A radioatividade Em 1896, no ano seguinte à descoberta dos raios-X, Antoine Henri Becquerel investigava a possibilidade de emissão de raios-X por minerais que se tornavam fluorescentes após a exposição à luz solar como compostos contendo o elemento urânio. Para sua surpresa, ele descobriu que placas fotográficas protegidas da luz ficavam veladas quando esses compostos de urânio eram mantidos nas proximidades das placas. Essa observação sugeria que o material estava emitindo espontaneamente algum tipo de radiação penetrante até então desconhecida; a radioatividade acabava de ser descoberta.

Vários outros materiais, além do urânio, também emitiam esses raios penetrantes. Entre eles e estava um material chamado radio e por isso, todos os materiais que emitiam esse tipo de radiação são chamados radiativos ou que sofrem o decaimento radiativo.

Logo a radiação emitida por esses elementos radioativos estava sendo investigada em muitos laboratórios. Com aparelho esquematizado abaixo onde um elemento radioativo é posto no fundo de um canal colimador cavado num bloco de chumbo, produzindo um feixe bem definido que incide em uma chapa fotográfica, mostrou-se que a radiação consiste de três componentes distintas.

chapa fotográfica

  

bloco de limador

amostra radioativa

campo magnético chumbo com co

para a bomba de vácuo

Na ausência de campo magnético, a chapa fotográfica exposta à radiação mostra, ao ser revelada, uma única mancha escura num ponto alinhado com o canal colimador. Quando um campo magnético é aplicado na região entre o colimador e a chapa, numa direção perpendicular ao plano da figura, três manchas escuras são vistas sobre a placa depois de revelada. As duas manchas desviadas da posição correspondente ao campo nulo devem ser devidas a partículas carregadas emitidas pelo elemento radioativo e que são desviadas pela aplicação de campo magnético, numa dada direção, dependendo do sinal da carga. A mancha não desviada é, presumivelmente, devida à radiação não carregada, sobre a qual o campo magnético não teria nenhuma influência. As partículas das quais a componente positivamente carregada da radiação é constituída são denominadas partículas α. As partículas carregadas negativamente são denominadas partículas β e a radiação não carregada é denominada radiação γ. Nas experiências que acabamos de descrever, a câmara contendo o colimador e a chapa estava evacuada. Se a experiência é repetida com a câmara à pressão atmosférica, a mancha devida às partículas α, não aparece. Aparentemente uns poucos centímetros de ar são suficientes para parar as partículas α. Experiências semelhantes estabeleceram que uma folha de uma substância densa qualquer, com vários milímetros de espessura impedirá as partículas β de alcançarem a chapa, mas a intensidade da mancha

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devida à radiação γ só diminui significativamente quando vários centímetros de chumbo são colocados entre o colimador e a chapa.

Sabemos atualmente que as partículas α são núcleos do elemento hélio, que as partículas β são elétrons de alta energia, enquanto que a radiação γ consiste de radiação eletromagnética da mesma natureza que a luz, mas de freqüência muito mais alta.

Sabemos ainda que as quatro forças fundamentais são a gravitacional, a nuclear fraca, a eletromagnética e a nuclear forte cujas as intensidades relativas são comparadas no quadro abaixo:

Nuclear Forte 1

Eletromagnética 10-2

Nuclear Fraca 10-14

Gravitacional 10-37

A interação gravitacional é responsável pelas estruturas muito grandes, como as galáxias, sistemas planetários e estelares. Na experiência cotidiana, a interação gravitacional aparece como o peso dos corpos.

A interação eletromagnética é responsável pelas propriedades gerais dos átomos e das moléculas, dos sistemas em que átomos e moléculas aparecem agregados em líquidos e sólidos, e pelas propriedades químicas das substâncias. Na experiência cotidiana, a interação eletromagnética aparece como o atrito, a normal, a viscosidade e as forças elásticas.

A interação nuclear fraca ou, simplesmente, interação fraca, é responsável pela transformação espontânea de prótons em nêutrons (desintegração β positiva) e de nêutrons em prótons (desintegração β negativa), mas não produz efeitos diretamente observáveis na experiência cotidiana.

A interação nuclear forte ou, simplesmente, interação nuclear, é responsável por quase todas as propriedades dos núcleos atômicos, mas também não produz efeitos diretamente observáveis na experiência cotidiana.

As propriedades das partículas que formam o núcleo, bem como suas interações mútuas, são conhecidas em certos detalhes, entretanto, não o suficiente para permitir determinar diretamente o comportamento de um sistema nuclear de muitos corpos.

Isto se deve a grande complexidade matemática do problema. Entretanto este tipo de inconveniente não é exclusivo do problema nuclear, algo similar ocorre quando consideramos uma gota líquida, um volume de gás, o sistema planetário, um átomo pesado, etc. No embargo, en casos tales como los dos primeros. El número de partículas es tan grande que uno puede aplicar métodos estadísticos. Em otros, como por ejemplo en los dos últimos, existe un centro de fuerzas de manera que la interacción de las partículas con dicho centro es mucho más fuerte que las fuerzas entre ellas y, por lo tanto, estas últimas pueden entonces ser tratadas como uma perturbación de la fuerza de interacción con el centro. En el caso nuclear (y esto es lo que hace el problema particularmente difícil) hay muy pocas partículas como para tratar al sistema en forma estadística y no existe un centro de fuerzas que permita tratar La interacción entre las partículas como una perturbación.

  

Si bien en los últimos 50 años ha habido grandes progresos en el desarrollo de métodos matemáticos para tratar el problema nuclear desde un punto de vista de “primeros principios”, ha sido principalmente a través de la propuesta de distintos modelos que se llegó a comprender buena parte de la física nuclear. La idea de um modelo es buscar una situación física que sea conocida y cuyas propiedades se

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asemejen a las del sistema de interés (un núcleo en nuestro caso). Entonces se estudia el modelo en detalle esperando que las nuevas propiedades que se puedan descubrir también Sean propiedades del sistema. Este proceso de extrapolación tiene, por supuesto, que fallar em algún punto, pero es sorprendente hasta cuan lejos se puede llegar mediante él. Es importante destacar que aún cuando el modelo comience a fallar, el entender porqué esto sucede puede ser de gran interés permitiendo la modificación y mejora del modelo.

Por supuesto, ningún modelo puede explicar todas las características conocidas de los núcleos y por lo tanto es necesario recurrir a distintos tipos de modelos según lo que nos interese describir.

Los modelos desarrollados a lo largo del tiempo cubren una gran gama de posibilidades: desde modelos donde los nucleones interactúan débilmente (modelos de partícula independiente), hasta modelos con nucleones fuertemente correlacionados (modelos colectivos). Claramente, la situación real está en algún punto intermedio entre estas aproximaciones extremas y contradictorias entre sí. Modelos que intentan conciliar ambas situaciones extremas han sido desarrollados (modelos unificados)

O Átomo Nuclear

No final do século XIX, o elétron já estava estabelecido como partícula fundamental, principalmente depois de 1897, ano em que J. J. Thomson determinou a sua razão carga/massa. Era sabido também que elétrons eram liberados por emissão termiônica (de um metal a alta temperatura), no efeito fotoelétrico e no decaimento β de certos elementos radioativos. Desse modo, os elétrons já eram considerados como constituintes básicos dos átomos.

Segundo o modelo atômico apresentado em 1904 por J. J. Thomson, o átomo deveria ser constituído por algum tipo de fluido de forma esférica, com uma distribuição contínua de carga positiva, e de elétrons com carga negativa distribuídos no fluido em número suficiente para que a carga total do sistema fosse nula.

                           

  

O modelo exigia dos elétrons que tivessem movimentos oscilatórios ao redor de certas posições que definiriam configurações estáveis para o sistema. E como, segundo a teoria eletromagnética clássica, qualquer partícula com carga elétrica em movimento acelerado emite radiação eletromagnética, o modelo também exigia que os modos normais das oscilações dos elétrons tivessem as mesmas freqüências que aquelas observadas associadas às raias dos espectros atômicos. Contudo, segundo a teoria eletromagnética clássica, não pode existir qualquer configuração estável num sistema de partículas carregadas se a única interação entre elas é de caráter eletromagnético. Além disso, não foi encontrada qualquer configuração para os elétrons de qualquer átomo cujos modos normais tivessem qualquer uma das freqüências esperadas. De qualquer modo, o modelo de Thomson foi abandonado principalmente devido aos resultados do experimento de Rutherford.

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Experimento de Rutherford

Na época em que J. J. Thomson propôs seu modelo, H. Geiger e E. Marsden estudavam o espalhamento de feixes bem colimados de partículas α, que já se sabia serem núcleos de átomos de hélio, por finas folhas de ouro, pelo que hoje se conhece como o experimento de Rutherford.

Uma fonte radioativa emite partículas α que são colimadas, formando um feixe paralelo e estreito, que incide sobre uma folha metálica muito fina. Para que fosse possível construir tal folha, a maleabilidade do metal deveria ser grande e, por isso, era usado normalmente o ouro. A folha é tão fina que as partículas a atravessam completamente com apenas uma pequena diminuição no módulo da velocidade. Ao atravessar a folha, entretanto, cada partícula sofre muitos desvios devido a sua interação eletrostática com as cargas positivas e negativas dos átomos da folha. As partículas espalhadas eram detectadas por um microscópio com uma tela de sulfeto de zinco (ZnS).

A tela de sulfeto de zinco cintila no local onde incide uma partícula α. O microscópio permite identificar a cintilação de cada partícula α individualmente. Os resultados experimentais de Geiger e Marsden mostraram que o número de partículas a que eram desviadas com ângulos maiores do que 90 graus era muito maior que o esperado pelo modelo de Thomson.

Em 1911, E. Rutherford mostrou que os dados de Geiger e Marsden eram consistentes com um modelo atômico em que a carga positiva do átomo se concentrava em uma pequena região que, além disso, continha praticamente toda a massa do átomo, com os elétrons espalhados ao redor dessa pequena região (chamada núcleo).

  

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1 fm

1 angstrom = 100.000 fm

O raio de um núcleo típico é cerca de dez mil vezes menor que o raio do átomo ao qual pertence, mas contém mais de 99,9% da massa desse átomo.

A partir do espalhamento dessas partículas, Rutherford estimou o raio nuclear, considerando que este é aproximadamente igual à distância mais próxima ao núcleo, atingida pela partícula α. Vejamos como se faz este cálculo.

A partícula tem energia cinética Ec=7.7 Mev. Quando esta partícula é lançada frontalmente contra o núcleo, a interação Coulombiana faz com que sua energia cinética seja transformada em energia potencial eletrostática. Quando toda a energia cinética é transformada em energia potencial, a partícula chega à distância mais próxima, e pára. Nesse momento,

E14πε

2er

 

Utilizando os valores numéricos conhecidos (1 4πε 9x10⁄ Nm/C2; e=1.6x10-19 C), obtém-se

ro=3x10-14 m.

Portanto, o raio do núcleo de ouro deve ser menor do que 3x10-14 m, isto é, menos do que 1/10000 do raio atômico. As dimensões nucleares são mais convenientemente descritas através de uma nova unidade, denominada fermi ou fentômetro (fm), definida por 1 fm = 10-15 m.

A análise de espectro de raios –X de diversos elementos efetua por H. Moseley em 1913 mostrou que a carga nuclear é igual a Z vezes a carga do próton, onde Z é o número atômico, que por sua vez é igual a aproximadamente metade do número de massa A (exceto no caso do hidrogênio, em que Z=A). Assim o núcleo tem uma massa aproximadamente igual à de A prótons, mas uma carga de apenas z A 2⁄ prótons.

Antes da descoberta do nêutron era difícil compreender este fato, a não ser supondo a existência de A-Z elétrons no núcleo para diminuir a carga sem aumentar muito a massa.

  

A idéia de que o núcleo continha elétrons era apoiada pela observação do decaimento β, no qual elétrons são ejetados por certos núcleos radioativos.

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Entretanto, este modelo apresentava sérios problemas. Um cálculo relativamente simples a partir do princípio da indeterminação mostra que um elétron terá uma energia mínima de aproximadamente 100 MeV se for confinado a uma região de r < 10-14 m; entretanto, a energia dos elétrons emitidos no decaimento β é da ordem de apenas 1 ou 2 MeV. Também não existem indícios de uma intensa força atrativa entre o núcleo e o elétron, como seria de se esperar no caso de uma energia potencial negativa de 50 a 100 MeV no interior do núcleo. Além disso, como a energia potencial eletrostática do elétron é negativa, não existe nenhuma barreira de largura finita, como no caso do decaimento α, conforme representado na figura a seguir. Se a energia potencial do elétron fosse positiva, como o decaimento β parece exigir, o elétron escaparia imediatamente do núcleo e a maioria dos emissores β naturais já teria desaparecido há muito tempo. Outro problema é a observação de que os momentos magnéticos dos núcleos são da ordem do magnéton nuclear µN e 2m⁄ , cerca de duas mil vezes menores que um magnéton de Bohr µB e 2m⁄ , o que seria difícil de explicar se houvesse elétrons no interior do núcleo.

Outro argumento convincente contra a existência de elétrons no núcleo tem a ver com o momento angular. Os prótons e os elétrons são férmions de spin 1/2 e, portanto obedecem ao princípio de exclusão de Pauli. Entretanto, o desdobramento das linhas espectrais do átomo de nitrogênio causado pelo spin do núcleo, conhecido como estrutura hiperfina mostra que o número quântico de spin do núcleo do nitrogênio é igual a 1, e, portanto o núcleo de nitrogênio é um bóson; isto é confirmado pelos espectros moleculares. Se o 14N contivesse 14 prótons e 7 elétrons, cada um com spin 1/2, o spin total teria que ser fracionário e o núcleo se comportaria como um férmion e não como um bóson.

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Em 1920, Rutherford propôs a existência no núcleo de uma partícula neutra, possivelmente formada pela combinação de um próton e um elétron, que chamou de nêutron. Quando uma partícula como a descrita por Rutherford foi descoberta por Chadwick em 1932, a idéia de que poderia haver elétrons no interior do núcleo foi definitivamente abandonada e passou-se a supor que um núcleo de número de massa A contém N nêutrons e Z prótons, com N + Z = A. A idéia de que o nêutron é uma combinação de um próton com um elétron também foi descartada já que o spin do nêutron é 1/2. O número N é chamado de número de nêutrons. O número de massa A é o número inteiro mais próximo da massa atômica. Um tipo particular de núcleo é chamado de nuclídeo. Os nuclídeos são representados pelo símbolo químico correspondente precedido por um índice superior que indica o valor de A, como em 16O e 15O. As vezes,o valor de Z é indicado por um índice inferior, como em O, mas isto não é necessário, já que o número atômico é indicado pelo símbolo do elemento. Ocasionalmente, o valor de N também é indicado por um índice inferior, como em O , embora isto também seja desnecessário, pois N = A - Z. Nuclídeos com o mesmo valor de Z, como 15O e 16O são chamados de isótopos. Nuclídeos com o mesmo valor de N, como C e N , recebem o nome de isótonos,

enquanto nuclídeos com o mesmo valor de A, como 14C e 14N, são conhecidos como isóbaros.

O núcleo é composto de prótons e nêutrons, conhecidos coletivamente como núcleons, que ocupam um volume total da ordem de 1 a 10 fm. Os núcleos de todos os elementos são constituídos apenas por esses dois tipos de partículas. Na tabela abaixo estão listados algumas propriedades dos dois núcleons, juntamente com as propriedades de um núcleo simples (o dêuteron, composto por um próton e um nêutron) e do elétron. Devemos observar neste ponto que os núcleons não são partículas elementares; tanto o próton quanto o nêutron são formados por três quarks, partículas elementares mantidas unidas pela interação forte, que também é responsável pela coesão do núcleo.

Partícula Carga Massa (u) Massa (kg) spin Momento magnético

Próton +e 1,007276 1,6726x 10-27 1/2 2,79285μN

Nêutron 0 1,008665 1,6749x 10-27 1/2 -1,91304μN

Dêuteron +e 2,013553 3,3436x 10-27 1 0,85744μN

Elétron -e 5,4858x10-4 9,1094x l0-31 1/2 1,00116μB

Propriedades dos núcleos no estado fundamental

O comportamento dos núcleos, assim como o comportamento dos átomos, só pode ser compreendido à luz dos princípios da física quântica. Foi o estudo dos espectros nucleares, ou seja, das radiações e partículas emitidas espontaneamente pelos núcleos radioativos, que revelou a existência de níveis de energia, momentos angulares e momentos magnéticos quantizados nos núcleos, assim como as regularidades dos espectros atômicos tinham levado à teoria de Bohr e, mais tarde, à mecânica ondulatória. A interpretação dos espectros nucleares é mais difícil que a interpretação dos espectros atômicos por causa da existência de dois núcleons, da possível emissão de várias partículas (além de fótons) pelos núcleos excitados e pelo nosso conhecimento imperfeito da função energia potencial do núcleo.

Tamanho e forma dos núcleos

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Todos os métodos usados para medir os raios nucleares mostram que os raios são proporcionais à raiz cúbica do número de massa. O raio nuclear pode ser determinado através de experimentos de espalhamento semelhantes aos executados por Rutherford ou, em alguns casos, por medidas de radioatividade. A primeira medida do raio nuclear foi feita por Rutherford, usando o espalhamento de partículas α, cujos resultados estão apresentados na figura ao lado.

Um método interessante, quase clássico, de determinar o raio nuclear envolve a medida da energia do decaimento β em nuclídeos especulares, que são pares de nuclídeos em que o número de prótons de um é igual ao número de nêutrons do outro, conforme representado na figura a seguir.

Assim, por exemplo, o 15O, com oito prótons e sete nêutrons, e o 15N, com oito nêutrons e sete prótons, são nuclídeos especulares. Supondo que a interação forte entre os núcleons é independente do tipo de núcleon, a única diferença de energia entre o 15O e o 15N é de natureza eletrostática.

É possível demonstrar que a energia eletrostática de uma esfera uniformemente carregada é dada por

U3514πε

qR

onde q é a carga total e R é o raio da esfera. O nuclídeo 15O é radioativo e transforma-se em 15N, emitindo um pósitron e um neutrino. A diferença de energia entre o 15O e o 15N, a energia do decaimento β, é portanto

∆U3514πε

qR

Z Z 1

Com Z=8. A medida da energia do decaimento, igual a ΔU, fornece portanto uma estimativa de R. Supondo uma distribuição uniforme de carga, a medida das energias de decaimento dos pósitrons para 18 pares de nuclídeos especulares mostra que o raio nuclear obedece à equação

R=RoA1/3, onde Ro=1.2x10-15 m e A é o número de massa.

A coincidência destes resultados com os obtidos por outros métodos empregados para determinar o valor de R é uma forte indicação de que a parte da energia potencial associada à interação forte é a mesma para os dois nuclídeos em todos os pares especulares.

Para o ouro, A=197, tem-se R=7x10-15m. Com esta dimensão, resulta que a densidade da matéria nuclear é da ordem de 2x1017 kg/m3.

  

A série mais completa de medidas de raios atômicos foi executada por Robert Hofstadter e colaboradores a partir de 1953. Nestes experimentos, realizados no Acelerador Linear de Stanford (SLACT), os núcleos foram bombardeados por elétrons com energias entre 200 e 500 MeV. O comprimento de onda de um elétron

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de 500 MeV é aproximadamente 2,5 fm, um valor menor que o raio de um núcleo pesado. Assim, é possível conhecer alguma coisa a respeito da distribuição de carga no interior dos núcleos analisando as figuras de difração que resultam do espalhamento desses elétrons. A análise se torna mais complicada pelo fato de os elétrons serem relativísticos. A figura abaixo mostra a figura de difração de elétrons de alta energia espalhados por núcleos de 160 e 12C. Considerando o feixe incidente de elétrons como uma onda plana de comprimento de onda λ, o processo de espalhamento é semelhante à difração da luz por uma abertura circular de raio R, discutida nos livros de física elementar, onde R, no caso, é o raio nuclear. O primeiro mínimo da figura de difração é, portanto, dado aproximadamente por

senθ0,61λR

  

A figura abaixo mostra algumas distribuições de carga obtidas a partir da análise destes experimentos.

O raio eletromagnético médio R e a espessura da superfície t são dados por:

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t= (2,4 ± 0,3) fm e R= (1,07 ± 0,02)A1/3 fm

  

O fato de o raio ser proporcional a A1/3 sugere que o volume do núcleo é proporcional a A. Como a massa do núcleo também é proporcional a A, as densidades de todos os núcleos são aproximadamente iguais. Uma gota de líquido também tem densidade constante, independente do tamanho; este fato levou a um modelo no qual o núcleo é considerado como o análogo de uma gota de líquido. Este modelo tem sido útil para calcular massas nucleares e para compreender certos tipos de comportamento dos núcleos, particularmente a fissão de elementos pesados. O valor numérico da densidade da matéria nuclear é 1017 kg/m3. Esta densidade extremamente alta (a densidade dos átomos é apenas 103 kg/m3) é uma conseqüência do fato de que quase toda a massa do átomo está concentrada em uma região cujo raio é 100.000 vezes menor que o raio atômico. Um milímetro cúbico de matéria nuclear tem uma massa de 200.000 toneladas, comparável à de a um superpetroleiro totalmente carregado! Os núcleos são praticamente esféricos, com raras exceções. Quase todas essas exceções ocorrem na região das terras raras da tabela periódica (números atômicos entre Z = 57 e Z = 71), em que os núcleos têm forma elipsoidal; mesmo assim, a diferença entre o comprimento do eixo maior e o comprimento do eixo menor nunca é maior do que 20%. Nestes nuclídeos pesados, as funções de onda dos elétrons internos penetram no núcleo e os desvios da forma esférica, que são

acompanhados por desvios da distribuição de carga do núcleo, produzem pequenas mudanças nos níveis de energia dos elétrons. Em direta analogia com o fato de que o potencial em pontos do lado de fora de uma distribuição estática de cargas é determinado pelas dimensões da distribuição e, inversamente, a medida do potencial fornece informações a respeito da distribuição, a medida destas pequenas mudanças nos níveis de energia dos elétrons fornece informações a respeito da distribuição de cargas do núcleo, embora ela não possa ser medida diretamente. Se o núcleo tem a forma de uma melancia, com o eixo z mais comprido que os eixos x e y, o valor médio de z2 é maior que o valor médio de x2 e que o valor médio de y2. Neste caso, o momento quadrupolar elétrico Q, que é proporcional a 3(z2)med -(x2+y2)med, é positivo. Este é o caso mais comum para núcleos não-esféricos. Os núcleos com momento quadrupolar negativo têm forma de abóbora, com os dois eixos iguais mais compridos que o terceiro eixo. O valor médio do

momento quadrupolar elétrico é dado por:

10

  

3         0    ,0   0    ,

A figura ao lado mostra os valores experimentais do momento quadrupolar elétrico para nucleons com A ímpar, ou seja, núcleos nos quais Z ou N é ímpar. A última equação é usada para determinar o valor de para funções de onda correspondentes às distribuições de carga previstas por vários modelos teóricos do núcleo permitindo comparar os resultados com os valores mostrados na figura.

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Estabilidade nuclear Dos mais de 3000 nuclídeos conhecidos, existem apenas 266 cujos estados fundamentais são estáveis. Todos os outros possuem estados fundamentais instáveis e portanto sofrem algum tipo de decaimento radioativo, transformando-se em outros nuclídeos. A figura abaixo mostra um gráfico do número de nêutrons N em função do número de prótons Z para os nuclídeos estáveis e para os nuclídeos instáveis conhecidos cujos tempos de vida são maiores que um milissegundo. A linha reta corresponde a N = Z. A forma geral da linha de estabilidade, a curva que passa pelo meio dos núcleos estáveis na figura, pode ser compreendida em termos do princípio de exclusão e da energia eletrostática dos prótons.

  

Os nuclídeos que estão na região entre as duas linhas irregulares da figura, mas não foram indicados por pontos, são radioativos.

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Considere a energia cinética de A partículas em um poço quadrado unidimensional, que é um modelo adequado para demonstrar a idéia. A energia é mínima se existirem A/2 nêutrons e A/2 prótons e máxima se todas as partículas forem do mesmo tipo. Existe, portanto, uma tendência devida ao princípio de exclusão, para que N e Z sejam iguais. O resultado muda um pouco quando incluímos a energia eletrostática de repulsão dos prótons. Esta energia é proporcional a Z2. Para grandes valores de A, a energia aumenta menos quando acrescentamos dois nêutrons do que quando acrescentamos um nêutron e um próton; assim, a diferença N - Z aumenta à medida que Z aumenta.

Existe também uma tendência dos núcleons de formarem pares com núcleons idênticos. Dos 266 nuclídeos que são estáveis, 159 têm um número par de nêutrons e prótons, 50 têm um número ímpar de prótons e um número par de nêutrons, 53 têm um número par de prótons e um número ímpar de nêutrons e apenas 4 têm um número ímpar de nêutrons e prótons.

  

Z N Par Ímpar

Par 159 50 Ímpar 53 4 Como existem aproximadamente 100 elementos diferentes e cerca de 260 núcleos estáveis, a média é de 2,6 isótopos estáveis por elemento. Os núcleos com Z = 20, 28, 50 e 82 possuem um número de isótopos maior que a média. Assim, por exemplo, o estanho, com Z = 50, tem 10 isótopos estáveis. Os núcleos com N = 20, 28 e 82 também apresentam um número de isótopos maior que a média. Estes números, conhecidos como números mágicos, são a manifestação de uma estrutura de camadas, do mesmo modo como os "números mágicos" 2, 10, 18 e 36 correspondem a camadas completas de elétrons na estrutura dos átomos. Os números mágicos nucleares, entre os quais também estão incluídos os números 2,8 e 126, representam configurações particularmente estáveis. 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126 Massas e energias de ligação A massa de um átomo pode ser medida com precisão com o auxílio de um instrumento conhecido como espectrômetro de massa, que determina o valor de q/M a partir da trajetória de íons na presença de um campo magnético. A massa de qualquer átomo é ligeiramente menor que a soma das massas do núcleo e dos

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elétrons por causa da energia de ligação dos elétrons. A energia de ligação dos elétrons é definida através da equação

La = MNc2 + Zmec2 – MAc2 = Δmc2 onde MN é a massa do núcleo, MA é a massa do átomo, me é a massa de um elétron e Δm é a massa equivalente à energia La. Como as energias de ligação dos átomos são da ordem de keV, muito menores, portanto que as energias de ligação dos núcleos, que são da ordem de MeV, elas são quase sempre ignoradas nos estudos da física nuclear. A energia de ligação é definida como a quantidade de energia que deve ser fornecida ao sistema (núcleo) para separá-lo em todas as suas partículas constituintes, que apresentem massas de repouso isoladas de valor mi. Assim, a energia de ligação é uma medida da estabilidade do núcleo. A energia de ligação de um núcleo com Z prótons e N nêutrons é definida através da equação

Ln = ZmPc2 + NmNc2 – MNc2

onde mP é a massa do próton, mN é amassa do nêutron e MN é a massa do núcleo. Como a massa de um átomo é praticamente igual à soma das massas do núcleo e dos elétrons (já que a energia de ligação do átomo é pequena), a energia de ligação do núcleo é dada aproximadamente por

Ln = ZMHc2 + NmNc2 – MAc2 onde MH é a massa de um átomo de hidrogênio. Observe que as massas dos Z elétrons se cancelam, pois estão incluídas tanto no valor de MH como no valor de MA. A última equação é mais conveniente que a penúltima porque a grandeza medida nos espectrômetros de massa não é a massa do núcleo, e sim a massa do átomo. Uma vez conhecida a massa de um núcleo ou de um átomo, a energia de ligação pode ser calculada com o auxílio das duas últimas equações. A figura abaixo mostra a energia de ligação por nucleon, L/A, em função de A para o isótopo mais estável de cada elemento.

  

O valor médio é aproximadamente 8,3 MeV/núcleon. O fato desta curva ser aproximadamente constante (para A > 16) indica que a força nuclear é uma força saturada. Este fato é explicado, pelo menos em parte, pelo pequeno alcance da interação forte. Se cada núcleon interagisse com todos os outros núcleons, haveria

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A–1 interações para cada núcleon e a energia de ligação por núcleon seria proporcional a A - 1, em vez de ser constante. De acordo com a figura existe um número fixo de interações por núcleon, o que sugere que cada núcleon é atraído apenas pelos vizinhos mais próximos. Esta situação também leva a uma densidade constante para a matéria nuclear, o que está de acordo com as medidas do raio dos núcleos. Se a energia de ligação por núcleon fosse proporcional ao número de núcleons, o raio nuclear seria aproximadamente constante, como acontece com o raio atômico.

Modelo da Gota de Líquido e a Equação de Weizsäcker O fato de que a densidade da matéria nuclear e a energia de ligação por núcleon serem aproximadamente as mesmas para todos os núcleos estáveis foram notadas pela primeira vez no início da década de 1930. Isto levou a comparar o núcleo a uma gota de água, que também apresenta uma densidade constante, independente do número de moléculas. A energia necessária para remover moléculas de um líquido é o chamado calor de vaporização, que é proporcional ao número de moléculas do líquido, do mesmo modo como a energia de ligação é proporcional ao número de núcleos. Usando esta analogia, Weizsäcker propôs em 1935 uma equação para calcular a massa de um núcleo (ou a energia de ligação, já que as duas grandezas estão relacionadas) em função de A e de Z, conhecida como equação de Weizsäcker. Uma das versões desta equação é apresentada abaixo e a origem dos dife s é da. e ig da a por rentes termo discuti A energia d l ação é d

/ / 2 /

O primeiro termo da equação reflete o fato do número de interações ser proporcional ao número de núcleons, ou seja, proporcional a A; está associado ao fato de ser aproximadamente constante a energia de ligação por núcleon. O segundo termo é uma correção do primeiro. Os núcleons que estão na superfície do núcleo têm menos vizinhos e, portanto menos interações que os núcleons da região central. Este efeito é análogo ao da tensão superficial em uma gota de líquido. A área da superfície é proporcional a R2 e, portanto é proporcional a A2/3. Este termo é negativo porque um número menor de interações implica em uma energia de ligação menor. Este é o termo responsável pela diminuição brusca da energia de ligação por núcleon para pequenos valores de A. O terceiro termo representa a energia eletrostática associada à repulsão entre os prótons. Esta energia é igual à energia média de repulsão de um par de prótons, 6ke2/5R multiplicada pelo número de pares de prótons, que é igual a Z(Z-1)/2, e como a interação é tanto menor quanto maior a distância entre os prótons, esse termo é inversamente proporcional ao raio do núcleo, ou seja, inversamente proporcional a A1/3. As m t e ter ési , o erc iro mo

65

14

12

35

14 /

/

Como a repulsão entre os prótons diminui a energia de ligação, este termo é negativo. Embora o efeito exista para todos os núcleos com Z > 1, ele é mais importante para núcleos com grandes valores de Z e é o principal responsável pela diminuição gradual da energia de ligação por núcleon para grandes valores de A.

  

O quarto termo, de origem puramente quântica, reflete o fato de que se N ≠ Z, a energia do núcleo aumenta e a energia de ligação diminui por causa do princípio de exclusão. A grandeza (A – 2Z) = (N + Z – 2Z) = (N – Z) é a diferença entre o número de nêutrons e o número de prótons. A expressão (A - 2Z)2/A = (N - Z)2/A é

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um termo empírico, conhecido como termo de assimetria, que se anula para N = Z e não depende do sinal de (N – Z).

O último termo é um termo empírico que reflete a tendência dos núcleons de formar pares com núcleons idênticos. A contribuição para a energia de ligação Z é positiva se Z e N são pares e negativa se Z e N são ímpares. Se Z é par e N é ímpar ou vice-versa, a contribuição deste termo é nula. Os resultados de muitos experimentos foram usados para ajustar os coeficientes da equação de Weizsäcker, ou de equações um pouco mais sofisticadas, para a melhor concordância possível com os dados experimentais. A curva da última figura representa um desses ajustes. A tabela abaixo mostra os valores dos coeficientes a1, a2, a3, a4 e a5, usados para gerar a curva da figura anterior.

a1 a2 a3 a4 a5(N,Z)

Coeficiente Par-par Ímpar-ímpar Par-ímpar, Ímpar-par

Valor (MeV/c2) 15,67 17,23 0,75 93,2 12 -12 0 De acordo com as equações e com a discussão precedente, a equação de Weizsäcker para a massa M (Z, A) de um núcleo pode ser escrita na forma

  

A prefissão da equação acima, que é de ±0,2 MeV, pode ser considerada excelente, considerando a forma como a equação foi obtida. Esta equação tem muitas aplicações interessantes. Assim, por exemplo, uma versão um pouco mais sofisticada foi usada por P. A. Seeger para calcular as massas de 7500 nuclídeos, incluindo, naturalmente, muitos que ainda não foram observados. A equação também proporciona uma visão global de algumas propriedades dos núcleos. Assim, por exemplo, fazendo (∂M/∂Z)A = 0, obtemos o valor de Z para o qual a massa é mínima em uma série de isóbaros. A partir dos valores experimentais dos coeficientes, é possível determinar o valor de Ro; o resultado, Ro =1,237 fm, está em excelente concordância com os resultados obtidos por outros métodos. Plotando os valores de M(Z, A)c2 calculados a partir da equação em função de N e de Z em

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um gráfico tridimensional, obtemos uma figura em forma de vale cuja parte mais profunda coincide com a linha de estabilidade. Este tipo de gráfico pode ser muito útil no estudo do decaimento β.

Momentos Angulares e Momentos Magnéticos Nucleares Tanto o nêutron como o próton têm um momento angular intrínseco (spin) igual a 1/2; o momento angular do núcleo é a soma dos spins e dos momentos angulares orbitais de todos os nêutrons e prótons que o compõem. Este momento angular resultante é chamado de spins nuclear e é representado pelo símbolo I. Individualmente, os núcleons também possuem momentos magnéticos, que também se combinam para produzir o momento magnético nuclear. Os indícios da existência do spin nuclear e do momento magnético nuclear foram observados pela primeira vez nos espectros atômicos. O spin nuclear se combina com o momento angular J = L + S dos elétrons para formar o momento angular total F:

F = I +J

Radioatividade

Dos mais de 3000 nuclídeos conhecidos apenas 266 são estáveis. Todos os outros são radioativos, ou seja, se transformam espontaneamente em outros nuclídeo emitindo radiação. Neste contexto, o termo radiação se refere tanto a partículas quanto a ondas eletromagnéticas. Em 1900, Rutherford descobriu que a taxa de emissão de radiação não era constante, mas diminuía exponencialmente com o tempo. Esta variação exponencial com o tempo é característica dos fenômenos que envolvem a radioatividade e indica que se trata de um processo estatístico. Como os núcleos estão bem isolados uns dos outros pelos elétrons atômicos, as variações de pressão e temperatura não têm nenhum efeito sobre a radioatividade.

  

No caso de um decaimento estatístico (no qual o decaimento de um núcleo em particular é um evento aleatório), o número de núcleos que decaem em um intervalo de tempo dt é proporcional a dt e ao número de núcleos presentes. Se N(t) é o número de núcleos radioativos no instante t e -dN é o número de núcleos que decaem no intervalo dt (o sinal negativo é necessário porque N diminui),

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temos:

onde a constante de proporcionalidade, λ, é chamada de constante de decaimento. λ é a probabilidade por unidade de tempo de que um dos núcleos decaia. A solução da equação anteri or é

onde No, é o número de núcl a de decaimento é dada por eos no instante t=0. A tax

Observe que tanto o número de núcleos como a taxa de decaimento diminuem exponencialmente com o tempo. É a diminuição da taxa de decaimento que é medida experimentalmente. A figura abaixo mostra o gráfico de N em função de t; para obter o gráfico de R em função de t, basta multiplicar por λ a escala vertical do gráfico.

Não é difícil calcular o tempo médio de vida do núcleo a partir da penúltima equação. O número de núcleos com tempos de vida entre t e t + dt é o número de núcleos que decaem no intervalo de tempo dt, que é dado por λNdt; assim, a fração de núcleos com tempos de vida entre t e t + dt é dada por

Usando esta distribuição para calcular o tempo médio de vida obtemos:

  

∞∞ 1

que é o inverso da constante de decaimento λ. A meia-vida t½, é definida como o

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intervalo de tempo necessário para que o número de núcleos radioativos se reduza a metade do valor inicial. A partir da equação temos que

12

                           2                        2

20,693

0,693

Depois de um intervalo de uma meia-vida, tanto o número de núcleos que restam na amostra como a taxa de decaimento estão reduzidos à metade do valor inicial. Assim, por exemplo, se a taxa de decaimento no instante inicial é Ro, ela será Ro/2 após transcorrida uma meia-vida, Ro/4 após transcorridas duas meias-vidas e assim por diante. Depois de um intervalo de um tempo médio de vida, o número de núcleos que restam na amostra e a taxa de decaimento estão reduzidos a 1/e do valor inicial. Assim, se a taxa de decaimento no instante inicial é Ro ela será Ro/e após transcorrido um tempo τ, Ro/e2 após transcorrido um tempo 2τ e assim por diante. A unidade de radioatividade no sistema SI é o becquerel (Bq), definido como uma taxa de um decaimento por segundo:

1 Bq = 1 decaimento/s Uma unidade de radioatividade mais antiga, o curie (Ci) também é usada com freqüência. O curie é definido da seguinte forma:

1 Ci = 3.7 X 1010 decaimentos/s = 3.7 X 1010 Bq Um curie corresponde à taxa de decaimento de 1g do elemento rádio. Como se trata de uma unidade muito grande, costuma-se usar também os submúltiplos milicurie (mCi), microcurie (μCi) e picocurie (pCi).

Datação com carbono - 14

  

O 14C radioativo é produzido na atmosfera da terra pelo bombardeamento de 14N por nêutrons produzidos pelos raios cósmicos.

Quando organismos como plantas e animais morrem, a absorção de 14C, na forma de CO2, cessa, e a razão 14C / 12C diminui com o decaimento do 14C.

Sabe-se que a meia-vida do 14C é de 5730 anos e a razão de 14C / 12C para organismos vivos é da ordem de 1012, a mesma proporção encontrada na atmosfera.

Como taxa de 14C / 12C diminui depois que o organismo morre, compara-se esta taxa com a do organismo vivo e sabendo-se a meia-vida, pode-se determinar a idade do material.

Decaimentos alfa, beta e gama

Desde a época em que a descoberta da radioatividade natural revelou pela primeira vez a existência do núcleo, boa parte do que os físicos conhecem a respeito da estrutura do núcleo tem sido o resultado do estudo de nuclídeos radioativos, ou seja, do estudo das transições dos núcleos de um estado quântico

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de maior energia para outro estado de menor energia. Dos mais de 3000 isótopos encontrados na natureza ou criados em laboratório, apenas 266 são estáveis. Todos os outros, mais uns 2000 isótopos previstos teoricamente mas ainda não observados, são radioativos. Os radioisótopos podem decair pelo menos de nove formas diferentes; entretanto, a maioria dos decaimentos acontece através de um ou ocasionalmente dois, dos seguintes modos: alfa, beta e gama. Os decaimentos restantes ocorrem através de mecanismos menos comuns, como a emissão de um próton ou nêutron e a fissão espontânea. Uns poucos decaem através de processos extremamente raros, como o decaimento beta duplo, cuja própria exis-tência, em alguns casos, ainda é objeto de controvérsia. Um dos principais objetivos de todos estes estudos é obter informações a respeito da estrutura dos núcleos e da natureza da interação nuclear forte.

Nas discussões que seguem é interessante não perder de vista dois aspectos associados aos três tipos mais comuns de decaimento. O primeiro é que a linha de estabilidade corresponde à parte mais profunda do vale que aparece em um gráfico tridimensional quando a energia de ligação é plotada em um eixo perpendicular aos eixos N e Z.

Existem limites teóricos para o número de prótons e nêutrons que podem ser incorporados a um núcleo, mesmo que o núcleo seja altamente instável. Estes limites, conhecidos pelo nome esdrúxulo de linhas de gotejamento, são as linhas irregulares mais externas que aparecem na abaixo e definem uma região no diagrama N-Z no interior da qual se encontramos 5000 e tantos isótopos que, pelo menos em princípio, podem existir. Os limites são definidos pelas energias para as quais os núcleos emitem espontaneamente um próton ou um nêutron.

20  

O segundo aspecto que não devemos perder de vista é que os processos de decaimento obedecem às mesmas leis de conservação que devem ser respeitadas por todos os processos físicos. Em particular as seis grandezas a seguir são conservadas: (1) a massa-energia relativística; (2) a carga elétrica; (3) o momento linear; (4) o momento angular; (5) o número de núcleons; (6) o número de léptons. As primeiras quatro leis de conservação são discutidas exaustivamente nos cursos de física elementar; as outras duas estão relacionadas especificamente às interações e decaimentos das partículas elementares.

Decaimento Alfa

Para que uma substância radioativa seja encontrada na natureza, é preciso que sua meia-vida não seja muito menor que a idade da Terra (cerca de 4,5 X 109 anos) ou que ela seja produzida continuamente a partir do decaimento de outra substância radioativa. Para que um nuclídeo seja radioativo, é preciso que sua massa seja maior que a soma das massas dos produtos do decaimento. Muitos núcleos pesados decaem emitindo partículas α. Como a barreira de Coulomb se opõe ao processo de decaimento (a partícula α precisa passar por uma região na qual sua energia é menor do que a energia potencial, o que só é possível graças ao efeito túnel), a meia-vida associada ao decaimento alfa pode ser muito grande se a energia do decaimento for pequena, isto é, se a largura da barreira a ser atravessada for grande. Na verdade, a relação entre a meia-vida de um emissor α e a energia da partícula α emitida é tão evidente que foi notada pela primeira vez por dois assistentes de Rutherford. Geiger e Nuttall, em 1911, isto é, no mesmo ano em que Rutherford descobriu o núcleo. A relação geral, c mo regra de Geiger-Nuttall, está representada graficamente na ser expressa pela equação

conhe ida cofigura abaixo e pode

⁄

onde Eα é a energia cinética da partícula a emitida e A e B são constantes determinadas experimentalmente.

21  

Mais tarde foi demonstrado que era possível chegar a uma expressão para a meia-vida dos emissores α a partir da equação de Schrodinger, tratando o decaimento a como um fenômeno de penetração de barreira. Basicamente. a solução consiste em imaginar que as partículas α são mantidas no interior do núcleo por uma barreira de potencial. A figura abaixo mostra a barreira e as funções de onda de duas dessas partículas, com diferentes energias. O potencial para r > R é tomado como sendo a função de Coulomb V(r) =2Ze2/4πε0r; para r < R, o potencial é negativo. A probabilidade de que a partícula α penetre na barreira ao se chocar com ela é igual ao coeficiente de transmissão T. A constante de decaimento λ = 1/τ= 0,693/t½, é igual ao produto do coeficiente de transmissão pela freqüência com a qual a partícula α se choca com a barreira. Esta freqüência depende da velocidade v da partícula α, que por sua vez é função da ergia cinética da partícula e do raio do núcleo. Assim,

en

2

O resultado final, obtido po ag urm é inte: r Ta epera e N ia, o segu

log 1,61 ⁄ ⁄ 28,9

onde t½, é a meia-vida em anos, Eα, é a energia das partículas α em MeV e Z é o número de prótons do nuclídeo filha. Observe que como t½, depende do raio nuclear, medindo a meia-vida e a energia das partículas α emitidas por um nuclídeo é possível obter uma estimativa para o raio nuclear por via independente dos métodos mencionados anteriormente.

  

22

  

inteiro. Todas estas cadeias, exceto

A figura ao lado mostra a série do t

CADEIAS DE DECAIMENTOS ALFA Todos os núcleos muito pesados (Z>83) são teoricamente instáveis em relação ao decaimento α porque a massa do núcleo mãe é maior do que a soma das massas dos produtos do decaimento — o núcleo filha e uma partícula α. Quando um núcleo emite uma partícula α, os valores de N e Z diminuem de duas unidades e o valor de A diminui de 4 unidades. Existem quatro possíveis cadeias ou seqüências de decaimentos α, dependendo de se A é igual a 4n, 4n + 1, 4n + 2 ou 4n + 3, onde n é um número uma, são encontradas na natureza. A cadeia 4n + 1 não existe naturalmente porque o seu membro com meia-vida mais longa (com exceção, é claro, do produto final, 209Bi, que é estável), o 237Np, tem uma meia-vida de apenas 2 X 106 anos, muito menor que a idade da Terra; assim, todo o 237Np que existia quando a Terra se formou já decaiu há muito tempo.

ório, para a qual A = 4n, que começa com um decaimento α de 232Th para 228Ra. O nuclídeo filha de um decaimento α fica à esquerda (do lado rico em nêutrons) da linha de estabilidade (reta tracejada) e por isso quase sempre sofre um decaimento β-, no qual um nêutron se transforma em um próton emitindo um elétron.

Na figura, o 228Ra sofre um decaimento β- e se transforma em 228Ac, que sofre outro decaimento β- e se transforma em 228Th. Ocorrem então quatro decaimentos α sucessivos, dando origem ao nuclídeo 212Pb, que se transforma em 212Bi por um decaimento β-. Em seguida, a cadeia se ramifica; o 212Bi pode sofrer um decaimento α, transformando-se em 208Tl, ou um decaimento β-, transformando-se em 212Po. Os dois ramos se encontram no isótopo estável do chumbo 208Pb. A série 4n + 2 começa com o 238U e acaba com o 206Pb; a série 4n + 3 começa com o 235U e acaba com o 209Pb.

Decaimento Beta

Existem três processos de decaimento radioativo nos quais o número de massa A permanece constante enquanto Z e N variam de uma unidade: a emissão β-, em que um elétron é emitido e um dos nêutrons do núcleo se transforma em um próton; a emissão β+ em que um pósitron é emitido e um dos prótons do núcleo se transforma em um nêutron; e a captura eletrônica, em que um dos elétrons do átomo (em geral um dos elétrons 1s) é capturado e um dos prótons do núcleo se transforma em um nêutron. Os núcleos que se encontram do lado rico em nêutrons do vale de estabilidade tendem decair por emissão β-, enquanto os núcleos do lado rico em prótons tendem a decair por emissão β+ ou por captura eletrônica. Vamos discutir separadamente cada um destes processos.

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Emissão β-: O exemplo mais simples de emissão β- é o do nêutron livre, que decai em um próton e um elétron com uma meia-vida de 10,8 minutos. A energia liberada no decaimento é 0,78 MeV, a diferença entre a energia de repouso do nêutron (939,57 MeV) e a soma das energias de repouso do próton e do elétron (938,28 + 0,51 = 938,79 MeV). Nos decaimentos β-, um núcleo de número de massa A, número atômico Z e número de nêutrons N, se transforma em um núcleo de número de massa A, número atômico Z’ = Z + 1 e número de nêutrons N' = N — 1, emitindo um elétron para que a lei de conservação da carga seja respeitada. A energia do decaimento, Q, é igual à diferença entre a massa do núcleo mãe e a soma das massas dos produtos do decaimento, multiplicada por c2. Somando as massas dos Z elétrons à massa do núcleo mãe e às massas dos produtos do decaimento, podemos escrever Q em termos das massas atômicas do á o m e do átomo filha: t mo ãe

Outra forma de interpretar este resultado é observar que na emissão β- os produtos finais são um elétron livre e um íon de carga nuclear Z + 1 com Z elétrons atômicos. Como a massa de um átomo neutro de carga nuclear Z + 1 é a soma da massa deste íon com a massa de um elétron, a variação total de massa é igual à diferença entre as massas do átomo mãe e do átomo filha. Se a energia do decaimento, Q, fosse compartilhada apenas pelo átomo filha e pelo elétron emitido, a energia do elétron teria, como no caso do decaimento α, um valor definido, determinado pelas leis de conservação da energia e do momento. Os experimentos revelam, porém, que a energia do elétron emitido pode ter qualquer valor entre zero e a energia máxima disponível. A figura abaixo mostra um espectro de energias típico dos elétrons emitidos, onde N é o número de elétrons em cada intervalo de energia cinética.

Nos decaimentos em que a energia cinética do elétron é menor que a energia Ke

max, parece estar havendo uma violação da lei de conservação da energia, já que nestes decaimentos Q/c2< MM – MF. É fácil mostrar que o momento linear aparentemente também não é conservado nestes decaimentos, nem o momento angular, já que o nêutron, o próton e o elétron são partículas de spin 1/2.

  

Uma solução para esta aparente violação múltipla das leis de conservação foi proposta por Pauli em 1930. Segundo Pauli, o decaimento β envolveria a emissão de uma terceira partícula com os valores de energia, momento linear e momento angular necessários para que estas três grandezas fossem

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conservadas no processo de decaimento. A partícula não teria carga elétrica, uma vez que a carga era conservada mesmo na sua ausência. A massa da partícula deveria ser muito menor que a do elétron, já que a energia máxima dos elétrons emitidos no decaimento beta era praticamente igual a Q, a energia total disponível para o decaimento. Em 1933, Fermi formulou uma teoria altamente satisfatória para o decaimento beta que incluía a partícula postulada por Pauli, que Femi chamou de neutrino ("pequeno neutro” em italiano) para distingui-la de uma partícula neutra com massa comparável à do próton, o nêutron, que tinha sido descoberto por Chadwick no início do mesmo ano. Os neutrinos só foram observados em laboratório no ano de 1956, em um experimento realizado por Clyde Cowan e Frederick Reines. Hoje se sabe que existem seis tipos de neutrinos, um (νe) associado aos elétrons, um (νμ) associado aos múons, um (ντ) associado aos táuons, e as antiparticulas correspondentes, representadas pelos símbolos , μ e τ. Os elétrons, múons e táuons, juntamente com os neutrinos, formam uma família de partículas chamadas léptons. O decaimento de um nêutron livr resso através da equação e pode ser exp

         

e o decaimento do 198Au, um emissor β- mais ou menos típico, através da equação

Au            Hg         

onde, de acordo coma lei de conservação do número de léptons, a emissão de um elétron (β-) deve ser acompanhada pela emissão de um antineutrino. De acordo com os resultados experimentais mais recentes, a massa do neutrino do elétron está compreendida entre 0,07eV/c2 e 16 eV/c2; entretanto, por causa da margem de erro, não está excluída a possibilidade de que seja nula. Emissão β+: Na emissão β+, um próton se transforma em um nêutron com a emissão de um pósitron e um neutrino. Um próton livre não pode decair por emissão β- por causa da lei de conservação de energia (a energia de repouso do nêutron é maior que a do próton), mas graças ao efeito da energia de ligação, um próton no interior de um núcleo pode emitir um pósitron. Um decaimento por e - pi é seguinte: missão β tí co o

N            C  β  ν

O único emissor β+ natural conhecido é o 40K, que também pode decair por emissão β- e por captura eletr . A reação uinte: ônica é a seg

K             Ar     β  ν

Como em todas as transformações nucleares, existe uma relação entre a energia do decaimento Q e a diferença entre a massa do núcleo mãe e a soma das massas dos produtos do decaimento. Observe que se somarmos as massas dos Z elétrons às massas dos núcleos (Z = 7 no caso do N713 e Z = 19 no caso do K), obteremos do lado direito de cada equação a massa do átomo filha mais duas massas eletrônicas (o pósitron e o elétron têm massas iguais). A relação entre a energia do decaimento β+ e as massas atômicas do átomo mãe e do t lha é, por anto,

  

á omo fi t

2

Outra forma de interpretar este resultado é observar que na emissão β+ os produtos finais são um pósitron (que possui a mesma massa que um elétron) e um íon de carga nuclear (Z – 1) com Z elétrons atômicos.

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Como a massa de um átomo neutro de carga nuclear Z – 1 é a massa deste íon menos a massa de um elétron, a variação total de massa é igual à diferença entre as massas do átomo mãe e do átomo filha mais a massa de dois elétrons. Assim, a emissão β+ não pode ocorrer a menos que a diferença de energia seja pelo menos 2mec2 = 1,022 MeV.

Como já observamos, não existem nem elétrons nem pósitron no interior do núcleo antes do decaimento; estas partículas são criadas durante o processo de decaimento pela conversão de energia em massa, assim como os fótons são criados quando um átomo sofre uma transição para um estado de menor energia. Sob este aspecto, o decaimento β é mais parecido com a emissão fótons do que com o decaimento α. Existe, porém, uma diferença fundamental entre a emissão de elétrons (e neutrinos) por um núcleo excitado e a emissão de fótons por um átomo excitado. Os átomos emitem fótons quando um elétron ligado ao núcleo pela interação eletromagnética passa para um estado de menor energia. Acontece que os elétrons e neutrinos não estão sujeitos à interação que mantém os prótons e nêutrons unidos no núcleo e a interação eletromagnética não pode ser responsável por processo como o decaimento de um nêutron, já que o nêutron não possui carga elétrica. Assim, para explicar o decaimento β, temos que admitir a existência de um novo tipo de interação. Como os tempos de vida associados ao decaimento β são muito maiores que o tempo característico dos fenômenos nucleares (que da ordem de 10-23 s, o intervalo de tempo que uma partícula que esteja movendo com a velocidade da luz leva para percorrer uma distância igual ao diâmetro do núcleo), a nova interação deve agir durante um longo tempo (em comparação com o tempo característico) para produzir o decaimento. Isto significa que ela é muito mais fraca que a interação entre os núcleons. Por esta razão, foi denominada interação fraca. Existem, portanto, duas interações nucleares distintas, a interação forte e interação fraca. Ao contrário da interação eletromagnética, estas duas interações são de curto alcance.

Captura eletrônica: Na captura eletrônica, um próton no interior do núcleo captura um elétron atômico e se transforma em nêutron, ao mesmo tempo em que emite um neutrino; assim, o efeito sobre o número atômico é o mesmo da emissão β+. A energia disponível para este processo é dada por

Para que a captura eletrônica seja possível, basta que a massa de em átomo de número atômico Z seja maior que a massa de um átomo de número atômico Z - 1. Quando a diferença entre as massas é maior que 2me, a emissão β+ também é possível e os dois processos competem entre si. A probabilidade de captura eletrônica é proporcional ao quadrado da função de onda do elétron integrada ao longo do volume do núcleo. Ela é significativa apenas para os elétrons 1s da camada K e, com uma probabilidade muito menor, para os elétrons 2s da camada L. Um exemplo típico de captura eletrônica é a reação

Cr            V     ν

para a qual Q = 0,751 MeV. Observe que a emissão de um neutrino é necessária para conservar o número de léptons, já que o elétron capturado desaparece.

  

Podemos compreender melhor os processos de decaimento β analisando-os a partir do vale de energia que aparece em gráficos tridimensionais como aquele apresentado anteriormente, no qual dois dos eixos correspondem ao número de nêutrons e o número de prótons e o

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terceiro eixo corresponde à massa ou energia calculada com o auxílio da equação de Weizsäcker. Cortes no volume da figura, mantendo o valor de A constante, resultam em parábolas, visto que a equação de Weizsäcker é quadrática em Z. Quando A é ímpar, existe apenas uma parábola, já que a5=0, quando A é par, existem duas parábolas, uma para a5=12 MeV/c2 se N e Z forem pares e outra para a5=-12 McV/c2 se N e Z forem ímpares. A figura a seguir mostra dois exemplos.

Os decaimentos β sempre ocorrem ao longo das paredes do vale, em direção ao ponto de menor energia, no fundo do vale, que corresponde a um isótopo estável. Observe na figura da direita que existe a possibilidade de um duplo decaimento do 60Fe para o 60Ni. Como era de se esperar, a probabilidade de duas partículas β+ serem produzidas simultaneamente é muito pequena. Até 1985, a existência do duplo decaimento beta era conhecida apenas indiretamente, através da análise da abundância relativa de produtos de decaimento em amostras geológicas. Em 1985, Steven Elliott e colaboradores observaram este tipo de decaimento no 82Se. A reação é a seguinte:

A meia-vida para o duplo decaimento β medida por Elliott é 1,1 X 1020 anos. Teoricamente, se a massa do neutrino do elétron não fosse exatamente nula, a reação descrita pela última equação poderia ocorrer sem emissão de neutrinos. A observação de um duplo decaimento β sem emissão de neutrinos poderia ter importantes conseqüências tanto para a física das partículas elementares quanto para a cosmologia. Até o momento, porém, este tipo de decaimento ainda não foi observado.

Decaimento gama

No decaimento γ, um núcleo em um estado excitado decai para um estado de menor energia do mesmo isótopo por emissão de um fóton. Este tipo de decaimento é o análogo nuclear da emissão de luz pelos átomos. Como o espaçamento dos níveis de energia nucleares é da ordem de MeV (e não de eV, como no caso dos átomos), os comprimentos de onda dos fótons emitidos são da ordem de

  

Os decaimentos α e β são freqüentemente seguidos por um decaimento γ.

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Assim, por exemplo, quando um núcleo radioativo decai por emissão β para um estado excitado do núcleo filha, muitas vezes o núcleo filha decai para o estado fundamental emitindo um ou mais raios γ. O tempo médio de vida para o decaimento γ é em geral muito pequeno, da ordem de 10-11s. É difícil medir diretamente tempos de vida tão curtos, mas às vezes o tempo de vida pode ser determinado de forma indireta, medindo a largura de linha natural Γ da transição e usando a relação de incerteza /Γ para calcular o tempo de vida. Uns poucos emissores γ apresentam tempos de vida extremamente longos, da ordem de horas ou mesmo anos, em alguns casos raros. Estados instáveis com tempos de vida anormalmente longos recebem o nome de estados metaestáveis. A existência destes estados é uma conseqüência das regras de seleção da mecânica quântica que governam as transições entre níveis de energia, tanto no caso do átomo como no caso do núcleo. De acordo com uma destas regras de seleção, grandes variações de momento angular (spin) são proibidas para os decaimentos γ, ou seja, a probabilidade de que ocorra uma transição com esta característica é muito pequena. É por isso que, por exemplo, o primeiro estado excitado do 93Nb decai para o estado fundamental com uma meia-vida de 13,6 anos. O spin do estado metastável é 1/2, enquanto o do estado fundamental é 9/2. Para que o decaimento ocorra, é preciso que o raio γ seja emitido com 4 de momento angular, um evento extremamente improvável, o que explica a longa meia-vida do esta o excitado. d

A energia do raio γ emitido é igual à diferença de energia entre os estados envolvidos:

E E

onde Esup é a energia do nível superior e Einf a energia do nível inferior. A figura abaixo mostra vários decaimentos gama entre alguns dos estados excitados do 223Ra que resultam do decaimento do 227Th.

Assim, por exemplo, um núcleo de 223Ra que se encontra em um estado 174 keV acima do estado fundamental emite um raio gama e decai para um estado 61 keV acima do estado fundamental. A energia deste raio γ é 174 — 61 = 113 keV. Na verdade, de acordo com a lei de conservação do momento linear, o núcleo de 223Ra sofre um recuo ao emitir o fóton, o que faz com que absorva parte desta energia. A energia do r c o E da por e u , r, é da

Ep2M

hν2Mc

onde M é a massa do núcleo. Na prática, porém, a energia do raio gama emitido é sempre muito menor que a energia de repouso do núcleo, ou seja, . Assim, e

E E é uma excelente aproximação para a energia do raio gama.

  

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Conversão Interna: Quando um processo de decaimento produz um núcleo em um estado excitado, uma importante alternativa para a emissão de raios gama é o processo de conversão interna.

Neste processo, a energia em excesso do núcleo é transferida diretamente para um dos elétrons orbitais, que é ejetado do átomo. Em geral o elétron ejetado pertence a uma das camadas mais próximas do núcleo, a camada K ou a camada L. A energia cinética com a qual elétron é ejetado é igual à diferença de energia entre os estados nucleares envolvidos menos a emergia de ligação do elétron. Como as energias de ligação dos elétrons são conhecidas para quase todos os elementos, a medida da energia cinética destes elétrons de conversão pode ser usada para determinar a energia de muitos estados nucleares. Embora, de acordo com a mecânica quântica, a conversão interna seja um processo de apenas um estágio, foi vista inicialmente como a emissão de um fóton seguida por uma interação do fóton com um elétron do mesmo átomo, semelhante ao efeito fotoelétrico; esta é a razão pela qual fenômeno recebeu o nome de conversão interna.

M

 odelo do Gás de Núcleons

Weisskopf foi o primeiro a assinalar que havia uma explicação simples para o movimento independente dos núcleons através do núcleo no seu estado fundamental. A explicação tem como base o Modelo de Gás de Fermi. Este modelo é essencialmente o mesmo que o modelo de elétrons livres da condução de elétrons num metal. Supõe-se que cada núcleons do núcleo se move num potencial efetivo atrativo que representa um efeito médio de suas interações com os outros núcleons no núcleo. Este potencial tem um valor constante dentro do núcleo e fora do núcleo ele decresce até zero de uma distância igual ao alcance das forças nucleares e é aproximadamente igual a um poço quadrado infinito e tridimensional, de raio ligeiramente superior ao raio do núcleo como mostra a Figura 8.8. O núcleo contém dois tipos de partículas, os prótons e os nêutrons e ambos têm um momento angular intrínseco, são ambos férmions de spin1/2, mas como são duas partículas distinguíveis o princípio de exclusão de Pauli age independentemente sobre cada um deles. Assim podemos considerar que o núcleo é constituído por dois gases de Fermi, o dos prótons e o dos nêutrons e que corresponderão a dois estado energéticos diferentes e cada estado só pode ser ocupado por apenas dois prótons ou dois nêutrons, com spins opostos.

Figura 8.8. Representação esquemática de um poço de potencial nuclear.

29  

Os Z prótons e os N nêutrons movem-se livremente dentro de uma esfera de raio

, momento linear , e energia cinética: 3/10 ARR = kp

rh

r=

npnp

np mk

mp

,

22

,

2

, 22h

==ε (8.31)

A Figura 8.9 mostra os níveis ocupados pelos nêutrons. Podemos imaginar um diagrama semelhante para os prótons. Os níveis são ocupados até à energia de Fermi, que corresponde ao nível máximo.

  

Figura 8.9. Níveis de energia ocupados pelos nêutrons no estado fundamental de um núcleo. Os níveis de energia mais baixos são ocupados de acordo com o princípio de exclusão de Pauli. Utilizando este modelo vamos determinar mais dois termos da energia de ligação: A energia de Assimetria e a Energia de Emparelhamento.

• Energia de Assimetria A energia de assimetria corresponde a energia devido ao excesso de nêutrons.

30

Figura 8.10. Modelo do gás de núcleons. O modelo do gás de Fermi oferece uma explicação simples para a tendência dos núcleos terem Z=N (situação simétrica). Em um núcleo com Z muito pequeno, a força coulombiana que atua entre os prótons é desprezível quando comparada com as intensas forças nucleares. Nestes núcleos existem dois gases de Fermi independentes, o de nêutrons e o de prótons. Todos os dois se movimentam em potenciais nucleares efetivos que – nesta aproximação – são iguais, basicamente porque a força nuclear que atua entre os nêutrons é a mesma que atua entre prótons, uma vez que ela é independente da carga. Portanto nesta aproximação os níveis de energia mais altos são iguais em energia. Para um dado valor de A, a energia total do núcleo é obviamente minimizada se os níveis são ocupados com Z=N, porque núcleons ocupariam níveis mais altos se esta condição fosse violada. A Figura 8.10 mostra o modelo de gás de núcleons, onde as energias max pε e max nε

correspondentes aos níveis máximos de energia (análogo à energia de Fermi para os elétrons livres) para os prótons e os nêutrons são diferentes e expressas por:

3/2max

22

max 2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

AZC

mk

p

pp

hε e 3/2

max 22

max 2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

ANC

mk

n

nn

hε (8.32)

onde MeV. 90≅C

A energia cinética total, que é a energia cinética de todos os núcleons é:

3/23/2

max max ~ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ANN

AZZNZE np εε (8.33)

esta energia determina uma diminuição da energia de ligação, devido ao excesso de nêutrons:

ZAZN 2−=−=Δ (8.34)

porque . ZAN −=

Tirando o valor de Z, na expressão (8.34), teremos:

2Δ−

=AZ (8.35)

Sabendo de (8.34) que , substituímos o valor de Z, obtido em (8.35): ZN −=Δ

2Δ−

−=ΔAN (8.36)

Tirando o valor de N em (8.36), fica:

2Δ+

=AN (8.37)

  

Substituindo (8.35) e (8.37) em (8.33)

31

3/23/2

max max 2

22

2~

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ Δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ Δ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

+=A

AA

A

AANZE np εε

( ) ( )[ ]3/53/53/23/5

3/23/5

3/2max max ~

22~~ Δ++Δ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

+ −−− AAAAAAANZ np εε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−−

3/53/53/53/53/53/2 11~11~

AAA

AAAA (8.38)

Como AΔ

«1, obtemos1:

( )A

ZAAA

AE22 2

95~

95~ −

+Δ

+ (8.39)

onde ZA 2−=Δ . Para os núcleos mais estáveis, onde não existe excesso de nêutrons, o último termo é nulo. A correção para a energia de ligação é:

( )

AZAaBa

2

42−

−= (8.40)

onde MeV. Ele produz um decréscimo na energia de ligação total, ou um acréscimo na massa nuclear. Este valor é importante para os núcleos leves, porque

a variação de energia pelo desvio da condição N=Z, descrita pelo factor ( ) diminui com o aumento de A. A energia é inversamente proporcional A, porque a medida que A aumenta, a distância entre os níveis de energia diminue.

194 ≈a

22ZA−

A Figura 8.7 mostra como a aproximação sucessiva dos termos de correção, agora incluindo o termo de energia de assimetria, melhora os resultados, aproximando-os dos resultados experimentais, apresentados na Figura 8.2.

• Energia de Emparelhamento Os estados de energia previstos pelo modelo de gás de núcleons são os mesmos, tanto para os prótons como para os nêutrons, mas devido a interação eletrostática entre os prótons, o nível inferior do poço de potencial sobe de uma quantidade e o potencial repulsivo ( )reV ( )rV , corresponde ao potencial de Coulomb dado pela equação (8.24). Assim:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

0

2

223

4 Rr

RZereVπε

(8.41)

                                                

  

 1 ( ) 2)1(

!2111 xnnnxx n −+±=± ; substituindo fica :

2

2

135

35

!22

351

351

AA

AA

AA Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+ ~ 2

2

95

AA Δ+

32

Acontece que existe uma barreira de potencial ( )RV , para os prótons, na superfície do núcleo:

( ) 3/100

2

0

2

44 ARZe

RZereV

πεπε== (8.42)

enquanto que para os nêutrons não existe nenhuma barreira de potencial eletrostática. A Figura 8.10 mostra estes resultados. Os núcleons do mesmo tipo produzem uma ligação particularmente forte quando surgem aos pares. A energia de emparelhamento não pode ser explicada com base na analogia com a gota líquida, porque neste caso a energia cinética aumentava continuamente sendo necessário, neste contexto, introduzi-la como correção empírica. Se tivermos um número ímpar de prótons, ou nêutrons, o estado de energia mais alta fica meio preenchido de maneira que o núcleons seguinte ocupará o mesmo estado (ver Figura 8.10). Teremos então quatro tipos de núcleos: par-par, ímpar-ímpar, par-ímpar e ímpar-par, que correspondem à nº de prótons-nº de nêutrons. Comparando com o aumento contínuo da energia cinética, o núcleo par-par terá menos energia enquanto o núcleo ímpar-ímpar, terá mais energia. Significa que os núcleos par-par são mais estáveis. Ver Tabela 8.1. A energia cinética varia descontinuamente e na fórmula de energia de ligação corresponderá ao termo de emparelhamento:

( )ABp λϕ= (8.43)

onde :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

par -ímpar eímpar -par para 0ímpar-ímpar núcleo o para 1

par-par núcleo o para 1

λλλ

Estimamos o valor de ( )Aϕ fazendo uma comparação entre o valor da energia cinética (equação 8.42) nos núcleos (N,Z) do tipo par-par e nos núcleos (N-1,Z) ou (N,Z-1):

( ) ( )

3/23/1

3/23/23/23/2

3/23/23/23/23/2

max max

1321

321

3211111

/1111

ANC

ANC

NNANC

NANC

AN

AN

ANC

ANC

ANCNN nn

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−− εε

( ) AC

AZAC ~1

32

3/23/1−=

(8.44)

A melhor aproximação obtém-se na forma:

( ) 4/35

AaA =ϕ (8.45)

  

onde MeV. 345 ≅a

33

4/35

AaBp λ= (8.46)

que corresponde a energia de emparelhamento.

• Fórmula de Massa Semi-Empírica Somando as equações (8.13), (8.18), (8.29), (8.40) e (8.43), obtemos a energia de ligação:

( ) paCSV BBBBBZAB ++++=, (8.47)

ou

( ) =ZAB , Aa13/2

2Aa− 3/1

2

3 AZa− ( )

4/35

2

42

Aa

AZAa λ+−

− (8.48)

que é chamada fórmula de Weisaecker, e está de acordo com os dados experimentais com um erro inferior a 1% para A>15. É claro que esta fórmula exprime apenas o comportamento médio dos núcleos, não podendo decerto reproduzir quaisquer efeitos da estrutura em camadas.

Substituindo (8.48) em (8.7), obtemos:

( ) ( ) −−+= nH mZAZmZAM , Aca

21 3/2

22 A

ca

+ 3/1

2

23

AZ

ca

+( )

4/35

2

2

24 2

Aa

cAZA

ca λ

−−

+ (8.49)

desenvolvendo os termos:

( ) −−+= nnH ZmAmZmZAM , Aca

21 3/2

22 A

ca

+ 3/1223 −+ AZ

ca

ZcaAZ

caA

ca

2412

24

24 44 −++ − 4/3

52−− Aa

cλ

(8.50) ou

( ) 2, wZvZuAZAM ++= (8.51) onde:

( ) 4/72

3/122

214 −− −+

−+= A

cA

ca

caamu n

λ (termo independente de Z)

24

24 44

ca

cammv nH −≡−−= (termo que depende de Z)

  

1243/1

23 4 −− += A

caA

caw (termo dependente de Z2)

(8.52)

34

Para A ímpar teremos λ=0, e o gráfico em função de A (Z isóbaros) é uma parábola (Z2) como indica a Figura 8.11a. O mínimo corresponde ao núcleo mais estável entre os isóbaros com um determinado A. Podemos obter este mínimo derivando a equação (8.51) em relação a Z e igualando a zero. Assim:

( ZAM , )

02constante

=+=A

wZv ⇒

( ) 3/2431

243/1

23

24

4/12/

42

4

2 AaaA

AcaA

ca

ca

wvZZ A +

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=−==

−−

  

)

(8.53)

Normalmente como este resultado não é um número inteiro, o núcleo estável está situado perto do mínimo da parábola, enquanto aqueles núcleos vizinhos de Z são radioativos, e podem transformar-se numa espécie estável por emissão de uma

partícula ou pela captura eletrônica (a emissão de e não altera o n.º de massa).

−β +β −β +β

Figura 8.11. Gráfico em função de Z isóbaros para a) A ímpar e b) A par (ímpar-ímpar ou par-par). Aos núcleos estáveis estão indicados pelos círculos cheios.

( ZAM ,

Para A par teremos λ=±1 e duas parábolas diferentes, como mostra a Figura 8.11b. Uma delas, para os núcleos mais estáveis, do tipo par-par e a outra para núcleos instáveis do tipo ímpar-ímpar. Acima de A>15, não se conhece nenhum núcleo estável do tipo ímpar-ímpar. Os núcleos estáveis para A<15 são poucos:

. NB, ,Li ,H 147

105

63

21

35

Fissão Nuclear A fissão nuclear foi descoberta por Hahn e Strassman, em 1939. Utilizando técnicas de química verificaram que ao bombardear o urânio por nêutrons, produzia-se elementos do meio da tabela periódica. Observou-se que uma enorme quantidade de energia era libertada na fissão de um núcleo de Z elevado, em dois núcleos de Z intermediário, como conseqüência da redução da energia Coulombiana. A energia libertada era da ordem de 200 MeV, e em grande parte era sob a forma de energia cinética, dos dois fragmentos resultantes da fissão. A fissão ocorre nos núcleos de Z elevado porque a energia de repulsão Coulombiana entre os prótons do núcleo fica bastante reduzida quando o núcleo se divide em dois outros núcleos menores. Quando energia de ligação é menor do que a energia total de ligação dos seus componentes livres e o núcleo é instável e a fissão torna-se possível. Neste processo a energia de superfície aumenta, mas não o suficiente para impedir que o núcleo se divida. Vamos considerar a fissão de um núcleo de massa A e carga Z, em somente dois fragmentos de massa xA e (1-x)A e de carga yZ e (1-y)Z, respectivamente. Assim:

( )( ) ''' 11 XXX Ax

ZyxAyZ

AZ

−−+→ (8.54)

A diferença entre as energias de ligação, libertada neste processo é:

( ) ( ) ( )[ ] ( )ZABZyAxByZxABB ,1,1, −−−+=Δ (8.55)

Este valor pode ser calculado através da fórmula de Weisaecker(equação (8.48)):

=ΔB ( )[ ]−−−+ AAxxAa 11 ( ) ( )[ ]3/23/23/23/22 1 AAxxAa −−+

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 3a −

−−+

−−

3/1

2

3/1

3/12

3/1

3/122 11

AZ

Axy

AxZy

( ) ( ) ( )[ ]( )

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

− a44 −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−+

−A

ZAAx

ZyAxxA

yZxA 222 21

1212

( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]1212

2

4

3/123/123/1

2

33/23/23/2

2

1114

11111

−−

−−

−−−−

+−−−−+−−−=

xyxyAZa

xyxyAZaxxAa

(8.56) Os termos lineares em A e Z se anularam mutuamente, e a diferença entre as duas energias de emparelhamento foi considerada desprezível, e por esse motivo foi

negligenciada. Pode-se obter o máximo de BΔ para 21

== yx (derivar BΔ e igualar

a zero):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−≅Δ

AZAB

23/2

max 26.03.4 (8.57)

  

A libertação de energia na fissão nuclear é condicionada 0≥ΔB , o que implica em:

36

AAZ 1626.03.42 ≅≥ (8.58)

Isto significa que num processo de fissão nuclear simétrica em que a energia libertada, corresponde a energia cinética dos dois fragmentos nos quais se desintegra, só acontece para núcleos com Z > 35 e A > 80. A fissão forma duas gotas líquidas nucleares a partir da gota líquida inicial, como mostra a Figura 8.12. A área superficial aumenta enquanto a energia de Coulomb diminui durante o processo.

Figura 8.12. Uma representação esquemática das etapas envolvidas no processo de fissão nuclear. O parâmetro s caracteriza a evolução da fissão através da distância (embora inicialmente imprecisa) que separa os fragmentos de fissão. O efeito destas mudanças é equivalente à uma barreira suplementar de potencial para a separação dos fragmentos da fissão. A fissão espontânea ocorre para núcleos onde o aumento de energia de superfície é menor do que a diminuição da energia de Coulomb, é o que ocorre para:

AAa

aZ 502

3

22 ≅≥ (8.59)

ou seja, para núcleos com Z > 140 e A > 380, ainda não descobertos.

Um processo muito mais importante é a fissão induzida, que ocorre habitualmente com o núcleo pela captura de um nêutron de baixa energia. A Figura 8.13 mostra o espectro de massa dos fragmentos produzidos na fissão do

. Pue U ,U 105

23592

23392

No caso do , em que , podemos ter por exemplo: U23592 AZ 362 =

n2nU 1

014055

9337

10

23592 ++→+ CsRb (8.60)

Este processo liberta 7 MeV, que é a energia necessária para ultrapassar a barreira de potencial.

  

37

Figura 8.13. A Figura 8.13 mostra o espectro de massa dos fragmentos produzidos na fissão do quando induzidos por nêutrons de baixa energia. Pue U ,U 10

523592

23392

38