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Física Experimental LEM 1º Semestre 2005-2006 Movimentos oscilat Movimentos oscilató rios rios Objectivo: Estudo de um dos movimentos de uma massa num sistema massa-mola Procedimento experimental: Determinação experimental dos valores de amplitude de oscilação num sistema massa-mola

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Física Experimental

LEM 1º Semestre 2005-2006

Movimentos oscilatMovimentos oscilatóóriosriosObjectivo:

Estudo de um dos movimentos de uma massa num sistemamassa-mola

Procedimento experimental:

Determinação experimental dos valores de amplitude deoscilação num sistema massa-mola

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Sistema Massa-Mola em movimento oscilatórioamortecido e em movimento forçado

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Montagem

Fio de suspensão da molda

Controle

Alavanca

Motor

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Esquema da montagemMola

Barra graduada

Pesos

magnetos

Led+fotocéula

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Sistema em equilíbrio

l

d

r F el = −K(l − l0)r e z = −KΔz

r e z

Δz = z − d − l0

Em equilíbrio tem- ser P = −

r F el

mg = KΔzeq

Δzeq = zeq − d − l0

zeq =mK

g + (d + l0)

K

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Cálcula da força exercida sobre o sistema

l

d

r F total =

r P +

r F K +

r A

r F total = m d2z

dt 2

r e z = mg−KΔz − b dz

dt

r e z

m˙ ̇ z (t) + b˙ z (t) −mg + KΔz(t) = 0Δz(t) = z(t) − d − l0

zeq =mK

g + (d + l0)

Δz(t) = z(t) − zeq +mK

g

m˙ ̇ z (t) + b˙ z (t) −K z(t) − zeq( ) = 0

Fazendo a mudança de variável Ζ = z - zeq

˙ ̇ Ζ (t) +bm

˙ Ζ (t) +KmΖ(t) = 0

K

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Equação diferencial de 2ª ordem

˙ ̇ Ζ (t) +bm

˙ Ζ (t) +KmΖ(t) = 0

˙ ̇ Ζ (t) + 2λ ˙ Ζ (t) +ω02Ζ(t) = 0

λ =b

2m (coeficiente de amortecimento)

ω0 = Km

(frequência própria de oscilação)

Qual é a função cuja 1ª e 2ª derivadas são iguais à própria função?Resposta : et

Então se :Z(t) = Z0e

st

˙ Z (t) = sZ(t)˙ ̇ Z (t) = s2Z(t)s2Z(t) + 2λsZ(t) +ω0

2Z(t) = 0s2 + 2λs +ω0

2 = 0

s = −λ ± λ2 −ω02

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1º caso

s = −λ ± λ2 −ω02

λ2 >ω02

Duas raizes reais s1 e s2

Z(t) = A1es1t + A2e

s2t

(regime aperiódico)

22ºº Caso Caso

s = −λ ± λ2 −ω02

λ2 =ω02

Duas raizes reais iguais s1 = s2 = −λ

Z(t) = (A1 + A2t)e−λt

(regime aperiódico limite)

AA11 e A e A22 s sãão determinados em funo determinados em funçãção das condio das condiçõções limites (oues limites (oucondicondiçõções fronteira)es fronteira)

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3º Caso

s = −λ ± λ2 −ω02

λ2 <ω02

Duas raizes complexas s1 e s2

s1,2 = −λ ± j ω02 − λ2 = −λ ± jω

ω = ω02 − λ2

Z(t) = A1es1t + A2e

s2t =

Z(t) = A1e−λte jωt + A2e

−λte− jωt

se

A1 =A0

2e jϕ

A2 =A0

2e− jϕ

→A1 + A2 = A0 cosϕ

A02 = 4A1A2

cosϕ =e jϕ + e− jϕ

2

e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ)

Z(t) = A0

2e−λt e j(ωt+ϕ ) + e− j(ωt+ϕ )( )

Z(t) = A0e−λt cos ωt +ϕ( )

(regime oscilatório)

A0e−λt

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Movimento osclatório amortecido

A0e−λt

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Regime forçado

Fext = F0 cos(ωat)€

l

d€

K

r F total =

r P +

r F K +

r A +

r F ext

r F ext = F0 cos(ωat)r e zr F total = m d2z

dt 2

r e z

m d2zdt 2

r e z = mg−KΔz − b dz

dt− F0 cos(ωat)

r e z

Δz = z − zeq +mK

g

m˙ ̇ z (t) + b˙ z (t) −K z(t) − zeq( ) =F0

mcos(ωat)

Fazendo a mudança de variável Ζ = z - zeq

˙ ̇ Ζ (t) +bm

˙ Ζ (t) +KmΖ(t) =

F0

mcos(ωat)

ωa

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Solução da equação em regime forçado

A solução da equação

˙ ̇ Ζ (t) + 2λ ˙ Ζ (t) +ω02Ζ(t) =

F0

mcos(ωat)

éΖ(t) = Ζ livre(t) + Ζforçado(t)

Ζ livre(t) = A0e−λt cos(ωt +ϕ)

λ =b

2m, ω = ω0

2 − λ2

Ζforçado(t) = AM cos(ωat −α)

Ζforçado(t) = AM Re cos(ωat −α) + j sin(ωat −α){ }

Ζforçado(t) = AM Re e j(ωa t−α ){ }

Fext =F0

mRe e jω a t{ }

˙ ̇ Z (t) + 2λ ˙ Z (t) +ω02Ζ (t) =

F0

me jω a t

Ζ forçado(t) = AM e j(ωa t−α )

−ωa2AM e j(ωa t−α ) + 2 jλωa AM e j(ωa t−α ) +ω0

2AM e j(ωa t−α ) =F0

me jω a t

AM ω02 −ωa

2 + 2 jλωa( )e− jα =F0

m

ω02 −ωa

2 + 2 jλωa = ω02 −ωa

2( )2

+ 4λ2ωa2e jα

a + jb = a2 + b2 aa2 + b2

+ j ba2 + b2

cosβ =a

a2 + b2

sinβ =b

a2 + b2

tanβ =ba

a + jb = a2 + b2e jβ

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Regime forçado…(continuação)

AM ω02 −ωa

2 + 2 jλωa( )e− jα =F0m

ω02 −ωa

2 + 2 jλωa = ω02 −ωa

2( )2

+ 4λ2ωa2e jα

tanα =2λωa

ω02 −ωa

2

AM ω02 −ωa

2( )2

+ 4λ2ωa2e jαe− jα =

F0m

AM =F0m

1

ω02 −ωa

2( )2

+ 4λ2ωa2

ω0 =Km

λ =b2m

AM =F0mω0

21

1− ωa

ω0

2

2

+ 4λ2 ωa

ω0

2

F0mω0

2

ωaω0

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Oscilações forçadas (video)

F0mω0

2

ωaω0

dAM

dωa

= 0

ωa =ωaR = ωo2 − 2λ2

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Resumo22ºº- Determinar - Determinar λλ para uma das para uma dasmolas, uma das massas e duasmolas, uma das massas e duascondicondiçõções de atritoes de atrito11ºº- Determinar K para duas molas- Determinar K para duas molas

33ºº- Estudar a varia- Estudar a variaçãção de Ao de AMM((ωωaa))para o sistema utilizado no ponto 2 epara o sistema utilizado no ponto 2 enas mesmas condinas mesmas condiçõções de atrito.es de atrito.

Δl =gKm

AM = A0e−λt

AM =A0

4π 2 f02 − 4π 2 fa

2( )2 +16π 2λ2 fa2