FISICA II – PROFº MARCOS SILVAOscilações e Ondas Mecânicas

FISICA II – PROFº MARCOS SILVA

Oscilações e

Ondas Mecânicas


MRCP DF – UM

exemplos


MRCP DF – UM

Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação.

Movimento Oscilatório


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico Simples

Quando um movimento se repete a si mesmo em intervalos de tempo regulares é chamado Movimento Harmónico Simples (MHS)

Frequência , f – número de oscilações completadas por unidade de tempo (Hz, s-1)

Período, T – tempo necessário para completar uma oscilação (s)

Amplitude – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação

fT

1


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico Simples Um caso particular de MHS

Onde ω corresponde à frequência angular,

txtx m cos

Tf

22


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico Simples Velocidade de uma partícula a oscilar será dada por:

txdt

tdxtv m sin txtx m cos


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico Simples A sua aceleração será dada por:

txdt

xd

dt

tdvta m cos2

2

2

txta 2

Sempre que a aceleração de um objecto é proporcional ao seu deslocamento e é oposta à sua direcção, o objecto move-se com um MHS

txdt

tdxtv m sin


MRCP DF – UM

txta m cos2

txtv m sin

txtx m cos



MRCP DF – UM

Exemplo: A função

dá-nos o MHS de uma partícula. Determine para t = 2.0 s:

1. o deslocamento;2. a velocidade;3. a aceleração;4. a fase;5. a frequência;6. e o período.

33cos0.6 ttx


MRCP DF – UM

Movimento de um corpo preso a uma mola


eFF

kxma

kxdt

xdm

2

2

02

2

xm

k

dt

xd

2


MRCP DF – UM

002

2

xm

k

dt

xd


Se a oscilação fosse na vertical

ge FFF

mgkxma

mgkxdt

xdm

2

2

gxm

k

dt

xd

2

2


MRCP DF – UM

Dependência de ω: com a massa - depende com a amplitude – não depende



MRCP DF – UM

Energia Energia cinética

Energia Potencial

Energia Mecânica


2

212

21 sin tAmmvEC

tkAEC22

21 sin

2

212

21 cos tAkkxEP

tkAEP22

21 cos

221 kAEEE PCM


MRCP DF – UM

Movimento de um Pêndulo Simples

mas e


TFF g

sinmgmat

sin2

2

gdt

sd

2

2

2

2

dt

dL

dt

sd sin

02

2

L

g

dt

d2


MRCP DF – UM

Movimento de um Pêndulo Composto

mas


FgMM

sin..mghI

sin..

2

2

mghdt

dI

15 sin

0.

2

2

I

mgh

dt

d2

mgh

IT 2


MRCP DF – UM

Sobreposição de MHSIgual direcção e período


11 cos tas 22 cos tbs

0cos tRs

10

22

cos

sinarctan

cos2

ba

b

abbaR

Interf. Construtiva

Interf. Parc. Destrutiva


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS

Igual direcção e período diferente – mov. resultante não é MHS

a) T1/T2 = p/q (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes.

b) T1/T2 = p/q (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante é igual ao maior dos períodos componentes.

c) T1/T2 = p/q (p próximo de q) - batimento - o período de batimento associado ao movimento resultante é Tb = (T1 x T2)/|T1 - T2|; a frequência de batimento é fb = |f2 - f1|, o período do movimento resultante é o m.m.c. dos períodos componentes.


MRCP DF – UM


Direcções perpendiculares (ortogonais) e mesmo período

a1) Δφ = 0 rad - a = b – a ≠ b –

a2) Δφ = π/2 rad - a = b – a ≠ b –

a3) Δφ = π rad - a = b – a ≠ b –

a4) Δφ = 3 π/2 rad - a = b – a ≠ b –


MRCP DF – UM


Direcções perpendiculares (ortogonais) e períodos diferentes

se os períodos componentes são comensuráveis, o movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos componentes. As trajetórias são figuras particulares e denominam-se figuras de Lissajous.


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados

k1 ka k2m1 m2

x1x2

-k1x1

ka(x2-x1) -ka(x2-x1)

-k2x2

121121

2

1 xxkxkdt

xdm a 12222

22

2 xxkxkdt

xdm a 2

11

1

12

12

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

12

22

22

22

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

2121

2

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

1222

2

xm

kx

m

kk

dt

xd aa

kkkmmm 2121 e se


MRCP DF – UM

tAx cos1 tAx cos2

Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados

k1 ka k2m1 m2

x1 x2

tAx cos1

mk

Modos normais de oscilação

tAx cos2

em fase:

k1 ka k2m1 m2

x1x2

em oposição de fase:

m

kk a


MRCP DF – UM

Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados – exemplos

moleculares

file:///Aulas/F%C3%ADsica%20II/Apresenta%C3%A7%C3%B5es/H2O%20e%20CO2.hin


MRCP DF – UM

Movimento Oscilatório Amortecidosuporte rígido

const. mola, k

massa, m

disco

amortecimento, λ

kxFe

vFa

vkxmaF

02

2

xm

k

dt

dx

mdt

xd

textx tm cos

2

2

4mm

k m2


MRCP DF – UM

Movimento Oscilatório Forçadosuporte rígido

const. mola, k

massa, m

disco

amortecimento, λ

kxFe

vFa tFF fcos0

tFkxdt

dx

dt

xdm f cos02

2

tm

Fx

m

k

dt

dx

mdt

xdf

cos02

2

tm

Fx

dt

dx

dt

xdf cos2 02

02

2

fAx cos 22220

2

0

4 ff

mFA

f

f

2

tan20

2


MRCP DF – UM

Movimento Oscilatório Forçado

fAx cos 22220

2

0

4 ff

mFA

f

f

2

tan20

2

quando

0 fmáximoARESSONÂNCIA

Tacoma Bridge

http://www.glendale-h.schools.nsw.edu.au/faculty_pages/ind_arts_web/bridgeweb/commentary.htm


MRCP DF – UM

Num MHS

Movimento Não Harmónico

202

1xxkEP

FxxkdxdEP 0 kdxEd P 22

m

dxEd

m

k P22


MRCP DF – UM

Para um mov. não harmónico


...6

1

2

1 30

200 xxkxxkxExE PP

Teorema de Taylor

...6

1

2

1 30

0

3

32

0

0

2

2

00

0

xx

dx

fdxx

dx

fdxx

dx

dfxfxf

...6

1

2

1 30

0

3

32

0

0

2

2

00

0

xx

dx

Edxx

dx

Edxx

dx

dExExE PPP

PP

0 k k


MRCP DF – UM


Para um mov. não harmónico Potencial de Lennard-Jones

12

0

6

00, 2

r

r

r

rEE PP

121 r

61 r

V

0r

0r


MRCP DF – UM

Movimento nunca se repete a si mesmo

movimento caótico ≠ movimento desordenado

Movimento caótico pode apresentar uma estrutura bem definida e caracteriza-se por

ser extremamente sensível às suas condições iniciais

Oscilações Caóticas


MRCP DF – UM

Mini-Teste 3 (2004-2005)Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0).

1. Qual é a frequência angular e o período do movimento?

2. Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação do movimento.

3. Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial?

4. Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva a equação diferencial do movimento resultante.

v25.3


MRCP DF – UM

Mini-Teste 3Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0).

1. Qual é a frequência angular e o período do movimento?

1-rad.s 0.10650.0

65

m

k

s 63.00.10

14.322

T

0.1

0.1

0.2

0.2

0.10.2


MRCP DF – UM


2. Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação do movimento.

m 11.0 mx

pcm EEE 222

2

1

2

1

2

1mvkxkxm

Para t =0 – x =0.11 m; v =0

22 11.02

1

2

1kkxm

cos11.011.00 x

ttx 0.10cos11.00

0.4

0.3

0.3

0.2


MRCP DF – UM


3. Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial?

22

2

1

2

1mm mvkx 1-ms 1.1 mmm x

m

kxv

Esta ocorre para x =0 m e aí

J 02

1 2 kxEP

0.2 0.3

0.2 0.3

0.10.2

0.10.2


MRCP DF – UM


4. Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva a equação do movimento resultante.

vkxma

010052

2

xdt

dx

dt

xd

v25.3

0.2

0.2

0.2

-1s 5.252

textx tm cos tetx t 7.9cos11.0 5.2

1-2

2

rad.s 68.94

mm

k

0.2

0.2

0.2


MRCP DF – UM

Mini-Teste 3Uma mola de massa desprezável é suspensa no tecto com um corpo na outra extremidade. O corpo é seguro inicialmente numa posição y1 correspondente à posição de equilíbrio da mola sozinha. Nessa altura a esfera é libertada passando a oscilar sendo a posição mais baixa atingida 10 cm abaixo de y1.

1. Aplicando a 2ª lei de Newton no ponto de equilíbrio do sistema, calcule o valor da constante da mola em função da massa do corpo.

2. Qual é a frequência do movimento?

3. Qual é a velocidade da esfera quando passa num ponto 8 cm abaixo de y1?

4. Uma segunda esfera de massa m= 300 g é ligada à anterior passando a sistema a oscilar com uma frequência metade da inicial. Qual é a massa da primeira esfera?


MRCP DF – UM


1. Aplicando a 2ª lei de Newton no ponto de equilíbrio do sistema, calcule o valor da constante da mola em função da massa do corpo.

eg FFF

kxmg

(N/m) 19605.08.9 mkkm

0.3

0.4

0 F

Nesta posição

0.3

0.2 0.1


MRCP DF – UM


2. Qual é a frequência do movimento?

2

fm

k

m

kf

2

1 Hz 2.2

196

2

1

m

mf

0.30.3

0.4

0.2 0.1


MRCP DF – UM


3. Qual é a velocidade da esfera quando passa num ponto 8 cm abaixo de y1?

tyy cos0

ty 8.13cos05.0 (Pois para t=0 s y=y0)

Resolvendo para y= 0.08 cm s 16.0t

tdt

dyv 8.13sin69.0 m/s 56.0 v0.2

0.2

0.3

0.3

0.2 0.1

0.2 0.1


MRCP DF – UM


4. Uma segunda esfera de massa m= 300 g é ligada à anterior passando a sistema a oscilar com uma frequência metade da inicial. Qual é a massa da primeira esfera?

m

kf

2

1 mfk 22

Então mmfmf 12

212

1 22

3.02

22 1

2

11

21

m

fmf kg 10.01 m

0.3

0.4

0.3

0.2 0.1


MRCP DF – UM

OndasAs perturbações num sistema em equilíbrio

que provocam um movimento oscilatório podem propagar-se no espaço à sua volta

sendo percebidas noutros pontos do espaço

movimentos ondulatórios ondas progressivas


MRCP DF – UM

Ondas Mecânicas – precisam de um meio físico para se propagarem e obedecem às Leis de Newton (ondas sonoras, da água, sísmicas)

Ondas Electromagnéticas – não precisam de meio físico para se propagarem viajando no

vácuo todas à mesma velocidade c ≈ 3x108 ms-1 (radiação electromagnética, eg luz)

Ondas de Matéria – ondas associadas a partículas fundamentais, como os electrões e protões

Tipos de ondas


MRCP DF – UM

Tipos de propagação de ondas

Onda Transversal

Onda Longitudinal

Ondas Mistas


MRCP DF – UM

onda para t = Δt

onda para t = 0

Descrição do movimento ondulatório

xfy

x

y v

OO

vtxfxfy vtxx

velocidade de propagaçãoou velocidade de fase

vtxkytxy m sin,2

2

22

2 1

t

y

vx

y

função de onda


MRCP DF – UM

vtxkytxy m sin, tkxytxy m sin,

onda para t = Δt

onda para t = 0


xfy vtxfxfy

vtxx

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

função de onda2

k

número de onda

kvv

T

22

kf

Tv


MRCP DF – UM

Velocidade de propagaçãoPara uma corda

Para o som


TFv μ – densidade linear da corda

M

RTBv

γ – constante dependente do tipo de gás (diatom. – 1.4)

M – massa molar do gás (M(ar) = 29x10-3 kg/mol)

kf

Tv

TF

TF


MRCP DF – UM

Velocidade de propagaçãoPara uma corda

TFv μ – densidade linear da corda

R

lFFFF TTT

2sin2

lm R

va

2

R

vl

R

lFT

2

TF

TF



MRCP DF – UM

O que se propaga?

Estado de movimento

No movimento ondulatório propaga-se ou transmite-se energia e momento


MRCP DF – UM

médiomondamédio

C tkxyvdt

dE

222 cos

2

1 2cos2

1tkxydxdE mC tkxy

dt

dx

dt

dEm

C 222 cos2

1

Energia de uma onda

A energia cinética de cada elemento 2.2

1vdmdEC

tkxydt

yv m

cos dxdm

22

4

1monda

médio

C yvdt

dE

médio

C

médio

P

dt

dE

dt

dE

22

2

1mondamédio yvP


MRCP DF – UM

Para duas ondas com a mesma amplitude e a mesma frequência angular

Sobreposição de ondas

tkxytxy m sin,1 tkxytxy m sin,2

2

1sin

2

1cos2, tkxytxy m

amplitude na posição x termo oscilante

2

1cos

2

1sin2sinsin


MRCP DF – UM

Sobreposição de ondasSobreposição de ondas

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400 500 600

x (m)

y (m

)

o1

o2

o3

soma

A sobreposição de ondas resulta numa onda que corresponde à soma algébrica das ondas

sobrepostas

A sobreposição de ondas não afecta de nenhum modo a progressão de cada uma

file:///Aulas/F%C3%ADsica%20II/Apresenta%C3%A7%C3%B5es/sobreposi%C3%A7%C3%A3o%20ondas.xls


MRCP DF – UM


MRCP DF – UM

Análise de movimentos periódicosAnálise de Fourier

Qualquer movimento periódico pode ser considerado como a sobreposição de

movimentos harmónicos simples

Teorema de Fourier – uma função periódica f(t) de período T=2π/ω pode ser expressa como uma sobreposição de termos harmónicos simples

...cos...2coscos 210 tnatataatf n

...sin...2sinsin 21 tnbtbtb n


MRCP DF – UM


MRCP DF – UM

Ondas Estacionárias

Se duas ondas com a mesma amplitude e comprimento de onda, se deslocarem em sentidos

opostos ao longo da mesma direcção, a sua interferência produzirá um onda estacionária

nodo antinodo


MRCP DF – UM

nodo antinodo

tkxytxy m cossin2,

tkxytxy m sin,1 tkxytxy m sin,2

amplitude na posição x termo oscilante

2



MRCP DF – UM

Reflecção de uma onda numa corda nas suas fronteiras



MRCP DF – UM

Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados nas extremidades.

Modo fundamental ou primeiro harmónico

Segundo harmónico

Terceiro harmónico


L

vf

Ln

21

1

21 11

L

vf

Ln

22

2

22 22

L

vf

Ln

23

3

23 33


MRCP DF – UM

Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados nas extremidades.

Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:


n

Ln

2 12

nfL

vnfn

com n = 1, 2, 3, …


MRCP DF – UM

Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre.

Modo fundamental ou primeiro harmónico

Terceiro harmónico

Quinto harmónico


L

vf

Ln

41

1

41 11

L

vf

Ln

43

3

43 33

L

vf

Ln

45

5

45 55

4

1L

4

3L

4

5L


MRCP DF – UM

Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre.

Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:


n

Ln

4 14

nfL

vnfn

com n = 1, 3, 5, …


MRCP DF – UM

Velocidade de propagação


M

RTBv

γ – constante dependente do tipo de gás (diatom. – 1.4)

M – massa molar do gás (M(ar) = 29x10-3 kg/mol)

kf

Tv

Para o som

tvx

pAApppAmaF

xAVm

pAt

vtAv

t

va

vv

pv

2

v

v

tAv

tvA

V

V

BVV

pv

2

elemento do fluido

pulso


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras Equação do movimento ondulatório das ondas

sonoras

tkxstxs m cos,

tkxptxp m sin,

mm svp

compressão

expansão

elemento de fluido a oscilar

posição de equilíbrio


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras

Interferência

Construtiva

Destrutiva

12

2

LL

L

2

... ,2 ,1 ,0L

... ,5.2 ,5.1 ,5.0L


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras

InterferênciaBatimentos

Tempo

tsts m 11 cos tsts m 22 cos

ttsts m coscos2

212

1 212

1 21 fffbat


MRCP DF – UM

Fontes coerentes Duas fontes de ondas dizem-se coerentes se a

diferença de fase entre as duas se mantém constante

Caso contrário designam-se por incorentes


MRCP DF – UM

Ondas sonoras estacionárias (ressonância)

Tubo aberto dos dois lados

Tubo aberto num dos lados

Ondas Sonoras

12nf

L

vnfn com n = 1, 2, 3, …

14nf

L

vnfn com n = 1, 3, 5, …


MRCP DF – UM

Ondas Sonorasonda incidente onda reflectida

solo

reflexão

velocidade do som onda sonora

percurso curvo

Reflexão

Refracção


MRCP DF – UM

Imóveis

Ondas Sonoras

tv

n

Num intervalo Δt

fv

t

tvf

Não há efeito Doppler

Efeito Doppler


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras

tvvn D

DD vv

t

tvvf

Temos efeito Doppler

Num intervalo Δt

v

vvff D

Efeito DopplerDetector em movimento


MRCP DF – UM

Fonte em movimento

Ondas Sonoras

TvvT F

TvvT

vvf

F

Temos efeito Doppler

Num intervalo de tempo T

Fvv

vff

Efeito Doppler

Fv


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras

Efeito Doppler

F

D

vv

vvff

Regra: quando o movimento do detector e da fonte são de aproximação o sinal nas suas velocidades deve resultar num aumento da frequência.

Caso se afastem, o sinal das suas velocidades deverá dar uma diminuição da frequência


MRCP DF – UM

ss v

v

tv

vtsin

Ondas Sonoras

Ondas de choque


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras

Intensidade e nível sonoro

Intensidade

Variação com a distância

22

2

1msvI

24 r

PI F

A

PI

22

2

1mondamédio yvP

frentes de onda

raio


MRCP DF – UM

Ondas Sonoras

Intensidade e nível sonoro

A escala de Decibéis

0

log10I

IdB


MRCP DF – UM

Fonte I/Io dB Descrição

Respiração normal 100 0 Limite de audição

Biblioteca 103 30 Muito silencioso

Conversação normal 105 50 Calmo

Camião pesado 109 90 Exposição prolongada provoca danos no ouvido

Concerto rock (a 2 m)

1012 120 Limite de dor

Jacto na descolagem 1015 150

Motor de foguetão 1018 180

Ondas Sonoras


MRCP DF – UM

Mini-Teste 4Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação:

em que todos os valores se encontram em unidades SI.

1. Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade de propagação desta onda?

2. Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m?

3. Determine a frequência do terceiro harmónico desta onda considerando que ambas as extremidades estão fixas.

4. Se a deslocação do ar (ρ= 1.21 kg/m3) provocada pela corda fosse igual à amplitude da oscilação da corda na ressonância, qual seria a amplitude da variação da pressão da onda sonora produzida? (vs= 340 ms-1)

txtxy 1.71.72sin00327.0,


MRCP DF – UM



1. Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade de propagação desta onda?

txtxy 1.71.72sin00327.0,

m 00327.0,11.71.72sin máxytxytx

tkxytxy máx sin,

m 087102

1.72 .k

k

s 885.02

1.7 T

1-ms 09850.kT

v

0.2

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0.1

0.10.2


MRCP DF – UM



txtxy 1.71.72sin00327.0,

-1ms 09850.v

22 vL

mvF

Fv T

T

N 009700985.05.0

500.0 2 .FT

2. Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma massa de 0.500 kg e um comprimento de 0.5 m?

0.3

0.6

0.10.2


MRCP DF – UM



3. Determine a frequência do terceiro harmónico desta onda considerando que ambas as extremidades estão fixas.

txtxy 1.71.72sin00327.0,

L

vf

Ln

23

3

23 33

Hz 296.05.02

0985.033

f

0.3

0.6

0.10.2


MRCP DF – UM



txtxy 1.71.72sin00327.0,

4. Se a deslocação do ar (ρ= 1.21 kg/m3) provocada pela corda fosse igual à amplitude da oscilação da corda na ressonância, qual seria a amplitude da variação da pressão da onda sonora produzida? (vs= 340 ms-1)

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FIM

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