radiação. O produto hv foi

batizado de "quanturh" de radiação, equivalente à menor quantidade de energia sob a

forma de radiação de frequência v q u e poderia ser emitida ou absorvida.

A relevância dessa teoria não foi apreciada de imediato. Mas em 1905 Albert Einstein

aplicou a teoria dos "quanta" à análise do efeito fotoelétrico. O raciocínio de Einstein foi

bastante simples. Se a absorção de energia radiante por um corpo se faz por meio de

"pacotes" de energia, deve existir uma energia mínima para se extrair um eléctron de um

átomo. Assim, somente um "pacote" com energia ao menos iguai a esse valor, que ele

batizou de "função de trabalho", seria capaz de realizar o efeito fotoelétrico. Por alguma

razão, a função de trabalho variava de metal para metal, o que fazia com que luz de uma

dada frequência fosse capaz de extrair eléctrons de um metal e não dé outros. Finalmente, o

excesso de energia do "pacote" incidente sobre a função de trabalho aparecia sob a forma

de energia cinética dos eléctrons, o que era evidenciado pelo maior ou menor potencial de

frèamento. Isso levou ao equacionamento dessa energia cinética 7segundo

T = eVs = h v - W " ( 8 . 3 )

onde Wé função de trabalho e se aplièou a conservação da energia ao eléctron, igualando-

se a energia cinética por ele adquirida à potencial eletrostática decorrente da aplicação do

potencial de frèamento. A constante h, ou constante de Planck, vale 6,626x10" 3 4 J.s.

A confirmação da val idade da equação (8.3) teve de esperar uma década, quando

Robert Millikan demonstrou a linearidade entre a frequência c e o potencial de frèamento V5

para o pqtássio. Essa confirmação foi crucial para o estabelecimento da teoria quântica, fato

que teve grande repercussão na física do século XX.

Para a análise da propagação da luz, uma ironia: Hertz, num experimento que

demonstrava a teoria eletromagnética ondulatória de Maxwell , lançou as sementes para-.a

aceitação da teoria corpuscular da luz, proposta por Isaac Newton e refutada, com sucesso,

por seu contemporâneo Christiaan Huygens. Os corpúsculos eram meramente substituídos

pelos mais modernos "quanta" de luz, que eventualmente passaram a ser chamados de

fótons. Por outro lado, fenómenos.sobejamente conhecidos, como a reflexão, a refração, a

difração e a polarização da luz apontavam para seu caráter ondulatório. Essa "dualidade"

onda-partícula seria estendida ao eléctron e às outras partículas componentes do átomo,

mostrando que, no domínio do muito pequeno, os dogmas.da física clássica não mais se

aplicam.

Quanto ao estudo da natureza da matéria, a teoria do efeito fotoelétrico pouco

acrescentou. Afinal, eléctrons já eram conhecidos como parte do átomo. Uma pergunta

certamente deve ter sido feita, no entanto. De onde vem a'função de trabalho, e qual a

razão dos valores diferentes, mas sempre os mesmos, para cada elemento? A indicação era a

de que o posicionamento dos eléctrons no modelo de Thomson para o átomo não era de

forma alguma aleatório.

E x e m p l o 8.3 «V-O comprimento de onda de luz limiar para o efeito fotoelétrico no potássio é 558 nm.

Qual a função de trabalho do potássio? Qual o potencial de frèamento quando o

comprimento de onda utilizado é de 400 nm? A função de trabalho é definida a partir da energia radiante mínima para a ocorrência do efeito fotoelétrico. Tendo-se o comprimento de onda X da radiação, a frequência v pode ser calculada, pois o produto desses dois parâmetros fornece a velocidade de propagação c. Logo, a frequência correspondente a 558 nmfé

c 3x10" = 5,37x10'4 Hz V X 558xl0"9

A energia desse fóton, e por extensão q função de trabalho do potássio, é

E = hv = 6,626x 1Ò - 3 4 x5,37x 10'4 = 3,56xlO"'9 J = 2,22eV onde se adotou ò fator de conversão 1 eV = 1,602x10'19 J. O potencial de frèamento é obtido a partir da energia cinética máxima dos eléctrons, pois essa energia se iguala à energia potencial eletrostática adquirida pela aplicação desse potencial. A energia cinética máxima Tm dos eléctrons é dada pela equação (8.3): t u w 6,626 xlO' 3 4 3x10" • T =hv-W = :—— x - 2,22 = 0,88 eV

1,602x10 9 400xIO"9

Como essa energia é igual a eVs, acha-se Vs = 0,88 V tro vv vo

B**3 j S

As frentes de onda de Huygens

Um dos pontos importantes da teoria ondulatória de

Huygens é a hipótese da propagação da luz na forma de frentes T vT ~J

de onda. Segundo essa hipótese, a propagação da luz se faz na

forma de ondas esféricas que partem da fonte. Cada ponto na

superfície dessa esfera é, por sua vez , a origem de novas ondas

esféricas, e assim por diante. A superfície que envelopa essas

ondas esféricas, tangenciando seus pontos mais externos, é a ' w

frente de onda (Fig. 7.1) . Com isso, as frentes de onda são Fig. 7.1 - Frentes de onda (a) . . . . . . , planas e (b) circulares.

sempre perpendiculares a direção de propagação.

No caso das ondas de luz, cuja

propagação é feita em todas as direções, as

frentes de onda são esféricas. As ondas que se

formam na água, que se propagam em duas

dimensões, são circulares (Fig. 7.2) . Um objeto

que se desloque sobre a água com velocidade

constante maior do que a de propagação' das

ondas irá formar frentes de onda retas (Fig. 7.3).

Isso acontece uma onda produzida pelo objeto num dado ponto é

gerada antes que a imediatamente anterior tenha chegado a esse

ponto. As frentes de onda, por serem tangente às ondas, são duas

retas.

Fig. 7.2 - Ondas mecânicas na água.

As ondas eletromagnéticas

Fig. 7.3 - Frentes de onda de um corpo movendo-se num melo com velocidade maior do que a das ondas no melo.

Num experimento realizado por Michael Faraday em 1845, ficou evidenciada a influência de campos magnéticos sobre a. luz. Já era sabido que a luz, ao passar através de determinados cristais, como a calcita, adquiria uma direção preferencial. Atravessando novamente um cristal similar, a luz resultante poderia manter sua intensidade ou tê-la

'SÊ

ondas eletromagnêticas.

LUZ ULTRAVIOLETA

MICrtOOMDAS KAIO*-X ( RAtO» CAMA

RADIO

reduzida a praticamenle zero, dependendo' do ângulo de $ffif$&B$$$ rotação entre os dois. cristais. Diz-se então que a luz, ao ^

atravessar certos meios, torna-se polarizada. O que Faraday

demonstrou foi que a aplicação de um campo magnético

intenso sobre a luz polarizada tinha um efeito parecido ao

do segundo cristal, ou seja, girando-se esse campo em torno

do feixe ele era mais ou menos intensificado.

Esse fato levou James Clerk. Maxwel l a propor, alguns

anos mais tarde, a teoria eletromagnética da luz. Por essa

teoria, a luz é O resultado da propagação de campos Fig. 7.4 - Representação gráfica das

elétricos e magnéticos oscilantes, perpendiculares entre si e

à direção de propagação dá luz

(Fig 7.4). Duas décadas e meia INFRAVÍRÍMUM

após, Heinrich Hertz iria mostrar

a existência das ondas

eletromagnêticas, que tinham

muitas das propriedades da luz, o

que comprovaria a hipótese de

Maxwel l . Hoje a luz é vista como

uma parcela extremamente

pequena da grande família das ondas eletromagnêticas (Fig. 7.5). FÍB- 7-5 ~ * família das ondas eletromagnêticas.

O que diferencia â luz das outras ondas é o fato de que ela está numa faixa de

frequências que faz com que o olho lhes seja sensível. A enorme faixa de variação das

frequências da luz implica, pela equação de Planck (equação 6.1) numa enorme faixa de

energias associadas. Isso explica porque os efeitos dos raios-X são bem diferentes dos efeitos

das ondas de rádio.

Características de ondas

Todo processo que ocorre por meio de ondas apresenta uma série de características

especiais. Ondas possuem uma velocidade de propagação, frequência e comprimento de

onda. A velocidade de propagação depende do tipo da onda e do meio em que ela se

propaga. Ondas mecânicas, como as de som, têm sua velocidade dependente da elasticidade

do meio.

As ondas eletromagnêticas, sendo o resultado da propagação de campos elétricos e

magnéticos, têm uma velocidade várias ordens de grandeza maior que a das ondas

mecânicas, e o meio em que elas viajam tem influência sobre esse valor, mas em escala

muito menor. Ondas mecânicas e eletromagnêticas, apesar disso, guardam a mesma relação

entre velocidade de propagação, frequência e comprimento de onda. É uma noção intuitiva a

m

m

m m m

Im

lê

0 1*

8 O

i ! <3» ,<;.íw

de que, para uma mesma velocidade de propagação, também chamada de velocidade dê fase, vfl quanto maior a frequência v, menor o comprimento de onda X. Essa relação se escreve

v f = kv (7.1)

Exemplo 7.1 A BBC transmite para o Brasil em ondas curtas na frequência de 11820 kHz. Qual o

comprimento dessas ondas? Como se trata de ondas de rádio, a velocidade de propagação é de aproximadamente 3*10* m/s. Assim o comprimento das ondas é, segundo a equação (7.1), de

3 x l 0 8

X = T- = 25,4 m 11,82 x IO6

Por acordo internacional, ficaram definidas as faixas, ou bandas, de frequência nas quais a transmissão de rádio e televisão deveria ser feita. Em rádio, cada faixa é caracterizada pelo comprimento de onda médio. A faixa que vai de 11,7 a 12,1 MHz é a faixa dos 25 m. 3£3£3£ ' ffo trv (TO

A velocidade das ondas de luz no vácuo é uma das grandes constantes físicas e, como

já se v iu , exatamente igual a 299.752>458 km/s. Em outros meios, essa velocidade é

necessariamente metfÔrTÊõtno' foi 'demonstrado póffóúcSulC K rètlçap^éntre a velocidade da

luz no vácuo c e sua velocidade v em outro meio é

c n = —

v (7-2)

onde n é o índice de refração do meio. A Tabela 7.1 mostra alguns valores para n.

TABELA 7.1 - índices de refração (para A=589 nm)

Substância .n

Vácuo 1

Ar (a 20° C e 1 atm) 1,00029

Água 1,333 Álcool etílico 1,36

Vidro crown 1,52

Vidro flint denso 1,66

Safira 1,77

Diamante 2,42

Exemplo 7.2 . O índice de refração da água é 1,33. Qual a velocidade da luz na água? De acordo com a equação (7.2),

v = 2 i i I 2 l = 2,25xlO8 m/s 1,333

Já

Essa é uma velocidade relativamente baixa, de forma que algumas partículas subatômicas conseguem viajar na água a velocidades superiores. No caso de partículas carregadas, a perturbação que elas provocam na água leva à emissão de uma forma de radiação luminosa, a radiação Cerenkov. v\3 OU Ou

A intensidade de uma onda é representada por sua amplitude. A amplitude é definida

como o máximo distanciamento da onda a partir da posição de equilíbrio. A amplitude é

usualmente função da perturbação no meio provocada pela fonte. U m pequeno seixo jogado

à água irá gerar ondõs de pequena amplitude, medida aqui pela altura máxima a partir do

nível original da águ . U m grande bloco de rocha irá gerar ondas de amplitude bem maior.

Reflexão

O compor amento ondulatório apresenta uma série de fenómenos que lhe são

próprios. U n i d o s mais prohtamente verificáveis é a reflexão. No caso das ondas mecânicas, a

reflexão ocorre r uando a onda atinge uma superfície rígida. As moléculas do meio no qual a

onda se p r o p a g a colidem mais ou menos elasticamente contra essa superfície e mudam de

direção. Numa :olisão perfeitamente elástica, a amplitude das ondas seria mantida. Como há

sempre algum? perda, após sucessivas colisões a amplitude cai a zero? Isso faz com que a

reverberação (.o som numa sala vá diminuindo com o tempd.

No c a s ) da luz, como as ondas não são materiais, mas resultantes de campos elétricos

e magnéticos oscilantes- os átomos da superfície são excitados e "devolvem" essas oscilações

no processo de desexcitação. Alguns átomos, no entanto, absorvem a energia das ondas

eletromagnéfcas e a transformam em energia vibratória, de forma que nem toda a energia

que incide é refletida. No ca; D de incidência normal sobre uma superfície, a intensidade da

luz refletida / é dada em funçi o da incidente l0 segundo

2 ( 7 . 3 ) ( 7 . 3 )

onde n, e n3 são os índices dt refração respectivamente do meio de onde a luz vem e daquele onde ela é refletida.

Exemplo 7.3 ; . . • Um feixe de luz incide perpendicularmente sobre uma placa de vidro com índice de

refração 1,5. Achar qual a intensidade do feixe refletido. O índice de refração do ar é praticamente igual a 1. Assim, a intensidade do feixe refletido é

' H i H s J ' - - * 0 4 ' -ou seja, apenas 4% do feixe são refletidos. vv trV trO

% m

& m

m #

é %*

: r

s r I A

<0

75

A reflexão da luz sobre uma superfície segue duas leis:

• O raio incidente e o refletido e a normal noj *

ponto de incidência estão no mesmo plano

• O ângulo de reflexão é igual ao de incidência

Deve ser observado que os ângulos são medidos a WfflfZMmZimZfiffiZft partir da normal à supeVfície de reflexão. Assim, na Fíg. 7.6, Fig. 7.6 - Reflexão da luz.

tem-se 8j=0 r.

Exemplo 7.4 Mostrar que o raio refletido por dois espelhos perpendiculares

entre si é paralelo ao raio incidente. Os raios incidente e refletido são mostrados na Fig. 7.7. A normal ao espelho MM' em b é paralela ao espelho MM", de forma que o ângulo, 0 é igual ao ângulo b' do triângulo retângulo M'bb'. Esse ângulo é, por sua vez, igual ao angulo entre o raio refletido r' e o espelho M'M', pois ambos são iguais a n/2-6'. O prolongamento do raio r' indica que o ângulo entre o raio prolongado e o espelho M/M'' é também igual a b', de maneira que <f>=2b'=29. Logo, o raio refletido r corta os raios i e r' de tal maneira que leva a dois ângulos alternos internos iguais. Isso quer dizer que i Ur'. 3£3£3£ V V V V VV Fig. 7.7 - Exemplo 7.4

Refração

A refração é a mudança de direção da luz ao atravessar a interface de dois meios diferentes, trata-se de um fenómeno estudado há quase dois mil anos. O sábio egípcio Ptolomeu, no século 1, fez uma investigação acerca dos ângulos de incidência e de refração da luz entre o ar e a água, compilando uma tabela reconhecida como a mais antiga compilação de dados experimentais.

Da mesma forma que a reflexão, a refração é regida por duas leis:

O raio incidente e o refratado e a normal no

ponto de incidência estão no mesmo plano

O ângulos de incidência e de refração estão

relacionados segundo

n, sen 9t = « , sen 6r (7.4)

| que é a lei de Snell.

raio inddcDte

Noaomal

ar

ígaa ;\

nr

raio \o

Fig. 7.8 - Refração da luz ao passar do ar para a égua.

FUaS 78

í

Conforme indica a Fig. 7.8, os ângulos de incidência e de refração são também medidos a partir da normal à interface dos dois meios.

A hipótese das frentes de onda de Huygens pode ser util izada para provar a lei de Snell . Pela hipótese, cada ponto na superfície de uma frente de onda é a origem de novas ondas esféricas. Na Fíg?7.9, uma feixe de raios paralelos, dos quais apenas quatro são mostrados, incide na interface dos meiqs I e II segundo um ângulo a . Os segmentos de reta A , B „ Fig. 7.9 - Construção de Huygens

Á2B2 e A 3 S 3 são as frentes de onda; . ; ^ p r o v a r a / e M e S n e / / -

Quando o raio 7 atinge a interface, o ponto A, passa a se a origem de ondas esféricas. No instante mostrado na figura, a onda gerada a partir de Av tem o diâmetro indicado. Os raios 2 e 3, que atingiram a interface mais tarde, deram origem â ondas com diâmetros progressivamente menores, enquanto que o raio 4 atingiu nesse instante a interface. O

• segmento de reta C ,A 4 é a frente de onda no instante considerado. A análise da Fig. 7.9 mostra que no mesmo intervalo de tempo em que o raio 4 se

deslocou de 8, a A 4 , o raio 7, uma vez tendo cruzado a interface, passou de /\ a Q , Pela geometria da figura, vê-se também que A , B , A 4 e A , C , A 4 são dois triângulos retângulos, e que o Z A , A 4 C , é igual a e que o Z. A,AAB2 é igual a a . Logo, -

ASC, = AXA4 sen (3 (1.5a)

D iA 4 = A tA 4 sen cr (1.5b)

Mas o segmento A ,C , é a distância percorrida pela luz num intervalo de tempo A í num meio em que a velocidade da luz é n2c. No mesmo intervalo de tempo, a luz percorre a

n : c A / = A, A 4 sen /3 - - - » ' — — — — — • • - .. . — - , „ . , « i , . „ • • • .f,.

(7-6a)

n, c A t = A, A 4 sen a (1.6b)

Dividindo-se uma equação pela outra,

« 2 sen cr sen (3

:. n, sen a = » 2 sen /? (7.7)

que é a lei de Snell .

Exempio 7.5

Um raio de luz, propagando-se no ar, incide sobre uma face plana e polida de uma placa de.

vidro crown, segundo um ângulo de 30° com a normal à superfície. Qual o ângulo de

refração? Pela equação (7.4),

sen0r = -^sen0, = l ^ í ^ s e n 3 0 * = 0,329 .-. 0 = 19,2* nr ' 1,52 '

Ovavov

.«* m A *

3 P

S i »

3 »

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t i »

® |» •® I »

f »

5 1 ?

.7 £. -»

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-::•>' Vil

f I , ® i ® I ? 1

JZ

Exemplo 7.6 Um feixe de luz, propagando-se no ar, passa através de

urna pfatá #é-viáró. Mostrar que o feixe que entra na

placa é paralelo ao que sai dela. v J V ° \ A situação está mostrada na Fig. 7.10. Aplicando-se a lei de Snell à primeira refração, tem-se

sen 02 = — senf5, \ n2 • <

Na segunda refração, a aplicação da lei de Snell leva a

sen 03 = — sen#2

Eliminando-se senfa entre as duas equações,

sen03 = ——sen9S'/.sen03 = sen6X :. 93 = #,

I Fig. 7.10- Exemplo 7.6.

'1 2

9£9£3£ Ov wv (TO

A reflexão total

A lei de Snell indica que, na refração, o

maior ângulo ocorre no meio com menor índice

de refração. Isso quer dizer que, passando o

feixe de luz para um meio de índice refração

menor, existirá um ângulo de incidência, dito

crítico, para o qual o ângulo de refração será de

90° (Fig. 7.11). O feixe, dessa forma, não

entrará no outro meio. Como na interface

sempre haverá a possibilidade de haver reflexão 7.11-^flexão totalne Interfaceégua-er.

dé parte do feixe,, para ângulos de incidência iguais ou superiores ao crítico o feixe será

apenas refletido na interface dos meios. Convencionou-se então chamar esse fenómeno de

reflexão total.

O ângulo crítico pode ser obtido a partir da lei de Snell , fazendo-se o ângulo de

refração igual a 90° . Daí ,

n, sen 9 c = « 3 sen 90 ' sen 6 c = — 2 ( 7 . 8 )

Claro está que essa equação só tem validade para r?,>n2, ou seja, apenas quando o feixe passa

para um meio de menor índice de refração.

Exemplo 7.7 Achar o ângulo crítico para a interface água-ar. Aplica-se a equação 7.8 e acha-se

Fti&J 78

sen 6C = — — = 0,75.-. 6C = 48,8' ,333

3£9£S£

Exemplo 7.8

Um peixe, num lago, está a 15 m de uma das margens. Acima de que profundidade o peixe

será incapaz de ver uma pequena pedra na margem do lago? Admite-se aqui que a pedra esteja ao nível da água. Para que ela não seja visível de dentro d'água,

sen 6C = —^— = 0;75.'. Qe = 48,8* c 1,333 e

é preciso que o ângulo de visada do peixe seja maior que o ângulo crítico para a interface água-ar,

tgW = — .-.£/ = 13,1 m d

5£3£3£ Ov *Tp (Tp

índice ic refraçã* e • comprimento de onda da luz

o * .Li,- r--

©§•

©!• © I P

# ^ #

© M i

63

Os . índices de ; re f ração indicados na Tabela 7.1

foram obtidos para l u l de comprimento de onda de 589

nm, produzida por lâmpadas de sódio. Fica evidente que,

para luz de outros comprimentos de onda, os índices de

refração para esses mesmos materiais sejam outros. De

fato, os índices de refração para qualquer substância

diminuem com o comprimento de onda da luz incidente.

A Fig. 7.12 mostra curvas de variação desse índice para

três materiais diferentes.

Uma das consequências da variação do índice de

refração com o comprimento da luz é a dispersão da luz

por prismas. Quando a luz branca entra na face de um Fig. 7.12 - Variação do índice de , , , refração com o comprimento de onda.

prisma, sai pela outra face dividida em seus componentes.

O fenómeno pode ser explicado com a ajuda da

Fig. 7 .13. A luz branca entra por uma face do

prisma e cada componente é desviado de acordo

com seu índice de refração. A o : atravessar a outra

interface, que é inclinada em relação à primeira, o

afastamento entre componentes aumenta mais.

Caso a segunda interface seja paralela à primeira,

a separação ocorrida dentro da placa será anulada,

pois os raios que saírem serão paralelos aos originais (ver Exemplo 7.6), recompondo o feixe.

Uiz branca

"««lo

Medidn da dispersão

Anteparo

Fig. 7.13- Dispersão da luz em um prisma.

€S . i r *

i Kt

O princípio de Fermat

Pierre de Fermat foi um original matemático francês que viveu no século XVII . Uma de

suas importantes contribuições foi um teorema segundo o qual a igualdade x"+y n=z n só era

válida para n=2, cuja prova-teve de esperar três séculos. O princípio de Fermat aplicado à

propagação da luz estabelece que

JA luz, ao se deslocar entre dois pontos, executará a trajetória que conduzir aoj

{mais curto tempo de trânsito.

É evidente que, no caso de um trajeto direto

entre dois pontos, a trajetória da luz será a de uma

linha reta. Mas caso haja uma interface a ser atingida

pela luz entre os dois pontos, o princípio de Fermat

permite que sejam deduzidas as equações pertinentes.

A Fig. 7.14 mostra a aplicação do princípio de

Fermat à reflexão. U m raio de luz precisa passar do

ponto A ao ponto B, sendo no trajeto refletido no

espelho. Foi então escolhido aleatoriamente o ponto

de incidência P. O comprimento total da trajetória do Jjjfltoi? ~ ° p r í n c l p l ° d e F e r m a t

raio é

Etpclho

aplicado à

/ = Ja2 + x2 + i]b2 + (d-x)2 (7 .9)

onde x é a projeção dora io incidente sobre o espelho. De acordo com o princípio de Fermat, o trajeto APB deve ser realizado no menor tempo possível. Como ele é inteiramente realizado no mesmo meio, a velocidade do raio durante o trajeto não se altera. Assim, para que o tempo seja o mais curto possível, a posição de P deve ser tal que conduza ao menor trajeto possível. Assim, é necessário determinar o mínimo da função / .Da í ,

ly/b* +Xd ~ Xj dl_ dx

2x + (7 .10 )

+ x AP BP A análise da Fig. 7.14 mostra que a equação (7.10) pode ser escrita

a , sen 6X = sen 62 •'• 9\ #2 (7 .11)

que é uma das leis da reflexão.

A aplicação do princípio de Fermat à refração está mostrada na Fig. 7 .15 . O raio de luz deve partir do ponto A ao ponto B sendo refratado na interface dos dois meios. Mais uma vez foi escolhido ao acaso um ponto de incidência P. Como agora o raio viaja em dos meios diferentes, sua velocidade não é mais constante, de forma que o tempo mínimo de trajeto deve ser encontrado. Esse tempo é

i

n \ X i — x "1

(

(7.12) Fig. 7.15-0 princípio de Fermat aplicado à refração.

onde v k é a velocidade da luz em cada meio, dada por c/n k . Logo,

1 _ nlll + n2l2

( 7 . 1 3 )

Como c é constante, o j e m p o de trajeto mínimo é dado pelo Da figura, vê-se que ! * ' ; '

mínimo da grandeza r)]l)+n2l2.

«,/ , + rtj/j = rt,VoJ + x2 + n-fjb2 + (d - xj ( 7 . 1 4 )

Derivando-se a expressão acima e igualando-a a zero,

2 x 2 (x - d ) . x n . J + n , . v J = 0 n . + x 1 2^b2 + (d - x)2 IP

( r f - x )

DP ( 7 , 15 )

Pela análise da figura,

sen f?, = n2 sen 6 2 ( 7 . 16 )

€s ir

Física 4

1 Capitulo

Sfítomoõ, moléculas e isótopas

Átomos e moléculas

Foram os gregos, os primeiros grandes especuladores acerca da natureza e dos

fenómenos naturais, os idealizadores do conceito de "átomo". A ideia era lógica, e partia da

observação casual: um pedaço de ferro podia ser dividido em duas, quatro, mil partes, e

cada uma dessas partes era ainda um pedaço de ferro. Esse procedimento continuaria até o

momento em que fosse obtido o menor pedaço possível de ferro. Além desse ponto, esse

pedaço de ferro não poderia ser dividido; esse pedaço era um átomo de ferra.

A palavra átomo é, assim, grega, sendo o resultado da junção do prefixo a, que

exprime negação, a tomos, que se refere ao áto de cortar. Átomo quer então dizer "o que

não pode ser cortado", ou indivisível. Muito embora em 1897 tenha sido determinado que

o átomo é composto de outras partículas, o nome é ainda empregado para se nomear a

menor quantidade de matéria com identidade química definida- f

O conceito de átomo, fundamental para a compreensão da matéria, foi virtualmente

abandonado nos 23 séculos seguintes à sua introdução. Muito embora no período romano

e, mais ainda, na Idade Média a química registrasse avanços importantes, esses avanços

tinham mais a ver com a manipulação das substâncias do que com sua composição.

Ao final do século XVI I I , Antoine Lavoisier enunciou a lei da conservação da massa

(a primeira de uma série de leis da conservação), estabelecendo que a matéria não pode ser

destruída, mas apenas modificada. Nos anos que se seguiram, diversas contribuições ao

estudo das combinações entre os chamados elementos químicos, ou substâncias puras

(aquelas que não se compunham de outras), levaram, em 1803 , à criação da Teoria Atómica

de John Dalton. Pela teoria,

Um átomo é a menor quantidade de matéria capaz de efetuar

combinações químicas, preservando sua identidade nessas combinações

Essas combinações obedecem a proporções definidas simples para um

dado composto *

Átomos de uma substância pura são idênticos entre si , especialmente em

peso

Física 4 — : 2

Pequenos problemas na adoção dessa teoria a todos os compostos conhecidos foram

resolvidos quando Amedeo Avogadro introduziu, em 1811, o conceito de molécula. A

molécula (que é o diminutivo de moles, palavra latina que significa "massa") seria a menor

quantidade de matéria que poderia existir em liberdade. Assim, a menor quantidade de

hidrogénio que pode existir é a molécula de hidrogénio, composta de dois átomos. A

molécula de oxigénio é também diatômiça, enquanto que a do alumínio é monoatômica. A

molécula do ácido sulfúrico contém 7 átomos, e existem moléculas de compostos orgânicos

com centenas de átomos.

Ao longo de século XIX, grandes progressos foram feitos acerca do conhecimento

relativo aos átomos e moléculas. O ponto alto desse conhecimento foi a descoberta da

periodicidade dos elementos, por Dmitri Mendeleyev. Ele verificou que muitos elementos

diferentes tinham propriedades similares: sódio e potássio, por exemplo, ou flúor e cloro. O

resultado dessa observação foi a organização dos elementos conhecidos, por ordem de

peso, em uma tabela periódica, na qual os elementos situados na mesma coluna tinham

propriedades semelhantes (Fig. 1.1). Conquanto nem todos, os elementos tivessem sido

identificados quando da introdução da tabela em 1869, Mendeleyev foi capaz de predizer,

com grande exatidão, as propriedades dos elementos ainda por descobrir.

Terras FUrii (L«ntanldeoi)

Aelinfdeos

llll illl i Us Hl H 111 1 B R 1 |È ;227Jfoi

ás?.* mi> H m Mm H p | | SÉ

Fig. 1.1 - A tabela periódica dos elementos.

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•ar*, 6

Física 4 -3

O átomo não é indivisível : o eléctron

O século XIX estava por terminar

quando, em 1897, Joseph J . Thomson

demonstrou a existência de uma partícula

menor que o átomo, mas constituinte

dele, de carga negativa. A experiência de

Thomson foi notável pe la ' sua

simplicidade, e baseada em descobertas

feitas desde meados do século.

A primeira descoberta referia-se

ao encurvamento da trajetória de

partículas carregadas eletricamente

quando sob a influência de um campo

magnético. Esse encurvamento é

obviamente resultado da ação de uma

força de origem magnética, que se sabia

ser perpendicular à velocidade v da

partícula e ao campo magnético B

ampo magnético

'ireção do movimento

orça sobre a carga

Força sobre a carga

ampo magnético

,Dlreçáo do movimento

Fig. 1.2 - Forças de origem magnética atuante (Fig. 1.1). De fato, essa força é atuando sobre cargas elétrícas móveis. dada pela equação

F = q v x B ( 1 . 1 )

onde qé a carga da partícula. No caso particular em que a velocidade é perpendicular ao

campo magnético, tem-se

F = qvB sen -y-= qvB ( 1 . 2 )

Já a força exercida sobre uma partícula de carga q por um campo e l é t r i c o f é dada

por

F = qE ( 1 . 3 )

ou seja, tem a mesma direção do campo (e também mesmo sentido, se a carga for positiva).

Deduz-se das equações (1.2) e (1.3) que a aplicação de um campo elétrico e de um

magnético que se cruzam perpendicularmente sobre uma partícula que tem velocidade

perpendicular aos dois pode fazer com que passe a agir sobre ela duas forças que se opõem.

Existirá então uma velocidade para a qual essas duas forças se anulam, ou

qvB = qE :. v = — ( 1 . 4 )

A outra descoberta, fundamental para o experimento, foi o desenvolvimento dos

tubos de raios catódicos. Cerca de duas décadas antes, Johann Hittorf e Wi l l iam Crookes

haviam observado que a aplicação de um potencial elevado entre dois eletrodoi?colocados

dentro de um tubo evacuado levava à propagação de raios invisíveis do terminal negativo

Fig. 1.3 - Sombra de um objeto num tubo de produziam raios catódicos.

para o positivo (Fig. 1.3). Daí ao final do século XIX, as seguintes conclusões sobre esses raios tinham sido tiradas:

" Os raios tinham carga elétrica

negativa (não só porque partiam do eletrodo negativo, daí o nome catódicos, mas

também porque sua mudança de direção pela aplicação de

um campo magnético era indicativa de sua carga).

• Os raios fluorescência (o vidro, no

ponto de incidência dos raios, bri lha; na Fig. 1.3, vê-se a sombra de um anteparo projetada contra o vidro do tubo).

• Os raios tinham inércia (vê-se, na Fig. 1.3, que o terminal positivo está mais próximo do centro do tubo do que da extremidade, mas os raios seguem' em linha reta até a extremidade); cientistas ingleses e franceses, portanto, achavam que os raios se compunham de partículas, opinião não compartilhada pelos alemães.

O aparelho de Thomson, mostrado esquematicamente ná Fig. 1.4, era essencialmente um tubo de raios catódicos no qual os raios, após atravessarem as fendas A e B, tinha a forma de um feixe muito fino. N ã o havendo qualquer campo elétrico' ou magnético atuando (exceto o campo, elétrico entre C e A, responsável pela produção dos raios), os raios seguirão em linha reta até atingir a tela 5. Essa tela era constituída de uma camada, aplicada na face interna do tubo, de tinta fluorescente, que brilhava intensamente quando atingida pelos raios. Assim, uma vez acionado o tubo, um ponto brilhante era visto na tela.

A seguir, era aplicada uma diferença de potencial entre as placas D e F, o que resultava num campo elétrico razoavelmente uniforme nesse espaço. Os raios catódicos/ supostos em movimento horizontal, sofrem entre as placas o efeito de uma força que pode deslocar sua trajetória, por exemplo, para c ima. Com isso, o ponto luminoso na tela Ssobe de uma altura Ay, constituída de duas partes: uma deflexão A/ , , dentro do intervalo entre as placas, e outra deflexão Ay2l no trajeto até a tela S.

O cálculo dessas deflexões é simples. Dentro do intervalo x-, entre as placas, um componente dos raios, com velocidade horizontal v 0 , permanecerá um tempo t,=xJv0. Sua

Fig. 1.4 - Diagrama esquemático do aparelho de Thomson.

SísJca-4-

deflexão nesse intervalo será então, admitindo-se que os componentes dos raios tenham

carga q e massa m,

posto que F=qEé a única força que está atuando sobre a carga 1 . Essa carga sairá do espaço entre as placas com velocidade horizontal v 0 (já que nenhuma força está atuando horizontalmente, e com velocidade vertical

atl = qE x ,

m ( 1 . 6 )

Nesse segundo trecho, portanto, a carga se desloca horizontalmente com velocidade v0, levando um tempo t2=xjv0 para chegar à tela S, onde se chamou de x2 a distância entre a extremidade direita das placas e a tela. Ao mesmo tempo, ela se desloca para c ima com velocidade vr de forma que a deflexão Ay2 é

qE x,x, ( 1 . 7 )

Logo, a deflexão total é

Ay = Ay1 + Ay 2 = 1 qE 2 m

qE

m x.x.

2 v ; ( 1 . 8 )

Eléctron

Aplicando-se a seguir um campo magnético B perpendicularmente à trajetória dos raios e ao campo elétrico, pode-se ajustar esse campo de forma que o ponto luminoso volte à posição original. Esse campo B terá então anulado a deflexão devido ao campo elétrico E, de maneira que a velocidade dos raios poderá ser calculada por meio de BB. Como a deflexão total Ay pode ser medida na tela e as dimensões x^ e x2 são conhecidas, acha-se então o valor da constante q/m.

Thomson encontrou uma relação igual a T/õxIO 1 1 C/kg. O valor aceito hoje é de 1 ,759x1o 1 1 C/kg. Mais importante que a precisão do resultado, foi a dedução de Thomson de que essas partículas, que ele chamou de eléctrons (nome previamente sugerido por George J . Stoney para os portadores de corrente elétrica), eram componentes dos átomos do gás dentro do tubo e, por extensão, de todos os átomos. Com base

nessa hipótese, ele propôs o modelo de • átomo esquematizado na Fig. 1.5. Fig. 1.5 - O átomo de Thomson.

Esfera positiva

1 Isso não é estritamente correto, já que, como se admite que a carga tem massa, ela também está sujeita à

força gravitacional mg. Essa, no entanto, é tão pequena diante da força eletrostática qE, que pode ser

desprezada.

No modelo de Thomson, o átomo é uma esfera de carga positiva na qual os eléctrons

aparecem "como ameixas em um pudim". A carga total dessa esfera positiva é igual à dos

eléctrons, tendo em vista que o átomo é, normalmente, eletricamente neutro.

O s primeiros isótopos Í '0

A descoberta da radioatividade levou a diversas conclusões relativas à natureza da

matéria. Uma das mais fascinantes foi a da existência dos isótopos. ;f

Quando Antoine-Henri Becquerel descobriu a radioatividade do urânio, em 1896, r-' ! £

ele achou que o fenómeno da radioatividade se resumia à emissão de ralos penetrantes, &

como ôs raios-X, e que essa propriedade era característica do urânio, da mesma forma que '§

o cobre era bom condutor de eletricidade, ou que o chumbo era denso. Foi Marie Curie

quem sugeriu que ò processo estava relacionado às propriedades do átomo em si .

Nos anos que se seguiram, a radioatividade foi ativamente estudada pelo casal Curie

(Marie e Pierre), na França, e por Rutherford no Canadá. Foi Rutherford quem descobriu que

a emissão das substâncias radíoativas (a essa altura, já se conhecia a radioatividade do tório,

do polónio e do rádio, além da do urânio) era bem diferente da dos raios-X. Enquanto os

raios-X eram ondas eletromagnêticas similares à luz, apenas de comprimento de onda bem

menor, o polónio, por exemplo, emitia cargas positivas de alta velocidade, que Rutherford ^

logrou identificar como íons do gás hélio. Outras emissões pareciam constituir-se de feixes

de eléctrons. '

No início do século XX , juntou-se à equipe de Rutherford um químico excepcional , ^

de nome Frederick Soddy. Soddy conseguiu mostrar que havia elementos radioativos

quimicamente idênticos, mas com emissões radioativas e massas atómicas diferentes. Havia ,

por exemplo, dois tipos diferentes de tório. Como ambos deveriam ocupar o mesmo lugar |f

na tabela periódica (Fig. 1.1), pois se tratavam do mesmo elemento químico, Soddy propôs ^' |

denominá-los de isótopos do tório, juntando duas palavras gregas que significam "o mesmo |-

lugar". . © \

A espectrometria de massa ^ \

Cerca de uma década mais tarde, Thomson imaginou um instrumento denominado

"espectrômetro de massa", no qual íons eram acelerados e tinham sua trajetória encurvada

em um campo magnético. O raio de cada trajetória era proporcional à massa dos íons de

forma que, sendo produzidos íons de um mesmo elemento, seria possível descobrir quais os

isótopos que o compunham. Caso se garanta que o feixe de íons entre no volume onde atua

o campo magnético perpendicularmente à direção do campo, a equação (1.1) , a equação ^

geral da força magnética, se transforma na equação (1.2). Como essa força irá atuar sempre

perpendicularmente à velocidade, o vetor velocidade terá sua direção alterada ^

L-3 I .

Física 4

continuamente, de forma que o íon descreverá uma trajetória circular. Em outras palavras, a

força magnética atuante é uma força centrípeta, e isso permite que o raio da trajetória seja

calculado, pois

qvB = mv r = mv

• qB ( 1 . 9 )

Filamento

Piimeira fenda

Com seu espectrômetro, Thomson descobriu que o neônio possuía ao menos dois isótopos, de massas 2Q e 22 , em proporções aproximadas de, respectivamente, 9 0 % e 10% . Pouco depois, Francis Aston desenvolvia um espectrógrafo de alta resolução e conseguia provar que muitos elementos ocorriam na natureza em formas multi-isotópicas (Aston descobriu 212 dos 287 isótopos naturais).

O diagrama esquemático de um tipo de espectrômetro de massa (o chamado espectrômetro de Dempster) está mostrado na Fig. 1.6. Os íons são produzidos por aquecimento no filamento, sendo a seguir acelerados em direção à primeira fenda. O campo magnético é gerado por um eletroímã, que pode ser ajustado de maneira a fazer com que os íons passem pela segunda fenda e sejam registrados pelo coletor (um detector de íons). Conhecendo-se o valor desse campo e a velocidade dos íons, sua massa é determinada pela Eq. (1.9) .

Com a descoberta e a quantificação dos isótopos, uma nomenclatura teve de ser criada para sua identificação. A nomenclatura adotada hoje é a seguinte:

\. -onde Xé o símbolo do elemento químico, A o número de massa e Z o número atómico. Por exemplo,

2 3 5 U

identifica o isótopo do urânio de número de massa 235 . Como todos os isótopos do urânio têm número atómico 92 , comumente apenas o número de massa é indicado.

Campo magnético que doflotc o roio entro as lendas

Fig. 1.6 - Diagrama esquemático do espectrômetro de massa de Dempster.

Exemplo 1.1

U m íon de 2 4 M g + (massa aprox imada de 24 amu e carga e létr ica igual a +c) é acelerado por um potencia l de 2 kV e descreve u m a trajetória c i r cu la r num campo de 500 G de um espectrômetro de massa , a) Ca l cu la r o raio de curvatura da órbita do íon . b) Qua l é a d i ferença entre os raios das órbitas dos íons de " M g e 2 6 Mg? Tem-se 1 amu=1,6604x10"27 kg.

a) O cálculo do raio da órbita do 24Mg requer que se conheça sua velocidade, que não foi dada • explicitamente. Mas é possível o cálculo da energia cinética fornecida ao íon, antes de sua

t entrada no campo magnético, a partir da diferença de potencial aplicada para acelerá-lo. Como a energia potencial eletrostática do íon no momento em que essa diferença de potencial é aplicada é totalmente transformada em energia cinética, tem-se

ATT A T / 1 * • | 2 ? A K AU = qAV — —mv :.v= —

2 V m Substituindo esse valor na Eq.fl9), vem r=rnv^= \2mAV = 12 x 1,6604 x IO ' 2 7 x 24 x 2000 _ ^ r ~ qB~\2 ~ V 1,602x1o" 1 9 x 0 , 0 5 2 ~ ' *

b) O mesmo raciocínio é aplicado para o íon de 26Mg, obtendo-se 2,08 m. Isso quer dizer que a diferença entre os raios das órbitas dos dois íons é de 9 cm.

CTO Ov 0X>

Exemplo 1.2

No in í c io do Projeto Manhattan (responsável pe la construção da pr imei ra a rma te rmonuc lear ) , pensava-se em separar o 2 3 S U ( 0 , 0 7 2 % dos átomos de urânio) do 2 3 8 U ( 9 9 , 2 7 5 % dos átomos de urânio) por espectrometr ia de massa . Apl icando-se aos íons uma di ferença de potencial de 5 kV , qua l deve ser o campo magnét ico do e let ro ímã para que a di ferença entre os raios das órbitas dos dois isótopos seja de 10 cm? Q u a i s serão os raios? No exemplo anterior foi obtida a equação

\2mAV •

"ÍW • Com base nos dados do problema, a diferença entre os raios depende da massa dos isótopos e do campo magnético segundo

Ar = ̂ — = 0,1 m.-. B = 9930 T B

Um eletroímã desse porte é absolutamente inviável. Entrando-se com esse valor na equação de r, acha-se 157,17 m, para o 23SU e 157,27 m para o 23SU. Esses valores elevados mostram porque optou-se pela difusão de hexafluoreto de urânio através de um metal poroso como forma de separar os dois isótopos. 3£3£3£ Ou CTO Co

Para que a análise dê resultados precisos, é fundamental que os íons entrem no

campo magnético com a mesma velocidade, e que essa 'seja conhecida. Para isso o feixe de

íons, antes de entrar no campo magnético, passa através de um filtro de velocidades, que

nada mais é do que um volume no qual existem um campo elétrico f e u m magnético B' perpendiculares entre si , de forma que a velocidade com que"cada íon sai dele é dada por

SB\e a Eq. (1.4). O s espectrómetros modernos, além disso, dispõem de um

conjunto de detectores de íons, de forma que a quantificação simultânea dos diferentes

isótopos pode ser realizada.

Hoje, são conhecidos mais de um milhar de isótopos de mais de 110 elementos

químicos diferentes. A maior parte deles foi sintetizada, de forma que, dos 83 elementos

químicos encontrados na natureza desde a criação da Terra, boa parte ocorre na forma de

apenas um isótopo, como é o caso do alumínio, do manganês ou do tório. A maioria,

porém ocorre na forma multi-isotópica: o cálc io, por. exemplo, tem seis e o estanho aparece

com dez. • •

Assim, da mesma forma qué a tabela periódica, são,preparadas, e continuamente

atualizadas, as tabelas de nuclideos. A Fig. 1.7 mostra um trecho de uma dessas tabelas.

4

3

2

Bo $.01218

.«0.0Q9?

Be6 BoB

A.

. Bs9 IDO . US 4

3

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LI 6.941

LI 5

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Li 10

n

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4

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2 Ho

4.O02GO H 09.939362 He 5

n

He 7 He 9

•

1 H

1.0079 .99.935

o 0.132

HZ ,. - 0 . 0 1 5

4 6 8

^ -i y- 2

Fig. 1.7- Trecho de uma tabela de nuclideos, mostrando os isótopos conhecidos do hidrogénio ao berilo.

Diversas informações podem ser obtidas a partir de uma tabela de nuclideos. Por

exemplo,i na tabela indicada na Fig. 1.7 os nuclideos representados por quadrados pretos

são chamados de primordiais, ou seja, eles existem desde a criação da Terra. O número.sob

a identificação de um desses nuclideos é sua fração isotópica, ou seja, sua probabilidade de

ocorrência na natureza entre os átomos do elemento ao qual pertence. Por exemplo,

9 9 , 9 8 5 % dos átomos de hidrogénio na natureza são de 1 H e 0 ,015% de 2 H , ou deutério. Já

todos os átomos de berilo encontrados são de 9 B e .

Os nuclideos dentro de quadrados cinzentos são radioativos. O número sob a

identificação do nuclídeo é a meia-vida desse isótopo radioatà/o, ou seja, o tempo

necessário para que uma dada quantidade inicial desseo-nuclídeo se reduza

aproximadamente à metade. A meia-vida do hidrogénio radioativó, ou trício ( 3 H) , é de

12,323 anos. Já a do 8 H e é de 0,122 segundos e a do 1 0 Be de 1,6 milhões de anos.

Os quadrados brancos indicam nuclideos que não existem. Caso eles sejam formados

em reações nucleares (ver Capítulo 3), são produzidas as partículas mostradas no quadrado.

Por exemplo, se uma reação nuclear conduzir à formação de 5 H e , um nêutron é emitido

imediatamente, sendo então produzido o 4 H e .

^ ^ ^ ^ ^ w m - w m m m ^ - m - ^ i n^ l i Física'4

A existência dos isótopos conseguiu justificar um aspecto incómodo das massas

atómicas: a existência de elementos com massas fracionárias. No início do século XIX

Wi l l iam Prout havia proposto que o hidrogénio, por ser o elemento mais leve, seria a base

de todos os outros elementos. Dessa forma, o oxigénio, de massa 16 2 , seria o resultado da

composição de 16 átomos de hidrogénio; o enxofre, de massa 32 , resultaria da combinação

de 32 átomos de hidrogénio, e assim por diante.

Havia alguns elementos, entretanto, cuja massa atómica teimosamente permanecia

fracionária. O cloro, por exemplo, teve inicialmente sua massa calculada como 35 ,5 .

Achou-se, a princípio, que erros de laboratório estivessem envolvidos, e que com o tempo

esse valor penderia para 35 ou 36 . Não foi o caso. Determinações mais precisas meramente

melhoraram as decimais. O mesmo se deu com o z inco (65,4) , o níquel (5.8,7) e outros

mais. Como admitir a existência de frações de hidrogénio? Sabe-se hoje que o cloro ocorre

na forma de 7 5 , 8 % de 3 5 CI e 2 4 , 2 % de 3 7 C I . A média ponderada desses dois isótopos

fornece a massa atómica do cloro, 0 ,758x35+0,242x37=35,484 (o valor adotado'é 35 ,453 ,

ver nota de rodapé).

Exemplo 1.3 _ . ••

Sabe-se que 0 , 0 1 1 7 % dos átomos de potássio que ocorrem na natureza são do

isótopo radioat ivo *°K. U m a pessoa adulta deve ingerir 5 g de potássio d iar iamente .

Quantos átomos de 4 0 K estará ingerindo? Como a massa atómica do potássio é 39,0893, uma massa de 5 g corresponde a

m n = NÁ — = 6,022x10 23

= 7,70 x1o 2 2 átomos M , 39,0893

Desses, 0,0117% sâo de4UK.Logo, o número de átomos desse isótopo ingeridos é 0,0117. ^ . . ^ n n i . . 1 A l í

100 - x 7 , 7 0 x l 0 " = 9,01x1o1.* átomos

3£3£3£ Ou Ou C u

7s

O 1 h

m

è

•'tá

• t à

Hoje 15,9994, em vista da àdoção do isótopo , 2 C como padrão para a determinação das massas atómicas.

m i

U A * y ' - " " Í

4 ...

Capítulo 3 dividindo o núcleo: prótons e nêutrons

O conceito de número atómico

Quando Mendeleyev estabeleceu sua tabela periódica, os elementos foram

arranjados por ordem de massas atómicas (ou pesos atómicos, como eram chamados na

época). U m a vez que a periodicidade conduzia à existência de lacunas na tabela, que

correspondiam aos elementos ainda por descobrir, os elementos puderam ser numerados

um a um na mesma ordem da tabela. Surgia então o conceito de número atómico.

Logo ficou evidente que a tabela apresentava alguns casos excepcionais . O potássio,

por exemplo, é mais leve que o argônio, como pode ser visto na Fig. 1.1. No entanto, ele

tem de ter o número atómico maior, pela sua posição na tabela entre os metais alcalinos

(mais à esquerda). E o argônio, que é um gás nobre tem de figurar na extrema-direita da

tabela.

A descoberta do eléctron, e a consequente presença de cargas elétricas no átomo,

levou a diversos estudos visando a quantificação dessa carga. U m a ferramenta fundamental

para o desenvolvimento desses estudos foi o tubo de raios-X.

Os raios-X foram casualmente descobertos por Wi lhe lm Rõntgen em 1895 , durante

seus estudos sobre a natureza dos raios catódicos. Por essa época , fontes de tensão mais

elevadas já eram disponíveis, e Rõntgen, num dos experimentos, observou que do seu tubo

de raios catódicos saíam raios penetrantes que, da mesma forma que os raios catódicos,

provocavam fluorescência. Diferentemente dos raios catódicos, no entanto, esses raios

penetrantes, que ele batizou de raios-X, por desconhecer sua origem, não eram encurvados

por campos magnéticos, ou seja, não tinham carga elétrica.

Sabe-se hoje que os raios-X são radiação eletromagnética, como a luz ou as ondas de

rádio, apenas com comprimentos de onda bem menores. Como um menor comprimento de

onda significa uma maior frequência, os fótons de raios-X têm, pela equação (2 .1) , uma

energia bem maior que a dos fótons de luz. Por consequência, seus efeitos sobre a matéria e

os tecidos biológicos são muito mais importantes.

Sendo ondas, os raios-X também sofrem reflexão, difração e todos os outros

fenómenos a elas associados. Seu reduzido comprimento de onda, por outro lado,

permitiria a detecção de aspectos relativos a entidades tão pequenas como o átomo e os

eléctrons.

Exemplo 3.1

U m apare lho de ra ios-X odonto lóg ico opera num potenc ia l de 60 k V . Q u a l o menor

compr imento de o n d a dos ra ios emit idos? O menor comprimento de onda será o dos raios-X de maior energia, justamente aqueles produzidos. Num aparelho de raios-X, essa energia máxima é aproximadamente igual à dos eléctrons acelerados pelo potencial aplicado. Como a tensão aplicada é de 60 kV, a energia máxkna dos raios-X é E = 'eV = 60keV = 9,61 x 10" 1 3 J

Essa energia é igual a hv, de maneira que a frequência dessas ondas é E 9,61 x l O - 1 5 , A C „

v= — = — — = 1 ,45x10" Hz h 6,626x10

Essa frequência corresponde a um comprimento de onda

X= — = 3 X 1 ° ' = 2 , 0 7 x l O " " m v 1 ,45x10"

Esse valor é compatível com as dimensões subatômicas. 9£9£2£

Ou Ow Ou

No início do século XX , estudos de espalhamento de raios-X por diferentes materiais,

inicialmente por Charles Bark la e, em 1913 , por Henry Moseley, mostraram uma notável

coincidência entre o número de cargas elétricas de um átomo e seu número atómico. Esses

estudos, em que pese terem sido inicialmente bem-sucedidos apenas com os elementos

mais leves, serviram para colocar a tabela periódica na sua devida ordem.

A transmutação de elementos e a descoberta do próton

ID CEE

No ano de 1919 , Rutherford

realizou um experimento que se

constituiu num dos mais importantes

de toda a história da c iênc ia . Para isso,

ele util izou um equipamento bastante

simples (Fig. 3.1) . Dentro da câmara C

existe uma fonte emissora de

partículas alfa A U m a folha muito fina

de prata F, mas suficientemente

espessa para absorver partículas alfa, é Hgm 3 1 _ Aparelho com o qual Rutherford colocada diante de uma tela descobriu o próton e transformou fluorescente S. U m microscópio M nitrogénio em oxigénio.

ajuda na visual ização dos "flashes".

Quando o experimento foi realizado pela primeira vez , a câmara estava cheia de ar,

e Rutherford observou umas poucas cinti lações. Conhecedor da composição do ar, ele

encheu a câmara de oxigénio, nitrogénio, gás carbónico, etc. Somente quando a câmara

'ã 4

continha oxigénio as cintilações eram visíveis, e não podiam ser partículas alfa, posto que

elas não conseguiriam atravessar a folha de prata. O raciocínio de Rutherford foi mais uma

vez perfeito: as partículas alfa emitidas pela fonte interagiam com os núcleos de nitrogénio e

essa reação levava à emissão de partículas carregadas de alta energia.

Análises por deflexão magnética (ver Fig. 1.2) mostraram, pela carga e pela massa,

que essas partículas de alta energia eram íons de hidrogénio. Experimentos posteriores com

boro e potássio também conduziram à emissão de íons de hidrogénio. Rutherford conclu iu

que a hipótese de Prout pela qual todos os elementos se compunham de átomos de

hidrogénio estava correta. Ele então denominou o núcleo do átomo de hidrogénio (mais

corretamente, o íon de 1 H ) de próton, da palavra grega para "pr imeiro" , com o sentido de

"origem".

Esse experimento de Rutherford passou para a história como a primeira reação

nuclear identificada, que hoje pode ser escrita como

\Ee +u1N-^l,H +l]0 ( 3 .1 )

D a mesma forma que numa reação química , a reação ac ima está "equi l ibrada", ou seja, as

somas das massas atómicas (sobrescritos) e dos números atómicos (subscritos) em ambos os

lados da equação são idênticas. Ass im, esse experimento também passou para a história

como a primeira transmutação elementar artificial, pois o bombardeio do nitrogénio com

partículas alfa logrou transformá-lo em oxigénio.

Estava descoberta a famosa pedra filosofal, pela qual em vão procuraram os

alquimistas medievais. Hoje, teoricamente, é possível a transformação de qualquer

elemento em outro. E por que não foram os alquimistas bem sucedidos? Simplesmente

porque eles tentavam transformar metais ditos "v is" (chumbo, ferro, etc.) em ouro pelo

ataque com ácidos e outros reagentes. Esse tipo de reação, como por exemplo a produção

de sulfato de ferro pelo ataque com ácido sulfúrico

H2SOA + Fe -> FeSO, +H1t (3.2)

meramente altera as ligações eletrónicas dos elementos envolvidos. O enxofre continua

sendo enxofre, o ferro cont inua sendo ferro e assim por diante, pois as reações químicas não

chegam ao núcleo dos átomos, e é o número de prótons no núcleo que define um

elemento.

Surgem os nêutrons

A descoberta do próton, como muitas descobertas da c iênc ia , trouxe uma solução e

um problema. O problema diz ia respeito à massa atómica. Tendo o próton a mesma carga

elétrica, apenas com sinal trocado, do eléctron, era claro que num átomo "normal" os

números de cada partícula eram idênticos. Porém, isso significava que "faltava" massa em

praticamente todos os átomos (exceto o hidrogénio). O hélio, por exemplo, possuía número

atómico 2, ou seja tinha 2 prótons no núcleo, mas massa 4 . Nesse caso, deveria ter 4

prótons, para justificar a massa. A primeira ideia foi admitir que o núcleo também poderia

conter eléctrons, cuja carga neutralizaria a de alguns prótons (o que se provou impossível

alguns anos mais tarde). O que Rutherford advogava desde 1920 era a existência , dentro do

núcleo, de uma partícula de carga zero, que seria o resultado de uma fusão entre o próton e

o eléctron. A essa partícula ele deu o nome de nêutron. Como a massa do eléctron era

praticamente desprezível diante da do próton, o nêutron teria aproximadamente a mesma

massa do próton. O hélio teria em seu núcleo, portanto, 2 prótons e 2 nêutrons.

O nêutron foi efetivamente descoberto em 1932 , no Laboratório Cavendish da

Universidade de Cambridge, sob a orientação de Rutherford. Um estudante de Rutherford,

de nome James Chadwick , logrou identificar o nêutron por meio de um experimento que

havia sido realizado várias vezes nos anos anteriores.

A descoberta da transmutação, pela ocorrência de uma reação nuclear no nitrogénio

bombardeado por partículas alfa, foi o ponto de partida de uma busca sistemática por

reações similares em outros elementos. U m desses elementos foi o beri lo. Bothe observou,

em 1930 , que o bombardeio de berilo por partículas alfa resultava na emissão .de uma

forma de radiação muito penetrante, inicialmente sugerida como sendo composta de

radiação gama (forma de radiação eletromagnética de alta energia, e como tal muito

penetrante). No ano seguinte, Frédéric Joliot e Irene Curie observaram que o efeito dessa

radiação era intensificado se, entre o alvo de berilo e o detector de radiação, fosse co locada

uma camada de material r ico em hidrogénio, como a parafina. A expl icação do casal era a

de que os raios gama emitidos pelo berilo após a reação eram suficientemente energéticos

para deslocar os prótons (núcleos de hidrogénio) com grande energia. Esses prótons eram

então facilmente detectados.

De posse dessas informações,

Ç i a d w i c k passou a atacar o problema.

Um dos arranjos por ele util izados está

mostrado na Fig. 3 .2 . Como não

poderia deixar de ser, apresenta muitas semelhanças com o do experimento da Fi9- 3.2 - Aparelho d e Chadwick para transmutação de Rutherford (Fig. 3.1) . detecção de nêutrons.

U m a diferença importante, no entanto, é a substituição da tela fluorescente por uma câmara

de ionização, onde o poder ionizante da radiação pode ser de fato avaliado em função da

carga elétrica coletada. Por essa época, a eletrônica já se havia desenvolvido o suficiente

para que se fizesse a medida precisa de cargas elétricas.

Chadwick conseguiu medir a energia dos "prótons de recuo" identificados por Joliot

e Curie como sendo de até 5,7 MeV. O cálculo indicava que, para produzir prótons com tal

energia, os raios gama incidentes deveriam Ter uma energia da ordem de 55 MeV, o que

era um valor pelo menos uma ordem de grandeza mais alto do que os comumente

observados. Caso o alvo da radiação emitida seja substituído por nitrogénio, os núcleos de

nitrogénio recuam com até 1,2 MeV de energia cinética. Para isso, os raios gama são

D « i- g,Uc 'Neúlrons To ampliftor

Puruffin

Lf

1

1 » ^ conjunto era levado ao sol , de forma a excitar a fluorescência do cristal . O f i lme era a seguir

f ~ revelado, e qualquer escurecimento observado seria prova da emissão dos raios-X.

> ^ Entre janeiro e fevereiro de 1896 Becquerel repetiu seu experimento várias vezes. No

' ^ dia 24 de fevereiro, ele leu seu artigo numa sessão da Académie, no qual descrevia o

! " experimento, mostrava os resultados e concluía : cristais fluorescentes emitiam raios-X

Í ^ quando excitados. Foi um anúncio notável, a não ser por um pequeno detalhe: baseava-se

) " em conclusões erróneas.

* ^ Mas o acaso favoreceu Becquerel . Disposto a prosseguir em sua investigação, ele

^ ^ preparou mais um f i lme, mas o tempo, sempre imprevisível no inverno, frustrou suas

* ^ intenções. Nuvens escuras saudaram Paris no d ia 25 de fevereiro, e o mesmo se repetiu nos

3 ™ dias seguintes. Cristal e f i lme aguardaram pacientemente, dentro de uma gaveta, que o sol

) 9 reaparecesse.

^ • O dia 1 de março foi um domingo. E domingo era o d ia reservado por Becquerel

^ ™ para revelação de chapas fotográficas. Aquele deixado na gaveta, sob o cristal , mostraria

* • alguma coisa? Certamente não, pois o cristal não exibia f luorescência no escuro, de forma

* • que não teria havido emissão de raios-X. U m a vez revelada, no entanto, a chapa se mostrou

) 9 mais enegrecida do que em qualquer dos experimentos anteriores. Seria uma "ação

* 9 residual" da fluorescência?

? w Mantendo o cristal no escuro, Becquerel esperou duas semanas, após as quais

) w co locou sob o cristal uma chapa . Alguns dias mais tarde, a revelação mostrou que a chapa

^ • estava enegrecida. Outros experimentos, ao mesmo tempo, demonstraram que outros

£ • cristais fluorescentes não emitiam raios penetrantes em qualquer hipótese. Por que só

í w aquele? Tratava-se de um cristal fluorescente bastante comum, o sulfato de potássio e

> # urani lo . Outros cristais, que não emitiam raios penetrantes, continham potássio, ou enxofre,

# mas não urânio. A emissão deveria estar associada ao urânio.

> • Embora conhecido desde 1786 , só ao final do século XIX havia sido estabelecido um

& # processo para obtenção de urânio metálico. Sais e óxidos de urânio, que tinham cores

^ # muito bonitas e fortes, eram há décadas utilizados como corantes em porcelanas. O urânio

^ # era um metal muito denso (densidade 19,8) , de ponto de fusão baixo , não era dúcti l ,

i # maleável ou resistente, de forma que não havia para ele qualquer apl icação especial . No

í # entanto, ao fazer o experimento com a chapa fotográfica, Becquerel descobriu que era o

) 4 ) urânio emissor de raios-X, independentemente de f luorescência. Naquele 1 de março de

) 0 1896 a maior descoberta científ ica da história havia sido feita.

: ;' • N ã o eram raios-X

W O anúncio de Becquerel estimulou uma pesquisa entre os elementos químicos. No

J • ano seguinte, descobria-se que o tório, outro metal pesado, conhecido já há bastante tempo,

^ 0 também possuía essa propriedade de emissão espontânea de raios-X.

1 •

e o número de núcleons (ou

nucleônico) é um valor

razoavelmente uniforme para os

núcleos dos elementos do lítio (Z=3)

em diante. Fazendo-se um gráfico da

energia de ligação por núcleon vs. número nucleônico A (Fig. 3 .3) ,

observa-se que essa energia média

aumenta rapidamente até cerca de

A=20 . A partir desse ponto, o

aumento da energia média é mais

suave, ocorrendo um máx imo para

A=56 . Se se admite que, quanto maior

a energia de ligação por núc leon , F j g 3 3 _ V a r í a ç ã o d a energia média de maior a estabilidade do núcleo, isso ligação por núcleon com o número justificaria porque o 5 6 F e é o isótopo nucleônico. pesado mais abundante no universo.

100 160 Número nucleônico, A

.200 250

Exemplo 3.2

A c h a r a energ ia de l igação por n ú c l e o n no 3 H e e no 3 H . O 3He tem dois prótons e um nêutron, ao passo que o 3H tem um próton e dois nêutrons. As tabelas de massas atómicas incluem a massa dos eléctrons componentes do átomo, exceto no caso do nêutron. Assim sendo, o 3He será considerado como a junção de dois átomos de1H e um nêutron, ao passo que o 3H será formado de um átomo de 1H e dois nêutrons. As massas referentes, em amu (l amu=1,6604x10"27 kg), são: ^ ^ = 3 , 0 1 6 0 3 0 ; M^H) =3,016050; MfH)=1,007&25; Mfo)=l ,008665 Logo, no caso do3He a energia de ligação total è

EB = [2 x 1,007825 +1,008665 -3 ,016030]x 1,6604x 10~27 x (3 x \0XJ•= 1,238 x 10 - ' 2 J = 7,73MeV | ou, por núcleon,

EB = 7,73+3 = 2,52MeV/núcleon | Para o 3H,

EB = [2x 1,008665 +1,007825-3,016050]x 1,6604xIO' 2 7 x(3 x \ 0 % J = 1,361 x 10~12 J = 8,49MeV | Por núcleon,

EB = 8,49 + 3 = 2,&3MeV / núcleon I 3£3£St? I 0v <ro OTJ

Uma consequência da apl icação da equação de Einstein é o uso das massas atómicas

e subatômicas em unidades de energia. Como as massas são usualmente expressas em amu

(unidades de massa atómica) , e 1 amu=l ,6604x10" 2 7 kg, tem-se

1 amu = 1,6604xlO" 2 7 x ( 3 x l 0 ' ) 2 +1,602x 10" 1 3 = 931,4812MeV Ç m )

Por exemplo ,

™Ra -» ™R* + \m ( 4 . 3 )

Essa descoberta mostrou uma faceta da radioatividade realmente mágica: era possível a

mutação espontânea de um elemento em outro, o que fazia da radioatividade uma

propriedade da matéria realmente única quando comparada às outras conhecidas até então.

Mas não foi só isso. U m a análise mais minuciosa dos elementos produzidos nas

desintegrações radioativas mostrou que havia tipos iguais do mesmo elemento. A emanação

do tório, descoberta por Rutherford, tinha meia-vida de menos de 1 minuto; a emanação do

rádio que , como a do tório, era radônio, t inha uma meia-vida de quase 4 dias. O urânio se

transformava num tório que tinha uma meia-vida de pouco mais de 3 semanas e emitia

partículas beta, enquanto que o tório encontrado em minas emitia partículas alfa e t inha

u m a meia-vida de bilhões de anos.

A sugestão radical de Soddy foi a de que os átomos de u m mesmo elemento não

eram iguais entre s i . Hav ia espécies diferentes entre eles, todas do mesmo elemento, que

apresentavam idêntico comportamento químico ao lado de outras características

discrepantes, como a emissão, a meia-vida e a massa atómica. Como todos esses átomos

t inham de estar, na tabela periódica, no mesmo lugar reservado àquele elemento, Soddy os

batizou de isótopos (do grego iso, mesmo e topos, lugar). Com a descoberta, mais tarde, de

que era possível fabricar isótopos radioativos de qualquer elemento, f icou sem sentido falar

em elementos radioativos. Os elementos têm isótopos estáveis e radioativos, embora alguns

só possuam isótopos radioativos.

Logo f icou aparente que isótopos de um elemento cuja massa garantiria que eles

fossem estáveis emitiam radiação. A essa altura, a existência do núcleo do átomo j á havia

sido completamente estabelecida, com a radioatividade caracterizada como uma

propriedade da matéria dependente exclusivamente do núcleo, pois os isótopos eram

definidos a partir do arranjo das partículas que o compunham. Assim, da mesma forma que

a emissão de raios-X característicos decorre da de-excitação de átomos, pelo rearranjo da

coroa eletrônica de um estado excitado para um estado fundamental , o núc leo_ também-

tinha estados além do fundamental . A tendência de um núcleo no estado excitado era

decair para o fundamental , pela emissão especialmente de radiação eletromagnética-os

raios gama identificados por Vi l lard . Dá-se então a uma espécie nuclear caracter izada por

um certo número de prótons e nêutrons e pelo estado energético o nome de nuclfdeo.

Ass im, um nuclfdeo radioativo é aquele que, em seu estado fundamental , pode

'efetuar u m a transmutação para outro nucl ídeo, basicamente pela emissão de partículas alfa

ou beta. O nucl ídeo resultante, se formado num estado excitado, decairá para seu estado

fundamental, basicamente pela emissão de radiação gama característica (de comprimento

de onda ou energia típicos do nuclídeo emissor) .

Agora que o caráter atómico da radioatividade está estabelecido, a equação do

decaimento pode ser matematicamente deduzida , admitindo-se que a taxa de desintegração

deva ser proporcional à quantidade de átomos radioativos presentes na amostra, ou

A M Se a massa m for exatamente aquela correspondente a uma unidade de volume, ter-se-á então o número de átomos pôr unidade de volume. Essa massa é, numericamente, igual à massa específica do material. Assim, o número de. átomos por unidade de volume é

M devendo-se apenas tomar o cuidado de se compatibilizar as unidades. Por exemplo, no caso do alumínio, tomando-se M como 26,980 g/mol, a massa especifica deve ser dada em g/cm3, com o número de Avogadro igual a 6 ,022x10 a 3 átomos por átomo-grama (ou moléculas por molécula-grama). Acha-se então

n'~ 6,022x 10 2 3 x— i——- = 6,00x 10 2 2 átomos/cm3

26,980

Os resultados para o ferro, o ôsmio e o chumbo são, respectivamente, 8 ,41x10 2 2 átomos/cm3, 7,12x1o 2 2 átomos/cm3 e 3 ,28x1o 2 2 átomos/cm3. O ferro é, dos elementos acima, o melhor "empacotado "(de fato, possui um dos maiores graus de empacotamento dentre todos os elementos). 3£3£3£ v C wv v D

Gápílulo 4 S & 3 / o s - 9 f e mdíoâtíoídôde

O clima científico no fim do século XIX

Sem sombra de dúvida , a comunidade científ ica tinha muito de que se orgulhar ao

final do século X IX . De fato, o avanço tinha sido impressionante. U m século antes, os

átomos eram pouco mais do que as entidades filosóficas dos gregos clássicos, a eletricidade

era largamente desconhecida, não se t inha uma ideia c lara do que era a luz , a causa da

maioria das doenças ainda era ignorada, o sistema solar ia somente até Urano, enf im, pouco

se sabia sobre qualquer coisa . Ao longo do fantástico século XIX tanto foi acrescentado ao

conhecimento humano que era voz corrente, entre os cientistas da últ ima década do século,

que nada mais de importância seria descoberto. O que faltava para tornar a c iênc ia

completa, d iz iam, era determinar com mais exatidão o valor de certas constantes, como a

elétr ica e a gravitacional, os pesos atómicos, a velocidade da luz no vácuo , etc.

Como resposta à comunidade científ ica, num período de menos de três meses, entre

o final de dezembro de 1895 e o início de março de 1896, duas descobertas seriam

anunciadas que iriam mudar para sempre a c iência : os raios-X e a radioatividade.

Os raios-X

Como foi visto no Capítulo 2 , a descoberta dos raios catódicos foi de grande

importância científ ica e prática. Como seria de se esperar, em diversos países as pesquisas

em torno desses interessantes raios foi conduzida de maneira mais ou menos sistemática.

Com o passar do tempo, fontes de tensão capazes de fornecer diferenças de potencial

mais elevadas e com maior regularidade foram desenvolvidas. As propriedades desses raios

puderam então ser estabelecidas com maior precisão:

• Os raios provocavam fluorescência em cristais ou no vidro (Fig. 1.3 )

• Os raios descreviam trajetórias retilíneas; um corpo espesso, colocado dentro do

tubo, provocava a formação de uma "sombra" (Fig. 1.3)

• Os raios t inham carga negativa, o que era evidenciado pelo desvio que sofriam

pela apl icação de um campo magnético

• O s raios atravessavam materiais finos e leves

• O s raios impressionavam chapas fotográficas

• Os raios t inham elevada energia c inét ica , pois um objeto metál ico colocado em

seu caminho f icava incandescente

Tendo os tubos de raios catódicos surgido quase que simultaneamente na A lemanha

e na Inglaterra, muito da pesquisa em torno deles foi concentrada nesses dois países. U m

dos pesquisadores envolvidos era o físico alemão Wi lhe lm Conrad Rõntgen, de Wurzburg .

Numa noite de outubro de 1895 , Rõntgen observou que uma p laca , onde um dos

seus alunos havia apl icado tinta fluorescente, bri lhava quando ele l igava um tubo de raios

catódicos a uma certa distância. Isso era surpreendente, pois sabia-se que os raios catódicos

não t inham energia c inética suficiente para atravessar o vidro do tubo. Mais surpreendente

a inda, os estranhos raios foram capazes de atravessar o próprio Rõntgen, quando ele se

interpôs entre o tubo e a p laca fluorescente.

A seguir, Rõntgen experimentou a capacidade de penetração dos raios, j á batizados

por ele de " X " , em diversos materiais. Papel , madeira, a lumínio , foram atravessados sem

problemas, mas folhas de chumbo bloqueavam os raios.

Rõntgen verif icou que os raios-X partiam exatamente do ponto em que os raios

catódicos incidiam no v idro , ou seja, onde se produzia f luorescência. Usando um ímã , ele

não conseguiu mudar a direção dos raios, concluindo que não deveriam possuir carga

elétrica. Seriam os raios-X, como os raios catódicos, capazes de impressionar uma chapa

fotográfica? A experiência demonstrou que eram. Colocando peças metálicas espessas

sobre a chapa e ligando o tubo, Rõntgen conseguiu silhuetas perfeitas das peças.

Foi aí que lhe ocorreu a ideia que o tornaria famoso.

O s raios-X atravessavam em maior ou menor grau materiais

diferentes; os menos densos eram atravessados - mais

faci lmente, e vice-versa. O ra , o corpo humano possuí

componentes mais densos, os ossos, cercados por outros

menos densos, a pele e os músculos. Seria possível distinguir

uns dos outros numa fotografia obtida com raios-X?

Como não podia ligar o tubo e se radiografar ao mesmo

tempo, Rõntgen pediu que sua esposa colocasse a mão direita

sobre uma chapa , enquanto ele ac ionava o tubo. O resultado,

mostrado em forma positiva na Fig. 4 . 1 , é a primeira

radiografia de um corpo humano. É claramente visível a

estrutura óssea da mão da Sra. Rõntgen, inclusive sua al iança

no dedo anular.

O artigo de Rõntgen sobre os raios-X foi publicado entre Fig. 4.1 - Radiografia

o Natal e o Ano Novo. O próprio Rõntgen se encarregou de ^ u m a m ^ ° -

postá-lo às mais importantes sociedades científicas do mundo. Um jornal de V iena foi o

primeiro a divulgar os raios-X para o grande público no início do ano. Antes do final de

I 5#

.V. ,'

janeiro de 1896, radiografias j á eram produzidas em diversos países, fazendo dos raios-X a

descoberta científica cuja trajetória do laboratório à produção em larga escala foi a mais

curta da história.

Os tubos de raios-X, embora guardem até hoje o mesmo princípio de funcionamento

do de Rõntgen, passaram por importantes modificações. A primeira delas foi a colocação de

um alvo metálico de alto ponto de fusão, no qual incidiam os raios catódicos. Com isso,

tensões mais elevadas - e raios-X mais penetrantes, podiam ser obtidos.

Fig. 4.2 - Um tubo de Coolidge. O filamento está à esquerda e o alvo metálico, de alto ponto de fusão, à direita. As aletas refrigeram o alvo, aquecido na operação.

Outro grande avanço foi a cr iação, por Coolidge, do tungsténio dúct i l . Com isso, o

cátodo foi substituído por um filamento aquecido (Fig. 4 .2) . Os átomos de um filamento

metálico aquecido a alta temperatura são ionizados (é o chamado efeito Edison), de forma

passou a ser possível controlar o fluxo de raios catódicos (que nada mais são que eléctrons),

ou a corrente, dentro do tubo e, por extensão, a intensidade do feixe de raios-X. A

regulagem da tensão e da corrente permite que um mesmo tubo sirva para radiografar um

dedo ou o tórax.

C o m o são produzidos os raios-X

O feixe de radiação que sai de um tubo de raios-X possui dois componentes básicos:

os raios-X característicos e os raios-X de bremsstrahlung.

Os raios-X característicos são produzidos quando os átomos do alvo, excitados e

ionizados pela energia absorvida quando do impacto dos raios catódicos, voltam ao estado

fundamental . Como na recombinação (caso dos átomos ionizados) ou no rearranjo

eletrônico (caso dos átomos excitados) o átomo perde energia, essa energia é emitida sob a

forma de radiação eletromagnética, cujo comprimento de onda depende dos níveis

energéticos dos átomos do alvo (daí o adjetivo "característicos").

No entanto, a maior parte dos eléctrons dos raios catódicos não cede energia aos

átomos do alvo, mas sofre acelerações bruscas por efeito dos intensos campos elétricos

próximo aos núcleos desses átomos. Pela teoria eletromagnética clássica, espelhada nas leis

de Maxwe l l , uma carga elétrica acelerada emite radiação. Essa radiação tem uma energia

que depende da aceleração sofrida. Assim, para um dado feixe de raios catódicos, ela é

emitida com energias de um valor próximo a zero (maior comprimento de onda) até ao da

energia cinética máx ima dos raios catódicos, que depende da alta tensão apl icada ao tubo.

Como consequência, da mesma

forma que a luz solar é emitida em

forma de espectro (do infravermelho ao

ultravioleta), o feixe que sai de um tubo

de raios-X também possui um espectro,

como os mostrados na Fig. 4 .3 . Ne la ,

são mostrados os espectros obtidos

c o m dois tubos operando a 35 kV , um

deles com alvo de molibdênio e o

outro com alvo de tungsténio. As linhas

destacadas do primeiro são os raios-X

característicos da camada K do

mol ibdênio, que aparecem superpostas

ao espectro contínuo de

bremsstrahlung. Para o tungsténio, os

raios-X característicos da camada K têm

energias mais elevadas, de forma que

só apareceriam se o tubo estivesse Fig. 4.3 - Espectros de dois tubos de raios-X, . , . . , 7 n h , , com afvos diferentes, operando a 35 kV.

operando a uma tensão maior (>70 kV) .

«o -o Í/Í c o

0,2 0,4 0,6 X. I O " 8

0,8 - 1,0

cm

A radioatividade

U m a das mais interessantes ironias da história da c iênc ia é o fato de que, embora a

emissão de raios-X e a radioatividade sejam fenómenos completamente distintos, a

descoberta da radioatividade foi uma consequência da dos raios-X.

Como foi visto, Rõntgen enviou seu artigo às mais importantes sociedades científicas,

inclusive a Académie des Sciences de Paris. Num certo dia de janeiro de 1896 , esse artigo

foi lido numa sessão (como era o costume), despertando grande curiosidade. Na plateia, o

engenheiro civi l Antoine-Henri Becquerel , professor de física do Museu de História Natural

da c idade, foi atraído por um detalhe do trabalho: o ponto de origem dos raios-X era o de

inc idência dos raios catódicos no tubo, onde se produzia fluorescência. O r a , fluorescência

era o assunto no qual Becquerel era especialista. Seu raciocínio foi simples: se do ponto no

tubo onde se produz fluorescência partem os raios-X, talvez raios-X sejam produzidos por

um cristal fluorescente quando ele estiver exibindo fluorescência.

Em seu laboratório, Becquerel t inha vários desses cristais. Escolhendo um ao acaso,

ele planejou um experimento extremamente simples: o cristal seria colocado sobre uma

chapa fotográfica hermeticamente fechada, de forma que a luz não pudesse atingi-la. O

PfeiCA 4

obrigados a possuir 90 MeV de energia, um valor anormalmente elevado e, mais do que

isso, diferente do do cálculo para o hidrogénio.

A hipótese de Chadwick , pubil icada em 1932 , era a de que a reação das partículas

alfa com o berilo levava à produção de partículas com massa similar à do próton. A quase

igualdade entre as massas faz ia com que, de acordo com as equações para a colisão

elástica, a transferência de energia das partículas emitidas para o próton fosse mais eficaz do

que para outros núcleos. No caso do nitrogénio, dada a massa 14 vezes maior, a energia

transferida era menor. Isso justif icava a diferença entre os 5,7 MeV para o próton e os 1,2

MeV para o nitrogénio. A grande penetração das partículas seria justif icada se fosse

admitido que a partícula tivesse carga zero , ou seja, seria o "nêutron" previsto por

Rutherford. Chadwick estimou a massa do nêutron com sendo 1,16 vezes a massa do próton

(hoje o valor aceito é 1,0012). Assim, a reação com o berilo tinha como equação

*He+lBe-^C+ln ( u )

Para que serve E=mâ\: A energia de ligação nuclear

Sem dúvida alguma, a equação de Einstein E=mâ merece um lugar na história da

c iênc ia como a mais conhecida e menos compreendida das equações. Sua análise mostra

que existe uma equivalência entre massa e energia com base na velocidade da luz. Como

essa é uma constante que tem um valor muito grande (cerca de 3 x 1 0 8 nas unidades SI) , a

transformação de massa em energia daria resultados absolutamente monstruosos. De fato, se

fosse possível a transformação de 1 g de qualquer material em energia, o resultado seria

assombrosos 9 x 1 0 1 3 J . Em termos de energia elétrica, isso é igual a 2 , 5 x 1 0 7 k W h , ou o

consumo de uma casa de classe média-alta por mais de 4000 anos.

Assombroso ou não, isso é o que acontece em muitos processos que geram energia.

Na verdade, as reações que dissipam energia (ou exotérmicas) são reações nas quais a

massa total dos reagentes é ligeiramente maior do que a dos produtos. A diferença de

massa, segundo a equação de Einstein, fornece a energia dissipada na reação.

N a formação do núcleo, essa diferença de massa se evidencia de outra forma. Como

o núcleo é uma estrutura muito pequena, isso quer dizer a força que une seus componentes

deve ser suficientemente forte para manter o núcleo coeso mesmo em face de colossais

forças de repulsão eletrostática entre os prótons. A energia necessária para manter a unidade

do núcleo é, portanto, enorme diante das dimensões e massas envolvidas. Essa é

verdadeiramente a energia nuclear, nome que o público adota para tantas outras coisas. A

fonte dessa energia, como não poderia deixar de ser, são os próprios componentes do

núcleo, que "cedem" parte de sua massa para tal .

A energia que mantém o núcleo unido, ou energia de ligação, var ia de núcleo para

núcleo, e pode ser calculada com base na massa do núcleo e na massa de seus

componentes, ou núcleons (prótons e nêutrons). Torna-se evidente que, quanto maior o

núcleo, maior a energia de ligação total. Porém, o quociente entre a energia de ligação total

Na França, a jovem Marya (Marie) Sklodowska Cur ie , orientada no seu doutoramento

em f ís ica por seu marido, Pierre, resolveu pesquisar nessa área. Em 1898 , ajudado pelo

químico, Bémont, o casal descobriu mais dois elementos emissores, desconhecidos até

então: o polónio e o rádio. No artigo que publicaram sobre o polónio, pela primeira vez

aparece o adjetivo radio-actif, surgindo daí a radioatividade, a mais fantástica propriedade

da matéria.

Por essa época, j á em Montreal (Canadá), o recém-doutor neo-zelandês Ernest

Rutherford descobria que Becquerel cometera um pequeno engano. As emissões do urânio,

como as do tório, do polónio e do rádio, não eram raios-X. Ele conseguiu demonstrar que

elas eram ao menos de dois tipos: um formado de partículas leves, de carga negativa e em

tudo iguais aos eléctrons descobertos

por Thomson, e outro formado de

partículas mais pesadas, de carga

posit iva, que Rutherford mostrou ser

átomos de hélio (gás primeiramente

identificado no sol e, só mais tarde, na

terra). Em 1900 o francês Henri Vi l lard

descobriu o último componente: os

raios gama, sem carga elétrica e

virtualmente idênticos aos raios-X.

Como um campo magnético atua de

maneira diferente sobre partículas

carregadas em movimento de acordo

com o sinal dessa carga, e não atua

sobre radiações eletromagnêticas, a Fig.

4 .4 mostra, esquematicamente, o que

se espera da deflexões sofridas por

partículas alfa e beta e raios gama

dentro de um campo magnético

intenso.

CS-campo magnético

A l f a \ G a m a

\n n I!

B e t a

\j c h u m b o

substância radioativa

Fig. 4.4 - Deflexões sofridas por radiações diferentes em um campo magnético.

A emissão não é eterna

O fato de que as radiações emitidas pelo urânio, tório, e t c , produziam ionizações no

ar, levou a usar uma medida da intensidade dessa ionização como indicativa da atividade

do material . Essa medida era feita com os eletrômetros (Capítulo 5 ) . Foi dessa maneira que

Rutherford descobriu ao mesmo tempo um novo elemento químico e um aspecto curioso

dos materiais radioativos.

Trabalhando com o tório, Rutherford se deparou com um comportamento inusitado.

A atividade, ou taxa de emissões, do tório, medida com base na ionização do ar, caía

fifcnsa 4

t

bruscamente toda vez que entrava no laboratório uma corrente de ar. Passado algum

tempo, a atividade voltava aos níveis originais. Usando um sistema engenhoso, ele

conseguiu coletar o responsável por essa atividade, vendo que se tratava de um gás

radioativo, que foi batizado como emanação (hoje conhecido como radônio).

A emanação, uma vez separada

do tório, tinha sua emissão

paulatinamente reduzida, até ser

incapaz de produzir ionizações no ar.

Colocando num gráfico a evolução do

decréscimo da ionização, Rutherford

notou que, qualquer que fosse a

quantidade de gás coletada, a queda na

atividade era sempre a mesma: a cada

intervalo de cerca de 1 minuto, a taxa F i g 4 5 _ Decaimento exponencial da de ionizações caía à metade (Fig. 4 .5 ) . emanação do tório (a). Num gráfico semi-Esse comportamento define o logarítmico (b), o resultado é uma reta.

decaimento exponencial, dado por

1 2 3 Tempo (min) ~->-

(«)

1 2 Tempo (min) -

A = A0e -XI ( 4 . 1 )

onde A é a atividade após decorrido um tempo t, contado a partir do instante em que a

atividade foi medida como A0 . A constante A é característica do material radioativo. O

tempo necessário para que a emissão fosse reduzida à metade foi então batizado de meia-vida T„ . Assim, a meia-vida da emanação do tório é de cerca de 1 minuto. Foram

determinadas meias-vidas de frações de segundo até bilhões de anos.

Parece bastante claro que deve existir uma relação entre a meia-vida e a constante A.

Essa relação pode ser estabelecida matematicamente, fazendo-se A=AJ2:

2 =e AT, In 2 = ÃT1/: ln 2 T 1 1 12

)

Exemplo 4.1

U m a fonte rad ioat i va tem meia-v ida de 1 m i n . No instante /=0 é c o l o c a d a nas v i z i n h a n ç a s de um detector e a taxa de contagem observada (o número de par t í cu las ou fótons de rad iação e le t romagnét i ca co letados por un idade de tempo) é de 2 0 0 0 por segundo . A c h a r qua l deve ser a taxa de contagem nos instantes í = l , 2 e 10 m i n . Tendo-se a meia-vida, é possível calcular a constante de decaimento A.-

A = In 2 0,69315 T ~ 1 •M/2 1

= 0,69315 min

Assim, a taxa de contagem após I min será C = 2000e-M93"''1 =1000j-1

Após 2 min taxa cai para 500 s'1, sendo de cerca de 2 s~' para 1=10 min. 4 f 3 f 9 f

'Â 4

Exemplo 4.2

O , 3 7 C s tem u m a m e i a - v i da de 30 ,1 anos . Quer - se l iberar o repos i tór io de A b a d i a de

G o i á s , onde estão enterrados os rejeitos do ac idente de G o i â n i a de 1 9 8 7 , q u a n d o a

emissão de rad iação t i ve r ca ído a 0 , 1 % da que ex is t ia na é p o c a do a c i d e n t e . Em

quanto tempo acontece rá isso?

Acha-se inicialmente a constante de decaimento A = i £ 2 = 0 !69315 2 3 ( ) o t m _ ,

Tm 30,1

Como se quer que a emissão caia a 0,1%, ou um milésimo,

1 = e - 0 > 0 1 3 ' /. 0,023r = In 1000.-. / * lOOanos 1000 <rv n <7v

Transmutação de elementos, isótopos e nuclideos

A descoberta da radioatividade estimulou a introdução de diversas teorias que

explicassem o fenómeno. Na época, havia uma radical discrepância entre profissionais da

física e da qu ímica sobre os átomos: os primeiros negavam sua existência, da qual os outros

estavam firmemente convencidos. A radioatividade foi descoberta por um engenheiro,

professor de fís ica, que meramente achava que ela era uma propriedade do urânio (ou do

tório, ou do polónio) como material . Isso não é incomum, mesmo hoje que o conceito de

átomo se encontra perfeitamente estabelecido. U m átomo de cobre não é condutor ; .o

cobre, como material , é um condutor.

Foi Marie Curie a primeira a tentar expl icar a radioatividade como um processo que

tinha lugar em nível atómico. Ao mesmo tempo, Rutherford seguia na mesma l inha. Como

átomos eram entidades ligadas à qu ímica , foi acrescentado à equipe de Rutherford um

jovem e brilhante químico , de nome Frederick Soddy.

Ao longo das duas primeiras décadas do século XX , Soddy e Rutherford f izeram

descobertas extraordinárias com os materiais radioativos conhecidos. A primeira delas era a

de que, começando-se com uma quantidade qualquer de um material radioativo puro,

outros elementos começam a surgir. O rádio se desintegra em radônio e hélio, mas não há

meios de se reagir o hélio como radônio para se produzir rádio. O mesmo fenómeno se dá

com o tório (que produz hélio e a emanação, ou radônio). As análises químicas minuciosas

de Soddy levaram-no a estabelecer, junto com Rutherford e Kasimir Fajans, as regras do

deslocamento entre elementos ditos radioativos:

Pela emissão de uma partícula alfa, um átomo se transforma em outro

duas unidades de carga e quatro unidades de massa menor

Pela emissão de uma partícula beta, um átomo se transforma em outro de

mesma massa e uma unidade de carga maior

m

FÍSICA 4

Para que serve E=mâ\: o Ç d e uma reação nuclear

U m importante parâmetro das reações químicas é o chamado Q da reação. Trata-se

da energia (usualmente expressa em kcal/mol de reagente) que pode ser extraída da reação

(no caso de se ter um Q positivo) ou que deve ser fornecida aos reagentes para que a reação

ocorra (se o Q for negativo).

As reações nucleares, como as indicadas pelas Eqs. (3.1) e (3 .3) , também têm seu c?.

Esse Qé comumente positivo, pois incorpora a energia da partícula incidente. No caso das

Eqs. (3.1) e (3.3) , a partícula alfa incidente em cada caso deve ter uma energia suficiente

para vencer a repulsão eletrostática do núcleo atingido, sob pena de a reação não vir a

ocorrer. Nessa situação, o Ç é obviamente positivo, sendo transformado na energia cinética

das partículas resultantes e, se for o caso, em radiação eletromagnética (a radiação gama).

Existem algumas situações, porém, em que o Q é genuinamente positivo. N a fissão

induzida do urânio-235, por exemplo , a energia do nêutron incidente é perfeitamente

desprezível , de forma que a energia produzida depende tão-somente das massas dos

produtos iniciais e finais.

Exemplo 3.3

A c h a r o Q da reação de t ransmutação de nitrogénio em ox igén io pe lo bombarde io

c o m part ícu las a l fa .

Trata-se da famosa reação descoberta por Rutherford (Eq. (3.1)), que aqui vai escrita como:

lHe+llN->lH+n,0 + Q As massas envolvidas são, em unidades de energia: À^/te;=3728,350 MeV; À/("A9=13043,601 MeV; ^ £ 0 = 9 3 9 , 5 5 3 MeV; Mf70)=15834,372 MeV Usando meramente as massas envolvidas, será encontrado para Q um resultado negativo: 3728,350 +13043,601 - (15834,372 + 939,553) =-l,974MeF Como as partículas alfa provinham do polônio-210, que emite partículas com energia de 5,304 MeV, o Q da reação é, de faio, 5,304-1,974=3,330 MeV. Essa energia aparece na forma da energia cinética do próton e do núcleo de 17O. €TO 0v frV

Exemplo 3.4

U m dos detectores de nêutrons té rmicos (aqueles que têm energ ia c i né t i ca muito

ba ixa ) mais ut i l i zados se base ia na reação n + 1 0 B V L i + 4 H e

A c h a r o C? dessa reação . N a ma io r parte dos casos , o 7 L i é fo rmado em um estado

e x c i t a d o , de energia 0,480 M e V . Q u a l é, nesse caso , a energ ia c i n é t i c a d i spon íve l

para os dois produtos? Os nêutrons ditos térmicos têm energias muito baixas (menos de 1 eV), de forma que, na equação para o cálculo de Q, sua energia é tomada como nula. As massas envolvidas na reação São as seguintes: Mf>?;=939,553 MeV; M(°B) =9326,864 MeV; M(7Li) =6535,215 MeV; M(He)= 3728,350 MeV Usando as massas envolvidas, será encontrado para O um resultado:

PÍ$SCÂ 4

939,553 + 9326,864 - (3728,350 + 6535,275) = 2,792MeV Nos casos em que o 7Li é produzido mim estado excitado, parte da energia da reação foi usada como energia de excitação desse núcleo, de forma que a energia disponível para ser dividida entre a partícula alfa e o 7Li é E = 2,792 - 0,480 = 2,3 \2MeV

I 3£3£3£ I OuOu Ou

Exemplo 3.5

Na reação de fissão nuclear, um nêutron térmico é capturado por um núcleo de 2 3 5 U , formando o 2 3 6 U . Esse núcleo é formado num estado tão excitado que se rompe, gerando dois núcleos menores e mais dois ou três nêutrons, que poderão produzir novas fissões, num processo conhecido como "reação em cadeia" . Admitindo que o núcleo fissionado produza dois outros de massas 140 e 94 , estimar, com base na energia média de ligação por núcleon, a energia dissipada na fissão. A Fig. 3.3 indica que, para nuclideos com massa em torno de 240, a energia de ligação média por núcleon é de 7,6 MeV, sendo de 8,3 MeV para nuclideos com massa em torno de 140 e de 8,6 MeV para nuclideos com massa na faixa dos 95. Logo, a energia liberada na fissão é E = 140 x 8,3 + 94 x 8,6 - 236 x 7,6 * 180Me V Esse valor pode ser comparado com os 4 eV liberados na combustão de um átomo de carbono. Ou Ou Ou

As dimensões do átomo

Os átomos são partículas extremamente pequenas, e menores ainda são seus

componentes. Os comprimentos e massas referentes ao mundo subatômico são tão

pequenos que só é possível sua determinação por medidas indiretas. O s resultados de

algumas dessas medidas são hoje conhecidos com notável precisão. Outros, no entanto, não

passam de grosseiras estimativas. A Tabela 3.1 mostra alguns dos valores mais relevantes.

T A B E L A 3.1 - D imensões a tómicas

Grandeza - Valor Massa do eléctron 9,109 x IO' 3 'kg

Massa do próton 1,673x10" 2 7 kg

Massa do nêutron 1,675x10" 2 7 kg

Raio da primeira órbita do eléctron no hidrogénio 5 ,29x10-"m

Distância interatômica típica « I O " 1 0 - lO-^m Diâmetro de um núcleo « 10"1"- 1 0 1 5 m

O aspecto mais importante a se observar na Tabela 3.1 é a constatação do

verdadeiro vazio que existe na matéria. Gomparando-se com os dados planetários, o raio do

PÍS9CÂ 4 , ^ _ M

sol, que seria o núcleo do átomo planetário, é de 7 x 1 0 8 m. Tomando-se raio do núcleo do

hidrogénio como 10" 1 5 m, se ele for colocado no lugar do sol e tornado do tamanho do sol , o

eléctron que o c i rcunda, na mesma proporção, estará a 3 , 7 x 1 0 1 3 m , ou seja, 6 vezes mais

longe do que Plutão do sol.

A importância dos eléctrons

A Tabela 3.1 mostra a enorme discrepância entre a massa do eléctron e a dos

componentes do núcleo. Como resultado, no isótopo mais simples, o 1 H , 9 9 , 9 5 % da massa

do átomo estão no núcleo. No isótopo mais pesado encontrado na natureza, o 2 3 8 U , esse

número sobe para 9 9 , 9 8 % . Ainda assim, são os eléctrons os responsáveis pela maior parte

dos aspectos da matéria de interesse prático. Na verdade, a única propriedade conhecida da

matéria que não depende dos eléctrons do material que a possui é a radioatividade.

O arranjo dos eléctrons no átomo determina características tais como va lênc ia ,

condutividade térmica e elétrica, estado físico (sólido, líquido ou gasoso), magnetização,

alotropia (grafite ou diamante, no caso do carbono), cor , e tantas outras. É bem verdade que

o núcleo do átomo tem importante participação na densidade de uma substância. Não se

pode esperar, por exemplo , que o alumínio encontrado na natureza, cujo núcleo tem 13

prótons e 14 nêutrons, seja mais denso que o chumbo, cujo isótopo mais comum tem 82

prótons e 126 nêutrons.

Realmente, a densidade do alumínio é 2 ,69 , ao passo que a do chumbo é 11 ,3 . Mas

o elemento químico mais denso, o ósmio, tem densidade 22 ,5 ; seu isótopo mais abundante

tem 76 prótons e 126 nêutrons. Assim, embora o ósmio tenha átomos mais leves que o

chumbo, eles são melhor "empacotados", ou seja, as distâncias interatômicas são menores e

essas distâncias são definidas pelo arranjo eletrônico dos átomos.

Exemplo 3.6 A c h a r o "grau de empaco tamento" , de f in ido c o m base no número de átomos por

un idade de v o l u m e , do a l u m í n i o , do fer ro , do ósmio e do c h u m b o . Para achar esse "grau de empacotamento", é preciso conhecer a massa atómica e a massa específica desses elementos, que são as seguintes:

0 cálculo do número de átomos por unidade de volume è feito a partir do número de átomos numa certa quantidade do elemento. Esse número é, como se sabe,

Nessa equação, dN/dt representa a taxa de variação do número de átomos com o

tempo, que é negativa, porque o número de átomos vai diminuindo com o tempo. A

resolução dessa equação leva a

N = A y " (4.5) onde A/é o número de átomos presentes após. um tempo t Como o módulo da taxa de

var iação do número de átomos XN é a própria atividade A, multiplicando-se cada lado da

equação (4.5) por X chega-se à equação (4 .1) . ,

Para que serve E=mâ\: O porquê da radioat iv idade

Deixando de lado as razões filosóficas, existe uma razão puramente f ís ica para que a

radioatividade ocorra. Anal isando o decaimento radioativo de um nucl ídeo qualquer, como

o do 2 2 è R a em 2 2 2 R n pela emissão do 4 H e (equação (4.3)) , f ica evidente que a massa do 2 2 6 R a

deve ser no mínimo igual à soma das massas do 2 2 2 R n e do 4 H e . Como o 4 H e é emit ido, ou

seja, lançado, é óbvio que ele deve ter energia c inética. Como o 2 2 6 R a não recebe qualquer

estímulo para sofrer o decaimento (ele é espontâneo), essa energia deve v i r do próprio

nucl ídeo. Essa energia está armazenada nele em forma de massa, de maneira que a massa

do 2 2 6 R a (226,025361 amu) é obrigatoriamente maior do que a soma da massa dos produtos

(222 ,017530 amu +4 ,002604 amu) . Essa diferença de massa, ou 0 ,005227 amu ,

multipl icada por c2, fornece a energia responsável pelo decaimento. O resultado, 4 , 87 MeV,

é dividido entre a energia c inét ica da partícula alfa e a energia de recuo do núcleo de 2 2 2 R n ,

pela conservação da quantidade de movimento.

Isso expl ica , por exemplo, porque o 2 7 A Í é estável. Caso ele.sofresse decaimento alfa

(emissão de 4 H e ) , ele se transformaria em 2 3 N a . Mas a massa combinada do s 3 N a e do 4 H e

(26 ,992376 amu) é maior do que a do 2 7 AI (26 ,981543 amu). Logo, o decaimento. rAo acontece. Caso sofresse..de^annenfr; b^te (em/ssfic de um eléctron. de massa desprezível) , o

produto seria o 2 7 S i , cuja massa é maior do ..que.- - do 2 7 À I . Outras tentativas de decaimento

esbarram no mesmo problema. Logo, o 2 7 AI é estável.

Exemplo 4.3

A c h a r a energia m á x i m a das par t í cu las beta do 3 2 P . A equação do decaimento é a seguinte:

32P-+nS+6 As massas envolvidas são: M(32P)=31,973914 amu e M(*2S) =31,972078 amu A energia disponível no decaimento é

E = A w c 2 = 0,001836x 1,6604x 1 0 - 2 7 x 9 x 1 0 U = 2,74 x 10" 1 3 J = \,l\MeV Como a massa da partícula beta é desprezível, é também desprezível o recuo do núcleo de 32S, de

forma que virtualmente toda essa energia é aproveitada fia energia cinética das partículas emitidas. Logo, 1,71 MeV é também a energia máxima das partículas beta. 9jf S f %?

CTO (rs

m

Capítulo 4 ^âíos^Xe mdíoâffoidâde

O clima científico no fim do século XIX

Sem sombra de dúvida, a comunidade científica tinha muito de que se orgulhar ao

final do século XIX. De fato, o avanço tinha sido impressionante. Um século antes, os

átomos eram pouco mais do que as entidades filosóficas dos gregos clássicos, a eletricidade

era largamente desconhecida, não se tinha uma ideia clara do que era a luz, a causa da

maioria das doenças ainda era ignorada, o sistema solar ia somente até Urano, enfim, pouco

se sabia sobre qualquer coisa. Ao longo do fantástico século XIX tanto foi acrescentado ao

conhecimento humano que era voz corrente, entre os cientistas da última década do século,

que nada mais de importância seria descoberto. O que faltava para tornar a ciência

completa, diziam, era determinar com mais exatidão o valor de certas constantes, como a

elétrica e a gravitacional, os pesos atómicos, a velocidade da luz no vácuo, etc. "

Como resposta à comunidade científica, num período de menos de três meses, entre

o final de dezembro de 1895 e o início de março de 1896, duas descobertas seriam

anunciadas que iriam mudar para sempre a ciência: os raios-X e a radioatividade.

O s raios-X

Como foi visto no Capítulo 2, a descoberta dos raios catódicos foi de grande

importância científica e prática. Como seria de se esperar, em diversos países as pesquisas

em torno desses interessantes raios foi conduzida de maneira mais ou menos sistemática.

Com o passar do tempo, fontes de tensão capazes de fornecer diferenças de potencial

mais elevadas e com maior regularidade foram desenvolvidas. As propriedades desses raios

puderam então ser estabelecidas com maior precisão:

• Os raios provocavam fluorescência em cristais ou no vidro (Fig. 1.3 )

• Os raios descreviam trajetórias retilíneas; um corpo espesso, colocado dentro do

tubo, provocava a formação de uma "sombra" (Fig. 1.3)

• Os raios tinham carga negativa, o que era evidenciado pelo desvio que sofriam

pela aplicação de um campo magnético

• O s raios atravessavam materiais finos e leves

• O s raios impressionavam chapas fotográficas

• Os raios tinham elevada energia cinética, pois um objeto metálico colocado em

seu caminho ficava incandescente

Tendo os tubos de raios catódicos surgido quase que simultaneamente na Alemanha

e na Inglaterra, muito da pesquisa em torno deles foi concentrada nesses dois países. Um

dos pesquisadores envolvidos era o físico alemão Wilhelm Conrad Rõntgen, de WUrzburg.

Numa noite de outubro de 1895, Rõntgen observou que uma placa, onde um dos

seus alunos havia aplicado tinta fluorescente, brilhava quando ele ligava um tubo de raios

catódicos a uma certa distância. Isso era surpreendente, pois sabia-se que os raios catódicos

não tinham energia cinética suficiente para atravessar o vidro do tubo. Mais surpreendente

ainda, os estranhos raios foram capazes de atravessar o próprio Rõntgen, quando ele se

interpôs entre o tubo e a placa fluorescente.

A seguir, Rõntgen experimentou a capacidade de penetração dos raios, já batizados

por ele de *X", em diversos materiais. Papel, madeira, alumínio, foram atravessados sem

problemas, mas folhas de chumbo bloqueavam os raios.

Rõntgen verificou que os raios-X partiam exatamente do ponto em que os raios

catódicos incidiam no vidro, ou seja, onde se produzia fluorescência. Usando um ímã, ele

não conseguiu mudar a direção dos raios, concluindo que não deveriam possuir carga

elétrica. Seriam os raios-X, como os raios catódicos, capazes de impressionar uma chapa

fotográfica? A experiência demonstrou que eram. Colocando peças metálicas espessas

sobre a chapa e ligando o tubo, Rõntgen conseguiu silhuetas perfeitas das peças.

Foi aí que lhe ocorreu a ideia que o tornaria famoso.

Os raios-X atravessavam em maior ou menor grau materiais

diferentes; os menos densos eram atravessados mais

facilmente, e vice-versa. Ora, o corpo humano possuí

componentes mais densos, os ossos, cercados por outros

menos densos, a pele e os músculos. Seria possível distinguir

uns dos outros numa fotografia obtida com raios-X?

Como não podia ligar o tubo e se radiografar ao mesmo

tempo, Rõntgen pediu que sua esposa colocasse a mão direita

sobre uma chapa, enquanto ele acionava o tubo. O resultado,

mostrado em forma positiva na Fig. 4.1, é a primeira

radiografia de um corpo humano. É claramente visível a

estrutura óssea da mão da Sra. Rõntgen, inclusive sua aliança

no dedo anular.

O artigo de Rõntgen sobre os raios-X foi publicado entre

o Natal e o Ano Novo. O próprio Rõntgen se encarregou de

postá-lo às mais importantes sociedades científicas do mundo. Um jornal de Viena foi o

primeiro a divulgar os raios-X para o grande público no início do ano. Antes do final de

r H í ti

C v: R \ W

F i g . 4 . 1 - R a d i o g r a f i a d e u m a m ã o .

janeiro de 1896, radiografias já eram produzidas em diversos países, fazendo dos raios-X a descoberta científica cuja trajetória do laboratório à produção em larga escala foi a mais curta da história.

Os tubos de raios-X, embora guardem até hoje o mesmo princípio de funcionamento

do de Rõntgen, passaram por importantes modificações. A primeira delas foi a colocação de

um alvo metálico de alto ponto de fusão, no qual incidiam os raios catódicos. Com isso,

tensões mais elevadas - e raios-X mais penetrantes, podiam ser obtidos.

Fig. 4.2 - Um tubo de Coolidge. O filamento está à esquerda e o alvo metálico, de alto ponto de fusão, à direita. As aletas refrigeram o alvo, aquecido na operação.

Outro grande avanço foi a criação, por Coolidge, do tungsténio dúctil. Com isso, o

cátodo foi substituído por um filamento aquecido (Fig. 4.2). Os átomos de um filamento

metálico aquecido a alta temperatura são ionizados (é o chamado efeito Edison), de forma

passou a ser possível controlar o fluxo de raios catódicos (que nada mais são que eléctrons),

ou a corrente, dentro do tubo e, por extensão, a intensidade do feixe de raios-X. A

regulagem da tensão e da corrente permite que um mesmo tubo sirva para radiografar um

dedo ou o tórax.

Como são produzidos os raios-X

O feixe de radiação que sai de um tubo de raios-X possui dois componentes básicos:

os raios-X característicos e os raios-X de bremsstrahlung.

Os raios-X característicos são produzidos quando os átomos do alvo, excitados e

ionizados pela energia absorvida quando do impacto dos raios catódicos, voltam ao estado

fundamental. Como na recombinação (caso dos átomos ionizados) ou no rearranjo

eletrônico (caso dos átomos excitados) o átomo perde energia, essa energia é emitida sob a

forma de radiação eletromagnética, cujo comprimento de onda depende dos níveis

energéticos dos átomos do alvo (daí o adjetivo "característicos").

No entanto, a maior parte dos eléctrons dos raios catódicos não cede energia aos

átomos do alvo, mas sofre acelerações bruscas por efeito dos intensos campos elétricos

próximo aos núcleos desses átomos. Pela teoria eletromagnética clássica, espelhada nas leis

de Maxwell, uma carga elétrica acelerada emite radiação. Essa radiação tem uma energia

que depende da aceleração sofrida. Assim, para um dado feixe de raios catódicos, ela é

SéSCA 4

0> .TB T3 '25 C

emitida com energias de um valor próximo a zero (maior comprimento de onda) até ao da

energia cinética máxima dos raios catódicos, que depende da alta tensão aplicada ao tubo.

Como consequência, da mesma

forma que a luz solar é emitida em

forma de espectro (do infravermelho ao

ultravioleta), o feixe que sai de um tubo

de raios-X também possui um espectro,

como os mostrados na Fig. 4.3. Nela,

são mostrados os espectros obtidos

com dois tubos operando a 35 IcV, um

deles com alvo de molibdênio e o

outro com alvo de tungsténio. As linhas

destacadas do primeiro são os raios-X

característicos da camada K do

molibdênio, que aparecem superpostas

ao espectro contínuo de

bremsstrahlung. Para o tungsténio, os

raios-X característicos da camada K têm

energias mais elevadas, de forma que

só apareceriam se o tubo estivesse

operando a uma tensão maior (>70 kV).

0,2 0,4 0,6 0,8 X, I O " 8 c m —

1,0

Fig. 4.3 - Espectros de dois tubos de raios-X, com alvos diferentes, operando a 35 AV.

A radioatividade

Uma das mais interessantes ironias da história da ciência é o fato de que, embora a

emissão de raios-X e a radioatividade sejam fenómenos completamente distintos, a

descoberta da radioatividade foi uma consequência da dos raios-X.

Como foi visto, Rõntgen enviou seu artigo às mais importantes sociedades científicas,

inclusive a Académie des Sciences de Paris. Num certo dia de janeiro de 1896, esse artigo

foi lido numa sessão (como era o costume), despertando grande curiosidade. Na plateia, o

engenheiro civil Antoine-Henri Becquerel, professor de física do Museu de História Natural

da cidade, foi atraído por um detalhe do trabalho: o ponto de origem dos raios-X era o de

incidência dos raios catódicos no tubo, onde se produzia fluorescência. Ora, fluorescência

era o assunto no qual Becquerel era especialista. Seu raciocínio foi simples: se do ponto no

tubo onde se produz fluorescência partem os raios-X, talvez raios-X sejam produzidos por

um cristal fluorescente quando ele estiver exibindo fluorescência.

Em seu laboratório, Becquerel tinha vários desses cristais. Escolhendo um ao acaso,

ele planejou um experimento extremamente simples: o cristal seria colocado sobre uma

chapa fotográfica hermeticamente fechada, de forma que a luz não pudesse atingi-la. O

PÈSCÁ 4 obrigados a possuir 90 MeV de energia, um valor anormalmente elevado e, mais do que

isso, diferente do do cálculo para o hidrogénio.

A hipótese de Chadwick, pubilicada em 1932, era a de que a reação das partículas

alfa com o berilo levava à produção de partículas com massa similar à do próton. A quase

igualdade entre as massas fazia com que, de acordo com as equações para a colisão

elástica, a transferência de energia das partículas emitidas para o próton fosse mais eficaz do

que para outros núcleos. No caso do nitrogénio, dada a massa 14 vezes maior, a energia

transferida era menor. Isso justificava a diferença entre os 5,7 MeV para o próton e os 1,2

MeV para o nitrogénio. A grande penetração das partículas seria justificada se fosse

admitido que a partícula tivesse carga zero, ou seja, seria o "nêutron" previsto por

Rutherford. Chadwick estimou a massa do nêutron com sendo 1,16 vezes a massa do próton

(hoje o valor aceito é 1,0012). Assim, a reação com o berilo tinha como equação

ÍHe+lBe-JlC+ln (Ti)

Para que serve E=mâ\: A energia de ligação nuclear

Sem dúvida alguma, a equação de Einstein E=mâ merece um lugar na história da

ciência como a mais conhecida e menos compreendida das equações. Sua análise mostra

que existe uma equivalência entre massa e energia com base na velocidade da luz. Como

essa é uma constante que tem um valor muito grande (cerca de 3x10 8 nas unidades SI), a

transformação de massa em energia daria resultados absolutamente monstruosos. De fato, se

fosse possível a transformação de 1 g de qualquer material em energia, o resultado seria

assombrosos 9 x 1 0 " J. Em termos de energia elétrica, isso é igual a 2,5x10 7 kWh, ou o

consumo de uma casa de classe média-alta por mais de 4000 anos.

Assombroso ou não, isso é o que acontece em muitos processos que geram energia.

Na verdade, as reações que dissipam energia (ou exotérmicas) são reações nas quais a

massa total dos reagentes é ligeiramente maior do que a dos produtos. A diferença de

massa, segundo a equação de Einstein, fornece a energia dissipada na reação.

Na formação do núcleo, essa diferença de massa se evidencia de outra forma. Como

o núcleo é uma estrutura muito pequena, isso quer dizer a força que une seus componentes

deve ser suficientemente forte para manter o núcleo coeso mesmo em face de colossais

forças de repulsão eletrostática entre os prótons. A energia necessária para manter a unidade

do núcleo é, portanto, enorme diante das dimensões e massas envolvidas. Essa é

verdadeiramente a energia nuclear, nome que o público adota para tantas outras coisas. A

fonte dessa energia, como não poderia deixar de ser, são os próprios componentes do

núcleo, que "cedem" parte de sua massa para tal.

A energia que mantém o núcleo unido, ou energia de ligação, varia de núcleo para

núcleo, e pode ser calculada com base na massa do núcleo e na massa de seus

componentes, ou núcleons (prótons e nêutrons). Torna-se evidente que, quanto maior o

núcleo, maior a energia de ligação total. Porém, o quociente entre a energia de ligação total

IPÈ3CÂ 4

Na França, a jovem Marya (Marie) Sklodowska Curie, orientada no seu doutoramento

em física por seu marido, Pierre, resolveu pesquisar nessa área. Em 1898, ajudado pelo

químico, Bémont, o casal descobriu mais dois elementos emissores, desconhecidos até

então: o polónio e o rádio. No artigo que publicaram sobre o polónio, pela primeira vez

aparece o adjetivo radio-actif, surgindo daí a radioatividade, a mais fantástica propriedade

da matéria.

Por essa época, já em Montreal (Canadá), o recém-doutor neo-zelandês Ernest

Rutherford descobria que Becquerel cometera um pequeno engano. As emissões do urânio,

como as do tório, do polónio e do rádio, não eram raios-X. Ele conseguiu demonstrar que

elas eram ao menos de dois tipos: um formado de partículas leves, de carga negativa e em

tudo iguais aos eléctrons descobertos

por Thomson, e outro formado de

partículas mais pesadas, de carga

positiva, que Rutherford mostrou ser

átomos de hélio (gás primeiramente

identificado no sol e, só mais tarde, na

terra). Em 1900 o francês Henri Villard

descobriu o último componente: os

raios gama, sem carga elétrica e

virtualmente idênticos aos raios-X.

Como um campo magnético atua de

maneira diferente sobre partículas

Carregadas em movimento de acordo

Com o sinal dessa carga, e não atua

sobre radiações eletromagnêticas, a Fig.

4.4 mostra, esquematicamente, o que

se espera da deflexões sofridas por

partículas alfa e beta e raios gama

dentro de um campo magnético

intenso.

campo magnético

substância radioativa

Fig. 4.4 - Deflexões sofridas por radiações diferentes em um campo magnético.

A emissão não é eterna

O fato de que as radiações emitidas pelo urânio, tório, e t c , produziam ionizações no

ar, levou a usar uma medida da intensidade dessa ionização como indicativa da atividade

do material. Essa medida era feita com os eletrômetros (Capítulo 5). Foi dessa maneira que

Rutherford descobriu ao mesmo tempo um novo elemento químico e um aspecto curioso

dos materiais radioativos.

Trabalhando com o tório, Rutherford se deparou com um comportamento inusitado.

A atividade, ou taxa de emissões, do tório, medida com base na ionização do ar, caía

ffyCA 4

bruscamente toda vez que entrava no laboratório uma corrente de ar. Passado algum

tempo, a atividade voltava aos níveis originais. Usando um sistema engenhoso, ele

conseguiu coletar o responsável por essa atividade, vendo que se tratava de um gás

radioativo, que foi batizado como emanação (hoje conhecido como radônio).

A emanação, uma vez separada

do tório, tinha sua emissão

paulatinamente reduzida, até ser

incapaz de produzir ionizações no ar.

Colocando num gráfico a evolução do

decréscimo da ionização, Rutherford

notou que, qualquer que fosse a

quantidade de gás coletada, a queda na

atividade era sempre a mesma: a cada

intervalo de cerca de 1 minuto, a taxa

de ionizações caía à metade (Fig. 4 .5 ) .

Esse comportamento define o

decaimento exponencial, dado por

1 2 3 Tempo (min)—-—

1 2 Tempo (min) -

Fig. 4.5 - Decaimento exponencial da emanação do tório (a). Num gráfico semi-logarítmico (b), o resultado é uma rela.

A = A0e -At (4 .1 )

onde A é a atividade após decorrido um tempo t, contado a partir do instante em que a

atividade foi medida como A0. A constante X é característica do material radioativo. O

tempo necessário para que a emissão fosse reduzida à metade foi então batizado de meia-

vida 7"JJ. Assim, a meia-vida da emanação do tório é de cerca de 1 minuto. Foram

determinadas meias-vidas de frações de segundo até bilhões de anos.

Parece bastante claro que deve existir uma relação entre a meia-vida e a constante X.

Essa relação pode ser estabelecida matematicamente, fazendo-se A=AJ2:

'o _ = Ane •ATtll 2 = eXT'" /. In 2 = XTX(, ln 2 T

1 1 / 2

Exemplo 4.1 U m a fonte radioativa tem meia-vida de 1 min. No instante t=0 é colocada nas viz inhanças de um detector e a taxa de contagem observada (o número de partículas ou fótons de radiação eletromagnética coletados por unidade de tempo) é de 2 0 0 0

por segundo. Achar qual deve ser a taxa de contagem nos instantes f=1, 2 e 10 min. Tendo-se a meia-vida, é possível calcular a constante de decaimento X: . I n2 0,69315 „ „ „ f _ . _,

X=-— = — = 0,69315 mm 1

T 1 M/2 1

Assim, a taxa de contagem após I min será C = 2000e-° ' f i 9 3 l 3 x l = 1000J- 1

Após 2 min taxa caipora 500 s~', sendo de cerca de 2 s'J para t=J0 min. trO Oa (TD

m Exemplo 4.2 O n 7 C s tem uma meia-vida de 30,1 anos. Quer-se liberar o repositório de Abadia de

Goiás, onde estão enterrados os rejeitos do acidente de Goiânia de 1987, quando a

emissão de radiação tiver caído a 0,1% da que existia na época do acidente. Em

quanto tempo acontecerá isso? Acha-se inicialmente a constante de decaimento

, In 2 0,69315 n n „ n _, X = = — = 0,023Oono 1

Tm 30,1

Como se quer que a emissão caia a 0,1%, ou um milésimo, 1

1000 [ <7P trXf <fO

= «T 0* 0 2 3 ' .-. 0,023r = In 1000 /. t* 300awas

Transmutação de elementos, isótopos e nuclideos

A descoberta da radioatividade estimulou a introdução de diversas teorias que

explicassem o fenómeno. Na época, havia uma radical discrepância entre profissionais da

física e da química sobre os átomos: os primeiros negavam sua existência, da qual os outros

estavam firmemente convencidos. A radioatividade foi descoberta por um engenheiro,

professor de física, que meramente achava que ela era uma propriedade do urânio (ou do

tório, ou do polónio) como material. Isso não é incomum, mesmo hoje que o conceito de

átomo se encontra perfeitamente estabelecido. Um átomo de cobre não é condutor;.o

cobre, como material, é um condutor.

Foi Marie Curie a primeira a tentar explicar a radioatividade como um processo que

tinha lugar em nível atómico. Ao mesmo tempo, Rutherford seguia na mesma linha. Como

átomos eram entidades ligadas à química, foi acrescentado à equipe de Rutherford um

jovem e brilhante químico, de nome Frederick Soddy.

Ao longo das duas primeiras décadas do século XX, Soddy e Rutherford fizeram

descobertas extraordinárias com os materiais radioativos conhecidos. A primeira delas era a

de que, começando-se com uma quantidade qualquer de um material radioativo puro,

outros elementos começam a surgir. O rádio se desintegra em radônio e hélio, mas não há

meios de se reagir o hélio como radônio para se produzir rádio. O mesmo fenómeno se dá

com o tório (que produz hélio e a emanação, ou radônio). As análises químicas minuciosas

de Soddy levaram-no a estabelecer, junto com Rutherford e Kasimir Fajans, as regras do

deslocamento entre elementos ditos radioativos:

• Pela emissão de uma partícula alfa, um átomo se transforma em outro

duas unidades de carga e quatro unidades de massa menor

• Pela emissão de uma partícula beta, um átomo se transforma em outro de

mesma massa e uma unidade de carga maior f

Por exemplo, ^Ra-^^Rn + A2He ( 4 .3 )

Essa descoberta mostrou uma faceta da radioatividade realmente mágica: era possível a

mutação espontânea de um elemento em outro, o que fazia da radioatividade uma

propriedade da matéria realmente única quando comparada às outras conhecidas até então.

Mas não foi só isso. Uma análise mais minuciosa dos elementos produzidos nas

desintegrações radioativas mostrou que havia tipos iguais do mesmo elemento. A emanação

do tório, descoberta por Rutherford, tinha meia-vida de menos de 1 minuto; a emanação do

rádio que, como a do tório, era radônio, tinha uma meia-vida de quase 4 dias. O urânio se

transformava num tório que tinha uma meia-vida de pouco mais de 3 semanas e emitia

partículas beta, enquanto que o tório encontrado em minas emitia partículas alfa e tinha

uma meia-vida de bilhões de anos.

A sugestão radical de Soddy foi a de que os átomos de um mesmo elemento não

eram iguais entre si. Havia espécies diferentes entre eles, todas do mesmo elemento, que

apresentavam idêntico comportamento químico ao lado de outras características

discrepantes, como a emissão, a meia-vida e a massa atómica. Como todos esses átomos

tinham de estar, na tabela periódica, no mesmo lugar reservado àquele elemento, Soddy os

batizou de isótopos (áo grego iso, mesmo e topos, lugar). Com a descoberta, mais tarde, de

que era possível fabricar isótopos radioativos de qualquer elemento, ficou sem sentido falar

em elementos radioativos. Os elementos têm isótopos estáveis e radioativos, embora alguns

só possuam isótopos radioativos.

Logo ficou aparente que isótopos de um elemento cuja massa garantiria que eles

fossem estáveis emitiam radiação. A essa altura, a existência do núcleo do átomo já havia

sido completamente estabelecida, com a radioatividade caracterizada como uma

propriedade da matéria dependente exclusivamente do núcleo, pois os isótopos eram

definidos a partir do arranjo das partículas que o compunham. Assim, da mesma forma que

a emissão de raios-X característicos decorre da de-excitação de átomos, pelo rearranjo da

coroa eletrônica de um estado excitado para um estado fundamental, o núcleo-também

tinha estados além do fundamental. A tendência de um núcleo no estado excitado era

decair para o fundamental, pela emissão especialmente de radiação eletromagnética-os

raios gama identificados por Villard. Dá-se então a uma espécie nuclear caracterizada por

um certo número de prótons e nêutrons e pelo estado energético o nome de nuclfdeo.

Assim, um nuclídeo radioativo é aquele que, em seu estado fundamental, pode

efetuar uma transmutação para outro nuclídeo, basicamente pela emissão de partículas alfa

ou beta. O nuclídeo resultante, se formado num estado excitado, decairá para seu estado

fundamental, basicamente pela emissão de radiação gama característica (de comprimento

de onda ou energia típicos do nuclídeo emissor).

Agora que o caráter atómico da radioatividade está estabelecido, a equação do

decaimento pode ser matematicamente deduzida, admitindo-se que a taxa de desintegração

deva ser proporcional à quantidade de átomos radioativos presentes na amostra, ou

= -AN ( 4 . 4 ) dt

M Se a massa m for exatamente aquela correspondente a tona unidade de volume, ter-se-á então o número de átomos por unidade de volume. Essa massa é, numericamente, igual à massa específica do material. Assim, o número de átomos por unidade de volume é

devendo-se apenas tomar o cuidado de se compatibilizar as unidades. Por exemplo, no caso do alumínio, tomando-se M como 26,980 g/mól, a massa especifica deve ser dada em g/cm3, com o número de Avogadro igual a 6,022x1o2 3 átomos por átomo-grama (ou moléculas por molécula-grama). Acha-se então

n'= 6,022xlO 2 3 x 2 , 6 9 0 = 6,00xIO 2 2 átomoslcm 3

26,980

Os resultados para o ferro, o ósmio e o chumbo são, respectivamente, 8,41x1o 2 2 átomos/cm3, 7,12x1o 2 2 átomos/cm3 e 3,28x1o 2 2 átomos/cm3. O ferro é, dos elementos acima, o melhor "empacotado" (de fato, possui um dos maiores graus de empacotamento dentre todos os elementos). 3£2£3£ (TO v s g v