of 288 /288
i 1. Um pouco de cálculo 1.1 Introdução aos vetores................................................................................1 1.2 Introdução às derivadas..............................................................................9 1.3 Integração ...............................................................................................15 1.4 Interpretação cinemática das derivadas e integrais...................................19 Exercícios................................................................................................21 2. Movimento unidimensional 2.1 Introdução..................................................................................................25 2.2 Classificação dos movimentos unidimensionais.......................................30 2.3 Determinação de x(t) a partir de v(t) e de v(t) a partir de a(t)...................30 2.4 Aceleração constante.................................................................................32 Exercícios................................................................................................34 3. Movimentos bi e tridimensional 3.1 Introdução..................................................................................................35 3.2 Decomposição de movimentos..................................................................37 3.3 O movimento acelerado.............................................................................38 3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares............................43 Exercícios................................................................................................45 4. As leis de Newton 4.1 Introdução..................................................................................................49 4.2 Referenciais...............................................................................................53 4.3 Aplicações das leis de Newton..................................................................54 4.4 Movimento circular...................................................................................63 4.5 Força retardada proporcional à velocidade...............................................67 4.6 Forças observadas na natureza..................................................................69 4.7 Forças inerciais..........................................................................................75 Exercícios................................................................................................79 Índice

Fisica Apostila Mecanica Calor Ondas

Embed Size (px)

Text of Fisica Apostila Mecanica Calor Ondas

  • i

    1. Um pouco de clculo

    1.1 Introduo aos vetores................................................................................1

    1.2 Introduo s derivadas..............................................................................9

    1.3 Integrao ...............................................................................................15

    1.4 Interpretao cinemtica das derivadas e integrais...................................19

    Exerccios................................................................................................21

    2. Movimento unidimensional

    2.1 Introduo..................................................................................................25

    2.2 Classificao dos movimentos unidimensionais.......................................30

    2.3 Determinao de x(t) a partir de v(t) e de v(t) a partir de a(t)...................30

    2.4 Acelerao constante.................................................................................32

    Exerccios................................................................................................34

    3. Movimentos bi e tridimensional

    3.1 Introduo..................................................................................................35

    3.2 Decomposio de movimentos..................................................................37

    3.3 O movimento acelerado.............................................................................38

    3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares............................43

    Exerccios................................................................................................45

    4. As leis de Newton

    4.1 Introduo..................................................................................................49

    4.2 Referenciais...............................................................................................53

    4.3 Aplicaes das leis de Newton..................................................................54

    4.4 Movimento circular...................................................................................63

    4.5 Fora retardada proporcional velocidade...............................................67

    4.6 Foras observadas na natureza..................................................................69

    4.7 Foras inerciais..........................................................................................75

    Exerccios................................................................................................79

    ndice

  • ii

    5. Trabalho e energia

    5.1 Trabalho e energia cintica.......................................................................85

    5.2 Potncia.................................................................................................... 90

    5.3 Energia potencial.......................................................................................90

    5.4 Foras conservativas..................................................................................92

    5.5 Determinao da fora a partir da energia potencial.................................94

    5.6 Foras dissipativas.....................................................................................95

    5.7 Conservao de energia.............................................................................96

    5.8 Corpo so sob a ao de um potencial arbitrrio.....................................100

    Exerccios..............................................................................................101

    6. Sistema de partculas. Conservao de momentum

    6.1 Centro de massa ......................................................................................107

    6.2 Movimento do centro de massa...............................................................109

    6.3 Sistemas onde a massa varia....................................................................112

    Exerccios..............................................................................................116

    7. Colises

    7.1 Impulso....................................................................................................119

    7.2 Transporte de momentum para uma superfcie. Presso de um gs........121

    7.3 Coliso e conservao de momentum.....................................................123

    Exerccios..............................................................................................127

    8. Dinmica do corpo rgido

    8.1 Introduo ...............................................................................................131

    8.2 Rotao em torno de um eixo fixo...........................................................131

    8.3 Energia rotacional e momento de inrcia................................................134

    8.4 Dinmica da rotao em torno de um eixo fixo.......................................142

    8.5 Equilbrio esttico de um corpo rgido....................................................145

    8.6 Acelerao constante...............................................................................147

    8.7 Momentum angular..................................................................................152

    8.8 Torque e momentum angular de um sistema de partculas.....................154

    8.9 Relao trabalho-energia rotacional........................................................158

    8.10 Conservao do momentum angular.....................................................159

    8.11 Combinao de translao e rotao.....................................................162

    Exerccios..............................................................................................167

    9. Oscilaes

    9.1 O movimento harmnico simples............................................................175

  • iii

    9.2 O sistema massa-mola.............................................................................178

    9.3 O sistema massa-mola com gravidade.....................................................181

    9.4 O pndulo matemtico.............................................................................182

    9.5 O pndulo fsico.......................................................................................184

    9.6 Oscilao de dois corpos.........................................................................185

    9.7 O sistema mola-cilindro...........................................................................186

    9.8 Oscilaes amortecidas............................................................................187

    9.9 Oscilaes foradas.................................................................................188

    Exerccios..............................................................................................192

    10. Movimento ondulatrio

    10.1 Introduo..............................................................................................195

    10.2 Propagao de pulsos numa corda.........................................................197

    10.3 Ondas sonoras........................................................................................198

    10.4 Ondas harmnicas..................................................................................201

    10.5 Efeito Doppler.......................................................................................202

    10.6 Ondas estacionrias...............................................................................205

    10.7 Funes de onda no caso estacionrio...................................................209

    10.8 Interferncia...........................................................................................210

    Exerccios..............................................................................................212

    11. Gravitao

    11.1 Introduo..............................................................................................215

    Exerccios..............................................................................................221

    12. Mecnica dos fluidos

    12.1 Introduo..............................................................................................225

    12.2 Hidrosttica............................................................................................226

    12.3 Princpio de Arquimedes.......................................................................229

    12.4 Dinmica dos fludos.............................................................................231

    12.5 Teorema de Bernouilli...........................................................................233

    12.6 Viscosidade............................................................................................238

    Exerccios..............................................................................................241

    13. Termologia e termodinmica

    13.1 Introduo..............................................................................................245

    13.2 Medida da temperatura..........................................................................247

    13.3 Equao de estado.................................................................................249

  • iv

    13.4 Interpretao microscpica da temperatura...........................................250

    13.5 Dilatao trmica...................................................................................252

    13.6 Calor e trabalho.....................................................................................255

    13.7 Transmisso de calor.............................................................................257

    Exerccios..............................................................................................262

    14. Termodinmica do gs ideal

    14.1 Introduo..............................................................................................265

    14.2 Capacidade trmica...............................................................................268

    14.3 Tipos de expanses................................................................................268

    14.4 Mtodo de Rchhardt para determinao de .....................................270

    Exerccios..............................................................................................272

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 1

    1.1 Introduo aos vetores

    Existem grandezas fsicas que podem ser especificadas fornecendo-se

    apenas um nmero. Assim, por exemplo, quando dizemos que a temperatura

    de uma sala de 20 0C temos a informao completa, no sendo necessrio

    nenhum dado adicional. Grandezas deste tipo so conhecidas como escalares.

    Por outro lado, se estivermos discutindo o deslocamento de um corpo,

    necessrio indicar a distncia percorrida entre dois pontos, a direo e o

    sentido do deslocamento. A grandeza que descreve este movimento

    denominada de vetor e ser o objeto de estudo desta seo. Existem ainda

    grandezas chamadas tensores que necessitam de um nmero maior de

    informaes, em geral dadas na forma de matrizes, que fogem abrangncia

    deste texto.

    Geometricamente, os vetores so representados por uma seta, cujo

    comprimento chamado de mdulo (escolhendo-se uma determinada escala).

    A direo e o sentido da seta fornecem a direo e sentido do vetor.

    Usualmente, ele representado por uma letra em negrito (a, AB, etc.) ou com

    uma seta sobre a letra ( ar,AB

    , etc.). Por outro lado, o mdulo do vetor

    representado apenas por uma letra ou com o vetor colocado entre barras (a,

    ar, AB

    , etc.)

    Consideremos uma partcula deslocando-se de A para B. Este

    deslocamento representado por uma seta indo de A at B, como a mostrada

    na Fig. 1.1(a). O caminho efetivamente seguido pela partcula pode no

    coincidir com o seu deslocamento (vetor), conforme ilustra a Fig. 1.1(b). Se

    considerarmos pontos intermedirios (P), tais como o mostrado na Fig. 1.1(c),

    1 UM POUCO DE

    CLCULO

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    2 Um pouco de clculo

    poderemos eventualmente mapear o trajeto, porm a soma resultante ser

    sempre o vetor AB

    , caracterizado pelo seu mdulo (comprimento), direo e

    sentido. As grandezas vetoriais combinam-se segundo determinadas regras.

    Assim, no deslocamento da Fig. 1.1 definimos a operao soma de vetores,

    ABPBAP

    =+ , que veremos com mais detalhes a seguir.

    Fig. 1.1 - (a) Vetor descrevendo o deslocamento de uma partcula entre os pontos A e

    B, (b) trajetria real da partcula e (c) soma de deslocamentos.

    Consideremos os vetores ar e b

    r mostrados na Fig. 1.2. O resultado da

    adio destes dois vetores a resultante rr, denotada por bar

    rrr+= . O

    procedimento empregado para efetuar a adio geomtrica de vetores pode ser

    intudo a partir da Fig. 1.1 e o seguinte: traa-se (em escala) o vetor ar e em

    seguida o vetor br com a origem na extremidade de a

    r. Une-se a extremidade

    final de br com a origem de a

    r e assim temos o vetor soma r

    r, como ilustrado

    na Fig. 1.2.

    Fig. 1.2 - Adio geomtrica dos vetores ar e br.

    Usando este procedimento geomtrico para a adio de vetores, vemos

    que esta satisfaz as propriedades comutativa: abbarrrr

    +=+ e associativa: )cb(ac)ba(rrrrrr

    ++=++ , como indicado na Fig. 1.3.

    A

    B B

    A

    B

    A P

    (a) (b) (c)

    ar

    br

    rr

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 3

    A subtrao de vetores facilmente introduzida definindo-se o

    negativo de um vetor como sendo o vetor com sentido oposto ao original.

    Assim, )b(abarrrr+= , como ilustrado na Fig. 1.4. Note que tanto a adio

    como a subtrao podem ser representadas simultaneamente pela construo

    do paralelogramo representado na Fig. 1.5.

    (a) (b)

    Fig. 1.3 - Propriedades (a) comutativa e (b) associativa.

    Fig. 1.4 - Subtrao geomtrica dos vetores ar e br.

    Fig. 1.5 - Regra do paralelogramo para a adio e subtrao geomtrica dos vetores

    ar e br.

    A adio geomtrica de vetores tridimensionais muito mais difcil e para

    evit-la costuma-se utilizar o mtodo analtico, que consiste na decomposio

    espacial dos vetores e na manipulao individual de seus componentes. A

    decomposio de um vetor s pode ser efetuada com relao a um sistema de

    ar

    br

    cr

    barr

    +

    cbarrr

    ++

    cbrr

    + ar

    br

    rr

    ar

    br

    ar

    br

    br

    ar

    barr

    br

    ar

    barr

    ar

    br

    ar

    br

    barr

    +

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    4 Um pouco de clculo

    coordenadas de orientao conhecida no espao. Considere a decomposio de

    um vetor no plano, conforme mostra a Fig. 1.6, onde o ngulo entre ar e

    o semi-eixo positivo x. Dependendo do ngulo , as componentes podem ser positivas ou negativas. Por definio, este ngulo aumenta quando o vetor

    roda no sentido anti-horrio. O conhecimento dos componentes de um vetor

    suficiente para especific-lo completamente, alm de possibilitar a

    manipulao matemtica simultnea de vrios vetores. De acordo com a Fig.

    1.6 temos ax = a cos e ay = a sen, de onde sai que:

    2y

    2x aaaa +==

    r

    tg = ay/ax

    Fig. 1.6 - Decomposio do vetor ar num sistema de coordenadas cartesianas.

    Muitas vezes conveniente a introduo de um vetor de mdulo

    unitrio, chamado versor, na direo de um determinado vetor, que pode ento

    ser escrito como aeaa =r

    . Assim separamos o mdulo do vetor (a) de sua

    direo e sentido ( ae ). Da mesma forma, conveniente traar versores paralelos aos eixos do sistema de coordenadas escolhido, como mostra a Fig.

    1.7. Normalmente, no sistema de coordenadas cartesianas eles so chamados

    de i , j e k . Costumamos dizer que estes versores formam uma base completa

    porque qualquer vetor pode ser expresso como combinao linear deles, da

    forma:

    y

    ay

    ax

    x

    ar

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 5

    kajaiaa zyx ++=r

    Fig. 1.7 - Versores no sistema de coordenadas cartesianas.

    onde kaeja,ia zyx so denominadas de componentes vetoriais do vetor ar.

    Note que se estivermos tratando com vetores contidos no plano xy, temos az =

    0. A soma analtica de vetores pode ser efetuada da forma:

    ( ) ( )kbjbibkajaiabar zyxzyx +++++=+=rrr

    ( ) ( ) ( ) krjrirkbajbaiba zyxzzyyxx ++=+++++= Assim, rx = ax+ bx, ry = ay+ by, rz = az+ bz. Logo: O vetor resultante tem como

    componentes a soma das respectivas componentes dos vetores individuais.

    Como exemplo, considere 3 vetores coplanares dados por: j1i2a =r

    ,

    j2i3b +=r

    e i1.5c =r

    . As componentes do vetor resultante so: rx = 2 + 3 -

    1.5 = 3.5 e ry = -1 + 2 + 0 = 1, de modo que j1i5.3r +=r

    . O ngulo pode

    ser encontrado de acordo com:

    tg = ry/rx = 1/3.5 = 0.286 = 15.90

    e o mdulo :

    ( ) 3.6413.5rr 2 =+==r

    Uma operao que veremos aparecer com freqncia nos prximos

    captulos a multiplicao envolvendo vetores, que pode ser de trs tipos:

    k i

    j

    x

    y

    z

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    6 Um pouco de clculo

    a) Multiplicao de um vetor por um escalar - resulta num outro vetor paralelo

    ao primeiro, porm com o mdulo multiplicado por uma constante. Se esta

    constante for negativa existe a inverso do sentido do vetor.

    b) Produto escalar - o produto escalar entre ar e b

    r resulta num nmero (e no

    num vetor) que definido como cosabb.a =rr

    , onde o ngulo entre eles. Geometricamente, temos o produto do mdulo de um vetor pela projeo do

    outro sobre si. Este tipo de produto aparece no clculo do trabalho mecnico,

    potncia de uma fora, etc.

    Fig. 1.8 - Produto escalar entre dois vetores ar e b

    r.

    c) Produto vetorial representado por b acrrr

    = . O vetor resultante tem o

    mdulo dado por c = ab sen, e direo perpendicular ao plano que contm ar

    e br. Novamente, o ngulo entre a

    r e b

    r. O sentido de c

    r pode ser

    determinado pela regra da mo direita, ilustrada na Fig. 1.9. Usa-se a seguinte

    receita: Empurre com as pontas dos dedos o vetor ar no sentido de superp-

    lo ao vetor br. O polegar indicar o sentido do vetor c

    r.

    Fig. 1.9 - Regra da mo direita para a realizao do produto vetorial.

    ar

    br

    cr

    br

    ar

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 7

    Ao contrrio do produto escalar, o produto vetorial no comutativo,

    isto , ele muda de sinal ao mudarmos a ordem dos vetores, isto ,

    a b b arrrr

    = . Este fato pode ser comprovado pela regra da mo direita. Algumas propriedades interessantes dos produtos escalar e vetorial so:

    1. distributiva (escalar): c.a b.a )cb.( arrrrrrr

    +=+ 2. distributiva (vetorial): c a b a )cb( x a

    rrrrrrr+=+

    3. produto misto: )b a.(c ) a c( .b )c b( . arrrrrrrrr

    == 4. duplo produto vetorial: c)b. a( b) c . a( )c b( x a

    rrrrrrrrr=

    Para o clculo do produto vetorial, notamos que: j j i i ==

    0 k k == , pois o ngulo entre dois vetores iguais nulo e

    i k j ,k j i == e j i k = , como pode ser visto pela regra da mo direita. Vejamos a seguir alguns exemplos de multiplicao vetorial.

    (i) k8ba j2b e i4a ===rrrr

    (ii) j- ib e j3i2a 2

    1=+=rr

    = barr

    ( ) =

    + jij3i22

    1

    k-jj3 - i j j i2 - i i 2

    7

    2

    3 =+= .

    Uma outra maneira de se fazer o produto vetorial pelo uso de

    matrizes. Considere kj3i2a +=r

    e k2jib +=r

    . Podemos calcular o vetor resultante pela co-fatora da matriz:

    ( ) ( ) ( ) )kji5(k 32j 14i 162 1- 1

    1- 3 2

    k j i

    ba =++==rr

    Este mesmo resultado pode ser encontrado utilizando-se a propriedade

    distributiva (vetorial).

    A variao dos vetores um fato extremamente importante. Vamos

    analisar, por exemplo, o movimento circular uniforme, esquematizado na Fig.

    1.10.

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    8 Um pouco de clculo

    Fig. 1.10 - Representao do movimento circular.

    Durante um intervalo de tempo t extremamente curto (infinitesimal), a distncia percorrida s = r t. O vetor velocidade dado por:

    t/svrr

    =

    e para calcul-lo tomamos, de acordo com a Fig. 1.10:

    ( ) ( ) jttsenrittcosrrrs 12 +++==rrr

    [ ] itsentsentcostcosrjtsenritcosr =

    [ ] jtsenritcosrjtsentcostcostsenr ++

    Para t muito pequeno ( 0t ) temos 1tcos e ttsen , e assim,

    jtcostritsentrs +=r

    jtcosritsenrv +=r

    Desta forma, a variao temporal do vetor posio rr nos leva a um

    vetor velocidade vr que tangencial rbita do movimento circular. Note que

    se definirmos um vetor k=r

    , podemos escrever

    jtcosritsenr

    0t rsen t rcos

    0 0

    k j i

    v +=

    =r

    t rr

    x

    y

    sr

    s

    r 1

    t

    r 2

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 9

    Como vemos, o conhecimento de como as grandezas fsicas variam to

    importante quanto o conhecimento da prpria grandeza. Como o vetor

    caracterizado pelo mdulo, direo e sentido, ele apresentar variao sempre

    que um destes elementos mudar. Podemos ter:

    a) Variao do mdulo, como indicado na Fig. 1.11:

    12 v-vvrrr

    =

    Fig. 1.11 Variao do mdulo de um vetor .

    b) Variao da direo, como no movimento circular visto anteriormente:

    21 aarr

    =

    12 aaarrr

    =

    Fig. 1.12 - Variao da direo de um vetor .

    Este tipo de clculo que fizemos, considerando a variao do vetor em

    intervalos pequenos, extremamente til em Fsica e nos leva ao chamado

    clculo infinitesimal (vlido quando 0t ). Abordaremos este tpico a seguir.

    1.2 Introduo s derivadas

    Em Fsica, a manipulao matemtica das vrias grandezas to

    importante quanto o conhecimento da prpria grandeza. Nem sempre as

    operaes elementares de lgebra so suficientes para tais manipulaes,

    sendo necessria a introduo de novas operaes e conceitos matemticos.

    Dentre estes, so de extrema importncia os de derivada e integral.

    Como ilustrao, consideremos um corpo que se desloca a uma

    distncia d num intervalo de tempo t. Com estes dados, o mximo que

    1vr

    2vr

    vr

    1ar

    2ar

    ar

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    10 Um pouco de clculo

    podemos fazer calcular a velocidade mdia do corpo no intervalo

    mencionado. Se quisermos conhecer a velocidade instantnea do corpo num

    determinado ponto de sua trajetria, deveremos analisar seu comportamento

    nas vizinhanas deste ponto e to mais exata ser a resposta quanto mais

    limitada for a vizinhana. comum nesta situao que descrevemos

    encontrarmos divises de nmeros quase nulos e, neste caso, tais divises

    devem ser feitas de uma maneira especial.

    Vamos iniciar a abordagem deste assunto pelo conceito intuitivo de

    limite. Consideremos a funo ( ) 1x4xf 2 += . Queremos estudar seu comportamento quando a varivel x assume valores cada vez mais prximos

    de 1. Para isto, vamos construir a seguinte tabela:

    x f(x) x f(x)

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    0.95

    0.99

    2.44

    2.96

    3.56

    4.24

    4.61

    4.92

    1.4

    1.3

    1.2

    1.1

    1.01

    1.001

    8.84

    7.76

    6.76

    5.84

    5.08

    5.008

    Ela mostra claramente que quando x tende a 1, f(x) tende a 5 e estar

    mais prximo de 5 quanto menor for a diferena entre x e 1. Este fato

    expresso matematicamente da seguinte forma:

    ( ) 5xflim 1x = que quer dizer que o limite da funo f(x) quando x tende a 1 5. Outros

    exemplos que podemos citar so:

    11x2lim 1x =

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 11

    = x1lim 0x

    ( ) 1x/11limx =+

    Para funes polinomiais, isto , funes que tenham dependncia do

    tipo xn, vale a seguinte propriedade:

    ( ) ( )cfxflim cx = Existem outros limites que so um pouco mais difceis de serem

    demonstrados e que so melhor discutidos nos livros de Clculo. Por exemplo

    temos:

    1x

    xsenlim 0x =

    ( ) ...718.2ex/11lim xx ==+

    Vamos a seguir usar o conceito de limite para introduzir a operao de

    diferenciao (derivadas). Seja a funo f(x) definida num intervalo do eixo x,

    no qual o ponto x0 est contido, como mostra a Fig. 1.13. Chamaremos de

    razo incremental da funo f(x) relativa ao ponto x0, a quantidade:

    ( ) ( )0

    0

    xx

    xfxf

    Fig. 1.13 - Definio da razo incremental.

    x

    f(x)

    x0 x

    f(x)-f(x0)

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    12 Um pouco de clculo

    A razo incremental da funo f(x) representa o quanto a funo

    incrementada quando x variado de x0 a x. Esta razo pode ser positiva,

    negativa ou nula dependendo se a funo crescente, decrescente ou constante

    no intervalo considerado. A derivada de uma funo definida como:

    ( ) ( )

    = 0

    0xx0 xx

    xfxflim)x('f

    0

    tambm comum escrevermos dx/df)x('f 0 = . Fazendo x = x0 + ,x temos:

    ( ) ( )

    += x

    xfxxflim)x('f 00ox0

    A derivada da funo num ponto representa a taxa de variao da

    funo ao nos afastarmos deste ponto. Vamos, a seguir, obter a derivada de

    algumas funes.

    1) f(x) = x2 + 3x ( ) ( ) ( )x

    x3xxx3xx

    x

    )x(fxxf 22

    +++

    =

    +

    x3x2x

    x3xx3x3xxx2x 222++=

    ++++

    =

    Logo: ( ) ( ) 3x2x3x2limx'f 0x +=++=

    2) ( ) ( ) ( )x

    xxx

    x

    xfxxfxxf

    +

    =

    +=

    ( ) ( )( ) ( ) xxx

    1

    xxxx

    xxx

    xxx

    xxx

    x

    xxx

    ++=

    ++

    +=

    ++

    ++

    +=

    E assim, x2

    1

    xxx

    1lim)x('f ox =

    ++=

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 13

    3) ( ) ( ) ( )

    x

    xcosxxcos

    x

    xfxxfxcos)x(f

    +

    =

    +=

    ( )( )2

    2

    x

    x

    2

    x senxsen

    +=

    onde utilizamos cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sena senb, com a = x + x/2 e b = x/2. Desta forma temos:

    ( )( ) xsen

    senxsenlim)x(f

    2

    2

    x

    x

    2

    x0x

    ' =

    +=

    Geometricamente, podemos verificar que a derivada da funo f(x)

    num determinado ponto x0 representa a tangente do ngulo formado pela reta

    tangente curva em x0 com o eixo das abcissas (x). Este fato est ilustrado na

    Fig. 1.14. fcil verificar quando fazemos x tender a x0, a reta que passa por

    estes dois pontos confunde-se cada vez mais com a tangente curva no ponto

    x0. Logo:

    ( ) ( ) =

    = tgxx)x(fxf

    limx'f0

    00x0

    Fig. 1.14 Interpretao geomtrica da derivada.

    Uma vez visto o significado matemtico da derivada, passemos a

    apresentao de certas regras que facilitam bastante os clculos:

    1) funo constante: ( ) 0dx

    dfcxf ==

    x

    f(x)

    f(x)

    f(x0)

    x0 x

    tangente

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    14 Um pouco de clculo

    2) funo potncia: ( ) 1nn nxx'fx)x(f == (regra do tombo)

    3) funo soma: f(x) = u(x) + v(x) f(x) = u(x) + v(x)

    Ex.: f(x) = x4 x3 + 3x2 + 1 f(x) = 4x3 3x2 + 6x

    4) funo produto: f(x) = u(x). v(x) f(x) = u(x) v(x) + u(x). v(x) Ex.: f(x) = 3x2(4x+1) f(x) = 6x (4x+1) + 3x2(4)

    5) funo quociente: ( ) )x(v/)x(uxf = ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )2xvx'vxuxvx'u

    )x('f

    =

    6) funes trigonomtricas:

    ( ) ( ) xcosx'fxsenxf == f(x) = cos x f(x) = - sen x

    f(x) = tg x f(x) = sec2x

    7) funo exponencial: f(x) = ax f(x) = ax lna

    Todas estas propriedades que acabamos de mencionar podem ser

    demonstradas a partir da definio da derivada em termos da razo

    incremental. Demonstraremos aqui apenas uma delas, a da funo produto f(x)

    = u(x) v(x), e deixaremos as outras para o curso de Clculo. Neste caso

    temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    xxvxuxxvxxu

    x)x(fxxf

    ++

    =

    +

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

    xvxxuxvxxuxvxuxxvxxu

    +++++=

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x

    xuxxuxv]xvxxv[xxu

    ++++=

    Tomando o limite para x tendendo a zero:

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 15

    ( ) ( )[ ]

    ( ) ( ) ( )[ ]

    +

    +

    +

    +=

    xxuxxu

    xvlim

    xxv)xx(v

    xxulim)x('f

    0x

    ox

    de onde obtemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x'uxvx'vxux'f += Regra da cadeia: Muitas vezes, durante o uso de derivadas em Fsica,

    encontramos a situao em que )y(g)x(F = , com y = f(x), o que corresponde chamada funo composta, isto , funo de uma outra funo.

    Por exemplo, F(x) = sen (x2), de onde temos g(y) = siny e y = x2 . Neste caso,

    devemos usar a regra da cadeia, dada por:

    dx

    dy

    dy

    dg

    dx

    dF =

    No presente exemplo F(x) = sen x2, com g(y) = siny e y = x2. Logo, ycosdy/dg = e )x(cosx2)x('Fx2dx/dy 2==

    Tomemos um outro exemplo onde 432 )x3x21()x(F ++= . Chamando x3x21y 32 ++= , temos g(y) = y4 de forma que a derivada : F(x) = 4y3 (4x + 9x2) = 4(1+2x2 + 3x3)3 (4x + 9x2)

    1.3 Integrao

    Como acabamos de ver, conhecendo-se a funo f(x) possvel

    calcular sua taxa de variao f(x) (derivada). Uma pergunta lgica a ser feita

    neste ponto : conhecendo-se f(x) possvel encontrar-se f(x), ou em outras

    palavras, existe a operao inversa, ou anti-derivada? A resposta sim e a

    operao inversa denominada integrao ser discutida a seguir de uma forma

    bastante intuitiva, deixando-se o rigor matemtico para o curso de Clculo.

    Vamos considerar a funo f(x) mostrada na Fig. 1.15 e supor

    conhecidas as derivadas em todos os pontos x (x0, x1, x2, ...). Pela definio de

    taxa de variao (ou razo incremental) temos:

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    16 Um pouco de clculo

    Fig. 1.15 Funo f(x) usada para a demonstrao da operao inversa da derivada.

    1taxaxx

    )x(f)x(f

    01

    01 =

    tal que f(x1) = f(x0) + taxa 1.(x1 x0). Assim, conhecendo-se a taxa de

    variao e a funo no ponto x0, temos condies de determinar a funo no

    ponto x1. Da mesma forma, conhecendo-se a funo no ponto x1 e a taxa 2,

    que a taxa entre x1 e x2, podemos determinar a funo em x2. Se dividirmos o

    eixo x em vrios intervalos sucessivos nos quais conhecemos a taxa de

    variao da funo f(x), podemos mostrar que:

    f(xn) = f(x0) + taxa 1.(x1 x0) + taxa 2.(x2 x1) + ... taxa n.(xn xn-1)

    de forma que podemos encontrar a funo f(x) e sabermos as vrias taxas de

    variao ao longo do eixo x. Vamos, a seguir, tomar todos os intervalos com o

    mesmo tamanho, ou seja:

    x1 x0 = x2 x1 = ... = xn xn-1 = x

    de modo que:

    f(xn) = f(x0) + (taxa1 + taxa 2 + ... + taxa n). x

    Tomando o limite em que x tende a zero, as vrias taxas de variao transformam-se nas derivadas, de modo que:

    x

    f(x)

    x1 x2 x3 x0 = 0

    taxa 1

    taxa 3

    taxa 2

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 17

    ( ) ( ) ( ) xdxdfxfxf

    s'stodos

    0n +=

    Como fizemos x 0, temos agora um nmero infinito de intervalos e, consequentemente, infinitos termos na somatria. Alm disto, estamos

    somando nmeros df/dx que variam continuamente. Neste caso, ao invs de

    usarmos a soma de nmeros discretos, introduzimos a operao , denominada integrao, que representa uma soma contnua. A partir desta

    definio, podemos escrever:

    ( )+= n0

    x

    x0n dxdx

    df)x(f)x(f

    onde usamos dx x como notao no caso em que x 0. Como vemos, esta operao permite encontrar-se f(x) a partir de f(x) e por isso dizemos que

    a integrao a operao inversa da diferenciao. Se quisermos, por

    exemplo, calcular a integral:

    ( ) ( ) ++=+==+

    + C1m

    xdxxdxd

    1m1dxxI

    1m1mm

    onde a constante C est representando f(x0), que deve ser conhecido. A regra

    acima bastante importante na integrao de polinmios. Alguns exemplos

    simples so:

    += C3x

    dxx3

    2

    ( ) +++=++ Cx2x

    3xdx1xx

    232

    ( ) ++=+ Cx4x85dxx8x5 287

    A integral de uma determinada funo tambm possui uma

    interpretao geomtrica como no caso da derivada. Para vermos tal

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    18 Um pouco de clculo

    interpretao, vamos considerar n

    0

    x

    x.dx)x(g Para cada ponto x, multiplicamos

    o valor da funo g(x) por uma largura dx mostrada na Fig. 1.16

    (infinitesimalmente pequena) e somamos todos os produtos. Em cada ponto

    temos a rea de um retngulo infinitesimal de base dx e altura g(x). Baseados

    neste fato, podemos interpretar geometricamente a integral de uma funo g(x)

    como sendo a rea sob a curva, isto , ( ) =n

    0

    x

    xdxxg rea sob a funo g(x)

    entre os pontos x0 e xn.

    Fig. 1.16 - Interpretao geomtrica da integral.

    Podemos verificar este fato calculando a integral de g(x) = 4x entre 0

    e 1, e comparando o valor obtido com a rea da funo neste intervalo. Temos:

    ( ) ====1

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    201.22x4dxx4dxx4

    Nesta ltima passagem introduzimos os limites de integrao,

    substituindo a constante de integrao C.

    ( ) ==b

    a

    b

    a

    )a(F)b(FxFdx)x(g

    Calculando a rea do tringulo sombreado da Fig. 1.17 obtemos: rea = .4.1 = 2, que coincide com o resultado obtido por integrao.

    g(x)

    dx xn x0

    g(x)

    x

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 19

    Fig. 1.17 rea da funo g(x) = 4x entre 0 e 1.

    Algumas propriedades importantes das integrais so:

    (1) c g(x) dx = c g(x) dx onde c uma constante (2) [g1 (x) + g2 (x)] = g1 (x) dx + g2 (x) dx (3) senx dx = dx

    d (-cos x) dx = - cosx + C

    (4) cosx dx = dxd (senx) dx = senx + C

    1.4 Interpretao cinemtica das derivadas e integrais

    Na cinemtica encontramos vrias aplicaes do clculo de derivadas

    e integrais. Analisando o movimento de um corpo, estas idias fluem

    espontaneamente dos argumentos fsicos. Vamos considerar um corpo

    deslocando-se numa trajetria S, conforme mostra a figura abaixo. Chamamos

    de i e f os pontos inicial e final do movimento. O conhecimento especfico da

    trajetria no suficiente para predizermos a velocidade do corpo para cada

    posio. necessrio o conhecimento das posies sucessivas S(t) com o

    decorrer do tempo. Suponha que a trajetria do corpo seja dividida em

    pedaos sr

    , como mostra a Fig. 1.18. Um sr

    particular liga o ponto Sj ao ponto Sj+1 e o intervalo de tempo decorrido para que o corpo execute este

    deslocamento t. A velocidade mdia neste intervalo de tempo t/sv =

    rr. Esta velocidade ser to mais prxima da velocidade real

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

    1

    2

    3

    4

    x

    g(x)

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    20 Um pouco de clculo

    (instantnea) do corpo na posio Sj quanto mais prximos forem os pontos j e

    j +1. Isto ocorre porque neste caso sr

    confunde-se cada vez mais com a trajetria real do corpo. No limite em que t (e consequentemente, s

    r ) tende

    a zero, temos a definio da velocidade instantnea:

    dtsd

    tslimv 0ti

    rrr

    =

    =

    que derivada da posio em relao ao tempo. Suponha agora que queremos

    encontrar a distncia total percorrida pelo corpo. Isto pode ser feito dividindo-

    se a trajetria em pequenos segmentos Sj e realizando a soma Sj.

    Fig. 1.18 - Corpo deslocando-se numa trajetria S.

    bvio que quanto menores forem os segmentos Sj , mais a soma acima se aproximar da distncia real percorrida pelo corpo, porque,

    novamente, quanto menores forem os Sj, melhor eles se encaixam na trajetria. No limite em que Sj 0 eles se confundem completamente com a trajetria e assim:

    distncia percorrida = lim Sj 0 Sj

    usual no caso em que Sj 0 definirmos S = ds e substituirmos a somatria pela integral:

    distncia percorrida = j

    i

    S

    Sds

    x

    y

    i

    f

    sj

    sj+1 sr

    Sj

    Sj+1 Sj

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 21

    Exerccios

    1 Uma sala tem dimenses 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus

    cantos e voa para o canto diametralmente oposto. Qual o mdulo do

    deslocamento? Poderia sua trajetria ser menor do que este deslocamento?

    Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este

    deslocamento na forma vetorial.

    2 Considere os vetores .kbjbibb e kajaiaa zyxzyx ++=++=rr

    Mostre que zzyyxx bababab.a ++=rr

    e que ( ) ibababa yzzy =rr

    ( ) ( ) kbabajbaba xyyxzxz x ++ .

    3 Podemos combinar dois vetores de mdulos diferentes e ter resultante

    nula? E no caso de 3 vetores?

    4 Considere um corpo em movimento cujo vetor posio dado (em cm) por

    .jtsen4itcos3r +=r

    Usando procedimento semelhante ao utilizado

    no texto para o movimento circular, a) mostre num grfico em escala o vetor r

    r num determinado instante t; b) aps um intervalo de tempo t

    pequeno, mostre no mesmo grfico o novo vetor rr; c) calcule o

    deslocamento )t(r)tt(rsrrr

    += sofrido pelo corpo no intervalo t; d) calcule t/sv =

    rre verifique sua orientao para t = 0, pi/2, pi e 3pi/2;

    e) calcule v . rrre discuta o resultado; f) calcule v r

    rr e discuta o resultado.

    5 Considere os vetores .k3j2ib e k4j3i2a +=++=rr

    a) determine: .ba e ba,ba,b.arrrrrrrr

    + b) qual a componente de a

    r paralela a b

    r?

    c) qual a componente de ar perpendicular a b

    r?

    6 Considere o vetor ar do problema anterior.

    a) faa um grfico em escala mostrando o vetor e os ngulos e , definidos na Fig. 1.19.

    b) calcule o mdulo do vetor e os valores de e .

    c) calcule a componente de ar paralela ao versor ( ) 3/kjie ++= .

    d) calcule a componente perpendicular a este vetor.

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    22 Um pouco de clculo

    Fig. 1.18

    7 Faa a adio e subtrao geomtrica dos seguintes vetores:

    ji3b e ji2a 23

    21 +==

    r.

    8 Faa os produtos escalar e vetorial dos vetores: k3j2ia ++=r

    e k2j4i2b +=r

    .

    9 Encontre a projeo do vetor k3j2ia ++=r

    na direo paralela ao versor

    ( ) .3/k2j2ie += Faa o mesmo para a projeo perpendicular. 10 Mostre que o produto vetorial rv

    rr um vetor constante quando o

    movimento circular.

    11 Mostre que 0r.v =rr

    para o movimento circular. O que isto significa?

    12 Calcule a derivada das seguintes funes:

    a) f(x) = 3x2 + 1

    b) f(x) = senx/x2

    c) f(x) = ex (1+ x2 + x3)

    d) f(x) = (x2 + 2)/(x3 + 3)

    13 Calcule a derivada das funes acima nos pontos:

    a) x = 0

    b) x = pi c) x = 0

    d) x = 1

    y

    y

    z

    z

    ar

    r

    x x

    P

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Um pouco de clculo 23

    14 Procure num handbook de matemtica:

    a) a derivada de f(x) = lnx

    b) a integral de f(x) = 1/x

    15 Determinar a derivada das seguintes funes: a) y = 4x5 b) y = 2x3 + 4x2 5x 2 c) y = sen x + cos x d) y = x2 + 1 e) y = x sen x f) y = 1/x2 g) y = ( )1x/x2 2 + h) y = x ex i) y = cotg x

    j) y = x

    k) y = x/1

    16 Calcule as derivadas das funes:

    a) f(x) = tgx

    b) f(x) = eax (no ponto x = 0)

    c) f(x) = sen2x (no ponto x = pi) d) f(x) = xn + cosx

    e) f(x) = sen (cosx)

    f) f(x) = esenx (no ponto x = 0)

    17 Calcule +1

    0 2x1dx . Sugesto: Faa x = tg 1 + x2 = 1 + tg2 =

    sec2. Por outro lado, dx/d = sec2 dx = sec2 d. Como x = tg, os limites de integrao ficam: quando x = 0 = 0 e quando x = 1 = 4

    pi .

    18 Calcule as seguintes integrais indefinidas:

    a) I = dxx3

    b) I = ( ) + dx2x4x7 32

  • S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    24 Um pouco de clculo

    c) I = ( ) dxx8x15 210 +

    19 Calcule as integrais definidas:

    a) I = ( )pi

    +0

    dxxcosxsen3

    b) I = dx)x25(1

    1

    2 +

    c) I = 1

    0

    x2 dxe

    d) I = pi4

    0dxxcosxsen

    20 - Considere a parbola y = 2x2+x-3.

    a) Usando o conceito de derivada, encontre a posio x0 que corresponde

    ao extremo (mximo ou mnimo);

    b) Substituta o valor de x0 na equao da parbola para encontrar o valor

    de y0;

    c) Complete quadrados para encontrar os pontos do vrtice, x0 e y0;

    d) Encontre os pontos para os quais a parbola cruza o eixo x;

    e) Faa um esboo (grfico com poucos detalhes) da parbola;

    f) Usando integrao, encontre a rea sob a parbola compreendida entre

    os pontos 1 e 2.

  • Movimento unidimensional 25

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    2.1 Introduo

    Dentre os vrios movimentos que iremos estudar, o movimento

    unidimensional o mais simples, j que todas as grandezas vetoriais que

    descrevem o movimento so paralelas. Como o movimento ocorre em apenas

    uma dimenso, necessria apenas uma coordenada para especificar a posio

    de um corpo em cada instante de tempo.

    Consideremos um corpo que no instante t1 encontra-se na posio x1.

    Aps um intervalo de tempo t = t2 t1, o corpo estar na posio x2 no

    instante de tempo t2. Definimos o deslocamento como sendo x = x2 x1 e a

    velocidade mdia do corpo neste intervalo de tempo como:

    12

    12

    tt

    xx

    t

    xv

    =

    =

    O sentido do deslocamento do corpo dado pelo sinal do prprio

    deslocamento ou da velocidade mdia (so proporcionais). Geometricamente,

    a velocidade mdia entre os pontos x2 e x1 corresponde inclinao da reta

    quer passa por estes pontos, conforme mostra a Fig. 2.1.

    tg = t/xv =

    Fig. 2.1 - Posio de um corpo com funo do tempo.

    2 MOVIMENTO

    UNIDIMENSIONAL

    t1 t2

    x

    t t

    x

  • Movimento unidimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    26

    Quanto menor for o intervalo de tempo considerado, isto , quanto

    mais prximos estiverem os pontos x1 e x2, mais fielmente v representar a

    velocidade real do corpo naquele intervalo de tempo. Logo, a velocidade

    instantnea (real) definida como:

    ( )dt

    dx

    t

    xlimtv 0t =

    =

    que nada mais do que a derivada da posio com relao ao tempo.

    Geometricamente, se tivermos um grfico de posio contra tempo, a

    velocidade instantnea corresponde inclinao da reta tangente curva num

    determinado instante de tempo, como ilustra a Fig. 2.2.

    tg1 = v(t1)

    tg2 = v(t2)

    Fig. 2.2 - Interpretao geomtrica da velocidade instantnea.

    Quando a velocidade instantnea constante num determinado

    intervalo de tempo, dizemos que o movimento uniforme e que v)t(v = . Por outro lado, quando a velocidade no constante no tempo, o movimento

    chamado de acelerado. Neste caso, a variao da velocidade com o tempo

    caracterizada por uma grandeza denominada acelerao. Se a velocidade do

    corpo no instante t1 1v e no instante t2 2v , a acelerao mdia definida

    como:

    t

    v

    tt

    vva

    12

    12

    =

    =

    e no grfico de velocidade contra tempo ela corresponde inclinao da reta

    que passa pelos pontos v1 e v2. Quando consideramos o limite em que t tende

    x

    t

    1

    2

    t1 t2

  • Movimento unidimensional 27

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    a zero, surge a idia de acelerao instantnea, grandeza esta que caracteriza

    localmente a variao da velocidade do corpo. Logo:

    ( )dt

    dv

    t

    vlimta 0t =

    =

    Geometricamente, a acelerao a inclinao da reta tangente curva

    no grfico de velocidade, como mostra a Fig. 2.3.

    tg = a(t)

    Fig. 2.3 Interpretao geomtrica da acelerao instantnea.

    O movimento do corpo pode ser classificado de acordo com a maneira

    em que a acelerao se comporta no tempo. Quando a acelerao constante,

    o movimento chamado de uniformemente acelerado e se constitui numa

    classe importante de situaes que analisaremos. Antes de prosseguirmos,

    vamos mostrar alguns exemplos dos conceitos que acabamos de ver.

    Exemplo 1 : Seja um corpo deslocando-se de tal forma que sua

    posio dada por x(t) = 4t2, com t dado em s e x em cm. Na Fig. 2.4(a)

    vemos o grfico desta funo. A velocidade do corpo em cada instante de

    tempo pode ser encontrada tomando-se a derivada de x(t) e assim,

    Fig. 2.4 - Posio (a) e velocidade (b) de um corpo como funo do tempo.

    t

    t

    v(t)

    t (s)

    x(t)

    36

    27

    18

    4 3 2 1

    9

    0

    (cm)

    t (s)

    v(t)

    32

    24

    16

    4 3 2 1

    8

    0

    (cm/s)

    0 0

  • Movimento unidimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    28

    ( ) t8dt

    dxtv == (em cm/s)

    que a equao da linha reta mostrada na Fig. 2.4(b). Se quisermos calcular a

    acelerao como funo do tempo, devemos tomar a derivada de v(t) que

    obviamente uma constante.

    ( ) 2s/cm8dt

    dvta ==

    A velocidade mdia do corpo entre os instantes t = 1s e t = 3s pode ser

    calculada atravs da expresso:

    ( ) ( )s/cm16

    2

    436

    13

    1x3x

    t

    xv ==

    ==

    Este mesmo resultado poderia ser obtido da seguinte forma:

    ( ) ( )s/cm16

    2

    824

    2

    1v3vv =+=

    +=

    ou seja: A velocidade mdia a mdia das velocidades nos instantes

    considerados. Este um resultado que s vale para um movimento cuja

    acelerao constante.

    Exemplo 2: O movimento de um corpo descrito por x(t) = 3t2 + 4t +

    1, sendo esta funo mostrada na Fig. 2.5. A posio inicial do corpo x0 = 1

    cm e pelo grfico vemos que nos instantes iniciais do movimento, o

    deslocamento se d no sentido positivo do eixo x, at atingir um ponto

    mximo a partir do qual o movimento se inverte, ocorrendo a partir da no

    sentido negativo do eixo x.

    Queremos responder seguinte pergunta: quanto tempo o corpo leva

    para voltar posio inicial? Para isto fazemos x(t) = 1, isto ,

    -3t2 + 4t + 1 = 1 -3t2 + 4t = 0 t (-3t + 4) = 0

    de onde tiramos que o corpo est na posio x = 1 nos instantes t = 0 (posio

    inicial) t = 4/3 s, que corresponde ao tempo necessrio para a partcula voltar

    posio inicial.

  • Movimento unidimensional 29

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Fig. 2.5 - Posio de um corpo como funo do tempo.

    A velocidade dada por v(t) = dx/dt = -6t + 4 (cm/s), que est

    mostrada na Fig. 2.6. Notamos que: v > 0 para t < 2/3 s, v = 0 para t = 2/3 s

    e v < 0 para t > 2/3 s. O grfico da velocidade do corpo corresponde uma

    reta com coeficiente angular negativo. O tempo t = 2/3 s define o ponto de

    retorno. A acelerao dada por:

    2s/cm6dt

    dva ==

    e no sentido oposto ao da velocidade na fase inicial (t < 2/3 s).

    Fig. 2.6 - Velocidade de um corpo como funo do tempo.

    0

    x(cm)

    -2

    2

    1

    1.5 2.0 1.0 0.5

    -1

    0 2.5 t (s)

    0

    v (cm/s)

    -4

    4

    2

    2/3 1/3

    -2

    0 1 t (s)

  • Movimento unidimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    30

    2.2 Classificao dos movimentos unidimensionais

    O movimento unidimensional classificado de acordo com as

    variaes da posio, velocidade e acelerao com o decorrer do tempo.

    Assim, temos os seguintes tipos de movimentos:

    Progressivo: x(t) aumenta com o tempo;

    Retrgrado: x(t) diminui com o tempo;

    Acelerado: v(t) e a (t) tem o mesmo sentido;

    Retardado: v(t) e a(t) tem sentidos opostos.

    No exemplo anterior (Exemplo 2), a classificao do movimento : t <

    2/3s movimento progressivo e retardado e t > 2/3x movimento

    retrgrado e acelerado.

    2.3 Determinao de x(t) a partir de v(t) e de

    v(t) a partir de a(t)

    Como vimos anteriormente, o conhecimento de x(t) permite o clculo

    de v(t) atravs de uma derivao e tambm a(t) atravs de outra derivao. O

    problema inverso consiste na determinao de x(t) a partir de v(t) ou a(t). Para

    isto, temos que realizar uma integrao, pois estamos procurando a funo

    cuja derivada conhecida. Assim,

    ( ) ( ) ( ) +=+= ttt

    t00

    0 0

    dttvxdtdtdxxtx

    Conhecendo-se a velocidade do corpo, determinamos sua posio

    como funo do tempo atravs de uma integrao simples. Lembre-se que o

    que estamos fazendo nada mais do que dividir o intervalo de tempo total em

    pequenos intervalos dt nos quais a velocidade considerada constante. O

    produto vdt fornece a pequena distncia percorrida (ou deslocamento sofrido)

    em dt e a soma deles, que a operao de integrao, fornece o deslocamento

    total do corpo. Num grfico de v(t) contra t, o deslocamento do corpo a rea

    sob a curva, como mostrado na Fig. 2.7. Note que rea negativa indica

    deslocamento no sentido negativo do eixo x.

  • Movimento unidimensional 31

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Fig. 2.7 - Clculo da posio a partir da velocidade de um corpo.

    Exemplo 1: A velocidade de um corpo dada por: v(t) = 3t + 4 e

    sabemos que para t = 0 ele localiza-se em x0 = 1. Vamos calcular x(t). Assim,

    ( ) ( ) 1t4tdt4t31tx 2t

    0 2

    3 ++=++=

    Exemplo 2: Dado a(t) = 3t, calcular v(t) e x(t)

    ( ) 2t

    000 tvdtt3vtv

    2

    3+=+=

    Vemos que para conhecer v(t) precisamos saber a velocidade inicial. Para

    achar x(t) fazemos:

    ( ) ( ) ( )22

    33

    00

    t

    0

    200

    t

    00

    ttvxdttvxdttvxtx ++=++=+=

    Deste exemplo podemos concluir que para a determinao de v(t) a

    partir de a(t) necessrio o conhecimento do valor inicial v0 da velocidade. A

    determinao precisa de x(t) a partir de v(t) implica no conhecimento da

    posio x0 inicial. x0 e v0 so denominados de condies iniciais do

    movimento.

    t

    v(t)

    t0 t

    rea = x(t)

  • Movimento unidimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    32

    2.4 Acelerao constante

    Este caso envolve um nmero grande de problemas e, assim, devemos

    trata-lo em particular. Sendo a acelerao constante, podemos calcular a

    velocidade como:

    ( ) atvdtavdtavtvt

    00

    t

    000 +=+=+=

    e o deslocamento atravs de outra integrao:

    ( ) ( ) ( ) ++=++=+=t

    0

    20000

    t

    00 at

    1tvxdtatvxdttvxtx2

    Podemos eliminar t da primeira equao: ( ) a/vvt 0= e substitu-lo na segunda:

    ( ) ( ) ( ) ++=2

    2

    0

    0

    0

    0a

    vva

    2

    1vv

    a

    vxtx

    ( ) ( )2

    v

    2

    vvv2vv

    2

    1vvvxxa

    20

    2

    020

    22000 =++=

    Logo: ( )0202 xxa2vv += , que conhecida como equao de Torricelli, vlida apenas quando a acelerao constante.

    Um caso especial do movimento uniformemente acelerado ocorre para

    a = 9.81 m/s2 = g, que corresponde ao movimento vertical de corpos sujeitos

    ao campo gravitacional da Terra, prximos superfcie. Neste caso, comum

    tratar o deslocamento como altura (h) e adotar o sentido positivo de h como

    sendo oposto ao de g.

    Exemplo: Uma bola lanada para cima, com velocidade inicial v0

    como mostra a Fig. 2.8. Assim, usando a equao de Torricelli temos:

    ( ) ( ) gh2vhvgh2vhv 20202 ==

    Para um determinado h, existem duas solues para v. A positiva

    representa o corpo em ascenso e a negativa o corpo est na descendente.

    Vemos tambm que o ponto de retorno (v = 0) ocorre para uma altura mxima

  • Movimento unidimensional 33

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    hmax = g2/v20 mostrada na Fig. 2.9. Por outro lado, a dependncia temporal

    dada por v(t) = v0 gt e h(t) = gt2

    Fig. 2.8 Lanamento vertical de uma bola.

    Ao atingir o ponto mximo da trajetria, v = 0 e tmax = v0/g. Logo: hmax

    = g2/v20 como obtido anteriormente. Para a obteno do tempo total da

    trajetria fazemos h(tf) = 0 0 = t (v0 - gt21 ) que nos d duas solues: ti = 0

    (incio do movimento) e tf = 2v02/g que o dobro do tempo gasto para que a

    bola atinja hmax.

    Fig. 2.9 Dependncia da velocidade com a altura no lanamento vertical.

    v(h)

    v02

    2g

    h

    +h v0

    gr

  • Movimento unidimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    34

    Exerccios

    1 O maquinista de um trem movendo-se com velocidade v1, v, a uma

    distncia d sua frente, um trem cargueiro movendo-se no mesmo sentido

    com velocidade v2. Ele aciona os freios, transmitindo ao trem uma

    acelerao -a. Mostre que se: d > (v1 - v2)2/2a no haver coliso e se d <

    (v1 - v2)2/2a haver coliso.

    2 Gotas de gua caem de um chuveiro sobre o piso situado a 2 m abaixo. As

    gotas caem em intervalos regulares e quando a primeira atinge o cho, a

    quarta est comeando a cair. Determine a posio de todas as gotas no

    instante em que uma tinge o cho.

    3 A posio de uma partcula que se desloca ao longo do eixo x depende do

    tempo de acordo com a equao: x = at2 bt

    3, x em cm, t em s.

    a) em que ponto x mximo?

    b) qual a velocidade e em que instante ela nula?

    c) qual a acelerao e em que instante ela nula?

    4 Um avio com velocidade v0 aterriza num porta-avies com uma

    acelerao negativa tAa = . Qual o comprimento mnimo da pista?

    5 Dois corpos localizam-se na origem do eixo x quando t = 0 s. O corpo A

    tem velocidade constante de 2 m/s. O corpo B est inicialmente em

    repouso mas sujeito a uma acelerao constante de 1 m/s2.

    a) represente esquematicamente, num mesmo grfico, as posies dos

    corpos A e B como funo do tempo.

    b) qual o instante de tempo em que ocorrer a coliso?

    c) qual a posio x em que isto ocorrer?

    d) qual a velocidade do corpo B no instante da coliso?

    e) em que instante de tempo as velocidades dos dois corpos sero iguais?

  • Movimentos bi e tridimensional 35

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    3.1 Introduo

    O movimento unidimensional que vimos no captulo anterior um

    caso particular de uma classe mais ampla de movimentos que ocorrem em

    duas ou trs dimenses. Se o movimento de um corpo est completamente

    restrito a um plano, ele denominado movimento plano ou bidimensional.

    Neste caso, a posio especificada atravs de coordenadas polares (r, ) ou

    cartesianas (x, y), como indicadas na Fig. 3.1.

    22 yxr +=

    x = r cos

    y = r sen

    tg = y/x

    Fig. 3.1 Posio de um corpo no plano xy.

    Para o caso do movimento no espao (3 dimenses) a posio do

    corpo especificada em coordenadas esfricas (r, , ) ou cartesianas(x, y, z),

    indicadas na Fig. 3.2.

    ===

    cosrzsensenrycossenrx

    x/ytgz/yxtg

    zyxr22

    222

    =+=++=

    Fig. 3.2 - Posio de um corpo no espao.

    3 MOVIMENTOS BI E

    TRIDIMENSIONAL

    x

    x

    y

    r

    P y

    y

    y

    z

    z

    r

    x x

    P

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    36

    Para movimentos planos e espaciais, as grandezas cinemticas

    ( aev,rrrr) no so necessariamente paralelas como acontece no movimento

    unidimensional. Desta forma, de importncia fundamental tratar estas

    grandezas vetorialmente.

    Se no tempo t1 a posio do corpo for descrita pelo vetor posio 1rre

    no tempo t2, pelo vetor posio 2rr, podemos dizer que o deslocamento sofrido

    pelo corpo dado por 12 rrrrrr

    = onde rr

    no necessariamente a distncia percorrida pelo corpo. Havendo um deslocamento r

    r num intervalo

    de tempo t = t2 t1, podemos definir as velocidades mdia ( )mvr

    e instantnea

    ( )vr da forma:

    t

    rvm

    =

    rr

    dt

    rd

    t

    rlimv 0t

    rrr

    =

    =

    Vemos que a velocidade sempre existir quando houver mudanas no

    mdulo e/ou direo do vetor posio. A variao temporal de um vetor pode

    ser analisada atravs da variao temporal de suas componentes, da forma:

    kdt

    dzj

    dt

    dyi

    dt

    dxvkziyixr ++=++=rr

    e isto pode ser feito porque os versores k e j,i no variam com o tempo.

    Exemplo: Vamos determinar a velocidade de um corpo cujo vetor

    posio dado por: jt3it4r 2 +=r

    . Tomando-se as derivadas temporais das

    componentes de rr temos:

    j3it8dt/rdv +==rr

    Vamos usar este exemplo para demonstrar uma relao importante. Podemos

    escrever:

  • Movimentos bi e tridimensional 37

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    ( ) ( ) ( ) ( ) it4jt3itt8jt3it4jtt3itt4ttr 222 ++++=+++=+r

    No caso em que t muito pequeno, (t)2

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    38

    consideremos o caso de um barco com velocidade vb atravessando um rio cuja

    correnteza tem velocidade vr. O barco percorrer uma trajetria que consiste

    em deslocar-se vrt na direo do rio e vbt na direo perpendicular, como

    mostra a Fig. 3.3. Assim, jvivv e jtvitvr brbr +=+=r

    .

    Fig. 3.3 - Movimento de um barco num rio com correnteza.

    3.3 Movimento acelerado

    Podemos generalizar o que vimos para o movimento unidimensional

    escrevendo:

    ( ) dttvrrt

    00 +=

    rrr

    ( ) ( ) dttavtvt

    00 +=

    rrr

    A integrao de vetores pode ser executada componente a

    componente, como no caso da derivao. Portanto,

    ( )dttvrrt

    0z

    0zz +=

    e assim por diante. No caso da acelerao ser constante temos:

    tavv 0rrr

    += e 200 tatvrr2

    1 rrrr ++=

    i vr

    vr t

    vb t

    j

  • Movimentos bi e tridimensional 39

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Podemos analisar este movimento atravs do sistema de equaes:

    Para a velocidade: Para a posio:

    tavv

    tavv

    tavv

    z0zz

    y0yy

    x0xx

    +=

    +=

    +=

    2z2

    10z

    0zz

    2y2

    10y

    oyy

    2x2

    10x

    0xx

    tatvrr

    tatvrr

    tatvrr

    ++=

    ++=

    ++=

    Vamos em seguida ver alguns exemplos de movimento acelerado.

    a) Lanamento de projtil

    Um caso importante de movimento plano aquele onde temos:

    jga =r

    (com g = 9.8 m/s2) que corresponde ao movimento de um corpo

    atirado de maneira arbitrria. Neste caso, o movimento ser acelerado na

    direo y e no acelerado nas demais. Vamos imaginar a situao em que o

    corpo lanado obliquamente de maneira a formar um ngulo com a

    superfcie, como mostrado na Fig. 3.4

    ==

    senvvcosvv

    00y

    00x

    Fig. 3.4 Lanamento oblquo de um projtil.

    Tomando-se o eixo x paralelo superfcie e o eixo y na vertical, a

    velocidade inicial v0 pode ser decomposta em cosvv 00x = e = senvv 0oy . Na direo x no existe acelerao, porm na direo y

    temos ay = -g de modo que:

    ( )( )

    +=+=

    ==

    tcosvxtvxtx

    cosvvtv

    000x0

    00xx

    v0

    y

    x

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    40

    ( )

    +=

    ==2

    210

    y0

    o0yy

    tgtvyty

    tgsenvtgv)t(v

    Eliminando-se o tempo do primeiro conjunto de equaes ( )( )0x0 v/xxt = e substituindo no segundo obtemos:

    ( ) 20x

    0

    0x

    00y0 v

    xxg

    vxx

    vyy2

    1

    +=

    que representa uma trajetria parablica como indicada na Fig. 3.5. A altura

    mxima pode ser calculada tomando-se dy/dx = 0. Assim,

    ( )g

    vvxx0

    v

    xxg

    v

    v 0x0y

    0max0x

    00x

    0y

    2 +==

    e substituindo em y(t) tiramos:

    ( )g

    vyy

    20y

    0max2

    1+=

    Fig. 3.5 - Movimento parablico decorrente do lanamento oblquo.

    Vamos tomar x0 = y0 = 0 e calcular qual o alcance do projtil ao

    longo do eixo x. Para isto fazemos y = 0 e assim obtemos:

    ( )20x

    2

    0x

    0y

    v

    RgR

    v

    v0

    2

    1=

    0vr

    ymax

    xmax x0 R

    x

    y

    y0

    0

  • Movimentos bi e tridimensional 41

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    Descartando a soluo R = 0, que corresponde ao incio do movimento, temos R = g/vv2 0x0y , e usando-se == cosvv e senvv 00x00y obtemos:

    ( )g

    2senvR

    20 =

    de onde conclumos que o ngulo que apresenta o maior alcance = 45o

    b) Movimento circular

    Este deslocamento caracterizado pelo fato de que o mdulo do

    deslocamento permanece constante. Assim, imaginamos o raio vetor que

    descreve o movimento entre t e t + t. O ngulo varrido pelo raio vetor

    durante o intervalo de tempo t permite o clculo da velocidade angular como

    ilustrado na Fig. 3.6.

    tlim

    dt

    d0t

    =

    =

    Fig. 3.6 Movimento circular.

    Quando constante, temos ==t

    0tdt e assim podemos

    escrever: x = r cost e y = r sent, ou em notao vetorial:

    rjtsenritcosrdtvda

    jtcosritsenrdtrdv

    jtrsenitcosrr

    222 rr

    r

    rr

    r

    ===

    +==

    +=

    t

    t+t

    x

    y

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    42

    que sempre oposta a direo radial. Portanto, r/vraa 22 ===r

    visto

    que = rvr

    e esta acelerao conhecida como centrpeta por estar

    dirigida ao ponto central do movimento e uma caracterstica importante do

    movimento circular uniforme.

    c) Movimento ciclide

    o movimento de um ponto da borda de um disco rodando, conforme

    mostra a Fig. 3.7. Considerando um sistema de eixos no qual x paralelo ao

    cho, temos a combinao de um movimento translacional uniforme com um

    movimento circular uniforme. Para o movimento translacional, xt = x0 + vxt e,

    para o movimento circular, x0 = r cost e y0 = r sent.

    Fig. 3.7 - Movimento ciclide.

    Desta forma,

    tsenryy

    tcosrtvxx

    0

    x0

    +=

    ++=

    Ao utilizarmos a notao vetorial e fazendo x0 = y0 = 0,

    ( ) jtsenritcosrtvr x ++=r

    r

    x

  • Movimentos bi e tridimensional 43

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    ( )

    c222

    x

    rjtsenritcosrdtvda

    jtcosritsenrvdtrdv

    rr

    r

    rr

    ===

    +==

    Exemplo: Considere um disco descendo um plano inclinado,

    formando um ngulo com a horizontal, como mostrado na Fig. 3.8. Vamos

    determinar x(t) e y(t) de um ponto localizado na borda do disco. Escolhendo o

    eixo x da maneira indicada na figura, temos ax = g sen e ay = 0. Ento, x = xt

    + xc, y = yt + yc ++= cosrtseng2

    1tvx 20x e += senrtvy

    0y ,

    onde t (movimento acelerado) o ngulo que o disco rodou.

    Fig. 3.8 Disco descendo um plano inclinado

    3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares

    Vamos considerar um movimento circular no qual o corpo percorre

    um comprimento de arco s, que est associado a um ngulo de acordo com: s

    = r, sendo r o raio da trajetria. A velocidade tangencial :

    =

    == rdt

    dr

    dt

    dsv

    r P

    x

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    44

    Para representar vr, vamos introduzir os versores r e , que so

    adequados para se trabalhar com coordenadas polares. O versor r tem a mesma direo e sentido do vetor posio r

    r. O versor perpendicular a r

    r

    e tangente ao crculo, apontando para a direo em que e s crescem como

    indica a Fig. 3.9. Desta forma, podemos escrever rr e v

    r em coordenadas

    polares da seguinte maneira:

    ==

    =

    dtdrvv

    rrr

    r

    r

    Fig. 3.9 Movimento plano descrito por coordenadas polares.

    Devemos notar que r e so versores que variam com o tempo. Para encontrar esta variao em termos dos versores i e j que so fixos vemos

    que jsenicosr += e jcosisen += . Desta forma,

    ( )

    ( ) rdtdjsenicos

    dtd

    dt

    d

    dtdjcosisen

    dtdjcos

    dtdisen

    dtd

    dtrd

    =+=

    =+=+=

    Uma vez que conhecemos a maneira pela qual r e variam com o tempo, podemos encontrar v

    r e a

    r a partir de r

    r .

    i

    y

    x

    r

    rr

    j

  • Movimentos bi e tridimensional 45

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    rdt

    dr

    dt

    d

    dt

    dr

    dt

    vda

    dt

    dr

    dt

    rdr

    dt

    rdv

    rrr

    2

    =

    ==

    ===

    =

    rr

    rr

    r

    onde foi suposto que = d/dt constante. Como d/dt = v/r, temos ( ) rrrr/va 22 ==r , que a acelerao centrpeta no movimento circular

    uniforme.

    Se o movimento for uniformemente acelerado, isto , se d/dt = =

    constante, a expresso para a acelerao se modifica. Tomando a derivada de

    = rvr

    temos:

    rrrdt

    ddtdra 2=

    +=r

    de onde vemos que alm da acelerao centrpeta surge uma acelerao

    tangencial dada por r .

    A descrio de um movimento retilneo atravs de coordenadas

    polares feita baseando-se na Fig. 3.10. Podemos relacionar vr e v da

    seguinte forma:

    vx = vr cos - v sen

    vy = vr cos + v sen

    ou

    vr = vx cos + vy sen

    v = -vx sen + vy cos

    Fig. 3.10 Descrio de um movimento retilneo atravs de coordenadas polares.

    y

    x

    r

    rr v

    r

    vy

    vx

    vr v

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    46

    Para o caso que estamos tratando, vx = v e vy = 0. Portanto, vr = v

    cos e v = v sen, ou seja:

    = senvrcosvvr

    Exerccios

    1 Considere um cilindro de raio R rolando sem deslizar num plano

    horizontal. O centro de massa do cilindro possui acelerao a. Qual a

    acelerao angular do cilindro? Qual o ngulo que o cilindro roda

    como funo do tempo?

    2 Dois corpos A e B esto em movimentos circular uniformes de trajetrias

    concntricas com raios ra e rb e velocidades angulares a e b. Determine

    a velocidade relativa entre os dois corpos.

    3 Determinar a acelerao de um corpo que desliza pela rosca de um

    parafuso com passo h e raio R. Despreze o atrito e considere que o corpo

    partiu do repouso.

    4 necessrio lanar da terra uma bola por cima de uma parede de altura H

    que se encontra a uma distncia S (Fig. 3.11). Qual a menor velocidade

    inicial com que a bola pode ser lanada?

    Fig. 3.11 Lanamento de projtil sobre uma parede de altura H.

    0vr

    H

    S

  • Movimentos bi e tridimensional 47

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    5 Uma bala disparada de um canho com velocidade v0. Determine a

    regio geomtrica onde a bala certamente no cair.

    6 Um plano inclinado forma um ngulo com o plano xy, conforme mostra

    a Fig. 3.12. Um corpo lanado com velocidade v0, formando um ngulo

    com o eixo y. Desprezando o atrito calcule: xmax, zmax e o tempo que o

    projtil demora para retornar ao eixo y.

    7 Uma pedra lanada com velocidade inicial de 20 m/s. Sabendo-se que ela

    ficou 2 s no ar, calcule:

    a) o ngulo de lanamento (com a horizontal)

    b) a altura mxima atingida

    c) o alcance

    d) outro ngulo de lanamento para o qual a pedra ter o mesmo alcance.

    (Neste caso o tempo ser diferente de 2 s).

    Fig. 3.12 Lanamento oblquo num plano inclinado.

    8 Um corpo translada com velocidade v = 5 m/s sobre um plano horizontal

    sem atrito. Subitamente ele encontra pela frente um plano inclinado

    (tambm sem atrito) de ngulo = 300 e altura H = 0,8 m, conforme

    mostra a Fig. 3.13. Tomando-se g = 10 m/s, pergunta-se:

    a) a que distncia d do final do plano inclinado o corpo cair?

    b) qual a altura mxima que o corpo atingir?

    0vr

    y

    x

    z

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    48

    Fig. 3.13 - Lanamento oblquo de um corpo por meio de uma rampa.

    9 Um pequeno corpo lanado da origem com velocidade v0 = 100/ 3 m/s formando um ngulo = 600 com a horizontal. Outro corpo lanado 1

    segundo depois, com a mesma velocidade v0, porm na horizontal e de

    uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Suponha que haja uma coliso

    entre os dois corpos e que g = 10 m/s2.

    a) Em que instante de tempo ocorre a coliso?

    b) Qual deve ser o valor de H para que a coliso ocorra?

    c) Quais as coordenadas x e y da coliso?

    3.10 Um pequeno corpo lanado da origem com velocidade v0 segundo um

    ngulo com a horizontal. Outro corpo lanado com a mesma

    velocidade v0, porm na horizontal e de uma altura H, como mostra a

    Fig. 3.14. Qual deve ser o valor de H tal que eles atinjam o mesmo

    ponto no eixo Ox?

    Fig. 3.14 - Lanamento de dois corpos.

    x

    H

    ymax

    d

    vr

    v0

    H v0

    O x

  • Movimentos bi e tridimensional 49

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    3.11 - Mostre que o movimento de um projtil lanado com v0 e descrito

    pela parbola: y xv

    g

    g x

    v

    v

    gy

    x

    y( ) =

    02

    0

    0

    2

    2 2, com v0x = v0 cos e v0y = v0

    sen. b) Encontre o ngulo que a trajetria faz com a horizontal para qualquer x (tg = dy/dx), c) Encontre xmax correspondente ao topo da trajetria (tg = 0). d) Encontre o alcance R, fazendo = pi

  • Movimentos bi e tridimensional

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Fsica Bsica Mecnica, calor e ondas

    50

  • As leis de Newwton

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    49

    4.1 Introduo

    At o momento estudamos vrios tipos de movimento sem no entanto

    nos preocuparmos com suas causas. J sabamos intuitivamente que para se

    modificar o movimento de um corpo necessria a ao de um agente

    externo. De fato, na ausncia completa de ao externa, o corpo permanece

    num estado de movimento constante. A maneira pela qual o agente externo

    age sobre o corpo atravs da atuao de uma fora. Portanto, a fora nada

    mais do que a quantificao da ao de um corpo sobre outro.

    A fora pode ser definida como uma grandeza fsica capaz de alterar o

    estado de movimento de um corpo ou a forma deste corpo. O estado de

    movimento de um corpo caracterizado pelo seu momentum linear, que

    definido como:

    vmprr

    =

    de forma que a existncia de uma fora produz alteraes em pr

    .

    O comportamento de um corpo quando sujeito a foras externas

    regido pelas leis de Newton, expressas como:

    Lei I - Todo corpo permanece em repouso ou em movimento retilneo

    uniforme, a menos que seja obrigado a modificar seu estado de movimento

    pela ao de foras externas.

    Lei II - A modificao do movimento proporcional fora atuante, ou

    seja, dt/pdFrr

    = . Lei III - A toda ao corresponde uma reao igual e oposta ou, as aes

    mtuas de dois corpos so sempre dirigidas em sentidos opostos.

    4 AS LEIS DE

    NEWTON

  • As leis de Newwton

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    50

    A primeira lei estabelece justamente o que havamos dito

    anteriormente, isto , para modificarmos pr (grandeza que quantifica o estado

    de movimento do corpo) necessrio um agente externo exercendo uma fora

    sobre o corpo. Suponha por exemplo, um cometa movendo-se em movimento

    retilneo uniforme. Ele continuar neste estado at chegar nas proximidades de

    um planeta, que atravs da fora gravitacional, modificar seu estado de

    movimento fazendo com que o momentum pr mude em mdulo e direo. Esta

    idia que acabamos de apresentar, embora bastante lgica, no o era na poca

    de Galileu, pois se acreditava que para manter um corpo em movimento

    retilneo uniforme era necessria a ao de agentes externos. O nico estado

    natural e espontneo para um corpo era o repouso!

    A fora tambm necessria para alterar a forma de um corpo.

    Durante a deformao as partculas deste corpo so aceleradas at atingirem

    uma nova situao de equilbrio. O equilbrio de um corpo pode ser de tipos

    diferentes. Inicialmente, um corpo s estar em equilbrio quando a resultante

    das foras agindo sobre ele for nula. O equilbrio dito estvel quando uma

    pequena perturbao tira o sistema de equilbrio, mas a vizinhana do corpo

    age de forma a restaurar o equilbrio. O equilbrio dito instvel quando uma

    pequena perturbao tira o sistema do equilbrio e a vizinhana age no sentido

    de amplificar este efeito.

    Vamos considerar que a quantidade de matria num determinado

    corpo no se modifica. Neste caso, a ao de uma ou mais foras leva a uma

    acelerao:

    amdt/vdmFrrr

    ==

    e a constante de proporcionalidade entre fora e acelerao denominada

    massa do corpo. A unidade de massa Kg (SI) ou g (CGS) enquanto que a da

    acelerao m/s2 (MKS) ou cm/s2 (CGS). Portanto, a unidade de fora

    definida como: [F] = 1 N = 1 Kg.m/s2 no Sistema Internacional (SI) ou [F] = 1

    dyn = 1 g.cm/s2 no sistema CGS, sendo portanto, 1 dyn = 10-5 N.

  • As leis de Newwton

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    51

    Quando a massa de um corpo varia, como por exemplo, durante a

    exausto de combustvel num foguete, a forma mais geral da segunda lei de

    Newton fica:

    ( )dt

    dmv

    dt

    vdmvm

    dt

    d

    dt

    pdF

    rr

    rr

    r+===

    A expresso vmprr

    = para o momentum de um corpo vlida quando este tem velocidade bem menor que a velocidade da luz, c, que de

    aproximadamente 300.000 km/s. Para velocidades altas (v c),

    v)v(mvc/v1

    mp

    22

    0 rrr =

    =

    onde m0 chamado de massa de repouso e m(v) varia de uma maneira que

    corpo torna-se cada vez mais pesado quanto mais se aumenta sua velocidade.

    Porm, se v/c

  • As leis de Newwton

    S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecnica, calor e ondas

    52

    pra-brisa enquanto que no segundo, a tendncia sair pela tangente curva.

    Este tipo de comportamento est relacionado com a inrcia do passageiro.

    Das trs leis de Newton, a 3a aquela que sem dvida exige um maior

    esclarecimento. Ela descreve uma propriedade importante das foras: sua

    ocorrncia em pares, isto , toda ao corresponde uma reao de mesma

    intensidade, porm de sentido oposto. Um fato importante a ser observado

    que ao e reao no se cancelam (ou se equilibram) porque agem em corpos

    diferentes. Um exemplo disto o de um corpo sobre uma mesa como ilustrado

    na Fig. 4.1. O corpo exerce uma fora 'Nr

    sobre a mesa e esta responde

    exercendo sobre o corpo uma fora '.NNrr= N

    r e 'N

    r constituem um par

    ao-reao. A Terra exerce sobre o corpo a fora peso wr

    para a qual existe

    uma reao 'wr

    exercida do corpo sobre a Terra. wr

    e 'wr

    ' constituem outro

    par ao-reao porm wr

    e Nr

    no constituem par ao-reao. Devido ao

    fato do corpo estar em equilbrio, pela 2a Lei de Newton, 0a =r

    e portanto

    = 0Frr

    . Logo:

    Nw0Nwrrrr==+

    Quando dois corpos isolados constituem um sistema, as nicas foras

    existentes so as que constituem o par ao-reao. Neste caso, olhando para o

    sistema como um todo, vemos que:

    Fig. 4.1 - Foras agindo num corpo sobre uma mesa.

    Nr

    Nr

    'wr

    wr

    corpo

    m