Física II - MHS

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARNA

CAMPUS REGIONAL SUL ndash TUBARAtildeO

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 20091

DISCIPLINA DE FIacuteSICA II

PROFESSOR ADERBAL FAGUNDES

ACADEcircMICA KARILLA SANTOS

MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES - MHS

Tubaratildeo

MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES

O movimento eacute um dos fenocircmenos mais fundamentais na natureza cuja classificaccedilatildeo eacute extremamente ampla abrangendo todos os limites do mundo microscoacutepico macroscoacutepico e planetaacuterio A ideacuteia de movimento eacute bastante relativa pois depende de um referencial Quando dizemos que certo objeto estaacute se movendo eacute porque sua posiccedilatildeo varia com relaccedilatildeo a um ponto fixo

O movimento harmocircnico simples tambeacutem chamando de movimento perioacutedico como jaacute diz o nome eacute perioacutedico e oscilatoacuterio Tem como uma de suas definiccedilotildees um movimento que se repete em intervalo de tempos iguais O termo harmocircnico proveacutem do fato de que suas funccedilotildees horaacuterias satildeo senoidais que na Trigonometria satildeo denominadas funccedilotildees harmocircnicas Mas tambeacutem devemos constatar que no movimento harmocircnico temos tambeacutem as funccedilotildees horaacuterias co-senoidais

No movimento perioacutedico tecircm-se dois conceitos importantes frequumlecircncia e periacuteodoFrequumlecircncia (f) o nuacutemero de vezes que a mesma situaccedilatildeo eacute repetida por unidade de tempo Periacuteodo (T) o menor intervalo de tempo para a repeticcedilatildeo do fenocircmeno

Na relaccedilatildeo matemaacutetica temos que periacuteodo eacute o inverso da frequumlecircncia e frequumlecircncia eacute o inverso de periacuteodo

Logo f T = 1 T = 1f ou f = 1T

Quando analisamos um movimento cuja posiccedilatildeo varia apenas nas proximidades de um regiatildeo tomada como ponto inicial (referencial) estamos tratando de uma oscilaccedilatildeo Um pecircndulo um corpo preso a uma mola a corda de um violatildeo satildeo exemplos simples de oscilaccedilotildees no nosso cotidiano Para iniciarmos nossa anaacutelise consideremos o caso mais simples um sistema que possui apenas 1 (um) grau de liberdade (descrito apenas por uma coordenada) que eacute o sistema massa mola

Sendo x0 =0 a posiccedilatildeo de equiliacutebrio do sistema Quando a massa m eacute deslocada da sua origem (estendendo a mola) ateacute a posiccedilatildeo x = A uma forccedila restauradora tende a levar agrave massa a posiccedilatildeo original sendo esta forccedila uma funccedilatildeo somente da deformaccedilatildeo causada na mola

Assumindo que F(x) possui derivadas contiacutenuas de todas as ordens podemos expandi-las em uma seacuterie de Taylor

Onde F0 eacute o valor de F(x) na origem (x = 0) entatildeo F0 = 0 Se considerarmos deslocamentos muito pequenos podemos negligenciar todos os termos de potecircncias mais elevadas que x Entatildeo

Sendo a constante elaacutestica e o sinal negativo eacute devido a forccedila ser do tipo restauradora teremos

A forccedila restauradora eacute uma forccedila linear Os sistemas descritos pela equaccedilatildeo acima obedecem a Lei de Hooke O sistema massa-mola eacute um modelo de aplicaccedilatildeo do oscilador harmocircnico simples pois o seu movimento em torno da posiccedilatildeo de equiliacutebrio executa um movimento harmocircnico simples (isso desprezando o atrito) A equaccedilatildeo de movimento desse sistema segundo as Leis de Newton eacute

Ou seja

Sendo A equaccedilatildeo acima eacute uma equaccedilatildeo diferencial (toda equaccedilatildeo que envolve funccedilotildees e suas derivadas) ordinaacuteria (as funccedilotildees dependem de uma variaacutevel independente) de 2ordf ordem (mais alta ordem) linear e homogecircnea onde se define 1050609 como a frequumlecircncia angular que eacute funccedilatildeo da massa e da constante elaacutestica

]Qualquer equaccedilatildeo diferencial como esta possui as seguintes propriedades

a) Se x1(t) e x2(t) satildeo soluccedilotildees entatildeo x1(t) + x2(t) tambeacutem seraacute soluccedilatildeob) Se x(t) eacute soluccedilatildeo entatildeo ax(t) onde a eacute uma constante tambeacutem seraacute soluccedilatildeo

Combinando tais propriedades podemos dizer que

Eacute soluccedilatildeo onde a e b satildeo constantes

Como x eacute funccedilatildeo do tempo devemos encontrar uma funccedilatildeo que sua derivada

segunda seja proporcional agrave proacutepria funccedilatildeo Uma funccedilatildeo exponencial eacute uma deste tipo Substituindo na equaccedilatildeo diferencial

Todos os tipos de movimentos perioacutedicos possuem os seguintes termos para definirmos suas equaccedilotildees de movimentoAmplitude Moacutedulo maacuteximo do vetor deslocamento do corpo a partir da posiccedilatildeo deequiliacutebrio isto eacute o valor maacuteximo de |x|Ciclo Eacute uma oscilaccedilatildeo completaPeriacuteodo (T) Eacute o tempo correspondente a um ciclo Ele eacute sempre positivo sua unidade no SI eacute o segundo (s)

Frequumlecircncia Eacute o nuacutemero de ciclos na unidade de tempo Ela eacute sempre positiva e suaunidade no SI eacute o hertz

Onde f eacute chamada de frequumlecircncia natural de ressonacircncia do sistema

MOVIMENTO OSCILATOacuteRIO

O movimento oscilatoacuterio ou vibratoacuterio eacute todo movimento de vaiveacutem realizado simetricamente em torno de um ponto de equiliacutebrio O ponto de equiliacutebrio (0) corresponde ao ponto de oscilaccedilatildeo ou vibraccedilatildeo nula Um pecircndulo simples oscilando ou uma barra riacutegida vibrando como nas figuras seguintes representam esse movimento

Figura 1 Eacute atraveacutes do pecircndulo simples que estudam-se alguns conceitos baacutesicos para o entendimento do MHS

PEcircNDULO SIMPLES

O Pecircndulo Simples eacute um dispositivo constituiacutedo por uma partiacutecula pesada suspensa por um fio ideal de comprimento L (ilustrado na figura 1) Dependendo do local desprezando-se as forccedilas dissipativas (como a resistecircncia do ar) o corpo pendular quando devidamente movimentado oscila simetricamente em torno da posiccedilatildeo 0 de equiliacutebrio tendo como extremos os pontos A e B (figura 2)

Figura 2

O movimento pendular eacute perioacutedico O acircngulo θ eacute denominado amplitude do pecircndulo Esse acircngulo eacute formado pelo alongamento maacuteximo do fio com a vertical que passa pelo ponto de suspensatildeo Para pequenas amplitudes (θ 50) o periacuteodo de oscilaccedilatildeo eacute expresso por

Algumas observaccedilotildees sobre o periacuteodo de um pecircndulo simples Soacute depende do comprimento do fio e da aceleraccedilatildeo da gravidade local natildeo depende da massa pendular e eacute isoacutecrono isto eacute o periacuteodo natildeo depende da amplitude

Como vimos anteriormente o pecircndulo simples consiste de uma partiacutecula de massa m suspensa por um fio sem massa e inextensiacutevel de comprimento L Afastada da posiccedilatildeo de equiliacutebrio sobre a linha vertical que passa pelo ponto de suspensatildeo e abandonada a partiacutecula oscila Para pequenas amplitudes a partiacutecula descreve um MHS Observamos a figura 3

Figura 3

EXEMPLO Um pecircndulo simples de comprimento 90cm realiza pequenas oscilaccedilotildees num local onde g = 10ms2 Determine o periacuteodo e a frequumlecircncia das oscilaccedilotildeesResoluccedilatildeo l = 90cm = 09m g = 10 ms2

Aplicando-se foacutermula do periacuteodo do pendulo simples

OSCILADOR HARMOcircNICO

Estudamos uma partiacutecula realizando um movimento harmocircnico simples no oscilador harmocircnico Um oscilador harmocircnico consiste basicamente numa partiacutecula de massa m presa a uma mola ideal de constante elaacutestica K Na figura 4 o conjunto estaacute sobre um plano horizontal sem atrito com a partiacutecula na posiccedilatildeo 0 de equiliacutebrio isto eacute a mola estaacute no seu estado natural

Figura 4 Oscilador harmocircnico

Aplicando-se uma forccedila externa Frarr sobre o corpo no sentido de esticar ou comprimir a mola e soltando-o o mesmo comeccedila a executar um MHS de periacuteodo T Supondo-se que natildeo haja forccedilas dissipativas o valor x do deslocamento efetuado eacute chamado de amplitude (a) do MHS A trajetoacuteria retiliacutenea do corpo eacute orientada e o ponto 0 de equiliacutebrio eacute a sua origem Portanto pode-se ter x = +a (ponto A) com a mola esticada e x = -a (ponto B) com a mola comprimida A forccedila Frarr aplicada eacute a cada instante igual em valor absoluto agrave forccedila elaacutestica Frarrel expressa por

Fel = -Kx (Lei de Hooke)

O sinal menos significa que a forccedila elaacutestica eacute restauradora ou seja estaacute sempre orientada para a posiccedilatildeo 0 de equiliacutebrio

Figura 5 Molas

Nota-se que na posiccedilatildeo de equiliacutebrio (x = 0) a forccedila elaacutestica eacute nula e nos extremos A e B assume o valor maacuteximo em moacutedulo Como | Frarr| = | Felrarr|F = - Fel (F = m a da 2a lei de Newton) m a = -K x a = minuskxm

Aceleraccedilatildeo escalar instantacircnea de uma partiacutecula em MHS na posiccedilatildeo x Sendo T o periacuteodo do MHS e comeccedilando-se a contar o tempo (t = 0) a partir do ponto extremo B a figura 6 representa as posiccedilotildees da partiacutecula a cada um quarto de periacuteodo ateacute completaacute-lo

Figura 6

ENERGIA MECAcircNICA

Dado um sistema mola partiacutecula pela Conservaccedilatildeo da Energia sabe que a energia mecacircnica total eacute a soma das energias cineacutetica (Ec) e potencial (Epel) ou seja E = Ec + Epel

Onde Ec = mvsup22 - eacute a expressatildeo da energia cineacutetica que estaacute relacionada a corpos em movimento Epel = Kxsup22 - eacute a expressatildeo da energia potencial elaacutestica que estaacute relacionada agrave posiccedilatildeo de um corpo

A seguir na figura 7 temos uma partiacutecula de massa m presa a uma mola de constante elaacutestica K realizando um MHS de amplitude a com extremos A e B O ponto C eacute um ponto intermediaacuterio qualquer

Figura 7

Quando a partiacutecula estivera) Em um dos pontos extremos A ou B x = plusmn a e v = 0 teremos entatildeo

Portanto

Quanto maior eacute a energia mecacircnica total cedida ao sistema maior eacute a amplitude do MHS b) No ponto 0 de equiliacutebrio x = 0 e v = plusmn Vmaacutex

Portanto

Quanto maior eacute a energia total cedida ao sistema maior eacute a velocidade maacutexima c) Em um ponto C qualquer

Portanto

Expressatildeo geral da energia mecacircnica total do sistemaDessa maneira o diagrama das energias em funccedilatildeo da abscissa x fica como na

figura 8

Figura 8

EXEMPLO A figura ilustra uma partiacutecula de massa m = 05kg oscilando em torno da posiccedilatildeo 0 com MHS Desprezando as forccedilas dissipativas e sendo k = 200 Nm a constante elaacutestica da mola determine

a) A energia mecacircnica total do sistemab) A velocidade da partiacutecula ao passar pela posiccedilatildeo de equiliacutebrioc) A velocidade da partiacutecula no instante em que ela passa pela posiccedilatildeo x = + 10cm Resoluccedilatildeo m = 05kg k = 200 Nm

a) Pela figura a amplitude do MHS vale a = 20cm = 02m A energia mecacircnica total quando a partiacutecula estiver nos extremos eacute expressa por

b) A energia mecacircnica total do sistema quando a partiacutecula estiver passando pelo ponto 0 de equiliacutebrio eacute expressa por

O sinal mais significa que a partiacutecula estaacute-se movendo no sentido da orientaccedilatildeo do eixo x e o sinal menos o contraacuterio

c) Pela expressatildeo geral da energia mecacircnica total do sistema tem-se

EXERCIacuteCIOS

1) A Terra demora 1 ano para completar uma volta ao redor do Sol Este eacute chamado um movimento perioacutedico e 1 ano eacute o periacuteodo do movimento Qual eacute a frequumlecircncia do movimento da Terra em torno do Sol Considere 1 ano = 365 diasPrimeiramente devemos transformar a unidade de ano para a que se utiliza inversamente na frequumlecircncia ou seja segundo

Sendo a frequumlecircncia igual ao inverso do periacuteodo temos que

2) Um pecircndulo demora 05 segundo para restabelecer sua posiccedilatildeo inicial apoacutes passar por todos os pontos de oscilaccedilatildeo qual sua frequumlecircnciaComo o tempo dado equivale ao movimento completo do pecircndulo este eacute considerado o seu periacuteodo de oscilaccedilatildeo ou seja

Como a frequumlecircncia equivale ao inverso do periacuteodo temos

REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS

O material foi coletado com base em sites da Internet

FONTES

httpwwwufsmbr

httpeducarscuspbr

httpwwwsofisicacombrconteudosexercicios

httpwwwmundofisicojoinvilleudescbr

Tubaratildeo

MOVIMENTO HARMOcircNICO SIMPLES

O movimento eacute um dos fenocircmenos mais fundamentais na natureza cuja classificaccedilatildeo eacute extremamente ampla abrangendo todos os limites do mundo microscoacutepico macroscoacutepico e planetaacuterio A ideacuteia de movimento eacute bastante relativa pois depende de um referencial Quando dizemos que certo objeto estaacute se movendo eacute porque sua posiccedilatildeo varia com relaccedilatildeo a um ponto fixo

O movimento harmocircnico simples tambeacutem chamando de movimento perioacutedico como jaacute diz o nome eacute perioacutedico e oscilatoacuterio Tem como uma de suas definiccedilotildees um movimento que se repete em intervalo de tempos iguais O termo harmocircnico proveacutem do fato de que suas funccedilotildees horaacuterias satildeo senoidais que na Trigonometria satildeo denominadas funccedilotildees harmocircnicas Mas tambeacutem devemos constatar que no movimento harmocircnico temos tambeacutem as funccedilotildees horaacuterias co-senoidais

No movimento perioacutedico tecircm-se dois conceitos importantes frequumlecircncia e periacuteodoFrequumlecircncia (f) o nuacutemero de vezes que a mesma situaccedilatildeo eacute repetida por unidade de tempo Periacuteodo (T) o menor intervalo de tempo para a repeticcedilatildeo do fenocircmeno

Na relaccedilatildeo matemaacutetica temos que periacuteodo eacute o inverso da frequumlecircncia e frequumlecircncia eacute o inverso de periacuteodo

Logo f T = 1 T = 1f ou f = 1T

Quando analisamos um movimento cuja posiccedilatildeo varia apenas nas proximidades de um regiatildeo tomada como ponto inicial (referencial) estamos tratando de uma oscilaccedilatildeo Um pecircndulo um corpo preso a uma mola a corda de um violatildeo satildeo exemplos simples de oscilaccedilotildees no nosso cotidiano Para iniciarmos nossa anaacutelise consideremos o caso mais simples um sistema que possui apenas 1 (um) grau de liberdade (descrito apenas por uma coordenada) que eacute o sistema massa mola

Ou seja

PEcircNDULO SIMPLES

Figura 2

Figura 3

Figura 5 Molas

Figura 6

Figura 7

Portanto

figura 8

Figura 8

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Tubaratildeo

Ou seja

PEcircNDULO SIMPLES

Figura 2

Figura 3

Figura 5 Molas

Figura 6

Figura 7

Portanto

figura 8

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Tubaratildeo

PEcircNDULO SIMPLES

Figura 2

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Figura 5 Molas

Figura 6

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Portanto

figura 8

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PEcircNDULO SIMPLES

Figura 2

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Figura 5 Molas

Figura 6

Figura 7

Portanto

figura 8

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Figura 2

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Figura 5 Molas

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Portanto

figura 8

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Figura 5 Molas

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figura 8

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Portanto

figura 8

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Portanto

figura 8

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