Física2-03

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1

Prof. A.F.Guimares Fsica 2 Questes 3

Questo 1

A presso atmosfrica pode ser considerada

constante em todos os pontos de uma regio de

volume pequeno. Alm disto, a presso de um gs

(ou de um fluido de um modo geral)

considerada isotrpica, isto , a presso igual

em todas as direes em torno de um dado ponto.

A fora produzida por esta presso portanto

ortogonal a um elemento qualquer de superfcie

infinitesimal sobre um dado corpo. Considere a

presso exercida sobre a superfcie de um corpo.

Usando coordenadas esfricas mostre que a fora

sobre um elemento de rea dA pode ser

decomposta em trs componentes dados por:

zF pdAcos= , xF pdAsen cos = e

yF p dAsen cos = . Onde dA o elemento de

rea em coordenadas esfricas, ou seja, 2dA r sen d d = .

Resoluo:

Em coordenadas esfricas temos:

Como a fora dada por:

dF pdA=

(1.1)

Ou seja, e elemento infinitesimal de fora

paralelo direo do elemento infinitesimal do

vetor rea. Logo:

zdF p dAcos= (1.2)

xdF p dAsen cos = (1.3)

ydF p dAsen sen = (1.4)

Esses elementos infinitesimais de fora

representam as foras do elemento de rea, Fx, Fy

e Fz.

Questo 2

Qual seria a altura da atmosfera se a densidade

do ar (a) fosse constante e (b) diminusse

linearmente a zero com a altura? Suponha que a

densidade ao nvel do mar 1,3 kgm-3.

Resoluo:

a) Utilizando a expresso da presso de um fluido

com densidade constante, teremos:

510 1,3 10

7692,3

P g h

h

h m

=

=

(2.1)

b) Considerando que a densidade diminui

linearmente com a altitude, teremos:

0

ath

dP g dh

P g dh

=

=

(2.2)

Onde foi considerado que a gravidade constante

nesse trecho da atmosfera. Resolvendo a integral

em (2.2), teremos a rea do tringulo

representado no grfico. Logo:

0

1,3

2

athathA dh

= =

(2.3)

h(m)

(kgm-3

)

1,3

0 hat

d

d

dA

z

x

y


2

W D

o

Substituindo o resultado de (2.3) em (2.2),

teremos:

5 1,310 10

2

15384,6

at

at

h

h m

=

=

Questo 3

Determine a presso atmosfrica a 16 km

acima do nvel do mar.

Resoluo:

A presso atmosfrica varia exponencialmente

com a altitude. A expresso da presso dada

por:

0

ayP P e=

(3.1)

Onde 10,116a km= e 5 2010P N m (presso

atmosfrica no nvel do mar). Assim, utilizando

os valores dados na equao (3.1), teremos:

5 0,116 16

4 2

10

1,56 10

P e

P N m

=

(3.2)

Questo 4

A face vertical de uma barragem retm gua D,

como mostra a figura. Seja W a largura da

barragem. (a) Ache a fora horizontal resultante

exercida na barragem devido presso

manomtrica da gua e (b) o torque da fora,

devido presso manomtrica da gua, em

relao linha que passa pelo ponto O e que

paralela largura da barragem. (c) Qual a linha

de ao da fora resultante?

Resoluo:

a) Seja dF o elemento infinitesimal de fora que

atua em uma determinada profundidade da

barragem. Assim, teremos:

dF gh W dh=

(4.1)

Onde Wdh o elemento de rea. Mas, h + y = D, assim teremos:

;h D y dh dy= =

(4.2)

Utilizando (4.2) em (4.1), e integrando de D a 0,

teremos:

( )0

02

2

2

2

D

D

dF gW y D dy

yF gW Dy

gWDF

=

=

=

(4.3)

b) Seja do mdulo do elemento de torque com relao ao ponto O. Assim, teremos:

( )d dF y

d gW y D y dy

=

=

(4.4)

Agora integrando a equao (4.4), teremos:

( )0

2

03 2

3

3 2

6

D

D

gW y Dy dy

y DygW

gWD

=

=

=

(4.5)

c) Agora utilizando os resultados de (4.3) e (4.5),

teremos:

dy


3

3 2

6 2

3

F y

gWD gWDy

Dy

=

=

=

(4.6)

Questo 5

Considere um recipiente contendo um lquido

com massa especfica . O recipiente est apoiado no piso de um elevador. Determine a variao da

presso com a profundidade h nos seguintes

casos: (a) o elevador sobe com acelerao a. (b) o

elevador desce com acelerao a. (c) o elevador

desce em queda livre.

Resoluo:

a) Levando em considerao somente a presso

manomtrica, teremos:

P gh=

(5.1)

Porm, para um referencial em um elevador que

sobe acelerado, o peso aparente dado por:

( );

ap ap

ap

W ma mg W m a g

W mg g a g

= + = +

= = +

(5.2)

Utilizando o resultado de (5.2), teremos:

( )P g h

P a g h

=

= +

(5.3)

b) O mesmo pode ser aplicado para um

referencial em um elevador que desce acelerado.

Para esse caso, o peso aparente dado por:

;apW mg g g a = =

(5.4)

Logo, utilizando o resultado de (5.4), teremos:

( )P g h P g a h = = (5.5)

c) Para um elevador que cai em queda livre, P = 0.

Se for levada em conta a presso atmosfrica,

basta soma-la em todos os resultados.

Questo 6

Um recipiente cilndrico que contm um

lquido incompressvel gira com velocidade

angular constante em torno de seu eixo de

simetria, o qual vamos considerar como o eixo Oy

(ver figura). a) Mostre que a presso a uma dada

altura no interior do lquido cresce com a

distncia radial r (para fora do eixo de rotao)

de acordo com 2P r r = . b) Integre esta equao diferencial parcial para achar a presso

em funo da distncia ao eixo de rotao ao

longo de uma linha horizontal para y = 0. c)

Combine a resposta da parte b) com a equao

( )2 1 2 1P P g y y = para mostrar que a superfcie do lquido que gira possui uma forma

parablica, ou seja, a altura do lquido dada por

( ) 2 2 2h r r g= . (Esta tcnica usada para fabricar espelhos parablicos para telescpios; o

vidro lquido gira e depois solidificado

enquanto est girando.).

Resoluo:

a) Seja o elemento de fluido representado na

figura abaixo.

O elemento de fora centrpeta infinitesimal que

o elemento de fluido exerce dado por:

2dF dm r=

(6.1)

r

h

y

dF

dr

Superfcie do lquido A (rea)


4

Agora, tomando a definio de presso, teremos:

2

2 2

;dF A r dr dm A dr

dFdPA r r

dr dr

= =

= =

(6.2)

Onde A a rea da base do elemento de fluido.

Como a presso no funo apenas da varivel

radial, podemos concluir ento:

2P rr

=

(6.3)

b) Integrando a equao (6.3), teremos:

2

0

2 2

.2

r

P r dr

rP const

=

= +

(6.4)

Para r = 0 a presso exercida na superfcie do

lquido a presso atmosfrica. Portanto,

teremos:

2 2

02

rP P

= +

(6.5)

Com a vertical a presso varia de acordo com a

equao:

0P P gh= +

(6.6)

Tomando a superfcie do lquido, teremos:

2 2

0 0

2 2

2

.2

rP gh P

rh

g

+ = +

=

(6.7)

Questo 7

Um objeto cbico cuja dimenso lateral L

(0,6m) e peso W (4000 N), no vcuo, suspenso

por uma corda em um tanque aberto, com gua

de densidade (1,0 gcm-3), como indica a figura.

(a) Determine a fora total descendente exercida

pela gua e pela atmosfera no topo do objeto de

rea A (0,36 m2). (b) Determine a fora total na

base do objeto. (c) Determine a tenso na corda.

Resoluo:

a) A fora total exercida pela atmosfera e pela

gua dada por:

( )( )

1

5

1

5 3

1

4

1

10

10 10 9,8 0,3 0,36

3,71 10 .

T

T

T

T

F P A

F gh A

F

F N

=

= +

= +

=

(7.1)

b) A fora total exercida pela atmosfera e pela

gua na base inferior dada por:

( )2

5 3

2

4

2

10 10 9,8 0,9 0,36

3,92 10

T

T

T

F P A

F

F N

=

= +

=

(7.2)

c) A tenso na corda dada por:

1 2

4 43,71 10 4000 3,92 10

1900

T TT F W F

T

T N

= +

= +

=

(7.3)

L

L/2


5

Questo 8

Uma esfera feita de um material de massa

especfica d e volume V. Determine o volume V

da cavidade esfrica existente em seu interior

para que ela flutue num lquido de massa

especfica , mantendo uma frao V/n do seu

volume dentro do lquido.

Resoluo:

Para que a esfera permanea equilibrada com

uma frao de seu volume dentro do lquido, o

peso dela deve ser igual, em mdulo, ao empuxo

que nela atua. Assim, teremos:

E W

Vg mgn

Vm

n

=

=

=

(8.1)

Onde m a massa da esfera. A massa, por sua vez,

pode ser determinada pela relao da massa

especfica da esfera. Assim, teremos:

( )m d V V = (8.2)

Agora, combinando o resultado de (8.1) e a eq.

(8.2), teremos:

1

VV V

nd

V Vnd

=

=

(8.3)

Questo 9

Uma esfera oca de ferro flutua quase

completamente imersa na gua. O seu dimetro

externo mede 50 cm e a massa especfica do ferro

vale 7,8 gcm-3. Calcule o dimetro interno da

esfera.

Resoluo:

O empuxo sobre a esfera deve equilibrar com o

peso da mesma. Assim, teremos:

2

3

34, 0,021

3

21

extH O

RgV mg V m

m kg

= =

(9.1)

Onde m a massa da esfera. Com a massa

poderemos determinar o volume da parte interna

e assim, o raio. Logo,

3

3

3

21 7,8 10

21

7,8 10

Fe Fe

Fe

Fe

m V

V

V m

=

=

=

(9.2)

Agora podemos calcular o raio interno e

consequentemente o dimetro interno da esfera.

Assim, teremos:

( )3 33

3

4

3

4210,021

7,8 10 3

0,239 23,9

47,8 .

Fe ext i

i

i i

i

V R R

R

R m R cm

D cm

=

=

(9.3)

Questo 10

Um tubo em U contm um lquido homogneo.

Durante certo tempo, um mbolo faz baixar o

nvel do lquido em um dos ramos. Retirando o

pisto, os nveis do lquido nos dois ramos

oscilam. Mostre que o perodo de oscilao

2L

g , sendo L o comprimento total do lquido

no tubo.

Resoluo:

A fora exercida pela coluna de lquido (2) no

ponto (1) dada por:

1 2

x

x


6

2P A g x A = (10.1)

Onde A a rea transversal do tubo e o sinal

negativo indica que a fora aponta no sentido

contrrio ao deslocamento. Essa fora vai

acelerar toda a massa do lquido. Assim, teremos:

2

2

2 2

2.

mm a g x A

A L

gx ga

L L

LT

g

=

= =

=

(10.2)

Questo 11

Um basto cilndrico, de madeira, lastreado

com chumbo em uma extremidade, de maneira

que ele flutue verticalmente na gua, como

mostra a figura. A parte submersa mede l = 2,4 m.

O basto posto em oscilao vertical. (a) Mostre

que o movimento harmnico simples. (b)

Determine o perodo em segundos. Despreze o

amortecimento que a gua produz nas oscilaes.

Resoluo:

a) Previamente, analisemos a situao de

equilbrio.

2

2

32,4 10

H O

H O M

M

E P

g A l mg

A l A L

L

=

=

=

=

(11.1)

Onde L o comprimento total da haste.

Agora, utilizando as relaes dadas por (11.1),

para um deslocamento x, a fora resultante na

madeira ser dada por:

( )2

2 2

2

2

2

H O

H O H O

H O

M H O

H O

M

ma g V mg

ma g A l x g A l

ma g A x

A L a g A x

ga x

L

= +

= + +

=

=

=

(11.2)

O resultado de (11.2) mostra que sendo a

acelerao negativa (com relao ao

deslocamento x) o movimento ser harmnico

simples.

b) Agora utilizando os dados, teremos:

1

4 2a x rad s

T s

= =

=

(11.3)

Questo 12

A tenso em uma corda prendendo um bloco

macio abaixo da superfcie de um lquido (de

densidade maior que o bloco) T0 quando o vaso

que o encerra (figura) est em repouso. Mostre

que a tenso T, quando o vaso sofre uma

acelerao ascendente vertical a, dada por

( )0 1 aT g+ .

Resoluo:

Na condio de equilbrio, temos:

2

0

0 H O

T w E

T gV mg

+ =

=

(12.1)

l gua

ar


7

Onde V e m so respectivamente, o volume e a

massa do bloco. Quando o vaso sobe acelerado,

com acelerao a, para um referencial dentro

do vaso (referencial no inercial), o peso

aparente dado por:

( )apw m a g= + (12.2)

Logo, como o empuxo igual ao peso do fluido

deslocado, podemos concluir:

( )2ap H O

E a g V= +

(12.3)

A acelerao se adiciona com a acelerao da

gravidade a exemplo das velocidades com

sentidos opostos. Ainda para o referido

referencial, para a condio de equilbrio,

teremos:

( ) ( )

( )

2

2 2

20

01

ap ap

H O

H O H O

H O

T w E

T a g V m a g

T gV mg aV ma

T T a V m

aT T

g

+ =

= + +

= +

= +

= +

(12.4)

Questo 13

Ache a presso manomtrica em pascals em

uma bolha de sabo com dimetro igual a 3,00

cm. A tenso superficial igual a 25,0 x 10-3Nm-1.

Resoluo:

Para uma bolha de sabo, a presso manomtrica

ser dada por:

4p

R

=

(13.1)

Onde a tenso superficial e R o raio da bolha.

Assim, substituindo os valores dados, teremos:

3

2

2

4 25 10 10

3 10 3p p N m

= =

(13.2)

Questo 14

Calcule o excesso de presso a 20 0C a) no

interior de uma gota de chuva grande com raio

igual a 1,00 mm; b) no interior de uma gota de

gua com raio igual a 0,0100 mm (tpica de uma

gotcula no nevoeiro).

Resoluo:

Para uma gota de lquido, a diferena de presso

entre a parte interna e a parte externa dada

por:

2ap p

R

=

(14.1)

Onde a tenso superficial e pa a presso

atmosfrica (externa).

a) Para uma gota de gua, a tenso superficial a

200C vale: 72,8 mNm-1. Assim, teremos:

3

3

2

2 72,8 10

10

145,6 .

a

a

p p

p p N m

=

=

(14.2)

b) De forma semelhante, teremos:

3

3

4 2

2 72,8 10

0,01 10

1,456 10

a

a

p p

p p N m

=

=

(14.3)

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