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FLAMBAGEM TÉRMICA DE DUTOS SUJEITOS À PRESSÃO INTERNA

Felipe Sant’Ana Castelpoggi

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa

de Pós-graduação em Engenharia Oceânica, COPPE,

da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do título

de Mestre em Engenharia Oceânica.

Orientador: Murilo Augusto Vaz

Rio de Janeiro

Março de 2012


Felipe Sant’Ana Castelpoggi

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Júlio Cesar Ramalho Cyrino, D.Sc.

________________________________________________ Profª. Lavínia Maria Sanábio Alves Borges, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2012

iii

Castelpoggi, Felipe Sant’Ana

Flambagem Térmica de Dutos Sujeitos à Pressão Interna / Felipe

Sant’Ana Castelpoggi. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2012

XII, 78p.:Il.; 29,7 cm.


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia

Oceânica, 2012.

Referências Bibiográficas: p. 76-78.

1. Duto Pressurizado. 2. Flambagem Térmica. 3. Pós-Flambagem

Térmica. I. Vaz, Murilo Augusto. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.

iv

É muito melhor arriscar coisas grandiosas,

alcançar triunfos e glórias, mesmo expondo-

se a derrota, do que formar fila com os

podres de espírito que nem gozam muito

nem sofrem muito, porque vivem nessa

penumbra cinzenta que não conhece vitória

nem derrota.

Theodoro Roosevelt

A persistência é o caminho do êxito.

Charles Chaplin

Não se pode ensinar tudo a alguém, pode-se

apenas ajudá-lo a encontrar por si mesmo o

caminho.

Galileu Galilei

Dedico esse trabalho aos meus pais, que

me ensinaram a lutar pelos meus sonhos,

Miriam Sant’Ana Castelpoggi e

José Mauro Maggessi Castelpoggi

e à minha Esposa,

Juliana Pandini Castelpoggi

v

AGRADECIMENTO

Ao orientador e amigo, professor Murilo Augusto Vaz, meus agradecimentos pela

paciência, por acreditar e apoiar o desenvolvimento deste trabalho.

Aos meus pais, Miriam Sant’ana Castelpoggi e José Mauro Maggessi Castelpoggi, pelo

incentivo e apoio sempre com muito amor e carinho.

À minha esposa Juliana Pandini Castelpoggi, pelo seu apoio, carinho, compreensão e pela

força na fase final desta dissertação.

À minha irmã Danusa Maria Sant’ana Castelpoggi que demonstra sincera felicidade por

mais essa etapa vencida na minha vida.

Aos meus amigos da Interocean Engenharia & Ship Management: Bruno Ávila, Cosme,

Eduardo Craddock, Eduardo Peixoto, Genil, Jorge Poli, Julia, Larissa, Leonardo, Maxwell,

Ney Rosa, Raphael, Ricardo Assis, Roberto e Thiago pelo incentivo e amizade. E em

especial aos grandes professores: Adilson, Cesar Dinucci, Marcos Tadeu e Paulo

Lemgruber, me ensinaram na pratica de inúmeros projetos, como ser um Engenheiro Naval.

Ao gerente da Engenharia Naval da Petrobras, Gustavo, por permitir, e por muitas vezes

facilitar, a continuação ininterrupta do mestrado, bem como meus companheiros de

trabalho: Adelson, Andréia, Aratanha, Christino, Diego, Juliana, Leonardo, Luciano,

Luizão, Marçal, Marco, Paulão, Rafaella, Ribeiro, Rodrigo (Amigão), Sibeli, Silvia, Tadeu,

Teles e Werner, pelo incentivo e apoio.

A todos os companheiros do Mestrado em Engenharia Oceânica do laboratório NEO

(Núcleo de Estruturas Oceânicas): Aynor, Juan Carlos, Maximo, Miguel e Victor com

quem pude manter importantes momentos de descontração e troca de conhecimentos.

A todos os funcionários do laboratório NEO, em especial à Suely e Eliene.

vi

E em especial pela ajuda, companheirismo, apoio e confiança aos amigos: Marcelo Caire,

Nicolau Rizzo e Sylvio Correia.

E a todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

vii

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)


Felipe Sant’ana Castelpoggi

Março/2012


Programa: Engenharia Oceânica

Neste trabalho é estudado o comportamento estrutural de dutos rígidos do tipo parede

simples, sujeitos a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme, que

podem ser empregados no transporte de gás, na exportação de petróleo e em vários outros

campos da indústria. Inicialmente é apresentada uma análise assumindo o duto como uma

viga elástica, esbelta, sujeita a uma pressão interna, a um gradiente de temperatura e com

extremidades bi-apoiadas impedidas de se deslocarem. Uma solução analítica para

flambagem e pós-flambagem inicial é apresentada, um modelo em elementos finitos (MEF)

é desenvolvido e uma comparação entre os modelos é realizada. Em seguida estuda-se a

resposta do duto comportando-se como uma casca cilíndrica elástica, esbelta, sujeita a uma

pressão interna, a um gradiente de temperatura e com extremidades bi-apoiadas impedidas

de se deslocarem. Para tal uma solução analítica para a flambagem é apresentada, um

modelo em elementos finitos (MEF) é desenvolvido e uma comparação entre os modelos é

realizada.

viii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

THERMAL BUCKLING OF PIPELINES SUBJECT TO INTERNAL PRESSURE

Felipe Sant’ana Castelpoggi

March/2012

Advisor: Murilo Augusto Vaz

Department: Ocean Engineering

This paper examines the structural behavior of a single wall rigid pipeline, subject to

internal pressure and a uniform temperature gradient, which can be used to transport gas, to

export oil and in several other fields of industry. Initially, it presents an analysis assuming

the pipeline as an elastic slender beam, subject to internal pressure, a temperature gradient

and with its two ends supported and prevented from moving. An analytical solution for

buckling and initial post-buckling is presented, a finite element model (FEM) is developed

and a comparison between the models is performed. Next, it is studied the response of the

pipeline behaving like an elastic slender cylindrical shell, subject to internal pressure, a

temperature gradient and with its two ends supported and prevented from moving. An

analytical solution for the buckling is presented, a finite element model (FEM) is developed

and a comparison between the models is performed.

ix

SUMÁRIO

1 CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO .................................................................................... 1

1.1 Considerações Iniciais ............................................................................................. 1

1.2 Objetivo ................................................................................................................... 8

1.3 Revisão Bibliográfica ............................................................................................ 10

2 CAPÍTULO II - FLAMBAGEM E PÓS-FLAMBAGEM ELÁSTICA DE VIGA ...... 14

2.1 Modelo Analítico ................................................................................................... 14

2.1.1 Solução Analítica ............................................................................................ 21

2.2 Modelo Numérico .................................................................................................. 34

2.2.1 Modelo Numérico para Temperatura Crítica de Flambagem ......................... 34

2.2.2 Modelo Numérico de Pós-Flambagem ........................................................... 38

3 CAPÍTULO 3 - FLAMBAGEM DE CASCA .............................................................. 42

3.1 Modelo Analítico ................................................................................................... 43

3.2 Modelo Numérico .................................................................................................. 55

4 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DE RESULTADOS .......................................................... 62

4.1 Flambagem e Pós-Flambagem Tipo Viga. ............................................................ 62

4.2 Flambagem Tipo Casca. ........................................................................................ 68

4.3 Interface Viga e Casca. .......................................................................................... 71

5 CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS

FUTUROS ............................................................................................................................ 74

6 CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................... 76

x

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 – Sistema de produção submarina, [1]. ................................................................. 1

Figura 1.2 Duto flexível, [2]. .................................................................................................. 2

Figura 1.3 Duto pipe-in-pipe, [3]. .......................................................................................... 4

Figura 1.4 Duto sanduíche, [4]. .............................................................................................. 5

Figura 1.5 Duto de parede simples, [5]. ................................................................................. 6

Figura 1.6 Conceito de estabilidade do equilíbrio. (a) Estável. (b) Instável. (c) Neutro ou

indiferente, [7]. ....................................................................................................................... 6

Figura 1.7 Instabilidade bifurcacional (coluna de Euler). ...................................................... 8

Figura 1.8 Viga sujeita à pressão interna e à temperatura ...................................................... 8

Figura 1.9 Casca cilíndrica sujeita à pressão interna e à temperatura. ................................... 9

Figura 2.1 Esquema do duto pressurizado, com uma variação de temperatura.................... 14

Figura 2.2 Seção transversal do duto. ................................................................................... 15

Figura 2.3 Elemento infinitesimal de duto deformado. ........................................................ 15

Figura 2.4 Duto sujeito à iP e T∆ . ...................................................................................... 17

Figura 2.5 Malha utilizada no modelo de viga. .................................................................... 35

Figura 2.6 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo. ......................................... 35

Figura 2.7 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica usando a função

buckle. ................................................................................................................................... 38

Figura 2.8 Conector CONN2D2 ........................................................................................... 40

Figura 2.9 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica. ........................ 41

xi

Figura 3.1 Casca cilíndrica sujeita a pressão interna e temperatura com extremidades bi-

apoiadas. ............................................................................................................................... 42

Figura 3.2 Coordenada geométrica, [11]. ............................................................................. 43

Figura 3.3 Forças em um elemento de casca, [11]. .............................................................. 44

Figura 3.4 Momentos em um elemento de casca, [11]. ........................................................ 44

Figura 3.5 Duto com uma pressão lateral e uma variação de temperatura, [11]. ................. 52

Figura 3.6 Malha utilizada no modelo de casca. .................................................................. 57

Figura 3.7 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo. ......................................... 57

Figura 3.8 Coupling utilizado no modelo. ............................................................................ 59

Figura 3.9 Conector CONN3D2 ........................................................................................... 60

Figura 3.10 Modelo flambado como casca após atingir a temperatura crítica usando a

função buckle. ....................................................................................................................... 61

Figura 4.1 Flambagem: Modelos numérico e analítico. ....................................................... 63

Figura 4.2 Coeficiente de esbeltez por temperatura crítica de flambagem. ......................... 64

Figura 4.3 Tensão de Von Mises por coeficiente de esbeltez .............................................. 65

Figura 4.4 pós-flambagem: Pressão interna e temperatura................................................... 65

Figura 4.5 Comprimento deformado por tensão de Von Mises. .......................................... 66

Figura 4.6 Deflexão máxima por temperatura. ..................................................................... 67

Figura 4.7 Deformadas no regime de pós-flambagem. ........................................................ 67

Figura 4.8 Flambagem de casca: Modelos numérico e analítico. ......................................... 69

Figura 4.9 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, 150=β . ................ 69

Figura 4.10 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, 200=β . ............. 70

Figura 4.11 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, 250=β . ............. 70

xii

Figura 4.12 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros 2λ e β ......................... 72

Figura 4.13 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros t∆ e 2λ ....................... 73

ÍNDICE DE TABELA

Tabela 2.1 Propriedades do material e da seção do duto ...................................................... 36

1

1 CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

Com o crescimento da indústria petrolífera, surgiu também a necessidade de

aprofundar os estudos dos dutos, que são usados para o transporte de vários tipos de

fluidos, como o petróleo, fluido de completação, água de injeção, gases (para gaslift ou

injeção) e produtos químicos, como mostrado na Figura 1.1, geralmente trabalhando à alta

pressão.

Figura 1.1 – Sistema de produção submarina, [1].

Para o transporte destes fluidos os dutos podem ser classificados de duas maneiras,

risers e flowlines. Os risers são utilizados para o escoamento vertical de fluidos onde a

Risers

Gaslift

Flowlines

2

resposta dinâmica deve ser considerada no seu dimensionamento. Os flowlines são usados

para dutos em aplicações estáticas, normalmente assentados no leito marinho. Exemplos

podem ser vistos na Figura 1.1.

Os risers e flowlines podem ser divididos em dois grupos, os dutos flexíveis e os

dutos rígidos, como descritos abaixo.

Dutos Flexíveis

Duto flexível é uma estrutura compósita tubular, consolidada pela disposição

concêntrica de várias camadas cilíndricas de diferentes materiais metálicos e poliméricos

como mostrado na Figura 1.2. Suas principais características são: Alta resistência à tração;

bom isolamento térmico; baixa rigidez à flexão e, por isso, passível de enrolamento em

carretéis sem emendas, podendo ser facilmente instalado e reaproveitado; e exibe

desempenho satisfatório sob diversas condições de operações.

Figura 1.2 Duto flexível, [2].

Dutos Rígidos:

Dutos rígidos podem ser considerados elementos tubulares esbeltos confeccionados

em aço, podendo, em alguns casos muito específicos, ser de titânio. São classificados como

3

rígidos, pois possuem maior resistência à deflexão que os dutos flexíveis. Quando

comparados aos flexíveis, os dutos rígidos possuem um menor custo e são capazes de

resistir a altas pressões, o que os tornam interessantes para utilização em águas profundas e

ultra-profundas. Porém, são mais suscetíveis à falha por fadiga quando submetidos a

carregamentos cíclicos devido às ondas, aos movimentos da unidade flutuante e à ação da

corrente marinha.

Os dutos rígidos podem ser nomeados de acordo com o produto transportado. São

chamados de oleoduto aqueles utilizados para transporte de óleo cru, ou para exportação de

óleo tratado; gasodutos são usados para injeção, gas-lift, ou mesmo para exportação de gás;

aqueduto para transporte de água tratada para injeção; além dos dutos utilizados para

transporte de produtos químicos como inibidores de compostos parafínicos e hidratos. Os

dutos rígidos também podem ser divididos em três tipos:

• Duto Pipe-in-Pipe:

Os dutos pipe-in-pipe são compostos por dois tubos de aço montados

concentricamente com o espaço anular preenchido ou não por um material com boas

propriedades de isolamento térmico, conforme a Figura 1.3. O objetivo deste tipo de duto é

aumentar a capacidade de isolamento térmico para evitar problemas de escoamento por

perdas térmicas. O aumento de capacidade de isolamento é necessário para evitar

problemas de fluxo por bloqueamento do espaço interno do duto, por formação de

“hidratos” ou “parafinas” em condições específicas de pressão, temperatura e fase dos

fluidos transportados

4

Figura 1.3 Duto pipe-in-pipe, [3].

• Duto sanduíche:

Sua geometria é muito similar ao do sistema pipe-in-pipe, porém, a diferença reside

no fato de a camada anular ser preenchida por uma camada sólida com função estrutural,

seja de polímero ou de material cerâmico. Outro aspecto que difere esta classe de dutos

com o conceito pipe-in-pipe é a função que a camada anular desempenhará em serviço:

Enquanto na concepção pipe-in-pipe, a função da camada anular é exclusivamente isolar

termicamente os hidrocarbonetos do meio externo, na concepção duto sanduiche, o objetivo

primário desta camada é contribuir na resistência estrutural do duto como um todo e ao

mesmo tempo fornecer um isolamento térmico satisfatório.

Outra característica importante para os dutos sanduíches (vide Figura 1.4) é a seleção

de materiais anulares de baixa densidade, essencialmente abaixo da densidade da água do

mar, reduzindo o peso submerso da linha e facilitando o processo de instalação através de

embarcações de lançamento.

5

Figura 1.4 Duto sanduíche, [4].

• Duto de parede simples:

Diferente dos dutos pipe-in-pipe e sanduíche, esta concepção é composta de uma

única parede de aço (como mostrado na Figura 1.5) com a função única de resistir aos

carregamentos impostos. Com isso, devido ao aumento da profundidade, o peso por

unidade de comprimento aumenta muito e fica mais difícil sua aplicação em águas ultra-

profundas. Outro aspecto negativo é a necessidade de uma camada isolante para evitar a

formação de “hidratos” ou “parafinas”.

6

Figura 1.5 Duto de parede simples, [5].

Todos esses dutos, quando sujeitos a condições ambientais e de operação, podem

sofrer algum tipo de instabilidade estrutural. Segundo os conceitos baseados em REIS E

CAMOTIM [6] a noção de estabilidade sempre é associada ao conceito de equilíbrio, e é

utilizada para classificar a “configuração de equilíbrio”. Admite-se que uma estrutura

sujeita a uma força externa exibe uma configuração de equilíbrio caracterizada pelos

valores dos deslocamentos dos seus pontos, cuja estabilidade pode ser avaliada através do

comportamento da estrutura após sofrer uma perturbação.

A estabilidade do equilíbrio é facilmente visualizada através de um problema clássico.

A Figura 1.6 mostra uma esfera rígida, sujeita ao peso próprio e em repouso. A Figura 1.6

(a) demonstra o equilíbrio estável, já a Figura 1.6 (b) representa o equilíbrio instável e por

sua vez a Figura 1.6 (c) o equilíbrio neutro ou indiferente.

Figura 1.6 Conceito de estabilidade do equilíbrio. (a) Estável. (b) Instável. (c) Neutro ou indiferente, [7].

7

O projeto de estrutura não se baseia somente no conceito de segurança à resistência e

deformação de seus elementos, principalmente em estruturas “esbeltas”. É fundamental

considerar fenômenos que envolvem o conceito de estabilidade estrutural, seja da estrutura

completa ou de elementos individuais. Esse fenômeno de instabilidade estrutural é

conhecido de forma geral como “flambagem”, independente da natureza e do tipo de

estrutura (barras, placas, cascas, etc.).

Instabilidade pode surgir pela ocorrência de uma bifurcação de equilíbrio

(instabilidade bifurcacional) ou pela ocorrência de um ponto limite (instabilidade por snap-

through).

Nesse trabalho será tratado da instabilidade estrutural tipo bifurcacional que tem as

seguintes características:

• Uma trajetória de equilíbrio fundamental (linear ou não-linear), conhecida

também por caminho primário, que se inicia na origem do diagrama carga-

deslocamento.

• Uma trajetória de equilíbrio de pós-flambagem (caminho secundário) que

não passa pela origem do diagrama carga-deslocamento.

• Um ponto de bifurcação que corresponde à interseção das duas trajetórias e

no qual as configurações de equilíbrio da trajetória fundamental passam de

estáveis para instáveis.

O exemplo mais simples de instabilidade por bifurcação é a flambagem elástica de

uma viga perfeita, bi-rotulada, sujeita à compressão axial, como pode ser visto na Figura

1.7.

8

Figura 1.7 Instabilidade bifurcacional (coluna de Euler).

1.2 Objetivo

Neste trabalho serão estudados os dutos rígidos do tipo parede simples sujeitos a uma

pressão interna e a um gradiente de temperatura. Primeiramente será feita uma análise

global, onde se considera o duto como uma viga, e em seguida será realizada uma análise

local, onde o duto é modelado com uma casca cilíndrica.

No capítulo 2, o duto será tratado como uma viga elástica, esbelta, sujeita a uma

pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme, com extremidades bi-apoiadas e

fixas conforme mostra a Figura 1.8. As seguintes etapas serão desenvolvidas:

Figura 1.8 Viga sujeita à pressão interna e à temperatura

1. Formulação e solução analítica usando o método de perturbação para a

flambagem e pós-flambagem inicial. As equações para estas soluções

apresentarão uma relação entre a temperatura e a pressão interna, que por sua

P

Y

L

X P

9

vez é regida basicamente por parâmetros de natureza geométrica, como

espessura, raio e comprimento e pelo coeficiente de Poisson.

2. Formulação numérica utilizando o programa ABAQUS, versão 6.5. Com este

modelo numérico será encontrada a temperatura crítica de flambagem e o

comportamento de pós-flambagem do duto.

Para o problema descrito acima, será demonstrado, no capítulo citado, que tanto a

pressão interna quanto o gradiente de temperatura geram forças compressivas de

flambagem, ou seja, ambos os parâmetros contribuem para a instabilidade da viga.

No capítulo 3, o duto será tratado como uma casca cilíndrica elástica, esbelta, sujeita a

uma pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme, com extremidades bi-

apoiadas e fixas conforme apresentado na Figura 1.9. As seguintes etapas serão

desenvolvidas:

Figura 1.9 Casca cilíndrica sujeita à pressão interna e à temperatura.

1. Descrição e desenvolvimento da solução analítica para flambagem proposta

por JONES [11], que levará a uma solução que relaciona a temperatura crítica

e pressão interna crítica de flambagem.

2. Formulação numérica utilizando o programa ABAQUS versão 6.5. Com este

modelo numérico será possível encontrar a solução para a temperatura crítica

10

de flambagem (autovalor) e o autovetor do problema de instabilidade da casca

cilíndrica.

No capítulo 4, serão apresentadas as análises dos resultados, primeiramente para

flambagem e pós-flambagem do tipo viga onde serão comparadas as soluções para os

modelos numéricos e analíticos, em seguida para a flambagem do tipo casca, onde também

será feita uma comparação entre os modelos numérico e analítico, e finalizando o capítulo a

fronteira entre a flambagem tipo viga e tipo casca, ou seja, dado alguns parâmetros

geométrico e do material será possível determinar previamente o tipo de flambagem do

duto.

Por fim, no capítulo 5, são apresentadas as conclusões e sugestões para

desenvolvimento de trabalhos futuros.

1.3 Revisão Bibliográfica

A análise de elementos estruturais como vigas e colunas é baseada nos princípios da

mecânica. Estes princípios foram fundamentalmente desenvolvidos no período de 1638–

1788. Neste período a teoria de corpos rígidos foi desenvolvida em proximidade com o

desenvolvimento de técnicas matemáticas, tais como as equações diferenciais, de acordo

com TIMOSHENKO [8].

A análise de viga teve seu início com GALILEO GALILEI que apresentou tensões

em vigas com seção transversal retangular, bem como descreveu analiticamente a flexão de

vigas elásticas. Em seguida, ROBERT HOOKE, considerando apenas flexão pura,

conseguiu obter experimentalmente a relação linear entre tensões e deformações. Já

JAMES BERNOULLI considerou o problema com grandes deformações e, fazendo

algumas simplificações, assumiu que as seções transversais inicialmente planas

permaneciam planas após a deformação e demonstrou que a curvatura de uma viga é

proporcional ao momento fletor. Em seguida, LEONARD EULER encontrou as equações

diferenciais que regem o fenômeno de deflexão de vigas. ANTOINE PARENT foi o

11

primeiro cientista a desenvolver a distribuição de tensões em uma viga e correlacionou-a

com o momento fletor. Já SAINT-VENANT foi o cientista que mais contribuiu para o

desenvolvimento da elasticidade. Um de seus principais trabalhos foi o desenvolvimento da

teoria de flexão e torção e também contribuiu para o desenvolvimento da teoria de

deformações (vide CAIRE [9]).

Antes de 1930, os problemas de flambagem eram associados apenas com colunas de

edifícios e chapas de casco de navios. Na década de 30, devido à estrutura externa dos

aviões, houve um incentivo para desenvolver as análises de flambagem de casca. Mais

recentemente devido a mísseis, aviões espaciais e plataformas de perfuração de poços de

petróleo, serviu como incentivo para inúmeras análises complexas de flambagens de placas,

vigas e casca. TIMOSHENKO E GERE [10] publicaram o livro theory of elastic stability

que foi a primeira e mais importante referência no assunto. Porém, devido à data da

publicação muitos assuntos contemporâneos não foram tratados (Vide JONES [11]).

Outros importantes autores contribuíram com o tema de casca cilíndricas como:

TIMOSHENKO e KREIGER [12], BRUSH e ALMROTH [13], GOULD [14] e JONES

[11], um resumo do trabalho de cada um destes autores será apresentado mais adiante.

A seguir são apresentados trabalhos que tratam da análise, projeto e características

gerais de dutos pressurizados, fornecendo base sólida para o desenvolvimento desta

dissertação. Uma intensa pesquisa sobre dutos sujeitos à pressão interna foi realizada e

dividida em duas partes, são elas:

• Na primeira parte pesquisou-se a flambagem e a pós-flambagem global, do

tipo viga, de um duto sujeito á pressão interna e a um gradiente de

temperatura:

PALMER e BALDRY [15] determinaram a carga crítica de flambagem de um duto

pressurizado, conforme a equação (1.1), engastado nas duas extremidades, bem como

realizaram um experimento onde foi encontrada uma relação entre a pressão interna e a

12

deflexão lateral. Os resultados apresentados por PALMER e BALDRY [15] estão em

concordância com os apresentados neste trabalho.

22icrt L)21/(EDT2P υ−π= (1.1)

Onde E, D, T, L e υ são, respectivamente, o módulo de elasticidade, o diâmetro, a

espessura, o comprimento e o coeficiente de Poisson.

TANG et al [16] estudaram a instabilidade estática bi-dimensional analiticamente e

experimentalmente, bem como as oscilações naturais. TANG et al [16] compararam os

resultados analíticos e experimentais para uma melhor compreensão da influência da

pressão interna na flambagem e pós-flambagem.

MASSA et al [17] estudaram a freqüência natural de um pipeline sujeito à pressão

interna através de um modelo de elementos finitos e uma comparação com uma ensaio

experimental foi feito. Esta freqüência natural também foi comparada com uma fórmula

sugerida pelo DNV.

• Na segunda parte pesquisou-se, a flambagem, do tipo casca, de um duto

cilíndrico, sujeito à pressão interna e a um gradiente de temperatura. Após

uma intensa pesquisa foram encontrados os seguintes estudos:

TIMOSHENKO e GERE [10] demonstraram as soluções de flambagem para diversas

configurações de carregamento para um duto de parede fina como: Pressão axial e pressão

lateral externa. Eles também realizaram um ensaio experimental para determinar a carga

crítica de flambagem, do tipo casca, de um duto cilíndrico com um carregamento axial.

Este foi o primeiro livro publicado tratando de placas, anéis e cascas cilíndricas, vide

JONES [11].

TIMOSHENKO e KREIGER [12] apresentaram as equações para uma casca

cilíndrica e alguns exemplos onde esses cilindros são utilizados.

13

HUTCHINSON [18] deduziu as equações para a carga crítica de flambagem de uma

casca cilíndrica sujeita à pressão interna e a carregamento axial.

BRUSH e ALMROTH [13] encontraram a solução para uma casca cilíndrica

submetida a diferentes carregamentos como: Pressão lateral uniforme, compressão axial,

momento torcional e um carregamento combinado com pressão lateral e compressão axial.

GOULD [14] deduziu as equações de uma casca cilíndrica sujeita à pressão interna e

a um gradiente de temperatura, e calculou a carga crítica de flambagem do tipo casca, para

o cilindro sob um carregamento axial.

FONSECA et al [19] fizeram uma comparação entre um modelo em elementos finitos

e um ensaio experimental, numa casca cilíndrica sob compressão, um critério para

impossibilitar a flambagem em colunas foi analisado.

JONES [11] fez um estudo completo sobre flambagem abordando vários objetos em

diferentes carregamentos, inclusive chegou à equação para a temperatura crítica de

flambagem em uma casca cilíndrica sujeita a uma pressão interna e a um gradiente de

temperatura. A formulação analítica proposta por ele servirá de base para esta dissertação.

KYRIAKIDES e CORONA [20] apresentaram um experimento de uma casca cilindro

com cargas combinadas de compressão axial e pressão interna. Uma fórmula para pressão

normalizada é apresentada além de gráficos comparando o experimento com a análise

numérica.

A proposta desta tese é desenvolver modelos analíticos e numéricos para viga e casca,

com a finalidade de obter a solução de flambagem e pós-flambagem de um duto quando

sujeito a uma pressão interna e a uma variação de temperatura. O material será considerado

como linear elástico. A viga e a casca serão consideradas esbeltas.

14

2 CAPÍTULO II - FLAMBAGEM E PÓS-FLAMBAGEM ELÁSTICA

DE VIGA

Neste capítulo o duto será assumido uma viga elástica, esbelta, sujeita a uma pressão

interna e a um gradiente de temperatura uniforme. Esses dois carregamentos geram cargas

compressivas de flambagem, o que será demonstrado ao longo do capítulo. Uma

formulação e uma solução analítica para flambagem e pós-flambagem inicial do duto com

extremidades bi-apoiadas e fixas serão apresentadas, bem como um modelo numérico será

desenvolvido servindo de base para comparação entre os modelos.

2.1 Modelo Analítico

A Figura 2.1 apresenta as configurações inicial e de flambagem de um duto

pressurizado submetido a uma variação de temperatura, onde )Y,X( representam as

coordenadas cartesianas da linha neutra da viga. P é a carga compressiva que surge nos

apoios das extremidades, ( )*L,L e ( )*S,S são respectivamente os comprimentos e arco de

comprimento inicial e deformado do duto.

Figura 2.1 Esquema do duto pressurizado, com uma variação de temperatura.

A Figura 2.2 apresenta a seção de um duto com raio médio r e espessura t onde r >> t,

portanto serão usadas as relações para dutos de paredes esbeltas que são válidas para

EI

P

dS*

Y

dS L

X P

15

dS*

θ P

P

θ

10t/r ≥ . O raio e a espessura não são alterados quando a pressão interna ( iP ) e a

temperatura ( T∆ ) são aplicadas ao duto.

t

2r

Figura 2.2 Seção transversal do duto.

A Figura 2.3 mostra um elemento infinitesimal do duto deformado, onde M é o

momento fletor e θ é o ângulo com o eixo X .

Figura 2.3 Elemento infinitesimal de duto deformado.

Compatibilidade Geométrica

Aplicando relações geométricas no elemento infinitesimal do duto deformado

*dS conforme mostrado na Figura 2.3 tem-se:

θ= cosdS

dX*

(2.1a)

dY

dX M

M+dM

Pi

16

θ= sindS

dY*

(2.1b)

Onde *S é o comprimento do arco deformado e θ é o ângulo entre a tangente à curva

deformada e o eixo X .

Definição de Curvatura

Segundo BEER e JOHNSTON [20] a curvatura Κ é definida como.

Κ=θ

*dS

d (2.1c)

Equilíbrio de Forças e Momentos

Na direção X o equilíbrio de forças resulta numa carga P ao longo do duto, já na

direção Y as cargas não são consideradas.

0dS

dP*

= (2.1d)

θ= sen.PdS

dM*

(2.1e)

Relações Constitutivas

Relações constitutivas dadas pela Lei de Hooke, assumindo materiais homogêneos,

linearmente elásticos e considerando o estado de flexão pura, resultam em:

17

Κ−= EIM (2.1f)

Com isso, substituindo a equação (2.1f) em (2.1e) tem-se:

θ−= sen.PdS

dK.EI

* (2.1g)

Onde E é o módulo de Young e I é a inércia da área seccional para um duto esbelto.

Relação da Deformação

Para um elemento infinitesimal, a deformação linear da linha neutra aε é definida

como a razão entre o comprimento deformado e o comprimento inicial.

Quando um duto é submetido a uma pressão interna iP e a uma variação de

temperatura T∆ , este tende a expandir-se, e conseqüentemente, uma força compressiva P

surge caso o movimento de expansão seja restringido como mostrado na Figura 2.4.

Figura 2.4 Duto sujeito à iP e T∆ .

Utilizando a lei de Hooke generalizada:

a* 1

1

dS

dS

ε+= (2.2a)

18

[ ] T.E

1ε aa ∆α+υσ−σ= θ (2.2b)

A tensão de membrana θσ é dada por:

t

rPi=σθ (2.2c)

E a tensão de axial aσ é dada por:

rt2

cosP

t2

rPia

π

θ−=σ (2.2d)

Onde os termos relacionados à pressão interna ( iP ) são as tensões para um cilindro de

parede fina, conforme POPOV [22]. Já no termo para força compressiva ( P ) a tensão é

calculada como a razão entre a força compressiva e sua área de aplicação. Com isso, a

deformação total sofrida pelo duto é dada pela relação:

∆α+

υ−

π

θ−= T.E.

t

.r.P

.r.t2.

cosP

2.t

r.P.

E

1ε ii

a (2.2e)

Supondo que o deslocamento axial seja zero ( 0a =ε ) na equação (2.2e) encontra-se o

valor para a força de reação no apoio (P), que é sempre de natureza compressiva

independente dos valores da temperatura e da pressão interna:

∆α+

υ−π=θ TE

2

1

t

rPrt2cosP i (2.2f)

19

Então substituindo a equação (2.2f) em (2.2d), tem-se:

TEt

rPia ∆α−υ=σ (2.2g)

Com isso é possível notar que a tensão de membrana ( θσ ) é sempre trativa (equação

(2.2c)) e a tensão axial ( aσ ) (equação (2.2g)) pode ser trativa ou compressiva.

Equações diferenciais

Determinam-se assim seis equações diferenciais:

θ= cosdS

dX*

(2.2h)

θ= sindS

dY*

(2.2i)

KdS

d*

=θ

(2.2j)

( )a* 1

1

dS

dS

ε+= (2.2l)

θ−= sinPEI

1

dS

dK*

(2.2m)

0dS

dP*

= (2.2n)

Condições de Contorno

Oito condições de contorno devem ser especificadas, quatro para cada extremidade:

20

( ) 00X = (2.3a)

0)0Y( = (2.3b)

0)0( =Κ (2.3c)

0)0S( = (2.3d)

0L)X(L* =− (2.3e)

0)Y(L* = (2.3f)

0)(L* =Κ (2.3g)

0L)S(L* =− (2.3h)

Adimensionalização de Variáveis

Para permitir generalização dos resultados, as variáveis são adimensionalizadas

conforme as seguintes relações: LlL ** = , L.sS = , L.xX = , L.yY = , L.sS ** = ,

L/κ=Κ , 222 r/L.2=λ , t/r=β , 2L/I.E.pP = , E.pP ii = e αλ∆=∆ 2/tT ;

Conseqüentemente as equações de governo se transformam em:

θ= cosds

dx*

(2.4a)

θ= sinds

dy*

(2.4b)

κ=θ*ds

d (2.4c)

( )a* 1

1

ds

ds

ε+= (2.4d)

21

θ−=κ

sinpds

d*

(2.4e)

0ds

dp*

= (2.4f)

E a deformação axial torna-se:

∆+υ−λβ+θ−

λ=ε t)

2

1.(..pcos.p

1 2i2a (2.5)

Onde λ é a razão de esbeltez do duto e β é a relação entre o raio e a espessura do duto. As condições de contorno se tornam:

( ) 00x = (2.6a)

0)0(y = (2.6b)

0)0( =κ (2.6c)

0)0(s = (2.6d)

01)l(x * =− (2.6e)

0)l(y * = (2.6f)

0)l( * =κ (2.6g)

01)l(s * =− (2.6h)

2.1.1 Solução Analítica

Supondo que a estrutura sofra apenas pequenas deformações, pode-se utilizar o

método da perturbação para resolver o problema analiticamente, expandindo as variáveis

em função de um parâmetro de perturbação.

22

Introdução ao Método da Perturbação

Conforme descrito em NAYFEH [23], este método busca uma solução aproximada de

uma equação diferencial, por exemplo, 0byayy ,,, =++ na forma:

)(O)x(y);x(y 1NN

0ii

i +

=

ψ+∑ψ=ψ (2.7)

Onde y é expandido em uma série de potências de ψ e iy são funções que dependem

de x, mas são independentes do parâmetro da perturbação ψ . Uma seqüência de nψ

formada por potências de ψ é um exemplo de uma seqüência assintótica. Uma expansão

como a da equação (2.7), onde o erro é da ordem do primeiro termo negligenciado, é

chamada de expansão assintótica (aproximação de primeira ordem). Se n termos são

apresentados, esta será chamada de uma aproximação de ordem n . Estas também são

chamadas de expansões assintóticas de Poincaré.

A solução da equação diferencial é obtida resolvendo-se seqüencialmente as equações

de governo em termos proporcionais a cada potência de ψ ( n210 ...,,, ψψψψ ), aplicando-se

as condições de contorno nas equações para assim encontrar os termos obtidos com a

expansão assintótica.

Expansão das Variáveis

Sendo ψ o parâmetro da perturbação, as expansões das variáveis )( *sx , )( *sy ,

)(s*κ , p , ip , T∆ e aε são mostradas abaixo, onde os termos de ordem maior que 3ψ

foram desconsiderados.

)s(xs)s(x *1

2** ψ+= (2.8a)

23

)s(y)s(y)s(y *1

3*0

* ψ+ψ= (2.8b)

)s()s()s( *1

3*0

* θψ+θψ=θ (2.8c)

)s()s()s( *1

3*0

* κψ+κψ=κ (2.8d)

12

0 aap ψ+= (2.8e)

12

0i bbp ψ+= (2.8f)

( )*1

20 sεψ+ε=ε (2.8g)

12

0 cct ψ+=∆ (2.8h)

Através da expansão da serie de Taylor pode-se determinar as funções seno e cosseno

como sendo:

!3sen

3θ−θ≅θ (2.8i)

!21cos

2θ−≅θ (2.8j)

Substituindo (2.8c) nas expansões de seno e cosseno:

...6

sen3

01

30 +

θθψ+ψθ≅θ − (2.9a)

...2

1cos2

02 +θ

ψ−≅θ (2.9b)

Substituindo as Equações (2.8a), (2.8b), (2.8c), (2.9a) e (2.9b) na equação (2.4e) e

sabendo que 2*

2

* ds

d

ds

d θ=

κ, desprezando-se os termos proporcionais a 5ψ , chega-se a:

24

Solução Seqüencial

Das equações (2.4a), (2.9b) e da derivada em relação à s* da equação (2.8a), tem-se:

21

ds

dx1

ds

dx 202

*12

*

θψ−=ψ+=

(2.11a)

e, portanto:

*s*

0

20

1 ds2

θ(s*)x ∫−= (2.11b)

Das equações (2.4b), (2.9a) e da derivada em relação à s* da equação (2.8b), tem-se:

θθψ+ψθ=ψ+ψ= −

6ds

dy

ds

dy

ds

dy 30

13

0*13

*0

* (2.12a)

Logo:

0*0

ds

dyθ= (2.12b)

6ds

dy 30

1*1 θ

θ= − (2.12c)

301

30

00002*0

23

2*0

2

a6

a1aads

d

ds

dψ

θ+

θ−θ−ψθ−=

θψ+

θψ (2.10)

25

Solução de Primeira Ordem

Separando da equação (2.10) os termos que são multiplicados pelo termo de primeira

ordem da perturbação ( 1ψ ) verifica-se que:

0ds

dya

ds

yd*0

03*0

3

=+ (2.13a)

Derivando esta equação chega-se a:

0ds

yda

ds

yd2*0

2

04*0

4

=+ (2.13b)

A solução clássica para a linha elástica do duto nesta situação é:

π=

*

**

0 l

ssin)s(y (2.14)

Substituindo a equação (2.14), e suas derivadas em (2.13b), encontra-se 0a que é:

2

*0 l

πa

= (2.15)

Já Substituindo na equação (2.5) os valores de (2.8e), (2.8f), (2.8h) e (2.9b) é obtido:

2

θεεε)ε(s

20

122

112

0* ψ+ψ+= (2.16)

26

Onde:

( )2

0002

0λ

cab.5.0..ε

+−υ−λβ= (2.17)

( )2

1112

11λ

cab.5.0..ε

+−υ−λβ= (2.18)

20

12λ

aε = (2.19)

A partir da equação (2.4d) sabe-se que:

[ ])ε(s1dsds ** −≅ (2.20a)

Aplicando a equação (2.16) em (2.20a) e integrando esta de 0s* = até ** ls = tem-se:

( ) )1(lεlεεl1 *12

*11

20

* −−ψ+−= (2.20b)

O termo 0ε é igualado à zero, encontrando-se assim os valores de 0b e 0c :

( )υ−λβ

−=

5,0..

cab

200

0 (2.21)

Com isso tem-se uma relação entre os primeiros termos das equações (2.8e) e (2.8f),

pois 0a , λ, β e υ são termos conhecidos da equação (2.21). Mais adiante será demonstrado

que esta é a equação da temperatura crítica e pressão crítica de flambagem.

27

Solução de Segunda Ordem

Separando da equação (2.10) os termos que são multiplicados pelo parâmetro de

terceira ordem da perturbação ( 3ψ ), verifica-se que:

6aaa

ds

d 30

001102*1

2 θ+θ−=θ+

θ (2.22a)

Derivando-se a equação (2.22a) obtém-se:

*0

20

0*0

1*1

03*1

3

ds

d

2a

ds

da

ds

da

ds

d θθ+

θ−=

θ+

θ (2.22b)

Substituindo a equação (2.14) e suas derivadas em (2.22b), é obtida uma equação

diferencial para y1(s*). Após algumas simplificações, chega-se a seguinte equação:

l

s3sin

l8

9-

l

ssina

l8

1-

lds

yda

ds

yd*

*6

**

*

1

4

*

2

*2*1

2

04*1

4

π

π+

π

+

π

π=+ (2.22c)

Contemplando sua expansão de primeira ordem verifica-se que a solução cresceria

indefinidamente, para evitar esta solução o primeiro termo do lado direito da equação

(2.22c) é igualado a zero, com isso esta equação torna-se:

π

π−=+

*

*6

*1

2*1

2

04*1

4

l

s3sin

l8

9

ds

yda

ds

yd (2.22d)

Encontrando-se assim o valor da 1a :

28

4

*1 l8

1a

π= (2.23)

A solução particular para a equação (2.22d) é:

π=

*

**

1l

s3sinD)s(y (2.24)

Substituindo-se (2.24) e suas derivadas em (2.22d) encontra-se o valor de D que é:

2

*l

π.

64

1D

= (2.25)

Desenvolvendo-se a equação (2.20b) com a alteração (2.21) é obtido a relação entre

1b e 1c :

( )( )υ−λβ

−

π++=

5,0..

1.aλ

l4

1acb

202

2

*111 (2.26)

Com isso tem-se uma relação entre os segundos termos das equações (2.8e) e (2.8f),

pois 0a , 1a , λ, β, *l e υ são termos conhecidos da equação (2.26). Para chegar-se nas

equações da temperatura e pressão interna para a pós-flambagem, falta apenas encontrar a

solução do parâmetro de perturbação, que será apresentado a seguir.

Solução do Parâmetro da Perturbação

Derivando-se a equação (2.8a) em relação à *s obtém-se:

29

*l*

0

202* ds2

θdsdx ∫ψ−= (2.27a)

Integrando-se a equação (2.27a) de 0s* = até ** ls = , e acordo com as condições

iniciais do problema obtém-se:

*l*

0

202* ds2

θl01 ∫ψ−=− (2.27b)

Aplicando a primeira derivada da equação (2.14) verifica-se que:

*2

**

l*

0

20

ll

π

4

1ds

2

θ

=∫ (2.28)

Retornando este valor em (2.27b) encontra-se uma expressão para ψ :

2*

*

*2

π

l

l

1-l4

=ψ (2.29)

É possível observar na equação (2.29) que o parâmetro de perturbação é controlado

exclusivamente pelo comprimento deformado, logo todos os termos ( ψ , 0a , 1a , 0b , 1b , 0c

e 1c ) necessários para a solução da pós-flambagem já foram determinados.

Solução Geral da Pressão Interna e temperatura

Finalmente, substituindo-se as equações (2.15), (2.23), (2.21), (2.26) e (2.29) em

(2.8a-h) tem-se:

30

( )

−+

π=

*

*2

* l.2

1l1.

lp (2.30a)

( )

( )υ−λβ

π−

π+

π+

+

+υ−λβ

−

=

5,0..

1.

lλ

l4

1

l8

1c.

π

l

l

1-l4

5.0..

1.c

l

πp

2

2

*2

2

*

4

*1

2*

*

*

20

2

*i

(2.30b)

Onde 0c e 1c são termos de temperatura da equação (2.8h), no próximo tópico será

possível observar que o termo 0c é a temperatura crítica de flambagem.

No capítulo 4 serão apresentados os resultados de pós-flambagem oriundos da

equação (2.30b)

Solução da Pressão Interna e Temperatura Crítica de Flambagem

Com isso fazendo 1l* = nas equações (2.30a-b) encontra-se a carga crítica, e a

relação entre à pressão interna crítica e a temperatura crítica de flambagem:

2crp π= (2.30c)

( ) 2

cr2

icr t5.0..p π=∆+υ−λβ (2.30d)

Na equação (2.30d) é possível notar que a pressão interna crítica e a temperatura

crítica de flambagem mantêm uma relação linear e dependem dos parâmetros λβ, que são

basicamente de origem geométrica e de υ .

No capítulo 4 serão apresentados os resultados relativos à temperatura crítica e a

pressão interna crítica de flambagem, para tal será utilizada a equação (2.30d).

31

Tensão de Von Mises para a Flambagem.

É importante estabelecer um critério para limitar as análises ao regime linear elástico.

Nesta dissertação a tensão de Von Mises, em uma forma adimensional, será utilizada para

comparação à tensão de escoamento do material.

As equações das tensões de membrana e axial (2.2c-d) quando normalizadas pelo

módulo de elasticidade, resultam nas equações adimensionais:

β=σ

=σ θθ ip

E (2.31a)

2ia

a

tp

E λ

∆−υβ=

σ=σ (2.31b)

Porém substituindo a equação (2.30d) em (2.31a) chega-se em:

( )υ−λ

∆−π=σθ

5,0.

t2

cr2

(2.32a)

E substituindo a equação (2.30d) em (2.31b), tem-se

( )υ−λ

∆−υπ=σ

5,0.

t5,02

cr2

a (2.32b)

Com isso aplicando o critério de Von Mises conforme BEER e JOHNSTON [21].

32

)( 2a

2avm θθ σ+σσ−σ=σ (2.32c)

Substituindo as equações (2.32a-b) em (2.32c) resulta no critério de tensão para a

flambagem:

( ) ( ) cr2

cr22

2

2

vm t6t35.0..2

11

5.0.∆π−∆

υ−λ++υ−υ

υ−λ

π=σ (2.33)

Tensão de Von Mises para a Pós-Flambagem.

Porém a equação (2.31b) é válida até a carga crítica de flambagem, pois se esta carga

continuar aumentando a viga irá fletir, aparecendo assim uma tensão de flexão:

maxflex EKY=σ (2.34a)

Com isso, normalizando-se a tensão de flexão, chega-se á:

λ=σ

2kflex (2.34b)

Logo a tensão axial de pós-flambagem será:

λ−

λ

∆−βυ=σ

2ktp

2ia (2.34c)

Logo, substituindo a equação (2.8f) em (2.31a) chega-se na tensão de membrana

normalizada:

33

( )βψ+=σθ 12

0 bb (2.35a)

Os termos 0b , 1b e β são conhecidos na equação (2.35a).

E substituindo em (2.34c) as equações (2.8f-h) e fazendo 2/1s* = em (2.8d) tem-se a

tensão axial normalizada com o efeito da flexão:

( ) ( ) ( ) ( )( )

λ

ψ+ψ−

λ

ψ+−υβψ+=σ

2skskccbb

*1

3*0

21

20

12

0a (2.35b)

Os termos 1001010 k,k,,,a,a,,b,b θλβ e ψ da equação (2.35b) são conhecidos.

Aplicando-se Von Mises, equação (2.32c), conforme BEER e JOHNSTON [21]

encontra-se um critério de tensão para o duto em pós-flambagem. Com isso dois critérios

de tensão foram determinados o primeiro é válido até a carga crítica de flambagem e o

segundo passa a ser válido na pós-flambagem onde o efeito da flexão é incorporado. No

capitulo 4 serão apresentados resultados que demonstram claramente se o duto está

sofrendo deformações elásticas ou plásticas.

Conclusão Sobre o Modelo Analítico.

Nesta primeira parte do capítulo 2, assumindo o duto como uma viga elástica, esbelta

sujeita a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura uniforme e usando o método

de perturbação foi possível determinar:

1. Uma relação entre a temperatura crítica de flambagem e a pressão interna

crítica de flambagem.

2. Equação de pós-flambagem que relaciona temperatura e pressão interna.

E aplicando-se a tensão Von Mises foi possível determinar os seguintes critérios:

34

1. Um critério de tensão válido até a temperatura e pressão interna crítica de

flambagem.

2. Um critério de tensão válido para a pós-flambagem.

Além do mais, resultados para a flambagem e pós-flambagem serão apresentados no

capítulo 4.

2.2 Modelo Numérico

2.2.1 Modelo Numérico para Temperatura Crítica de Flambagem

Um modelo não-linear baseado no MEF foi desenvolvido para simular a temperatura

crítica de flambagem de um duto (assumido seu comportamento como de uma viga)

esbelto, sujeito a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura e com extremidades

bi-apoiadas e fixas. Neste tópico serão descritas as seguintes etapas:

1. Geração dos nós dos elementos.

2. Geração dos elementos.

3. Definição das propriedades do material e seção do duto.

4. Condições de contorno.

5. Aplicação dos passos de carga.

Objetiva-se desenvolver uma modelagem numérica que represente “exatamente” o

problema analítico apresentado na primeira parte do capítulo 2.

Geração dos Nós dos Elementos

Um estudo de sensibilidade de malha foi feito, porém o modelo não apresentou

diferenças significativas no resultado e nem no tempo da análise com as diferentes malhas,

35

logo utilizou-se a malha com dimensão global aproximada de 15 milímetros conforme

Figura 2.5.

Figura 2.5 Malha utilizada no modelo de viga.

O ABAQUS permite que sejam usadas coordenadas, cartesianas, cilíndricas ou

esféricas. No modelo proposto será usado o sistema cartesiano conforme Figura 2.6.

Figura 2.6 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo.

Geração dos Elementos

Após os nós terem sido criados, os mesmos são unidos formando os elementos de

duto. O elemento selecionado para representar o duto é o PIPE21, elemento de viga com

três graus de liberdade (dois de deslocamento e um de rotação) por nó. O elemento 1 é

definido ligando os nós 1 e 2, o elemento 2 é definido ligando os nós 2 e 3 e assim

sucessivamente, formando assim um duto com N elementos. O elemento PIPE21 é baseado

X Z

Y

36

na teoria de Timoshenko, que permitem deformações por cisalhamento. Porém na prática,

os efeitos de cisalhamento são relevantes para estrutura espessas no caso de estruturas finas

a teoria de Timoshenko se aproxima da formulação de Euler-Bernoulli, onde as

deformações por cisalhamento não são consideradas.

Propriedades do material e seção do duto

Na Tabela 2.1 estão apresentadas as propriedades do material e a seção transversal do

duto. Os parâmetros, raio (r), espessura (t), pressão interna (Pi) e comprimento (L), que

estão apresentados na Tabela 2.1 não têm um valores específicos pois variam de acordo

com a análise desejada.

Tabela 2.1 Propriedades do material e da seção do duto Parâmetros Valor Unidade

Módulo de elasticidade (E) 2.1E+11 Pa Coeficiente de expansão térmica (α) 1.10E-05 1/°c

Coeficiente de Poisson (ν) 0.3 - Raio Externo do duto (r) r m Espessura da parede (t) t m

Pressão interna (Pi) Pi Pa Comprimento do duto (L) L m

Condição de contorno.

Os nós que representam as extremidades do duto são apoiados, ou seja, ele é

impedido de deslocar-se nas três direções, porém sua rotação é permitida. Com isso:

1. Quando o duto é exposto a uma expansão térmica, surge uma força

compressiva.

2. Devido ao duto estar tamponado a pressão interna tende a expandir o duto,

surgindo assim uma força reativa de compressão.

37

Logo, o duto tende a expandir-se devido à pressão interna e à temperatura. Como

fisicamente isso não é permitido, tendo em vista que as condições de contorno assumidas

são fixas, surgem forças compressivas nos apoios.

Aplicação dos passos de carga

O modelo foi construído com dois passos de carregamento, são eles:

1. No primeiro passo aplica-se a pressão interna sob forma de uma função

rampa, ou seja, sua magnitude varia linearmente durante a aplicação do passo

de carga de um valor inicial nulo até o valor especificado no carregamento.

2. No segundo passo utilizou-se a função buckle, contemplada na biblioteca do

ABAQUS onde são permitidas no máximo 30 interações. A função buckle

consiste em encontrar os autovalores e autovetores, chegando à temperatura

crítica de flambagem, como mostra a Figura 2.7.

Com os dois passos aplicados a temperatura crítica e o modo de flambagem são

encontrados conforme Figura 2.7.

38

Figura 2.7 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica usando a função buckle.

2.2.2 Modelo Numérico de Pós-Flambagem

Um modelo não-linear baseado no MEF foi desenvolvido para simular a pós-flambagem de

um duto (assumido seu comportamento como de uma viga) esbelto, sujeito a uma pressão

interna e a um gradiente de temperatura e com extremidades bi-apoiados e fixas. Neste

tópico serão descritas apenas as seguintes etapas:

1. Condição de contorno.

2. Aplicação dos passos de carga.

As outras etapas são as mesmas descritas anteriormente para a flambagem. Estas duas

etapas serão escritas juntas para sua melhor compreensão.

Condição de contorno e passos de carga.

O modelo foi construído com três passos de cargas que serão demonstrados a seguir;

39

• Primeiro passo de carga.

Neste passo o duto tamponado é submetido a uma pressão interna e uma pequena

força na direção lateral Y conforme Figura 2.6, para introduzir uma imperfeição geométrica

e permitir a progressão da pós-flambagem do duto nos passos seguintes.

Neste passo as cargas são aplicadas sob forma de uma função rampa, ou seja, sua

magnitude varia linearmente durante a aplicação do passo de carga de um valor inicial nulo

até o valor especificado no carregamento. As condições de contorno nesse passo são:

1. Em 0X = as o duto é apoiado, ou seja, as rotações nas três direções são

permitidas e o deslocamento é restringido.

2. Em LX = o duto é livre para se deslocar apenas em X conforme Figura 2.6 e

suas rotações nas três direções são permitidas.

Assim quando o duto é pressurizado ele é livre para expandir-se na direção X

passando a ter um comprimento total de LL ∆+ , onde L∆ é a parte expandida do duto.

• Segundo passo de carga.

Neste passo utilizando-se um conector do tipo CONN2D2 como mostrado na Figura

2.8, força-se o duto a ter deslocamento zero, ou seja, ao duto é imposto um deslocamento

de L∆ na direção de X, levando o duto a retornar ao comprimento original L.

Em seguida, na posição LX = , a condição de contorno foi alterada passando a não

ser mais permitido o deslocamento da direção X, ou seja, as rotações nas três direções são

permitidas e os deslocamentos são restringidos.

Logo, neste passo de carga a pressão interna gera uma carga reativa compressiva.

Com isso, dependendo de sua magnitude três situações podem ocorrer:

40

1. A pressão interna não é suficiente para gerar carga reativa compressiva que

leve o duto a flambar.

2. A carga reativa compressiva devido a pressão interna é suficiente para chegar

na carga crítica de flambagem.

3. A pressão interna gera uma carga reativa compressiva, suficiente para atingir

a carga crítica de flambagem e chegar ao regime de pós-flambagem.

Figura 2.8 Conector CONN2D2

• Terceiro passo de carga.

Neste passo de carga acrescenta-se a temperatura que aumenta uniformemente até

atingir a magnitude determinada. Desta forma a combinação da temperatura com a pressão

interna pode levar a três hipóteses:

1. Não alcança a carga crítica de flambagem.

41

2. Chega exatamente na carga crítica de flambagem, que é o objetivo do modelo

anterior, mas que também pode ser feito com o modelo em questão.

3. Passa da carga crítica de flambagem, ou seja, chega-se ao regime de pós-

flambagem, que é objetivo desde modelo, conforme ilustrado na Figura 2.9.

Figura 2.9 Modelo flambado como viga após atingir a temperatura crítica.

Conclusão do Modelo Numérico.

Nesta segunda parte do capítulo 2 foi possível criar dois modelos que representam

tanto a flambagem como a pós-flambagem. No capítulo 4 serão apresentados os resultados

das simulações de flambagem e pós-flambagem obtidos numericamente, que foram

realizados para uma série de parâmetros geométricos. Ainda no capítulo 4 esses resultados

serão comparados aos resultados do modelo analítico a partir das equações encontradas na

primeira parte do capítulo 2.

42

3 CAPÍTULO 3 - FLAMBAGEM DE CASCA

Neste capítulo o duto será assumido como uma casca cilíndrica elástica, esbelta,

sujeita a uma pressão interna ( iP ) e a um gradiente de temperatura ( T∆ ) uniforme, com

extremidades bi-apoiadas e fixas conforme Figura 3.1.

Figura 3.1 Casca cilíndrica sujeita a pressão interna e temperatura com extremidades bi-apoiadas.

Ao longo do capítulo serão apresentados dois modelos para determinar a carga crítica

de flambagem, são eles:

1. Modelo analítico desenvolvido por JONES [11].

2. Modelo numérico utilizando o programa ABAQUS versão 6.5.

No decorrer da apresentação do modelo analítico desenvolvido por JONES [11], será

demonstrado que a pressão interna devido ao efeito de membrana gera na direção axial

apenas forças reativas de tração ou compressão, conforme discutido no capítulo 2.

No capítulo 4 será apresentada uma comparação entre os modelos analíticos e

numéricos.

43

3.1 Modelo Analítico

Para uma melhor compreensão do problema de casca cilíndrica nesta primeira parte

do capítulo 3 serão apresentadas as equações desenvolvidas por JONES [11] que

levam à equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica. E posteriormente será

apresentada a equação que relaciona a temperatura crítica e a pressão interna crítica.

Descrição da equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica segundo JONES[11]

Para determinar a equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica foi utilizado o

seguinte sistema de referências:

• Geometria de uma casca cilíndrica circular, Figura 3.2.

Figura 3.2 Coordenada geométrica, [11].

Onde os domínios de X, Y e Z são respectivamente ( L,0 ), ( π2,0 ) e ( r,0 )

44

• Direção das forças na casca cilíndrica circular, Figura 3.3.

Figura 3.3 Forças em um elemento de casca, [11].

• Direção dos momentos na casca cilíndrica circular, Figura 3.4.

Figura 3.4 Momentos em um elemento de casca, [11].

Com os sistemas de referência determinados o desenvolvimento da teoria pode ser

iniciado. Segundo a teoria de elasticidade as tensões xyyx ,, τσσ (tensões normais e tensão

cisalhante) são descritas em função das deformações xyxx ,, γεε , como mostrado na

equação (3.1).

45

( )

( )

( ) xyxy

xy2y

yx2x

12

E1

E1

E

γυ+

=τ

ευ+εν−

=σ

ευ+εν−

=σ

(3.1)

Porém, xyxx ,, γεε são as deformações em um ponto qualquer da chapa ou casca, mas

para este estudo será usada como referência a superfície média, logo estas deformações

nestas referências são:

xyxyxy

yyy

xxx

z

z

z

κ+γ=γ

κ+ε=ε

κ+ε=ε

(3.2)

Onde xyyx e, γεε são as deformações na superfície média da casca e xyyx e, κκκ

são as curvaturas na superfície média da casca, que podem ser escritas em função dos

respectivos deslocamentos, equação (3.3), e z é a coordenada da espessura a partir da

superfície média (hipótese de casca adotada), conforme LOVE [24].

xyxy

yyy

xxx

w2

w

w

−=κ

−=κ

−=κ

(3.3)

Onde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyyyxxyx e,,, são as diferenciais com respeito à respectiva

coordenada variável.

Portanto a equação (3.1) pode ser escrita em função das deformações dos pontos

médios conforme a equação (3.4).

46

( )( )

( )( )

( )( )xyxyxy

xxyy2y

yyxx2x

z12

E

zz1

E

zz1

E

κ+γυ+

=τ

κ+ευ+κ+εν−

=σ

κ+ευ+κ+εν−

=σ

(3.4)

As deformações xyxx ,, γεε podem ser expressas através dos deslocamentos

conforme a equação (3.5).

yxyxxy

2yyy

2xxx

wwvv

w2

1

r

wu

w2

1u

++=γ

++=ε

+=ε

(3.5)

A energia potencial de deformação (U) pode ser escrita conforme a equação (3.6).

( )[ ][ ]∫∫ ∫ τυ++σσυ−σ+σ=−

dydxdz12E2

1U 2/t

2/t2xyyx

2y

2x (3.6)

Porém, a energia potencial de deformação ( U ) é a soma da energia potencial de

deformação de membrana ( mU ) com a energia potencial de deformação de flexão ( bU ).

Substituindo (3.5) em (3.6) é possível determinar mU e bU , como mostrado nas equações

(3.7) e (3.8), respectivamente.

∫∫

γ

υ−+εευ+ε+ε

υ−= dydx

2

12

)1(2

EtU 2

xyyx2y

2x2m (3.7)

( )[ ]∫∫ υ−+υ++υ−

= dydxw12ww2ww)1(42

EtU 2

xyyyxx2yy

2xx2

3

b (3.8)

47

A energia potencial da força externa é composta de quatro partes:

1. A energia potencial de força externa devido à força lateral.

∫∫+=Ω dydxwpp (3.9)

2. A energia potencial de força externa devido às forças na superfície.

( )∫ +−=Ω dyvNuN yxxF (3.10)

3. A energia potencial de força externa devido aos momentos.

∫+=Ω dywM xxM (3.11)

4. A energia potencial de força externa devido aos esforços cortantes.

∫−=Ω dywK xK (3.12)

A energia potencial total (V), equação (3.13), é a soma da energia potencial de

deformação mais a energia potencial de força externa.

kMFpbm UUV Ω+Ω+Ω+Ω++= (3.13)

E pode ser representada pelo funcional (F), que é mostrado na equação (3.14) do

cálculo variacional.

48

( )∫∫=R

xyyyxxyxyxyx w,w,w,w,w,w,v,v,v,u,u,uFV (3.14)

Das equações (3.5), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) e (3.12) tem-se:

( ) ( )[ ] pww12ww2ww2

Dwwuv

2

1

2

A

w2

1

r

wvw

2

1u2w

2

1

r

wvw

2

1u

2

AF

2xyyyxx

2yy

2xxyxyx

2yy

2xx

22yy

2xx

+υ−+υ+++

++

υ−

+

++

+υ+

+++

+=

(3.15)

Onde A é a rigidez extensional e D é a rigidez de flexão.

21

EtA

ν−= (3.16a)

( )2

3

112

EtD

ν−= (3.16b)

De acordo com o princípio da energia potencial mínima, as equações de equilíbrio

podem ser obtidas fazendo 0V =δ .

0u

F

yu

F

xu

F

yx

=

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂ (3.17a)

0v

F

yv

F

xv

F

yx

=

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂ (3.17b)

49

0w

F

yxw

F

yw

F

xw

F

yw

F

xw

F

xyyy2

xx2

yx

=

∂

∂

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂ (3.17c)

Resolvendo as equações (3.17a-c) chega-se nas equações diferenciais de equilíbrio

estático (3.18a-c) para u, v e w.

( ) 0wwuvx2

1w

2

1

r

wvw

2

1u

x yxyx2yy

2xx =++

∂

∂υ−+

++υ+

+

∂

∂ (3.18a)

( ) 0w2

1uw

2

1

r

wv

ywwuv

x2

1 2xx

2yyyxyx =

+υ+

++

∂

∂+++

∂

∂υ− (3.18b)

( )

( )

( ) ( ) 0wwy

wyx

12)ww(x

D

ww,u,vw2

1w

2

1uw

2

1

r

wvw

yA

ww,u,vw2

1w

2

1

r

wvw

2

1uw

xA

pr/w2

1uw

2

1

r

wvA

xxyy2

2

xy

2

yyxx2

2

yxyxx2xx

2yyy

yxyxy2yy

2xxx

2xx

2yy

=

υ+

∂

∂+

∂∂

∂υ−+υ+

∂

∂+

υ−+

+υ+

++

∂

∂−

υ−+

++υ+

+

∂

∂−

++

+υ+

++

(3.18c)

Integrando as equações (3.4) em relação à z determinam-se os esforços xyyx N,N,N

conforme equação (3.19a).

( )( )

xy2/t2/t xyxy

2/t2/t xyxy

2/t2/t yxxx

A2

1dzN

AdzN

AdzN

γυ−

=∫ τ=

∫ ευ+ε=σ=

∫ ευ+ε=σ=

−

−

−

(3.19a)

50

Multiplicando as equações (3.4) por z e integrando em relação à z determinam-se os

momentos xyyx M,M,M conforme equação (3.19b).

( )( )

xy2/t2/t xyxy

2/t2/t xyxy

2/t2/t yxxx

D2

1dzzM

DdzzM

DdzzM

κυ−

=∫ τ=

∫ υκ+κ=σ=

∫ υκ+κ=σ=

−

−

−

(3.19b)

Com isso as equações de equilíbrio (3.18a-c) podem ser escritas em função das forças

(3.19a) e momentos (3.19b).

0y

N

x

N xyx =∂

∂+

∂

∂ (3.20a)

0y

N

x

N yxy=

∂

∂+

∂

∂ (3.20b)

pr

NwN2wNwN

y

M

yx

M2

x

M yxyxyyyyxxy2

y2

xy2

2x

2

=−+++∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (3.20c)

Aplicando o método de Donnell, as equações (3.20a-c) tornam-se:

2

3

3

34

yx

w

x

wur

∂∂

∂+

∂

∂υ−=∇ (3.21a)

( )3

3

2

34

y

w

yx

w2ur

∂

∂+

∂∂

∂υ+−=∇ (3.21b)

51

0)wN2wNwN(x

w

r

EtwD xyxyyyyxxx

44

4

28 =++∇−

∂

∂+∇ (3.21c)

Onde:

4

4

22

4

4

44

yyx2

x ∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=∇ (3.21d)

8

8

62

8

44

8

26

8

8

88

yyx4

yx6

yx4

x ∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=∇ (3.21e)

Chega-se assim na equação geral de equilíbrio para uma casca cilíndrica, que será

usada para determinar a carga crítica de flambagem ao longo deste capítulo.

Equação da carga crítica de flambagem segundo JONES [11].

JONES [11], ao longo de seu livro, encontrou a carga crítica de flambagem para casca

cilíndrica submetida a diversos carregamentos:

1. Carga axial.

2. Pressão lateral.

3. Pressão hidrostática.

4. Momento torcional.

5. Pressão lateral com um gradiente de temperatura.

Para esta dissertação será usado como base o modelo de casca com carregamento de

pressão lateral com um gradiente de temperatura e em seguida será modificada para o

objetivo da dissertação que é pressão interna.

52

A solução da equação (3.21c) para um duto bi-apoiado, sujeito à pressão lateral e à

variação de temperatura conforme a Figura 3.5, onde o termo cortante é zero ( 0N xy = ),

com a condição de contorno (3.22), pode ser escrita na forma da equação (3.23):

Figura 3.5 Duto com uma pressão lateral e uma variação de temperatura, [11].

0)L(w)0(w =δ=δ (3.22)

0)wNwN(x

w

r

EtwD yyyxxx

44

4

28 =+∇−

∂

∂+∇ (3.23)

Que é a equação de equilíbrio para um duto sujeito a pressão lateral e uma variação de

temperatura. Usando o deslocamento de flambagem, com amplitudes independentes,

equação (3.24), é possível encontrar a solução da equação (3.23):

r

nysen

L

xmsenw~ww

π==δ (3.24)

Substituindo a equação (3.24) em (3.23) é possível encontrar a solução para a carga

crítica de flambagem que relaciona a pressão lateral e a temperatura crítica de flambagem

de um duto sujeito a uma pressão lateral e um gradiente de temperatura, conforme

apresentado nas equações a seguir.

53

2122211

21322

22311231312

33

2

y

2

x TTT

TTTTTTT2T

r

nN

L

mN

−

−−+=

+

π (3.25a)

Onde:

22

11 r

nA

2

1

L

mAT

ν−+

π= (3.25b)

πν+=

r

n

L

mA

2

1T12 (3.25c)

π

ν=

L

m

rAT13 (3.25d)

=

r

nA

r

1T23 (3.25e)

22

22 r

nA

L

mA

2

1T

+

πν−= (3.25f)

2

4224

23 r

A

r

n

r

n

L

m2

L

mT +

+

π+

π= (3.25g)

Porém, JONES [11] diz, após encontrar as equações (3.25a-g), que esta equação

também é válida para dutos sob pressão interna tendo apenas que mudar a direção de

aplicação da pressão. Ou seja, a pressão lateral (p) é igual à pressão interna ( ip ) só

alterando-se o sinal ( ipp −= ). Isto é possível, pois foi usada a teoria de casca fina, com

54

isso a equação (3.32a) pode ser usada para ambos os casos. Inclusive, JONES [11]

apresenta gráficos demonstrando tal afirmação.

Com isso, conforme descrito no capítulo 2:

t

rPiy =σ (3.24)

tEt

rPix ∆α−υ=σ (3.25)

Podendo ser expresso em termos de unidade de comprimento:

tN yy σ= (3.26)

tN xx σ= (3.27)

Substituindo as equações (3.24) e (3.25) em (3.26) e (3.27) respectivamente, tem-se:

rPN iy = (3.28)

ttErPN ix ∆α−υ= (3.29)

Com isso substituindo as equações (3.28) e (3.29) em (3.25a) chega-se na relação

entre a pressão interna crítica a temperatura crítica de flambagem de uma casca cilíndrica

55

sujeita a pressão interna e um gradiente de temperatura, conforme apresentado na equação a

seguir.

2122211

21322

22311231312

33

2

i

2

i

2

TTT

TTTTTTT2T

r

nrP

L

mrP

L

mTtE

−

−−+=

−

πυ−

π∆α (3.30)

Conclusão do Modelo Analítico.

Nesta primeira parte do capítulo 3, usando as equações desenvolvidas por JONES

[11], foi possível determinar a equação de equilíbrio de uma casca cilíndrica e encontrar a

relação entre a pressão interna crítica e a temperatura crítica de flambagem de uma casca

cilíndrica elástica, esbelta, sujeita a uma pressão lateral e a um gradiente de temperatura.

3.2 Modelo Numérico

Um modelo não-linear baseado no MEF foi desenvolvido para simular a temperatura crítica

de flambagem de um duto (assumido seu comportamento como de uma casca) esbelto, sujeito

a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura e com extremidades bi-apoiadas e

fixas. Neste tópico serão descritas as seguintes etapas:

1. Geração dos nós dos elementos.

2. Geração dos elementos.

3. Condição de contorno e passos de carga.

A descrição das propriedades do material e seção do duto foi suprimida deste

capítulo, pois já foi definida no capítulo 2

56

Geração dos Nós dos Elementos

Para o modelo foi realizado um estudo de sensibilidade de malha, três diferentes

dimensões globais de malhas foram utilizadas, ou seja, o duto foi divido em pequenos

pedaços com as seguintes dimensões:

• 10 milímetros.

A temperatura crítica de flambagem, quando comparada com a solução analítica,

teve uma diferença apenas na segunda casa decimal, porém para isso o tempo

computacional foi relativamente alto.

• 15 milímetros.

Nesta malha o resultado foi muito bom também, mas ainda com um tempo

computacional elevado.

• 20 milímetros.

Já para esta simulação de malha o tempo computacional foi relativamente menor

com a mesma precisão no resultado das malhas anteriores, por isso esta foi a

malha adota para o modelo, conforme Figura 3.6.

57

Figura 3.6 Malha utilizada no modelo de casca.

O ABAQUS permite que sejam usadas coordenadas, cartesianas, cilíndricas ou

esféricas, No modelo proposto será usado o sistema cartesiano, conforme mostra a Figura

3.7.

Figura 3.7 Sistema global de coordenadas utilizado no modelo.

X Z

Y

58

Geração dos Elementos

Após os nós terem sido criados, os mesmos são unidos formando os elementos de

casca. O elemento selecionado para representar o duto é o S4R, elemento de casca com seis

graus de liberdade (três de deslocamento e três de rotação) por nó.

Condição de contorno e passos de carga.

No modelo criado à expansão radial em 0Z = e LZ = , ou seja, os extremos do

cilindro não acompanham a parte central do mesmo, ou seja o raio em seus extremos e

diferente do raio ao longo de seu comprimento.

O modelo foi construído com três passos de cargas que serão demonstrados a seguir;

• Primeiro passo de carga.

Neste passo o duto é submetido a uma pressão interna e uma força axial concentrada

na direção Z conforme mostrado na Figura 3.7, a pressão interna e a força axial são

aplicadas sob forma de rampa, ou seja, sua magnitude varia linearmente durante a aplicação

do passo de carga de um valor inicial nulo até o valor especificado no carregamento. Neste

passo não são permitidas não-linearidades geométricas e o número de incrementos é

limitado a 100 passos de carga.

Esta força axial concentrada tem como finalidade representar a pressão interna na

tampa da casca cilíndrica, para isso foi necessário criar um coupling Figura 3.8, que tem

como finalidade representar todos os graus de liberdade da extremidade do duto em um

único ponto gerando assim um único ponto de aplicação da força axial.

59

Figura 3.8 Coupling utilizado no modelo.

As condições de contorno nesse passo são:

1. Em 0Z = o duto é apoiado, ou seja, as rotações nas três direções são

permitidas e o deslocamento é restringido.

2. Em LZ = o duto é livre para se deslocar apenas em Z, conforme Figura 3.7, e

suas rotações nas três direções são permitidas.

Assim devido ao efeito de membrana, quando o duto é pressurizado, em LZ = ele é

livre para contrair-se na direção Z, passando a ter um comprimento total de LL ∆− , onde

L∆ é a parte comprimida do duto.

• Segundo passo de carga.

Neste passo, utilizando-se um conector do tipo CONN3D2 como mostrado na Figura

3.9, o duto foi obrigado a retornar à sua posição inicial, voltando a ter deslocamento zero,

ou seja, o duto teve um deslocamento de mais L∆ na direção de Z, levando o duto a ter o

comprimento original L. Em seguida, na posição LZ = , a condição de contorno foi

alterada passando a ser apoiada, ou seja, as rotações nas três direções são permitidas e os

60

deslocamentos são restringidos. Com isso, gera-se uma força de tração no cilindro, ou seja,

conclui-se então que a casca cilíndrica não flamba devido a uma pressão interna.

Figura 3.9 Conector CONN3D2

• Terceiro passo de carga.

Neste passo utilizou-se a função buckle, contemplada na biblioteca do ABAQUS,

onde não é necessário incluir não-linearidades geométricas e são permitidas no máximo

3000 interações. A função buckle consiste em resolver um problema de autovalor e

autovetor como mostra a Figura 3.10.

61

Figura 3.10 Modelo flambado como casca após atingir a temperatura crítica usando a função buckle.

Conclusão do Modelo Numérico.

Na segunda parte do capítulo 3 foi possível criar um modelo que representasse a

flambagem de uma casca cilíndrica sujeita à pressão interna e a um gradiente de

temperatura. Para este modelo não será realizada uma análise de pós-flambagem.

Com isso, no capítulo 4, serão apresentados os resultados das simulações de

flambagem obtidos numericamente, que foram realizados para uma série de parâmetros

geométricos. Ainda no capítulo 4 esses resultados serão comparados aos resultados do

modelo analítico, para uma casca cilíndrica, apresentada na primeira parte do capítulo 3.

62

4 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DE RESULTADOS

Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos a partir dos modelos descritos

nos capítulos 2 e 3. Estes resultados serão apresentados na seguinte ordem:

1. Flambagem e pós-flambagem para o modelo de viga.

2. Flambagem para o modelo de casca.

3. Fronteira entre os modelos de viga e de casca.

4.1 Flambagem e Pós-Flambagem Tipo Viga.

Para a flambagem tipo viga é possível notar na equação (2.30d) que a relação entre a

pressão interna crítica e a temperatura crítica é linear e inversamente proporcional, ou seja,

quanto maior a pressão interna, menor é a temperatura crítica de flambagem. Portanto, a

partir dos modelos desenvolvidos no capítulo 2 alguns resultados serão discutidos.

Usando a equação (2.30d) e o modelo numérico de viga descrito no capítulo 2 é

possível plotar um gráfico (Figura 4.1) que mostra a relação entre a pressão interna crítica e

a temperatura crítica de flambagem para diferentes relações de raio e espessura (β ) e

coeficiente de esbeltez λ . Ainda na Figura 4.1 é possível observar a validade do modelo

numérico, pois nota-se a concordância dos resultados.

63

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

9.0

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

β , λ2

120 , 13889

100 , 20000

75 , 35556

pi x (10-6)

∆t cr

it

AnalíticoNuméricoNuméricoNumérico

Figura 4.1 Flambagem: Modelos numérico e analítico.

Usando a equação (2.30d) foi possível obter um gráfico da temperatura crítica de

flambagem em função do coeficiente de esbeltez, para um duto com pressão interna

adimensional 710x76,4 − , como era de se esperar quanto maior o índice de esbeltez (maior

o comprimento), menor a temperatura crítica de flambagem, conforme apresentado na

Figura 4.2. Na Figura 4.2, usando a equação (2.33) para um aço com a tensão de

escoamento adimensional de 310x3,2 − ( 3vm 10x3,2 −=σ ), é possível determinar a

fronteira entre os regimes, plástico e elástico.

64

2x103

4x103

6x103

8x103

104

9.80

9.81

9.82

9.83

9.84

9.85

9.86

pi=4.76E-07

Regime Elástico

β

75

100

120

Regime Plástico∆

t cri

t

λ2

Figura 4.2 Coeficiente de esbeltez por temperatura crítica de flambagem.

Com base nas equações (2.33) plotou-se um gráfico (Figura 4.3) que relaciona a

tensão de Von Mises e o coeficiente de esbeltez. É notável que quanto maior o

comprimento do duto menor é a tensão de Von Mises. Para este gráfico usou-se um aço

com a tensão de escoamento adimensional de 310x3,2 − ( 3vm 10x3,2 −=σ ) e foi possível

determinar a fronteira entre os regimes, plástico e elástico.

65

103

104

105

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.010

Tensão de escoamento

Regime Plástico

Regime Elástico

β=100

λ2

σvm

Figura 4.3 Tensão de Von Mises por coeficiente de esbeltez

A Figura 4.4 foi criada a partir da equação (2.30b) de pós-flambagem que relaciona e

temperatura e a pressão interna. Observa-se que o comportamento linear na relação tp i ∆−

é mantido no regime de pós-flambagem.

0 1 2 3 4 5

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5

10.0

l*

1.000

1.005

1.010

1.015

pi x (10-6)

∆t

β=100λ=2000

Figura 4.4 pós-flambagem: Pressão interna e temperatura.

66

Ainda para a pós-flambagem, usando as equações (2.35a-b), foi possível relacionar a

tensão de Von Mises com o comprimento deformado ( *l ) para diferentes valores de β

conforme mostra a Figura 4.5. Para esta gráfico usou-se o mesmo aço das figuras

anteriores, e foi possível determinar a fronteira entre os regimes, plástico e elástico. Nota-se

que quanto maior o comprimento deformado maior é a tensão de Von Mises.

1.000 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005 1.006

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

σV

M

Reg. Elástico

σvm

= 2.27E-03

β , λ2

120 , 13889

100 , 20000

75 , 35556

l*

Reg. Plástico

Figura 4.5 Comprimento deformado por tensão de Von Mises.

Usando os modelos, analítico e numérico foi possível plotar o gráfico de pós-

flambagem da deflexão máxima em função da temperatura (Figura 4.6), para diferentes

valores de λβ e , a temperatura foi normalizada a partir da temperatura crítica de

flambagem ( critt∆ ) e, como esperado, após atingir a critt∆ a viga sofre uma instabilidade.

Ainda na Figura 4.6 é possível notar a concordância entre os modelos, pois após atingirem

a critt∆ os resultados encontrados se mostraram satisfatórios.

67

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

Ymax

x (10-3)

β , λ2

75 , 35556

100 , 20000

120 , 13889

Analítico

Numérico

∆t /

∆t c

r

Figura 4.6 Deflexão máxima por temperatura.

Usando as equações (2.8a-b) e o modelo numérico foi possível plotar a deformada

para diferentes valores do comprimento deformado ( *l ), e como era esperado quanto maior

*l maior é a deflexão, conforme mostra a Figura 4.7.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

β=100λ=2000

Numérico Analítico

l*

1.0011.0025 1.0041.0051.021

X

Y

Numérico Analítico

X

Y

Figura 4.7 Deformadas no regime de pós-flambagem.

68

4.2 Flambagem Tipo Casca.

Como ocorrido com o modelo de viga, para a flambagem tipo casca é possível notar

na equação (3.30) uma relação linear, mas no caso de casca a relação é diretamente

proporcional entre a pressão interna crítica e a temperatura crítica. Ou seja, quanto maior a

pressão interna, maior é a temperatura crítica de flambagem, logo é possível concluir que a

pressão interna ajuda a impedir a flambagem.

Portanto, a partir dos modelos desenvolvidos no capítulo 3 alguns resultados serão

discutidos. A equação (3.32a) é função de dois parâmetros n e m, então, para encontrar a

solução foi necessário desenvolver uma planilha em Excel utilizando a ferramenta solver,

disponível na biblioteca do mesmo. Esta planilha tinha como função procurar o valor de n e

m de forma a minimizar a temperatura para um dado valor de pressão interna previamente

determinada. Durante a procura do valor de n e m para diferentes valores de pressão interna

observou-se que n era sempre igual a 1 (um).

Usando a equação (3.32a) (com a função solver) e o modelo numérico de casca

descrito no capítulo 3 é possível plotar um gráfico (Figura 4.8) que mostra uma relação

entre a pressão interna crítica e a temperatura crítica de flambagem para diferentes relações

de raio e espessura (β ). Ainda na Figura 4.8 é possível observar a validade do modelo

numérico, pois nota-se que os resultados quando comparado com o modelo analítico

tiveram seus resultados dentro do esperado.

69

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

b , l

250 , 32

200 , 50

150 , 89

Analítico Numérico

pi x (10-6)

∆t

Figura 4.8 Flambagem de casca: Modelos numérico e analítico.

Para os gráficos abaixo (Figuras Figura 4.9 a Figura 4.11), estão apresentados os

autovetores dos modelos analítico e numérico apresentando ótimos resultados. Vale

ressaltar que nas extremidades da casca ( 0X = e 1X = ), não existem efeitos de membrana,

apenas os efeitos de flexão, de caráter local. E que o modo de flambagem da direção X (m)

diminui à medida que β aumenta.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

w

X

Analitico

Numerico

b= 150

l= 89

m = 15

Figura 4.9 Autovetores comparando os modelos analítico e numérico, 150=β .

70

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 Analitico

Numerico

wb= 200

l= 50

m = 14

X


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 Analitico

Numerico

w

b= 250

l= 32

m = 13

X


71

4.3 Interface Viga e Casca.

Nesta parte será tratada a fronteira entre os modelos de casca e viga. Na Figura 4.12

estão representadas as fronteiras para diferentes valores de pressões internas, variando os

parâmetros 2λ e β . Para obter esse gráfico (Figura 4.12) foi necessário criar novamente um

solver em uma planilha Excel, porém desta vez usou-se o seguinte procedimento:

1. Determinam-se os parâmetros: Raio, espessura, pressão interna,

comprimento, n e m.

2. Em seguida, calcula-se a temperatura crítica de flambagem para casca usando

a equação (3.30) com os dados acima.

3. Com os mesmos dados, calcula-se a temperatura crítica de flambagem para

viga usando a equação (2.30d).

4. E, por último, faz-se um solver variar n e m com as seguintes restrições: l

mínimo e a temperatura crítica de flambagem para casca e viga têm que ser

iguais.

Com o raio e a espessura determinada encontra-se o valor de β e com o raio e o l

mínimo calculado pelo solver determina-se 2λ , com isso é possível obter a fronteira entre

viga e casca ponto a ponto para diferentes pressões internas, como mostra a Figura 4.12.

72

50 100 150 200 250 300

0

100

200

300

400

500

600

700

800

VIGA

λ2

β

pi

0

4,8 x 10-7

1,4 x 10-6

2,4 x 10-6

4,8 x 10-6

9,5 x 10-6

4,8 x 10-5

CASCA

Figura 4.12 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros 2λ e β .

Para o gráfico abaixo (Figura 4.13), foram usadas as equações (2.30b) e (3.30) que

relacionam pressão interna e temperatura críticas de flambagem, com isso foi possível

determinar, para diferentes valores de 2λ , se o duto irá flambar como casca ou como viga.

Na Figura 4.13 a linha vermelha mostra a temperatura crítica de flambagem em função do

coeficiente de esbeltez, nota-se que a linha vermelha é o menor valor de temperatura, no

ponto, entre os modelos de casca e viga. Ou seja, de 02 =λ até o ponto de fronteira

marcado na figura o duto irá flambar como casca (temperatura crítica de flambagem é

menor para casca), do ponto de fronteira em diante o duto irá flambar como viga

(temperatura crítica de flambagem como viga é menor).

73

0.0 2.0x102

4.0x102

6.0x102

8.0x102

1.0x103

1.2x103

1.4x103

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45 Casca Viga

pi= 4,8 x 10-7β = 150

Ponto de fronteiraentre viga e casca

∆t c

rit

λ²

Figura 4.13 Fronteira entre casca e viga em relação os parâmetros t∆ e 2λ .

74

5 CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

O objetivo deste trabalho foi estudar a flambagem do tipo casca e do tipo viga de um

duto elástico, esbelto, sujeito a uma pressão interna e a um gradiente de temperatura

uniforme, com extremidades bi-apoiadas e fixas.

Primeiramente, encontrou-se analiticamente a equação de flambagem e de pós-

flambagem do tipo viga, e desenvolveu-se um modelo numérico que representasse o

modelo analítico. Uma comparação entre os modelos foi realizada encontrando-se ótimos

resultados.

Posteriormente, desenvolveram-se as equações analíticas de flambagem do tipo casca

baseado em JONES [11] e um modelo numérico que representasse o modelo analítico foi

criado. Uma comparação entre as soluções analítica e numérica foram feitas, obtendo-se

ótimos resultados validando assim o modelo numérico.

E para finalizar foi feito um mapeamento da fronteira entre a flambagem de viga e

casca, possibilitando pré-estabelecer se irá ocorrer uma flambagem tipo casca ou tipo viga,

a partir de parâmetros geométricos apenas.

Os resultados foram apresentados em gráficos adimensionais e normalizados em

função da razão de esbeltez ( 2λ ), da razão entre o raio e a espessura (β ) e da pressão

interna iP , possibilitando, assim, apresentar um gama de resultados para diferentes valores

de 2λ , β e iP .

As temperaturas críticas de flambagem encontradas para os dois modelos (casca e

viga) foram relativamente baixas, não alterando as propriedades do material.

75

Como sugestão para trabalhos futuros:

1. Utilizar um modelo numérico que represente simultaneamente a flambagem

do tipo casca e do tipo viga, e que possa determinar a região de transição

observando os dois tipos de flambagem.

2. Realizar ensaios experimentais.

3. Incluir flambagem plástica.

76

6 CAPÍTULO 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] http://boelly.multiply.com/journal, acessado em fevereiro de 2012.

[2] RUBIN, A., Gudme, J., "Qualification of Steel Wire for Flexible Pipes", In:

61st Annual Conference & Exposition - Corrosion, NAC Expo 2006, paper

n° 06149 , March 12-16, San Diego, Califórnia, USA, 2006.

[3] http://www.itp-interpipe.com/products/subsea-cryogenic-pipelines/subsea-

cryogenic-pipelines.php, acessado em fevereiro de 2012.

[4] Estefen, S.F., Netto, T.A., Pasqualino, I.P., “Strength Analysis of Sandwich

Pipes for Ultra Deepwater”. 3rd Workshop on Subsea Pipelines.

COPPE/UFRJ, Ocean Engineering Department. Rio de Janeiro, Brazil, 2002.

[5] http://www.steelpipeschina.com.pt, acessado em fevereiro de 2012.

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McGraw-Hill de Portugal, Ltd.

[7] BUFFONI, S., Resistência dos Materiais, Apostila, Universidade Federal

Fluminense.

[8] TIMOSHENKO, S.P., 1953, History of Strength of Materials. 1sted., New

York, McGraw-Hill.

[9] CAIRE, M., Análise de Enrijecedores a Flexão. Tese de M. Sc., UFRJ, Rio

de Janeiro, RJ, Brasil, 2005.

77

[10] TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E., 1961, Theory of Elastic Stability.

2nded., McGraw-Hill Kogakusha, LTD.

[11] JONES, R. M., 2006, Buckling of bars, Plate, and shells. 1sted., Bull ridge.

[12] TIMOSHENKO, S. P., KREIGER, S. W., 1964, Theory of Plates and Shells.

2nded., McGraw-Hill Higher Education.

[13] BRUSH, D. O., ALMROTH, B. O., 1975, Buckling of Bars, Plates, and

Shells. 1sted., McGraw-Hill Book Company.

[14] GOULD, P. L., 1998, Analysis of Plates and Shells. 1nded., Prentice hall.

[15] PALMER, A.C., BALDRY, J.A.S., “Lateral Buckling of Axial Constrained

Pipelines”. In: Journal of Petroleum Technology, pp. 1283-1284, 1974.

[16] TANG, D.M., ILGAMOV, M.A., DOWELL, E.H. “Buckling and Post-

Buckling Behavior of A Pipe Subjected to internal pressure”. In: Journal of

Applied Mechanics, v. 62, pp. 595-599, 1995.

[17] MASSA, A. L. L., GALGOUL, N. S., JUNIOR, N. O. G., FERNANDES,

A. C., COELHO, F. M., “Pipeline’s natural frequency response due to

internal pressure efect”, Rio Pipeline Conference and Exposition 2009.

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[18] HUTCHINSON,J., “Axial buckling of pressurized imperfect cylindrical

shells”, Aiia Journal 1965.

[19] FONSECA, E. M. M., OLIVEIRA, C. A. M., MELO, F. Q., “Fenômenos De

Instabilidade Em Elementos Tubulares Submetidos À Compressão”, Revista

da APAET - Associação Portuguesa de Análise Experimental de Tensões,

ISSN-122922, v 11, pp.11-18, 2005.

[20] KYRIAKIDES, S., CORONA, E., 2007, Mechanics of Offshore Pipelines

Vol.1 Buckling and Collapse. 1sted., Elsevier.

[21] BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., 1989, Resistência dos Materiais. 2nded.,

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[22] POPOV, E.P., Engineering Mechanics of Solids. 1 ed., New Jersey, Pretice-

Hill, 1990.

[23] NAYFEH, A. H., 2000, “Nonlinear Interactions”, New York, John Wiley &

Sons, Inc.

[24] LOVE, A. E. H., 1944, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity.

1sted., Dover.

Documents

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