Flexão em Vigas e Projeto de Vigas – APOSTILA · PDF fileMecânica dos Sólidos II Prof. Willyan Machado Giufrida Flexão em Vigas e Projeto de Vigas – APOSTILA Introdução:

Mecânica dos Sólidos II

Prof. Willyan Machado Giufrida

FFlleexxããoo eemm VViiggaass ee PPrroojjeettoo ddee VViiggaass –– AAPPOOSSTTIILLAA

Introdução:

As vigas certamente podem ser consideradas entre os mais importantes de todos os elementos

estruturais. Citamos como exemplo elementos utilizados para suportar o piso de um edifício, a plataforma de uma ponte ou a asa de um avião. Além disso, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste e até mesmo muitos dos ossos do corpo humano agem como vigas. As cargas que atuam numa viga a fazem fletir (ou curvar), e assim deformar o seu eixo em uma curva. Vigas e eixos são importantes elementos estruturais e mecânicos usados em projetas de engenharia.

Nesta seção, determinaremos a tensão provocada nesses elementos por conta da flexão. Começaremos com uma discussão sobre como construir os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga ou eixo. Assim como os diagramas de força normal e de torque, os diagramas de força cortante e momento fletor proporcionam um meio útil para determinar a maior força de cisalhamento e o maior momento em um elemento e especificam onde esses máximos ocorrem. Uma vez determinado o momento interno em uma seção, a tensão de flexão pode ser calculada. Em primeiro lugar, consideraremos elementos retos, com seção transversal simétrica e feita de materiais homogêneos lineares elásticos. Em seguida, discutiremos casos especiais que envolvem flexão assimétrica e elementos feitos de materiais compósitos. Também consideraremos elementos curvos, concentrações de tensão, flexão inelástica e tensões residuais.

11.. EEssffoorrççoo ccoorrttaannttee ((VV)) ee MMoommeennttoo FFlleettoorr ((MM))

Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem uma força de cisalhamento interna (força cortante) e momento fletor que, em geral, variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. Para projetar uma viga corretamente, em primeiro lugar, é necessário determinar a força de cisalhamento e o momento máximos que agem na viga. Um modo de fazer isso é expressar V e M em função de uma posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. Então, essas funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos

denominados diagramas de força cortante e

momento fletor.

Os valores máximos tanto de V quanto de M podem ser obtidos desses gráficos. Além

disso, uma vez que fornecem informações detalhadas sobre a variação do cisalhamento e do momento ao longo do eixo da viga, os diagramas de força cortante e momento fletor são frequentemente usados pelos engenheiros para decidir onde colocar materiais de reforço no interior da viga ou como calcular as dimensões da viga em vários pontos ao longo de seu comprimento.

O esforço cortante e o momento fletor em um determinado ponto de uma viga é encontrado, passando-se uma seção através do ponto desejado e aplicando-se as equações de equilíbrio da estática para o trecho cortado.



Figura 1.1 – esforço cortante e o momento fletor em um determinado ponto de uma viga.

Convenção de sinal para vigas.

Antes de apresentar um método para determinar o cisalhamento e o momento em função de x e, então, construir um gráfico dessas funções (diagramas de força cortante e momento fletor), é necessário estabelecer uma convenção de sinal de modo a definir força cortante interna e momento fletor como "positivos" e "negativos". Embora a escolha de uma convenção de sinal seja arbitrária, aqui adotaremos a convenção frequentemente utilizada na prática da engenharia e mostrada na Figura 1.2. As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída age para baixo na

viga; a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário no segmento da viga sobre o qual age; e o momento interno causa compressão nas fibras superiores do segmento.

Figura 1.2

Esforços Internos

As resultantes FR e MR0 reduzidas ao C.G. da seção direita deve ter o mesmo módulo e sentidos opostos das resultantes reduzidas ao C.G. da seção esquerda.

Decompondo os vetores FR e M0 nas direções normal e paralela à seção, obtém:



Componentes de FR:

N→ = Esforço Normal;

V→ = Esforça Cortante.

Componentes de MR0:

M→ = Momento Fletor;

T→ = Momento Torçor.

Sinais:

11..11.. PPrroocceeddiimmeennttoo ddee AAnnáálliissee

Os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga podem ser construídos por meio dos procedimentos descritos a seguir.



Reações nos apoios

• Determine todas as forças de reação e momentos conjugados que agem na viga e decomponha todas as forças em componentes que agem perpendicular e paralelamente ao eixo da viga.

Diagramas de força cortante e momento fletor

• Construa o diagrama de força cortante (V versus x) e o diagrama de momento fletor (M versus x). Se os valores numéricos das funções que descrevem V e M forem positivos, serão marcados acima do eixo x, ao passo que valores negativos serão marcados abaixo do eixo.

• Em geral, é conveniente mostrar os diagramas de força cortante e momento fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga.

EExxeemmpplloo::

Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de esforço cortante e de momento fletor.

Solução:

• Aplique as equações de equilíbrio da estática e determine as reações de apoio para a viga:



• Seccione a viga e aplique as condições de equilíbrio para cada parte:

• Construa o diagrama de esforço cortante e de momento fletor, identificando os valores máximos (em módulo).



22.. TTeennssããoo ddee FFlleexxããoo eemm VViiggaass

A teoria de tensões de flexão nas vigas se aplica para vigas admitidas com suficiente estabilidade lateral em virtude de suas proporções ou suficientemente reforçadas na direção transversal.

2.1. Deformação por flexão de um elemento reto

Nesta seção, discutiremos as deformações que ocorrem quando uma viga prismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão. A discussão ficará limitada a vigas com área de seção transversal simétrica em relação a um eixo e a um momento fletor aplicado em torno de uma linha central perpendicular a esse eixo de simetria, como mostrado na Figura 2.1. O comportamento de elementos com seções transversais assimétricas ou feitos de vários materiais diferentes é baseado em observações semelhantes e será discutido separadamente em seções posteriores deste capítulo. Se usarmos um material de alta capacidade de deformação, como a borracha, poderemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um elemento prismático reto é submetido a um momento fietor. Considere, por exemplo, a barra reta (não deformada) na Figura 2.2a, que tem seção transversal quadrada e marcada por uma grade de linhas longitudinais e transversais. Quando um momento fietor é aplicado, as linhas da grade tendem a se distorcer segundo o padrão mostrado na Figura 2.2b. Aqui, podemos ver que as linhas longitudinais se tornam curvas e as linhas transversais verticais continuam retas, porém sofrem rotação. O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um momento fietor provoca o alongamento do material na parte inferior da barra e a compressão do material na porção superior da barra. Por consequência, entre essas duas regiões devem existir uma superfície, denominada supe1jície neutra, na qual não

ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material (Figura 2.1).

Figura 2.1



Figura 2.2

Figura 2.3

Com base nessas observações, adotaremos as três premissas seguintes em relação ao modo como a tensão deforma o material. A primeira é que o eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra (Figura 2.3a), não sofre qualquer mudança no comprimento. Mais exatamente, o momento tenderá a deformar a viga de modo que essa linha toma-se uma curva localizada no plano de simetria x-y (Figura 2.3b). A segunda é que todas as seções transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformação. A terceira é que qualquer deformação da seção transversal dentro de seu próprio plano, como observamos na Figura 2.2b, será desprezada. Em particular, o eixo z, que se encontra no plano da seção transversal e em torno do qual a seção transversal gira, é denominado eixo neutro (Figura 2.3b ). Sua localização será determinada na próxima seção.

22..22.. FFlleexxããoo

Hipótese fundamental da teoria da flexão: As seções planas de uma viga, tomadas

normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão.

Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material, seja ele elástico ou inelástico, linear ou não-linear. As propriedades dos materiais, assim como as dimensões, devem ser simétricas em relação ao plano de flexão.

As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas), enquanto aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas).



Superfície Neutra ss: é uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em

que as linhas longitudinais não mudam de comprimento.

Linha neutra: é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal.

O eixo z é a linha neutra da seção transversal ilustrada na Figura 2.11b.

Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma flexão na barra, ou seja, uma curvatura na peça. O esforço solicitante responsável por este comportamento é chamado de momento fletor, podendo ou não ser acompanhado de esforço cortante e força normal.

Figura 2.4 - Representação de uma viga biapoiada submetida á flexão. A ação da carga externa (a) sobre a viga produz o momento fletor (b) curvatura observada em (c). As fibras superiores tendem a se aproximar (compressão) e as fibras inferiores tendem a se afastar

(tração).

A flexão é provavelmente o tipo mais comum de solicitação produzida em componentes de máquinas, os quais atuam como vigas quando, em funcionamento, transmitem ou recebem esforços.

22..33.. FFlleexxããoo PPuurraa ee FFlleexxããoo NNããoo--UUnniiffoorrmmee

Flexão Pura - Referente à flexão na viga submetida a um momento fletor constante.

Ocorre nas regiões onde a força de cisalhamento é zero, pois V=dM/dx



Figura 2.5 - Viga simples em flexão pura (M=M1)

Figura 2.6 - Viga engastada em flexão Pura (M=-M2)

Considere a viga AB mostrada na figura abaixo, cujo trecho CD encontra-se sobre Flexão pura.

Figura 2.7

Flexão Não-Uniforme – Flexão na presença de forças de cisalhamento, o que

significa que o momento fletor varia quando nos movemos ao longo do eixo da viga. Veja a Figura 2.8



Figura 2.8 - Viga com região central em flexão pura e extremidades em flexão não uniforme.

22..44.. FFlleexxããoo SSiimmpplleess

Uma viga engastada numa extremidade, com uma carga concentrada P, aplicada na extremidade livre, está submetida à flexão simples ou flexão simples plana, quando a carga aplicada atua perpendicularmente ao eixo da viga.

Figura 2.9

22..55.. FFlleexxããoo CCoommppoossttaa

Quando o carregamento atua num plano não perpendicular ao eixo da viga. Neste caso a carga poderá ser decomposta em duas componentes, como apresentado na figura abaixo:



Figura 2.10

No dimensionamento de peças submetidas à flexão, admitem-se somente deformações elásticas. A tensão de trabalho é fixada pelo fator de segurança, através da tensão admissível.

A fórmula da flexão é aplicada nas secções críticas, ou seja, nas secções onde o momento fletor é máximo Mmáx. O momento fletor máximo de uma viga pode ser determinado através dos diagramas obtidos pelo método das secções, ou através de tabelas que apresentam expressões para estas grandezas.

Nos anexos desta apostila estão algumas tabelas que permitem determinar o momento fletor máximo e outras grandezas relativas ao estudo de vigas.

Hipóteses

Os modelos de flexão utilizados em nosso estudo de resistência dos materiais baseiam-se nas seguintes hipóteses:

Sobre o Corpo Sólido

I - O material é considerado homogêneo e isotrópico;

II - A viga admite um plano de simetria;

III - O corpo é formado por um conjunto de fibras unidas entre si e paralelas ao plano longitudinal.

Sobre as forças

IV - As forças atuam no plano de simetria;

V - As forças atuantes são perpendiculares ao eixo, portanto trata-se de um problema de flexão simples:



Figura 2.11

Sobre Deformações

VI. Hipótese de Bernoulli: Os sólidos sob flexão são elásticos longitudinalmente e rígidos transversalmente.

Figura 2.12

VII. Hipótese de Navier:

Sob ação de cargas de flexão, algumas fibras longitudinais que compõem o corpo sólido são submetidas à tração e outras “a compressão, existindo uma Superfície intermediária onde a deformação (εx) e a tensão (σx) para as fibras nela cintidas tornam-se nulas, isto é, não se encurtam e nem se alongam. Esta superfície é chamada de superfície neutra. A superfície neutra intercepta uma dada secção transversal da barra segundo uma reta chamada linha neutra.



Figura 2.13

- Os esforços de tração e compressão aumentam à medida que se afastam da superfície neutra, atingindo sua intensidade máxima nas fibras mais distantes a ela.

- O material obedece a Lei de Hooke, ou seja, as tensões e deformações produzidas no sólido estão abaixo do limite de proporcionalidade do material (regime elástico).

Conclusões:

1. Supondo uma viga submetida a esforços de flexão, constituída por uma série de fibras planas longitudinais, as fibras próximas à superfície convexa estão sob tração e portanto sofrem um aumento em seu comprimento. Da mesma forma, as fibras próximas à superfície côncava estão sob compressão e sofrem uma diminuição no seu comprimento. Como na superfície neutra o esforço é nulo, a deformação resultante também será nula, sendo assim um plano de transição entre as deformações de tração e compressão.

2. De acordo com a Lei de Hooke, a tensão varia linearmente com a deformação. Desta forma temos que a tensão de flexão varia linearmente numa dada seção transversal de uma viga, passando por zero (tensão nula) na linha neutra.

Figura 2.14

3. Em uma viga com seção transversal constante, a linha neutra (interseção entre a superfície neutra e a seção transversal) passa pelo centro de gravidade desta seção.



22..66.. LLiinnhhaa NNeeuuttrraa

Analisando o trecho CD da viga mostrada:

As linhas mn e pq giram e permanecem particulares as fibras longitudinais (hipótese de Bernoulli-Navier).

Sob a ação do momento M, as fibras da parte superior da viga estão sob compressão (diminuem de comprimento) e as fibras da parte inferior estão sob tração (aumentando de comprimento). Em algum ponto entre as partes superiores e inferiores da viga, as fibras longitudinais estão sob tensão nula, não sofrendo variação de comprimento.

Essa superfície é denominada superfície neutra e a interseção com o

plano da seção transversal forma a LINHA NEUTRA da seção.

σ = 0 e ε = 0.

Analisando as deformações entre as duas seções

distintas dx:

ρ: raio do arco cd na linha LN;

L: comprimento do arco cd da barra onde L = ρ.dƟ.

O comprimento do arco ef distante “y” acima da LN pode ser

dado por: L’ = (ρ-y).dƟ.



O comprimento original do arco ef era igual ao do arco cd, antes da deformação.

Logo:

δ = L’ – L;

δ = (ρ – y).dƟ – ρ.dƟ

δ =-y.dƟ.

A deformação específica εx na fibra ef é dada por:

A deformação específica εx varia linearmente com a distância “y” da LN.

A deformação específica máxima (εxmáx) ocorre para o maior valor de “y”.

22..77.. CCuurrvvaattuurraa ddee uummaa vviiggaa

Quando cargas são aplicadas a uma viga, seu eixo longitudinal é deformado em uma curva, como ilustrado anteriormente. As tensões e deformações resultantes estão diretamente relacionadas à curvatura da curva de deflexão. Ilustração do conceito de curvatura. Veja Figura 2.9.

Figura 2.15 - Curvatura da viga fletida: (a) Viga com carregamento e (b) Curva de

deflexão.



O’ - Centro de curvatura interseção das normais às tangentes às curvas de deflexão (normal à própria curva).

m1O’ – Raio de curvatura ( ρ )

κ - Curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura. Assim,

(1)

É uma medida de quão intensamente a viga é flexionada.

Carga pequena na viga → Viga praticamente reta → Raio de curvatura grande → Curvatura pequena e vice-versa.

A partir da geometria do triângulo O’m1m2 obtemos:

(2)

onde dθ é o ângulo infinitesimal entre as normais medido em radianos e ds é a distância

infinitesimal ao longo da curva m1 e m2, Combinando a eq.(2) com (1) tem-se

(3)

Sob as condições especiais de pequenas deflexões tem-se que:

(4)

Convenção de sinais para a curvatura – Apresenta-se na Figura 2.10



Figura 2.16 - Convenção de sinal para a curvatura.

22..88.. FFóórrmmuullaa ddee fflleexxããoo Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao seu eixo, produzindo uma flexão na barra. O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.

Flexão pura – desprezam-se as forças cortantes.

σ = tensão normal no membro

M = momento interno

I = momento de inércia

y = distância perpendicular do eixo neutro

Essa equação é chamada de fórmula e flexão. Tensões calculadas a partir da fórmula de flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões de flexão.

Esta equação representa a distribuição linear de tensões apresentadas na figura abaixo._A tensão de flexão assume seu valor máximo na superfície mais distante_da_linha_neutra,_ou_seja,_no maior valor de y, onde y simboliza a distância a partir



da L.N., podendo chegar até a superfície da peça. Em vigas com seção simétrica (em realção a linha neutra), as tensões de tração e compressão produzidas durante a flexão terão o mesmo valor. Na s vigas com seções assimétricas, a tensão máxima ocorrerá na superfície mais distante da linha neutra.

A expressão mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar este resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais invertidos como mostra a Figura 2.17.



Figura 2.17 – Relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das tensões normais: (a) momento fletor positivo e (b) momento fletor negativo.

Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção tra sversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. Agora veremos como fica a fórmulada flexão para uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção.

22..99.. TTeennssõõeess MMááxxiimmaass nnaa SSeeççããoo TTrraannssvveerrssaall

As tensões máximas de flexão ocorrem nos pontos mais distantes da seção (LN). Denota-se c1

e c2 a distância da linha neutra para os elementos extremos como mostra a Figura 10.

σ1 = maior tensão de tração;

σ2 = maior tensão de compressão;

C1 = distancia da fibra tracionada mais afastada da L.N.

C2 = distancia da fibra comprimida mais afastada da L.N.

Tensões Máximas:

,



Característica Geométrica – Módulo de Resistência

,

Para seções de diferentes formas geométricas:



Vantagens: As vantagens de se expressar as tensões máximas em termos de módulo de seção vêm do

fato de que cada módulo de seção combina as propriedades relevantes da seção

transversal da viga em um valor singular. Esse valor pode ser listado em tabelas e

manuais como uma propriedade da viga, o que é mais conveniente para projetistas.



33.. TTeennssõõeess eemm VViiggaass IIssoossttááttiiccaass –– FFlleexxããoo NNoorrmmaall

Uma estrutura sofrendo flexão se deformará e nas suas seções transversais e em cada ponto das seções sofrerá:

• Tensões (pressões) normais de compressão;

• Tensões (pressões) normais de tração;

• Tensões (pressões) tangenciais de cisalhamento (deslizamento);

• E se for o caso, tensões de tração.

O conceito corrente de tensão – força dividida por área – refere-se, na linguagem comum, à situações de compressão. Vamos aqui ampliá-lo também para situações de tração e cisalhamento.

Vejamos a viga.

As tensões de tração, de compressão e cisalhamento variam de seção para seção e, em uma seção, de ponto a ponto.

Para facilitar o entendimento, o estudo Serpa dividido em tensões normais (tração e compressão) e tangenciais.

Tensões normais de compressão e tração

Partindo de um caso simples de uma viga de seção retangular, vamos generalizar para outras seções:



Exercício 1:

Seja uma prancha de aço de seção transversal medindo 10 x 30 cm apoiada sobre duas colunas e sujeita a uma carga concentrada de 9,2 tf situada no meio do vão. Por ser pequeno, o peso próprio da viga será desprezado.

Como sempre, onde o diagrama de forças cortantes passe por zero (ponto C) o diagrama de momentos fletores alcança um máximo ou mínimo.











44.. AA FFlleexxããoo OObblliiqquuaa nnaass VViiggaass

Vigas com eixos de simetria

Seja a força F que está aplicada no ponto Z da peça horizontal engastada numa parede. A força F causará uma flexão em um plano que não contém um dos eixos de simetria da viga. Esse tipo de flexão é chamado de flexão oblíqua.

Pelo princípio da superposição, a flexão oblíqua pode se decompor em duas flexões normais mais uma carga centrada. Veja:











55.. FFlleexxããoo aassssiimmééttrriiccaa

Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre nas seções em T ou em U, mostradas na Figura 5.1. Porém, essas condições são desnecessárias, e, nesta seção, mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a uma viga com área de seção transversal de qualquer formato, como a uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção.

Figura 5.1

5.1. Momento aplicado ao longo do eixo principal.

Considere que a seção transversal da viga tem a forma assimétrica mostrada na Figura 5.2a. O sistema de coordenadas x, y, z orientado para a direita é definido de modo tal que a origem esteja localizada no centroide C da seção transversal e o momento interno resultante M aja ao longo do eixo +z. A distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal deve ter força resultante nula, momento interno resultante em torno do eixo y nulo e momento interno resultante em torno do eixo z igual a M. Estas três condições podem ser expressas matematicamente considerando-se a força que age sobre o elemento diferencial dA localizado em (O, y, z) (Figura 5.2a).

Figura 5.2.



Essa força é dF = udA e, portanto, temos:

5.2. Momento aplicado arbitrariamente.

Às vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção transversal. Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao longo dos eixos principais.

Figura 5.3

Então, a fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada por cada componente do momento. Por fim, usando o princípio da superposição, a tensão normal resultante no ponto pode ser determinada. Para tal, considere que a viga tenha seção transversal retangular e está sujeita ao momento M (Figura 5.3a). Aqui, M forma um ângulo θ com o eixo principal z. Consideraremos que θ é positivo quando estiver direcionado do eixo + z para o eixo + y, como mostra a figura. Decompondo M em componentes ao longo dos eixos z e y, temos Mz = Mcosθ e My = Msenθ, respectivamente. Cada uma dessas componentes é



mostrada separadamente na seção transversal nas figuras 5.3b e 5.3c. As distribuições de tensão normal que produzem M e suas componentes Mz e My são mostradas nas figuras 5.3d, 5.3e e 5.3f, respectivamente. Aqui, consideramos que (σx)máx > (σx ')máx. Por inspeção, as tensões de tração e compressão máximas [(σx)máx + (σx')máx) ocorrem em dois cantos opostos da seção transversal (Figura 5.3d). Aplicando a fórmula da flexão a cada componente do momento nas figuras 5.3b e 5.3c, podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal (Figura 5.3d), em termos gerais, como

Onde:

σ = tensão normal no ponto;

y, z = coordenadas do ponto medidas em relação aos eixos x, y, z com origem no centróide da área da seção transversal e formando um sistema de coordenadas orientado para a direita. O eixo x é direcionado para fora da seção transversal, e os eixos y e z representam, respectivamente, os eixos principais dos momentos de inércia mínimo e máximo para a área.

My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionadas ao longo dos eixos principais y e z. São positivos se direcionados ao longo dos eixos +y e +z; caso contrário, são negativos. Ou, em outras palavras, My = Msenθ e Mz = Mcosθ e, onde e é positivo se medido do eixo +z na direção do eixo +y.

I y, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y e z, respectivamente.

Como observamos antes, é muito importante que os eixos x, y, z formem um sistema orientado para a direita e que sejam designados os sinais algébricos adequados às componentes do momento e às coordenadas quando aplicamos essa equação. A tensão resultante será de tração se ela for positiva e de compressão se ela for negativa.

5.3. Orientação do eixo neutro

O ângulo α do eixo neutro na Figura 5.3d pode ser determinado pela abaixo com α = 0, visto que, por definição, nenhuma tensão normal age no eixo neutro.



IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado pela regra da mão direita.

Ângulo � – sentido do +z para +y até encontrar o M.

Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN.

ou seja horário positivo, anti-horário negativo.

Exemplo 1

A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento fletor M = 12 kN.m. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.



Solução:



Exemplo 2

Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kN.m. Determine a tensão normal máxima na viga.





66.. VViiggaass ccoommppoossttaass

Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas. A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo. Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção feita de um único material e utilizar a fórmula.

Método da seção transformada

Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por conseqüência, as deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo.



• A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição de deformações.

1 + rígido; 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!

O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga.

“Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira”

Exemplo 1



Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kN.m, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.



77.. VViiggaass ddee ccoonnccrreettoo aarrmmaaddoo

Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão. Porém, o concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração, portanto, por si só, não seria adequado para resistir a um momento fletor. A inspeção de seu diagrama tensão-deformação particular revela que o concreto pode ser 12,5 vezes mais resistente sob compressão do que sob tração. Para contornar essa deficiência, os engenheiros colocam hastes de reforço de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração (Figura 7.1a).

Figura 7.1

Para maior efetividade, essas hastes são localizadas o mais longe possível do eixo neutro da viga, de modo que o momento criado pelas forças desenvolvidas nas hastes sej a maior em torno do eixo neutro. Por outro lado, também é necessário cobrir as hastes com concreto para protegê-las da corrosão ou da perda de resistência se ocorrer um incêndio. Em situações reais de projeto com concreto armado, a capacidade do concreto de suportar



qualquer carga de tração é desprezada, visto que a possível fratura do concreto é imprevisível. O resultado é que se considera que a distribuição da tensão normal que age na área da seção transversal de uma viga de concreto armado é semelhante à mostrada na Figura 7.1b. A análise da tensão requer localizar o eixo neutro e determinar a tensão máxima no aço e no concreto. Para tal em primeiro lugar, a área de aço Aaço é transformada, aço em uma área equivalente de concreto usando o fator de transformação n = Eaço /Econc. Essa razão, que dá n > 1, de concreto para substituir o aço. A área transformada é nAaço, e a seção transformada é semelhante à mostrada na Figura 7.1c. Aqui, d representa a distância entre a parte superior da viga até o aço (transformado), b é a largura da viga e h' é a distância ainda desconhecida entre a parte superior da viga e o eixo neutro. Podemos obter h' usando o fato de que o centroide C da área da seção transversal da seção transformada se encontra no eixo neutro (7.1c).

Portanto, com referência ao eixo neutro, o momento das duas áreas, ƩyA, deve ser nulo, visto que y = ƩyA/ƩA = O. Assim,

Uma vez obtida h' por essa equação quadrática, a solução prossegue da maneira usual para obter a tensão na viga.

Exemplo 1

A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo.

Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN·m, determine a tensão normal em cada

uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere Eaço =

200 GPa e Econc = 25 Gpa.





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