Fluxo de Pot^encia Otimo com Restri˘c~oes de Reserva Atrav ... · the generation and transmission of the DC power ow hidrotermic system considering power ... 2000], principalmente

Fluxo de Potencia Otimo com Restricoes de Reserva

Atraves de Metodos de Pontos Interiores

Mayk Vieira Coelho

FEEC - UNICAMPAv. James Maxwell 30 Cidade Universitaria

Barao Geraldo 13083-852 - Campinas-SP [email protected]

Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira

IMECC - UNICAMPRua Sergio Buarque de Holanda, 651

Campinas, SP, [email protected]

Secundino Soares Filho

FEEC - UNICAMPAv. James Maxwell 30 Cidade Universitaria

Barao Geraldo 13083-852 - Campinas-SP [email protected]

Resumo

O metodo de pontos interiores primal-dual sera desenvolvido para o problema de minimizacaodas perdas na geracao e transmissao do fluxo de potencia otimo DC de um sistema de potenciahidrotermico considerando restricoes de reserva de energia em um subconjunto de geradores,sera explorada ainda a estrutura matricial resultante, objetivando uma implementacao eficiente.Alem disso, estudos de caso serao feitos utilizando o sistema eletrico IEEE30.Palavras-chave. Fluxo de Potencia Otimo, Pontos Interiores, Reserva de Potencia.

Area Principal - AE - Aplicacao a Energia

Abstract

The primal-dual interior point method is developed for the minimization of loss problem inthe generation and transmission of the DC power flow hidrotermic system considering powerreservation constraint in a subset of generating units. The resulting matrix structure is exploitedaiming at an efficient implementation. Case studies are performed using the IEEE30 powersystem.Keywords. Optimal Power Flow, Interior Point Methods, Power Reservation.

Main Area - AE - Applications to Energy

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 90

1 Introducao

Quando um sistema de potencia sofre uma contingencia, como a perda de unidades de trans-missao ou de geracao, podem ser verificados desequilıbrios no conjunto carga-geracao ou ex-trapolacoes nos limites de capacidade dos circuitos de transmissao. Nestas situacoes torna-senecessario o emprego de medidas corretivas que eliminem estas violacoes operativas, recon-duzindo o sistema a um ponto de operacao seguro.

Dentre o conjunto de medidas corretivas disponıveis, destacam-se o redespacho de potenciaativa, reservando ou nao potencia, o controle de tensao e o corte de carga. Neste trabalho seraexplorado o redespacho de potencia ativa reservando potencia.

O servico ancilar de reserva de potencia sera provido por geradores conectados a rede eletricae sincronizados com o sistema de potencia. Este servico ancilar visa disponibilizar uma quan-tidade extra de potencia ativa, que pode ser imediatamente utilizada durante uma situacao decontingencia para restabelecer o equilıbrio no conjunto carga-geracao.

Para que esta reserva de potencia seja disponibilizada, torna-se necessario que os geradoresreduzam a geracao de potencia ativa durante a operacao normal do sistema, com objetivo dereservar uma parcela de sua capacidade de geracao para situacoes de contingencia. Contudo,e possıvel que a receita de venda de energia destes geradores seja reduzida devido a restricoesimpostas a sua geracao de potencia ativa durante a operacao normal do sistema. Isto faz comque estes geradores incorram em um custo ao prover o servico ancilar, que deve ser remuneradode alguma forma (isso nao sera abordado neste trabalho).

A reserva de potencia e um produto fundamentalmente diferente da energia. Enquanto quepara a energia negociada sua utilizacao e programada antecipadamente, a reserva de potenciadeve estar disponıvel para ser usada imediatamente, caso ocorra uma contingencia no sistema.

A oferta para a reserva de potencia e feita por geradores, que tambem atendem o mercadode energia [Allen and Ilic, 2000]. Esta quantidade da reserva de potencia disponıvel depende donıvel de confiabilidade e de seguranca que se quer.

No Brasil, OIS (Operador Independente do Sistema) pode requisitar, para garantir umaoperacao eficiente e segura do sistema, o redespacho de um gerador, reduzindo sua potencia ativaa fim de permitir que o mesmo forneca mais reserva de potencia [Rodrıgues and Saavedra, 2007].

Neste trabalho sera desenvolvido o metodo de pontos interiores primal-dual para o problemade minimizacao das perdas na geracao e transmissao do fluxo de potencia otimo CC de umsistema de potencia hidrotermico considerando restricoes de reserva de potencia em um sub-conjunto de geradores, sera explorada ainda a estrutura matricial resultante, objetivando umaimplementacao eficiente. Sera feita ainda uma comparacao com o modelo sem restricoes dereserva de potencia [Oliveira and Soares, 2000].

A escolha deste metodo se deu pois desde seu surgimento, codigos computacionais baseadosnessas ideias vem se apresentando como alternativas para resolucao de problemas de grandeporte [Adler et al., 1989, Gondzio, 1996, Oliveira and Sorensen, 2005].

Na area de sistemas de potencia o advento dos metodos de pontos interiores trouxe a tonauma nova linha de pesquisa. Estes metodos sao reconhecidos atualmente por sua robustez[Momoh et al., 1999, Quintana et al., 2000], principalmente devido ao tratamento eficiente dedesigualdades.


2 Formulacao Matematica

Sera apresentado agora o modelo de fluxo de potencia otimo (CC) com reserva de potenciaoperacional:

min αf tRf + β(ptQp+ ctp

)s.a Af = Ep− l

Xf = 0p+ re = puvtre ≥ τfl ≤ f ≤ fupl ≤ p ≤ pu0 ≤ re ≤ reu

(1)

onde:

• m, n e g sao os numeros de barras, linhas de transmissao e de geradores respectivamente;

• f : Vetor n× 1 de fluxo de potencia ativa;

• p: Vetor g × 1 de geracao de potencia ativa;

• re: Vetor g × 1 de reserva de potencia ativa;

• Γ: Conjunto dos geradores com reserva de potencia;

• τ : mınimo de reserva de potencia exigida em um subconjunto Γ de geradores;

• Q: Matriz diagonal g × g da componente quadratica do custo de geracao;

• R: Matriz diagonal n× n de resistencia das linhas;

• l: Vetor m× 1 de demanda de potencia ativa;

• X: Matriz (n−m+ 1)× n de reatancia das linhas;

• E: matriz de ordem m× g com cada coluna contendo exatamente um elemento igual a 1, correspondendoas barras de geracao, e os demais elementos nulos;

• c: Vetor g × 1 da componente linear do custo de geracao;

• A: Matriz m× n de incidencia da rede de transmissao;

• fu, fl, pu, pl e reu: Vetores de limites de fluxo, de geracao de potencia ativa e de reserva de potenciarequisitada respectivamente;

• α e β: ponderacoes dos objetivos a minimizar.

• v e um vetor g × 1 tal que vi =

{1 se o gerador i ∈ Γ0 caso contrario

O sistema de transmissao e representado por um fluxo de carga CC com limites no fluxo decarga ativo. Para que as variaveis de geracao (p) e de transmissao (f) possam ser expressas simul-taneamente no modelo, as leis de Kirchhoff sao apresentadas separadamente [Carvalho et al., 1988].

O conjunto de restricoes para este problema e linear onde, as duas primeiras restricoesrepresentam a rede de geracao/transmissao, representando as leis de Kirchhoff pra nos e circuitosrespectivamente.

A terceira e quarta equacoes representam a definicao e a restricao de reserva de energiarespectivamente, as demais equacoes representam as capacidades de geracao e transmissao dosistema e o limite de reserva de energia. A inclusao de reserva de energia torna redundante olimite superior da capacidade de geracao das usinas.

A funcao de perdas na geracao hidraulica (ptQp + ctp) com Q matriz diagonal modela astres formas mais importantes de perda:

• Variacoes na cota de jusante;


• Perdas na tubulacao de aducao da unidade geradora;

• Perdas associadas a eficiencia do par turbina-gerador.

O custo de geracao associado as termoeletricas tambem e uma funcao quadratica indepen-dente para cada gerador. Portanto, utilizando o modelo descrito para minimizar as perdas nageracao hidraulica e custos na geracao termica, as duas componentes da funcao objetivo saoquadraticas com variaveis separaveis, uma vez que a matriz R tambem e diagonal.

Vale ressaltar que os metodos de pontos interiores para problemas com esta caracterısticaapresentam desempenho similar ao obtido para problemas lineares. Em particular, o esforco poriteracao e virtualmente o mesmo em ambas as situacoes.

3 Aplicando o Metodo Primal-Dual de Pontos Interiores

Colocando o problema (1) na forma padrao, com ajuda de algumas mudancas de variaveis e oacrescimo de variaveis de folga, obtem-se a seguinte formulacao:

min α(

1

2f tRf + ctff

)+ β

(1

2ptQp+ ctpp

)s.a Bf − Ep = l

p+ re = puvtre − s = τf + sf = fup+ sp = pu

re + sre = reu(f, p, re, s, sf , sp, sre) ≥ 0

onde

cf = Rfl , cp = c+Qpl, la = Epl −Afl − l e lb = −Xfl

B =

[AX

], E =

[E0

], l =

[la

lb

].

Para este problema associa-se o seguinte problema dual:

max lty + putyr + τ tw − f tuwf − ptuwp − rteuwre − α

2f tRf − β

2ptQp

sa Bty − wf + zf − αRf = αcf

−Ety + yr − wp + zp − βQp = βcpyr + wτ − wre + zre = 0

(w,wf , wp, wre, zf , zp, zre) ≥ 0

As restricoes dos dois problemas associados acima formam as condicoes de otimalidade primale dual respectivamente. As condicoes de complementaridade com pertubacao µ sao expressaspelo seguinte sistema:

FZfe = µePZpe = µe

ReZree = µesw = µ

SfWfe = µeSpWpe = µe

SreWree = µe


onde as variaveis F , P , Re, Sf , Sp, Sre, Zf , Zp, Zre, Wf , Wp e Wre sao da forma Λ = diag(λ) ee e um vetor de uns.

Completando assim as condicoes de otimalidade do problema em questao. Resolver esteproblema atraves do metodo primal-dual de pontos interiores nada mais e que aplicar o metodode Newton as condicoes de otimalidade deste problema, feito isso, obtem-se o seguinte sistemade direcoes de Newton:

B∆f − E∆p = rfp∆p+ ∆re = rpres

vt∆re −∆s = rres∆f + ∆sf = rf∆p+ ∆sp = rp

∆re + ∆sre = rreBt∆y −∆wf + ∆zf − αR∆f = ryf

−Et∆y + ∆yr −∆wp + ∆zp − βQ∆p = ryp∆yr + v∆w −∆wre + ∆zre = rwz

F∆zf + Zf∆f = rzfP∆zp + Zp∆p = rzp

Re∆zre + Zre∆re = rzres∆w + w∆s = rsw

Sf∆wf +Wf∆sf = rswfSp∆wp +Wp∆sp = rswp

Sre∆wre +Wre∆sre = rswre

onde os rx sao os resıduos em cada passo de Newton.

O processo a ser seguido sera feito como em [Coelho, 2008], ou seja, reduzir este sistema aum sistema equivalente cuja dimensao seja igual ao numero de barras do sistema. A reducao efeita isolando as direcoes de Newton referentes as ”variaveis de folga”, primais e duais, exceto∆w e susbtituindo nas equacoes restantes. Feito essa substituicao, isola-se as direcoes de Newtonrelacionadas as variaveis primais no sistema obtido. No novo sistema equivalente pode-se obtera direcao deltyr, substituindo esta direcao nas equacoes restantes obtem-se o seguinte sistemaequivalente: {

M∆y + U∆w = rfp

wU t∆y + h∆w = rsw

onde

M = M − ED−1p D−1

yr D−1p Et

M = BD−1f Bt + ED−1

p Et

Df = S−1f Wf + F−1Zf + αR

Dp = S−1p Wp + P−1Zp + βQ

Dre = S−1re Wre +R−1

e ZreDyr = D−1

re +D−1p

rfp = rfp + ED−1p D−1

yr rprersw = rsw + wτ tD−1

re rwz

rsw = rsw − wτ tD−1re D

−1yr rpres

rfp = rfp +BD−1f ryf − ED−1

p ryprpres = rpres +D−1

p ryp +D−1re rwz

ryf = ryf + S−1f rswf − S−1

f Wfrf − F−1rzfryp = ryp − P−1rzp + S−1

p (rswp −Wprp)rwz = rwz + S−1

re (rswre −Wrerre)−R−1e rzr

rsw = rsw + wres

U = ED−1p D−1

yr D−1re v

h = s+ wτ tD−1re v − wvtD−1

re D−1yr D

−1re v

O sistema obtido pode ser resolvido como em [Oliveira and Lyra, 2004] da seguinte forma:

∆w =

rsw − wU ty0

h+ wUy1

∆y = y0 + y1∆w


onde

y0 = M−1rfp y1 = −M−1U

Observe que o sistema inicial foi reduzido a resolucao de dois sistemas menores onde cadaum tem a dimensao do numero de barras do sistema eletrico estudado e envolve a mesma matrizM .

A matriz M e simetrica e definida positiva, portanto pode ser decomposta usando a fatoracaode Cholesky, que pode ser usada para resolver os dois sistemas, reduzindo o custo computacionalexigido.

Deste modo, a insercao de reserva de potencia ao problema de fluxo de potencia otimo levanao apenas a resolucao de um sistema linear cuja dimensao e o numero de barras do problemacomo visto em [Coelho, 2008], mas sim a resolucao de dois sistemas lineares de mesma dimensao,mas com custo computacional relativamente equivalente, resultando em eficiencia equivalente.

4 Estudos de Casos

Os estudos foram feitos nos seguintes sistemas:

Sistemas Barras Geradores Carga (MW)IEEE30 30 6 283,4IEEE118 118 53 4242SSECO1654 1654 124 32326,3SSECO1732 1732 115 35658,1BRASIL 1993 151 40155,2

Tabela 1: Sistemas Estudados

As capacidades dos geradores de cada sistema estao no Apendice de [Coelho, 2008]. Alinguagem de programacao utilizada foi MATLAB 6.5 em um processador Intel R©CoreTM2 CPU6600 2, 4GHz com 2GB de memoria RAM.

Nos sistemas estudados, foi dada mais enfase ao sistema IEEE30 devido a sua dimensao,facilitando a observacao dos resultados, mas as mesmas analises podem ser aplicadas aos demaissistemas.

Inicialmente serao feitos estudos de analise de sensibilidade do modelo basico, apenas para osistema IEEE30, nao exigindo uma reserva de potencia. Esses estudos consistem em alteracoesnos valores de α e de β na funcao objetivo, no custo de alguns geradores e do limite de fluxo depotencia em algumas linhas de transmissao do sistema.

Em seguida serao feitos estudos de casos exigindo reserva de potencia. A fim de compararresultados, a mesma reserva sera exigida para diversos subconjuntos de geradores. Sera feitaainda uma comparacao com os resultados obtidos utilizando o modelo sem restricoes de reservade potencia.

Para a convergencia do metodo foi utilizada uma precisao na ordem de 10−8.O sistema IEEE30 representa uma porcao do sistema eletrico americano (Meio Oeste) a

partir de dezembro de 1961 [Link, 2008]. Na Figura 1 pode-se observar seu diagrama unifiliar.


Figura 1: Diagrama unifiliar do Sistema IEEE30.

Serao feitas algumas consideracoes como por exemplo, potencia mınima de 0MW e custosiguais para todos os geradores, ou seja Q = I. Os fluxos das linhas serao fixado em 200MW einicialmente sem limites de producao.

Iniciando os estudos de casos, minimizando apenas perdas nas linhas de transmissao (T )(α = 1eβ = 0) faz com que os geradores mais proximos das cargas produzam maior potencia,visto que nao ha limites para a producao de cada gerador, o despacho obtido produz a menorperda por resistencia.

Como a matriz Q = I, minimizar apenas o custo na geracao (G) (α = 0eβ = 1) faz com que odespacho de potencia otimo distribua de forma uniforme a potencia entre os geradores do sistema,ja que ainda nao e imposto um limite de geracao entre eles que impessa essa uniformidade.

Mantendo a configuracao anterior e reduzindo o custo do gerador 1 pela metade e dobrandoo do gerador 5 (Gc) e de se esperar que este ultimo produza metade da potencia obtida pelosque nao tiveram seus custos alterados, da mesma forma, espera-se que o primeiro, por ser maisbarato, produza o dobro da potencia obtida por estes geradores. Esses despachos podem serobservados na Figura 2 ıtens (T ), (G) e (Gc).

Impondo os limites de producao (Gcl) da Tabela 2 o gerador 1 no estudo (Gc) e o unico queviolaria seu limite, desta forma, este gerador atınge sua producao maxima , fazendo com que apotencia excedente seja distribuıda proporcionalmente entre os demais geradores.

A partir deste ponto, quando nao mencionado, os limites de producao dos geradores dosistema IEEE30 serao os da tabela 2.

O limite de fluxo maximo de potencia na linha de transmissao 9−11 (Gclf) foi reduzido para25MW . Como esta e a unica linha de transmissao do gerador 11 (ver Figura 1) e de se esperarque sua producao diminua para 25MW , fazendo com que a potencia restante seja distribuıdaentre os demais geradores ainda com capacidade de producao disponıvel.

Fazendo com que o modelo minimize as perdas nas linhas de transmissao e o custo na geracao(T&Gclf), ou seja, considerando α = cm e β = 1, onde cm e o custo marginal dos geradores noestudo anterior, obtem-se o despacho otimo englobando todos os casos estudados. Os despachospara esses estudos podem ser observados na Figura 2 ıtens (Gcl), (Gclf) e (T&Gclf).


Figura 2: Despachos de potencias sem exigencia de Reserva.

Gerador 1 2 5 8 11 13Limite (MW) 55 55 70 70 60 60

Tabela 2: Limites de geracao de potencia nos geradores do sistema IEEE 30

Observe que mesmo o gerador 5 sendo mais caro que os demais, este atingiu seu limite deproducao, ja o gerador 1, o mais barato, teve menor producao. Isso se da devido a proximidadedos geradores das cargas do sistema.

Assim, os testes feitos ae o momento asseguram a funcionabilidade do modelo sem exigenciade reserva operacional.

Antes de iniciar os proximos estudos, sera definido reserva natural de potencia como sendoa diferenca entre a capacidade maxima do gerador e a potencia gerada por ele em um despachosem exigencia de reserva de potencia.

Agora sera iniciado o estudo com reserva no sistema IEEE30, para melhor observacao dosefeitos provocados pela insercao de restricoes de reserva ao modelo 1, os testes a seguir seraofeitos para minimizar apenas os custos na geracao, utilizando os limites de producao da Tabela2 e com custos de geradores iguais, ou seja, Q = I. Sera exigido 70MW de reserva de potenciaem cada conjunto Γn especificados na tabela 3.

Conjuntos GeradoresΓ1 5 - 8Γ2 2 - 5 - 8Γ3 1 - 2 - 5 - 8

Tabela 3: Conjuntos Γ - IEEE30A

Assim, iniciando os estudos de reserva com Γ1, e de se esperar que a producao neste conjuntodiminua uniformemente afim de satisfazer a reserva exigida, aumentando assim a producao dosdemais geradores.


Aumentando o numero de geradores com exigencia de reserva, a producao nesses geradoresdeve aumentar, ja que precisam tambem ajudar a satisfazer a demanda do sistema, alem decontinuar mantendo uma uniformidade na producao, o que e observado tanto para Γ2 quantopara Γ3. A Figura 3 ilustra esses despachos, onde Γ0 representa o despacho com a mesmaconfiguracao mas sem restricoes de reserva de potencia.

Figura 3: Despachos de potencias com exigencia de Reserva.

A tabela 4 resume os resultados obtidos para o sistema IEEE30:

Reserva(MW) Reducao(%) AumentoConjuntos Iteracoes Tempo(s) Natural Obtida de Geracao em Γ Relativo de fobj

Γ0 8 0,010 86,60 - - -Γ1 11 0,018 45,54 70 25,91 0,176Γ2 9 0,014 53,31 70 11,79 0,078Γ3 9 0,014 61,08 70 4,73 0,012

Tabela 4: Dados Obtidos 1: Testes com IEEE30

Ha diversos fatores a serem analisados antes de escolher quais e quantos geradores devemparticipar da reserva de potencia no sistema, como por exemplo a sua localizacao e a porcentagema ser reduzida.

Agora, considerando um caso mais geral, onde minimiza-se as perdas na transmissao e ocusto na geracao (α = cmeβ = 1) tem-se o seguinte despacho otimo sem restricoo de reserva naFigura 4.


Figura 4: Despachos de potencias para Γ0.

Conjuntos GeradoresΓ1 8Γ2 2 - 8Γ3 2 - 8 - 13Γ4 2 - 8 - 13

Tabela 5: Conjuntos Γ - IEEE 30 B

Observe que os geradores 5 e 11 estao em suas capacidades maximas. Com o objetivo degarantir a funcionabilidade do sistema, sera reservado novamente 70MW de potencia para aprevencao de uma contingencia no gerador 5 por exemplo. Os novos conjuntos de geradores comrestricoes de reserva estaoo listados na Tabela 5. Iniciando os estudos para esse caso mais geral,note que Γ1 contem apenas um gerador, ou seja, este tera que ajudar a manter o sistema casohaja uma eventual quebra de qualquer gerador. Como sua capacidade maxima de producao e de70MW , e de se esperar que este gerador pare de produzir, fazendo com que os demais assumameste trabalho.

Para Γ2 havera uma competicao por quem gera mais potencia para o sistema, ja que agora naoha mais uma distribuicao uniforme de geracao, tendera a ganhar essa disputa quem estiver maisproximo da carga. Apesar de o gerador 2 estar mais proximo do maior consumidor (gerador5) este sofrera uma maior reducao em sua producao, fazendo com que o gerador 1 assuma aproducao de potencia tanto para o gerador 2 quanto para o que falta no gerador 5. O gerador8 por sua vez, possui uma demanda de 30MW , assim, ele mesmo se satisfaz, ja que nao hanenhum gerador proximo ainda com capacidade para producao.

Em Γ3 o mesmo pode ser observado, pelos mesmos motivos o gerador 8 e o que menoscontribui para reserva de potencia. O gerador 13 nao tem uma demanda a ser atendida, mas emais barato reduzir pouco a sua producao ao inves de fazer isso com 2, ja que ha mais cargas aserem atendidas em sua proximidade.

Observe que o conjunto Γ4 e igual ao conjunto Γ3, foi dado outro nome apenas para simplificara exposicao dos resultados, pois nele sera exigido a reserva natural do sistema, 86, 6MW , paraforcar ainda mais o modelo, estes despachos estao ilustrados nos graficos da Figura 5.

Figura 5: Despachos de potencias para Γ0.


A Tabela 6 tras alguns resultados adicionais.

Reserva(MW) Reducao(%) AumentoConjuntos Iteracoes Tempo(s) Natural Obtida de Geracao em Γ Relativo de fobj

Γ0 6 0,001 86,6 - - -Γ1 14 0,031 10,01 70 100 0,314Γ2 8 0,018 12,32 70 48,81 0,099Γ3 7 0,015 37,74 70 21,91 0,015Γ4 10 0,02 37,74 86,6 33,18 0,103

Tabela 6: Dados Obtidos 2: Testes com IEEE30

O teste feito em Γ1 provocou o mesmo efeito que desligar o gerador 8 do sistema, por isso onumero de iteracoes elevado se comparado com os demais.

Observando as Tabelas 6 e 4 pode-se ver que o numero de geradores participantes da reserva ea diferenca entre a reserva natural de Γ e a reserva desejada influencia bastante tanto no numerode iteracoes quanto no aumento relativo da funcao objetivo, mas vale salientar tambem que aspropriedades dos geradores que participam da reserva em Γ, tais como distancias das cargas,capacidade e demanda, devem ser exploradas, afim de minimizar o valor da funcao objetivo etambem o numero de iteracoes.

Outra propriedade que tambem deve ser observada e o limite nas linhas de transmissao, poisem alguns casos, algumas dessas linhas podem saturar, deixando assim o problema infactıvel.

Conclusoes

O modelo se comporta como o esperado, reservando a quantidade exigida de potencia em umsubconjunto de geradores, fazendo com que os demais assumam a responsabilidade de gerar apotencia nao produzida neste subconjunto, satisfazendo assim a demanda do sistema.

O modelo apresenta ainda o mesmo comportamento que o modelo sem restricoes de reservaoperacional quando nao e exigido reserva, ou seja, τ = 0.

O numero de passos de Newton necessarios para a convergencia do metodo esta diretamenteligada ao quanto se exige de reserva no subconjunto de geradores participantes, o que era dese esperar, ja que quanto mais se exigir de reserva, mais mudancas na alocacao de potencianos geradores sera feita. Este numero tambem e influenciado pela quantidade de geradoresparticipantes da reserva, podendo, com a mesma reserva natural do subconjunto, reduzir emuma ou duas iteracoes com o simples acrescimo de um gerador.

Vale salientar ainda que propriedades dos geradores participantes da reserva, tais comodistancia das cargas, capacidade e demanda, devem ser exploradas afim de minimizar o valor dafuncao objetivo e tambem o numero de iteracoes.

Os tempos para convergencia dos testes foram satisfatorios e proximos aos obtidos semtais restricoes, assim, pode-se dizer que a influencia das restricoes de reserva neste quesito saomınimas.

A nao convergencia se deu apenas em casos em que houve um saturamento de algumas linhasde transmissao, levando a um problema infactıvel.

Assim, de um modo geral, o modelo se mostrou eficiente, mesmo obtendo numero de iteracoese tempos superiores aos obtidos pelo modelo sem restricoes de reserva, ja que para isso foinecessario a resolucao de dois sistemas lineares, ambos com a dimencao do numero de barras.


Referencias

[Adler et al., 1989] Adler, I., Resende, M. G. C., Veiga, G., and Karmarkar, N. (1989). An im-plementation of Karmarkar’s algorithm for linear programming. Mathematical Programming,44:297–335.

[Allen and Ilic, 2000] Allen, E. and Ilic, M. (2000). Reserve markets for power systems reliability.IEEE Transactions on Power Systems 15, pages 228 – 233.

[Carvalho et al., 1988] Carvalho, M. F., Soares, S., and Ohishi, T. (1988). Optimal active powerdispatch by network flow approach. IEEE Transactions on Power Systems, 3(3):1640–1647.

[Coelho, 2008] Coelho, M. V. (2008). Metodo de Pontos Interiores Aplicados ao Problema deFluxo de Potencia Otimo com Restricoes de Reserva de potencia Operacional. PhD thesis,FEEC – UNICAMP, Campinas SP. http://libdigi.unicamp.br/document/?code=000434938.

[Gondzio, 1996] Gondzio, J. (1996). Multiple centrality corrections in a primal-dual method forlinear programming. Computational Optimization and Applications, 6:137–156.

[Link, 2008] Link (2008). http://www.ee.washington.edu/research/pstca.

[Momoh et al., 1999] Momoh, J. A., El-Hawary, M. E., and Adapa, R. (1999). A review of se-lected optimal power flow literature to 1993, part II Newton, linear programming and interiorpoint methods. IEEE Transactions on Power Systems, 14(1):105–111.

[Oliveira and Lyra, 2004] Oliveira, A. R. L. and Lyra, C. (2004). Interior point methods forthe polynomial L∞ fitting problem. International Transactions in Operational Research,11(3):309–322.

[Oliveira and Soares, 2000] Oliveira, A. R. L. and Soares, S. (2000). Metodos de pontos in-teriores para problema de fluxo de potencia otimo. Anais do XIII Congresso Brasileiro deAutomatica, em CD-ROM, Florianopolis, SC, pages 790–795.

[Oliveira and Sorensen, 2005] Oliveira, A. R. L. and Sorensen, D. C. (2005). A new class of pre-conditioners for large-scale linear systems from interior point methods for linear programming.Linear Algebra and Its Applications, 394:1–24.

[Quintana et al., 2000] Quintana, V. H., Torres, G. L., and Medina-Palomo, J. (2000). Interiorpoint methods and their applications to power systems: A classification of publications andsoftware codes. IEEE Transactions on Power Systems, 15(1):170–176.

[Rodrıgues and Saavedra, 2007] Rodrıgues, Y. M. and Saavedra, O. R. (2007). Minimizacao doscustos do servico de potencia reativa fornecida pelos geradores com reserva de potencia: Umaabordagem evolutiva. Revista Controle & Automacao, 18.


Documents

Fluxo de Pot^encia Otimo com Restri˘c~oes de Reserva Atrav ... · the generation and transmission of the DC power ow hidrotermic system considering power ... 2000], principalmente