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Fisica III A.A. 2016-17

Checklist - Domande ed esercizi

versione DEFINITIVA del 18 luglio 2017

Differenze rispetto al 7 dicembre 2016: - corretto refuso domanda 3.b.17 - corretto refuso domanda 4.a.24 1. Prerequisiti (lista non esaustiva) 1.a.1. Dare la definizione definizione di 4-vettore covariante e controvariante 1.a.2. Definire le quantità β e γ 1.a.3. Definire il prodotto scalare di due 4-vettori 1.a.4. Definire il modulo di un 4-vettore 1.a.5. Scrivere le trasformazioni di Lorentz per il boost lungo un asse (asse x) 1.a.6. Dare la definizone di posizione spazio-temporale di un punto 1.a.7. Definire le derivate in 4-dimensioni, la quadridivergenza, il differenziale di uno

scalare di Lorentz, l’operatore di D’Alembert 1.a.8. Definire il tempo proprio e ricavare la relazione (differenzale) fra tempo proprio

e tempo nel sistema in cui si osserva il moto 1.a.9. Dare la definizione di invariante di Lorentz 1.a.10. Definire la 4-velocità ed il 4-impulso, dire le loro unità di misura nei sistemi

MKS e ! = c =1 , dimostrare che il loro modulo è costante. 1.a.11. Enunciare la legge di conservazione del 4-impulso e fornire una applicazione 1.a.12. Definire la 4-accelerazione e la 4-forza 1.a.13. Scrivere la legge di Newton (tridimensionale e l’estensione quadridimensionale)

nell’ambito della relatività speciale 1.a.14. Definire un tensore covariante di rango 2 1.a.15. Definire la traccia di un tensore di rango 2 1.a.16. Definire il tensore metrico gµν 1.a.17. Dare la definizione di tensore antisimmetrico di rango 2 ed indicare quali dei suoi

elementi siano le componenti di un vettore polare e quali quelle di un vettore assiale tridimensionale

1.a.18. Definire quando una certa legge fisica è scritta in forma "relativisticamente covariante".

1.a.19. Quanto valgono, in unità MKS o in altri sistema di misura comunemente utilizzati, le costanti: c, ε0, µ0, e2/4π, ! ?

1.a.20. Quanto vale la costante c! in eVxnm e in MeVxfm ? 1.a.21. Spiegare la differenza fra le seguenti categorie di fotoni: infrarossi – visibili –

ultravioletti – raggi X – raggi γ .

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1.a.22. Quanto vale la massa del fotone reale? 1.a.23. Quanto vale la carica elettrica dell’elettrone e del protone (in MKS)? 1.a.24. Quanto vale la costante di struttura fine (α)? 1.a.25. Quanto valgono la massa dell’elettrone e del protone (in MKS e in MeV/c2)? 1.a.26. Quanto vale la differenza fra la massa del neutrone e la somma della massa del

protone e dell’elettrone? 1.a.27. Quanto è l’ordine di grandezza dell’energia media di legame di un elettrone

all’interno di un atomo? 1.a.28. Spiegare la differenza fra ottica fisica ed ottica geometrica 1.a.29. Esprimere tutte le relazioni fra campo elettrico, magnetico e direzione di

propagazione di un’onda e.m. piana. 1.a.30. Dare la definizione di onda piana e.m. monocromatica e delle seguenti quantita’:

ampiezza, frequenza angolare, vettore d’onda, frequenza, periodo, lunghezza d’onda, velocita’ di fase.

1.a.31. Definire la velocita’ di gruppo per un’onda e.m. e spiegarne il suo significato fisico.

1.a.32. Definire la polarizzazione di un’onda e.m. 1.a.33. Scrivere l‘espressione piu’ generale per il campo elettrico di un’onda e.m. piana

monocromatica, tenendo conto della polarizzazione, sia utilizzando solo numeri reali, sia utilizzando numeri complessi.

1.a.34. Definire le polarizzazioni lineare, circolare ed ellittica per un’onda e.m.

1.a.35. Definire il 4-vettore d’onda kµ . 1.a.36. Enunciare il Principio di Huygens.

1.b.1. Ricavare la legge relativistica di composizione delle velocità 1.b.2. Dimostrare che il modulo di un 4-vettore ed il prodotto di due 4-vettori sono

invarianti di Lorentz 1.b.3. Spiegare qualitativamente il “paradosso dei gemelli” 1.b.4. Se non esistessero gli effetti dovuto alla relatività generale, calcolare quanto

differirebbe in un anno il tempo misurato da un orologio alla superficie terrestre da uno che si trovi su: i) un satellite geostazionario ii) un satellite per GPS

1.b.5. Dimostrare che le derivate in 4-dimensioni sono covarianti (o controvarianti) 1.b.6. Dimostrare che l’operatore di D’Alembert è un invariante di Lorentz 1.b.7. Calcolare la 4-accelerazione di un punto in funzione della velocità e della

accelerazione tridimensionali 1.b.8. Dimostrare che 4-accelerazione e 4-velocità sono perpendicolari 1.b.9. Calcolare la 4-forza su un punto in funzione della velocità e della forza

tridimensionali 1.b.10. Dimostrare che la traccia di un tensore di rango 2 è un invariante di Lorentz 1.b.11. Scrivere le trasformazioni per rotazioni tridimensionali delle componenti di un

tensore di rango 2 1.b.12. Calcolare, a partire dalle EDM, la velocita’ delle onde elettromagnetiche in un

mezzo omogeneo, lineare ed isotropo.

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1.b.13. Determinare la soluzione piu’ generale possibile per onde e.m. piane in un mezzo lineare, omogeneo, isotropo e non dispersivo, spiegando il ruolo di quest’ultima ipotesi.

1.c.1. Scrivere la più generale trasformazione di Lorentz e dimostrare che essa lascia

invariato l'elemento di quadri-volume. 1.c.2. Dare la definizione del tensore di rango 4 completamente antisimmetrico (detto

anche "tensore (o densità) di Levi-Civita"). 2. Indagine della materia tramite collisioni e decadimenti di particelle 2.a.1. Esprimere la sezione d’urto per particelle puntiformi in funzione del numero di

eventi osservati per unita’ di tempo e per unita’ di volume, della concentrazione delle particellle interagenti e della loro velocita’ relativa

2.a.2. Esprimere la sezione d’urto nel caso di un sottile fascio di particelle incidente su una lastra contenente i bersagli [NB: i dati sono il flusso di particelle incidenti, la densita’ superficiale dei bersagli, la frequenza di eventi osservati]

2.a.3. Esprimere la sezione d’urto nel caso di particelle incidenti su un unico bersaglio [NB: i dati sono la densita' di corrente di particelle incidenti e la frequenza di eventi osservati]

2.a.4. Esprimere la sezione d’urto nel caso particolare di un’onda incidente su un unico bersaglio

2.a.5. Scrivere l’elemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una particella] ed indicare i vincoli esistenti.

2.a.6. Definire la funzione di distribuzione esclusiva dei 4-impulsi delle particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una particella].

2.a.7. Quali sono gli ordini di grandezza tipici delle sezioni d’urto delle interazioni forti e delle interazioni deboli?

2.a.8. Dare la definizione di sezione d’urto totale, sezione d’urto differenziale inclusiva, sezione d’urto differenziale esclusiva

2.a.9. Dare la definizione di larghezza e di vita media per il decadimento di una particella

2.a.10. Dare la definizione di rapporto di decadimento (“Branching fraction” o “Branching ratio”)

2.a.11. Quali sono, approssimativamente, gli ordini di grandezza delle vite medie dovute ad interazioni deboli, elettromagnetiche, forti?

2.a.12. Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui due particelle collidono ed N particelle sono prodotte?

2.a.13. Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui una particella decade in due particelle? E' rilevante il fatto che la particella che decade abbia un momento angolare non nullo?

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2.a.14. Quante sono le variabili indipendenti nello stato finale di una reazione in cui una particella decade in tre particelle? E' rilevante il fatto che la particella che decade abbia un momento angolare non nullo?

2.a.15. Spiegare le variabili utilizzate nel "Dalitz plot" 2.a.16. Spiegare il metodo della ‘massa invariante’ per identificare una particella instabile

e misurarne la sua massa 2.a.17. Che cosa sono le quantità che in un nucleo usualmente si indicano con A, Z, N ?

(simbologia N

AZ X )

2.a.18. Dare la definizione di nuclei isotopi, isobari, isotoni, stabili, instabili. 2.a.19. Spiegare qualitativamente l’effetto fotoelettrico e lo scattering Compton,

indicandone le differenti caratteristiche 2.a.20. Spiegare qualitativamente lo scattering Rayleigh 2.a.21. Spiegare qualitativamente il fenomeno della creazione di coppie e+e- da parte di

un raggio gamma che incide su un atomo. 2.a.22. Discutere qualitativamente le osservazioni sperimentali dello scattering di

Rutherford 2.a.23. Fornire (senza dimostrazione) le espressioni delle sezioni d’urto differenziali

(dσ/dΩ) Rutherford e Mott 2.a.24. Come è definita l’unità di massa atomica e quanto vale (in MeV/c2)? 2.a.25. Come sono definiti l’energia di legame (B) di un atomo ed il “difetto di massa”

(Δ) di un atomo ? 2.a.26. Quanto è l’ordine di grandezza dell’energia media di legame di un nucleone

all’interno di un nucleo? 2.a.27. Su quali ipotesi si basa il modello “a goccia” di un nucleo? 2.a.28. Enunciare la formula semiempirica B = B(A,Z) ed indicarne i termini che sono

spiegati dal modello a goccia 2.a.29. Definire i decadimenti α, β , γ e il decadimento tramite cattura elettronica in un

nucleo. 2.a.30. Definire il Q-valore di una reazione nucleare. 2.a.31. Definire il Q-valore per il decadimento β+, β−, e per la cattura elettronica. 2.a.32. Come si e' arrivati alla conclusione che nel decadimento beta deve essere emessa

una particella neutra non rivelata? 2.a.33. Dire quali fra le seguenti particelle sono soggette ad interazioni forti: p, p , π+,

π− , µ+, µ− , e+, e-, α, nucleo di Azoto, υ , υ . 2.b.1. Calcolare l’energia che dovrebbe avere un protone che incide su un protone fermo

per ottenere una energia nel centro di massa pari a quella di LHC (14TeV)

2.b.2. Calcolare l’energia di soglia della reazione e+ + e− → p+ p in cui le due particelle incidenti collidono con 3-impulsi uguali ed opposti

2.b.3. Calcolare l’energia di soglia nel laboratorio per le seguenti reazioni (la seconda particella è inizialmente ferma):

• γ + 16O→ e+ + e− + 16O

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• γ + e− → e− + e+ + e− • p+ p→ p+ p+ p+ p

• p+ 16O→ p+ p+ p + 16O

• e+ + e− → p+ p

• e− + p→ n+νe

• νe + p→ n+ e+

2.b.4. Dimostrare che d3 !p2E è un invariante relativistico effettuando esplicitamente la

trasformazione di Lorentz (si consideri il boost lungo un asse, p. es. l'asse x)

2.b.5. Dimostrare che d4pδ p2 −m2( )θ (p0 ) = d

3 !p2E e sfruttare questo risultato per

semplificare la scrittura dell’elemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una particella]

2.b.6. Dimostrare che nel centro di massa l’elemento infinitesimo dello spazio dei 4-

impulsi, nel caso di 2 sole particelle nello stato finale, si scrive come !pCM4 s

dΩCM .

2.b.7. Nel caso di 3 particelle nello stato finale di una reazione, dimostrare che fra il quadrato della massa invariante di due di esse e l'energia della terza (nel centro di massa) sussite una relazone lineare.

2.b.8. Come si trasforma una funzione di distribuzione del 3-impulso f!p( )d3!p di una

particella per una trasformazione di Lorentz? 2.b.9. Come si trasforma una funzione di distribuzione nello spazio delle fasi

f !p, !r( ) d3 !p d3!r di una particella per una trasformazione di Lorentz? 2.b.10. Cercando i dati delle sezioni d’urto totali nelle apposite figure o tabelle (reperibili

anche nella compilazione Particle Data Group http://pdg.lbl.gov ) si calcoli la probabilita’ di interazione di:

• un fotone da 1 MeV che incida su 1 mm di grafite • un fotone da 10 MeV che incida su 1 mm di Piombo • un fotone da 50 KeV che incida su 1 µm di Piombo • un neutrino da 100 GeV che incida su 1 km di grafite • un protone da 100 GeV che incida su 1 cm di grafite

2.b.11. Calcolare la probabilita’ che un neutrino interagisca nell’attraversare la Terra lungo un diametro. Nota: sia assuma che l’energia del neutrino sia tale che la sezione d’urto totale su un singolo nucleone sia 1fb.

2.b.12. Dimostrare che se la probabilita’ di decadimento di una particella non dipende dal tempo, la probabilita’ di trovare la particella non decaduta al tempo t segue una legge esponenziale.

2.b.13. Pioni neutri, di energia E nel sistema del laboratorio, decadono in due fotoni. La distribuzione è isotropa ne centro di massa. Si calcoli: i) la distribuzione

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dell’energia di uno dei due fotoni nel laboratorio; ii) gli angoli, rispetto alla direzione di volo del pione, dei due fotoni nel sistema del laboratorio in funzione dell’angolo nel sistema del centro di massa; iii) la distribuzione dell’angolo di uno dei due fotoni nel laboratorio; iv) il seno dell’angolo fra i due fotoni nel laboratorio in funzione dell’angolo di uno dei due fotoni nel sistema del centro di massa e si produca il relativo grafico per differenti valori dell’energia del pione. Si calcoli infine l’angolo minimo fra i due fotoni nel laboratorio

2.b.14. Calcolare la funzione di distribuzione in energia ed in angolo nel sistema del laboratorio di un fascio di neutrini o di muoni prodotto nel decadimento di pioni carichi di energie, rispettivamente, 1.4 – 14 – 140 GeV.

2.b.15. Dimostrare con calcoli cinematici che nello scattering di Rutherford alcune particelle α urtano un bersaglio con massa molto maggiore di quella della particella α stessa

2.b.16. Fornire la relazione tra parametro d'impatto (b) e angolo di scattering (θ) nel caso di scattering di Rutherford (Coulombiano) e di scattering su sfera rigida

2.b.17. Ricavare la sezione d’urto differenziale dello scattering di Rutherford, sia in funzione dell’angolo θ sia in funzione del parametro di impatto b

2.b.18. Discutere le differenze tra lo scattering di Rutherford (particelle α) e lo scattering di elettroni su bersaglio puntiforme.

2.b.19. Dare la definizione di raggio nucleare mediante lo scattering di Rutherford 2.b.20. Qual e' l'andamento delle masse nucleari a parita' di A in funzione di Z? 2.b.21. Valutare la dipendenza da A della sezione d'urto totale forte protone-nucleo. 2.b.22. Dimostrare che in un tipico decadimento α, la particella α emerge con circa il 98

% dell'energia disponibile. 2.b.23. Ricavare la relazione tra il Q-valore ed A per il decadimento α col modello a

goccia del nucleo. 2.b.24. Discutere un plot di Fermi-Kurie per il decadimento β.

2.c.1. Se si suppone che nel decadimento di una particella in tre particelle di massa trascurabile lo spazio delle fasi sia piatto nelle variabili s12 ed s23, calcolare la distribuzione in energia (nel centro di massa) di una di esse.

2.c.2. Dimostrare che d3 !p2E è un invariante relativistico senza effettuare esplicitamente

la trasformazione di Lorentz e senza utilizzare il fatto che

d 4pδ p2 −m2( )θ (p0 ) = d3 !p2E è un invariante relativistico, ma utilizzando

considerazioni di geometria in 4 dimensioni come spiegato nel testo di Landau. 2.c.3. Esprimere la sezione d’urto per particelle puntiformi in funzione del numero di

eventi osservati per unita’ di tempo e per unita’ di volume, della concentrazione delle particelle interagenti e delle loro velocita’ in un sistema di riferimento arbitrario.

2.c.4. Ricavare un plot di Fermi-Kurie per il decadimento β.

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3. Elettromagnetismo classico 3.a.1. Dare la definizione di quadri-corrente e di quadri-potenziale del campo

elettromagnetico. 3.a.2. Dare la definizione del tensore del campo elettromagnetico e saper scrivere le sue

componenti. 3.a.3. Scrivere le equazioni di Maxwell (sia quelle non omogenee che quelle omogenee)

in forma covariante. 3.a.4. Scrivere l'equazione di continuità per la quadri-corrente in forma covariante (e

verificarne la consistenza con le equazioni di Maxwell). 3.a.5. Scrivere una generica "trasformazione di gauge" del quadri potenziale (e

verificare la "invarianza di gauge" dell'elettromagnetismo) in forma covariante. 3.a.6. Dare la definizione di "gauge di Lorenz", "gauge di Coulomb", "gauge temporale"

e "gauge assiale". 3.a.7. Scrivere la legge di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo

magnetico (distinguendo fra componenti parallele e componenti perpendicolari al "boost").

3.a.8. Scrivere in forma covariante l'equazione del moto di una carica in un campo elettromagnetico esterno ("(quadri-)forza di Lorentz").

3.a.9. Dare la definizione del quadri-vettore "densità di forza di Lorentz" e saperne scrivere le componenti.

3.a.10. Dare la definizione del "tensore energia-impulso" del campo elettromagnetico e scrivere la sua relazione con la "densità di forza di Lorentz".

3.a.11. Dare la definizione della "densità di energia" del campo elettromagnetico, del "vettore di Poynting" e del "tensore degli sforzi di Maxwell".

3.a.12. Dire come si generalizzano i teoremi di conservazione dell'energia e dell'impulso a situazioni in cui sia presente un campo elettromagnetico.

3.a.13. Esprimere la densita’ di energia di un’onda e.m. piana in funzione dei campi elettrico e/o magnetico

3.a.14. Dare la definizione ed esprimere il vettore di Poynting di un’onda e.m. piana in funzione del campo elettrico e/o magnetico.

3.a.15. Esprimere la pressione (di radiazione) che un campo e.m. esercita su una superficie piana.

3.a.16. Scrivere il tensore degli sforzi per un’onda e.m. piana che si propaga in una direzione n̂ .

3.a.17. Calcolare la forza esercitata su una superficie piana da parte di un’onda e.m. piana che in parte viene trasmessa ed in parte viene riflessa.

3.a.18. Esprimere il 4-tensore impulso-energia per un’onda e.m. piana monocromatica

utilizzando i 4-tensore kµ . Scrivere esplicitamente la matrice 4x4 del tensore per un’onda che si propaga lungo l’asse x e con densita’ di energia uem.

3.a.19. Ricavare le espressioni dell’effetto Doppler relativistico (calcolo della frequenza e dell’angolo misurati dal rivelatore nel caso di moto relativo fra sorgente e rivelatore stesso).

3.a.20. Ricavare e scrivere l’espressione per i potenziali ritardati (φ ed !A ) per una

qualunque distribuzione di cariche (ρ) e correnti (!j ).

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3.a.21. Dimostrare l’espressione dtdt '

=1− n̂ ⋅!β , dove t e t’ sono il tempo di osservazione ed

il tempo ‘ritardato’, rispettivamente. 3.a.22. Ricavare e scrivere l’espressione per i potenziali di Lienard-Wiechert (φ ed

!A per

una carica puntiforme in moto arbitrario).

3.a.23. Spiegare tutti i termini dell’espressione !E = q

R2n̂−!β

γ 2 1− n̂ ⋅!β( )

3 +qRc

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥t '=t−R/c

per il

campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto arbitrario. 3.a.24. Quanto vale il campo magnetico generato da una carica puntiforme in moto

arbitrario? 3.a.25. Calcolare la distribuzione in potenza in funzione dell’angolo di emissione per una

carica accelerata in moto non relativistico. 3.a.26. Dare la definizione di “solido di radiazione” e di “diagramma di radiazione” per

una carica accelerata 3.a.27. Calcolare la potenza totale irraggiata da una carica accelerata in moto non

relativistico. Esprimere i risultati in MKSA e nelle unita’ “naturali”.

3.a.28. Ricavare la formula di Larmor relativistica P =23q2

c3γ 6!a 2−!a∧!β2( )

3.a.29. Dimostrare che dPdΩ

=q2 !a 2

16π 2εoc3

sin2ϑ1−β cosϑ( )5 e’ la potenza (MKSA) irraggiata da una

carica accelerata su una traiettoria rettilinea in funzione dell’angolo di emissione. 3.a.30. Dimostrare che la radiazione di sincrotrone ha uno spettro di emissione con una

frequenza “critica” ωC ≈ωoγ3

3.a.31. Dare la definizione di interferenza e diffrazione. 3.a.32. Dare la definizione di interferenza costruttiva e distruttiva. 3.a.33. Calcolare il pattern di interferenza per 2 sorgenti equispaziate. 3.a.34. Descrivere qualitativamente l'andamento dell'intensita' in funzione dell'angolo

(theta) di diffrazione per un'apertura circolare. 3.a.35. Enunciare il principio di Babinet. 3.a.36. Definire il "fattore di forma" elettromagnetico per una sfera carica. 3.a.37. Quali particelle incidenti e di quale energia si utilizzano per misurare i fattori di

forma nucleari? Come si definisce il raggio nucleare? 3.a.38. Calcolare il fattore di forma per una distribuzione radiale che sia piatta fino ad un

certo raggio, e nulla oltre. 3.a.39. Spiegare qualitativamente il funzionamento di un acceleratore elettrostatico 3.a.40. Spiegare qualitativamente il funzionamento di un acceleratore lineare, indicando

le differenze importanti fra l’accelerazione di elettroni e di protoni 3.a.41. Quali sono, approssimativamente, le energie per unita’ di lunghezza che

attualmente si ottengono nell’accelerazione di protoni con la tecnica delle cavita’ superconduttrici?

3.a.42. Calcolare la velocita’ di un elettrone [e successivamente di un protone] posto in una struttura acceleratrice che abbia: i) campo elettrico longitudinale costante ii) campo elettrico longitudinale oscillante. Inserendo valori numerici ragionevoli,

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calcolare il tempo affinche la particella, partendo da ferma, raggiunga una energia pari al doppio della sua massa a riposo

3.b.1. Date le definizioni ‘standard’ delle variabili n̂ ,

!β, !R, !r, !r ', t e t ' , dimostrare le

seguenti relazioni: d!Rdt '

= −!βc ,

dRdt '

= −n̂•!βc ,

d!R ⋅!β( )

dt '= −β 2c+

!R ⋅!"β , !∇R = n̂

1− n̂ ⋅!β ,

!∇t ' = −n̂ / c

1− n̂ ⋅!β .

3.b.2. Ricavare l’espressione !E = q

R2n̂−!β

γ 2 1− n̂ ⋅!β( )

3 +qRc

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥t '=t−R/c

per il campo elettrico

generato da una carica puntiforme in moto arbitrario a partire dai potenziali ritardati.

3.b.3. Scrivere le equazioni di Maxwell per i quadri-potenziali in "gauge di Lorentz" e (più difficile!) in "gauge di Coulomb".

3.b.4. Ricavare esplicitamente le leggi di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo magnetico. Discutere, in particolare, il caso in cui, in un certo sistema di riferimento inerziale, il campo magnetico è nullo e il caso in cui il campo elettrico è nullo.

3.b.5. Dire quali sono gli "invarianti di Lorentz" che si possono costruire con il tensore del campo elettromagnetico e ricavarne le espressioni esplicite in termini dei campi elettrico e magnetico. Ridiscutere, usando gli invarianti, il caso discusso nel punto precedente e discutere il caso in cui gli invarianti sono nulli.

3.b.6. Ricavare il campo elettromagnetico creato da una carica in moto uniforme. 3.b.7. Ricavare la relazione fra la densità di forza di Lorentz e il tensore energia-impulso

del campo elettromagnetico. 3.b.8. Ricavare esplicitamente le componenti del tensore energia-impulso del campo

elettromagnetico.

3.b.9. Dimostrare che dIωdΩ

=q2

4π 2c

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

2 eiω t '−

!r '⋅n̂c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dt '∫

2

e’ l’energia per unita’ di

frequenza irraggiata da una carica accelerata in funzione dell’angolo di emissione.

3.b.10. Dimostrare che !Frad =

23q2

c3!"a = z2meτe

!"a , con τe =23rec= 6.2x10−24 s , e’ la forza di

reazione radiativa ed indicare il campo di applicazione di questa formula.

3.b.11. Integrando l’espressione dPdΩ

=q2 !a 2

16π 2εoc3

sin2ϑ1−β cosϑ( )5 , ricavare la potenza totale

irraggiata da una carica accelerata in un acceleratore lineare. 3.b.12. Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un

acceleratore circolare in funzione di d!pdt .

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3.b.13. Calcolare l’energia persa in una rivoluzione per una carica in moto uniforme su una circonferenza (acceleratore circolare). Calcolare la frazione di energia persa in un giro rispetto alla sua energia cinetica, effettuando una valutazione numerica trascurabile nel caso di elettroni a LEP (energia 50 GeV, raggio ~4km) o protoni ad LHC (energia 7 TeV, raggio ~4km)

3.b.14. Calcolare il valore numerico della potenza totale che sarebbe irraggiata da un elettrone in moto classico circolare uniforme in un atomo di idrogeno. Calcolare il rapporto fra il valore ottenuto e l’energia cinetica dell’elettrone.

3.b.15. Calcolare la potenza emessa in funzione dell’angolo per una carica oscillante armonicamente in linea retta (termine di dipolo elettrico)

3.b.16. Calcolare la potenza emessa in funzione dell’angolo per una carica in moto circolare uniforme

3.b.17. Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un acceleratore lineare in funzione di d

!pdt oppure di dE

dx (energia fornita per unita’ di

lunghezza). Dimostrare che la frazione di energia persa nell’accelerazione e’ trascurabile, fornendo adeguati valori numerici nel caso di accelerazione di elettroni o protoni.

3.b.18. Calcolare la lunghezza d’onda critica della radiazione di sincrotrone (elettroni) nei casi seguenti: i) energia=50GeV, raggio=4km; ii) energia=5GeV, raggio=30m

3.b.19. Effettuare un disegno, qualitativo, del solido di radiazione per una carica in un acceleratore lineare o circolare. Stimare l’angolo di massima emissione.

3.b.20. Ricavare la formula della diffrazione di Fraunhofer 3.b.21. Ricavare l’intensita’ luminosa per la diffrazione da una fenditura lineare 3.b.22. Ricavare l’intensita’ luminosa per la diffrazione da una apertura circolare 3.b.23. Ricavare l’intensita’ luminosa per la diffrazione da una fenditura rettangolare 3.c.1. Scrivere la Lagrangiana relativistica per una particella carica in un campo

elettromagnetico esterno e verificare che le equazioni di Eulero-Lagrange forniscono la formula della forza di Lorentz. Discutere (usando la formulazione Lagrangiana) il legame fra l'invarianza di gauge delle equazioni dell'elettrodinamica e la legge di conservazione della carica.

3.c.2. Utilizzando onde e.m. piana, monocromatica e di dimensione (laterale) grande ma finita, dimostrare che i momento angolare (per unita’ di volume) trasportato

dall’onda e’ !L = ± uem

ωn̂ . Suggerimento: partire dalla definizione

!L ≡

!R4πc

∧!E∧!H( )

4. Interazione radiazione-materia 4.a.1. Quale e' la relazione fra lo spessore di un materiale, espresso in cm, e lo spessore

espresso in g/cm2 ? 4.a.2. Descrivere qualitativamente l’effetto Cherenkov. 4.a.3. Dimostrare che la radiazione Cherenkov e’ emessa ad un solo angolo.

11

4.a.4. Spiegare il significato di ogni termine delle espressioni, valide per la radiazione

Cherenkov: d 2Nγ

dEγdx= z2 α!csin2ϑC e Nγ = z

2 α!cL 1− 1

β 2εr (E)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥Pdet (E)dE

E1

E2

∫ .

4.a.5. Descrivere qualitativamente le cause e gli effetti del fenomeno della radiazione di frenamento da parte di una particella carica nella materia.

4.a.6. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione

dIωdΩ

=q2

4π 2c

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

2 eiω t '−

!r '⋅n̂c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dt '∫

2

4.a.7. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione

Iω (b) =2(ze)2

3πc32zZe2

MVb⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

per ω <V / b

0 per ω >V / b

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

4.a.8. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione

χω =(ze)2

12π 3εo3c

zZe2

Mc2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟21β 2ln MV 2

!ω

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

4.a.9. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione dEirr

dx=163ρNA

A(g)z4Z 2αre

2mec

2( )2

Mc2 .

4.a.10. Definire e dare le unita' di misura di tutte le grandezze fisiche nell'espressione dEirr

dx= nnuclei

163z4Z 2α me

M⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

re2 ln 192

Z1/3Mme

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥E .

4.a.11. Dare la definizione di lunghezza di radiazione. Spiegare le condizioni per cui, nel caso di perdita prevalente di energia per radiazione, l’energia di una particella si attenua con una legge esponenziale in funzione del percorso.

4.a.12. Spiegare tutti i termini dell'espressione 1ρX0

= 4αre2 Z 2

A(g)NA ln

184Z1/3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟− f (Z)+

L 'Z

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

[formula di Tsai, non dimostrata] che fornisce la lunghezza di radiazione per elettroni.

4.a.13. Spiegare qualitativamente il meccanismo della produzione di uno sciame elettromagnetico iniziato da un elettrone o da un fotone.

4.a.14. Descrivere qualitativamente il meccanismo della perdita di energia per collisioni da parte di una particella carica nella materia. Valutare l’energia minima e massima trasferibile in un singola collisione.

4.a.15. Spiegare il significato di ogni termine dell’espressione per la perdita di energia per collisioni (formula di Bethe-Bloch, non dimostrata): 1ρdEcoll

dx= z2 Z

A(g)4π mec

2

β 2NAre

2 12ln 2mec

2β 2γ 2

I 2TMAX −β

2 −δ2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

4.a.16. Disegnare qualitativamente la funzione di Bethe-Bloch indicando i valori dei punti significativi.

4.a.17. Definire il "percorso residuo" ("range") per una particella carica in un materiale. 4.a.18. Dare la definizione di "Energia critica"

12

4.a.19. Descrivere qualitativamente il fenomeno dello scattering multiplo da parte di una particella carica in moto veloce nella materia. Valutare il rapproto fra angolo minimo e massimo in una singola collisione.

4.a.20. Definire l'angolo di multiplo scattering (rispetto alla direzione iniziale della particella) e definire la sua proiezione su un piano (che contiene la direzione iniziale della particella). Indicare i limiti delle due variabili cosi' definite.

4.a.21. Spiegare il significato di ogni termine dell'espressione per l’angolo quadratico medio di multiplo scattering (rispetto alla direzione iniziale della particella)

<θms2 > ≡ϑ 0 2 = z13.6MeV

PβcLX0

1+ 0.0038ln LX0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ 2

4.a.22. Se non fosse sufficiente la approssimazione di piccoli angoli e distribuzione gaussiana, indicare quale fra le seguenti funzioni descriverebbe la distribuzione che meglio descrive il fenomeno del multiplo scattering: i) Bethe-Bloch, ii) Moliere, iii) Breit-Wigner, iv) Bohr.

4.a.23. Illustrare il metodo di produzione degli antiprotoni nell’esperimento di Segre’ et al. Discutere in particolare l’energia di soglia della loro produzione.

4.a.24. Illustrare il metodo in cui nell’esperimento di Segre’ et al. sono identificati gli antiprotoni, separandoli dal fondo di pioni negativi.

4.a.25. Descrivere l’esperimento di Anderson sulla scoperta del positrone. 4.a.26. Spiegare perche’ nell’esperimento di Anderson sulla scoperta del positrone alcune

tracce positive osservate non possono essere nessuna delle particelle positive conosciute nel 1932.

4.b.1. Dimostrare che all’interno del cono della radiazione Cherenkov vi sono due

soluzioni per t ' = t −Rc , nessuna soluzione all’esterno, ed una sola sul fronte

d’onda.

4.b.2. A partire dalla espressione d 2Nγ

dEγdx= z2 α!csin2ϑC , valida per la radiazione Cherenkov,

dimostrare che Nγ = z2 α!cL 1− 1

β 2εr (E)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥Pdet (E)dE

E1

E2

∫ .

4.b.3. Calcolare il numero di fotoni osservati da un fotorivelatore sensibile con efficienza del 30% a luce fra 300nm e 600nm, al passaggio di un elettrone nei due casi seguenti: i) n=1.005 (gas), β=0.999, lunghezza=1m; ii) n=1.5 (solido trasparente), β=0.99, lunghezza=1cm.

4.b.4. Calcolare l’angolo di emissione della radiazione Cherenkov in funzione dell’impulso (e della massa) della particella e dell’indice di rifrazione.

4.b.5. Descrivere qualitativamente il principio di funzionamento dei rivelatori Cherenkov: i) a soglia, ii) RICH, iii) DIRC

4.b.6. Determinare le condizioni su velocita’ (β) ed indice di rifrazione (n) affinche’ la radiazione Cherenkov emessa da una particella che incide perpendicolarmente su

13

una lastra di materiale trasparente resti contenuta all’interno del mezzo o ne possa uscire. Indicare i risultati ottenuti nel piano n-β

4.b.7. Partendo dalla espressione dIωdΩ

=q2

4π 2c

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

2 eiω t '−

!r '⋅n̂c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dt '∫

2

dimostrare che

l’energia persa per unita’ di frequenza nel caso non relativistico e’ approssimabile

con Iω =2q2

3πcΔ!β per ω <1/ τ

0 per ω >1/ τ

⎧

⎨⎪

⎩⎪

4.b.8. Partendo dalla espressione dIωdΩ

=q2

4π 2c

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

2 eiω t '−

!r '⋅n̂c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dt '∫

2

dimostrare che

l’energia persa per unita’ di frequenza nel caso non relativistico ad un dato

parametro di impatto b e’ approssimabile con Iω (b) =2(ze)2

3πc32zZe2

MVb⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

per ω <V / b

0 per ω >V / b

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4.b.9. Dimostrare, a partire dalla espressione precedente, che la sezione d’urto di irraggiamento non relativistica e' approssimabile, a seconda del modello

utilizzato, con χω =(ze)2

12π 3εo3c

zZe2

Mc2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟21β 2ln MV 2

!ω

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ oppure con

χω =(ze)2

12π 3εo3c

zZe2

Mc2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟21β 2ln λ2

E + E − !ω( )2

!ω

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥.

4.b.10. Dimostrare, a partire dalla espressione precedente, che la perdita di energia per irraggiamento non relativistica e' approssimabile, a seconda del modello

utilizzato, con dEirr

dx= (1+ ln2)8

3ρNA

A(g)z4Z 2αre

2mec

2( )2

Mc2 oppure con

dEirr

dx=163ρNA

A(g)z4Z 2αre

2mec

2( )2

Mc2 .

4.b.11. Dimostrare che nel caso relativistico la sezione d’urto di irraggiamento e'

approssimabile, in un modello, con χω =163z4Z 2αre

2 me

M⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

! ln 192Z1/3

Mme

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ per

ω <Mc2

!γ −1( ) .

4.b.12. Dimostrare che nel caso relativistico la perdita di energia per irraggiamento e'

approssimabile, in un modello, con dEirr

dx= nnuclei

163z4Z 2α me

M⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

re2 ln 192

Z1/3Mme

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥E .

4.b.13. Valutare la lunghezza di radiazione del Piombo utilizzando sia il modello utilizzato, sia la formula di Tsai, e confrontarla con il valore sperimentale (5.6mm)

4.b.14. Utilizzando le tabelle che forniscono le sezioni d'urto di fotoni su atomi, calcolare la probabilita' che un fotone da 10 MeV produca una coppia e+e- in uno spessore di Piombo pari ad una lunghezza di radiazione.

14

4.b.15. Dimostrare l'espressione approssimata per la lunghezza di radiazione per elettroni X0 =

1163ρNA

AZ 4αre

2 ln 1920Z1/3

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥. Calcolare il valore numerico per Piombo e Silicio,

effettuare il confronto con i dati sperimentali disponibili 4.b.16. Indicare le ipotesi effettuate e dimostrare la seguente espressione, approssimata,

per la perdita di energia per collisioni: 1ρdEcoll

dx= z2 Z

A(g)4π mec

2

β 2NAre

2 12ln 2mec

2β 2γ 2

I⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

4.b.17. Indicare le ipotesi effettuate e dimostrare la seguente espressione, approssimata, per la perdita di energia per collisioni (formula di Bohr): 1ρdEcoll

dx= z2 Z

A(g)4π mec

2

β 2NAre

2 ln cβ3γ 2

zωere

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

4.b.18. Utilizzando la modellizzazione I = 16eV( ) ⋅Z 0.9 , valutare il valore minimo dell’energia persa per collisioni, in MeV/g/cm2, per i seguenti materiali: i) Piombo, ii) Silicio; iii) aria a TPN.

4.b.19. Calcolare la differenza di energia persa per collisioni da parte di particelle di massa diversa ultrarelativistiche. Spiegare come questo possa essere utilizzato per inidviduare la massa di una particella.

4.b.20. Scrivere l'espressione per calcolare il "percorso residuo" ("range"), nota la curva dEcoll

dx , in funzione dell'energia della particella.

4.b.21. Calcolare nel caso relativistico l’energia in cui la perdita di energia per irraggiamento e’ paragonabile a quella per collisioni in funzione della massa della particella. Determinare il valore per elettroni e protoni nel Piombo o in aria.

4.b.22. Nell'approssimazione di piccoli angoli e distribuzione gaussiana, calcolare il valor medio, il valore quadratico medio e la sigma per: i) l'angolo di multiplo scattering rispetto alla direzione iniziale della particella, e ii) la sua proiezione su un piano che contenga la direzione iniziale della particella.

4.b.23. Dimostrare l'espressione approssimata per l’angolo quadratico medio di multiplo

scattering (proiezione su un piano): ϑ 0 = zcostantePβc

LX0

e confrontare il valore dela

costante ottenuta con la formula cntenuta nel PDG. 4.b.24. Quali altri effetti dovremmo includere nel problema precedente, se la particella

incidente fosse un protone? E se fosse un elettrone? Quale sarebbe la dipendenza dall’energia?

4.b.25. Per le seguenti particelle: i) elettrone 3.5MeV, ii) elettrone 100MeV, iii) pione di 1GeV, iv) muone di 45 GeV, v) protone da 7 TeV, che attraversino: a) 2 mmPb, b) 2 mm scintillatore, iii) 0.3 mm Silicio, iv) 1 m Aria; indicare se siano rilevanti e, in caso affermativo, calcolare le seguenti quantita': a) energia persa per irraggiamento, b) l’energia persa per collisioni, c) probabilita' di interazione forte con i nuclei, d) angolo quadratico medio di multiplo scattering.

4.b.26. Per un muone che attraversi, incidendo perpendicolarmente, una lastra di Ferro di 5cm di spessore in cui e' presente un campo magnetico di intensita' nota, calcolare il valore numerico del rapporto fra la deflessione angolare dovuta al campo magnetico e la dispersione quadratica media dovuta al multiplo scattering. Come

15

sara’ la funzione di distribuzione dell’angolo in uscita? Quale e’ la dipendenza dall’energia del muone incidente?

4.b.27. [Calcolo della risoluzione di uno spettrometro magnetico] Si consideri una particella che attraversa, incidendo perpendicolarmente, una regione di lunghezza x di materiale omogeneo, di cui sono note tutte le sue caratteristiche ed in particolare la lunghezza di radiazione (X0). Nel materiale e' presente un campo magnetico, di intensita' nota B, perpendicolare alla direzione della particella. Alcuni rivelatori, posizionati subito prima e subito dopo il materiale, misurano la direzione della traiettoria della particella con una precisine Δθmis (nel piano perpendicolare al campo magnetico). Ipotizzando che la deflessione angolare dovuta sia al campo magnetico che al multiplo scattering sia piccola, calcolare l'errore sull'impulso (la sola componente perpendicolare al campo). Effettuare la valutazione numerica nel caso particolare : materiale 1m di aria, B=1T, Δθmis = 1mrad; per pioni di impuso di 1 GeV/c e 100 GeV/c.

4.b.28. Dimostrare che un elettrone (moto non relativistico) soggetto ad una forza elastica di richiamo, ad una forza di attrito viscoso ed alla forza di reazione radiativa, nel campo di un’onda e.m. piana polarizzata linearmente oscilla con la legge !x = e

!E0me

1ω02 −ω 2 − iωΓtot

e−iωt con Γtot = Γ'+Γω 2

ω02 .

4.b.29. Dimostrare che la sezione d’urto differenziale elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legato elasticamente vale dσ el

dΩ= re

2 ω 4

ω02 −ω 2( )

2+ω 2Γ

tot

2sin2α con α angolo fra la direzione di osservazione e

direzione di polarizzazione (lineare) dell'onda, oppure dσ el

dΩ= re

2 ω 4

ω02 −ω 2( )

2+ω 2Γ

tot

2

1+ cos2ϑ2 con θ angolo (di scattering) fra la direzione di

osservazione e direzione dell'onda incidente. 4.b.30. Dimostrare che la sezione d’urto Thomson vale σ Th =

83πre

2 = 0.66barn .

4.b.31. Dimostrare che la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica

su un elettrone legato elasticamente vale σ el =σ Thω 4

ω02 −ω 2( )

2+ω 2Γ

tot

2 .

4.b.32. Dimostrare che la sezione d’urto elastica per un’onda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legato elasticamente in prossimita’ della risonanza si puo’ approssimare con una curva lorentziana σ el ≈σ th

ω02 / 4

ω0 −ω( )2+Γ'+Γ( )2

4

.

4.b.33. Esprimere la sezione d'urto Rayleigh in funzione della sezione d'urto differenziale Thomson e del fattore di forma atomico F(θ).

16

4.c.1. A partire dall’espressione dIωdΩ

=q2

4π 2c

n̂∧ n̂−!β( )∧!"β⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1− n̂ ⋅!β( )

2 eiω t '−

!r '⋅n̂c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟dt '∫

2

, dimostrare la

formula della radiazione Cherenkov: d 2Nγ

dEγdx= z2 α!csin2ϑC .

4.c.2. Un muone incide perpendicolarmente su un materiale di spessore x. Alcuni rivelatori, posizionati subito prima e subito dopo il materiale, misurano la variazione di direzione θmis (nello spazio) della traiettoria della particella con una precisione Δθmis. Ipotizzando che la deflessione angolare dovuta al multiplo scattering sia piccola, fornire la migliore stima dell'impulso della particella e determinare l'errore di misura. Si puo' migliorare la precisione sull'impulso suddividendo il materiale e misurando la direzione dopo ogni frazionamento?