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Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 1
1
O Potencial Elétrico:
Energia Potencial
Suponha que desejamos deslocar uma carga elétrica Q
de uma distância dL em um campo elétrico E. A força em Q
devido a este campo elétrico é:
EQFE
onde o índice nos lembra que a força é devida ao
campo. A componente desta força na direção dL que
desejamos vencer é:
LLEL aEQaFF ˆˆ
Aqui, o vetor La é um vetor unitário na direção de dL.
A força que deve ser aplicada é igual e contrária à força
originada pelo campo:
Lapl aEQF ˆ
O gasto de energia é o produto da força pela distância.
Assim, o trabalho realizado por um agente externo
deslocando a carga Q na região de um campo elétrico E será
dado por:
LdEQdLaEQdW L
ˆ
fin a l
in icia l
LdEQW
Observe os exemplos ilustrativos (Sears&Zemansky). Figura 1 – Uma carga de teste q0 que se move do ponto a até o
ponto b sofre ação de uma força de módulo q0E. O trabalho realizado pela força é dado por Wab e não depende da trajetória da partícula.
Figura 2 –(a) Quando uma carga positiva se move na mesma
direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza
trabalho positivo e a energia potencial diminui. (b) Quando uma carga positiva se move no sentido contrário ao
de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho negativo e a energia
potencial aumenta.
Figura 3 –(a) Quando uma carga negativa se move na
mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho negativo e a energia potencial aumenta.
(b) Quando uma carga negativa se move no sentido
contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho positivo e a energia potencial diminui.
Figura 4 - A carga q0 se move radialmente. A medida que
se desloca de a até b sua distância varia de ra até rb.
Figura 5 – O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga q0 depende somente das distâncias ra e rb.
Definimos o potencial elétrico V como sendo a
energia potencial U por unidade de carga elétrica q :
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 2
2
V Uq
0
A diferença de potencial entre dois pontos em um
campo elétrico (ddp) é igual a diferença de energia
potencial entre esses pontos por unidade de carga: Ou seja,
o trabalho por unidade de carga realizado por um agente
externo para deslocar uma carga de um ponto a outro em
um campo elétrico.
QW
Q
W
Q
W
ififVVV
fina l
in icia l
LdEV
Coordenadas dL dr
(Elemento diferencial de
deslocamento)
Cartesianas ˆ ˆ ˆx y zdr dxa dya dza
Cilíndricas ˆ ˆ ˆzdr d a d a dza
Esféricas ˆ ˆ ˆrdr dra rd a rsen d a
Se imaginarmos que trazemos uma carga que do
infinito até um ponto P (O ponto f é o infinito e o ponto i
corresponde a P) e definindo como zero o potencial no
infinito, teremos:
VW
qP
Aqui, W P é o trabalho feito pelo campo elétrico
sobre a carga teste, quando a carga teste se movimenta do
infinito até o ponto P. Vemos que o potencial V em um
ponto numa região onde há campo elétrico de uma carga
positiva é positivo. Para ver isso, imagine que uma carga
teste positiva vem do infinito até um ponto próximo de uma
carga positiva isolada. A força eletrostática atuando na
carga elétrica possui sentido contrário em relação ao
deslocamento da carga positiva. Então, o trabalho que
devemos fazer sobre a carga teste é positivo, e o trabalho
feito pelo campo elétrico na carga é negativo. Com o sinal
menos na equação, teremos um resultado positivo.
Similarmente o potencial em um ponto próximo de uma
carga elétrica negativa é negativo.
A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V),
em homenagem a Alessandro Volta, cientista italiano que
inventou a primeira pilha elétrica.
1 11
V JC
(Joule/ Coulomb)
Observamos que:
11
111
1N
CNC
JN m
Vm
V C
J ( )(
.)( )
.
Uma energia muito utilizada nas escalas atômicas é
o elétron-volt (eV), que definimos como o trabalho
requerido para movimentar uma carga elétrica elementar e,
podendo ser um próton ou elétron, através de uma diferença
de potencial de 1 volt.
1 1 1 6 10 1 1 6 1019 19eV e V C J C J .( ) ( , . )( / ) , .
Potencial elétrico para distribuições de carga:
Sendo:
r
: vetor que localiza o ponto P que desejamos calcular
o potencial.
r
: vetor que localiza um ponto da região
correspondente à distribuição de carga.
Densidade linear de carga L:
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
Densidade superficial de carga s:
S
S
rr
SdrrV
04
)()(
Densidade volumétrica de carga v:
V
v
rr
VdrrV
04
)()(
Superfícies Equipotenciais
Um conjunto de pontos no espaço todos a um
mesmo potencial é chamado de superfície
equipotencial. Uma família de superfícies
equipotenciais, cada superfície correspondendo a um
valor de potencial diferente, pode ser usada para
representar o campo elétrico de uma determinada
região. As superfícies equipotenciais para uma carga
elétrica puntiforme são famílias de esferas
concêntricas.
Figura 6 – Superfícies equipotenciais planas (a), esféricas
(b) e superfícies num dipolo elétrico (c).
Podemos calcular o potencial elétrico a partir
do campo elétrico da seguinte maneira:
f
i
if LdEVV
.
O potencial de uma carga puntiforme pode ser
calculado mediante a equação dada:
V dr VkQ
r
kQ
r 2
Para um sistema de cargas puntiformes
q1,q2,...,qn, o potencial elétrico em um ponto P será a
soma do potencial elétrico devido às diversas cargas em
P; se r1, r2, ... , rn, for a distância da carga qi ao ponto
P, então o potencial em P será dado por:
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 3
3
V V V V VnkQ
r
kQ
r
kQ
rP P
n
nP
1 21
1
2
2
... ...
O potencial de uma distribuição contínua de carga
é dado por:
V dVdq
r 1
4 0
A integral nessa expressão é tomada sobre toda a
distribuição de carga.
Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de r
estão fixas em suas posições. Encontre a energia potencial
elétrica da configuração.
U q V qkq
r
kq q
r 1 2 1
2 1 2
Figura 7 – A energia potencial associada à carga de teste q0 no
ponto a depende das cargas q1, q2 e q3 bem como suas distâncias r1, r2 e r3.
Pode-se mostrar que para um sistema de cargas
puntiformes q1, q2, ...qN a energia potencial será dada por:
15141312121 VVVVQWE
25242321221 VVVVQ
35343231321 VVVVQ
45434241421 VVVVQ
54535251521 VVVVQ
A energia armazenada no campo eletrostático é
calculada por:
dVEWV
E 20
2
Condutor Isolado: Uma vez o equilíbrio de cargas é estabelecido, e
um excesso de cargas é colocado em um condutor isolado,
esta se distribuirá ao longo de sua superfície. Isto sempre
ocorrerá quando o condutor tiver uma cavidade interna
vazia.
Superfícies eqüipotenciais e Campo
elétrico:
Figura 8 – Superfícies equipotenciais. O campo elétrico é
normal às superfícies.
O vetor campo elétrico sempre é perpendicular
às superfícies eqüipotenciais e apontam da maior para
os menores valores de potencial elétrico. Figura 9 – Caminho descrito por uma carga.
A figura anterior ilustra a trajetória descrita
por uma carga elétrica positiva deslocando-se entre
linhas de força. Observe que ela caminha da região de
maior potencial para a de menor potencial elétrico.
Figura 10 – Em (a) temos uma carga puntiforme positiva
e em (b) uma carga puntiforme negativa. Em ambos os casos, movendo-se no sentido de E, o potencial elétrico V diminui e
movendo-se no sentido oposto de E o potencial elétrico V aumenta.
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 4
4
Linhas elétricas de força: As linhas elétricas de força indicam a direção na
qual uma carga positive de teste se moveria na presença
de um campo elétrico. O diagrama acima mostra as
linhas de força para duas cargas positivas que se repelem.
Uma carga teste positiva seria repelida de ambas as
cargas O diagrama a direita mostra a linha de força de
duas cargas que se atraem. Uma carga teste positiva seria
atraída para a carga negativa.
Potencial Elétrico de um Dipolo Elétrico:
Quando temos duas cargas de mesma magnitude porém
sinais opostos, há um dipolo elétrico, com as cargas +Q e –
Q localizadas em (0,0,+d/2) e (0,0,-d/2), respectivamente.
Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.
Gradiente do potencial
Podemos obter o potencial de duas maneiras: uma
diretamente a partir da intensidade do campo elétrico,
fazendo a integral de linha, e outra através da distribuição
de cargas em si, fazendo a integral apropriada, conforme a
distribuição de cargas. Porém, nem sempre é conhecida a
intensidade do campo elétrico ou a distribuição de carga.
Informações sobre as superfícies equipotenciais são muito
úteis.
Da relação conhecida: LdEV
Podemos imaginar um elemento pequeno ΔL ao
longo do qual E é essencialmente constante, dando a uma
diferença de potencial:
LdEV
cosLdEV
Considerando a situação limite, teremos:
cosEdL
dV
O valor máximo dessa expressão pode ser
dada por:
EdL
dV
max
Obtemos as características de E e V em
qualquer ponto:
A magnitude da intensidade do campo elétrico
é dada pelo máximo valor da taxa de variação do
potencial com a distância.
O máximo valor é obtido quando a direção
do comprimento incremental é oposta a E ou, em
outras palavras, a direção de E é oposta à direção à
qual o potencial está aumentando mais rapidamente.
Assim:
NadL
dVE ˆ
max
Onde Na é um vetor unitário normal à
superfície equipotencial e apontando na direção
dos maiores potenciais.
Como
maxdL
dVocorre quando ΔL na direção
de Na , dN
dV
dL
dV
max
e:
NadN
dVE ˆ
Mas, podemos encontrar a derivada direcional
de V:
Nzyx aaz
Va
y
Va
x
V
dN
dVˆˆˆˆ
NaVdN
dVˆ
Comparando, chega-se a: VE
Ou seja, podemos obter o campo elétrico
fazendo menos o gradiente do potencial V.
O gradiente é obtido:
Em coordenadas cartesianas:
zyx az
Va
y
Va
x
VV ˆˆˆ
Em coordenadas cilíndricas:
zaz
Va
Va
VV ˆˆ
1ˆ
Em coordenadas esféricas:
aV
rsena
V
ra
r
VV r
ˆ1
ˆ1
ˆ
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 5
5
Considere agora o dipolo elétrico:
Er
dr ˆra dl
E
P
rd E
1R
r
2R
O Potencial em P devido às cargas +Q e –Q é dado
por:
0 1 0 2
1 1
4 4
Q QV
R R
2 1
0 2 14
R RQV
R R
Observe da figura que podemos aproximar:
2 1 cosR R d
2
2 1R R r
2
0
cos
4
QdV
r
2
0
cos
4
pV
r
2
0
ˆ
4
rp aV
r
Como: ˆr
r ra
r r
Sendo os vetores:
r
: localiza o ponto P.
r
: localiza o centro do dipolo.
dQp
: momento de dipolo.
O potencial elétrico num ponto P localizado pelo vetor r
é dado por (Observe da figura):
rr
rrp
rrV
2
04
1
Campo elétrico de um dipolo elétrico:
1 1ˆ ˆ ˆ
r
V V VE V a a a
r r rsen
2
0
cos
4
QdV
r
2 2 2
0 0 0
cos 1 cos 1 cosˆ ˆ ˆ
4 4 4r
Qd Qd QdE a a a
r r r r rsen r
2 2
0 0
cos 1 1ˆ ˆ ˆcos 0
4 4r
Qd QdE a a a
r r r r
2 2
0 0
cos 1 1ˆ ˆcos
4 4r
Qd QdE a a
r r r r
3 3
0 0
cos 2ˆ ˆ
4 4r
Qd QdE a sen a
r r
3
0
ˆ ˆ2cos4
r
QdE a sen a
r
Para visualizar as superfícies equipotenciais
do dipolo, podemos fazer:
r
E rd
E dr
Por outro lado, como:
3 3
0 0
2 cos;
4 4r
Qd QdsenE E
r r
3
0
3
0
4
2 cos
4r
Qdsen
E r dr
QdE dr
r
2cos
sen dr
dr
cos2
drd
r sen
2dr
cotg dr
2dr
cotg dr
ln 2lnr sen C
2ln lnr sen C 2r Asen
Esta equação determina a família de linhas de
força para um dipolo elétrico.
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 6
6
Representação da superfície 2r sen e campo vetorial
representando o campo elétrico:
Aplicação: trajetória do elétron em um tubo de
raios catódicos.
Exemplo 1 – (a) Um elétron deve ser acelerado de
3,0.106 m/s até 8,0.10
6 m/s. Para atingir esta velocidade,
através de qual ddp ele deve passar?
(b) Através de qual ddp ele deve passar para que
ele seja freado de 8,0.106 m/s até ficar momentaneamente
em repouso?
(c) Encontre a relação entre y e x.
Figura 10 – (a) Representação de um tubo de raios catódicos.
(b) Estudo da trajetória do elétron.
(a) (b)
(c)
y0
(a)
)(2
1)(
2
1 2222
ivif vvq
mVvvmVq
VsmxsmxCx
kgxV 157/1000.3/1000.8
106.1
1011.9
2
1 2626
19
31
(b)
VsmxsmCx
kgxV 182/1000.8/0
106.1
1011.9
2
1 262
19
31
(c)
Desprezando o peso:
2
2
1t
mE
qy
tvx x
Isolando o tempo:
2
202
1
x
x
v
x
m
qEy
tvx
2
202
1
2 x
x
v
L
m
qEdy
tvL
Lmd
qEv
mv
qELd x
x
2
2
Tempo que o elétron permanece entre as
placas:
tvLx x
xv
Lt
Componente da velocidade vy com que o
elétron sai da região entre as placas:
x
yymv
qELvt
m
qEv
m
qEdv
Lmd
qEm
qELv yy
Módulo da velocidade:
22
222222
x
xyxvm
LEqvvvv
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 7
7
Ao sair da região entre as placas, o elétron
possui as componentes das velocidades constantes (MU), se
desprezarmos a gravidade:
Então, chamando de Δt o tempo que levará para
o elétron percorrer do ponto que sai da região entre as
placas até atingir a tela:
tvD
tvyy
x
y0
Dv
vyy
x
y 0
D
Lmd
qE
m
qEd
yy 0
DL
dyy 0
Exemplo 2 – Encontre o potencial de um condutor
esférico oco de raio R nos pontos em seu interior e
exterior.
Figura 11 – (a) Representação do campo e do
potencial em um condutor esférico oco.
r
ldEVrV
Pela lei de Gauss, o campo é dado por:
0
qSdE
S
Rr
Rrr
aq
rEr
se 0
se ˆ
4 2
0
O elemento de deslocamento em coordenadas
esféricas é dado por:
adrsenardadrld rˆˆˆ
r
drr
qVrV
2
04
Fazendo V = 0
r
r
qrV
1
40
0
r
qrV
04
Exemplo 3 – Encontre a diferença de potencial
entre duas placas carregadas com densidades de
carga superficiais +s e -s.
Observando a disposição da figura, o campo
elétrico na região entre as placas é dado por:
)ˆ(2
)ˆ(2 00
ys
ys aaE
ys aE ˆ0
b
a
ab ldEVV
zyx adzadyadxld ˆˆˆ
b
a
sab dyVV
0
abVV sab
0
Exemplo 4 – Encontre o potencial de uma
distribuição linear de carga L, sabendo que:
O potencial é dado por:
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 8
8
z P(x,y,z)
L/2
r
r’
y
x
-L/2
Temos:
zazr ˆ
zyx azayaxr ˆˆˆ
222 zzyxrr
L
L
zzyx
zdrrV
222
04
)()(
2
2
222
04)(
L
L zzyx
zdrV L
2
2
22204
)(
L
L zzyx
zdrV L
2
2
222
0
ln4
)(
L
L
z
z
L zzyxzzrV
2
2
22
2
2
2
22
2
0
ln4
)(LL
LL
L
zyxz
zyxzrV
Exemplo 5 – Encontre o potencial de uma
distribuição de carga s sobre um disco de raio R:
Agora o potencial será dado por:
S
S
rr
SdrrV
04
)()(
Usando coordenadas cilíndricas:
z P(x, y, z)
s y
r’ x
ar ˆ
zazar ˆˆ
22zrr
S
S
z
ddrV
22
04)(
2
0 022
04)(
R
S
z
ddrV
22
0
ln4
2)(
zrV S
R
z
0
22
22
22
0
ln2
)(
z
RzRrV S
2222
02
zRzS
Veja que para um ponto sobre o eixo z:
= 0
Então:
)(rV zRzS 22
02
Se tomarmos o gradiente do potencial e
multiplicarmos por -1, teremos o campo elétrico:
zaz
VVE ˆ
Logo:
z
S
az
zRz
E ˆ2
22
0
zS a
Rz
zE ˆ1
2 220
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 9
9
zS a
Rz
zE ˆ1
2 220
Compare com a expressão do campo de
um disco carregado uniformemente deduzida na pág. 24.
É a mesma...!!!
Exemplo 6 – Encontre o potencial de uma
distribuição de carga L sobre um anel de carga Q
circular de raio a
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
aar ˆ
z P(x, y, z)
s y
r’ x
zazar ˆˆ
22zarr
adLd
L
L
za
adrrV
22
04
)()(
2
022
04)( d
za
arV L
22
02)(
za
arV L
Ou:
22
04)(
za
QrV
Sobre o eixo Oz: =0.
22
02)(
za
azV L
22
04)(
az
QzV
Exemplo 7– Encontre a diferença de potencial
entre dois pontos devido a um fio infinito com densidade
de carga L.
Campo devido a um fio infinito:
aE L ˆ
2 0
Potencial:
f
i
if LdEVV
.
Adotando potencial zero no infinito e
lembrando que em coordenadas cilíndricas:
zadzadadld ˆˆˆ
00
02
dVV L
00
0 ln2
LVV
Exemplo 8– Encontre o potencial devido a um
fio carregado com carga Q de comprimento 2L com
densidade de carga uniforme L.
Podemos calcular o potencial diretamente por:
L
L
rr
LdrrV
04
)()(
zyx azayaxr ˆˆˆ
Colocando sobre o fio sobre o eixo z:
zazr ˆ
L
L
zzyx
zdrV
22204
)(
L
L
L
zzyx
zdrV
22204
)(
Lz
Lz
L zzzzyxrV222
0
ln4
)(
LzLzyx
LzLzyxV L
222
222
0 )(
)(ln
4
Ou:
)()(
)()(ln
42 222
222
0 LzLzyx
LzLzyx
L
QV
Exemplo 9– Encontre o potencial devido a
uma distribuição uniforme de carga v cilíndrica de
raio R infinita.
Relação entre a densidade de carga:
dV
dQ
LR
Qv
2
Campo da distribuição de carga será dado pela
lei de Gauss:
0
QSdE
s
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 10
10
R
L
RLR
SdEv
v
s
se
se
0
20
2
RL
RLR
LEv
v
se
se
2
0
20
2
R
RR
Ev
v
se 2
se 2
0
0
2
Ra
RaR
Ev
v
se ˆ2
se ˆ2
0
0
2
Sendo
zadzadadld ˆˆˆ
Sejam ,0 < R:
00
02
dVV v
2
0
2
0
04
vVV
22
0
0
04
vVV
Sejam ,0 > R:
00
2
02
dR
VV v
0
1
2 0
2
0 dR
VV v
00
2
0 ln2
RVV v
Exemplo 10 - Encontre o potencial devido a uma
distribuição uniforme de carga v esférica de raio R.
Relação entre a densidade de carga:
dV
dQ
R
Qv
3
34
Campo da distribuição de carga será dado pela lei
de Gauss:
0
QSdE
s
R
r
RrR
SdEv
v
s
se
3
4
se 3
4
0
30
3
Rrr
RrR
rEv
v
se 3
4
se 3
4
4
0
30
3
2
Rrr
Rrr
R
Ev
v
se 3
se 3
0
2
0
3
Rrar
Rrr
aR
Erv
rv
se 3
ˆ
se 3
ˆ
0
2
0
3
Sendo
adrsenardadrld rˆˆˆ
Sejam r,r0 < R:
r
r
v rdrrVrV
00
03
22
0
0
06
rrrVrV v
Sejam r,r0 > R:
r
r
v drr
RrVrV
0
2
0
3
03
rr
rr
v
r
RrVrV
00
3
03
00
3
0
11
3 rr
RrVrV v
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 11
11
Exemplos – Tipler
Exemplo 24.1 – Um campo elétrico aponta na
direção do eixo x e tem magnitude de 10 N/C = 10 V/m.
Encontre o potencial em função de x, assumindo
que V = 0 em x = 0.
Solução:
dV E dl
ˆˆ ˆ ˆ10 ( )dV i dxi dyj dzk
10dV dx
010 10V dV dx x V
0 0( ) 10 ( 0) 0V x x V V x V
( ) 10V
V x xm
Exercício: Repita o problema para
ˆ( ) 10 ( )E x xi N C
Solução:
dV E dl
ˆˆ ˆ ˆ10 ( )dV xi dxi dyj dzk
10dV xdx
2
010 5V dV xdx x V
2
0 0( ) 5 ( 0) 0V x x V V x V
2( ) 5V
V x xm
Exemplo 24.2 – (a) Qual o potencial a uma
distância r = 0.529.10-10
m de um próton?
(b) Qual é a energia potencial elétrica do elétron e do
próton nessa separação?
Solução:
(a)
9 19
11
9 10 1.6 10
0.529 10
k q k eV V
r r
27.2V V
(b) 27.2eU q V eV
Exercício: Qual a energia potencial do elétron e do
próton no sistema SI de unidades?
Solução: 1927.2 1.6 10U
184.3510U J
Exemplo 24.3 – No processo de fissão nuclear,
um átomo de U-235 captura um nêutron e divide-se em dois
núcleos mais leves. Algumas vezes, a fissão desses dois
produtos produz um núcleo de bário (de carga 56e) e de
kryptônio (36e). Assuma que os núcleos são cargas
puntiformes separadas por 14.5.10-15
m. Calcule a energia
potencial desse sistema de duas cargas em elétron-volts.
Solução:
1 2
12
k q qU
r
12
56 36k e eU
r
9
15
9 10 56 36
14.6 10
eU e
199U MeV
Exemplo 24.4 – Duas cargas iguais e
positivas estão sobre o eixo x. Encontre o potencial
elétrico (a) no ponto P1 sobre o eixo x em x = 8cm e (b)
no ponto P2 no eixo y em y = 6 cm.
Solução:
(a)
21 2
1 1 2
i
i i
k q k q k qV
r r r
9 9 9 99 10 5 10 9 10 5 10
0.04 0.04V
2250V V
(b)
21 2
1 1 2
i
i i
k q k q k qV
r r r
9 9 9 99 10 5 10 9 10 5 10
0.06 0.1V
1200V V
Exemplo 24.5 – Na figura, a carga pontual
q1 está na origem e uma segunda carga pontual q2 está
sobre o eixo x em x = a. Encontre o potencial em
qualquer ponto sobre o eixo x.
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 12
12
Solução: 2
1 2
1 1 2
i
i i
k q k q k qV
r r r
1 2k q k qV
x x a
1 2
1 2
1 2
se 0
se 0
se
k q k qx
x a x
k q k qV x a
x a x
k q k qx a
x x a
Exemplo 24.6 – Um dipolo elétrico consiste
em uma carga positiva +q sobre o eixo x em x = +a e uma
carga negativa –q sobre o eixo x em x = -a. Encontre o
potencial sobre o eixo x supondo x >> a em termos do
momento de dipolo p = 2qa.
Solução:
k qk qV
x a x a
k q k qV
x a x a
( ) ( )
k q x a k q x aV
x a x a
2 2
2 k q aV
x a
2
k px a V
x
Exemplo 24.7 – Encontre o campo elétrico para
uma função potencial dada por:
100( ) 25( )V V V m x
Solução:
ˆ ˆ25 ( )dV
E i E i N Cdx
Exemplo 24.8 – Um Anael de raio 4 cm
está no plano yz com seu centro na origem. O anel tem
uma carga total de 8nC. Uma pequena partícula de
massa 6mg = 6.10-6
kg e carga q0 = 5nC é colocada em
x = 3cm. Encontre a velocidade da partícula a uma
grande distância do anel.
Solução:
0U q V
02 2
k QU q
x a
67.19 10U J
f f i iU K U K
210 0
2m v U
2 Uv
m
6
6
2 7.19 10
6 10v
1.55m
vs
Exemplo 24.9 – Encontre o potencial
elétrico sobre um ponto de do eixo de um disco de raio
R uniformemente carregado com carga Q.
Solução:
2 2
k dqdV
x a
2dq da dq a da
2 2
2k a dadV
x a
1
22 2
0
( ) 2
R
V k x a a da
2 2 1
1 2
nn u
u du u x a nn
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 13
13
1
2 2 2
0
( )
2
a R
a
x aV k
2 22V k x R x
Exemplo 24.10 – Calcule o campo elétrico:
(a) sobre o eixo de um anel uniformemente carregado.
(b) sobre o eixo de um disco uniformemente carregado.
Solução:
(a) sobre o eixo de um anel uniformemente carregado.
2 2
k qV
x a
1
2 2 2V k q x a
1
12 2 2
12
2x x
dVE E k q x a x
dx
3
2 2 2
x
k q xE
x a
(b) sobre o eixo de um disco uniformemente carregado.
2 22V k x R x
1
2 2 22V k x R x
x
dVE
dx
1
12 2 2
12 2 1
2xE k x R x
1
2 2 22 1xE k x R x
2 22 1x
xE k
x R
2 22 1x
xE k
x R
Exemplo 24.11 – Um plano infinito de
densidade de carga + está sobre o plano yz e uma carga
pontual q está sobre o eixo x em x = a. Encontre o potencial
em um ponto P a uma distância qualquer r da carga, para x
positivo, x > 0.
Solução:
Potencial elétrico devido ao plano carregado:
01
02pV V x
V01: constante;
Potencial elétrico devido à carga puntiforme:
02 02
0
1
4q q
k q qV V V V
r r
Potencial elétrico total:
p qV V V
01 02
0 0
1
2 4
qV V x V
r
( 0) 0 ( )V x V r a
01 02
0 0
1( 0) 0 0
2 4
qV x V V
a
01 02
0
1
4
qV V
a
0 0
1 1
2 4
qV x
r a
Exemplo 24.12 – Um modelo propões o
próton com sua carga distribuída num volume esférico
de raior Re carga Q. O campo elétrico nesse volume é
dado por:
3r
QE k r
R
Encontre o potencial elétrico.
Solução:
3r
dV dV QE k r
dr dr R
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 14
14
2
03 3 2
Q Q rV k rdr V k V
R R
2
03( )
2
Q R k QV r R k V
R R
0 0
3
2 2
k Q k Q k QV V
R R R
2
23
2
k Q rV
R R
Exemplo 24.13 – Um condutor esférico
descarregado, oco, tem o raio interno a e o externo b. Uma
carga puntiforme positiva +q está na cavidade, no centro da
esfera. Determinar o potencial V(r) em qualquer ponto,
admitindo V = 0 em r = .
Solução: No exterior do condutor esférico, o potencial
V(r) é idêntico ao de uma carga puntiforme:
,r
k qV r b
r
Dentro do condutor o potencial é constante.
,r
k qV a r b
b
Dentro da cavidade o potencial coincide com o
de uma carga puntiforme na origem, com uma constante a
determinar:
0,r
k qV V r a
r
Impondo o potencial contínuo em r = a:
0( )k q k q
V r a Va b
0
k q k qV
b a
,r
k q k q k qV r a
r b a
Exemplo 24.14 – O raio de um condutor
esférico é 2 m.
(a) Qual a carga máxima que pode ser colocada
nesse condutor sem que ocorra a ruptura dielétrica do
ar ?
(b) Qual o potencial máximo da esfera?
Solução: (a) Densidade superficial de carga no
condutor e o campo elétrico na face externa do
condutor são dadas por:
0
E
6max maxmax
0 0
3 10V
Em
2
max max4Q R 2
max max 04Q R E
2 6 12
max 4 2 3 10 8.85 10Q 3
max 1.33 10Q C
(b)
maxmax
k QV
R
9 3
max
9 10 1.33 10
2V
6
max 5.98 10V V
Exemplo 24.15 – Dois condutores esféricos
de raios R1 = 6 cm e R2 = 2 cm estão separados por uma
distância muito maior que 6 cm e ligados por um fio
condutor. Em uma das esferas é colocada a carga Q =
+80 nC.
(a) Qual o campo elétrico nas vizinhanças da
superfície de cada esfera?
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 15
15
(b) Qual o potencial elétrico em cada esfera? (Admitir
que a carga no fio condutor seja desprezível.)
Solução: (a) A carga total se distribuirá com q1 na esfera 1 e
q2 na esfera 2, de tal modo que as duas ficam no mesmo
potencial. O potencial de cada uma é:
r
k qV
r
pois as esferas estão muito separadas. O campo
elétrico em cada esfera é dado por:
1 21 22 2
1 2
k q k qE E
R R
Aplicando a conservação da carga:
1 2 80q q Q nC
A igualdade do potencial nas esferas obriga a:
1 2 11 2
1 2 2
k q k q Rq q
R R R
1 2 1 2
63
2q q q q
2 2 2 13 80 20 60q q nC q nC q nC
9 9
11 12 2
1
9 10 60 10150
0.06kNC
k qE E
R
9 9
22 22 2
2
9 10 20 10450
0.02kNC
k qE E
R
(b) 9 9
11 1
1
9 10 60 108.99
0.06
k qV V kV
R
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 16
16
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Corporation. All rights reserved
Leitura suplementar:
Bioeletricidade
A eletricidade animal
Contribuição de Galvani e de Volta.
A geração de eletricidade por certos peixes já era
conhecida quando LUIGI GALVANI descreveu sua célebre
observação sobre a contração da pata de rã. Galvani
ensinava anatomia em Bolonha (Itália) e PUELLES (1956)
conta que, certo dia, quando trabalhava com rãs decapitadas
e penduradas numa haste de cobre e observou que, quando a
pata do animal tocava o ferro de um balcão próximo, os
músculos se contraíam. Conta também uma outra versão.
Nesta, Galvani, em 1760, colocou algumas rãs mortas sobre
um prato metálico e um dos seus assistentes, usando a
máquina eletrostática de Ramsden, aplicou um choque
elétrico sobre uma delas, produzindo contração muscular. O
fenômeno foi prontamente reconhecido por Galvani como
algo especial e a partir daquele momento passou a dedicar-
se ao estudo da eletricidade animal.
Galvani observou que, mesmo sem a aplicação de
choque elétrico, era possível obter a contração dos músculos
das patas posteriores da rã. Para isso, eles eram colocados
em contato com o nervo lombar que, por sua vez, era
estimulado por um par bimetálico (cobre e zinco). Dos seus
experimentos, concluiu: "o músculo e o nervo constituem
uma espécie de condensador de uma própria e peculiar
eletricidade que existe em todos os animais vivos". Galvani
acreditava que "nos músculos se reúne o fluido elétrico, que
logo se difunde pelo corpo mediante a rede de nervos, os
quais são condutores naturais do fluido elétrico e que se
insinuam com suas extremidades dentro dos músculos".
Suas principais observações estão no seu livro De viribus
Electricitatis in motu muscularis (1871).
Na época de Galvani, ALEXANDRO VOLTA
ensinava Física na Universidade de Pavia. Volta, estudando
o fenômeno descrito por Galvani, concluiu que os metais
podiam produzir eletricidade e, em 1800, construiu o
primeiro gerador químico de eletricidade empilhando
alternadamente discos de cobre e zinco. Os metais
foram separados por papel ou camurça embebidos em
solução aquosa acidulada com vinagre. Concluiu
dizendo que os músculos e os nervos são apenas
condutores de eletricidade e que no par bimetálico
usado por Galvani estava a fonte geradora de
eletricidade.
Potencial transmembrana. A descoberta das correntes de injúria foi
fundamental para que se soubesse que a membrana
superficial das células vivas se encontra submetida a
uma diferença de potencial, que é chamada de
potencial transmembrana ou potencial de
membrana. As células não-excitáveis, tais como as epiteliais do
homem, apresentam um potencial de membrana
constante, cujo valor está em torno de -20mV. Nos
nervos e nos músculos, contudo, esses potenciais
chegam a -90mV. Quando a célula está quiescente, o
seu potencial de membrana apresenta valor constante e
é chamado de Upotencial de repouso U.
Não satisfeito, Galvani redarguiu relatando os
resultados de novos experimentos nos quais conseguiu
obter a contração dos músculos da pata de uma rã
quando eles eram postos em contato com o nervo
ciático de uma outra rã. Nesses experimentos não usou
o par bimetálico para estimular. Com isso, mostrou que
os elementos geradores de tensão e de corrente elétrica
estavam situados no animal.
A contenda científica entre Galvani e Volta
somente pôde ser resolvida com o desenvolvimento da
ciência. Hoje se sabe que ambos estavam certos. De
fato, as estruturas nervosas são capazes de iniciar e de
propagar estímulos elétricos e estes participam
decisivamente na promoção da resposta contrátil
muscular. Por outro lado, lâminas bimetálicas podem
produzir uma diferença de potencial elétrico suficiente
para estimular o aparecimento do impulso elétrico nos
nervos.
Registro do fenômeno elétrico no coração. Depois que Galvani chamou a atenção para a
eletricidade animal, não tardou muito para que
WALLER (1887, 1899) descobrisse que os batimentos
cardíacos ocorriam concomitantemente com o
aparecimento de correntes elétricas e que elas podiam
ser detectadas na superfície do corpo. EINTHOVEN
(1913), tendo inventado o galvanômetro de mola,
registrou pela primeira vez essas correntes, obtendo os
primeiros eletrocardiogramas e abrindo para a ciência
uma importante vertente de investigação.
A detecção dos fenômenos elétricos nos nervos
precedeu os trabalhos de EINTHOVEN.
Em 1850, HELMHOLTZ conseguiu medir a
velocidade de propagação da onda de excitação no
nervo gastrocnêmico da rã e, pouco depois,
BERNSTEIN (1868) obteve o registro da evolução
temporal do potencial de injúria do nervo lesado.
POTENCIAL DE REPOUSO Em seres humanos e animais, cerca de U20% da
taxa metabólica basal U é usada para manter o
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 17
17
Ufuncionamento elétrico das células U, usadas para controlar:
UO fluxo de íons U que se encontram em grandes
quantidades do lado externo e interno da célula e no meio
extracelular.
UOs efeitos devido às diferentes concentrações de
íons presentes no interior das células e no meio
extracelular U.
Entre o líquido no interior de uma célula e o fluido
extracelular há uma diferença de potencial elétrico
denominada potencial de membrana.
O potencial de uma membrana celular é a diferença
de potencial entre as superfícies externa e interna da
membrana celular quando elas estão eletricamente
carregadas.
Lembrando que as membranas celulares são estruturas
complexas constituída por uma bicamada de fosfolipídios
onde estão imersas moléculas de proteínas, como
esquematizado na Figura 2.7. Os fosfolipídios ocupam 70%
do volume e mais de 90% da superfície da membrana. O
empacotamento dessas moléculas impede a passagem de
íons e água através da membrana; porém como há
Uproteínas transmembranais U que formam UcanaisU através da
bicamada, como descrevemos anteriormente, é possível a
troca dos íons do meio intra para o meio extracelular e vice-
versa.
As propriedades elétricas da membrana celular são
derivadas da ionização de suas superfícies externa e
interna e principalmente de sua capacidade de deixar
passar seletivamente apenas alguns tipos de íons. Nas
células excitáveis, a membrana celular tem permeabilidade
seletiva. As membranas biológicas geralmente são:
UPermeáveis a pequenos íons inorgânicos e
monovalentes U.
UPouco permeáveis a íons multivalentes U.
UImpermeáveis a íons inorgânicos complexos (fosfatos
orgânicos) e proteínas U.
Os meios extra e intra celular apresentam geralmente
Ucaracterística salina U. As moléculas suspensas nesses meios
encontram-se ionizadas, movendo-se livremente. Por outro
lado, tanto Udentro como fora da célula U, a Uconcentração de
ânions é muito próxima da concentração de cátions U.
Quando Unão há influências externas U sobre a célula, o
potencial de uma membrana celular é denominado de
Potencial de Repouso VB0B.
As membranas apresentam alta resistência elétrica
decorrente da extensa superfície líquida, o que implica num
potencial elétrico elevado (da ordem de 100 mV) entre o
interior e o exterior da célula.
Esse potencial pode ser medido ligando-se, por meio de
microeletrodos, os pólos de um medidor de voltagem ao
interior de uma célula (ponto A), e ao líquido extracelular
(ponto B), como mostra a Figura 1. Esses eletrodos são, em
geral, capilares de vidro, com uma ponta com menos de 1
m de diâmetro, contendo uma solução condutora de KCI.
Essa solução está em contato com o medidor de voltagem
por meio de um fio metálico. A Figura mostra o resultado
de uma experiência típica para medir a diferença de
potencial elétrico entre as partes externa e interna de uma
célula.
Para isso colocam-se, inicialmente, os eletrodos A e B
no líquido extracelular. A seguir o eletrodo A é colocado no
interior da célula. O deslocamento do eletrodo A é indicado
na Figura 12 pela variação de x, coordenada na direção
perpendicular à membrana de espessura d. Quando as
pontas dos dois eletrodos estão no meio externo, a
diferença de potencial medida W é nula, indicando que
o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto
desse meio. O mesmo aconteceria se os dois eletrodos
pudessem ser colocados no interior da célula, pois
ambos os meios são condutores. O potencial elétrico do
fluido extracelular, por convenção, é considerado nulo
e V é o potencial no interior da membrana. Assim, a
diferença de potencial V entre os dois meios é:
V = V - 0 = V
Quando a ponta do eletrodo A penetra na
célula, o potencial elétrico V diminui bruscamente para
aproximadamente:
-70 mV(-70.10 P
-3PV) como indica a Figura 12.
Na maioria das células, o potencial de membrana V
permanece inalterado, desde que não haja influências
externas. Quando a célula se encontra nessa condição,
dá-se ao potencial de membrana V, a designação de
potencial de repouso representado por VB0B. Numa célula
nervosa ou muscular o potencial de repouso é sempre
negativo, apresentando um valor constante e
característico. Nas Ufibras nervosas U e UmuscularesU dos
animais de sangue quente, os potenciais de repouso se
situam entre -55 mV e -100 mV. Nas fibras dos
Umúsculos lisosU, os potenciais de repouso estão
aproximadamente entre -30 mV e -55 mV.
Figura 1 – Medida do potencial de repouso de
uma célula.
Medidor
De Voltagem
Meio externo
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO III – Potencial Elétrico 18
18
Trabalho: VqW
dLaEQdW Lˆ
Energia cinética
)(2
1 22
ifc vvmE
Lei de Coulomb
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
2
212
0 1085,8mN
C
Campo elétrico
3
04)(
rr
rrQrE
v
v
rr
rr
rr
vdrrE
2
04
)()(
Carga elétrica
dvQV
v
Dv
Teorema da Divergência (Teorema Gauss):
dVFSdFVS
Lei de Gauss
i
S
QSdD
0i
S
QSdE
Teorema da Stokes
CS
ldHSdH
Potencial elétrico
A
B
BAAB LdEVVV
Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV - Potencial elétrico 14
14
Sistemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas
Relações
P(x, y, z)
P(, , z)
22 yx
x
yarctg
z=z
P(r, , )
222 zyxr
x
yarctg
z
yxarctg
22
Vetor
posição zyx azayaxr ˆˆˆ
zazar ˆˆ
rarr ˆ
Incremento
rdLd
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ
zadzadadrd ˆˆˆ
adrsenardadrrd rˆˆˆ
Versores
}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa
zz
yx
yx
aa
asenaa
senaaa
ˆˆ
cosˆˆˆ
ˆcosˆˆ
zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ
zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ
yx aasena ˆcosˆˆ
Elemento de
Volume dxdydzdv dzdddv ddrdsenrdv 2
Divergente
D
z
D
y
D
x
D zyx
z
DDD z
11
D
rsensenD
rsenDr
rrr
111 2
2
Gradiente
V
zyx az
Va
y
Va
x
VV ˆˆˆ
zaz
Va
Va
VV ˆˆ
1ˆ
aV
rsena
V
ra
r
VV r
ˆ1
ˆ1
ˆ
Rotacional
H
z
xy
yxx
x
yz ay
H
x
Ha
z
H
z
Ha
z
H
y
Hˆˆˆ
z
zz aHH
aH
z
Ha
z
HHˆ
1ˆˆ
1
a
H
r
rH
ra
r
rHH
senra
HsenH
rsen
rrr
ˆ1
ˆ11
ˆ1
Laplaciano
V2 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
2
2
2
2
2
11
z
VVV
2
2
222
2
2
111
V
senr
Vsen
senrr
Vr
rr
