Flexão Simples1

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  • 8/7/2019 Flexo Simples1

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    FCTUC Departamento de Engenharia Civil

    2007/2008

    Apontamentos de Beto IFlexo Simples

    Fernanda FreitasSegundo as lies da Prof. Helena Barros

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    Beto Armado I 2

    NDICE

    FLEXO SIMPLES

    1. PRINCPIOS DE CLCULO 32. CLCULO DE SECES TRANSVERSAIS 33. DEFORMADAS DE ROTURA DA SECO 64. RESULTANTE DAS TENSES NO BETO E NO AO 75. DIMENDIONAMENTO FLEXO SIMPLES-AO EM CEDNCIA 86. FLEXO SIMPLES SECO NO RECTANGULAR 137. FLEXO SIMPLES SECO EM T 138. EXERCCIOS PROPOSTOS 15

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    Beto Armado I

    FLEXO SIMPLES

    F.1 PRINCPIOS D

    As seces plandesprezam-se as

    H compatibilidenvolvente, isto

    considera haver

    F.2 CLCULO DE S

    a) BetoPara o clculo de

    As tense desprez

    As tenseparabola-r

    seguido d

    Diagrama parbo

    As equaes

    1 par

    CLCULO

    s mantm-se planas aps a deform

    deformaes por corte da viga.

    de entre as deformaes das armad

    , a armadura est aderente ao

    escorregamento entre os dois materi

    ECES TRANSVERSAIS

    seces transversais admite-se que n

    de traco so nulas,a resistncia do

    da.

    s de compresso so definidas pe

    ectangulo, parablico at uma exte

    um valor constante at extenso d

    a-rectngulo para o beto comprimi

    ue o definem so:

    1 2

    para0

    3

    ao por flexo,

    uras e do beto

    beto, no se

    is.

    o beto:

    beto traco

    lo diagrama de

    nso e

    .

    o

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    Beto Armado I

    com:

    extens

    valor d exten expoent

    Todos estes par

    em funo da classe d

    Diagrama biline

    O EC2 permite o

    Sendo e defini

    Diagrama de blo

    O EC2 permite t

    EC2). Este consiste nu

    caractersticas.

    0.8 para 0.8

    1.0 para

    o do beto correspondente resist

    clculo da resistncia compressoo ltima

    metros encontram-se definidos no Qbeto.

    r

    uso de um diagrama bilinear (seco

    os no quadro 3.1 em funo da class

    co rectangular

    mbm o uso de um outro diagrama (s

    diagrama rectangular de tenses c

    50 para 50 90

    50

    4

    cia mxima

    do beto

    adro 3.1 do EC2

    .1.7.2 do EC2).

    do beto.

    eco 3.1.7.3 do

    om as seguintes

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    Beto Armado I

    1.0

    b) AoO diagrama tens

    armaduras de beto ar

    Onde:

    Diagram Diagram

    As tenses no ao pod

    por B:

    para 50 90

    Diagrama rectangular de tenses

    es extenses idealizado e de clcul

    mado (em traco ou compresso)

    idealizado

    a de clculo

    m ser definidas por um dos dois dia

    5

    para o ao das

    seguinte:

    ramas indicados

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    Beto Armado I

    Diagrama elasthorizontal);

    Diagrama comextenso limite

    F.3 DEFORMADAS

    A rotura da seco d-

    o ao atinge a extens

    rotura medida que a

    Consideram-se as segu

    largura da sec altura da sec altura til da altura da sec rea da arm

    Caso BetoI ; II ; III ;IV ;

    (*) Nota: Quando se

    extenso l

    extenso ao da class

    -plstico sem limitao da exten

    endurecimento na fase plstica l

    0,9(linha inclinada).

    DE ROTURA DA SECO

    e quando o beto atinge a extenso

    de . A figura mostra como evoluilinha neutra baixa na seco (x aumen

    intes variveis:

    o

    o

    eco

    o de beto comprimido (posio do eix

    dura traccionada

    Rotura Ao 0 ; ;

    usa o diagrama elasto-plstico seimite podemos usar um valor c

    enso mxima de 2.5% , corree A.

    6

    so limite(linha

    imitado a uma

    ou quandoa deformada de

    ta).

    o neutro)

    Rotura ;

    m limitao daracterstico da

    spondente a um

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    Beto Armado I 7

    F.4 RESULTANTE DAS TENSES NO BETO E NO AO

    A resultante das tenses no beto,

    , dada por

    = , e dista das fibras superiores de .

    Nos casos indicados como Caso I, II e III esta resultante obtida

    analiticamente de forma simples.

    Caso Beto Rotura Ao Rotura

    I = ; = 0 < < ; < II = ; = ; III ; = = ;

    F.4.1 K1 e K2 PARA AS CLASSES DE BETO C12 C50

    Dado que o eurocdigo 2 altera as extenses ltimas do beto em funo da

    classe, os parmetros K1 e K2 so variveis. Os coeficientes e parabetes 12 50 so dados por:

    Se 2 3.5 (Caso III e betes 12 50): =

    3 23

    = 3 4 1 0 + 2 1 0

    2 3 2 1 0

    Corresponde parbola completa e parte do rectngulo.

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    Beto Armado I 8

    Se 3.5 (Casos I e II e betes 12 50)das equaes anterioresvem:

    =3 3.52

    3 3.5 = 0.80952 0.809

    =3.5103 3 . 5 1 0 4 1 0 + 2 1 0

    2 3.5 103 2 1 0 = 0.41596.. 0.416

    F.4.2 TENSES NO AOA equao de compatibilidade das extenses permite escrever:

    =

    3.5

    =

    3.5

    Esta equao permite obter a extenso no ao e partir da lei constitutiva a

    respectiva tenso. Se diz-se que a seco apresenta rotura dctil,com o ao no patamar de cedncia e tenso constante igual ao valor de

    cedncia . Se o ao tiver endurecimento este valor no pode ser

    considerado constante.

    F.5 DIMENSIONAMENTO FLEXO SIMPLES AO EM CEDNCIA5.1 SECO RECTNGULAR SIMPLESMENTE ARMADA

    Caso Beto Rotura Ao Rotura

    I = ; = 0 < < ; < II = ; = ; III

    ; =

    = ;

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    Beto Armado I 9

    As equaes de equilbrio de foras e de momentos, so respectivamente:

    (1) (2)Fora no beto (resultante do diagrama no linear): = Fora no ao (no caso II o ao est em cedncia): = com:

    = ; = ; z =

    ou seja:

    = =

    = 1

    Equao 1:

    = = =

    =

    Percentagem mecnica de armadura: = = 1 =1

    Equao 2:

    = = = =

    Momento reduzido: = = 1 = 1 1 2 = 1

    Esta equao pode ser usada nos casos I, II e III bastando para isso escolhero valor dos parmetros K1 e K2 convenientes (indicados em F4.1).

    5.2 SECO RECTNGULAR DUPLAMENTE ARMADA

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    Beto Armado I

    Caso Beto

    II

    3.5 ;

    Quando h armadura

    nas equaes de eq

    A fora no beto

    traccionado e compri

    ambos se encontram e

    5.3 CLCULO DARMAR DUPLAME

    Clculo do mo

    rotura deixa de ser d

    por isso deve-se usar a

    As equaes de equilb

    temos:

    0.809

    Rotura Ao

    e compresso tem de se considerar

    uilbrio:

    inda dada por: . A

    ido so: e c

    m cedncia.

    MOMENTO A PARTIR DO QTE A SECO

    ento reduzido limite , valor a

    til, a seco rompe com o ao em re

    rmadura de compresso.

    rio escrevem-se:

    0.809

    d 0.416

    10

    Rotura;

    um novo termo

    foras no ao

    nsiderando que

    UAL SE DEVE

    artir do qual a

    gime elstico, w

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    Beto Armado I 11

    como:

    =0.809 d 0.416

    = 0.809 d 0.416

    dividindo tudo por ficamos com:

    = 0.809 1 0.416

    pela equao de compatibilidade das extenses temos:

    = 3.5 = 3.5 +3.5

    logo:

    =

    =3.5

    +3.5

    Ento para os diferentes tipos de ao temos a seguinte tabela:

    Ao

    S400 1.739 0.668 0.390S500 2.174 0.617 0.371S600 2.609 0.573 0.353

    Nota: Desde que > , nos diferentes tipos de ao, dever ser colocadauma armadura de compresso. Pode-se verificar que dimensionando a

    seco com esta armadura observa-se uma subida do eixo neutro. O uso de

    uma seco em T poder ser uma alternativa ao uso de armadura decompresso.

    Exemplo:

    Calcule a armadura necessria para uma seco rectangular de

    0.60 0.30 , sujeita a um momento flector positivo cujo valor de clculo = 500 . . O beto um 25/30 e o ao 500. A classe ambiental

    2.

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    Beto Armado I 12

    Resoluo:

    Seja 0.52

    = = 0.8 0.4 = 0.8 0.416.6710

    = 5334.4 = = 5334.4 0.4 500 = 5334.4 0.55 0.4 = 0.2162ento:

    = 1153 = = 1153 =

    = 115310

    43510 = 26.51 = 29.45 625

    Disposies construtivas:

    =14 6 = 8

    = 600 35 8 25 = 532 = 0.532 = 0.532 = 0.52 ! = 4 0 0 2 3 5 2 8 3 2 5 1

    2= 119.5 !

    = 25 + 25 = 35.36 = ; + 5; 20 = 35.36 compatibilidade das extenses:

    =

    3.5 =0.5320.2162

    0.2162 3.5 = 5.11 = 2.174

    Rotura dctil, com o ao no patamar de cedncia.

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    Beto Armado I 13

    F.6 FLEXO SIMPLES SECO NO RECTANGULAR

    Para seces no rectangulares a rea de armadura tem que ser

    obtida analiticamente, sempre que no existam tabelas disponiveis. O blocorectangular o diagrama mais conveniente, por ser o mais simples.

    onde: rea do banzo reas da alma (at )

    A fora de compresso, a soma de duas parcelas.

    0 = +

    = +

    De uma das equaes obtm-se o""da outra a rea de ao.

    F.7 FLEXO SIMPLES SECO EM T

    Uma seco em T pode ser dimensionada recorrendo a tabelas para secesrectangulares desde que o eixo neutro se encontre em determinadasposies.

    Equaes deEquilbrio

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    Beto Armado I 14

    e n hfx

    AsAs Fs

    Fc

    igual a:

    Desde que: x hf

    e n

    beff

    hf

    h

    Eixo neutro no banzo

    e n

    beff

    h

    Eixo neutro na alma

    bw

    HIPTESES DA POSIO DO EIXO NEUTRO

    Hiptese 1 Eixo neutro interseptando o banzo da viga.

    Neste caso possvel utilizar as tabelas de clculo de secesrectangulares. Claro que se tem de confirmar esta hipotese atraves do

    clculo de x.

    Hiptese 2 Eixo neutrona alma do T.

    Se o eixo neutro interseptar a alma, o beto comprimido composto

    por dois rectangulos e a resultante das compresses tem de ser calculada

    analiticamente. O diagrama mais conveniente o bloco rectangular.

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    Beto Armado I 15

    Designando por a resultante da compresso na rea epor a resultante da compresso na rea = , a forano beto comprimido = + = + .

    = 0 = +

    = = +

    com = e =

    .

    Com as equaes de equilbrio possvel calcular a seco.

    F.8 EXERCCIOS PROPOSTOS

    Exerccio 1:

    Considere uma seco em I em beto C30/37 e ao S500 para suportarum momento negativo de 1750KNm. A viga est em ambiente exteriorcarregada aos 60dias, cimento de presa normal.

    a) Dimensione a seco e faa um desenho a escala conveniente.Verifique as disposies construtivas.b) Efectue o dimensionamento usando o bloco rectangular e compare as

    solues obtidas.c) Efectue as verificaes em servio supondo que o momento para

    combinaes raras 1200KNm, frequentes 1000KNm e quasepermanentes 800KNm.

    ;435;20 MPaydfMPa

    cdf ==

    a)0.15/d

    fh3.33;bw/b1.00m;b86m;.0;96.0 ===== dmh

    Tabela 9

    )28.51S

    (A32425;4250.6cmS

    A

    162.00.128;1s

    ;12.0

    cm=+=

    ===

    b)

    20.50;2176banzo);(no136.0

    ;1750)4.086.0(;16000)00.1)(20000)((8.0(

    cmS

    AKNC

    Fmx

    xC

    FxxC

    F

    ===

    ===

    As equaes deEquilbrio so:

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