Física Moderna

IntroduçãoBaseado no curso de Kleber C. Mundim

1- A Luz e a Teoria Quântica (O corpo negro)

• Um dos fenômenos mais intrigantes estudados no final do século XIX era o da distribuição espectral da radiação do corpo negro. Um corpo negro é um sistema ideal que absorve toda a radiação que nele incide. Na prática ele pode ser materializado por uma cavidade com uma abertura muita pequena, como por exemplo, os fornos de uma industria siderúrgica. As características da radiação desta cavidade dependem somente da temperatura das paredes do radiador.

• Nas temperaturas ordinárias (abaixo de 600oC), a radiação térmica emitida por um corpo negro não é visível, pois a energia está concentrada na região do infravermelho do espectro eletromagnético. Quando o corpo negro é aquecido a quantidade de energia irradiada aumenta com a quarta potência da temperatura e a concentração de energia se desloca para os comprimentos de ondas menores. No gráfico abaixo as concentrações são representadas pelos máximos das curvas e a quantidade de energia irradiada é dada pela área sobre cada uma das curvas abaixo.

• Fig. 1 - Radiância espectral de um radiador de cavidades ou corpo negro

1.1 - Lei de Stefan-Boltzmann

• Com a realização de experimentos com o corpo negro constatou-se que a radiância da cavidade (u) varia com a quarta potência da temperatura do radiador e que a radiação é tanto maior quanto mais quente for o corpo. Esta relação ficou conhecida como lei de Stefan-Boltzmann, isto é, a energia total que emerge do orifício da cavidade é dada pela integral da curva experimental, mostrada na Fig.1,

• onde s é constante de Boltzmann, T é a temperatura, n é a freqüência e un é a densidade de energia espectral. De acordo com o cálculo integral a equação (1) fornece a área sobre a curva un. Uma das preocupações da época era de encontrar uma modelo teórico que explicasse os resultados experimentais obtidos para o corpo negro e conseqüentemente encontrar a função un em termos do comprimento de onda e da temperatura. Stefan foi um dois primeiros pesquisadores a propor uma solução para este caso, assumindo que a função un deveria variar com o cubo da freqüência, como na expressão a seguir,

• Com isto, Stefan postulava que a densidade de energia fosse função da freqüência (n ) da radiação emitida. Fazendo algumas mudanças de variáveis nas duas equações acima, pode-se facilmente verificar que a equação (2) satisfaz a lei de Stefan-Boltzmann (eq.1).

1.2 - Lei de Wien

• Avançando um passo na direção da proposta de Stefan, W. Wien encontrou a lei do deslocamento (1893) que tem o seu nome e que enuncia que a distribuição espectral da densidade de energia é dada por uma equação da forma

• Deve-se notar, que a lei de Wien inclui a lei de Stefan já que ela depende da freqüência ao cubo. A razão da denominação lei do deslocamento é que verificou-se experimentalmente que a intensidade da radiação emitida por um corpo incandescente, mantido a determinada temperatura, se representa graficamente, em função do comprimento de onda, por uma curva da forma indicada na Fig.1.

• Se fizermos variar a temperatura do corpo radiante, o gráfico da intensidade também varia; em particular, a posição do máximo é desviada. Verificou-se desta maneira, pelas medições realizadas, que o produto da temperatura pelo comprimento de onda é constante, para o correspondente máximo de intensidade; ou

• l máximoT = constante

1.3 - Lei de Rayleigh-Jeans

• No entanto, era evidente por considerações do domínio da termodinâmica que a forma da lei dada pela função F, deve ser independente do mecanismo especial usado no modelo. Como exemplo mais simples de um corpo radiante é o oscilador harmônico linear de freqüência própria n.

• Para este oscilador podemos determinar a energia radiada por segundo; sendo esta radiação equivalente a aquela emitida por um dipolo oscilante a qual é dada pela seguinte relação matemática.

• onde é a energia média dos osciladores. Pela lei da eqüipartição na física estatística, a energia média dos osciladores pode ser expressa por

• Neste usa-se a integral para calcular o valor médio das energias dos osciladores, pois supões que eles emitem energia no espectro contínuo. Usando algumas relações matemáticas, podemos calcular o valor da energia média..... e conseqüentemente

• Substituindo o valor da energia média na equação para un obtém-se

• a qual é denominada de lei de Rayleigh-Jeans. A lei de Wien concorda com o experimento na região de baixo comprimento de onda e a de Rayleigh-Jeans na região grande comprimento de onda. Podemos dizer que elas quase se completam. Veja Fig.2.

1.4 - Lei de Planck

• Para resolver este problema e completar a teoria, Planck postulou que a energia emitida por cada oscilador harmônico se desse em pacotes (quantum). Com isto ele que dizer que a energia de cada pacote era igual a um número inteiro de um dado valor mínimo de energia, isto é e = neo, sendo um número inteiro, n=1,2,3....

• Matematicamente isto significa substituir a soma contínua na equação de Rayleigh-Jeans por uma soma discreta, como mostramos a seguir

• Conseqüentemente temos que

• Substituindo este resultado na equação da lei de Rayleigh-Jeans obtemos a expressão de Planck para a radiação emitida no corpo negro,

1 - O Efeito Fotoelétrico

• Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a audaciosa hipótese da quantização da energia ser uma propriedade fundamental da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da física- a discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da equipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em temperaturas baixas.

• Depois, as idéias da quantização da energia foram aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira tentativa de explicar os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula.

• O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por Lenard em 1900. A Fig.1 mostra o diagrama esquemático do aparelho básico para a realização do experimento de investigação do efeito fotoelétrico.

• Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa, no catodo C, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons atingirem o anodo A, haverá uma corrente no circuito externo. O número de elétrons emitidos que atingem o anodo, pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a diferença de potencial entre o catodo e o anodo. A Fig. 2a mostra a corrente em função da ddp (V) para dois valores diferentes da intensidade da luz incidente aplicada sobre o catodo. Quando V for positivo, todos os elétrons emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo.

• Observa-se, experimentalmente, que um aumento extra de V não afeta a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à intensidade da luz. Quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo. Somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais mv2/2 maiores que |eV| podem atingir o anodo. Pela Fig. 2 podemos ver que se V for menor que –Vo, nenhum elétron consegue chegar ao anodo. O potencial Vo é o potencial frenador o qual está relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície pela relação:

• O resultado experimental, da independência de Vo em relação à intensidade da luz incidente, era surpreendente.

• Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos.

• Aparentemente, não era o que acontecia. Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no espaço, mas fosse quantizada , como pequenos pulsos, cada qual denominado um fóton.

• A energia de cada fóton é hn , onde n é a freqüência e h a constante de Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a energia necessária de um único fóton. Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência, for aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se f for a energia necessária para remover um elétron de uma superfície metálica, a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será

• Esta equação é conhecida como a equação do efeito elétrico. A grandeza f é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão energias cinéticas menores que hn -f em virtude da perda de energia que sofrem ao atravessar o metal. A partir da equação do efeito fotoelétrico, podemos ver que o coeficiente angular da reta dá Vo contra n deve ser igual a h/e.

• Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de Einstein:

• - A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz. Isto significa que dobrando a intensidade da luz teremos mais elétrons ejetados, mas as velocidades não serão modificadas.

• - Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o elétron adquiriu energia suficiente apenas para ser arrancado do metal.

• - A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a ejeção do fotoelétron.

Problemas

• Problema 1 - Uma fonte de luz monocromática a 5500 (Angstrom) emite 5 watts de radiação. Quantos fótons são emitidos a cada segundo ?

• Problema 2 - O limiar de freqüência ou freqüência de corte para a liberação de fotoelétrons no sódio é:

• Encontre a função trabalho f para este material.

2- Efeito Compton

• Seguido das descobertas de Planck e Einstein, foram feitos muitos outros experimentos, que só poderiam ser explicados usando o comportamento corpuscular (fótons) da luz. Um desses experimentos é o efeito Compton proposto por A. H. Compton (1923).

• Compton estudou o espalhamento de raio-X em materiais. Em seus experimentos ele mostrou que a luz espalhada tinha uma freqüência mais baixa do que a incidente, indicando com isto uma perda de energia no processo de espalhamento. Este fenômeno não pôde ser explicado usando a luz como um fenômeno ondulatório. Compton explicou este fenômeno ao estudar a colisão de elétrons com fótons, aplicando as leis de conservação de energia e momento. Veja Fig. 3.

Espalhamento Compton

• Para analisar o efeito Compton, é necessário levar em conta que o efeito é relativístico já que o fóton é uma partícula relativística e viaja à velocidade da luz. Então devemos usar as equações da relatividade para a variação da massa, da energia e do momento linear. A massa m de uma dada partícula é dada por

• As energias total antes e depois do choque são dadas respectivamente por;

• Aplicando a conservação da energia e momento linear, obtemos:

Sobre a conservação do momento linear

• Conservação do momento linear (veja Fig. 1b), componente x e componente y

• Manipulando estas equações e resolvendo para l e l’ chegamos na lei de Compton:

• Onde é definido como sendo o comprimento de onda de Compton.

• Esta é a variação do comprimento de onda e conseqüentemente da freqüência, observado experimentalmente, no choque de um elétron com fóton. Isto significa que realmente o fóton perde energia no choque. Esta energia perdida é transformada em energia cinética usada pelo elétron.

O Postulado de De Broglie

• Em 1924, Louis de Broglie, lembrando-se da natureza dualística dos fótons (sugerida por Einstein ao estudar o efeito fotoelétrico), e considerando que todos os fenômenos naturais envolviam certa forma de matéria e de radiação (ondas eletromagnéticas), sugeriu que assim como "as ondas de luz" tinham propriedades de partículas o inverso também deveria ser válido, isto é:

• " A toda partícula com momento p estaria associada uma onda de comprimento l, isto é : l= h/p, onde h é a constante de Planck e p o momento linear da partícula”. Esta relação implicaria que todos os corpos massivos ou partículas, tais como uma bola de bilhar e um elétron, teriam também propriedades de ondas, cujas características seriam regidas pela mesma teoria das radiações.

As relações de de Broglie

• Após a explicação do espectro da radiação de corpo negro por Planck através

• da hipótese da quantização da energia, da descoberta dos fótons por Einstein e da

• existência de níveis discretos de energia nos átomos por Bohr; em 1923, de Broglie

• apresentou a seguinte hipótese: partículas massivas, assim como fótons, possuem

• um aspecto ondulatório.

• Com apenas esta hipótese foram derivadas as regras empíricas de quantização dos níveis atômicos encontradas por Bohr-Sommerfeld, e em 1927 foi comprovado experimentalmente o aspecto ondulatório dos elétrons.

• Segundo a hipótese de de Broglie, cada partícula de energia E e momento linear p têm associados uma freqüência angular ω e um número de onda k, dados pela seguintes relações:

• O valor extremamente pequeno da constante h explica porque o aspecto ondulatório da matéria é muito difícil de ser observado.

• 2. O pacote de ondas• Para que um elétrons tenha propriedades

ondulatórias teremos que lançar mão da noção de pacote de ondas.

• Um pacote de ondas é uma função que descreve o estado de uma partícula.

• Como uma função de onda tem extensão infinita, temos que lançar mão do conceito de superposição de ondas para poder descrever uma partícula localizada: por exemplo um elétron.

• Ou seja, para uma onda harmônica escrevemos:

• Se tivermos n (=2,3,4..) ondas com amplitudes Ai e defasadas de di entre si se sobrepondo, teremos que a onda resultante será a soma algébrica de todas elas. Usando a notação abreviada para indicar a função de onda un resultante temos:

•

• Inversamente, qualquer movimento ondulatório pode ser analisado como combinação de movimentos ondulatórios simples (harmônicos, por exemplo). Aplicação disto são os filtros de ondas e os seletores de freqüência.

• Como exemplo clássico considere duas ondas de mesma direção e sentido, mas uma atrasada em relação à outra de uma fase d. Se elas possuem freqüências, amplitudes e velocidades iguais têm-se:

• Consideremos duas ondas com número de onda κ e freqüência ω ligeiramente diferentes.

• Suas equações de ondas serão:

• A onda resultante da superposição de u1 e u2 é dada por:

• Da relação trigonométrica:

• a expressão acima fica:

• Velocidade de Grupo

Equação de Schrödinger

• De acordo com a hipótese de de Broglie foram formulados os postulados da mecânica quântica que podemos apresentar, de forma simplificada e restrita ao nosso interesse imediato, da seguinte forma: o estado de uma partícula é caracterizado por uma função de onda Ψ(r,t) que contém toda a informação que é possível obter sobre uma partícula.

• O valor de Ψ(r,t) é interpretado como a• amplitude da probabilidade da presença de

uma partícula, dessa forma, |Ψ(r,t)|^2• representa a densidade de probabilidade e

consequentemente

• representa a probabilidade de encontrar a partícula entre r e r + dr. A partir dos trabalhos de de Broglie e Planck, o físico Erwin Schrödinger demonstrou que essa função deveria obedecer a seguinte equação de onda:

Considerando uma partícula livre (V(r,t) = 0), a equação acima tem como solução funções da seguinte forma:

Esse tipo de solução é chamada de onda plana e será a solução utilizada para realizar a simulação. O princípio de superposição nos diz que qualquer combinação

• linear de ondas planas também será uma solução, considerando ainda o caso de

• propagação em apenas uma dimensão temos:

• A função de onda acima, composta por uma superposição de ondas planas, é chamada de pacote de ondas. A função g(k) é uma função que determina o peso que cada onda terá dentro do pacote.

• Para realizar a simulação utilizaremos somente a parte real de Ψ(x,t):

• Como o valor de Ψ(x,t) não tem significado físico direto também será apresentado |Ψ(x,t)|2. O primeiro objetivo da simulação será exibir como essas duas funções são construídas através do sucessivo créscimo de ondas planas em uma combinação linear até formar um pacote de ondas. A função será construída em uma dimensão e somente sua parte real conforme a equação (8), essa função vai caracterizar o estado quântico de uma partícula livre, massiva e sem spin.

• Corresponderá a uma superposição de ondas planas harmônicas, soluções da equação de Schrödinger, que são auto-estados dos operadores momento linear P e Hamiltoniano H.

O Principio da Incerteza