Flexão de Vigas

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Aula 15 e 16: Formulao para Vigas

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Formulao Variacional para vigas

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Viga : o comprimento bem maior que as dimenses da seo transversal. Interesse no estudo de vigas: reside em aes de movimento chamadas aes de flexo, ou seja, deslocamentos transversais na direo do eixo y associados a rotaes das sees transversais em torno do eixo z.

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Dois modelos: Euler-Bernoulli e Timoshenko. Diferena Euler-Bernoulli no considera a deformao de cisalhamento presente nas sees transversais, ao passo que o modelo de Timoshenko ir considerar tal deformao.

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Eixos de referncia para uma viga

Definio da Cinemtica Hipteses: sees permanecem planas, indeformadas e ortogonais ao eixo longitudinal [da viga ( como em barra)EM406D

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Em cada seo ocorrer um deslocamento vertical v(x) e uma rotao em z, que s dependem da coordenada x. Devido a esse deslocamento, ocorrer tambm um deslocamento axial u(x), no existindo um deslocamento na direo z. u = deslocamento na direo x v= deslocamento na direo y Estes deslocamentos esto expressos na figura.EM406D

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Coloque um referencial no ponto escolhido P=(0,0,0) P`=(0, y,0) P= (- x, y- v, 0) Logo o deslocamento ser dado por P-P u=- x tg = x/ y- v = - u/ y- v = -u(x)/ y- v no tringulo maior tg = v/ x no triangulo menor.EM406D

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Logo, igualando as duas equaes temos que: v/ x = -u(x)/ y- v U(x)= -y ( v/ x) + ( v* v/ x) Mas v* v/ x desprezvel para v pequeno. Aplicando-se o limite para x tendendo a zero teremos u(x) = -y (dv(x)/d(x))

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Sendo assim, possvel definir o campo vetorial u(x), que descreve o deslocamento de uma viga.

Portanto, a cinemtica (V) para uma viga ser definida como V={u I u1= -y*dv(x)/dx , u2 = v(x), u3=0}EM406D

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Rotao para a viga sob a ao de um momento fletor positivo dv(x)/dx = z(x) >0

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Anlise da Deformao Assim como ocorre em barras, existe uma deformao especfica longitudinal, dada por xx. No caso de barra, xx=du(x)/dx Foi demonstrado que u(x)= -ydx(x)/dx Logo a deformao em vigas ser dada por = - y*dv2(x)/dx2 xx.EM406D

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Para a componente em y da deformao, temos um caso anlogo ao da barra, onde o operador que relaciona a cinemtica deformao a derivada de primeira ordem.yy=dv(x)/dx

Se toda a seo sofrer a mesma variao transversal v(x), yy ser 0, como se pode comprovar. S existir translao do corpo.EM406D

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Movimento de corpos rgidos J analisamos o caso de yy para v(x) = cte. Vamos analisar agora para XX. Sabemos que xx= - y*dv2(x)/dx2 Para um corpo rgido a deformao longitudinal ser 0 e portanto teremos que - y*dv2(x)/dx2 = 0 , o que implica em dv(x)/dx = cte.

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= dv(x)/dx = cte . Todo o corpo sofre a mesma rotao em z. O subconjunto dos movimentos rgidos pode ser definido como :

z(x)

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Potncia Interna Devemos lembrar que a potncia interna relaciona os esforos internos (estado de tenso) com as deformaes. Como desconsidera-se a tenso de cisalhamento, a nica componente de deformao ser XX. Sendo assim, a Potncia Interna ser dada por:

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Lembre-se que o sinal negativo uma mera conveno. Substituindo a deformao XX, teremos:

E abrindo a integral de volume em termos do comprimento e da rea.

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Denominaremos a integral entre parnteses de momento fletor Mz

Essa integral pode ser escrita como

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A Potncia Interna em termos de momento ficaria sendo:

Integra-se duas vezes por partes:

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Observe que Lembrando quez(x)

= dv(x)/dx , temos:

Expandido temos que

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Aplicao do PPV Sabemos que para o equilbrio, Pi = Pe. Logo:

Logo, dever haver o seguinte correlao

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Caracterizao dos Esforos Externos Observando a expresso final para potncia interna, observamos que deve existir uma densidade de fora distribuda, alm de foras cortantes e momentos fletores em ambas as extremidades, para que o corpo permanea em equilbrio. Vo, VL Foras Cortantes nas extremidades Mo, ML Momentos Fletores nas extremidades q(x) carregamento transversal distribudo

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Substituindo esses esforos na equao do PPV e rearranjando teremos:

O que implica em:

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Exerccio Prtico 1 : Determinar as equaes de fora cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

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Exerccio Prtico 2 : Determinar as equaes de fora cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

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Aplicao da Equao Construtiva

Sabemos que

que substituindo a deformao teremosxx

=E

xx e

Sendo o momento fletor dado por

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Pode-se fazer a substituio e se obter

A integral representa o momento de inrcia de rea. Sendo assim, teremos que

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Substituindo essa equao na equao bsica para viga obtida por formulao variacional, teremos que:

1a Integral 2a Integral 3a Integral 4a Integral

Fora Cortante Momento Fletor Rotao em relao a z Flecha da vigaEM406D

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As restries cinemticas ( espao Kinv )

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Relao extremamente importantes

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Convenes de Sinais para Foras e Momentos.

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A linha que passa pelo centride da viga e determina um estado nulo de tenso chamada de linha neutra.

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Dimensionamento de Viga Determinar dimenses para que a viga permanea na fase elstica. 1. Determinar os diagramas pela equao diferencial. 2. Determinar Mzmax pelo diagrama e a coordenada ymax 3. Aplicar a expresso

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Wz = Mdulo de resistncia a flexo Wz = Iz/ymax Dimensionamento calcula-se Iz e depois determina-se a seo. Retngulo Iz = (b*h3)/12 Seo Circular = ( *d3/64) Perfil I : Calcular o momento de Inrcia Verificao da vigaEM406D

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Exerccio Prtico 1: Determinar as equaes de fora cortante, momento, rotao e flecha para a viga da figura abaixo.Q0 =100N/m

L , Iz

200N/m

100N

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Exerccio Prtico 2: Determinar a) equaes de fora cortante, momento, rotao e flecha b) reaes de apoio c)dimenso mnima B para que os requisitos de tenso e flecha sejam respeitados. = 200N/mm2 E=2x106N/mm2, q0 = 10.000 N/m, L= 5m, vmax= L/1000 , viga com formato Bx3B. Redimensione para uma seo circular.

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Exerccio Prtico 3: Consideraes sobre vigas com ou sem rtulas. Viga bi-engastada com carregamento distribudo qo. A primeira viga no possui rtula e a segunda possui na distancia L/2. (Olhar 6.4 na apostila)

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