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Fluidos não Newtonianos na Indústria do Petróleo
Profa. Mônica F. [email protected]
Sala 153-L, R 1174http://naccache.usuarios.rdc.puc-rio.br/Cursos/FNNIP.html
Introdução
• Reologia: ciência da deformação e escoamento da matéria. Estuda como os materiais respondem a uma dada solicitação
• Muitos materiais apresentam comportamento diferente do Newtoniano
• Conhecimento da reologia é essencial para o desenvolvimento de novos produtos e processos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Introdução (cont.)
• Exemplos de materiais com comportamento não Newtoniano:w Lamas de perfuraçãow Tintasw Ketchup, mostarda, chocolatew Polímerosw sangue
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Fenômenos Fluidos NN
• Fenômenos associados ao comportamento não Newtoniano
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Fenômenos Fluidos NN
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamentos com fluidos complexos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamentos com fluidos complexos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamentos com fluidos complexos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamentos com fluidos complexos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamento e deformação
• Escoamento: elementos do líquido estão se deformando, e pontos adjacentes no líquido se movem uns em relação aos outros
• Tipos básicos de escoamento:w Cisalhamentow Extensão
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamento de cisalhamento
• Partículas adjacentes se movem umas em relação às outras
F
F
γh
δL
Deformação: γ≈ tg γ=δL/hTaxa de deformação:
€
˙ γ = dγdt
≈δL /δth
=δuh∇v{
• No caso geral, o tensor taxa de deformação é dado por:
€
D = ˙ γ = 12∇v +∇vT( )
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Escoamento extensional
• Partículas adjacentes se movem ao encontro uma da outra, ou se afastam
€
Deformação de Cauchy :
ε ≡δLL0
=LL0
−1F
δL
L0
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Equações Constitutivas
• Força→tensão→deformação ↑ material• Equações constitutivas: relações entre
tensão e deformação - dependem do material
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Forças
• Forças: w de corpo - atuam a distânciaw de superfície - de contato
• Campo de tensões: maneira de descrever o modo pelo qual as forças de contato agindo sobre os limites do material são transmitidas através dele
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Tensor das tensões
• Tensor das Tensões:
€
Tij = limδAi →0
δFj
δAi
€
T =
σ xx τ xy τxzτyx σ yy τyzτzx τ zy σzz
$
%
& & & &
'
(
) ) ) )
Convenção de sinais:
x
y
dA
dA
τ >0
τ >0
tensõesnormais
tensõescislhantes
x
z
τzx
τzy
σzz
τxz
σxx
τxyτyz
τyx
dAy
dAxdAz
σyy
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Equações constitutivas - exemplos
• Lei de Hooke (sólidos elásticos):• Fluido Newtoniano:• Fluidos não Newtonianos: diferentes
tipos de comportamento ⇒diferentes equações constitutivas w Fluido Newtoniano Generalizadow Equações para fluidos viscoelásticos
(Maxwell, Oldroyd-B, PTT, etc…)Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Fluidos Newtonianos
• Viscosidade não varia com o tempo nem com a taxa de deformação
• Viscosidade varia com a pressão e temperatura
• Não tem comportamento elástico• Baixa viscosidade elongacional• Equação constitutiva:
€
T = −pI+ µ ˙ γ = −pIcontribuição pressão! + 2µD
tensor extra tensão!
µ: viscosidade
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Fluidos Newtonianos : Exemplos
• Escoamento de um fluido Newtoniano num mancal: cálculo do torque requerido para acionar o mancal
€
τ = µdudy
≈ µΔuΔy
= µUt
= µwRt
Fcis = τA = τ2πRL
t
2R
w L
eixo
mancal
U=wR
τ > 0 u t
€
T = FcisR = τ2πR2L⇒
€
T = 2πR 3Lµwt
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Fluidos Newtonianos : Exemplos
• Escoamento laminar desenvolvido de um fluido Newtoniano no interior de um duto circular
Hipóteses: regime permanente componentes de velocidade: u=u(r), v=0, w=0Forças agindo na direção do escoamento: força de pressão e força cisalhante ⇒ ΣFx=Fp+Fcis
τ,p
€
dr A
€
dr A
€
dr A
€
dr A
τrx+dAr
+
τrx-dAr
-
p-dAx p+dAx
xr R
dx
rdr
r
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Balanço de forças na direção x:
€
p − dpdx
dx2
#
$ %
&
' ( − p +
dpdx
dx2
#
$ %
&
' (
)
* +
,
- . 2πrdr + τ rx +
dτ rxdr
dr2
#
$ %
&
' ( 2π r +
dr2
#
$ %
&
' ( − τ rx −
dτ rxdr
dr2
#
$ %
&
' ( 2π r − dr
2#
$ %
&
' (
)
* +
,
- . dx = 0
τrx+dAr
+ τrx-dAr
-(p- - p+)dAx
Da equação acima chega-se a:
€
−dpdx
2πrdrdx + τrx2πdrdx +dτ rxdr
2πrdrdx = 0
−dpdx
+τ rxr
+dτ rxdr
= 0 ⇒ dpdx
=1rd(rτ rx )dr
= cte
f(x) g(y)
Fluidos Newtonianos : Exemplos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Integrando,
€
τ rx =r2dpdx
+C1r
• Condição de contorno: em r=0, a tensão é finita ⇒ C1=0• Distribuição de tensão cisalhante:
€
τ rx =r2dpdx r
x
Válido para qualquer fluido
Fluidos Newtonianos : Exemplos
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• Determinação do campo de velocidade:
€
τ rx = τ xr = µdudr§ Para um fluido Newtoniano,
Substituindo a expressão acima na equação que define a distribuição de tensão cisalhante no fluido, obtém-se uma equação diferencial para a velocidade axial u:
§ Gradiente de velocidade:
§ Componentes não nulos do tensor taxa de deformação:
∇!vrx=dudr
€
˙ γ rx = ˙ γ xr =dudr
Fluidos Newtonianos : Exemplos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
€
dudr
=r
2µdpdx
⇒ u =r2
4µdpdx
+ C2
C.C.: não deslizamento ⇒ r = R, u = 0
⇒ C2 = −R2
4µdpdx
• Distribuição de velocidade axial:
€
u = −R2
4µdpdx1− r
R#
$ %
&
' ( 2)
* + +
,
- . .
rx
u(r)
Fluidos Newtonianos : Exemplos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Vazão volumétrica:
€
Q = u2πrdr =0
R∫ −πR 4
8µdpdx
• Velocidade média:
• Velocidade máxima:
€
um =QA
=QπR 2 = −
R2
8µdpdx
€
r = 0 →dudr
= 0 ⇒ umax = −R2
4µdpdx
= 2um
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