FLUXOS DE CURVATURA MÉDIA EM ESPAÇOS EUCLIDIANOSrepositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/REPOSIP/... · por meio de uma técnica de blow-up devida a Hamilton. Em especial, reservamos

EDUARDO EIZO ARAMAKI HITOMI

EQUAÇÕES PARABÓLICAS QUASE LINEARES

E

FLUXOS DE CURVATURA MÉDIA EM ESPAÇOS EUCLIDIANOS

CAMPINAS2015

i

ii

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaMaria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Hitomi, Eduardo Eizo Aramaki, 1989- H638e HitEquações parabólicas quase lineares e fluxos de curvatura média em espaços

euclidianos / Eduardo Eizo Aramaki Hitomi. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

HitOrientador: Olivâine Santana de Queiroz. HitDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Matemática, Estatística e Computação Científica.

Hit1. Fluxo de curvatura. 2. Geometria diferencial global. 3. Equações diferenciais

parabólicas. I. Queiroz, Olivâine Santana de,1977-. II. Universidade Estadual deCampinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Quasilinear parabolic equations and mean curvature flows inEuclidean spacesPalavras-chave em inglês:Curvature flowGlobal differential geometryParabolic differential equationsÁrea de concentração: MatemáticaTitulação: Mestre em MatemáticaBanca examinadora:Olivâine Santana de Queiroz [Orientador]Sérgio de Moura AlmarazMahendra Prasad PantheeData de defesa: 06-03-2015Programa de Pós-Graduação: Matemática

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iv

vi

Abstract

In this dissertation we study the mean curvature flow in Euclidean spaces from the analytic and geometric point of view.We deal initially with short-time existence and regularity of a solution for second order quasilinear parabolic equations onRiemannian manifolds, which is essential to guarantee the short-time existence of a smooth solution to the mean curvatureflow. In a second part, we present some results concerning the behavior of the evolving hypersurface close to the maximaltime of existence of a smooth solution, by means of Maximum Principles and evolution equations of the associated geometriccomponents. Close to this maximal time, we analyse the formation of singularities of Type I by means of rescalings andHuisken’s Monotonicity Formula, and of Type II by means of a blow-up technique due to Hamilton. In particular, we reservethe case of curves to a separate chapter, where we present some classical results in curve-shortening flow theory.

Resumo

Nesta dissertação realizamos um estudo sobre o fluxo de curvatura média em espaços Euclidianos sob as perspectivasanalítica e geométrica. Tratamos inicialmente da existência e regularidade de soluções em tempos pequenos de equaçõesparabólicas quase lineares de segunda ordem em variedades Riemannianas, o que é essencial para garantirmos a existênciade uma solução suave em tempo pequeno do fluxo de curvatura média. Em uma segunda parte, passamos a alguns resultadossobre o comportamento no intervalo maximal de existência de uma solução suave da hipersuperfície em evolução, por meiode equações das componentes geométricas associadas e de Princípios de Máximo. Próximo desse tempo maximal, analisamosa formação de singularidades do Tipo I por meio da Fórmula de Monotonicidade de Huisken e de rescalings, e do Tipo IIpor meio de uma técnica de blow-up devida a Hamilton. Em especial, reservamos o caso de curvas a um capítulo a parte eapresentamos resultados clássicos da teoria de curve-shortening flows.

vii

viii

Sumário

Agradecimentos xi

1 Equações parabólicas quase lineares em variedades Riemannianas 31.1 Caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Caso quase linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 O fluxo de curvatura média 292.1 O fluxo de curvatura média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Invariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Solução em tempo pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Evolução pela curvatura média 433.1 Evolução de quantidades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Princípios de Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Princípio de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Consequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Convexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Singularidades do tipo I 674.1 Fórmulas de Monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Singularidades do tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4 Convexidade em média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Singularidades de tipo II e o caso de curvas planas 955.1 Blow-up para singularidades de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Apêndice 116

A Notação 117

B Fatos de Análise Geométrica 119B.1 Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119B.2 Espaços de Sobolev em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121B.3 Teoria Geométrica da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Referências bibliográficas 125

ix

x

Agradecimentos

Primeiramente a Deus por tudo, principalmente por conduzir a minha vida em uma lógica na qual prevalecem a fé, aesperança e sobretudo o amor nas pessoas.

Ao Professor Olivâine de Queiroz pela orientação acadêmica, incentivo e paciência com tolas perguntas, mesmo quandomal as conseguia formular (ainda uma realidade!). Sem dúvida meu gosto por equações diferenciais parciais é culpa de suasbelas interpretações simples e elegantes sobre resultados cabeludos. Agradeço muito a oportunidade que me deu de entrar emcontato com Análise Geométrica e elaborar este trabalho.

Aos professores do Departamento de Matemática do IMECC que sempre foram acolhedores e exemplares em dedicação,em especial ao Professor Alcibíades Rigas pelo incentivo paciente e preciso às minhas ideias e interesses; e aos ProfessoresMárcio Rosa, Paulo Ruffino e Diego Ledesma pelo apoio. Também agradeço à Professora Ketty de Rezende pelo auxíliodurante o PED, tornando minha primeira experiência didática altamente agradável e motivadora.

À minha família, em especial aos meus pais Isaura e Pedro e às minhas irmãs Ana Caroline e Vanessa, pelo apoio incon-dicional e por acreditarem em mim em cada etapa de minha vida. Enfatizo em particular o agradecimento à minha mãe, meuexemplo de vida.

À Giulia pelo companheirismo, carinho, amizade e amor a cada segundo. Obrigado por ser quem é, por me ensinar tantoa cada dia e me fazer (extremamente) feliz.

Aos amigos de vida e dos (tantos) anos de Unicamp. Certamente injusto ao não citar todos, agradeço em particular aoLucas, Caco, Otto, Guilherme, Danilo, Felipe, Matheo, Thiago e Luis Ricardo por tanto se importarem e compartilharem mo-mentos ruins e bons nesses últimos dois anos. Agradeço ainda ao Professor John C. por me convencer a retornar à Matemáticamesmo de tão longe.

Aos funcionários da Secretaria de Pós - Graduação e da Biblioteca do IMECC por todo o auxílio, gentileza e compreensão.Finalmente, agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro.

xi

xii

Introdução

Consideremos uma imersão suave de codimensão k > 0, ϕ0 : M→ N, de uma n-variedade suave M em uma (n+ k)-variedade Riemanniana suave (N,g). Dizemos que ϕ0(M)⊂N evolui pela curvatura média, se existe uma família de imersõessuaves, ϕt : M→N, com t ∈ [0,T ), para algum T > 0, tal que a aplicação ϕ : M× [0,T )→N, definida por ϕ(p, t) = ϕt(p),para todo p ∈M e t ∈ [0,T ), é uma solução do sistema

∂ϕ

∂ t(p, t) = H(p, t)ν(p, t) em M× (0,T ),

ϕ(·,0) = ϕ0(·) em 0×M,(FCM)

onde H(p, t) e ν(p, t) são respectivamente a curvatura média e a normal unitária de Mt = ϕt(M) no ponto p ∈M. Assim, aevolução ocorre na direção da normal com módulo da velocidade igual à da curvatura média em cada ponto. Lidamos nestadissertação com fluxo extrínseco mais simples geometricamente, que é o caso do espaço ambiente Euclidiano N = Rn+1.

Do ponto de vista de Equações Diferenciais Parciais, podemos ver a equação para o fluxo de curvatura média como

∆g(t)ϕ(p, t) = H(p, t)ν(p, t),

para todo p ∈M e t ∈ [0,T ), onde ∆g(t) é o operador de Laplace-Beltrami sobre M associado à métrica g(t) induzida pelaimersão ϕt , isto é, estamos lidando com um tipo de equação do calor geométrica. Pode-se mostrar que o problema (FCM) é umsistema parabólico e que possui uma única solução suave para tempos pequenos. Além disso, as soluções satisfazem Princípiosde Máximo e de Comparação similares ao caso de equações diferenciais parciais parabólicas em espaços Euclidianos. Poroutro lado, como o operador de Laplace-Beltrami evolui com a própria hipersuperfície, certos contrastes com a equação docalor clássica surgem. Em particular, o fluxo é descrito por um sistema quase linear de equações diferenciais parciais deevolução e soluções existem em geral somente para tempos pequenos.

O fluxo de curvatura média advém de fenômenos físicos envolvendo tensão superficial, como é o caso da descrição daevolução de interfaces em diversos modelos físicos multifásicos. Na realidade, o artigo [43] de 1956 de Mullins é consideradocomo o nascimento do fluxo de curvatura média, observando que o comportamento da formação de grãos no processo desolidificação de metal ocorre de maneira proporcional à curvatura média. O principal motivo para esta propriedade é queestamos lidando com um fluxo gradiente do funcional área e, logo, aparece naturalmente como modelo em problemas onde aenergia superficial é importante. Apenas em 1978 que Brakke em [9] formalizou de forma pioneira a estrutura da evolução pelacurvatura média sob a ótica da Teoria Geométrica da Medida utilizando a formulação por varifolds, que são generalizações devariedades diferenciáveis. Outra propriedade interessante, advinda da natureza parabólica do sistema, é o efeito regularizantesobre as hipersuperfícies, o que permite a aplicação em processamentos de imagens ([36] e [13]). Ainda, outras frentes deaplicações incluem equações de reação difusão ([2]) e relatividade geral (Capítulo 12 de [51]).

A dissertação traz uma introdução ao fluxo de curvatura média seguindo primariamente as direções de [38], [51], [8] e[14], acompanhados dos trabalhos originais [31], [39], [28], [30], [23], [48], entre outros. Passamos a descrever a maneiracom que esta dissertação está organizada.

No Capítulo 1, adentramos à teoria de equações parabólicas quase lineares em variedades e verificamos primariamente aexistência de uma solução suave do fluxo em tempo finito das equações de segunda ordem, seguindo a abordagem de [31] e[39], essencial para demonstrarmos a existência do fluxo de curvatura média, ponto principal do Capítulo 2. Neste, mostramosainda a noção como minimizador do funcional área associado e apresentamos exemplos clássicos de soluções que revelam umpouco do comportamento geométrico durante o fluxo. Esses dois primeiros capítulos formam a primeira parte do trabalho.

1

Demonstrada a existência em tempos pequenos, passamos na segunda parte para o estudo de propriedades qualitativasdo fluxo de curvatura média. No Capítulo 3 apresentamos algumas propriedades do comportamento do fluxo no intervalomaximal de tempo de existência de solução suave: primeiro derivamos as evoluções dos elementos geométricos associados;em seguida, avaliamos os Princípios de Máximo e de Comparação ([23]), e suas consequências na evolução. Em especial,caracterizamos o comportamento de hipersuperfícies com um certo grau de convexidade.

No Capítulo 4, iniciamos a verificação do comportamento proximo do tempo maximal de existência de solução suave, istoé, próximo da formação de singularidades. Em especial, tratamos aqui as de tipo I, quando na realidade há uma limitaçãopara a taxa de blow-up da curvatura. Caracterizamos o comportamento geométrico ao redor desses pontos via a Fórmulade Monotonicidade de Huisken ([28]) e apresentamos o resultado de classificação de Huisken ([30]) para hipersuperfíciescompactas e convexas em média, isto é, com curvatura média não-negativa.

Reservamos o Capítulo 5 para tratar o caso da evolução de curvas planas, para as quais já se conhece melhor o comporta-mento tanto no intervalo de existência de solução suave do fluxo, quanto próximo de pontos em regiões que se tornam muitorapidamente curvas, isto é, perde-se a limitação da taxa de blow-up da curvatura, conhecidos como singularidades de tipo II.Nesse contexto, demonstramos alguns resultados mais gerais, como um método de blow-up e a Desigualdade de Harnack[25] desenvolvidas por Hamilton. Apresentamos resultados como a classificação de Abresch e Langer ([1]), o Teorema deGage-Hamilton ([18]) e o Teorema de Grayson ([20]), seguindo uma demonstração alternativa devida à Ilmanen [32].

A notação utilizada no trabalho, bem como definições e resultados de Geometria Riemanniana, Espaços de Sobolev emvariedades e Teoria Geométrica da Medida necessários, são deixados no apêndice.

2

Capítulo 1

Equações parabólicas quase lineares emvariedades Riemannianas

Neste capítulo, consideraremos a classe de equações parabólicas quase lineares de segunda ordem em variedades Rieman-nianas. Nela estão as equações que governam a evolução de hipersuperfícies pela curvatura média, como veremos no capítulo2, e portanto entendê-las se torna a chave para garantir a existência do fluxo de curvatura média. O protótipo de problema queserá abordado pode ser enunciado da seguinte maneira:

ut −Lu = 0 em M× (0,T ],u(·,0) = u0 em M×0,

(1.1)

onde M é uma n-variedade Riemanniana suave compacta, sem bordo, u0 ∈C∞(M) e L é um operador elíptico da forma

Lu = Qi j(p, t,u,∇u)∇2i ju+b(p, t,u,∇u),

definido em M× (0,T0), para algum T0 > T.Nosso principal objetivo é demonstrar a existência local, unicidade, regularidade e dependência contínua do dado inicial

para o problema (1.1). Para isso, seguiremos uma interessante demonstração baseada no seção 7 de [31] e em [39], as quaissão mais gerais para operadores L de ordem par. Na seção 1.1, tratamos primeiramente o caso L linear, de forma que, comoveremos na seção 1.2, podemos lidar com o problema (1.1) por meio de uma linearização apropriada. Seguiremos as mesmasnotações dos autores e deixamos no Apêndice B.2 breves definições sobre Espaços de Sobolev em variedades Riemannianas.

1.1 Caso linearComo já mencionado, consideraremos nesta seção o problema linear.

ut −Qi j∇2i ju−Rk∇ku−Su = b em M× (0,+∞),

u(·,0) = u0 em M×0,(1.2)

onde aqui,Lu = Qi j(p, t)∇2

i ju+Rk(p, t)∇ku+S(p, t)u+b(p, t),

sendo queQi j,Rk,S,b ∈C∞(M× (0,+∞))∩L∞(M× (0,+∞)), (1.3)

e L é uniformemente elíptico com constante de elipticidade uniforme λ > 0, isto é, ao redor de cada p ∈M, existe uma cartacoordenada tal que

Qi j(p, t)ξ iξ

j ≥ λ |ξ |2, para todo ξ ∈ T ∗p M, (1.4)

onde t ∈ (0,+∞).

3

CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES PARABÓLICAS QUASE LINEARES EM VARIEDADES RIEMANNIANAS 4

1.1.1 Existência localIniciamos esta seção apresentando os espaços importantes para os nossos resultados e necessários para a definição de

solução fraca que utilizaremos.Dadas funções f ,g ∈C∞(M, [0,+∞)), definimos os seguintes produtos internos ponderados:

〈 f ,g〉LLa=∫ +∞

0e−2at 〈 f (·, t),g(·, t)〉L2(M) dt, (1.5)

〈 f ,g〉LWa=∫ +∞

0e−2at 〈 f (·, t),g(·, t)〉W 1,2(M) dt, (1.6)

onde L2(M) é o espaço de Lebesgue e W 1,2(M) é o espaço de Sobolev.

Definição 1.1.1. Os espaços LLa(M) e LWa(M) são definidos como os completamentos de C∞(M, [0,+∞)) com respeito àsnormas induzidas pelos produtos internos 〈·, ·〉LLa e 〈·, ·〉LWa respectivamente.

Não é difícil verificar que LLa(M) e LWa(M) são ambos espaços de Hilbert com produtos internos definidos em (1.5) e(1.6) respectivamente.

Suponhamos por um momento que u ∈ C∞(M× [0,+∞)) seja uma solução clássica de (1.2). Então, se φ ∈ C∞c (M×

(0,+∞)), usando integração por partes temos:

0 =∫ +∞

0e−2at

∫M

φ(ut −Lu) dµdt =∫ +∞

0e−2at

∫M

φut dµdt−∫M

φLu dµdt

= 2a∫ +∞

0e−2at

∫M

φu dµdt−∫ +∞

0e−2at

∫M

φtu dµdt

−∫ +∞

0e−2at

∫M

φ(Qi j∇

2i ju+Rk

∇ku+Su+b) dµdt

= 2a∫ +∞

0e−2at

∫M


0e−2at

∫M

φtu dµdt

+∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇iφ∇ ju+φ∇ ju∇iQi j−φRk

∇ku−φSu−φb dµdt.

Entretanto, esta última igualdade faz sentido se supormos apenas que u ∈ LWa(M), já que a integração por partes fica justifi-cada.

Definição 1.1.2. Dizemos que u ∈ LWa(M) é uma solução fraca de

ut −Qi j∇

2i ju−Rk

∇ku−Su = b, (1.7)

se, para qualquer φ ∈C∞c (M× (0,+∞)), tivermos

2a∫ +∞

0e−2at

∫M


0e−2at

∫M

φtu dµdt

+∫ +∞

0e−2at

∫M


∇ku−φSu dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

φb dµdt.

(1.8)

Observamos que se uma solução fraca u for suave, então u é uma solução clássica de (1.7). De fato, integrando (1.8) porpartes novamente, obtemos

0 =∫ +∞

0e−2at

∫M

φ(ut −Lu)dµdt,

o que implica ut −Lu = 0 para quase todo ponto. Sendo u suave, temos claramente que se trata de uma solução clássica.Para continuarmos, necessitamos ainda de mais algumas definições.

1.1. CASO LINEAR 5

Definição 1.1.3. O espaço LWa,0(M) é o completamento de C∞c (M× (0,+∞)) com respeito à norma de LWa(M). Se u ∈

LWa,0(M), dizemos que u(·,0) = 0 no sentido dos traços em LWa.

Convenientemente definimos:

• B : LWa,0(M)×C∞c (M× (0,+∞)) 7→ R como a forma bilinear dada por

B(u,φ) = Qi j∇iφ∇ ju+φ∇ ju∇iQi j−φRk

∇ku−φSu;

• P : LWa,0(M)×C∞c (M× (0,+∞)) 7→ R como a forma bilinear dada por

P(u,φ) = 2a∫ +∞

0e−2at

∫M


0e−2at

∫M

φtu dµdt +∫ +∞

0e−2at

∫M

B(u,φ) dµdt;

• K : C∞c (M× (0,+∞))→ R como o funcional linear definido por

K(φ) =∫ +∞

0e−2at

∫M

φb dµdt.

Com esta nova notação, vemos que u ∈ LWa,0(M) é uma solução fraca de (1.2) se P(u,φ) = K(φ) para qualquer φ ∈C∞

c (M× (0,+∞)).Antes de apresentarmos o resultado de existência local, vamos demonstrar um resultado bastante útil ao obtermos estima-

tivas envolvendo o operador L, o qual será usado no decorrer deste capítulo.

Lema 1.1.4. (Desigualdade de Gårding) Se Lu = Lu−b, então existe C > 0, dependendo apenas das normas C1 de Qi j, Rk

e S, tal que para todo u ∈C∞(M× [0,∞)) e para todo t ≥ 0, temos

−∫M

uLudµ ≥ λ

2‖u‖2

W 1,2(M)−C‖u‖2L2(M).

Demonstração. Por definição,

−∫M

uLudµ =−∫M

Qi j∇

2i judµ−

∫M

Rk∇kudµ−

∫M

Sudµ.

Considere K = supi, j,k(|∇iQi j|, |∇kRk|, |S|

), que existe já que Qi j,Rk,S ∈ L∞(M× [0,+∞)). Lembrando que M não possui

fronteira, então integrando por partes e usando a Desigualdade de Young, temos∫M

Qi j∇

2i judµ =−

∫M

Qi j∇iu∇ judµ−

∫M

u∇iQi j∇ judµ

≤−λ

∫M|∇u|2dµ +K

∫M

u|∇u|dµ

≤(−λ +K

ε

2

)∫M|∇u|2dµ +

(K2ε

)∫M

u2dµ;∫M

uRk∇kudµ ≤ K

∫M

u|∇u|dµ

≤(

K2ε

)∫M

u2dµ +Kε

2

∫M|∇u|2dµ e∫

MuSudµ ≤ K

∫M

u2dµ,

para todo ε > 0, onde λ > 0 é a constante de elipticidade uniforme local de Qi j. Logo,

−∫M

uLudµ ≥(

λ −Kε

2

)∫M|∇u|2dµ−

(Kε+K

)∫M

u2dµ,

e o resultado segue, tomando ε =λ

Ke C =

K2

λ+K +

λ

2.


A existência local seguirá de uma aplicação de uma versão do Teorema de Lax–Milgram, o qual apresentamos abaixo.

Lema 1.1.5 ([17], Capítulo 10, Teorema 16). Sejam H um espaço de Hilbert e J qualquer subespaço com produto internocontinuamente imerso em H. Suponha que P : H× J→ R seja uma forma bilinear satisfazendo as seguintes propriedades:

i) h 7→ P(h,φ) é contínu para todo φ ∈ J fixado;

ii) P|J×J é coerciva, isto é, existe uma constante C > 0 tal que

P(φ ,φ)≥C‖φ‖2, para qualquer φ ∈ J.

Então, para qualquer K ∈ J∗ contínuo, existe h ∈ H tal que K(φ) = P(h,φ) para todo φ ∈ J.

Observemos que a condição de coercividade de P é restrita somente ao subespaço J, imerso continuamente em H.

Teorema 1.1.6 (Existência local). Suponhamos que Qi j, Rk e S satisfazem as hipóteses (1.3) e (1.4) e ainda que u0 ∈C∞(M)e b ∈ LLa(M). Então existe a > 0 suficientemente grande tal que o problema (1.2) possui uma solução fraca u ∈ LWa(M).

Demonstração. Suponhamos inicialmente que u0≡ 0. Notando que LWa,0(M) é um espaço de Hilbert e que C∞c (M×(0,+∞))

está imerso continuamente em LWa,0(M), o resultado seguirá do Lema 1.1.5, uma vez que demonstremos que P é contínua naprimeira coordenada e coerciva.

Fixemos φ ∈ C∞c (M× (0,+∞)) . Primeiro, verifiquemos que K é contínua com respeito à norma de LWa(M). De fato,

usando a Desigualdade de Hölder, a hipótese de que b ∈ LLa(M) e que LLa(M) está imerso continuamente em LWa(M),obtemos

|K(φ)| ≤∫ +∞

0

∫M|e−at

φe−atb|dµdt

≤∫ +∞

0‖e−at

φ‖L2(M)‖e−atb‖L2(M)

≤(∫ +∞

0‖e−at

φ‖2L2(M)

)1/2(∫ +∞

0‖e−atb‖2

L2(M)

)1/2

= ‖φ‖LLa(M)‖b‖LLa(M) <C‖φ‖LLa(M) ≤C‖φ‖LWa(M),

onde C depende de ‖b‖LLa(M). Notemos acima que K é contínua ainda em LLa(M).Analogamente, podemos verificar que P é contínua na primeira coordenada, com respeito à norma de LWa(M). Lembrando

que Qi j, Rk e S são funções limitadas e aplicando Hölder novamente, temos que para qualquer h ∈ LWa,0(M),

|P(h,φ)| ≤ 2a‖φ‖LLa(M)‖h‖LLa(M)+‖φt‖LLa(M)‖h‖LLa(M)

+‖Qi j∇iφ‖LLa(M)‖∇ jh‖LLa(M)+‖φ∇iQi j‖LLa(M)‖∇ jh‖LLa(M)

+‖φRk‖LLa(M)‖∇kh‖LLa(M)+‖φS‖LLa(M)‖h‖LLa(M)

≤C(‖h‖LLa(M)+‖∇h‖LLa(M)

)=C‖h‖LWa(M),

onde C depende de ‖Qi j‖C1 ,‖Rk‖C1 e ‖S‖C1 .Agora, mostraremos a coercividade de P restrita à C∞(M× (0,+∞)). Integrando por partes e usando a Desigualdade de

Gårding (Lema 1.1.4), temos:

P(φ ,φ) = 2a∫ +∞

0e−2at

∫M

φ2 dµdt−

∫ +∞

0e−2at

∫M

φtφ dµdt +∫ +∞

0e−2at

∫M

B(φ ,φ) dµdt

= 2a∫ +∞

0e−2at

∫M

φ2 dµdt−a

∫ +∞

0e−2at

∫M

φ2 dµdt−

∫ +∞

0e−2at

∫M

φ L(φ) dµdt

≥ a∫ +∞

0e−2at

∫M

φ2 dµdt +

λ

2

∫ +∞

0e−2at‖φ‖2

W 1,2(Mdt−C∫ +∞

0e−2at‖φ‖2

L2(Mdt,

1.1. CASO LINEAR 7

isto é ,

P(φ ,φ)≥ (a−C)‖φ‖2LLa(M)+

λ

2‖φ‖2

LWa(M),

onde C depende das normas C1 de Qi j, Rk e S. Assim, tomando a >C, temos

P(φ ,φ)≥ λ

2‖φ‖2

LWa(M),

o que mostra que P é coerciva. Portanto, pelo Lema (1.1.5), temos o resultado neste caso.Suponhamos agora que u0 6≡ 0 e consideremos a translação do problema (1.2) para

vt = L(v)+ L(u0),

v(·,0) = 0,(1.9)

por v = u−u0. Notemos que neste caso, temos que uma solução fraca v ∈ LWa,0(M) tem que satisfazer

P(v,φ) = 〈φ ,L(u0)〉LLa(M) := K(φ), para todo φ ∈C∞c (M× (0,+∞)).

Para utilizarmos o mesmo método anterior, agora com v(·,0)≡ 0, temos que mostrar que K é contínua com respeito à normaLWa(M). Mas para isso, observando a demonstração da continuidade de K, vemos que basta verificar que L(u0) ∈ LLa(M).Usando as limitações uniformes de Qi j,Rk e S, temos

‖L(u0)‖2LLa(M) ≤C(‖u0‖W 2,2(M))+‖b‖LLa(M) < ∞,

que é finito, já que u0 é suave e b ∈ LLa(M), por hipótese. Logo, existe uma solução fraca v ∈ LWa,0(M) do problema (1.9),o que implica que u = v+u0 ∈ LWa(M) é uma solução fraca de (1.7).

A seguir, notamos uma caracterização de uma solução fraca u do problema (1.2), na fronteira parabólica.

Lema 1.1.7. Se u ∈ LWa(M) é uma solução fraca de (1.2), então para todo φ ∈C∞c (M× [0,+∞)), vale a equação

2a∫ +∞

0e−2at

∫M


0e−2at

∫M

φtu dµdt−∫M

φu0 dµ

+∫ +∞

0e−2at

∫M


∇ku−φSu dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

φb dµdt.

(1.10)

Demonstração. Consideremos como na demonstração da Proposição 1.1.6, o problema transladado (1.9). Já vimos que umasolução v = u−u0 satisfaz a equação

2a∫ +∞

0e−2at

∫M

φv dµdt−∫ +∞

0e−2at

∫M

φtv dµdt

+∫ +∞

0e−2at

σ

∫M

Qi j∇iφ∇ jv+φ∇ jv∇iQi j−φRk

∇kv−φSv dµdt

=∫ +∞

0e−2at

σ

∫M

φ(L(u0)+b) dµdt,

(1.11)

para todo φ ∈C∞c (M× (0,+∞)). Para um ψ ∈C∞

c (M× [0,+∞)) arbitrário, podemos tomar, por aproximação, ε > 0 suficien-temente pequeno tal que φ := σψ ∈C∞

c (M× (0,+∞)), onde σ : [0,+∞)→ R é uma função de corte satisfazendo

σ(x) =

0 se x ∈ [0,ε],1 se x ∈ [2ε,∞),

xε−1 se x ∈ (ε,2ε),


Logo, substituindo φ na equação (1.11), temos

2a∫ +∞

0e−2at

σ

∫M

ψv dµdt−∫ +∞

0e−2at

σ

∫M

ψtv dµdt− 1ε

∫ 2ε

ε

e−2at∫M

ψv dµdt

+∫ +∞

0e−2at

σ

∫M

Qi j∇iψ∇ jv+ψ∇ jv∇iQi j−ψRk

∇kv−ψSv dµdt

=∫ +∞

0e−2at

σ

∫M

ψ(L(u0)+b) dµdt.

(1.12)

Assim, quando ε → 0, nesta equação, temos que φ → ψ, σ → χ[0,+∞),

limε→0

1ε

∫ 2ε

ε

e−2at∫M

ψvdµdt = limε→0

1ε

(∫ 2ε

0e−2at

∫M

ψvdµdt−∫

ε

0e−2at

∫M

ψvdµdt)

= limε→0

e−4at∫M

ψvdµdt− e−2at∫M

ψvdµdt

=∫M

ψvdµdt−∫M

ψvdµdt = 0

e as outras integrais permanecem as mesmas a não ser por omissão de σ o que implica que

P(v,φ) = 〈φ ,L(u0)〉LLa(M) ,

para todo φ ∈C∞c (M× [0,+∞)).

Agora, substituindo v = u−u0 na equação (1.11), temos

2a∫ +∞

0e−2at

∫M


0e−2at

∫M

φtu dµdt

−2a∫ +∞

0e−2at

∫M

φu0 dµdt +∫ +∞

0e−2at

∫M

φtu0 dµdt

+∫ +∞

0e−2at

∫M


∇ku−φSu dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

φb dµdt.

Mas como

−2a∫ +∞

0e−2at

∫M

φu0 dµdt +∫ +∞

0e−2at

∫M

φtu0 dµdt

=∫ +∞

0

ddt

(e−2at)∫

Mφu0 dµdt +

∫ +∞

0e−2at d

dt

(∫M

φu0 dµ

)dt

=∫ +∞

0

ddt

(e−2at

∫M

φu0 dµ

)dt

=−∫

Mφu0 dµ,

então segue que P(u,φ) = K(φ), para todo φ ∈C∞c (M× [0,+∞)), o que demostra o lema.

1.1.2 Unicidade e regularidadeDefinição 1.1.8. Consideremos os espaços

LW sa (M) =

f : M× [0,+∞)→ R;

∫ +∞

0e−at‖ f (·, t)‖2

W s,2(M) dt <+∞

,

1.1. CASO LINEAR 9

onde s ∈ N, munido do o produto interno definido por

〈 f ,g〉LW sa (M) =

∫ +∞

0e−at 〈 f (·, t),g(·, t)〉W s,2(M) dt,

e

Pla(M) =

f : M× [0,+∞)→ R;

∂ j f∂ t j ∈ LW 2(l− j)

a (M) para todo 0≤ j ≤ l,

onde a derivada∂ j f∂ t j está no sentido de distribuições, munido do o produto interno definido por

〈 f ,g〉Pla(M) = ∑

j≤l

⟨∂ j f∂ t j ,

∂ jg∂ t j

⟩LW 2(l− j)

a (M)

.

Claramente, esta definição implica a seguinte cadeia de imersões contínuas:

Pla(M) → LW 2l

a (M) → LW 2l−1a (M) → ··· → LW 1

a (M) = LWa(M) (1.13)

Abaixo apresentamos o resultado de regularidade para o problema (1.2).

Teorema 1.1.9. Consideremos a aplicação F : Pla(M)→W 2l−1,2(M)×Pl−1

a (M) definida por

F(u) =(u0,ut − Lu

),

para cada l ∈ N, onde u0 = u(·,0) e L é o operador definido por Lu = Lu−b. Então F é um isomorfismo linear, para a > 0suficientemente grande.

Precisamos verificar que F está bem definido e é contínuo. No caso da primeira coordenada de F(u), necessitamos dolema a seguir.

Lema 1.1.10. Se f ∈ Pla(M), então f0 = f (·,0) ∈W (2l−1),2(M).

Demonstração. Se f ∈C∞c (M× [0,+∞)), então integrando por partes, temos∫ +∞

0e−2at

∫M

g(

∇2l−1 f ,∇2l−1 ∂ f

∂ t

)dµdt =

12

∫ +∞

0e−2at

∫M

∂

∂ t|∇2l−1 f |2dµdt

= a∫ +∞

0e−2at

∫M|∇2l−1 f |2dµdt− 1

2

∫M|∇2l−1 f0|2dµdt,

onde g é a métrica de M. Notemos que, aplicando o Teorema de Green e a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, é válido∫ +∞

0e−2at

∫M

g(

∇2l−1 f ,∇2l−1 ∂ f

∂ t

)dµdt =

=∫ +∞

0e−2at

∫M

g(

∇

(∇

2l−2 f),∇

(∇

2l−2 ∂ f∂ t

))dµdt

=−∫ +∞

0e−2at

∫M

g(

∆∇2l−2 f ,∇2l−2 ∂ f

∂ t

)dµdt

≥−

(∫ +∞

0

(e−2at

∫M|∆(∇2l−2 f )|2dµ

) 12

dt

)(∫ +∞

0

(e−2at

∫M

∣∣∣∇2l−2(

∂ f∂ t

)∣∣∣2dµ

) 12

dt

)

≥−

(∫ +∞

0

(e−2at

∫M|∇2l f |2dµ

) 12

dt

)(∫ +∞

0

(e−2at

∥∥∥∂ f∂ t

∥∥∥2

W 2(l−1),2(M)

) 12

dt

)≥−‖ f‖LW 2l

a (M)‖ f‖Pla(M).


Portanto, ∫M|∇2l−1 f0|2dµ ≤ 2a‖ f‖2

LW 2l−1a (M)

+2‖ f‖LW 2la (M)‖ f‖Pl

a(M).

Das imersões (1.13), temos que‖ f‖LW 2l−1

a (M)≤ ‖ f‖LW 2l

a (M) ≤ ‖ f‖Pla(M),

o que implica que, ao tomarmos a suficientemente grande, chegamos à∫M|∇2l−1 f0|2dµdt ≤ 3a‖ f‖2

Pla(M)

<+∞. (1.14)

Como cada f ∈ Pla(M) pode ser aproximado por funções em C∞

c (M× [0,+∞)), então temos que f0 ∈W (2l−1),2(M).

Para a segunda coordenada, notemos que

‖ut − Lu‖Pl−1a (M)

= ‖ut −Qi j∇

2i ju−Rk

∇ku−Su‖Pl−1a (M)

≤ ‖ut‖Pl−1a (M)

+C(‖∇2

i ju‖Pl−1a (M)

‖∇ku‖Pl−1a (M)

‖u‖Pl−1a (M)

)≤C‖u‖Pl

a(M)+3C‖u‖Pla(M) <+∞,

(1.15)

onde C depende das limitações C1 de Qi j,Rk e S. Logo, temos que F está bem definida e pelas equações (1.14) e (1.15),temos que é contínua. Logo, basta demonstrarmos que F é uma bijeção e o Teorema 1.1.9 seguirá do Teorema da AplicaçãoAberta. Por outro lado, dizer que F é uma bijeção significa que, o problema (1.2) com qual b ∈ Pl−1

a (M) e condição inicialu0 ∈W 2l−1,2(M) quaisquer possui uma única solução fraca u ∈ Pl

a(M). Este fato seguirá de estimativas de continuidade dasolução de (1.2) com relação aos dados b e u0.

O próximo lema nos fornece a continuidade da solução fraca u ∈ LWa(M) de (1.2) com relação aos dados u0 ∈ L2(M) eb ∈ LLa(M).

Lema 1.1.11. Se u ∈ LWa(M) satisfaz a equação (1.10) para todo φ ∈C∞c (M× [0,+∞)) , então, existe uma constante C > 0,

C =C(λ ,‖Qi j‖C1 ,‖Rk‖C1 ,‖S‖C1) tal que

‖u‖2LWa(M) ≤C

(‖u0‖2

L2(M)+‖b‖2LLa(M)

).

Demonstração. Seja φ ∈C∞c (M× [0,+∞)). Notemos que pela equação (1.8), temos

〈φ ,ut〉LLa(M) =−∫ +∞

0e−2at

∫M


∇ku−φSu dµdt

+∫ +∞

0e−2at

∫M

φb dµdt

≤C(‖u‖2

LWa(M)+‖b‖2LLa(M)

)<+∞.

Logo, pela Identidade de Polarizacão, segue que ut ∈ LLa(M). Como todo LWa(M) pode ser aproximado por funções emC∞

c (M× [0,+∞)), então podemos substituir φ por u, obtendo

2a∫ +∞

0e−2at

∫M

u2dµdt−∫ +∞

0e−2at

∫M

utudµdt−∫M

u20dµ

+∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇iu∇ ju+u∇ ju∇iQi j−uRk

∇ku−Su2 dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

ub dµdt.

1.1. CASO LINEAR 11

Notando que ∫ +∞

0e−2at

∫M

utudµdt =12

∫ +∞

0e−2at ∂

∂ t

(∫M

u2dµ

)dt

=−12

∫M

u20dµ +a

∫ +∞

0e−2at

∫M

u2dµdt,

por integração por partes, então temos que

a∫ +∞

0e−2at

∫M

u2dµdt− 12

∫M

u20dµ

+∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇iu∇ ju+u∇ ju∇iQi j−uRk

∇ku−Su2 dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

ub dµdt.

Mas ponderando a Desigualdade de Gårding com peso e−2at , chegamos à∫ +∞

0e−2at

∫M

ubdµdt +12

∫M

u20dµ−a

∫ +∞

0e−2at

∫M

u2dµdt ≥ λ

2‖u‖2

LWa(M)−C‖u‖2LLa(M),

onde C depende das normas C1 de Qi j,Rk e S. Assim, pelas Desigualdades de Hölder e de Young,

λ

2‖u‖2

LWa(M) ≤ (C−a)‖u‖LLa(M)+12‖u0‖L2(M)+

∫ +∞

0

∫M|e−atue−atb|dµdt

≤ (C−a)‖u‖LLa(M)+12‖u0‖L2(M)+ ε‖u‖2

LLa(M)‖b‖2LLa(M)

≤ (C−a)‖u‖LLa(M)+12‖u0‖L2(M)+ ε‖u‖2

LWa(M)‖b‖2LLa(M).

Portanto, tomando a >C, temos (λ

2− ε

)‖u‖2

LWa(M) ≤12‖u0‖2

L2(M)+a‖b‖2LLa(M),

e para ε <λ

4, o resultado segue.

Passamos agora a estimar as derivadas de ordem mais alta de uma solução fraca u. Para tanto, usaremos quocientes dediferenças. Dado f : Rn → Rm, para h 6= 0 fixo, definimos o operador θh, quociente da diferença de f por h na direção dev ∈ Rn, como:

θh f (x) =f (x+hv)− f (x)

h.

Em especial, algumas das razões para utilizarmos quocientes de diferenças são as seguintes propriedades:

• (Regra de Leibniz) Para quaisquer aplicações f , g : Rn→ Rm, temos que

(θh( f g))(x) = (θh f )(x)g(x+hv)+(θhg)(x) f (x),

é válido para todo x ∈ Rn;

• Se f , g ∈ L1(Rn) possuem suporte compacto contido em um conjunto aberto Ω ⊂ Rn, então, para h suficientementepequeno, ∫

Ω

θh f dx = 0 e∫

Ω

f θhgdx =−∫

Ω

gθ−h f dx.


• Seja Ω⊂ Rn um aberto. Se 1≤ p <+∞ e f ∈W 1,p(Ω), então para cada subconjunto V ⊂ Rn compactamente contidoem U, temos

‖θh f‖Lp(V ) ≤C‖∇ f‖Lp(U),

para alguma constante C > 0 e todo 0 < |h|< 12 dist(V,∂U).

Como estamos lidando com uma variedade M, precisamos utilizar cartas locais. Consideremos uma família de cartaslocais ψl : Bn

1 ⊂ Rn→Mml=1 tal que M⊂

⋃ψl(Bn

1/2). Além disso, tomemos também a função de corte suave ρ : Rn→ [0,1]satisfazendo

ρ(x) =

0, x ∈ Rn\Bn

3/4,

1, x ∈ Bn1/2.

Denotaremos Ul = ψl (Bn1) e Vl = ψl(Bn

1/2). Assim, podemos realizar os levantamentos em cada carta, como no esquemamostrado na Figura 1.1.

Bn1 ⊂ Rn [0,1]

M

ρ

ψl ρ ψ−1l

Bn1 ⊂ Rn Rn

M

θh f

ψl (θh f )ψ−1l

Figura 1.1: Levantamentos.

Ao longo da seção, omitiremos os levantamentos, denotando por simplicidade apenas ρ ψ−1l ∼ ρ e (θh f )ψ

−1l ∼ θh f .

Assim, em posse de quocientes de diferenças, podemos portanto garantir que uma solução fraca u ∈ LWa(M) pertença àLW 2

a (M).

Lema 1.1.12. Se u ∈ LWa(M) satisfaz (1.10) com u0 suave, então u ∈ LW 2a (M) e existe uma constante C > 0 tal que

‖u‖2LW 2

a (M) ≤C(‖u0‖2

W 1,2(M)+‖b‖2LLa(M)

). (1.16)

Demonstração. Notemos que se

‖∇2u‖2LLa(M) ≤C

(‖u0‖2

W 1,2(M)+‖u‖2LWa(M)+‖b‖

2LLa(M)

),

então pelo Lema 1.1.11 e a inclusão W 1,2(M) → L2(M), temos o resultado. Provemos portanto esta estimativa. Fixemos umacarta ψl e tomemos a função de teste

φ = θ−h(ρ2(θhu))

estendida à zero fora de Ul . Já que ut ∈ LLa(M), como verificado na demonstração do Lema 1.1.11, podemos integrar porpartes para obter⟨

ut ,θ−h(ρ2θhu)

⟩LLa(M)

=∫ +∞

0e−2at

∫M

∂

∂ t

(uθ−h(ρ

2(θhu)))

dµdt−∫ +∞

0e−2at

∫M

u∂

∂ t(θ−h(ρ

2(θhu)))dµdt

=−∫M

u0θ−h(ρ2(θhu))dµ +2a

∫ +∞

0e−2at

∫M

uθ−h(ρ2(θhu))dµdt

−∫ +∞

0e−2at

∫M

∂

∂ t(θ−h(ρ

2(θhu)))dµdt.

Logo, da equação (1.1.2), temos⟨ut ,θ−h(ρ

2(θhu))⟩

LLa(M)+∫ +∞

0e−2at

∫M

B(u,θ−h(ρ2(θhu)))dµdt =

⟨b,θ−h(ρ

2θhu)

⟩LLa(M)

.

1.1. CASO LINEAR 13

Como pelas propriedades de quocientes,

∫ +∞

0e−2at

∫M(θhB)(u,ρ2(θhu))dµ +

∫M

B(θhu,ρ2(θhu))dµ =−∫M

B(u,θ−h(ρ2(θhu)))dµdt,

onde

(θhB)(u,φ) = (θhQi j)∇iφ∇ ju+φ∇ ju∇i(θhQi j)−φ(θhRk)∇ku−φ(θhS)u,

e ainda

−⟨ut ,θ−h(ρ

2(θhu))⟩

LLa(M)=−

∫ +∞

0e−2at

∫M

utθ−h(ρ2(θhu))dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M(ρ2(θhu))(θhut)dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M(ρ2(θhu))

∂ (θhu)∂ t

dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ∂ (θhu)

∂ tρ(θhu)dµdt

= a∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2|θhu|2dµdt− 1

2

∫M

ρ2|θhu0|2dµ,

então segue que

∫ +∞

0e−2at

∫M(θhB)(u,ρ2(θhu))dµ +

∫ +∞

0e−2at

∫M

B(θhu,ρ2(θhu))dµ

=−⟨b,θ−h(ρ

2(θhu))⟩

LLa(M)−a

∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2|θhu|2dµdt +

12

∫M

ρ2|θhu0|2dµ

≤ ‖b‖LLa(M)‖θ−h(ρ2(θhu))‖LLa(Ul)+C‖θhu‖2

LLa(Ul)+C‖θhu0‖2

L2(Ul)

≤C‖b‖LLa(M)‖∇(ρ2(θhu))‖LLa(Ul)+C‖∇u‖2LLa(Ul)

+C‖∇u0‖2L2(Ul)

≤C‖b‖LLa(M)‖ρ2(θhu)‖LWa(M)+C‖u‖2LWa(M)+C‖u0‖2

W 1,2(M),

pela Desigualdade de Hölder e a propriedade de estimativa para quocientes, que é jstificada, notando que ρ se anula fora deBn

3/4, logo vale para um compacto contendo Bn3/4, em Bn

1.

Vamos estimar as duas integrais acima. Para tanta, definamos

A =∫ +∞

0e−2at

∫M

B(θhu,ρ2(θhu))dµ, e

B =∫ +∞

0e−2at

∫M(θhB)(u,ρ2(θhu))dµ.


Utilizando a Desigualdade de Young e a estimativa para quocientes, temos

A =∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j(2ρ(θhu)∇ jρ +ρ2∇ j(θhu))∇i(θhu)dµdt +

∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2(θhu)∇ j(θhu)∇iQi jdµdt

−∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2(θhu)Rk

∇k(θhu)dµdt−∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2(θhu)S(θhu)dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

ρQi j∇i(θhu)∇ j(ρ(θhu))dµdt +

∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi jρ(θhu)∇i(θhu)∇ jρdµdt

+∫ +∞

0e−2at

∫M(∇iQi j−Rk)ρ2(θhu)∇ j(θhu)dµdt−

∫ +∞

0e−2at

∫M

Sρ2(θhu)(θhu)dµdt

≥∫ +∞

0e−2at

∫M

ρQi j∇i(θhu)∇ j(ρ(θhu))dµdt−C

∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ|∇(θhu)||θhu||∇ρ|dµdt

−C∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2|θhu|(|∇(θhu)|+ |θhu|)dµdt

=∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇i(ρ(θhu))∇ j(ρ(θhu))dµdt−

∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j(∇ρ)(θhu)∇ j(ρ(θhu))dµdt

−C∫ +∞

0e−2at

∫M|∇(ρ(θhu))||θhu|(ρ + |∇ρ|)dµdt +C

∫ +∞

0e−2at

∫M|θhu|2(−ρ

2 +ρ|∇ρ|+ |∇ρ|2)dµdt

≥∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇i(ρ(θhu))∇ j(ρ(θhu))dµdt−C

∫ +∞

0e−2at

∫M|∇(ρ(θhu))||θhu|(ρ + |∇ρ|)dµdt

−C∫ +∞

0e−2at

∫M|θhu|2(ρ2 +ρ|∇ρ|+ |∇ρ|2)dµdt

≥∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇i(ρ(θhu))∇ j(ρ(θhu))dµdt− εl

∫ +∞

0e−2at

∫M|∇(ρ(θhu))|2dµdt

−Cl

∫ +∞

0e−2at

∫Ul

|θhu|2dµdt

≥∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇i(ρ(θhu))∇ j(ρ(θhu))dµdt− εl‖∇(ρ(θhu))‖2

LLa(M)−Cl‖θhu‖2LLa(Ul)

≥∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇i(ρ(θhu))∇ j(ρ(θhu))dµdt− εl‖ρ(θhu)‖2

LWa(M)−Cl‖u‖2LWa(M),

onde εl e Cl são independentes de u e h suficientemente pequeno. Mas como L é uniformemente elíptico, então∫ +∞

0e−2at

∫M

Qi j∇i(ρ(θhu))∇ j(ρ(θhu))dµdt ≥ λ

∫ +∞

0e−2at

∫M|∇(ρ(θhu))|2dµdt

≥ λ‖ρ(θhu)‖2LWa(M)−λ‖ρ(θhu)‖2

LLa(M)

≥ λ‖ρ(θhu)‖2LWa(M)−C‖u‖2

LWa(M).

Portanto,

A ≥ (λ − εl)‖ρ(θhu)‖2LWa(M)−Cl‖u‖2

LWa(M).

Por outro lado, procedendo analogamente,

B ≥∫ +∞

0e−2at

∫M(θhQi j)∇iu∇ j(ρ

2(θhu))dµdt−C∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2|θhu|(u+ |∇u|)dµdt

=−C∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ|∇u|(∇(ρθhu)|dµdt−C∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ|θhu||∇u||∇ρ|dµdt

−C∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2|θhu|(u+ |∇u|)dµdt

≥−εl‖ρ(θhu)‖2LWa(M)−Cl‖u‖2

LWa(M).

1.1. CASO LINEAR 15

Logo, usando mais uma vez a Desigualdade de Young,

(λ − εl)‖ρ(θhu)‖2LWa(M) ≤A +Cl‖u‖2

LWa(M)

≤C‖b‖LLa(M)‖ρ2(θhu)‖LWa(M)+Cl‖u‖2LWa(M)+C‖u0‖2

W 1,2(M)−B

≤C‖b‖LLa(M)‖ρ2(θhu)‖LWa(M)+C‖u0‖2W 1,2(M)+ εl‖ρ(θhu)‖2

LWa(M)+Cl‖u‖2LWa(M)

≤Cl‖b‖LLa(M)+ εl‖ρ2(θhu)‖LWa(M)+C‖u0‖2W 1,2(M)+ εl‖ρ(θhu)‖2

LWa(M)+Cl‖u‖2LWa(M).

Notemos que, como ρ ≤ 1,

‖ρ2(θhu)‖LWa(M) = ‖ρ2(θhu)‖2LLa(M)+‖∇(ρ2(θhu))‖2

LLa(M)

≤ ‖θhu‖2LLa(Ul)

+‖ρ∇(ρ(θhu))‖2LLa(M)+‖(ρ(θhu))∇ρ‖2

LLa(M)

≤ ‖θhu‖2LLa(Ul)

+‖∇(ρ(θhu))‖2LLa(M)+‖θhu‖2

LLa(Ul)

≤ ‖ρθhu‖2LWa(M)+C‖u‖2

LWa(M),

onde usamos a Desigualdade de Minkowski e as estimativas para quociente. Portanto,

(λ − εl)‖ρ(θhu)‖2LWa(M) ≤Cl‖b‖2

LLa(M)+C‖u0‖2W 1,2(M)+Cl‖u‖2

LWa(M).

Tomando εl < λ e notando que

(λ − εl)‖∇(θhu)‖2LLa(Vl)

≤ (λ − εl)‖θhu‖2LWa(Vl)

≤ (λ − εl)‖ρ(θhu)‖2LWa(M),

temos

‖∇(θhu)‖2LLa(Vl)

≤Cl

(‖b‖2

LLa(M)+‖u0‖2W 1,2(M)+‖u‖

2LWa(M)

).

Sendo h é arbitrariamente suficientemente pequeno e o lado direito desta desigualdade independe de h, tomando h→ 0,chegamos à

‖∇2u‖2LLa(Vl)

≤Cl

(‖b‖2

LLa(M)+‖u0‖2W 1,2(M)+‖u‖

2LWa(M)

).

Como M é compacto e a união dos Vl’s cobrem M, então temos que

‖∇2u‖2LLa(M) ≤

m

∑l=1‖∇2u‖2

LLa(Vl)≤

(m

∑l=1

Cl

)(‖b‖2

LLa(M)+‖u0‖2W 1,2(M)+‖u‖

2LWa(M)

),

o que conclui a demonstração.

Corolário 1.1.13. Nas hipóteses do Lema 1.1.12, então existe uma constante C > 0 tal que

‖ut‖2LLa(M) ≤C(‖u0‖2

W 1,2(M)+‖b‖2LLa(M)).

Demonstração. Basta notar que

‖ut‖2LLa(M) = ‖Lu‖2

LLa(M) ≤C(‖u‖2LW 2

a (M)+‖b‖2LLa(M))

e aplicar o Lema 1.1.12.

Imediatamente, temos a importante estimativa a seguir.

Proposição 1.1.14. Nas hipóteses do Lema 1.1.12, se u0 ∈W 1,2(M) e b∈ LLa(M), então u∈ P1a (M) e para alguma constante

C > 0,‖u‖2

P1a (M) ≤C

(‖u0‖2

W 1,2(M)+‖b‖2LLa(M)

). (1.17)


Demonstração. Como‖u‖2

P1a (M) = ‖u‖

2LW 2

a (M)+‖ut‖2LLa(M),

o resultado segue do Lema 1.1.12 e do Corolário 1.1.13.

Observação 1.1.15. Como u0 ∈W 1,2(M) pode ser aproximada por funções ui0 ∈ C∞

c (M), temos da Proposição 1.1.6, queexistem soluções fracas ui ∈ LWa(M) do problema 1.2 com dados iniciais ui

0. Mas a Proposição 1.1.14 garante que cadaui ∈ P1

a (M) e além disso, a estimativa (1.17) implica que a sequência dos ui’s converge a uma u∈ P1a ((M)), isto é, uma solução

fraca do problema 1.2 com dado inicial u0 ∈W 1,2(M). Notemos que a estimativa (1.17) ainda, considerando a unicidade dolimite da sequência, que temos unicidade dessa solução fraca.

Mostremos agora o caso de regularidade mais alta.

Proposição 1.1.16. Nas hipóteses do Lema 1.1.12, se para algum l ∈N maior que 2 tivermos u0 ∈W 2l−1,2(M) e b∈Pl−1a (M),

então u ∈ Pla(M) e para alguma constante C > 0,

‖u‖2Pl

a(M)≤C

(‖u0‖2

W 2l−1,2(M)+‖b‖2

Pl−1a (M)

). (1.18)

Demonstração. Procederemos analogamente à demonstração do Lema 1.1.12 e consideraremos as mesmas notações utiliza-das. Os cálculos similares serão omitidos.

Fixemos uma carta ψl e consideremos a função de teste dada por

φ = θ2l−k−h (ρ2(θ 2l−k

h u)),

onde k ∈ 1,2 e estenda à zero fora de Ul . Logo,⟨ut ,θ

2l−k−h (ρ2(θ 2l−k

h u))⟩

LLa((M))+∫ +∞

0e−2at

∫M

B(u,θ 2l−k−h (ρ2(θ 2l−k

h u)))dµdt =⟨

b,θ 2l−k−h (ρ2(θ 2l−k

h u))⟩

LLa((M)).

Notemos que iterando a Regra de Leibniz, temos

−∫M

B(u,θ 2l−k−h (ρ2(θ 2l−k

h u)))dµdt =2l−k

∑j=0

(2l− k

j

)(−1) j

∫M(θ j

h B)(θ 2l−k− jh u,ρ2(θ 2l−k

h u))dµdt.

e como, pelas propriedades dos quocientes,

−⟨

ut ,θ2l−k−h (ρ2(θ 2l−k

h u))⟩

LLa((M))=∫ +∞

0e−2at

∫M

ρ2(θ 2l−k

h u)(θ 2l−kh u)dµdt

=

⟨∂ (θ 2l−k

h u)∂ t

,ρ2(θ 2l−kh u)

⟩LLa(M)

,

então

−⟨


h u))⟩

LLa(M)=

⟨∂ (θ 2l−1

h u)∂ t

,ρ2(θ 2l−1h u)

⟩LLa(M)

+2l−k

∑j=0

(2l− k

j

)(−1) j

∫ +∞

0e−2at

∫M(θ j


h u))dµdt.

Procedendo analogamente à demonstração do Lema 1.1.12 nas estimativas das integrais∫ +∞

0e−2at

∫M(θ j


h u))dµdt,

1.1. CASO LINEAR 17

com 0≤ j ≤ 2l− k, apenas notando que agora temos,

−⟨


h u))⟩

LLa(M)=−

⟨b,θ 2l−k−1

h θ−h(ρ2θ

2l−kh u)

⟩LLa(M)

≤∣∣∣⟨θ

2l−k−1h b,θ−h(ρ

2(θ 2l−kh u))

⟩LLa(M)

∣∣∣≤ ‖θ 2l−k−1

h b‖LLa(M)‖θ−h(ρ2(θ 2l−k

h u))‖LLa(M)

≤ ‖b‖LW 2l−k−1a (M)

‖ρ2θ

2l−kh u‖LWa(M),

onde usamos as propriedades de quocientes e a Desigualdade de Hölder, então segue que

‖∇(ρ(θ 2l−kh u))‖2

LLa(M) ≤C(‖u0‖2

W 2l−k,2(M)+‖u‖2

LW 2l−ka (M)

+‖b‖2LW 2l−k−1

a

).

Logo,‖∇2l−k+1u‖2

LLa(M) ≤C(‖u0‖2

W 2l−k,2(M)+‖u‖2

LW 2l−ka (M)

+‖b‖2LW 2l−k−1

a

),

o que implica que, ao realizar iteração dessa estimativa,

‖u‖2LW 2l

a (M)= ‖u‖2

LW 2l−1a (M)

+‖∇2lu‖2LLa(M)

≤C(‖u0‖2

W 2l−1,2(M)+‖b‖2

LW 2l−2a (M)

)+C‖u‖2

LW 2l−1a (M)

≤C(‖u0‖2

W 2l−1,2(M)+‖b‖2

LW 2l−2a (M)

)+C‖u‖2

LW 3a (M)

≤C(‖u0‖2

W 2l−1,2(M)+‖b‖2

LW 2l−2a (M)

)+C‖u‖2

LW 2a (M)

≤C(‖u0‖2

W 2l−1,2(M)+‖b‖2

LW 2l−2a (M)

)≤C

(‖u0‖2

W 2l−1,2(M)+‖b‖2

Pl−1a (M)

),

onde usamos a estimativa do Lema 1.1.12 no penúltimo passo.Fixemos m≤ l e suponha agora que para todo 0≤ j < m, temos

∂ ju∂ t j ∈ LW 2(l− j)

a (M).

Notemos que o caso j = 0 foi o que acabamos de demonstrar. Como pela equação (1.10), temos que

ut = Lu

para quase todo ponto, e por hipótese ∂ m−1u∂ tm−1 ∈ LW 2(l−m+1)

a (M), então temos que u é m vezes diferenciável em t. Assim,diferenciando esta equação m−1 vezes com relação a t, temos

∂ mu∂ tm =

∂ m

∂ tm (Qi j∇

2i ju)+

∂ m

∂ tm (Rk∇ku)+

∂ m

∂ tm (Su)+∂ mb∂ tm ,

o que implica que ∥∥∥∂ mu∂ tm

∥∥∥2

LW 2(l−m)a (M)

≤C

(∥∥∥∂ m−1b∂ tm−1

∥∥∥2

LW 2(l−m)a (M)

+m−1

∑j=0

∥∥∥∂ ju∂ t j

∥∥∥2

LW 2(l−m)a (M)

)

≤C

(∥∥∥∂ m−1b∂ tm−1

∥∥∥2

LW 2(l−m)a (M)

+m−1

∑j=0

∥∥∥∂ ju∂ t j

∥∥∥2

LW 2(l− j)a (M)

)

≤C

(‖b‖2

Pl−1a (M)

+m−1

∑j=0

∥∥∥∂ ju∂ t j

∥∥∥2

LW 2(l− j)a (M)

).


Portanto, ∂ ju∂ t j ∈ LW 2(l− j)

a (M) para todo 0 ≤ j ≤ m. Começando com m = 2, temos então que u ∈ P2a (M) e prosseguindo

iterativamente até m = l, temos então que u ∈ Pla(M).

Finalmente, podemos demonstrar o Teorema 1.1.9.

Demonstração (Teorema 1.1.9). Como W 2l−1,2(M) é subespaço de W 1,2(M), então pela Observação 1.1.15, temos que existeuma única solução fraca u ∈ LWa(M) com dado inicial u0 ∈W 1,2(M), então pela Proposição 1.1.16, temos que u ∈ Pl

a(M), oque conclui a demonstração, como comentamos inicialmente.

1.2 Caso quase linearAntes de tratarmos do problema (1.1), façamos algumas considerações: no lugar dos espaços Pl

a(M), usaremos os espaçosPl(M,T ) definidos para cada l ∈ N e T ∈ R>0, como o completamento de C∞(M× [0,T ]) com respeito à norma

‖ f‖2Pl(M,T ) = ∑

2 j+k≤2lj,k∈N

∫ T

0

∫M

∣∣∣∂ j(∇k f )∂ t j

∣∣∣2dµdt, ∀T ∈ R+.

Notemos que naturalmente podemos escrever Pl(M,T ) por

Pl(M,T ) =

f : M× [0,T ]→ R;∂ j f∂ t j ∈W 2(l− j),2(M× [0,T ]) para todo 0≤ j ≤ l

,

o que implica as imersões contínuas

Pl(M,T ) → Pla(M) e

Pl(M,T ) → Pl−1(M,T ).(1.19)

Esses espaços serão úteis durante essa seção e veremos que ao considerá-los, não estamos criando restrições essenciais.

Proposição 1.2.1. Consideremos o isomorfismo F : Pla(M)→W 2l−1,2(M)×Pl−1

a (M) definido no Teorema 1.1.9. Para todoT > 0 e l ∈ N, a restrição F |Pl(M,T ) : Pl(M,T )→W 2l−1,2(M)×Pl−1(M,T ) também é um isomorfismo.

Demonstração. Do mesmo modo que demonstramos o Teorema 1.1.9, precisamos mostrar que a aplicação F |Pl(M,T ) é umabijeção contínua e então o resultado seguirá pelo Teorema da Aplicação Aberta.Notemos que a continuidade de F |Pl(M,T ) segue analogamente à demonstração para o operador F original, observando apenasas imersões (1.19). Agora, seja b ∈ Pl−1(M,T ). Pelo Teorema de Hahn-Banach, existe uma extensão b ∈ Pl−1

a (M,T ) de b.Se u0 ∈W 2l−1,2(M), então sabemos que do Teorema 1.1.9 que existe uma solução única u ∈ Pl

a(M) do problema (1.2), comb e u0. Como u = u|M×[0,T ] ∈ Pl(M,T ) e F |Pl(M,T )(u) = (u0,b), então temos a sobrejetividade.

Agora, suponhamos que v∈ Pl(M,T ) seja uma outra função também satisfazendo F |Pl(M,T )(v) = (u0,b). Então, tomandow = u− v ∈ Pl(M,T ), temos por linearidade que

wt − Lw = 0,w(·,0) = 0.

Logo, ∫M

w2dµ =∫ t

0

∫M

2wwtdµds = 2∫ t

0

∫M

wLwdµds

≤−λ

∫ t

0‖w‖2

W 1,2(M)ds+C∫ t

0‖w‖2

L2(M)ds

≤−λ

∫ t

0

∫M|∇2w|2dµds+C

∫ t

0

∫M

w2dµds

≤C∫ t

0

∫M

w2dµds,

1.2. CASO QUASE LINEAR 19

onde usamos a Desigualdade de Gårding, possível pois w(·, t)∈W 2,2 para quase todo t ∈ [0,T ]. Então, pelo Lema de Gronwall,segue que ∫

Mw2(·, t)dµ = 0

para todo t ∈ [0,T ], já que w(·,0) = 0. Logo, segue que w é zero em todo M× [0,T ], o que implica que u = v e portanto ficademonstrado que coincidem. Portanto, temos que F |Pl(M,T ) é injetiva, logo uma bijeção, e o resultado segue.

Observação 1.2.2. Notemos que se u0,b são suaves, a solução única u do problema (1.2) pertence à Pl(M,T ), para todol ∈ N, já que nesse caso o lado direito da estimativa do Teorema 1.1.9 não depende de l. Como do Teorema de Imersão deSobolev temos que para cada k ∈ N existe l ∈ N tal que

Pl(M,T ) →Ck(M× [0,T ]) continuamente,

então, segue que u ∈C∞(M× [0,T ]).

Agora, retornemos ao problema original ut −Lu = 0 em M× (0,T ],u(·,0) = u0 em M×0,

e o especifiquemos mais precisamente. Dada uma função u0 ∈C∞(M), buscamos uma função u∈C∞(M× [0,T ′]) satisfazendou(·,0) = u0, de forma que para algum 0 < T ≤ T ′, u evolua no tempo, no intervalo (0,T ], conforme o operador L localmenteuniformemente elíptico definido por

Lu = Qi j(p, t,u,∇u)∇2i ju+b(p, t,u,∇u),

onde as funções Qi j,b ∈ C∞(Up× [0,T0)×R× T ∗p M), em qualquer carta coordenada Up ao redor de cada p ∈M, e aqui,[0,T0) é o intervalo onde L está definido, com T0 > T ′. Por localmente uniformemente elíptico, queremos dizer que para cadaK > 0, existe uma constante real λ > 0 tal que

n

∑i, j=1

Qi j(p, t,u,v)ξiξ j ≥ λ |ξ |2

para todo ξ ∈ T ∗p M, se p ∈ M, t ∈ [0, T ] com T < T, u ∈ R com |u| ≤ K e v ∈ T ∗p M com |v|g(p) ≤ K, isto é, quando osargumentos de Qi j estão em um compacto de seu domínio, então L é uniformemente elíptica. No caso de λ ser independenteda escolha de compactos, então L é dita uniformemente elíptica.

Como M é compacta e u0 é suave, então os máximos dessa função e de sua derivada ficam bem definidas, isto é, existeuma constante C > 0 tal que

|u0|+ |∇u0|g ≤C.

Como buscamos uma solução em tempo curto, podemos assumir que se

|u|+ |∇u|g + t ≥ 2C,

para alguma solução u, entãoQi j(p, t,u,∇u) = gi j(p) e b(p, t,u,∇u) = 0,

possivelmente modificando as funções Qi j e b com funções de corte. Ou seja, queremos considerar o operador Qi j∇2i j unifor-

memente elíptico (notemos que do modo que estamos supondo, os argumentos desse operador ficam em um compacto, o quepermite uma constante de elipticidade uniforme) e garantir que após um determinado tempo, tenhamos

Lu = ∆u.

Iniciemos considerando, para l ∈ N e T > 0 quaisquer, a aplicação F definida em Pl(M,T ) por

F(u) = (u0,ut −Lu) =(u(·,0),ut −Qi j(u)∇2

i ju−b(u)),


onde simplificamos a notação por Qi j(u) = Qi j(p, t,u,∇u) e b(u) = b(p, t,u,∇u), e assim o faremos no decorrer desta seção.Observemos que se L for linear, F coincide com o operador F definido na Proposição 1.1.9, e portanto, vimos que nesse caso

F(Pl(M,T ))⊂W 2l−1,2(M)×Pl−1(M,T ),

o que pode não ser verdade para o caso quase linear. Porém, se l for suficientemente grande, não só temos essa inclusão,como podemos garantir que F é uma aplicação C1. Isto é o que assegura o lema abaixo, ponto central para a demonstração doTeorema 1.2.6, objetivo deste capítulo.

Lema 1.2.3. Se l ∈ N satisfazl >

n4+1,

onde n é a dimensão de M, e u ∈ Pl(M,T ), então ∇u é contínua em M× [0,T ] e

F : Pl(M,T )→W 2l−1,2(M)×Pl−1(M,T )

é uma aplicação bem definida de classe C1.

Para demonstrar este Lema, utilizamos a seguinte proposição, que pode ser encontrada em [39] (Proposição 4.1).

Proposição 1.2.4. (Imersões Parabólicas de Sobolev) Suponhemos que T > 0 e sejam u ∈ Pl(M,T ) e p,q ∈N satisfazendop+2q≤ 2l. Tomemos

1r=

2l− p−2qn+2

,

onde n é a dimensão de M.

(i) Se1r< 0, então

‖∂ qt ∇

pu‖Lr(M×[0,T ]) ≤C‖u‖Pl(M,T ). (1.20)

(ii) Se1r= 0, então para todo s≥ 1,

‖∂ qt ∇

pu‖Ls(M×[0,T ]) ≤C‖u‖Pl(M,T ). (1.21)

(iii) Se1r> 0, então ∂

qt ∇pu é contínua e

‖∂ qt ∇

pu‖C0(M×[0,T ]) ≤C‖u‖Pl(M,T ). (1.22)

Em todos os casos C > 0 é constante independente de u.

Demonstração. (Lema 1.2.3) Para simplificar a notação, a menos de casos ambíguos, utilizaremos Pl = Pl(M,T ), Lq =Lq(M× [0,T ]), C0 =C0(M× [0,T ]), etc., e C0(Pl ;C1) denotará as aplicações contínuas de Pl à C1.

Notemos que a continuidade de ∇u segue diretamente da afirmação (1.22) da Proposição 1.2.4, tomando p = 1 e q = 0 eusando a hipótese 4l−n−4 > 0.

Agora, vamos mostrar que de fato F está bem definida para l suficientemente grande, isto é, que F(u) ∈W 2l−1,2×Pl−1

para todo u ∈ Pl .Observemos que a primeira componente de F está de fato em W 2l−1,2, apenas notando que o Lema 1.1.10 ainda vale neste

caso, pois temos a inclusão Pl(M,T ) → Pla(M). Também, temos que ut ∈ Pl−1, já que u ∈ Pl . Assim, pela definição de Pl−1,

basta demonstrarmos que∂

mt (Lu) = ∂

mt ∇

k(Qi j(u)∇2i ju+b(u)) ∈ L2,

para todo k ≤ 2((l−1)−m), onde 0≤ m≤ l−1.Como isso já ocorre para k < 2((l−1)−m), já que u ∈ Pl , então vamos tratar do caso k = 2((l−1)−m). Suponhamos,

sem perda de generalidade, que b(u) = 0 e Qi j(u)∇2i ju = Ai j(∇u)∇2

i ju, o qual denotaremos apenas por A(∇u)∇2u, para algumtensor A suave. Justificamos que quando b(u) é não nulo e Qi j(u) depende também das outras variáveis, podemos proceder


analogamente. Notemos que se todas as derivadas estiverem sobre o fator ∇2u de A(∇u)∇2u, então A(∇u)∂ mt ∇k∇2u ∈ L2,

pois k = 2((l−1)−m), u ∈ Pl e A(∇u) é uniformemente limitado, já que A é suave e como vimos, ∇u é contínua.Calculando ∂ m

t ∇k(A(∇u)∇2u) para cada um dos m e k satisfazendo k+2m = 2(l−1), temos uma soma com cada termoda forma

B(∇u)2l

∏p=1

l−1

∏q=0

∏|α|=p

(∂ qt ∇

pα u)σpqα , (1.23)

onde α é um multiíndice de ordem |α|, os expoentes σpqα são inteiros não-negativos e B é um tensor suave e limitado. Logo,como ∇u é contínuo, temos para cada um dos termos

|B(∇u)|2l

∏p=1

l−1

∏q=0

∏|α|=p

|∂ qt ∇

pα u|σpqα ≤C

2l

∏p=1

l−1

∏q=0|∂ q

t ∇pu|bpq ,

com bpq = ∑|α|=p σpqα ∈ N, o que implica que

‖∂ mt ∇

k(A(∇u)∇2u)‖L2 ≤∑C‖2l

∏p=1

l−1

∏q=0|∂ q

t ∇pu|bpq‖L2

≤∑C

(∫M×[0,T ]

2l

∏p=1

l−1

∏q=0|∂ q

t ∇pu|2bpq dµdt

) 12

.

(1.24)

SejaΛ = (p,q) | 1≤ p≤ 2l, 0≤ q≤ l−1 .

Observemos que, por indução em l ∈ N, temos

∑(p,q)∈Λ

bpq(p+2q−1) = 2l−1. (1.25)

Notemos que (p+ 2q− 1) > 0 sempre, caso contrário, se (p+ 2q− 1) = 0, temos p = 1 e q = 0, o que implica que ∇uaparece sozinho em (1.23), um absurdo. Se existe um (p,q) com bpq 6= 0 tal que ∂

qt ∇pu seja contínua pela afirmação (1.22)

da Proposição 1.19, então basta limitar o fator associado à esse expoente por uma constante e tomar bpq como sendo zero.Assim, a igualdade (1.25) fica

∑(p,q)∈Λ

bpq(p+2q−1)< 2l−1.

Por outro lado, se ao menos um (p,q) com bpq 6= 0 satisfaz 2(2l− p−2q) = n+2, isto é, estamos no caso (1.21) da Proposição1.19, temos que a equação (1.25) implica que

∑(p,q)∈Λ

bpq(p+2q−1)< 2l−1, (1.26)

ondeΛ = (p,q) ∈ Λ | 2(2l− p−2q) 6= n+2 ,

já que eliminamos ao menos um termo não nulo bpq(p+2q−1). Portanto, ou vale a desigualdade (1.26) ou nenhum dos bpqé nulo e não há fatores nos casos críticos das imersões. Neste caso, ou todas as derivadas estão em ∇2u e A(∇u)∂ m

t ∇k+2u élimitado em L2, ou existem no mínimo dois bpq que não são nulos.

Agora, na integral da desigualdade (1.24), para os fatores satisfazendo 2(2l− p−2q) 6= n+2, usamos a Desigualdade deHölder e a afirmação (1.20) da Proposição 1.19; para fatores com 2(2l− p−2q) = n+2, escolhemos um rpq suficientementegrande, com

1rpq

=12− 2l− p−2q

n+2> 0,


na afirmação (1.21) da Proposição 1.19, obtendo∫M×[0,T ]

∏(p,q)∈Λ

|∂ qt ∇

pu|2bpq dµdt ≤C ∏(p,q)∈Λ

(∫M×[0,T ]

|∂ qt ∇

pu|2bpqdpq dµdt

)dpq

=C ∏(p,q)∈Λ

(∫M×[0,T ]

|∂ qt ∇

pu|rpq dµdt)dpq

≤ ‖u‖∑(p,q)∈Λ

dpqrpq

Pl = ‖u‖∑(p,q)∈Λ

2bpq

Pl ,

ondedpq =

2bpq

rpq.

Notemos que podemos usar a Desigualdade de Hölder somente se a soma de todos os expoentes dpq com 2(2l− p−2q) 6= n+2é menor que 1, pois nos casos críticos, podemos tomar rpq suficientemente grande tal que dpq seja pequeno o suficiente, deforma que

‖∂ mt ∇

k(A(∇u)∇2u)‖L2 ≤∑C‖u‖∑(p,q)∈Λ

bpq

Pl ,

e o resultado segue. Logo, verifiquemos essa condição sobre os dpq, supondo que ao menos um dos inteiros bpq com 2(2l−p−1q) 6= n+2 seja não nulo, caso contrário é imediato. Para isso, notemos que

∑(p,q)∈Λ

dpq = ∑(p,q)∈Λ

2bpq

rpq= ∑

(p,q)∈Λ

2bpq

(12− 2l− p−2q

n+2

)

= ∑(p,q)∈Λ

2bpq

(12− 2l−1

n+2+

p+2q−1n+2

)

= ∑(p,q)∈Λ

2bpq

(12− 2l−1

n+2

)+ ∑

(p,q)∈Λ

2bpq

(p+2q−1

n+2

).

Se vale a desigualdade (1.26), temos

∑(p,q)∈Λ

dpq <

∑(p,q)∈Λ

2bpq

(12− 2l−1

n+2

)+22l−1n+2

< 1,

pois supomos que ao menos um bpq é não nulo e12− 2l− p−2q

n+2< 0, já que l >

n4+ 1. Porém, se a igualdade (1.25)

vale, vimos que ao menos dois bpq são não nulos, senão também é imediato. Logo, para todo (p,q) com bpq > 0, temos2(2l− p−2q) 6= n+2, o que implica que

∑(p,q)∈Λ

dpq = ∑(p,q)∈Λ

2bpq =

(12− 2l−1

n+2

)+2

2l−1n+2

≤ 4(

12− 2l−1

n+2

)+2

2l−1n+2

= 2−22l−1n+2

< 1,

pois l >n4+1. Portanto, como queríamos ∂ m

t ∇k(A(∇u)∇2u) ∈ L2, e assim F está bem definida.

Finalmente, verifiquemos que F é de classe C1, isto é, que dF∈C0(Pl ;L(Pl ;Pl−1)), onde L(Pl ;Pl−1) é o espaço de Banachde aplicações lineares limitadas de Pl em Pl−1. Novamente, supomos que b(u) = 0 e Qi j(u)∇2u = A(∇u)∇2u, para algumtensor suave A e consideremos agora a aplicação FA : Pl → Pl−1 definida por

FA(u) = A(∇u)∇2u.


Primeiramente, notemos que a derivada de Gâteaux,

(u,v) 7→ dFA(u)(v) =ddtFA(u+ εv)

∣∣∣ε=0

,

é uma aplicação contínua de Pl×Pl em Pl−1. De fato, FA(u)(v) é dada por

FA(u)(v) = D(∇u)∇v∇2u+A(∇u)∇2v,

onde D é um tensor suave. Analogamente como fizemos com F(u), podemos estimar cada termo da forma ∂ mt ∇k(D(∇u)∇v∇2u)

ou ∂ mt ∇k(A(∇u)∇2v), já que esses podem ser expressos como uma soma similar com termos da forma (1.23), sendo que nesse

caso, um termo linear de u é trocado por v. Observemos que, como v ∈ Pl , a continuidade de

(u,v) 7→ dFA(u)(v)

segue analogamente, o que implica que dFA(u) ∈ L(Pl ;Pl−1). Agora, para verificarmos que dF ∈C0(Pl ;L(Pl ;Pl−1)), temosque mostrar que

sup‖v‖Pl≤1

‖dFA(u)(v)−dFA(u)(v)‖Pl−1 → 0,

quando u→ u em Pl . Para isso, sem perda de generalidade, supondo termos

∇k(D(∇u)∇v∇

2u) e ∇k(A(∇u)∇2v),

sem derivadas no tempo, temos que mostrar que

sup‖v‖Pl≤1

‖B(u)∇i1 u · · ·∇i j u∇i j+1v−B(u)∇i1u · · ·∇i j u∇

i j+1v‖L2 → 0, (1.27)

quando u→ u em Pl , onde i1 + · · ·+ i j+1 = 2l − j. Novamente, justificamos que o caso com derivadas no tempo segueanalogamente. Observemos que∣∣B(u)∇i1 u · · ·∇i j u∇

i j+1v−B(u)∇i1u · · ·∇i j u∇i j+1v

∣∣=∣∣B(u)∇i1 u · · ·∇i j u∇

i j+1v−B(u)∇i1 u · · ·∇i j u∇i j+1v+B(u)∇i1 u · · ·∇i j u∇

i j+1v+ · · ·−B(u)∇i1u · · ·∇i j u∇i j+1v

∣∣≤(|B(u)−B(u)||∇i1 u| · · · |∇i j u|+ |B(u)||∇i1(u−u)||∇i2 u| · · · |∇i j u|+ · · ·+ |B(u)||∇i1u| · · · ||∇i j(u−u)||

)|∇i j+1v|.

Notemos que o primeiro termo tende à zero, pois B(u) é suave e limitado, e usando a Desigualdade de Hölder, a Proposição1.19 e que ‖v‖Pl ≤ 1, temos

C‖u‖α

Pl‖u‖β

Pl‖v‖γ

Pl‖u−u‖σ

Pl ≤C‖u‖α

Pl‖u‖β

Pl‖u−u‖σ

Pl ,

para uma constante C > 0 e os expoentes não negativos α,β ,γ e σ satisfazendo α +β + γ +σ ≤ 1 e σ > 0. Assim, temosque este último produto tende à zero em L2 quando u−u→ 0 em Pl , e logo, uniformemente para ‖v‖Pl ≤ 1. Segue portantoa desigualdade (1.27). Mostramos então que dFA ∈C0(Pl ;L(Pl ;Pl−1)), o que implica que a derivada de Gâteaux e a derivadade Frechét coincidem, ou seja, FA ∈C1(Pl ;Pl−1). Logo, F é de classe C1.

Consideremos a seguinte versão da Desigualdade de Gårding, para o caso quase linear, que será útil para mostrarmos aunicidade de solução do problema (1.1).

Lema 1.2.5. (Desigualdade de Gårding - caso quase linear) Se u ∈C∞(M× [0,T ]), então existe C > 0, dependendo apenasda norma C1 de Qi j tal que para todo t ∈ [0,T ), temos

−∫M

uQi j(u)∇2i judµ ≥ λ

2‖u‖2

W 1,2(M)−C‖u‖2L2(M).


Demonstração. Observemos que se u∈C∞(M× [0,T ]), definida em um compacto, então u e ∇u são limitadas, o que implicaque |Qi j|C1 é limitada. Logo, integrando por partes e utilizando a elipticidade uniforme de Qi j e as Desigualdades de Höldere de Young, temos

−∫M

uQi j(u)∇2i judµ =

∫M

∇i(uQi j(u))∇ judµ

=∫M

uQi j(u)∇iu∇ judµ +∫M

u(∇iQi j(u))∇ judµ

≥ λ

∫M|∇u|2dµ +

∫M

u(∇iQi j)∇ judmu

≥ λ

∫M|∇u|2dµ−K

∫M|u∇ ju|dmu

≥(

λ − ε

2K)‖u‖W 1,2(M)−

(λ +

12ε

)‖u‖L2(M).

Tomando

ε =λ

Ke C = λ +

K2λ

,

o resultado segue.

Finalmente, demonstremos o principal resultado deste capítulo.

Teorema 1.2.6. Para qualquer u0 ∈ C∞(M), existe um T > 0 para o qual o problema 1.1 possui uma única solução u ∈C∞(M× [0,T ]), que depende continuamente de u0 na topologia C∞.

Demonstração. Fixemos l ∈ N satisfazendo l >(n

4+1)

e tomemos a função u0 ∈C∞(M× [0,+∞)) definida por

u0(p, t) =l−1

∑m=0

am(p)tm

m!,

onde as funções a0, · · · ,al−1 ∈C∞(M) serão determinadas posteriormente. Logo, sendo u0 e u0 suaves, temos que o problemalinear

wt = Qi j(p, t, u0,∇u0)∇2i jw+b(p, t, u0,∇u0) em M× (0,T ],

w(·,0) := w0 = u0 em M×0.

possui um única solução w suave, pela Proposição 1.1.9 e pela Observação 1.2.2, já que Qi j(·, ·, u0,∇u0) e b(·, ·, u0,∇u0)permanecem suaves. Denotemos por [0,T ] o intervalo de existência de w como solução. Assim, temos

F(w) = (w0,wt −L(w)) =(u0,(Qi j(u0)−Qi j(w))∇2

i jw+b(u0)−b(w))= (u0, f ),

onde f ∈C∞(M× [0,T ]) é definido por

f := (Qi j(u0)−Qi j(w))∇2i jw+b(u0)−b(w).

Logo, a diferencial dF de F em w aplicada a um v ∈ Pl(M,T ) fica

dFw(v) =(v0,vt −Qi j(w)∇2

i jv−∂wQi j(w)v∇2i jw−∂wk Qi j(w)∇kv∇

2i jw−∂wb(w)v−∂wk b(w)∇kv

),

onde v0 := v(·,0) e ∂wk é a derivada com respeito à variável ∂kw. Notemos que, como dFw(v) = (z,h) ∈W 2l−1,2(M)×Pl−1(M,T ), então v é solução do problema linear

vt − Qi j∇2i jv− Rk∇kv− Sv = h,

v(·,0) = z,


onde Qi j =Qi j(w), Rk = ∂wk Qi j(w)∇kw∇2i jw+∂wk b(w) e S = ∂wQi j(w)∇2

i jw+∂wb(w) são funções suaves independentes de v.Pela Proposição 1.1.9, para cada (z,h) ∈W 2l−1,2(M)×Pl−1(M,T ) existe uma única solução v ∈ Pl(M,T ) desse problema, oque implica que dFw é um isomorfismo. Como F é C1 pelo Lema 1.2.3, então pelo Teorema da Inversa, F é um difeomorfismolocal de uma vizinhança U ⊂ Pl(M,T ) de w em uma vizinhança V ⊂W 2l−1,2(M)×Pl−1(M,T ) de (u0, f ).

Agora, notemos que podemos tomar am = ∂ mt w|t=0 ∈ C∞(M), para todo 0 ≤ m ≤ l− 1. De fato, definamos a0 = u0 e

suponhamos que para algum 1≤ m < l−1, temos a j = ∂j

t w|t=0 para todo 0≤ j ≤ m. Notando que o lado direito de

∂m+1t w

∣∣∣t=0

= ∂mt(Qi j(p, t, u0,∇

2i ju0)∇

2i jw+b(p, t, u0,∇

2i ju0)

)∣∣∣t=0

possui apenas derivadas em relação ao tempo de u0,∇u0 e ∇2i jw até ordem m, avaliadas em t = 0, então temos que essa

expressão depende apenas de a0, · · · ,am. Tomemos am+1 como sendo justamente esse lado direito. Assim, se começarmoscom m = 1 e iterarmos até l−1, temos o conjunto de funções a0, · · · ,al−1 desejado. Logo, como

∂mt u0|t=0 = am,

então ao tomar cada am = ∂ mt w|t=0, temos da definição de f , que

∂mt f |t=0 = 0 e ∇

j∂

mt f |t=0 = 0,

para todo 0≤ m≤ l−1 e j ∈ N.Logo, considerando, para cada k ∈ N, as funções fk : M× [0,T ]→ R definidas por

fk(p, t) =

0 t ∈ [0, 1

k ],

f (p, t− 1k ) t ∈ [ 1

k ,T ],

então temos que∇

j∂

mt fk→ ∇

j∂

mt f em L2(M× [0,T ]),

para todo 0≤ m≤ l−1, já que ∇ j∂ mt f |t=0 = 0 e ∇ j∂ m

t fk|t=0 é contínua, para cada 0≤ m≤ l−1 e j ∈ N. Logo,

fk→ f em Pl(M,T ).

Portanto, existe uma f ∈Pl−1(M,T ) tal que (u0, f ) pertence à vizinhança V de F(w) definida acima, e f = 0 em M× [0,T ′]para algum T ′ ∈ (0,T ]. Como F|U é um difeomorfismo entre U e V , então existe u ∈ U tal que F(u) = (u0, f ), isto é,u ∈ Pl(M,T ) é uma solução de 1.1 em M× [0,T ′]. Notemos que u ∈ C∞(M× [0,T ′]), já que podemos realizar o mesmoprocesso para encontrar uma solução em cada l + j, com j ∈ N, e temos que se trata da mesma u, possivelmente restringindoU, onde F é difeomorfismo.

No que segue, denotaremos, por praticidade, o tempo T ′ apenas por T.Para demonstrar a unicidade da solução, suponhamos que temos duas soluções suaves u,v : M× [0,T ]→ R de 1.1. Defi-

nindo w = u− v, temos

ddt

∫M

∣∣∇w∣∣2dµ =

∫M

2∇w∇(Qi j(u)∇2

i ju−Qi j(v)∇2i jv)

dµ +∫M

2∇w∇(b(u)−b(v))dµ

= 2∫M

∇w∇(Qi j(u)∇2

i jw)

dµ +2∫M

∇w∇((Qi j(u)−Qi j(v))∇2

i jv)

dµ

−2∫M

∇2w(b(u)−b(v))dµ

= 2∫M

∇w∇(Qi j(u)∇2

i jw)

dµ +2∫M

∇w2 ((Qi j(u)−Qi j(v))∇2i jv)

dµ

−2∫M

∇2w(b(u)−b(v))dµ

≤ 2∫M

∇w∇(Qi j(u)∇2

i jw)

dµ

+2∫M|∇2w|

(|Qi j(u)−Qi j(v)||∇2v|+ |b(u)−b(v)|

)dµ,


onde usamos integração por partes. Notemos que nas integrais, t está fixo.Integrando por partes e utilizando a Desigualdade de Gårding, Lema 1.2.5, obtemos∫

M∇w∇

(Qi j(u)∇2

i jw)

dµ =∫M

∇wQi j(u)∇3wdµ−∫M

∇w(∇

2w∇Qi j)dµ−∫M

∇w∇w∇2Qi jdµ

≤∫M

∇wQi j(u)∇3wdµ +C(∫

M|∇w||w|+ |∇2w||w|

)≤−λ

2‖∇w‖2

W 1,2(M)+C‖∇w‖2L2(M)+C

(∫M|∇w||w|+ |∇2w||w|

)≤−λ

2

∫M|∇2w|2dµ +C

(∫M|∇w||w|+ |∇2w||w|

),

onde C é constante que depende da norma C2 de Qi j(u), limitada já que u ∈C∞(M× [0,T ]). Assim, usando a Desigualdadede Young, temos

ddt

∫M

∣∣∇w∣∣2dµ ≤−λ

∫M|∇2w|2dµ +C

(∫M|∇w||w|+ |∇2w||w|

)+C

∫M|∇2w|

(|Qi j(u)−Qi j(v)||∇2v|+ |b(u)−b(v)|

)dµ

≤−λ

∫M|∇2w|2dµ +C

(∫M|∇w||w|+ |∇2w||w|

)+ ε0

∫M|∇2w|2dµ +Cε0

∫M|w|2dµ + ε1

∫M|∇2w|2dµ +Cε1

∫M|w|2dµ

+δ

∫M|∇2w|2dµ +Cδ

∫M

(|Qi j(u)−Qi j(v)|2 + |b(u)−b(v)|2

)dµ

≤−λ

2

∫M|∇2w|2dµ +C

(∫M|w|2 + |∇2w|2dµ

)+Cδ

∫M

(|Qi j(u)−Qi j(v)|2 + |b(u)−b(v)|2

)dµ,

onde escolhemos δ +ε0+ε1 = λ e usamos que |∇2v|. é limitada, já que v∈C∞(M× [0,T ]). Como Qi j e b são funções suaves,então

|Qi j(u)−Qi j(v)|2 + |b(u)−b(v)|2 ≤C(|u− v|2 + |∇u−∇v|2

)≤C

(|w|2 + |∇w|2

), (1.28)

o que implica que

ddt

∫M

∣∣∇w∣∣2dµ ≤−λ

∫M|∇2w|2dµ +C

(∫M|w|2 + |∇w|2

)dµ.

Novamente usando as Desigualdades de Gårding e de Young e a estimativa (1.28), temos

ddt

∫M

w2dµ = 2∫M

w(Qi j(u)∇2

i ju−Qi j(v)∇2i jv)

dµ +2∫M

w(b(u)−b(v))dµ

= 2∫M

wQi j(u)∇2i jwdµ +2

∫M

w((Qi j(u)−Qi j(v))∇2

i jv+b(u)−b(v))

dµ

≤−λ

2

∫M|∇w|2dµ +C

∫M

w2dµ +C∫M

w(Qi j(u)−Qi j(v)+b(u)−b(v)

)dµ

≤−λ

2

∫M|∇w|2dµ +C

∫M

w2dµ +C∫M

w(|Qi j(u)−Qi j(v)|2 + |b(u)−b(v)|2

)dµ

≤−λ

2

∫M|∇w|2dµ +C

∫M

w2dµ +C∫M

(|Qi j(u)−Qi j(v)|2 + |b(u)−b(v)|2

)dµ

≤C(∫

M|w|2 + |∇w|2dµ

).

Consideremos a seguinte interpolação de Gagliardo-Nierenberg ([7], Capítulo 2, Proposição 2.11): para todo 0 ≤ r ≤ 1,f ∈W 2

2 (M) e ε > 0, existe Cε constante tal que

‖∇r f‖2L2(M) ≤ ε‖∇2 f‖2

L2(M)+Cε‖ f‖2L2(M).

Logo, aplicando este resultado para algum ε = λ/2C, temos

ddt

∫M

(∣∣∇w∣∣2 +w2

)dµ ≤−λ

2

∫M|∇2w|2dµ +2Cε

∫M|∇2w|2dµ +2CCε

∫M

w2dµ

≤C∫M

w2dµ

≤C∫M

(∣∣∇w∣∣2 +w2

)dµ.

(1.29)

Notemos que w(·,0) = u0− v0 = 0 implica que∫M

(∣∣∇w∣∣2 +w2

)dµ

∣∣∣t=0

= 0.

Então, pelo Lema de Gronwall, temos que ∫M

(∣∣∇w∣∣2 +w2

)dµ = 0

em [0,T ], o que pela desigualdade (1.29), leva a∫M

w2dµ = 0, ou seja, w = 0 em [0,T ]. Portanto, temos a unicidade da

solução.Agora, demonstremos a dependência contínua de uma solução u∈C∞(M× [0,T ′]) sobre sua condição inicial u0 = u(·,0)∈

C∞(M).Seja l ∈N com l >

n4+1. Recordemos que F|U acima é um difeomorfismo tal que u = (F|U )−1(u0,0) ∈ Pl(M,T ). Como

u0 ∈ C∞(M) e existe uma sequência uk,0 ∈ C∞(M× [0,T ]) tal que uk,0 → u0, então uk,0 → u0 em W 2l−1,2(M). Logo, parak suficientemente grande, temos (uk,0,0) ∈ V, o que define uma sequência uk = (F|U )−1(uk,0,0) ∈U de únicas soluções emPl(M,T ) com dados iniciais uk,0 e com uk → u em Pl(M,T ). Pela unicidade dessas soluções, para qualquer l ∈ N com

l >n4+ 1, temos que uk → u em Pl(M,T ). Portanto, como para cada k ∈ N, existe um l ∈ N crescendo com k, tal que

Pl(M,T ) →Ck(M× [0,T ]), então uk→ u em C∞(M× [0,T ]).

27

28

Capítulo 2

O fluxo de curvatura média

Neste capítulo, definimos o fluxo de curvatura média e mostramos sua existência de uma solução suave e também a unici-dade e dependência contínua com relação à hipersuperfície inicial, em um curto intervalo de tempo, seguindo a demonstraçãoem [31], que na realidade pode ser estendida a outros fluxos envolvendo as curvaturas principais. Além disso, exibimos acaracterização desse fluxo como fluxo gradiente do funcional área e ao final apresentamos alguns exemplos e avaliamos emespecial duas classes de hipersuperfícies que possuem comportamento auto-similar, isto é, evoluem por contração ou expansãohomotética, e as que simplesmente passam a transladar com velocidade constante.

Ao longo deste capítulo, ϕ : (M,g)→Rn+1 denotará uma hipersuperfície suave, onde M é uma n-variedade suave, orien-tável e completa com ∂M= /0, e g é a métrica induzida pela imersão.

2.1 O fluxo de curvatura médiaIniciamos com a principal definição desta seção.

Definição 2.1.1. Seja ϕ0 : M→ Rn+1 uma imersão suave. Uma família a um parâmetro de imersões suaves ϕt : M→ Rn+1,com t ∈ [0,T ), para algum T ∈ [0,+∞), é uma solução do fluxo de curvatura média de ϕ0 se a aplicação ϕ : M× [0,T )→Rn+1, definida por ϕ(p, t) = ϕt(p), satisfaz o problema de evolução

∂ϕ

∂ t(p, t) = H(p, t)ν(p, t),

ϕ(p,0) = ϕ0(p),(2.1)

onde H(p, t) e ν(p, t) são respectivamente a curvatura média e a normal unitária de ϕt em p ∈M, apontando para dentro.

Ao longo do trabalho, por simplicidade, diremos apenas que ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 é uma hipersuperfície evoluindo pelacurvatura média.

Observemos que, pelas equações de Gauss-Weingarten, um fluxo de curvatura média ϕ satisfaz

∂ϕ

∂ t(p, t) = H(p, t)ν(p, t)

=(gi j(t)hi j(p, t)

)ν(p, t)

= gi j(t)(

∂ 2ϕ

∂xi∂x j(p, t)−Γ

ki j(t)

∂ϕ

∂xk(p, t)

)= gi j(t)∇g(t)

i ∇g(t)j ϕ(p, t) = ∆g(t)ϕ(p, t),

(2.2)

Notemos que o problema (2.1) trata-se de um sistema parabólico quase linear degenerado de segunda ordem, já que g é amétrica induzida pelo espaço ambiente da imersão ϕ (no nosso caso, o produto interno do espaço Euclidiano), logo depedentedas derivadas primeiras de ϕ, e o sistema (2.2) é invariante por difeomorfismos em direções tangenciais como veremos naProposição 2.2.1.

29

CAPÍTULO 2. O FLUXO DE CURVATURA MÉDIA 30

Veremos a seguir que a evolução de uma hipersuperfície pela curvatura média está naturalmente ligada à variação da áreasuperficial. Para isso precisamos de algumas definições.

Definição 2.1.2. O funcional área de uma hipersuperfície ϕ : (M,g)→ Rn+1 é definido por

Area(ϕ) =∫M

dµ,

onde µ é a medida canônica Riemanniana induzida por g.

Definição 2.1.3. Seja ε > 0. Uma ε-variação de uma hipersuperfície ϕ0 : (M,g)→ Rn+1 é uma família a um parâmetrot ∈ (−ε,ε) de imersões suaves ϕt : M→ Rn+1, satisfazendo ϕt

∣∣M\K = ϕ0

∣∣M\K para todo t ∈ (−ε,ε), onde K ⊂M é um

compacto. Considerando M como subvariedade de Rn+1, dizemos que o gerador infinitesimal de ϕt é o campo X =∂ϕt

∂ t

∣∣∣t=0

em M.

Notemos que se supp(X) = K e Area(ϕ0)< ∞, como todos ϕt diferem apenas no compacto K, temos também Area(ϕt)<∞. Além disso, dados uma imersão ϕ0 : (M,g)→Rn+1 e um campo de vetores X com suporte compacto em M, sempre temospelo Teorema de Existência e Unicidade de Equações Diferenciais Ordinárias que, para ε > 0 suficientemente pequeno, umaε-variação de ϕ0 é dada por

ϕt = ϕ0 + tX .

Assim, através de uma ε-variação e seu gerador infinitesimal associado, podemos pensar na variação de área superficial deuma hipersuperfície. Para vermos que esta variação está ligada ao vetor de curvatura média, primeiro enunciamos um resultadoconhecido como Fórmula de Jacobi, cuja demonstração, uma consequência da Regra da Cadeia, pode ser encontrada em [37](parte 3, seção 8.3).

Lema 2.1.4. (Fórmula de Jacobi) Para toda aplicação diferenciável A : R→GLn(R), tem-se

∂ detA∂ t

(t) = detA(t) tr(

A−1(t)∂A∂ t

(t)).

Proposição 2.1.5. Seja ϕt : M→ Rn+1 uma ε-variação de uma hipersuperfície ϕ0 : (M,g)→ Rn+1 e seja X o geradorinfinitesimal de ϕt . Então

∂

∂ tArea(ϕt)

∣∣∣t=0

=−∫M

H 〈X ,ν〉dµ.

Demonstração. Primeiro, notemos que

∂gi j

∂ t

∣∣∣t=0

=∂

∂ t

⟨∂ϕt

∂xi,

∂ϕt

∂x j

⟩∣∣∣t=0

=

⟨∂

∂xi

∂ϕt

∂ t,

∂ϕt

∂x j

⟩∣∣∣t=0

+

⟨∂

∂x j

∂ϕt

∂ t,

∂ϕt

∂xi

⟩∣∣∣t=0

=

⟨∂X∂xi

,∂ϕ0

∂x j

⟩+

⟨∂X∂x j

,∂ϕ0

∂xi

⟩=

∂

∂xi

⟨X ,

∂ϕ0

∂x j

⟩+

∂

∂x j

⟨X ,

∂ϕ0

∂xi

⟩−2⟨

X ,∂ 2ϕ0

∂xi∂x j

⟩.

Pela decomposição natural X = XM⊕X⊥ em componentes tangencial e normal respectivamente e utilizando as equações de

Gauss-Weingarten, temos que

∂gi j

∂ t

∣∣∣t=0

=∂

∂xi

⟨XM,

∂ϕ0

∂x j

⟩+

∂

∂x j

⟨XM,

∂ϕ0

∂xi

⟩−2⟨

XM,∂ 2ϕ0

∂xi∂x j

⟩−2⟨

X⊥,∂ 2ϕ0

∂xi∂x j

⟩=

∂

∂xi

⟨XM,

∂ϕ0

∂x j

⟩+

∂

∂x j

⟨XM,

∂ϕ0

∂xi

⟩−2Γ

ki j

∂

∂xi

⟨XM,

∂ϕ0

∂xk

⟩−2hi j 〈X ,ν〉 .

Além disso, considerando a 1-forma w definida por

wi = w(

∂

∂xi

)= g

(dϕ∗0

(XM

),

∂

∂xi

)=

⟨XM,

∂ϕ0

∂xi

⟩,

2.1. O FLUXO DE CURVATURA MÉDIA 31

temos que

∂gi j

∂ t

∣∣∣t=0

=∂w j

∂xi+

∂wi

∂x j−2Γ

ki jwk−2hi j 〈X ,ν〉

= ∇iw j +∇ jwi−2hi j 〈X ,ν〉 .

Segue da Fórmula de Jacobi, que

∂

∂ t

√det(gi j)

∣∣∣t=0

=12

√det(gi j)

(gi j ∂gi j

∂ t

∣∣∣t=0

)=

12

√det(gi j) gi j (∇iw j +∇ jwi−2hi j 〈X ,ν〉)

=√

det(gi j)(gi j

∇iw j−gi jhi j 〈X ,ν〉)

=√

det(gi j)(

divXM−H 〈X ,ν〉).

Assim, supondo que o compacto supp(X) = K está contido em uma única carta coordenada - do contrário basta considerarmosuma partição da unidade - segue, pelo Teorema da Divergência, que

∂

∂ tArea(ϕt)

∣∣∣t=0

=∂

∂ t

(∫M

dµt

)∣∣∣t=0

=∂

∂ t

(∫K

dµt

)∣∣∣t=0

=∂

∂ t

(∫K

√det(gi j)dL n

)∣∣∣t=0

=∫

K

∂

∂ t

√det(gi j)

∣∣∣t=0

dL n

=∫

K

(divXM−H 〈X ,ν〉

)√det(gi j)dL n

=∫M

(divXM−H 〈X ,ν〉

)dµ

=−∫M

H 〈X ,ν〉dµ.

A Proposição 2.1.5 nos diz que o funcional área decresce quando a hipersuperfície evolui pela curvatura média. Mas daequação (2.2) sabemos que o fluxo de curvatura média satisfaz

∂ϕ

∂ t= ∆ϕ = Hν ,

o que implica que, ao considerarmos a norma L2(µ) induzida pelo produto interno

〈 f ,g〉µ=∫M

f gdµ,

temos que o fluxo de curvatura média se comporta como um fluxo gradiente. Portanto, a área da hipersuperfície tende adecrescer mais rapidamente ao evoluir pela curvatura média com

∂

∂ tArea(ϕt) =−

∫M

H2dµt .

Integrando obtemos ∫ Tmax

0

∫M

H2dµt ≤ Area(ϕ0) ,


onde [0,Tmax] é ointervalo maximal de existência de uma solução suave do fluxo, o qual veremos nas próximas seções que defato existe. Notemos também que a Proposição 2.1.5 também implica que os pontos críticos do funcional área são superfíciesmínimas, já que teríamos que ter ∫

MH 〈X ,ν〉dµ = 0,

para todo X com suporte compacto, isto é, H = 0 sempre.

2.2 Invariância

O fluxo de curvatura média e o funcional área são ambos invariantes por isometrias de Rn+1 (mais geralmente, do es-paço ambiente na imersão). De fato, isometrias preservam ângulos, comprimentos e, localmente, a curvatura e a medidaRiemanniana. Além disso, pode-se verificar a invariância por rescaling. De fato,

Area(λϕ) =∫M

dµλ =∫M

λn√detgi j dL n = λ Area(ϕ)

e∂ (λϕ)

∂ t(p,λ−2t) =

1λ

∂ϕ

∂ t(p, t) =

Hλ

ν ,

isto é, ϕ(p, t) = λϕ(p,λ−2t) continua sendo um fluxo de curvatura média, agora de λϕ0.Em especial, uma importante caracterização do fluxo de curvatura média é de que componentes tangenciais do vetor

velocidade não alteram a evolução da hipersuperfície inicial, resultado da proposição a seguir.

Proposição 2.2.1. Consideremos uma hipersuperfície ϕ0 : M→Rn+1 compacta e seja ϕt : M→Rn+1, t ∈ [0,T ), uma famíliade imersões suaves satisfazendo

∂ϕ

∂ t(p, t) = H(p, t)ν(p, t)+X(p, t),

ϕ(p,0) = ϕ0(p),(2.3)

onde X é um campo vetorial suave dependente do tempo em M tal que X(p, t) ∈ dϕt(TpM) para todo p ∈M e todo t ∈[0,T ). Então existe uma única família de reparametrizações globais das imersões ϕt , para todo t ∈ [0,T ), que é solução dofluxo de curvatura média (2.1). Reciprocamente, se uma família de imersões suaves ϕt : M→ Rn+1, t ∈ [0,T ) admite umareparametrização global, para t ∈ [0,T ), que é uma solução do fluxo de curvatura média (2.1), então a aplicação ϕ : M×[0,T )→ Rn+1, definida por ϕ(p, t) = ϕt(p), é uma solução do problema (2.3), para algum campo vetorial X dependente dotempo com X(p, t) ∈ dϕt(TpM), para todo p ∈M e t ∈ [0,T ).

Demonstração. Sendo M é compacta, então X é completo e como X é suave e X(p, t) ∈ dϕt(TpM) para todo p ∈M et ∈ [0,T ), temos que o campo vetorial em M dado por

Y (p, t) =−(dϕt)−1 (X(p, t)) ∈ TpM

está bem definido globalmente para todo p ∈M e t ∈ [0,T ) e é suave. Do Teorema de Picard-Lindelöf (Proposição 1.5 de[44]), sabemos que existe uma única família suave de difeomorfismos Ψt : M→M, com t ∈ [0,T ), tal que Ψ : M× [0,T )→M

definida por Ψ(p, t) = Ψt(p) é a única solução do problema∂Ψ

∂ t(p, t) = Y (Ψ(p, t), t),

Ψ(p,0) = p.(2.4)

Considerando reparametrizações dadas porϕ(p, t) = ϕ(Ψ(p, t), t),

2.2. INVARIÂNCIA 33

então, pela Regra da Cadeia, temos que

∂ ϕ

∂ t(p, t) = dϕt(Ψ(p, t))

(∂Ψ

∂ t(p, t)

)+

∂ϕ

∂ t(Ψ(p, t), t)

= dϕt(Ψ(p, t))(Y (Ψ(p, t), t))+H(Ψ(p, t), t)ν(Ψ(p, t), t)+X(Ψ(p, t), t)

= dϕt(Ψ(p, t))(−(dϕt)−1 (X(Ψ(p, t), t)))+H(Ψ(p, t), t)ν(Ψ(p, t), t)+X(Ψ(p, t), t)

=−X(Ψ(p, t), t)+H(Ψ(p, t), t)ν(Ψ(p, t), t)+X(Ψ(p, t), t)

= H(Ψ(p, t), t)ν(Ψ(p, t), t)

= H(p, t)ν(p, t).

Portanto, temos que ϕ é uma solução do problema (2.1) e notemos que para todo p ∈M,

ϕ0(p) = ϕ(p,0) = ϕ (Ψ(p,0),0) = ϕ(p,0) = ϕ0(p).

Observemos que se ϕ ′(p, t) = ϕ (Ψ′(p, t), t) é uma reparametrização global qualquer de ϕ que é uma solução do problema(2.1), onde Ψ′ : M× [0,T )→M define uma família de difeomorfismos Ψ′(·, t) = Ψt : M→M com Ψ′(·,0) = IdM, entãopela injetividade de dϕt , temos que Ψ′ é uma solução do problema (2.4), e portanto, pela unicidade de solução devemos terΨ′ = Ψ.

Agora, reciprocamente, suponha que ϕ(p, t) = ϕ(Ψ(p, t), t) é uma reparametrização global de ϕ que é uma solução doproblema (2.1), onde Ψ : M× [0,T )→M define uma família de difeomorfismos Ψ(·, t) = Ψt : M→M com Ψ(·,0) = IdM .Como, pela Regra da Cadeia, temos

∂ ϕ

∂ t(p, t) = dϕt(Ψ(p, t))

(∂Ψ

∂ t(p, t)

)+

∂ϕ

∂ t(Ψ(p, t), t)

e, por hipótese,∂ ϕ

∂ t(p, t) = H(p, t)ν(p, t) = H(Ψ(p, t), t)ν(Ψ(p, t), t),

então∂ϕ

∂ t(q, t) = H(q, t)ν(q, t)−dϕt(q)

(∂Ψ

∂ t(Ψ−1

t (q), t)),

para todo q ∈M e t ∈ [0,T ), já que Ψt é difeomorfismo. Então, definindo o campo vetorial X por

X(q, t) =−dϕt(q)(

∂Ψ

∂ t

(Ψ−1t (q), t

))∈ dϕt (TqM) ,

temos que ϕ é uma solução do problema (2.3).

Observação 2.2.2. No caso em que M é não compacta, só conseguimos garantir existência local de uma solução para osistema (2.4) em torno de um ponto (p, t), ou seja, temos apenas uma reparametrização local das imersões ϕt que satisfaz 2.1.A recíproca não é verdadeira.

Notando em uma imersão isométrica ϕ : M→ Rn+1 a decomposição natural do fibrado tangente

Rn+1 = Tϕ(p)Rn+1 = TpM⊕

TpM⊥,

podemos reescrever a Proposição 2.2.1 como a seguir.

Corolário 2.2.3. Se uma aplicação ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 é tal que ϕ(·, t) = ϕt , t ∈ [0,T ) é uma família de imersões suaves

satisfazendo⟨

∂ϕ

∂ t, ν

⟩= H, então ϕ pode ser reparametrizada localmente de forma a ser um fluxo de curvatura média. Se

M é compacta, esta reparametrização pode ser feita globalmente de maneira única, digamos ϕ , tal que ϕ(p,0) = ϕ0(p) paratodo p ∈M.

Assim, podemos tomar hipersuperfícies evoluindo pela curvatura média a menos de reparametrizações, e portanto considerá-las como subconjuntos de Rn+1. Dessa forma, podemos considerar uma família de imersões suaves como sendo um fluxo decurvatura média desde que tenhamos a existência local de uma família de reparametrizações satisfazendo o sistema (2.1).


2.3 Solução em tempo pequenoSeguiremos com o principal resultado deste capítulo. Observamos que há diferentes demonstrações na literatura, inclusive

para fluxos de curvatura média mais gerais, considerando codimensões mais altas e até mesmo não suavidade para a hipersu-perfície inicial (neste caso perde-se a unicidade). Seguimos a abordagem intuitiva e adaptável a outras situações, como o fluxode curvatura Gaussiana ou o fluxo de curvatura média inversa, utilizada em [31], transladando o problema (2.1), que é um sis-tema degenerado, a uma equação parabólica não-degenerada, através de uma função altura definida a partir da hipersuperfícieinicial.

Teorema 2.3.1. Consideremos uma hipersuperfície inicial compacta e suave ϕ0 : M→ Rn+1. Então existe um T > 0 tal quehá uma única solução suave do problema (2.1) em [0,T ) e que depende continuamente de ϕ0 na topologia C∞.

Demonstração. Demonstraremos o caso em que ϕ0 é um mergulho. Como M é compacta, então é orientável e logo o campovetorial normal unitário apontando para dentro ν0 está definido globalmente e é suave. Notemos que uma solução ϕ suaveem tempo pequeno do problema (2.1) é uma imersão, já que ϕ0 é uma imersão compacta, e portanto para t suficientementepróximo de zero, ϕt a derivada dϕt continua sendo não-singular. Assim, pela Proposição 2.2.1 e o Corolário 2.2.3, bastaencontrarmos uma solução suave de

⟨∂ϕ

∂ t(p, t),ν(p, t)

⟩= H(p, t),

ϕ(p,0) = ϕ0(p).(2.5)

Como ϕ0 é um mergulho e M é compacta, existe uma vizinhança tubular

Ω =

x ∈ Rn+1 | dist(x,ϕ0(M))< ε

de ϕ0(M), para ε > 0 suficientemente pequeno, e regular, isto é, a aplicação Ψ : M× (−ε,ε)→Ω definida por

Ψ(p,s) = ϕ0(p)+ sν0(p)

é um difeomorfismo. Isto significa que qualquer deformação pequena de ϕ0(M) que permaneça em Ω pode ser representadacomo um gráfico de uma função altura f sobre ϕ0(M) e reciprocamente, para qualquer função f : M→ R, com f (M) ⊂(−ε,ε), podemos associar a hipersuperfície ϕ : M→ Rn+1 com ϕ(M)⊂Ω dada por

ϕ(p) = ϕ0(p)+ f (p)ν0(p).

Portanto, supondo que a cada t ∈ [0,T ), para algum T > 0, temos uma função ft : M→ Rn+1 com ft(M) ⊂ (−ε,ε), entãopodemos associar a cada t, a hipersuperfície ϕt : M→ Rn+1 com ϕt(M)⊂Ω dada por

ϕt(p) = ϕ0(p)+ ft(p)ν0(p).

Assim, definindo f0 = 0 e considerando as aplicações f : M× [0,T )→ R dada por f (p, t) = ft(p) e ϕ : M× [0,T )→ Rn+1

dada por ϕ(p, t)=ϕt(p), temos ϕ(p, t)=ϕ0(p)+ f (p, t)ν0(p). Queremos transladar o sistema (2.5) a um problema parabólicoem f .

Para isso, fixe p ∈M. Primeiro, vamos calcular os elementos geométricos associados a cada hipersuperfície ϕt .Comecemos pela métrica. Pelas equações de Gauss-Weingarten, temos que

gi j(p, t) =⟨

∂ϕt

∂xi,

∂ϕt

∂x j

⟩=

⟨∂ϕ0

∂xi+

∂ ft∂xi

ν0 + ft∂ν0

∂xi, ;

∂ϕ0

∂x j+

∂ ft∂x j

(p)ν0 + ft∂ν0

∂x j

⟩=

⟨∂ϕ0

∂xi+

∂ ft∂xi

ν0− fthiα(p,0)gαk(p,0)∂ϕ0

∂xk,

∂ϕ0

∂x j+

∂ ft∂x j

ν0− fth jβ (p,0)gβ l(p,0)∂ϕ0

∂xl

⟩= gi j(p,0)−2 ft(p)hi j(p,0)+ f 2

t (p)hik(p,0)gkl(p,0)hl j(p,0)+∂ ft∂xi

(p)∂ ft∂x j

(p).

2.3. SOLUÇÃO EM TEMPO PEQUENO 35

Agora, calculemos a normal unitária apontando para dento. Como

∂ϕt

∂xi(p)n

i=1é uma base de TpM, então considerando a

componente em TpM⊥ de ν0 e que o vetor normal ν0(p) ∈ Rn+1 aponta para dentro, temos que o vetor normal unitário na

hipersuperfície ϕt em p é

ν(p, t) =ν0(p)−

⟨ν0,

∂ϕt∂xi

⟩gi j(p, t) ∂ϕt

∂x j(p)∣∣∣ν0(p)−

⟨ν0,

∂ϕt∂xi


∂x j(p)∣∣∣

=ν0(p)−

⟨ν0,

∂ϕ0∂xi

+ ∂ ft∂xi

ν0− fthiα(p,0)gαk(p,0) ∂ϕ0∂xk


∂x j(p)∣∣∣ν0−

⟨ν0(p), ∂ϕ0

∂xi+ ∂ ft

∂xiν0− fthiα(p,0)gαk(p,0) ∂ϕ0

∂xk


∂x j(p)∣∣∣

=ν0(p)− ∂ ft

∂xi(p)gi j(p, t) ∂ϕt

∂x j(p)∣∣∣ν0(p)− ∂ ft

∂xi(p)gi j(p, t) ∂ϕt

∂x j(p)∣∣∣ .

Observemos que para todo t suficientemente próximo de zero, o denominador acima é uniformemente limitado inferiormentepor zero, já que M é compacta. Também, notemos que a normal, a métrica e sua inversa dependem portanto, somente dasprimeiras derivadas no espaço de f e são suaves, pois f0(p) = f (p,0) e ∇ f0(p) = ∇ f (p,0) são nulas para todo p ∈M. Logo,para a segunda forma fundamental, temos que

hi j(p, t) =⟨

ν(p, t),∂ 2ϕt

∂xi∂x j(p)⟩=

⟨ν(p, t),

∂

∂xi

(∂ϕ0

∂xi+

∂ ft∂xi

ν0− fth jβ (p,0)gβ l(p,0)∂ϕ0

∂xl

)⟩=

⟨ν(p, t),

∂ 2 ft∂xix j

ν0 +∂ 2ϕ0

∂xi∂x j− ∂ ft

∂xihk

j(0)∂ϕ0

∂xk− ∂ ft

∂x jhl

i(0)∂ϕ0

∂xl+ ft

∂ 2ν0

∂xi∂x j

⟩=

⟨ν(p, t),

∂ 2 ft∂xix j

ν0

⟩+Pi j (p, ft(p),∇ ft(p)) ,

onde Pi j é uma forma suave quando | ft | e |∇ ft | são suficientemente próximas de zero, ou seja, quando t é próximo de zero.Assim, tomando coordenadas normais ao redor de p ∈M com respeito à métrica g(t), temos que a curvatura média é dada por

H(p, t) = gi j(p, t)hi j(p, t) = gi j(p, t)⟨

ν(p, t),∂ 2 ft∂xix j

ν0

⟩+gi j(p, t)Pi j (p, ft(p),∇ ft(p))

= gi j(p, t)∂ 2 ft∂xix j

(p)〈ν(p, t),ν0(p)〉+gi j(p, t)Pi j (p, ft(p),∇ ft(p))

= ∆g(t) ft 〈ν(p, t),ν0(p)〉+P(p, ft(p),∇ ft(p)) ,

onde P é uma função suave, novamente assumindo que f e ∇ f são pequenos. Logo, notando que⟨∂ϕ

∂ t(p, t),ν(p, t)

⟩=

∂ f∂ t

(p, t)〈ν0(p),ν(p, t)〉 ,

então⟨

∂ϕ

∂ t, ν

⟩= H é equivalente à

∂ f∂ t

(p, t)〈ν0(p),ν(p, t)〉= ∆g(t) f 〈ν(p, t),ν0(p)〉+P(p, f (p, t),∇ f (p, t)) .

Dividindo ambos os lados por 〈ν(p, t),ν0(p)〉, o qual podemos assumir não nulo para um t suficiente próximo de zero, temos

∂ f∂ t

(p, t) = ∆g(t) f +P(p, f (p, t),∇ f (p, t))〈ν(p, t),ν0(p)〉

= ∆g(t) f +Q(p, f (p, t),∇ f (p, t)),


onde Q(p, ·, ·) é uma função suave quando suas componentes são relativamente pequenas. Como os coeficientes de ∆g(t)convergem suavemente aos coeficientes de ∆g(0), quando t → 0, então para t suficientemente próximo de zero, temos que osoperadores ∆g(t) são estritamente uniformemente elípticos.

Portanto, encontrarmos uma solução do problema (2.5) é equivalente à encontrarmos uma solução suave f : M× [0,T )→R, para algum T > 0 do problema

∂ f∂ t

(p, t) = ∆g(t) f (p, t)+Q(p, f ,∇ f ),

f (p,0) = 0.(2.6)

Reciprocamente, se temos uma solução suave ϕ do fluxo de curvatura média de ϕ0 tal que para t suficientemente próximo dezero, as hipersuperfícies ϕt permanecem mergulhadas na vizinhança tubular de ϕ0(M), então a função

f (p, t) = π(−ε,ε)

(Ψ−1(ϕ(p, t))

)é suave e

f (p,0) = π(−ε,ε)

(Ψ−1(ϕ0(p))

)= π(−ε,ε) ((p,0)) = 0,

onde π(−ε,ε) é a aplicação projeção na segunda componente de M× (−ε,ε). Notemos que f é de fato solução do problema(2.6), pelo que já calculamos. Como sabemos que ∆g(t) são uniformemente elípticos, para t próximo de zero, então temosno problema (2.6) uma equação parabólica quase linear de segunda ordem não-degenerada. Logo, pelo Teorema 1.2.6 doCapítulo 1, o problema (2.6) possui uma única solução suave f em um intervalo [0,T ), e dependente continuamente def (p,0) na topologia C∞. Considerando a aplicação associada ϕ = ϕ0 + f ν0 e possivelmente restringindo [0,T ) para que todasϕt sejam imersões, podemos aplicar o Corolário 2.2.3 para obtermos o resultado. Notemos que dentro da vizinhança tubularregular Ω, a associação f ϕ é injetora, já que Ψ é um difeomorfismo.

Observação 2.3.2.

(i) Se a hipersuperfície não é mergulhada, não garantimos a existência de uma vizinhança tubular regular. Entretantopodemos ainda obter uma vizinhança tubular generalizada, como na seção 2.1 de [40], de forma a garantir a associaçãobijetora entre a função altura f e ϕ, e proceder analogamente.

(ii) Observe que se considerarmos a hipersuperfície como subconjunto de Rn+1, a unicidade de solução fica também garan-tida, visto que o fluxo de curvatura média é invariante por reparametrização.

(iii) O resultado para o caso não compacto também é verdadeiro, mas sob restrições na norma uniforme da segunda formafundamental da hipersuperfície inicial, como em [15].

2.4 ExemplosNesta seção apresentaremos alguns exemplos de solução para o problema (2.1), os quais servirão para elucidar resultados

dos demais capítulos.

2.4.1 Superfícies mínimasQualquer superfície mínima é solução do problema (2.1) uma vez que H = 0 sempre e portanto são invariantes pelo fluxo

de curvatura média.

2.4.2 Gráficos de funçõesSe a hipersuperfície ϕ : M→Rn+1 é localmente o gráfico de uma função f : Rn+1→R, isto é, ϕ(x) = (x, f (x)), para todo

x ∈M, então de cálculos diretos, temos que

• gi j = δi j + fi f j;

• gi j = δi j−Hessi j f

1+ |∇ f |2;

2.4. EXEMPLOS 37

• ν =− (∇ f ,−1)√1+ |∇ f |2

;

• hi j =Hessi j f√1+ |∇ f |2

e

• H =∆ f√

1+ |∇ f |2− Hess f (∇ f ,∇ f )(√

1+ |∇ f |2)3 = div

(∇ f√

1+ |∇ f |2

).

Observemos que se M for localmente o conjunto de zeros de uma função suave f : Rn+1 → R, com ∇ f 6= 0 em talconjunto de nível, temos

H =∆ f|∇ f |

− Hess f (∇ f ,∇ f )|∇ f |3

= div(

∇ f|∇ f |

).

Se as hipersuperfícies suaves ϕt : M→ Rn+1 evoluindo pela curvatura média, são localmente gráficos em algum aberto Ω dohiperplano 〈e1, · · · ,en〉 ⊂ Rn+1, isto é, se temos uma função suave f : Ω× [0,T )→ R tal que

ϕ(p, t) = (x1(p), · · · ,xn(p), f (x1(p), · · · ,xn(p), t)) ,

então

∂ f∂ t

= ∆ f − Hess f (∇ f ,∇ f )1+ |∇ f |2

=√

1+ |∇ f |2 div

(∇ f√

1+ |∇ f |2

).

Reciprocamente, se uma função f satisfaz a equação acima, então seu gráfico é uma hipersuperfície evoluindo pela curvaturamédia.

2.4.3 EsferasConsideremos uma esfera de raio R> 0 que, pela invariância à translação do fluxo, podemos assumir centrada na origem de

Rn+1. Como a curvatura média é constante igual à n/R, e como a normal unitária aponta para dentro em nossas considerações,a equação de evolução para o raio da esfera satisfaz R′(t) =

nR(t)

,

R(0) = R.

De fato, se M= Sn e

ϕ(p, t) =R(t)

Rϕ0(p),

sendo ϕ0 a imersão usual de Sn em Rn+1, então temos

R′(t)R

ϕ0(p) =∂

∂ tϕ(p, t) = H(p, t)ν(p, t) =− n

Rϕ0(p)R(t)

,

que é uma Equação Diferencial Ordinária. Ao ser integrada obtemos

R(t) =√

R2−2nt.

Assim, notemos que no tempo

Tmax =R2

(2n)

a esfera se contrai a um ponto e há então uma singularidade no fluxo. Neste caso, dizemos que Tmax é o tempo maximal deexistência suave. Logo, podemos escrever a evolução do raio por

R(t) =√

2n(Tmax− t)


e durante o fluxo nesse intervalo maximal de existência suave, [0,Tmax), temos que a norma da segunda forma fundamentalevolui por

|A(t)|=√

nR(t)

=1√

2(Tmax− t).

2.4.4 CilindrosEm geral, podemos ver que se ϕ : M× [0,T )→ Rm+1 é um fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície M de Rm+1,

então a aplicação ϕ : (M×Rn−m)× [0,T )→ Rm+1×Rn−m = Rn+1, definida por

ϕ(p,s, t) = (ϕ(p, t),s) ,

é o fluxo de curvatura média da imersão da variedade produto M×Rn−m em Rn+1. Logo, do Exemplo 2.4.3, temos quecilindros Sm(R)×Rn−m, de raio R > 0 também contraem homoteticamente, evoluindo conforme

R(t) =√

R2−2mt,

e contraindo ao subespaço 0×Rn−m no tempo

Tmax =R2

2m.

Novamente, notemos que a norma da segunda forma fundamental satisfaz

|A(t)|= 1√2(Tmax− t)

.

2.4.5 Neckpinch

Figura 2.1: Hipersuperfície inicial. Fonte: [42].

Consideremos um cilindro finito de raio r > 0, de comprimento L > 0, simétrico na origem, conectado suavemente nosextremos à duas esferas de raio R>> r, ambos mergulhados em R3, assim como na Figura 2.1. Chamamos essa hipersuperfciede dumbbell ou neckpinch. Vimos nos exemplos anteriores que ambos o cilindro e a esfera se contraem homoteticamente atécolapsarem no tempo TS2 = R2/4 e TS2×R = r2/4, respectivamente. Assim, temos que o cilindro contrai antes que as esferas,sendo que Grayson demonstrou em [19], usando o Princípio da Comparação (Teorema 3.3.1 do Capítulo 3), que no tempoTS2×R a hipersuperfície tem a forma de duas gotas de água conectadas simetricamente na origem por suas cúspides, comomostra a Figura 2.2.

Figura 2.2: Formação da singularidade. Fonte: [42].

Em [41], encontra-se uma animação desse processo.

2.4. EXEMPLOS 39

2.4.6 Hipersuperfícies contraindo homoteticamenteDizemos que uma hipersuperfície contrai homoteticamente se, durante a evolução pela curvatura média elas se move por

auto-contração. Esferas e cilindros são exemplos de fluxos que contraem homoteticamente. Usualmente, tais hipersuperfíciessão ditas self-shrinkers e fazem parte da classe dos chamados sólitons auto-similares. A seguir, veremos uma caracterizaçãofundamental dessas hipersuperfícies.

Proposição 2.4.1. Se uma hipersuperfície ϕ0 : M→ Rn+1 satisfaz

H(p)+λ 〈ϕ0(p)− x0,ν0(p)〉= 0, (2.7)

em cada p ∈M, para alguma constante λ > 0 e x0 ∈Rn+1, então, ao evoluir pela curvatura média, contrai homoteticamente.Reciprocamente, se ϕ : M× [0,T )→Rn+1 é um fluxo de curvatura média por contração homotética, ao redor de algum pontox0 ∈ Rn+1 no intervalo de tempo maximal de existência suave, então ou H = 0 ou

H(p, t)+〈ϕ(p, t)− x0,ν(p, t)〉

2(T − t)= 0 (2.8)

para cada p ∈M e t ∈ [0,T ).

Demonstração. Suponhamos primeiro que a hipersuperfície inicial (M,ϕ0) satisfaça a equação (2.7). Assim, considerandoa aplicação definida por

ϕ(p, t) = x0 +√

1−2λ t(ϕ0(p)− p),

temos que

〈∂tϕ(p, t),ν(p, t)〉=−λ 〈ϕ0(p)− x0,ν(p, t)〉√1−2λ t

=H(p,0)√1−2λ t

= H(p, t),

pois ν(p, t) = ν0(p). Logo, pelo Corolário 2.2.3, temos que ϕ é um fluxo de curvatura média de ϕ0.Reciprocamente, se a aplicação definida por

ϕ(p, t) = x0 + f (t)(ϕ0(p)− x0)

é um fluxo de curvatura média por contração homotética, para alguma função suave positiva f : [0,T )→ R satisfazendo

f (0) = 1, limt→T

f (t) = 0 e f ′(t)≤ 0,

então temos que 〈∂tϕ,ν〉= H, o que implica que

H(p,0) = f (t)H(p, t)

= f (t)〈∂tϕ(p, t),ν(p, t)〉= f (t) f ′(t)〈ϕ0(p)− x0,ν(p, t)〉= f ′(t)〈 f (t)(ϕ0(p)− x0),ν(p, t)〉= f ′(t)〈ϕ(p, t)− x0,ν(p, t)〉 .

(2.9)

Notemos que se H 6= 0 em algum ponto, como ν(p, t) = ν0(p), então temos que f (t) f ′(t) é constante, digamos C, para todot ∈ [0,T ), já que pela equação (2.9), temos que

〈ϕ0(p)− x0,ν(p, t)〉= H(p,0) = f (t) f ′(t)〈ϕ0(p)− x0,ν(p, t)〉 .

Logo, resolvendo o problema de Cauchy f (t) f ′(t) =C,

f (0) = 1,temos que

f (t) =√

2Ct +1.

Como limt→T f (t) = 0, segue que

f (t) =

√1− t

T,

o que resulta na equação (2.8), ao substituirmos f (t) na equação (2.9).


2.4.7 Toro de AngenentAngenent demonstrou em [5] a existência de um self-shrinker compacto e mergulhado em R3 que não é a esfera, através

do critério: uma superfície obtida por rotação de uma curva é um self-shrinker se e somente se a curva é uma geodésica paraa métrica

xe−|x2+y2|/4

em R2, o que reduziu o problema a buscar uma geodésica no plano. Em especial, Angenent não apenas encontrou tal curva,mas mostrou que ela era fechada e simétrica, o que implica que a superfície de revolução formada por essa geratriz é um toronão redondo, como mostra a Figura 2.3, calculada por Chopp em [12].

Figura 2.3: Geratriz do Toro de Angenent. Fonte: [12].

2.4.8 Hipersuperfícies expandindo homoteticamenteAnalogamente, podemos considerar hipersuperfícies expandindo homoteticamente, chamadas de self-expanders caracte-

rizadas pela equaçãoH +λ 〈ϕ0,ν0〉= 0,

agora com a constante λ < 0. Notemos que nesse caso, a hipersuperfície não pode ser compacta, já que não permanecelimitada em Rn+1. Um exemplo (página 16 de [14]) é a curva plana convexa obtida por suavizar o cone com ângulo menorque π.

2.4.9 Hipersuperfícies evoluindo por translaçãoTemos ainda, a família de hipersuperfícies que durante a evolução apenas transladam em uma direção fixa com velocidade

constante, constituindo a classe dos chamados sólitons de translação.

Proposição 2.4.2. Se uma hipersuperfície inicial ϕ0 : M→ Rn+1 satisfaz

H(p) = 〈v,ν0(p)〉 , (2.10)

em cada ponto p∈M para algum vetor constante v∈Rn+1, então ao evoluir pela curvatura média, translada com velocidadeconstante v. Reciprocamente, se ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 é um fluxo de curvatura média por translação, então existe um vetorv ∈ Rn+1 tal que

H(p, t) = 〈v,ν(p, t)〉 , (2.11)

para cada p ∈M e t ∈ [0,T ).

Demonstração. Suponhamos que (M,ϕ0) satisfaça a equação (2.10). Assim, considerando a aplicação definida por

ϕ(p, t) = ϕ0(p)+ tv,

temos que〈∂tϕ(p, t),ν(p, t)〉= 〈v,ν(p, t)〉= 〈v,ν0(p)〉= H(p,0) = H(p, t),

já que ν(p, t) = ν0(p). Logo, pelo Corolário 2.2.3, temos que ϕ é um fluxo de curvatura média de ϕ0.Reciprocamente, se a aplicação definida por

ϕ(p, t) = ϕ0(p)+ω(t)

é um fluxo de curvatura média por translação, para algum vetor suave ω : [0,T )→ Rn+1 satisfazendo ω(0) = 0, então temosque 〈∂tϕ,ν〉= H, o que implica que

〈∂tϕ(p, t),ν(p, t)〉=⟨ω′(t),ν(p, t)

⟩= H(p, t) = H(p,0). (2.12)

Suponhamos que, variando p ∈M, a imagem da normal unitária gera todo Rn+1. Logo, como ν(p, t) = ν0(p), se diferenciar-mos no tempo a equação (2.12), então temos ⟨

ω′′(t),ν0(p)

⟩= 0,

o que implica que ω ′′(t) = 0 para todo tempo t, e assim, ω ′(t) é constante. Portanto, tomando v = ω ′, temos o resultadonesse caso. Se a imagem da normal unitária não gerar todo Rn+1, então todos os espaços tangentes TpM à (M,ϕ0) têm umsubespaço vetorial não-trivial comum L⊂ Rn+1. Tomando a decomposição natural

w(t) = l(t)+ z(t),

onde l(t) ∈ L e z(t) ∈ L⊥, temos que l(0) = z(0) = 0, pois w(0) = 0, e z′′(t) = 0, pelo mesmo argumento do caso anterior, jáque l′(t), l′′(t) ∈ L e z′(t),z′′(t) ∈ L⊥. Assim, z′(t) é constante e novamente tomando v = z′, temos que

H(p, t) =⟨ω′(t),ν(p, t)

⟩=⟨l′(t),ν(p, t)

⟩+⟨z′(t),ν(p, t)

⟩=⟨z′(t),ν(p, t)

⟩= 〈v,ν(p, t)〉 ,

o que demonstra o resultado. Notemos que, pela Proposição 2.2.1, a menos de reparametrizações, a aplicação definida por

ϕ(p, t) = ϕ0(p)+ tv

coincide com o fluxo ϕ, já que ∂t ϕ = v,∂tϕ = ω

′(t) = l′(t)+ v

e l′(t) ∈ L⊂ TpM, para todo p ∈M e t ∈ [0,T ), isto é, (M,ϕ0) de fato translada com velocidade constante v.

Notemos que para todo v ∈ Rn+1, existe uma única hipersuperfície estritamente convexa, rotacionalmente simétrica, queé um gráfico transladando ao evoluir pela curvatura média. De fato, encontrar um gráfico convexo sobre um domínio emΩ⊂ Rn×xn = 0 , transladando com velocidade constante en+1, é equivalente a determinar uma função convexa f : Ω→ Rsatisfazendo o problema

∆ f − Hess( f )(∇ f ,∇ f )1+|∇ f |2 = 1

f (0) = ∇ f (0) = 0.(2.13)

Supondo, sem perda de generalidade, a simetria rotacional ao redor da origem, isto é, f (x) = g(ρ) com ρ = |x|, o problema2.13 se torna o problema

gρρ = (1+g2ρ)(

1− (n−1)gρ

ρ

)limρ→0 g(ρ) = limρ→0 g′(ρ) = 0,

(2.14)

o qual possui solução única, g : R+→ R, pela Teoria de Equações Diferenciais Ordinárias.

41

42

Capítulo 3

Evolução pela curvatura média

Neste capítulo iniciamos o estudo da evolução de uma hipersuperfície pela curvatura média em um certo intervalo detempo. Para isso, iniciamos o capítulo com elementos fundamentais para essa análise, derivando as equações de evoluçãode quantidades geométricas básicas relativas à hipersuperfície e em seguida apresentamos os Princípios de Máximo ([23]) ede Comparação. Prosseguindo, apresentamos algumas consequências destes resultados, verificando o bom comportamentodurante a evolução, no sentido de preservar propriedades como a limitação da segunda forma fundamental e de suas derivadas,e mesmo convexidade em qualquer grau.

3.1 Evolução de quantidades geométricasIniciemos com as equações de evolução das ferramentas geométricas essenciais de hipersuperfícies, durante o fluxo de

curvatura média.

Proposição 3.1.1. Seja ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 é um fluxo de curvatura média com métrica induzida g, curvatura médiaH, normal unitária ν , segunda forma fundamental A = (hi j). Considerando as notações para contração em tensores pelascomponentes gi j e gi j (Apêndice B.1), temos que

a)∂

∂ tgi j =−2Hhi j;

b)∂

∂ tgi j = 2Hhi j;

c)∂

∂ tν =−∇H;

d)∂

∂ tΓ

ijk = ∇H ∗A+H ∗∇A = ∇A∗A;

e)∂

∂ thi j = ∆hi j−2Hhi jglshs j + |A|2hi j;

f)∂

∂ th j

i = ∆h ji + |A|

2h ji ;

g)∂

∂ t|A|2 = ∆|A|2−2|∇A|2 +2|A|4;

h)∂

∂ tH = ∆H +H|A|2.

43

CAPÍTULO 3. EVOLUÇÃO PELA CURVATURA MÉDIA 44

Demonstração.

(a) Notemos que pelas equações de Gauss-Weingarten, temos

∂

∂ tgi j =

∂

∂ t

⟨∂ϕ

∂xi,

∂ϕ

∂x j

⟩=

⟨∂

∂ t∂ϕ

∂xi,

∂ϕ

∂x j

⟩+

⟨∂ϕ

∂xi,

∂

∂ t∂ϕ

∂x j

⟩=

∂

∂xi

⟨∂ϕ

∂ t,

∂ϕ

∂x j

⟩+

∂

∂x j

⟨∂ϕ

∂xi,

∂ϕ

∂ t

⟩−2⟨

∂ϕ

∂ t,

∂ 2ϕ

∂xi∂x j

⟩=

∂

∂xi

⟨Hν ,

∂ϕ

∂x j

⟩+

∂

∂x j

⟨∂ϕ

∂xi,Hν

⟩−2⟨

Hν ,Γki j

∂ϕ

∂xk

⟩−2⟨Hν ,hi jν

⟩=−2Hhi j 〈ν ,ν〉=−2Hhi j.

(3.1)

(b) Derivando as componentes da matriz inversa da métrica. Diferenciando a equação

gisgs j = δj

i ,

notemos que por um lado

∂

∂ t

(gisgs j)= ∂

∂δ

ji = 0,

e por outro

∂

∂ t

(gisgs j)= ( ∂

∂ tgsl

)gl j +gsi

(∂

∂ tgi j).

Logo,

∂

∂ tgi j =−gis

(∂

∂ tgsl

)gl j = 2Hgishslgl j = 2Hhi j. (3.2)

(c) Notemos que

⟨∂ν

∂ t,

∂ϕ

∂xi

⟩=

∂

∂ t

⟨ν ,

∂

∂xi

⟩−⟨

ν ,∂

∂ t

(∂

∂xiϕ

)⟩=−

⟨ν ,

∂

∂xi

(∂

∂ tϕ

)⟩=−

⟨ν ,

∂

∂xi(Hν)

⟩=−

⟨ν ,

(∂H∂xi

)ν

⟩−⟨

ν ,H(

∂ν

∂xi

)⟩=−∂H

∂xi.

Portanto

∂

∂ tν =−∇H.

3.1. EVOLUÇÃO DE QUANTIDADES GEOMÉTRICAS 45

(d) Utilizando o item (a) e considerando a notação ∗ (Apêndice B.1), temos

∂

∂ tΓ

ijk =

∂

∂ t

(12

gil(

∂

∂x jgkl +

∂

∂xkg jl− ∂

∂xlg jk

))=

12

∂

∂ tgil(

∂

∂x jgkl +

∂

∂xkg jl−

∂

∂xlg jk

)+

12

gil(

∂

∂x j

(∂

∂ tgkl

)+

∂

∂xk

(∂

∂ tg jl

)− ∂

∂xl

(∂

∂ tg jk

))=−1

2gis ∂

∂ tgszgzl

(∂

∂x jgkl +

∂

∂xkg jl−

∂

∂xlg jk

)+

12

gil(

∇ j

(∂

∂ tgkl

)+

∂

∂ tgkzΓ

zjl +

∂

∂ tglzΓ

zjk

)+

12

gil(

∇k

(∂

∂ tg jl

)+

∂

∂ tg jzΓ

zkl +

∂

∂ tglzΓ

zjk

)− 1

2gil(

∇l

(∂

∂ tg jk

)+

∂

∂ tg jzΓ

zkl +

∂

∂ tgkzΓ

zjl

)=

12

gil(

∇ j

(∂

∂ tgkl

)+∇k

(∂

∂ tg jl

)−∇l

(∂

∂ tg jk

))+gil ∂

∂ tglzΓ

zjk−gis ∂

∂ tgszΓ

zjk

=12

gil(

∇ j

(∂

∂ tgkl

)+∇k

(∂

∂ tg jl

)−∇l

(∂

∂ tg jk

))=−gil

∇ j(Hhkl)+∇k(Hh jl)−∇l(Hh jk)

=−(

gilhkl

)∇ jH−H

(gil

∇ jhkl

)−(

gilh jl

)∇kH−H

(gil

∇kh jl

)+h jk

(gil

∇lH)+Hgil

∇lh jk

=−hik∇ jH−hi

j∇kH +h jk∇iH−H(∇ jhi

k +∇khij−∇

ih jk)

= ∇H ∗A+H ∗∇A = ∇A∗A.

(e) Pelas equações de Gauss-Weingarten e pela Identidade de Simons, temos

∂

∂ thi j =

∂

∂ t

⟨ν ,

∂ 2ϕ

∂xi∂x j

⟩=

⟨ν ,

∂ 2

∂xi∂x j

(∂

∂ tϕ

)⟩+

⟨∂ν

∂ t,

∂ 2ϕ

∂xi∂x j

⟩=

⟨ν ,

∂ 2

∂xi∂x j(Hν)

⟩−⟨

∇H,∂ 2ϕ

∂xi∂x j

⟩=

∂ 2H∂xi∂x j

−H⟨

ν ,∂

∂xi

(h jlgls ∂ϕ

∂xs

)⟩−⟨

∂H∂xl

∂ϕ

∂xsgls,Γk

i j∂ϕ

∂xk+hi jν

⟩=

∂ 2H∂xi∂x j

−Hh jlgls⟨

ν ,∂ 2ϕ

∂xi∂xs

⟩−Γ

ki j

∂H∂xk

gksgks

= ∇i∇ jH−Hh jlglshis = ∇i∇ jH−Hhilglshs j

= ∆hi j−2Hhilglshs j + |A|2hi j.


(f) Dos itens (b) e (e), temos

∂

∂ th j

i =∂

∂ t

(hikgk j

)=

(∂

∂ thik

)gk j +hik

(∂

∂ tgk j)

=(

∆hik−2Hhilglshsk + |A|2hik

)gk j +hik

(2Hhk j

)= ∆h j

i + |A|2h j

i .

(g) Dos itens (e) e ( f ) segue que

∂

∂ t|A|2 = ∂

∂ t

(hi

kgk jhi j

)=

(∂hi

k∂ t

)gk jhi j +hi

k

(∂gk j

∂ thi j +gk j ∂hi j

∂ tgk j)

=(∆hi

k + |A|2hik)

gk jhi j +2Hhikhk jhi j +hi

kgk j(

∆hi j−2Hhilglshs j + |A|2hi j

)=(∆hi

k)

gk jhi j +hi j∆hi j +2|A|4

=(∆hi

k)

gk jhi j +∆|A|2−(∆hi j)hi j +2|A|4

= ∆|A|2−2|∇A|2 +2|A|4.

(h) Por fim, novamente pelos itens (b) e (e), temos

∂

∂ tH =

∂

∂ t

(gi jhi j

)=

(∂

∂ tgi j)

hi j +gi j(

∂

∂ thi j

)= 2Hhi jhi j +gi j

(∆hi j−2Hhilglshs j + |A|2hi j

)= gi j

∆hi j + |A|2gi jhi j

= ∆H + |A|2H.

Para que tenhamos mais informações sobre a curvatura, precisamos da evolução da norma das derivadas covariantes dasegunda forma fundamental. Logo, iremos primeiro verificar tal evolução para a derivada covariante de um tensor genérico.

Lema 3.1.2. Se T é um tensor, então∂

∂ t∇T = ∇

∂

∂ tT +T ∗A∗∇A.

Demonstração. Consideraremos um tensor covariante T = Ti1···ik . Temos

∂

∂ t∇ jTi1···ik =

∂

∂ t

(∂Ti1···ik

∂x j−

k

∑s=1

Γljis Ti1···is−1lis+1···ik

)

=∂

∂x j

∂Ti1···ik∂ t

−k

∑s=1

Γljis

∂Ti1···is−1lis+1···ik∂ t

−k

∑s=1

∂

∂ tΓ

ljis Ti1···is−1lis+1···ik

= ∇ j∂Ti1···ik

∂ t−

k

∑s=1

(A∗∇A)ljisTi1···is−1lis+1···ik

= ∇ j∂Ti1···ik

∂ t−

k

∑s=1

(A∗∇A)ljisTi1···is−1lis+1···ik

= ∇∂

∂ tT +T ∗A∗∇A.

O caso mais geral para tensores também com componentes contravariantes segue analogamente.

O Lema 3.1.2 permite obter a evolução de qualquer derivada covariante das componentes da segunda forma fundamental,resultado do próximo lema.

3.2. PRINCÍPIOS DE MÁXIMO 47

Lema 3.1.3. Para qualquer inteiro k > 0, temos que

∂

∂ t∇

khi j = ∆∇khi j + ∑

p+q+r=kp,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA.

Demonstração. Demonstraremos por indução em k∈N. O caso k = 0 é justamente o item e da Proposição 3.1.1. Suponhamosentão que o resultado é válido para k−1. Logo, pelo Lema 3.1.2, temos que

∂

∂ t∇

khi j =∂

∂ t∇∇

k−1hi j = ∇∂

∂ t∇

k−1hi j +∇k−1hi j ∗A∗∇A

= ∇∂

∂ t∇

k−1A+∇k−1hi j ∗∇A∗A

= ∇

(∆∇

k−1hi j + ∑p+q+r=k−1|p,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA

)+∇

k−1 ∗∇A∗A

= ∇∆∇k−1hi j + ∑

p+q+r=k; p,q,r∈N∇

pA∗∇qA∗∇

rA

= ∆∇khi j + ∑


pA∗∇qA∗∇

rA

Assim, podemos verificar a evolução da norma das derivadas covariantes da segunda forma fundamental.

Proposição 3.1.4. Para qualquer inteiro k ≥ 0, temos que

∂

∂ t|∇kA|2 = ∆|∇kA|2−2|∇k+1A|2 + ∑

p+q+r=kp,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA∗∇

kA. (3.3)

Demonstração. Pelo Lema 3.1.3, segue que

∂

∂ t|∇kA|2 = 2g

(∇

kA,∂

∂ t∇

kA)+∇

kA∗∇kA∗A∗A

= 2g

(∇

kA,∆∇kA+ ∑


pA∗∇qA∗∇

rA

)+∇

kA∗∇kA∗A∗A

= 2g(

∇kA,∆∇

kA)+ ∑


pA∗∇qA∗∇

rA∗∇kA

= ∆|∇kA|2−2|∇k+1A|2 + ∑p+q+r=k; p,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA∗∇

kA.

3.2 Princípios de MáximoOutra ferramenta importante na análise do comportamento do fluxo de curvatura média durante o intervalo maximal de

existência é o Princípio do Máximo. Nesta seção exibiremos suas versões fraca e forte para equações parabólicas escalares.A demonstração que utilizaremos da versão fraca tem como ponto principal o resultado a seguir, devido a Hamilton em

[23].

Lema 3.2.1. Seja u : M× (0,T )→ R uma função C1 tal que para todo t ∈ (0,T ), existem δ > 0 e K ⊂M \ ∂M compacto,de modo que em cada t ′ ∈ (t−δ , t +δ ), o máximo de u,

umax(t ′) = maxp∈M

u(p, t ′)


é atingido em ao menos ponto de K. Então, umax é uma função localmente Lipschitz em (0,T ). Além disso, se p ∈M\∂M éum ponto interior onde u(·, t) atinge o seu máximo, então

dumax

dt(t) =

∂u∂ t

(p, t)

para cada t ∈ (0,T ) onde u é diferenciável.

Demonstração. Fixemos t ∈ (0,T ) e consideremos δ > 0 e K como na hipótese. Logo, u é Lipschitz em K× (t− δ , t + δ )com constante de Lipschitz C > 0. Tomando um 0 < ε < δ , por um lado temos

umax(t + ε) = u(q, t + ε) = u(q, t)+u(q, t + ε)−u(q, t)

≤ u(q, t)+Cε ≤ umax(t)+Cε,

para algum q ∈ K, já que K é compacto, o que implica que

umax(t + ε)−umax(t)ε

≤C.

Por outro lado, temos que

umax(t) = u(p, t) = u(p, t + ε)+u(p, t)−u(p, t + ε)

≤ u(p, t + ε)+Cε ≤ umax(t + ε)+ εC,

para algum p ∈ K. Dessa forma,umax(t)−umax(t + ε)

ε≤C.

Procedendo analogamente para algum −δ < ε < 0, obtemos∣∣∣umax(t)−umax(t + ε)

ε

∣∣∣≤C,

e portanto, umax é localmente Lipschitz em (0,T ).Agora, pelo Teorema de Rademacher (Seção 3.1.2 de [16]), temos que umax é diferenciável em quase todo ponto em

(0,T ). Suponhamos então que umax é diferenciável em um t e tomemos p ∈ p ∈M\∂M ; u(p, t) = umax(t) . Pelo Teoremado Valor Médio, para cada 0 < ε < δ , temos que

u(p, t + ε) = u(p, t)+ ε∂u∂ t

(p,ξ ),

para algum t ≤ ξ ≤ t + ε. Logo,

umax(t + ε)≥ u(p, t + ε) = umax(t)+ ε∂u∂ t

(p,ξ ),

e como ε > 0, entãoumax(t + ε)−umax(t)

ε≥ ∂u

∂ t(p,ξ ).

Daí, passando ao limite quando ε → 0, segue que

u′max(t)≥∂u∂ t

(p, t).

Novamente, prodecendo de maneira análoga para −δ < ε < 0, obtemos

umax(t + ε)−umax(t)ε

≤ ∂u∂ t

(p,ξ ),

3.2. PRINCÍPIOS DE MÁXIMO 49

para algum t + ε ≤ ξ ≤ t e, quando ε → 0, temos

u′max(t)≤∂u∂ t

(p, t),

o que implica que

u′max(t) =∂u∂ t

(p, t).

Isto finaliza a demonstração.

Teorema 3.2.2 (Princípio do Máximo Fraco). Seja g(t)t∈[0,T ) uma família de métricas Riemannianas em uma variedadeM, com fronteira ∂M possivelmente não vazia, onde t→ g(t) é suave. Seja u : M× [0,T )→R uma função suave satisfazendo

∂tu≤ ∆g(t)u+ 〈X(p,u,∇u, t),∇u〉g(t)+b(u),

onde X é um campo vetorial contínuo e b uma função localmente Lipschitz. Suponhamos que para cada t ∈ [0,T ) existemuma constante δ > 0 e um compacto K ⊂M \ ∂M, de modo que em cada t ′ ∈ (t− δ , t + δ )∩ [0,T ), o máximo de u(·, t ′) éatingido em ao menos um ponto de K. Então umax é localmente Lipschitz e temos

dumax

dt(t)≤ b(umax(t)) ,

em cada t ∈ [0,T ) onde umax é diferenciável. Além disso, se h : [0,T ′)→ R é uma solução do problemah′(t) = b(h(t)),

h(0) = umax(0),(3.4)

para algum T ′ ≤ T, então u≤ h em M× [0,T ′).

Demonstração. Pelo Lema 3.2.1, a função umax é localmente Lipschitz e assim, se umax é diferenciável em t, então para todop ∈M\∂M satisfazendo u(p, t) = umax(t), temos que

dumax

dt(t) =

∂u∂ t

(p, t)≤ ∆g(t)u+ 〈X(p,u,∆u, t),∇u〉g(t)+b(u(p, t))

≤ b(u(p, t)) = b(umax(t)) ,

já que ∇u(p, t) = 0 e ∆g(t)u(p, t) ≤ 0. Agora, suponhamos h : [0,T ′)→ R como na hipótese. Definamos, para cada ε > 0,hε : [0.T ′′)→ R como sendo a solução maximal do problema

h′ε(t) = b(hε(t)),hε(0) = umax(0)+ ε.

Como a função b é localmente Lipschitz, então pela unicidade de h como solução do Problema (3.4), temos que hε → huniformemente em [0,T ′ − δ ] para qualquer δ > 0, quando ε → 0. Suponhamos por absurdo que existe t > 0, o ínfimopositivo dos t > 0 tais que umax(t)> hε(t), observando que por hipótese temos umax(0) = hε(0)−ε. Então, umax(t) = hε(t) e,fazendo Hε = hε −umax, temos Hε(0) = ε > 0 em todo ponto em [0, t) onde umax é diferenciável. Assim,

H ′ε(t)≥ b(hε(t))−b(umax(t))≥−C(hε(t)−umax(t)) =−CHε(t),

onde C > 0 é uma constante de Lipschitz local para b. Integrando esta desigualdade em t, temos logHε |t0 ≥−Ct, isto é,

Hε(t)≥ Hε(0)e−Ct = εe−Ct .

Assim, quando t → t, temos que Hε(t) ≥ εe−Ct > 0, o que é uma contradição, pois umax(t) = hε(t), ou melhor, Hε(t) = 0.Portanto, umax(t)≤ hε(t) para todo t ∈ [0,T ′−δ ) e, quando ε→ 0, temos umax(t)≤ h(t) para todo t ∈ [0,T ′−δ ). Logo, pelaarbitrariedade de δ > 0, o resultado segue.


Consideraremos agora o Princípio do Máximo Forte. Antes, precisaremos do seguinte resultado demonstrado em [friedman](adaptado do Lema 2, Seção 1, Capítulo 2).

Lema 3.2.3. Nas hipóteses do Teorema 3.2.2 com M conexa, suponhamos que em um domínio D⊂M× [0,T ), u atinge ummáximo umax|D e D contém o conjunto

G =(pt , t) ∈ D ; δ1(dg(t)(pt , p′t))

2 +δ2(t− t)2 ≤ R2 ,onde dg(t) denota a distância geodésica sob a métrica g(t), para algumas constantes δ1,δ2,R > 0 e para algum pt ∈D. Se nointerior de G, temos u < umax|D e u(pt , t) = umax|D em algum (pt , t) na fronteira de G, então pt = p′t .

Teorema 3.2.4 (Princípio do Máximo Forte). Nas hipóteses do Teorema 3.2.2, se também M for conexa e existe τ ∈ (0,T ′)tal que umax(τ) = h(τ), então u = h em M× [0,τ], isto é, u(·, t) é constante para cada t ∈ [0,τ] fixo.

Demonstração. Pelo Princípio do Máximo Fraco sabemos que u(p, t) ≤ h(t) para todo t ∈ [0,τ] e p ∈M. Como umax(t) éalcançado em M por hipótese, temos que umax(t) ≤ h(t), para cada t ∈ [0,τ]. Notemos que na realidade umax(t) = h(t) emcada ponto onde umax é diferenciável. De fato, dado ε > 0 suficientemente pequeno, suponhamos que existe t ∈ (0,τ) comt = τ− ε tal que umax(t)< h(t). Assim, pelo Princípio do Máximo Fraco, temos

b(h(τ)) = h′(τ)<dumax

dt(τ)≤ b(umax(τ)),

o que é um absurdo. Procedendo analogamente para t < τ onde umax é diferenciável e como [0,τ] é compacto, temos aafirmação.

Agora, fixemos um t ∈ [0,τ] qualquer e suponhamos que existe q ∈M tal que u(q, t) < umax(t) = u(pt , t), para algumpt ∈M. Como M é conexa por caminhos já que é variedade, então tomemos uma curva suave e simples γ em M ligando ptà q. Logo, existe p∗t ∈ γ tal que u(p∗t , t) = u(pt , t) e u(pt , t)< u(pt , t) para todo pt ∈ γ entre q e p∗t . Consideremos um pontop′t ∈ γ entre q e p∗t tal que a distância de p′t à fronteira de M é maior ou igual à 2dγ

g(t)(p∗t , p′t), onde dγ

g(t) é a distância entredois pontos em γ sob a métrica g(t) (recordemos que o máximo é atingido em um compacto contido em M\∂M). Como u ésuave e u(p′t , t)< u(p∗t , t), existe ε > 0 suficientemente pequeno tal que

u(p′t , t)< u(p∗t , t) (3.5)

para todo t satisfazendo |t− t| ≤ ε. Logo, consideremos a família Gδδ>0 , onde

Gδ =(pt , t) ∈M× [0,τ] ; (dg(t)(pt , p′t))

2 +δ (t− t)2 ≤ δε2 .

Assim, temos que (p′t , t− ε) e (p′t , t + ε) pertencem à fronteira de cada Gδ . Notemos que se δ → 0, temos que Gδ → p′t×[t− ε, t + ε]. Já quando δ aumenta, temos que Gδ ∩M×t e pela condição (3.5), existe um menor δ tal que u < u(p∗t , t) nointerior de Gδ e u(pt , t) = u(p∗t , t) para algum pt na fronteira de Gδ . Como pt 6= p′t pela condição (3.5), temos uma contradiçãocom o Lema 3.2.3.

Como consequência imediata do Princípio do Máximo Forte, temos o resultado a seguir.

Corolário 3.2.5. Sob as mesmas hipóteses do Teorema 3.2.2, suponhamos que M é conexa e a função b é não-positiva. Se omáximo de u é não-decrescente em um intervalo de tempo I, então a função u é constante em M× I.

Observação 3.2.6. Notemos que todos esses resultados envolvendo máximos pode ser transladados a mínimos, considerandoque max =−min .

3.3 Princípio de ComparaçãoAgora em posse de ferramentas básicas, verificaremos até o fim do capítulo, algumas característica do comportamento

de um fluxo de curvatura média durante o intervalo maximal de existência de uma solução suave. Em especial, nesta seçãoapresentamos o importante Princípio da Comparação e algumas consequências deste resultado.

3.3. PRINCÍPIO DE COMPARAÇÃO 51

Teorema 3.3.1 (Princípio de Comparação). Sejam ϕ : M1× [0,T )→ Rn+1 e ψ : M2× [0,T )→ Rn+1 dois fluxos de cur-vatura média, com M1 compacta. Então a distância entre as hipersuperfícies (M1,ϕt) e (M2,ψt) é não-decrescente notempo.

Demonstração. A distância entre as duas hipersuperfícies ϕt : M1× [0,T )→ Rn+1 e ψt : M2× [0,T )→ Rn+1 no tempot ∈ [0,T ), é definida por

dϕ

ψ(t) = distRn+1(ϕ(M1),ψ(M2)) = infp∈M1,q∈M2

|ϕ(p, t)−ψ(q, t)|.

Esta função é localmente Lipschitz no tempo, pois como ϕ e ψ são soluções curvatura é limitada uniformemente no espaço elocalmente no tempo para ambas hipersuperfícies, então, para qualquer p ∈M1, q ∈M2,

|dϕ

ψ(t)−dϕ

ψ(s)| ≤∫ t

s

∣∣∣∂ϕ

∂ t(p,τ)− ∂ψ

∂ t(q,τ)

∣∣∣dτ

=∫ t

s|Hϕ(p,τ)νϕ(p,τ)−Hψ(q,τ)νψ(q,τ)|dτ

≤∫ t

sC|νϕ(p,τ)|+C|νψ(p,τ)|dτ

≤C|t− s|,

onde Hϕ e Hψ são as curvaturas médias e νϕ e νψ são as normais unitárias apontando para dentro, em cada ponto de M1 e deM2, respectivamente, para cada t ∈ [0,T ). Logo, como dϕ

ψ é diferenciável em quase todo ponto, pelo Teorema de Rademacher,tomemos então t ∈ [0,T ) um ponto onde dϕ

ψ é diferenciável. Pela compacidade de M1, então, como ϕ(M1) é limitada emRn+1 e

dϕ

ψ(t) = distRn+1(ϕ(M1),ψ(M2)) = distRn+1(ϕ(M1),ψ(M2)),

sendo ϕ(M1) compacta e ψ(M2) fechada, esse infímo é na verdade um mínimo. Se o mínimo for zero, então a derivada nãopode ser negativa, pela não-negatividade de dϕ

ψ . Suponhamos então que esse mínimo é positivo e seja (pt ,qt) qualquer par talque dϕ

ψ(t) = |ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|. Pela minimalidade, a Teorema da Melhor Aproximação da Álgebra Linear nos garante queos espaços tangentes das duas hipersuperfícies em pt e qt são paralelos. Então, como mínimos são isolados, podemos escreverlocalmente ϕ(p, t) e ψ(q, t) como gráficos de duas funções f (p, t) e h(q, t) sobre um desses espaços tangentes para umintervalo suficientemente pequeno (t−ε, t+ε). A menos de um movimento rígido, podemos assumir que 〈e1, · · · ,en〉 ⊂Rn+1

é um tal espaço tangente com ϕ(pt , t) = (0, f (0, t)) e ψ(qt , t) = (0,h(0, t)) em t, e ainda mais, que f (0, t)> h(0, t).Sabemos do Exemplo (2.4.2) do Capítulo 2, que a evolução desses gráficos pela curvatura média é dada por

ft = ∆ f − Hess f (∇ f ,∇ f )1+ |∇ f |2

e ht = ∆h− Hessh(∇h,∇h)1+ |∇h|2

.

Novamente por minimalidade, temos que a função dada por f (x, t)−h(x, t) tem um mínimo em x = 0. Logo,

∆ f (0, t)−∆h(0, t)≥ 0 e ∇ f (0, t) = ∇h(0, t) = 0.

Como ϕ(p, t) = (p, f (p, t)),ψ(q, t) = (q,h(q, t))

e

∆ϕ =

∂ϕ

∂ t= Hϕ νϕ ,

∆ψ =∂ψ

∂ t= Hψ νψ ,

então, ∆ f (0, t) = Hϕ

⟨νϕ |en+1⟩ ,

∆h(0, t) = Hψ

⟨νψ |en+1⟩ ,

o que implica que ⟨Hϕ(pt , t)νϕ(pt , t)−Hψ(qt , t)νψ(qt , t)|en+1

⟩= ∆ f (0, t)−∆h(0, t)≥ 0.


Mas pelo que assumimos do espaço tangente, temos que

ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|

= en+1

e assim, pelo Lema 3.2.1, segue que

ddt

dϕ

ψ(t) = inf∂

∂ t|ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|

= inf⟨

∂ϕ

∂ t(pt , t)−

∂ψ

∂ t(qt , t)

∣∣∣ ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|

⟩= inf

⟨Hϕ νϕ −Hψ νψ |en+1

⟩≥ 0,

onde o ínfimo é tomado em (pt ,qt) ∈M1×M2 tal que |ϕ(pt , t)−ψ(qt , t)|= dϕ

ψ(t). Portanto, dϕ

ψ é não-decrescente.

Observação 3.3.2. É possivel demonstrar o mesmo resultado se garantirmos apenas que ϕ(M1) é um conjunto limitado emRn+1.

Seguem algumas consequências imediatas do Princípio da Comparação.

Corolário 3.3.3. Se uma hipersuperfície compacta evolui pela curvatura média, então

(i) o diâmetro da hipersuperfície é decrescente durante o fluxo e

(ii) o raio da esfera que circunda a hipersuperfície é não crescente durante o fluxo.

Demonstração. De fato,

(i) Se d0 é o diâmetro inicial da hipersuperfície, digamos M, consideremos uma esfera encobrindo a hipersuperfície deraio r0 = d0/2. Como pelo Princípio da Comparação, a distância entre as duas variedades é não-crescente, e sabendoque a esfera se contrai durante o fluxo de curvatura média, então temos que a hipersuperfície tem que ter diâmetrodecrescente.

(ii) Como o diâmetro dt da hipersuperfície é decrescente durante o fluxo, pelo item anterior, então o raio rt = dt/2 da esferaque circunda a hipersuperfície é decrescente durante o fluxo.

Corolário 3.3.4. Sejam ϕ : M1× [0,T )→ Rn+1 e ψ : M2× [0,T )→ Rn+1 duas hipersuperfícies evoluindo pela curvaturamédia, com M1 compacta, M2 mergulhada e ϕ(M1,0) estritamente contida em ψ(M2,0). Então ϕ(M1, t) se mantém estri-tamente contida em ψ(M2,0), para todo tempo t ∈ [0,T ).

Demonstração. Como a distância entre as duas hipersuperfícies já começa positiva, já que a inclusão é estrita, e pelo Princípiode Comparação a distância é não decrescente, então a inclusão se mantém estrita.

Observação 3.3.5.

(i) A inclusão estrita não é necessária, desde que os pontos em comum de ϕ(M1,0) e ψ(M2,0) não passem de intersecçõestangentes. Como M1 é compacta, podemos tomar uma vizinhança tubular local suficientemente pequena ao redor dospontos comuns, já que ϕ é uma imersão e logo, localmente um mergulho, e considerar uma deformação de ϕ(M1,0)que permaneça na vizinhança tubular, de modo a eliminar as intersecções. Assim, podemos iniciar o fluxo a partir destahipersuperfície inicial.

(ii) Se duas hipersuperfícies conexas compactas, se tocam no tempo zero, mas não são as mesmas, imediatamente elasse tornam disjuntas em cada tempo positivo, caso contrário devem coincidir. De fato, consideremos duas vizinhançastubulares regulares Ω1 e Ω2 ao redor das hipersuperfícies iniciais, e tomemos as deformações das hipersuperfícies,dentro das vizinhanças, como gráficos de funções alturas f e h respectivamente. Pelo Princípio do Máximo Forte,aplicado à f e g, temos que se em algum tempo τ ∈ [0,T ) as hipersuperfícies tem pontos em comum, então elas devemcoincidir em [0,τ].

3.3. PRINCÍPIO DE COMPARAÇÃO 53

A seguir, vejamos que uma hipersuperfície compacta sempre desenvolve singularidade em tempo finito.

Corolário 3.3.6. Seja ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 uma hipersuperfície compacta evoluindo pela curvatura média. Se ϕ(M,0)⊂BR(x0), para algum x0 ∈ Rn+1, então ϕ(M, t) ⊂ BR(x0) para todo t ∈ [0,T ) e T ≤ R2/2n. Além disso, se Tmax é o tempomaximal de existência de solução suave do fluxo, então

Tmax ≤(diamRn+1 (ϕ(M,0)))2

2n.

Demonstração. Sabemos do Exemplo 2.4.3 do Capítulo 2, que a esfera de raio R contrai-se homoteticamente a um ponto,com raio evoluindo por

R(t) =√

R2−2nt,

em cada t ∈ [0,Tmax), o que implica que em t = R2/2n, temos R(t) = 0. Como

ϕ(M, t)⊂ B√R2−2nt

(x0),

então a hipersuperfície evoluindo ϕt deve desenvolver uma singularidade até t = R2/2n, pois ao se tornar um ponto, a derivadadeixa de ser injetiva, e portanto deixa de ser imersão.

A estimativa para Tmax segue do que acabamos de demonstrar, apenas notando que

ϕ(M,0)⊂ BdiamRn+1 [ϕ(M,0)].

Observamos que mais adiante refinaremos esta estimativa para o tempo maximal de existência em termos da curvatura.A seguir, caracterizamos os pontos de Rn+1 que são atingíveis pelo fluxo de curvatura média, isto é, os pontos que são

imagem de alguma hipersuperfície, possivelmente no limite do tempo maximal de existência de solução suave do fluxo.

Proposição 3.3.7. Seja ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 uma hipersuperfície evoluindo pela curvatura média e considere

S =

x ∈ Rn+1; existe uma sequência (pi, ti) ∈M× [0,T ) com ti→ T e ϕ(pi, ti)→ x, quando i→ ∞.

Então, S é fechado e, se M é compacta, S também é limitado. Além disso, x ∈S se, e somente se, para cada t ∈ [0,T )temos que ϕ(M, t)∩B√2n(T−t)(x) 6= /0.

Demonstração. A primeira afirmação, sobre S ser fechada, segue diretamente da definição de S . Se M for compacta, entãopodemos considerar ϕ(M,0) ⊂ BR(0), para algum R > 0. Logo pelo Corolário 3.3.6, temos que ϕ(M, t) ⊂ BR(0) para todot ∈ [0,T ), isto é, S é limitada.

Agora, suponhamos que x ∈S e que a distância de x à ϕt(M), para cada t ∈ (0,T ), é dada por

dx(t) = minp∈M|ϕ(p, t)− x|.

Precisamos mostrar que dx(t) ≤√

2n(T − t) para todo t ∈ [0,T ). Análogo ao argumento para a função dϕ

ψ na demonstraçãodo Princípio de Comparação, temos que dx : [0,T )→ R é localmente Lipschitz e portanto diferenciável em quase todo ponto.Se t é um tal ponto satisfazendo dx(t) > 0, então para qualquer ponto q ∈M tal que dx(t) = |ϕ(q, t)− x|, temos pelo Lema3.2.1 que

ddt

dx(t) =∂

∂ t|ϕ(q, t)− x|=

⟨∂

∂ tϕ(q, t),

ϕ(q, t)− x|ϕ(q, t)− x|

⟩= H(q, t)

⟨ν(q, t),

ϕ(q, t)− x|ϕ(q, t)− x|

⟩.

Como Bdx(t)(x)∩ϕt(M) ⊂ ∂ (Bdx(t)(x)) = Sndx(t)

(x) e por minimalidade, o vetor ϕ(q, t)− x/|ϕ(q, t)− x| é paralelo à normalν(q, t), temos que, localmente, a hipersuperfície tem no máximo curvatura de Sn

dx(t)(x), isto é, no mínimo H = −HSn

dx(t)(x).

Daí, se dx(t) 6= 0, então

H(q, t)⟨

ν(q, t),ϕ(q, t)− x|ϕ(q, t)− x|

⟩≥− n

dx(t),


ou seja, para quase todo ponto t ∈ [0,T ), temosd′x(t)≥−n/dx(t).

Integrando esta desigualdade em [t,s]⊂ [0,T ), obtemos

d2x (t)−d2

x (s)≤ 2n(s− t)

e por hipótese em x, segue que d2x (t)→ 0. Assim,

d2x (t) = lim

i→∞d2

x (t)−d2x (t1)≤ lim

i→∞2n(ti− t) = 2n(T − t),

o que demonstra a ida da segunda afirmação.A recíproca é clara já que se B(t) = B√2n(T−t)(x)∩ϕ(M, t) 6= /0, então para qualquer sequência de tempos ti tal que ti→ T,

quando i→ ∞, temos que B(T ) = x . Logo x ∈S e o resultado fica demonstrado.

Notemos que de fato S alcança todos os pontos que o fluxo “toca”, pois podemos considerar T qualquer em (0,Tmax].A seguir, veremos que uma hipersuperfície compacta mergulhada ainda permanece mergulhada ao evoluir pela curvatura

média.

Proposição 3.3.8. Seja ϕ : M× [0,T )→Rn+1 um fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície compacta e mergulhada.Então ϕt = ϕ(·, t) permanece um mergulho para todo t ∈ [0,T ).

Demonstração. Notemos que para um tempo positivo pequeno, o resultado é válido, pois caso contrário perdendo-se ainjetividade, teríamos sequências com (pi) 6= (qi) e ti → 0 tal que ϕ(pi, ti) = ϕ(qi, ti). Como M é compacta, podemos, amenos de subsequência, ter pi→ p e qi→ q, com p,q ∈M. Mas se p 6= q, então temos que ϕ(p,0) = ϕ(q,0), o que é umacontradição, pois ϕ0 é um mergulho. Se p = q, pela existência de solução suave do fluxo, e por ∂xϕ(p, t) ser não singular,pois é uma imersão, então temos pelo Teorema da Inversa, que existe uma vizinhança U(p)⊂M ao redor de p e ε > 0 tal queϕ

∣∣∣U(p)×[0,ε)

é injetiva, o que é uma contradição com nossa suposição de que ϕt não permanecia mergulhada.

Agindo localmente, podemos estender que o mergulho também vale em um intervalo aberto de tempo. Logo, suponhamosque 0 < T < T é o menor tempo tal que a hipersuperfície ϕT não é mais mergulhada. Consideremos

S =(p,q) ∈M×M \∆ ; ϕ(p, T ) = ϕ(q, T )

,

onde ∆ = (p,q) ∈M×M; p = q é a diagonal. Temos que S não é vazio por hipótese, disjunto de ∆ e fechado, casocontrário, ϕT não seria imersão em algum ponto M. Assim, existe Ω⊂ ∆ tal que Ω∩S = /0, o que implica que

C = inft∈[0,T )

inf(p,q)∈∂Ω

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|> 0.

já que ∂Ω é compacta. Agora, notemos se

L(t) = min(p,q)∈M×M\∂Ω

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|

for limitada inferiormente por minL(0),C > 0 em [0, T ], então teremos uma contradição com o fato de S não ser vazio econtido em M×M \Ω. Mas de fato essa limitação para L(t) ocorre. Se L(t) < C, para algum t > 0, então o mínimo L(t) éatingido em alguns (p,q) /∈ ∂Ω, o que significa que (p,q) são pontos interiores de M×M \Ω. Logo, procedendo como nademonstração do Princípio da Comparação, com relação à dϕ

ψ , para verificar que L é localmente Lipschitz, e então usando oLema 3.2.1), segue que L′(t)≥ 0 para quase todo ponto, ou seja, L(0)≤ L(t) para quase todo t ∈ [0, T ].

3.4 ConsequênciasProsseguimos nesta seção com algumas consequências dos resultados das seções anteriores.

3.4. CONSEQUÊNCIAS 55

Definição 3.4.1. Uma n-hipersuperfície é k-convexa, para algum 1 ≤ k ≤ n, se a soma das k menores curvaturas principaisfor não negativa em todo ponto. Diremos que uma hipersuperfície é convexa se for 1-convexa e que é convexa na média se forn-convexa, isto é, H ≥ 0 em todo ponto.

Veremos a seguir que hipersuperfícies compactas e convexas em média não só mantêm esta propriedade, mas se tornamimediatamente estritamente convexas em média. Logo, como assumimos que a normal unitária aponta para dentro, é naturalquestionar se a hipersuperfície acaba contraindo a um ponto no tempo maximal de existência de solução suave do fluxo.Isto não é verdade como é o caso do neckpinch, Exemplo 2.4.5 do Capítulo 2, construído de forma a ser uma hipersuperfícieconvexa em média, não colapsa a um ponto no primeiro tempo singular. Na realidade, a partir desse tempo, se a hipersuperfíciecontinuar a evoluir pela curvatura média neste caso, teremos que no segundo tempo de singularidade, então a hipersuperfíciese contrai a um ponto pela simetria.

Proposição 3.4.2. Se uma hipersuperfície compacta inicial é convexa em média, então durante o fluxo de curvatura média, omínimo de H é crescente. Logo H > 0 para todo tempo positivo.

Demonstração. Por absurdo, suponhamos que em um intervalo (t0, t1) ⊂ R+, temos Hmin(t) < 0 para todo t ∈ (t0, t1) eHmin(t0) = 0. Notemos que pela existência de solução suave do fluxo de curvatura média, Hmin, que existe pela compacidadede M, é contínua no tempo e Hmin(0) ≥ 0, pois M é convexa em média. Como A é localmente limitada, suponhamos que|A|2 ≤C em (t0, t1). Logo,

∂Hmin

∂ t= ∆Hmin +Hmin|A|2 ≥ Hmin|A|2 ≥CHmin,

para quase todo t ∈ (t0, t1), notando que ∆Hmin ≥ 0, pela minimalidade. Integrando esta desigualdade em [s, t]⊂ (t0, t1), temosque

Hmin(t)≥ eC(t−s)Hmin(s),

o que implica que, quando s→ t+0 , temos Hmin(t)≥ 0 para todo t ∈ [t0, t1), o que é uma contradição. Logo, Hmin ≥ 0 e portantoH ≥ 0 sempre. Assim, como

|A|2 ≥ H2

n,

já que ‖x‖L1(Rn+1 ≤√

n‖x‖L2(Rn+1 , então

∂H∂ t

= ∆H +H|A|2 ≥ ∆H +H3

n,

Na notação do Princípio do Máximo Fraco (na versão para mínimo), tomemos u = −H, X = 0 e b(x) = x3/n. Logo, seHmin(0) = 0, então pelo Princípio do Máximo Forte, temos que H(t) é sempre zero. Assim, se em algum τ > 0, Hmin(τ) = 0,então H(·,τ) é identicamente nula em M, o que é uma contradição, pois não há hipersuperfícies compactas com curvaturamédia constante nula. Portanto, como H ′min(t)≥ b(Hmin(t))> 0, então Hmin é sempre crescente durante o fluxo e H é positivoem M em todo tempo positivo.

Observemos ainda que esta proposição mostra um fato interessante: apesar do fluxo de curvatura média tender a minimizara área da hipersuperfície, temos que superfícies mínimas são instáveis pelo fluxo quanto à perturbações convexas. De fato,se deformarmos uma superfície mínima em algum ponto, de forma que se tenha localmente curvatura positiva em algumadireção, então a superfície não será mais mínima ao evoluir pela curvatura média. Logo, sabendo que a convexidade em médiaé preservada, podemos nos perguntar se algumas propriedades de pinching também permanecem durante o fluxo.

Proposição 3.4.3. Se uma hipersuperfície compacta evoluindo pela curvatura média, com segunda forma fundamental A,satisfaz |A| ≤ αH para alguma constante α > 0, então |A| ≤ αH para todo tempo postivo.

Demonstração. Pela Proposição 3.4.2, sabemos que H > 0 para todo tempo positivo. Logo, |A|> 0 para todo tempo positivo,o que implica ser tão suave quanto |A|2. Seja [0,T ) um intervalo de existência de solução suave do fluxo de curvatura média.


Tomando f = |A|−αH, pela Proposição 3.1.1, temos

∂ f∂ t

=∂ |A|∂ t−α

∂H∂ t

=1

2|A|∂ |A|2

∂ t−α

∂H∂ t

=1

2|A|(∆|A|2−2|∇A|2 +2|A|4)−α(∆H +H|A|2)

= ∆|A|+ 12|A|

(2|∇|A||2−2|∇A|2)+ |A|3−α(∆H +H|A|2)

= ∆ f + |A|2 f +1

2|A|(2|∇|A||2−2|∇A|2)

≤ ∆ f + |A|2| f |,

já que∆|A|2 = ∇(2|A|∇|A|) = 2(∇|A|)2 +2|A|∆|A|,

e que |∇A|2 ≤ |∇|A||2. Portanto, escolhendo qualquer T ′ < T, se C é o máximo de |A|2 em M× [0,T ′], temos

∂ f∂ t≤ ∆ f +C| f |

em M× [0,T ′]. Assim, pelo Princípio do Máximo Fraco, como fmax(0)≤ 0, tempos que f ≤ 0 em M× [0,T ′]. Mas como T ′

é arbitrário, então segue que |A| ≤ αH para todo tempo positivo.

Para hipersuperfícies com curvatura média ou escalar positiva, podemos dizer ainda mais.

Corolário 3.4.4. Se uma hipersuperfície compacta n-dimensional satisfaz H > 0 e evolui pela curvatura média, então existeα0 > 0 tal que

α0|A|2 ≤ H2 ≤ n|A|2

em M para todo tempo. Ainda mais, se a hipersuperfície tem curvatura escalar positiva, então o mesmo vale durante aevolução.

Demonstração. Como as normas euclidiana e da soma são equivalentes, então temos

α0|A|2 ≤ H2 ≤ n|A|2,

o que implica, pela Proposição 3.4.3, que a desigualdade continua valendo durante o intervalo de existência de solução suavedo fluxo.

Como a curvatura escalar, dada por H2−|A|2, é positiva por hipótese, então H2/|A|2 > 1. Assim, como M é compacta econvexa em média, temos pela Proposição 3.4.2 que H não muda de sinal, pois Hmin é crescente, logo H > |A|. Assim, pelaProposição 3.4.3, segue então que esta desigualdade continua valendo em todo tempo positivo, e portanto a curvatura escalarpermanece positiva.

Observemos que como convexidade em média se torna imediatamente estrita pela Proposição 3.4.2, então do Corolário3.4.4 segue imediatamente o resultado a seguir.

Corolário 3.4.5. Suponhamos que uma hipersuperfície compacta inicial satisfaz H ≥ 0 e que A não é limitada quando t→ T.Então H também não é limitada.

Recordemos que no Exemplo 2.4.3 do Capítulo 2, encontramos para a esfera Sn que

|A(t)|= 1√2(Tmax− t)

.

Pelo que vimos até agora, podemos suspeitar de que em uma hipersuperfície compacta, tenhamos no mínimo (já que sepode considerar uma esfera circunscrita à hipersuperfície inicial) a mesma estimativa para o máximo de |A| em cada t, poiscomo vimos para o neckpinch, a hipersuperfície pode começar a desenvolver curvaturas muito altas em certas regiões, isto é,singularidades, antes de se contrair a um ponto.


Proposição 3.4.6. Se a segunda forma fundamental A de uma hipersuperfície compacta evoluindo pela curvatura média em[0,T ) não é limitada quando t→ T <+∞, então A deve satisfazer

maxp∈M|A(p, t)| ≥ 1√

2(T − t),

para todo t ∈ [0,T ). Consequentemente,limt→T

maxp∈M|A(p, t)|=+∞.

Demonstração. Da Proposição 3.1.1 temos

∂

∂ t|A|2max = ∇|A|2max−2|∆A|2max +2|A|4max

≤ ∇|A|2max +2|A|4max.

(3.6)

Notemos que |A|2max > 0 sempre, caso contrário se em algum tempo t, temos |A|2max = 0, então A = 0 em M, o que implicaque M é um hiperplano em Rn+1, um absurdo, pois M é compacta. Logo, dividindo a desigualdade (3.6) por |A|2max, obtemos

1|A|2max

∂

∂ t|A|2max ≤ 2|A|2max.

Como∂

∂ t|A|2max = 2|A|max

∂

∂ t|A|max,

implica que∂

∂ t|A|−2

max =−2|A|−3max

∂

∂ t|A|max =−|A|−4 ∂

∂ t|A|2max,

para quase todo t ∈ [0,T ), já que |A|−2max é localmente Lipschitz, e logo diferenciável em quase todo ponto, então temos que

−|A|2max∂

∂ t|A|−2

max ≤ 2|A|2max,

ou seja,

− ∂

∂ t|A|−2

max ≤ 2

para quase todo t ∈ [0,T ), pois |A|2max > 0. Integrando esta última desigualdade em [t,s]⊂ [0,T ), obtemos

1|A(·, t)|2max

− 1|A(·,s)|2max

≤ 2(s− t).

Como, por hipótese, A não é limitada em [0,T ), isto é, existe uma sequência si → T tal que |A(·,si)|2max → +∞, entãosubstituindo esses s por si, e tomando i→ ∞, segue que

1|A(·, t)|2max

≤ 2(T − t).

Logo, para uma hipersuperfície inicial compacta satisfazendo H > 0 em M, como pelo Corolário 3.3.6 temos

Tmax ≤(diamRn+1 (ϕ(M,0)))2

2n,

então

H2min(0)≤ H2

Sn(diam2Rn+1 (ϕ(M,0))) =

n2

(diamRn+1 (ϕ(M,0)))2 ≤n

2Tmax.


Portanto, temos uma nova estimativa para o tempo maximal em termos da curvatura, dada por

Tmax ≤n

2H2min(0)

.

Agora, enquanto a segunda forma fundamental for limitada, veremos a seguir um importante resultado sobre todas as suasderivadas covariantes.

Proposição 3.4.7. Se a segunda forma fundamental de uma hipersuperfície evoluindo pela curvatura média é limitada nointervalo [0,T ), com T <+∞, então todas as suas derivadas covariantes também são limitadas.

Demonstração. Pela Proposição 3.1.1 temos

∂

∂ t|∇kA|2 = ∆|∇kA|2−2|∇k+1A|2 + ∑


pA∗∇qA∗∇

rA∗∇kA

≤ ∆|∇kA|2 +P(|A|, · · · , |∇k−1A|)|∇kA|2 +Q(|A|, · · · , |∇k−1A|),

onde P e Q são funções suaves independentes do tempo. Notemos que nos argumentos de P e Q, não há ∇kA: de fato, otermo ∇kA só aparece uma ou duas vezes em ∇pA∗∇qA∗∇rA∗∇kA, pois p+q+ r = k e p,q,r ∈ N. Se há duas ocorrências,suponhamos que r = k, o que implica p = q = 0 e estimamos

|A∗A∗∇kA∗∇

kA| ≤ |A||A||∇kA||∇kA|= |A|2|∇kA|2.

Agora, se há uma ocorrência, temos p,q,r < k, o que implica pela Desigualdade de Young, que

|∇pA∗∇qA∗∇

rA∗∇kA| ≤ |∇pA∗∇

qA∗∇rA||∇kA|

≤ |∇pA∗∇qA∗∇

rA|2/2+ |∇kA|2/2.

Prosseguimos por indução em k. O caso k = 0 é a hipótese (A é limitado). Suponhamos que todas as derivadas covariantes deA até a ordem k−1 são limitadas. Logo, P(|A|, · · · , |∇k−1A|) e Q(|A|, · · · , |∇k−1A|) também são limitadas, e então

∂

∂ t|∇kA|2 ≤ ∆|∇kA|2 +C|∇kA|2 +D.

Pelo Princípio do Máximo Fraco, temos que

∂

∂ t|∇kA|2max ≤C|∇kA|2max +D,

e como o intervalo [0,T ) é limitado, então |∇kA|2max é também limitada, já que tomando u = |∇kA|2max, temos

u′ ≤Cu+D,

Integrando esta última desigualdade, segue que

u(t)≤C1ect − DC≤C,

já que [0,T ) é limitado, valendo para quase todo tempo t ∈ [0,T ).

Observando a equação (3.1.4) temos que a taxa no tempo com que há formação de singularidades depende das derivadascovariantes de A. Naturalmente, das Proposições 3.4.6 e 3.4.7 podemos intuir que em uma hipersuperfície compacta, a variaçãoda norma de A é contínua no tempo.

Proposição 3.4.8. Se a segunda forma fundamental de uma hipersuperfície evoluindo pela curvatura média é limitada no in-tervalo [0,T ), com T <+∞, então T não pode ser um tempo singular para o fluxo de curvatura média de uma hipersuperfíciecompacta ϕ : M× [0,T )→ Rn+1.


Demonstração. Como A é limitada, então pela Proposição 3.4.7, todas as derivadas covariantes de A são limitadas porconstantes dependendo de T e da hipersuperfície inicial. Como H é limitada, temos que

|ϕ(p, t)−ϕ(p,s)| ≤∫ t

s

∂ϕ

∂ t(p,ξ )dξ =

∫ t

s|H(p,ξ )||ν(p,ξ )|dξ

=∫ t

s|H(p,ξ )|dξ ≤C(t− s),

para todo p∈M e todo 0≤ s≤ t < T. Logo, a família (ϕt = ϕ(·, t)) é uniformemente de Cauchy, convergindo uniformementea uma ϕT : M→ Rn+1, contínua quando t→ T. Fixando um vetor v =

vi∈ TpM, temos

ddt

log |v|2g =1|v|2g

ddt

(|v|2g)=

1|v|2g

(viv j ∂gi j

∂ t

)=−2Hhi jviv j

|v|2g≤C|A|2|v|2g|v|2g

≤C.

Então, para todo 0≤ s≤ t < T, ∣∣∣∣∣log|v|2g(t)|v|2g(s)

∣∣∣∣∣≤∫ t

s

∣∣∣∣ ddε

log |v|2g(ξ )

∣∣∣∣dξ ≤C(t− s),

o que implica que as métricas g(t) são todas equivalentes e as normas | · |g(t) convergem uniformemente, quando t→ T, a umanorma | · |T que é contínua. Como a Identidade do Paralelogramo vale para o limite, então podemos obter por polarização,uma métrica gT equivalente a todas as outras e é positiva definida. Logo, podemos usar qualquer uma dessas métricas. Pelaequação de evolução dos símbolos de Christoffel, item (d) da Proposição, temos

|Γki j(t)| ≤ |Γk

i j(0)|+∫ t

0

∣∣∣∣ ∂

∂ξΓ

ki j(ξ )

∣∣∣∣dξ

≤C+∫ T

0|A∗∇A|dξ ≤C+DT,

para algumas constantes dependendo somente da hipersuperfície inicial. Assim, os símbolos de Christoffel são equilimitadosno tempo, após fixar uma carta local, o que implica que para cada tensor S, temos∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂S

∂xi

∣∣∣∣−|∇iS|∣∣∣∣≤ ∣∣∣∣ ∂S

∂xi− ∂S

∂xi+ΓS

∣∣∣∣= |ΓS| ≤C|S|.

No resto da demonstração, por simplicidade, denotaremos por ∂ as derivadas coordenadas e por ∇ as covariantes.Como a derivada no tempo dos símbolos de Christoffel é um tensor da forma A∗∇A, então

|∂t∂sl1···lsΓ

ki j|= |∂ s

l1···ls ∂tΓki j|= |∂ s

l1···ls A∗∇A|.

Logo, como as derivadas covariantes de A são limitadas, então |∂ sl1···lsΓ

ki j| ≤C para todo s ∈ N. Notemos que iterativamente,

||∇sS|− |∂ sS|| ≤s

∑i=1

∑j1+···+ ji+k≤s−1

|∂ j1Γ · · ·∂ jiΓ∂kS| ≤C

s−1

∑k=1|∂ kS|.

Isto implica que se um tensor possui todas as derivadas covariantes limitadas, também todas as derivadas coordenadas sãolimitadas. Em especial, |∂ kA| ≤Ck. Além disso, como ∇kg = 0, pois se trata da conexão de Levi-Civita, de forma que o trans-porte paralelo preserva ângulos e comprimentos, então todas as derivadas covariantes do tensor métrico g são equilimitadas.Sendo |ϕ| limitado e |∂ϕ|= 1 (considerando coordenadas ortonormais), então pelas equações de Gauss-Weingarten, escritasna forma

∂2ϕ = Γ∂ϕ +Aν e ∂ν = A∗∂ϕ,


temos

|∂ kϕ|=

∣∣∣∣∣k−2

∑i=0

(k−2

i

)∂

k−2−iΓ∂

i+1ϕ +

k−2

∑i=0

(k−2

i

)∂

k−2−iA∂iν

∣∣∣∣∣≤C

k−2

∑i=0|∂ i+1

ϕ|+Ck−2

∑i=1|∂ i−1(A∗∂ϕ)|+C

=Ck−2

∑i=0|∂ i+1

ϕ|+Ck−2

∑i=1

∣∣ ∑p+q+r=i−1

∂pA∗∂

qg∗∂r+1

ϕ∣∣+C

≤Ck−2

∑i=0|∂ i+1

ϕ|+Ck−2

∑i=1

i−1

∑r=0|∂ r+1

ϕ|+C

≤Ck−2

∑i=0|∂ i+1

ϕ|+Ck−2

∑i=1|∂ i

ϕ|+C

≤Ck−1

∑i=0|∂ i

ϕ|.

onde C depende de ∂ kΓ, ∂ kA e ∂ kg. Portanto, obtemos por indução que

|∂ kϕ|<Ck

para constantes Ck independentes do tempo t ∈ [0,T ). Pelo Teorema de Ascoli-Arzelá, temos então que ϕT : M→Rn+1 é umaimersão suave e ϕ(·, t)→ ϕT em C∞. Ainda mais, pelo mesmo argumento, diferenciando ∂ tϕ = Hν , obtemos uma limitaçãouniforme das derivadas no tempo da aplicação ϕ, isto é,

|∂ st ∂

kx ϕ| ≤Cs,k.

Portanto, ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 pode ser estendida suavemente à fronteira do domínio de ϕ com ϕT . Pelo Teorema 2.3.1 doCapítulo 2, podemos recomeçar o fluxo com a imersão ϕT , de modo a ser uma extensão suave de ϕ, o que é uma contradição,pois T é um tempo maximal de existência de solução suave.

Enunciamos assim, uma versão melhorada do Teorema 2.3.1 do Capítulo 2.

Teorema 3.4.9. Consideremos uma hipersuperfície inicial compacta e suave ϕ0 : M→Rn+1. Então existe um único Tmax > 0tal que há uma única solução suave do Problema (2.1), definido no Capítulo 2m em [0,Tmax), e que depende continuamentede ϕ0. Além disso, Tmax é finito e


2(Tmax− t),

para qualquer t ∈ [0,Tmax).

Notemos que o tempo maximal de existência de solução suave do fluxo pode ser estimado ainda por

Tmax ≥1

2|A(·,0)|2max.

3.5 ConvexidadeAnalisemos a invariância da convexidade pelo fluxo de curvatura média. Para tanto, necessitamos a definição de polinô-

mios simétricos.

Definição 3.5.1. O polinômio elementar simétrico de grau k de λ = (λ1, · · · ,λn) ∈ Rn é definido por

Sk(λ ) = ∑1≤i1<···<ik≤n

λi1 · · ·λik ,

3.5. CONVEXIDADE 61

para 1≤ k ≤ n. Vamos adotar a convenção de que S0 = 1 e Sk = 0 para k > n. Ainda, definimos

Γk =

λ ∈ Rn+1; Si(λ )> 0, 1≤ i≤ k.

Observação 3.5.2. Enunciemos algumas propriedades, cujas demonstrações podem ser encontradas em [3].

(i) Se λi são autovalores da segunda forma fundamental A, temos que S1(λ ) = H, S2(λ ) é a curvatura escalar e

|A|2 = S21(λ )−2S2(λ ).

(ii) Seja λ = (λ1, · · · ,λn) ∈ Rn. Então temos as equivalências

λ1 ≥ 0, · · · ,λn ≥ 0 ⇔ S1(λ )≥ 0, · · · ,Sn(λ )≥ 0 eλ1 > 0, · · · ,λn > 0 ⇔ S1(λ )> 0, · · · ,Sn(λ )> 0.

(3.7)

(iii) Cada Γk é um cone aberto em Rn+1 e temos a cadeia de inclusões

Γk+1 ⊂ Γk,

para todo 1≤ k ≤ n−1.

(iv) Cada Γk ⊂ Rn+1 é convexo e coincide com a componente conexa do conjuntoλ ∈ Rn+1; Sk(λ )> 0

contendo o cone positivo. Além disso, para cada λ ∈ Γk, temos que Sl(λ ) > 0, para todo λ ∈ Γk e todo 1 ≤ l ≤ k e oquociente Sk+1(λ )/Sk(λ ) é côncavo.

(v) Podemos considerar os Sk como funções do operador de Weingarten ao invés das curvaturas principais, já que sef : Ω⊂ Rn→ R é uma função convexa (côncava) simétrica e

F : A ∈Mn(R); A é simétrica com λ= Σ(A)⊂Ω→ R

definida por F(A) = f (λ ), onde Σ(A) é o espectro de A, então F é convexo (côncavo).

Proposição 3.5.3. Seja ϕ um fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície n-dimensional compacta com H > 0 e consi-deremos uma função F(hi

j) homogênea de grau 1. Então, temos que

∂

∂ t

(FH

)−∆

(FH

)=

2H

⟨∇H∣∣∇(F

H

)⟩− 1

H∂ 2F

∂hij∂hk

lgpq

∇phij∇qhk

l .

Além disso, se F é côncava (convexa), qualquer limitação do tipo F ≥ αH (F ≤ αH) é preservado durante o fluxo.

Demonstração. Pela Proposição 3.1.1 e pela Teorema de Euler para funções homogêneas, cuja demonstração pode ser en-contrada em [46] temos que

∂

∂ t

(FH

)=

1H

∂F∂hi

j

∂hij

∂ t+F

∂

∂ t

(1H

)=

1H

∂F∂hi

j

∂hij

∂ t− F

H2∂H∂ t

=1H

∂F∂hi

j(∆hi

j + |A|2hij)−

FH2 (∆H + |A|2H)

=1H

∂F∂hi

j∆hi

j +1H

∂F∂hi

j|A|2hi

j−F

H2 ∆H− FH|A|2

=1H

∂F∂hi

j∆hi

j +FH|A|2− F

H2 ∆H− FH|A|2 = 1

H∂F∂hi

j∆hi

j−F

H2 ∆H

= ∆

(FH

)+

2H

⟨∇H∣∣∣∇(F

H

)⟩− 1

H∂ 2F

∂hij∂hk

lgpq

∇phij∇qhk

l .

Notemos que como último termo é não-negativo (não-positivo) a última afirmação segue pelo Princípio do Máximo Fracoaplicado à F/H.


Proposição 3.5.4. Se ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 é um fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície compacta satisfazendoSk > 0 sempre, para um dado k ∈ 1, · · · ,n , então, para qualquer 2≤ i≤ k, existe αi tal que Si ≥ αiH i > 0 para todo p ∈Me t ∈ [0,T ).

Demonstração. Suponhamos que M é conexa, do contrário consideremos os argumentos a seguir em uma componenteconexa. Assim, podemos tomar um caminho entre quaisquer p, q ∈M, o que implica que o conjunto de curvaturas principaisem p e o conjunto de curvaturas principais em q pertencem à mesma componente conexa de

λ ∈ Rn+1; Sk(λ )> 0

. Como

a hipersuperfície inicial é compacta, podemos tomar uma esfera circunscrita que tangencia em um p ∈M, que portanto temtodas as curvaturas principais positivas, o que implica que o conjunto de curvaturas principais em todos os pontos de Mpertencem à Γk pelo item (iv) da Observação 3.5.2. E portanto na hipersuperfície inicial, Si > 0 sempre, para cada 1≤ i≤ k.Em particular, H = S1 > 0 e, por compacidade, temos Si ≥ βHSi−1 para qualquer 2≤ i≤ k, e certas constantes βi > 0.

Como temos que o H não decresce durante o fluxo, então H > 0 sempre em M para todo t ∈ [0,T ). Logo, o quociente

S2

H2 =1H

S2

S1

fica bem definido para todo t e é maior que β2 em t = 0. Pela proposição anterior seu mínimo é não decrescente, já que H nãoé e portanto S2 ≥ β2H2 para todo t ∈ [0,T ). Aplicando esse argumento sucessivamente, temos que Si ≥ βiHSi−1 para 2≤ i≤ ke para todo t ∈ [0,T ). Logo:

Si ≥ βiHSi−1 ≥ βiβi−1H2Si−2 ≥ ·· · ≥ βiβi−1 · · ·β2H i.

Corolário 3.5.5. Toda hipersuperfície compacta estritamente convexa evoluindo pela curvatura média se mantém estrita-mente convexa.

Demonstração. Notemos que do item (ii) da Observação 3.5.2, a convexidade estrita equivale a S1, · · · ,Sn > 0. Mas pelaProposição 3.5.4, estas se mantém estritamente positivas durante o fluxo.

Podemos afirmar mais ainda: se a hipersuperfície compacta inicial for apenas convexa, então ela se torna estritamenteconvexa para todo t ∈ (0,T ). Vamos ver que o menor autovalor da segunda forma fundamental cresce sempre em M. Consi-deremos primeiro o seguinte resultado, que apenas será enunciado, demonstrado em [23] (Lema 8.2).

Proposição 3.5.6 (Princípio do Máximo Forte de Hamilton). Seja M uma variedade compacta, V um fibrado vetorial sobreM e B uma forma bilinear simétrica em V satisfazendo

∂B∂ t

= ∆B+Ψ(B),

onde Ψ(B) é um campo vetorial tangente em V tangente às fibras com Ψ(B)≥ 0 sempre que B≥ 0. Se B≥ 0 em t = 0, entãotemos que para t > 0 esta propriedade é preservada e existe um intervalo (0,δ ) no qual o posto de B é constante e o núcleode B é invariante por trasporte paralelo, no tempo e está contido no núcleo de Ψ(B).

Como o operador de Weingarten h ji é não negativo definido inicialmente e satisfaz

∂

∂ th j

i = ∆h ji + |A|

2h ji ,

então, pelo Princípio do Máximo de Hamilton, temos que h ji se mantém não negativo, tem posto constante em algum intervalo

(0,δ ) (e portanto o posto de A também) e seu núcleo é invariante por transporte paralelo e no tempo. Então, supondo que talposto m é menor que a dimensão n da hipersuperfície, temos um subespaço (n−m)-dimensional Np ⊂ TpM em cada pontop ∈M, invariante por transporte paralelo, onde Ap(v,v) = 0 para cada v ∈ Np. Se v ∈ TpM é um vetor no núcleo, temos quequalquer geodésica γ em M começando em p é também uma geodésica em Rn+1, já que γ ′ sempre se mantém no núcleo de Ae

∇Rn+1

γ ′ γ′ = ∇

Mγ ′ γ′+A(γ ′,γ ′)ν = 0,

Logo, todo núcleo, como um subespaço afim de Rn+1, está contido em M, o que é um absurdo, pois M é compacta. Portanto,o núcleo de A é nulo, e como h j

i é não decrescente, temos que o menor autovalor de A cresce sempre.

3.5. CONVEXIDADE 63

Observação 3.5.7.

(i) Notemos que se a hipersuperfície não ser convexa, pode não ser verdade que o menor autovalor de A aumenta: o torode Angenent que se contrai homoteticamente é um exemplo.

(ii) Se hipersuperfície inicial não for compacta, os resultados podem não ser verdadeiros, como o cilindro, que apesar deconvexo, ao evoluir pela curvatura média não se torna estritamente convexo.

Proposição 3.5.8. Se uma hipersuperfície compacta evoluindo pela curvatura média satisfaz inicialmente A ≥ αHg parauma constante α ∈ R, então o mesmo continua valendo durante o fluxo.

Demonstração. Consideremos a função definida por

f = hi jviv j−αHgi jviv j,

onde vi(p, t) é um campo de vetores suave satisfazendo

∂vi

∂ t= Hhi

kvk.

Então

∂ f∂ t

=∂hi j

∂ tviv j +2hi jvi ∂v j

∂ t−α

∂H∂ t

gi jviv j +αH∂gi j

∂ tviv j−2αHgi jvi ∂v j

∂ t

=∂hi j

∂ tviv j +2hi jviHh j

kvk−α∂H∂ t

gi jviv j +2αH2hi jviv j−2αH2gi jvih jkvk

=∂hi j

∂ tviv j + |A|2hi j)viv j +2Hh2

i jviv j−α

∂H∂ t

gi jviv j

= (∆hi j−2Hh2i j + |A|2hi j)viv j +2Hh2

i jviv j−α(∆H +H|A|2)gi jviv j

= (∆hi j + |A|2hi j)viv j−α∆Hgi jviv j−αH|A|2gi jviv j

= ∆(hi jviv j−αHgi jviv j)+ |A|2(hi j−αHgi j)viv j

−4(∇khi j−α∇kHgi j)vi∇

kv j

−2(hi j−αHgi j)∇kvi∇

kv j−2(hi j−αHgi j)vi∆v j

= ∆ f + |A|2 f −4(∇khi j−α∇kHgi j)vi∇

kv j

−2(hi j−αHgi j)∇kvi∇

kv j−2(hi j−αHgi j)vi∆v j.

Seja µ(t) o menor valor de hi j(q, t)viv j−αHgi j(q, t)viv j para t fixo, q ∈M e v ∈ TqM um vetor tangente unitário de (M,gt).Como µ é uma função localmente Lipschitz, então é diferenciável em quase todo ponto em [0,T ). Notemos que µ(0)≥ 0 porhipótese. Suponhamos por contradição que existe um intervalo aberto (t0, t1)⊂ [0,T ) onde µ é negativo e µ(t0) = 0. Assim,sendo t ∈ (t0, t1) um ponto de diferenciabilidade de µ, então existe um p ∈M e um vetor unitário v ∈ TpM tal que

µ(t) = hi jviv j−αH(p, t)gi j(p, t)viv j ≤ hi j(q, t)wiw j−αH(q, t)gi j(q, t)wiw j,

para todo q ∈M e w ∈ TqM unitário. Estenda localmente em coordenadas locais, o vetor v no espaço a um campo de vetores,ainda denotando por v, satisfazendo

gt(v(q),v(q))≤ 1 para todo q ∈M, ∇gt v(p) = 0 e ∆gt v(p) = 0.

Agora, estendemos v também localmente no tempo como solução do seguinte problema∂vi

∂ t= Hhi

kvk,

v(p,0) = v(p) (definido acima).


Como µ(t) é negativa em (t0, t1), então f (·, t) tem um mínimo no espaço em p ∈M. De fato, se f (q, t)< 0, temos v(q) 6= 0 e

f (p, t) = µ(t)≤hi j(q, t)vi(q)v j(q)−αH(q, t)gt(v(q),v(q))

gt(v(q),v(q))

=f (q, t)

gt(v(q),v(q))≤ f (q, t),

pois gt(v(q),v(q))≤ 1. Logo, ∆ f (p, t)≥ 0 e em (p, t),

∂ f∂ t

= ∆ f + |A|2 f ≥C f ,

onde C > 0 é uma constante tal que |A|2 ≤C em [0, t1). Assim, dado ε > 0, existe algum t2 ∈ [t0, t] tal que se t ∈ [t2, t], temos

f (p, t)− f (p, t)≤ ∂ f∂ t

(p, t)(t− t),

isto é

f (p, t)≤ f (p, t)−C(t− t) f (p, t)

< f (p, t)−C(t− t) f (p, t)+ ε(t− t).

Notemos que v(p, t) é ainda um vetor unitário, pois

∂g∂ t

(v,v) =−2Hhi jviv j +2g(

∂v∂ t

,v)= 0.

Logo a norma de v é constante, e então

µ(t)≤ f (p, t)< f (p, t)−C(t− t) f (p, t)+ ε(t− t)

= µ(t)−C(t− t)µ(t)+ ε(t− t),

isto é,µ(t)−µ(t)

t− t≥Cµ(t)− ε,

e como t é um tempo de diferenciabilidade de µ, fazendo t→ t, obtemos

µ′(t)≥Cµ(t)− ε.

Mas sendo ε arbitrário, segue queµ′(t)≥Cµ(t).

Como esta desigualdade vale nos pontos de diferenciabilidade de µ em quase todo ponto t ∈ (t0, t1), onde µ < 0, entãopodemos integrar no intervalo (t0, t)⊂ (t0, t1) para todo t ∈ (t0, t1] e obter

µ(t)−µ(t0)≥ eCt − eCt0 ≥ 0.

Sendo µ(t0) = 0 então µ(t) deve ser identicamente nulo em [t0, t1) por continuidade, o que é uma contradição. Assim, µ deveser não-decrescente.

Observação 3.5.9. Notemos que é uma consequência direta é que se além disso a hipersuperfície inicial satisfizer H > 0, omenor autovalor de hi j/H é não-decrescente durante o fluxo.

Antes de mostrarmos a invariância da k-convexidade, enunciemos um resultado, demonstrado em [23] (Lema 8.1).

Proposição 3.5.10 (Princípio do Máximo Fraco de Hamilton). Seja M uma variedade compacta, V um fibrado vetorialsobre M e seja f uma seção suave de V satisfazendo

∂ f∂ t

= ∆ f +Ψ( f )

onde Ψ( f ) é um campo vetorial em V tangente às fibras. Consideremos Z( f ) uma função convexa sobre o fibrado, invariantesob transporte paralelo tal que as curvas de nível Z( f )≤ λ são preservadas pela equação diferencial ordinária

∂ f∂ t

= Ψ( f ).

Então Z( f )≤ λ é preservada também pela equação (3.5.10) para qualquer λ constante.

Proposição 3.5.11. Toda hipersuperfície compacta k-convexa evoluindo pela curvatura média se mantém k-convexa.

Demonstração. Como(λ1 + · · ·+λk)(p) = min

Ap(e1,e1)+ · · ·+Ap(ek,ek)

,

onde o mínimo é tomado em e1, · · · ,ek ∈ TpM, com gp(ei,e j) = δi j, então a quantidade λ1 + · · ·+λk é uma função côncavado operador de Weingarten, sendo o ínfimo de uma família de aplicações lineares. Logo a desigualdade λ1 + · · ·+λk ≥ αHdescreve um cone convexo conjunto de todas as matrizes. Ainda, como

dhij

dt= |A|2hi

j

descreve que o operador de Weingarten evolui homoteticamente, então o cone é invariante sob esse sistema. Portanto, peloPrincípio do Máximo Fraco de Hamilton temos o resultado.

Finalizamos este capítulo comentando outro resultado importante do comportamento no tempo maximal de existência deuma solução suave do fluxo, que é o efeito regularizante, característico de equações parabólicas, demonstrado por Ecker eHuisken em [15]. Se uma hipersuperfície inicial compacta satisfizer uma condição sobre a uniformidade Lipschitz local (porexemplo, poderiamos supor uma regularidade C2), então ao evoluir pela curvatura média, imediatamente a hipersuperfície setorna suave. Wang estendeu esse resultado em [49] para subvariedades Lipschitz de qualquer codimensão.

65

66

Capítulo 4

Singularidades do tipo I

Nos capítulos anteriores verificamos que em tempos pequenos há formação de singularidades na evolução de hipersuper-fícies pela curvatura média, como é o caso do neckpinch, no qual a convergência antecipada do cilindro central, em relação àsesferas laterais força a curvatura crescer a uma taxa muito alta nesse ponto. Iniciamos então a verificação do comportamentodestas singularidades, sendo que tratamos neste capítulo as de tipo I, as quais ainda possuem uma limitação na taxa de cresci-mento da segunda forma fundamental. Seguimos o tratamento de Huisken e Hamilton e apresentamos um forte instrumentopara se estudar singularidades, a Fórmula de Monotonicidade em conjunto com rescalings convenientes. Realizamos entãouma descrição de alguns resultados topológicos relativos às hipersuperfícies, como a classificação de alguns sólitons auto-similares para hipersuperfícies convexas em média, em um resultado clássico devido à Huisken, que afirma que esses devemser hiperplanos passando pela origem, esferas ou cilindros. Entre outras referências utilizadas citamos [48], [28], [50].

No decorrer deste capítulo, ϕ : M× [0,T )→Rn+1 denota uma hipersuperfície compacta n-dimensional ϕ0 : M× [0,T )→Rn+1 evoluindo pela curvatura média no intervalo maximal de existência de uma solução suave [0,T ). Também, H n será amedida n-dimensional de Hausdorff em Rn+1 contando multiplicidades (Apêndice B.3).

4.1 Fórmulas de MonotonicidadeIniciamos o capítulo, tratando nesta seção da Fórmula de Monotonicidade de Huisken, essencial para verificarmos a

formação de singularidades. Entre alguns resultados que necessitaremos para demonstrá-la, temos a seguir a evolução daintegral de uma função genérica definida sobre as hipersuperfícies em evolução.

Lema 4.1.1. Seja f : Rn+1× I→ Rn+1 uma função suave. Denotando a integral∫M

f (ϕ(p, t), t)dµt(p) por∫M

f dµt(p),

entãoddt

∫M

f dµt =∫M( ft −H2 f +H 〈∆ f ,ν〉)dµt .

Demonstração. Calculando diretamente temos

ddt

(∫M

f dµt

)=∫M

(ddt

f (ϕ(p, t), t)+ f∂

∂ tµt

)dµt

=∫M

⟨∇ f ,

∂

∂ tϕ

⟩+

∂

∂ tf − f H

⟨∂

∂ tϕ,ν

⟩dµt

=∫M

(∂

∂ tf −H2 f +H 〈∇ f ,ν〉

)dµt .

67

CAPÍTULO 4. SINGULARIDADES DO TIPO I 68

Notemos que o Lema 4.1.1 implica imediatamente que se u é uma solução de

ut =−∆Rn+1

u,

onde ∆Rn+1é o Laplaciano usual em Rn+1, então

ddt

∫M

udµt =∫M

(ut −H2u+H 〈∇u,ν〉

)dµt

=−∫M

(∆Rn+1

u+H2u−H 〈∇u,ν〉)

dµt .

(4.1)

No próximo lema, explicitaremos o operador de Laplace-Beltrami aplicado em uma função suave agindo sobre umahipersuperfície.

Lema 4.1.2. Se ψ : M→ Rn+1 é uma imersão isométrica suave de uma n-variedade Riemanniana (M,g), então para cadafunção suave u definida em uma vizinhança de ψ(M), temos

∆g(u(ψ)) = (∇Rn+1u)(ψ)− (∇2

νν u)(ψ)+H 〈ν ,(∇u)(ψ)〉 ,

onde (∇2νν u)(ψ(p)) é a segunda derivada de u na direção normal ν(p) ∈ Rn+1 no ponto ψ(p).

Demonstração. Seja p ∈M e tomemos coordenadas normais em p. Logo, pelas equações de Gauss-Weingarten, temos

∆g(u(ψ)) = ∇2ii(uψ) = ∇i

(∂u

∂yα

∂ψα

∂xi

)=

∂ 2u∂yα ∂uβ

∂ψα

∂xi

∂ψβ

∂xi+

∂u∂yα

∂ 2ψα

∂x2i

=∂ 2u

∂yα ∂uβ

∂ψα

∂xi

∂ψβ

∂xi+

∂u∂yα

hiiνα

=(∇

M)2u+H 〈ν ,(∇u)(ψ)〉

= (∆Rn+1u)(ψ)− (∇2

νν u)(ψ)+H 〈ν ,(∇u)(ψ)〉 .

Antes de demonstrarmos a Fórmula de Monotonicidade, consideraremos ainda um resultado que será útil, demonstradopor Hamilton em [21], estendida para Rn.

Proposição 4.1.3 (Desigualdade de Harnack de Li-Yau). Seja u : Rn× (0,T ]→Rn+1 uma solução suave positiva da equa-ção do calor tal que para todo t ∈ (0,T ], u(·, t) é limitada por alguma constante C(t)> 0. Então a forma

Hi j = ∇2i ju−

∇iu∇ juu

+u2t

δi j

é não-negativa definida para todo x ∈ Rn e t > 0.

Demonstração. Daremos apenas um esboço da demonstração de Hamilton, adaptada para este caso.Como u é uma solução limitada da equação do calor, então da Teoria de Equações Parabólicas (por exemplo, [17]), temos

que |∇u| e |∇2u| são limitadas no espaço, em cada t ∈ [0,T ) por uma constante C(t). Suponhamos que estas constantes C(t)são limitadas uniformemente inferiormente por C < +∞ e que u > θ > 0 para algum θ ∈ R. Consideremos para algumasconstantes ε > 0 e A > 0, a forma definida por

Hεi j = Hi j +

εe|x|2

4(A−t)

(A− t)n/2 δi j.

4.1. FÓRMULAS DE MONOTONICIDADE 69

Logo, temos que

Hεi j ≥−

∣∣∣∣∇2i ju−

∇iu∇ juu

∣∣∣∣δi j +θ

2tδi j

≥−(C+C2

θ)δi j +

θ

2tδi j,

(4.2)

e daí Hεi j→ ∞ quando t→ 0, o que implica que Hε

i j é uniformemente positiva definida para t suficientemente pequeno. Segueentão que

∂tHi j ≥ ∆Hi j +2u

H2i j−

2t

Hi j,

e como

e|x|2

4(A−t)

(A− t)n/2

satisfaz a equação do calor em Rn× [0,4), então

(∂t −∆)Hεi j ≥

2u

H2i j−

2t

Hi j

=2u(Hε

i j)2− 2

tHε

i j−4εe

|x|24(A−t)

u(A− t)n/2 Hεi j +

2ε2e|x|2

2(A−t)

u(A− t)n δi j +2εe

|x|24(A−t)

t(A− t)n/2 .

Para todo t ∈ (0,A), a forma H i j possui seu menor autovalor em algum ponto x0 ∈ Rn, pois o termo Hεi j é limitado e o termo

ε2e|x|2

4(A−t)

(A− t)n/2 δi j

tende a +∞ quando |x| → +∞. Se em algum t0 < A/2, o menor autovalor de Hεi j em x0 ∈ Rn é zero e

vi

é um autovetorunitário, então em cada x0 temos

(∂t −∆)Hεi j ≥

2ε2e|x|2

2(A−t)

u(A− t)n δi j +2εe

|x|24(A−t)

t(A− t)n/2 > 0. (4.3)

Assim, considerando o primeiro ponto (x0, t0), com t0 < A/2 tal que Hεi jv

iv j é positivo para todo (x, t) com t < t0, segue que(∂t−∆)Hε

i j ≤ 0, o que é uma contradição com a desigualdade (4.3). Logo, para todo ε > 0, a matriz Hεi j(x, t) é positiva definida

para todo t ∈ (0,A/2) e x ∈Rn. Tomando ε → 0 e A→+∞ na equação (4.1), então para cada x ∈Rn e t > 0, temos que Hi j énão negativa definida.

Agora, suponhamos u geral, não limitada inferiormente uniformemente. Dado ε > 0, consideremos a solução positivapara a equação do calor, w : Rn× [0,T − ε)→ R, definida por

w(x,s) = ε +u(x,s+ ε).

Do que já demonstramos, sabemos que w, |∇w| e |∇2w| são uniformemente limitadas respectivamente pelos supremos de u,|∇u| e |∇2u|, em Rn× [ε,T ]. Logo,

0≤ ∇2i jw−

∇iw∇ jww

+w2t

δi j

= ∇2i ju−

∇iu∇ juu+ ε

+u+ ε

2(t− ε)δi j

para todo x ∈Rn e t ∈ (ε,T ], onde fizemos a translação s+ε = t. Como u é positiva, então tomando ε→ 0, temos o resultado.


Demonstraremos agora a Fórmula de Monotonicidade de Hamilton ([24]), a qual implica na Fórmula de Monotonicidadede Huisken. Comentamos que embora apresentamos dessa forma, Huisken desenvolveu primeiro a fórmula e Hamilton ageneralizou.

Teorema 4.1.4 (Fórmula de Monotonicidade de Hamilton). Suponhamos que para algum τ > 0 temos uma solução suavepositiva de ut =−∆Rn+1

u em Rn+1× [0,τ), limitada no espaço para cada t ∈ [0,τ), então

ddt

(√4π(τ− t)

∫M

udµt

)≤−

√4π(τ− t)

∫M|H−〈∆ logu,ν〉 |2udµt ,

para todo t ∈ [0,min(τ,T )).

Demonstração. Seja ∇⊥u a projeção no espaço normal à M do gradiente de u. Se u é positiva, usando a equação (4.1) e oLema 4.1.2 temos

ddt

∫M

udµt =−∫M

(∇Rn+1

u+H2u−H 〈∆u,ν〉)

dµt

=−∫M(∆g(t)(u(ϕt)))+∇

2νν u+H2u−2H 〈∇u,ν〉)dµt

=−∫M(∇2

νν u+H2u−2H 〈∇u,ν〉)dµt

=−∫M

∣∣∣H− 〈∇u,ν〉u

∣∣∣2udµt +∫M

(|∇⊥u|2

u−∇

2νν u)

dµt ,

onde usamos o Teorema da Divergência. Então, assumindo que u : Rn+1 × [0,τ) → R é uma solução suave positiva deut =−∆Rn+1

u, para algum τ > 0, temos

ddt

(√4π(τ− t)

∫M

udµt

)=−

√4π(τ− t)2(τ− t)

∫M

udµt +√

4π(τ− t)ddt

∫M

udµt

=−√

4π(τ− t)2(τ− t)

∫M

udµt −√

4π(τ− t)∫M

∣∣∣H− 〈∇u,ν〉u

∣∣∣2udµt

+√

4π(τ− t)∫M

(|∇⊥u|2

u−∇

2νν u)

dµt

=−√

4π(τ− t)∫M|H−〈∇ logu,ν〉 |2udµt

−√

4π(τ− t)∫M

(∇

2νν u− |∇

⊥u|2

u+

u2(τ− t)

)dµt ,

(4.4)

no intervalo [0,min(τ,T )), notando que〈∇u,ν〉

u= 〈∇ logu,ν〉 .

Notemos que no lado direito da equação (4.4), o termo

∇2νν uu− |∇

⊥u|2

u2 +1

2(τ− t)

é não-negativo pela Desigualdade de Harnack de Li-Yau e portanto temos o resultado.

Como afirmamos, veremos agora que o resultado de Huisken em [28] segue como um corolário da demonstração daFórmula de Monotonicidade de Hamilton.

Teorema 4.1.5 (Fórmula de Monotonicidade de Huisken). Para todo x0 ∈ Rn+1 e τ > 0, temos

ddt

∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt =−∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2

∣∣∣H +〈x− x0,ν〉2(τ− t)

∣∣∣2dµt

4.1. FÓRMULAS DE MONOTONICIDADE 71

no intervalo [0,min(τ,T )). Portanto a integral

∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt ,

é não decrescente durante o fluxo em [0,min(t,T )).

Demonstração. Aplicando o núcleo da equação de calor backwards em Rn+1, definida por

u(x, t) = ρx0,τ(x, t) =e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))(n+1)/2 ,

na equação (4.4), temos que

∇2νν uu− |∇

⊥u|2

u2 +1

2(τ− t)= 0,

de onde temos o resultado.

Observação 4.1.6. Para cada x0 ∈ Rn+1, τ > 0 e cada função suave v : M× [0,T )→ R, seja

ρ =e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 .

Usando o Teorema da Divergência temos que

ddt

∫M

ρdµt =∫M

ddt(ρv)dµt +

∫M

ρvddt

µt

=∫M

(ddt

ρ + ρddt

µt

)dµt +

∫M

ρddt

vdµt

=−∫M

∆g(t)(ρv)+ ρddt

µtvdµt +∫M

ρddt

vdµt

=−∫M

v∆g(t)ρ + ρ∆g(t)v+ ρddt

µtvdµt +∫M

ρddt

vdµt

=−∫M

ρ∆g(t)v+ ρddt

µtvdµt +∫M

ρddt

vdµt .

Assim, segue que

ddt

∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 vdµt =−∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2

∣∣∣H +〈x− x0,ν〉2(τ− t)

∣∣∣2vdµt +∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 (vt −∆g(t)v)dµt ,

no intervalo [0,min(τ,T )). Em particular, se v : M× [0,T )→ R é uma solução suave de vt = ∆g(t)v,

ddt

∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 vdµt =−∫M

e−|x−x0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2

∣∣∣H +〈x− x0,ν〉2(τ− t)

∣∣∣2vdµt ,

em [0,min(τ,T )).


4.2 Singularidades do tipo IPassamos a lidar com singularidades, as quais essencialmente são de dois tipos, definidos a seguir.

Definição 4.2.1. Seja T o tempo maximal de existência de um fluxo de curvatura média e A a segunda forma fundamental dahipersuperfície em evolução. Se existe uma constante C > 0 tal que vale a limitação superior

maxp∈M|A(p, t)| ≤ C√

2(T − t),

dizemos que o fluxo desenvolve no tempo T uma singularidade do tipo I. Se tal constante não existe, isto é

limsupt→T

maxp∈M|A(p, t)|

√T − t =+∞,

dizemos que temos uma singularidade do tipo II.

No Capítulo 3, estimamos o tempo maximal de formação de uma singularidade em


2(T − t).

Como neste capítulo visamos tratar as singularidades de tipo I, então assumiremos no que segue, que sempre existe umaconstante C0 > 1 tal que

1√2(T − t)

≤ maxp∈M|A(p, t)| ≤ C0√

2(T − t), (4.5)

para todo t ∈ [0,T ). Notemos que por essa hipótese, se p ∈M e 0≤ t ≤ s < T, então

|ϕ(p,s)−ϕ(p, t)| ≤∫ s

t

∣∣∣∂ϕ(p,ξ )∂ t

∣∣∣dξ =∫ s

t|H(p,ξ )||ν(p,ξ )|dξ

=∫ s

t|H(p,ξ )|dξ ≤

∫ s

t

√n|A(p,ξ )|dξ

≤∫ s

t

C0√

n√2(T − t)

dξ ≤C0√

n(T − t),

(4.6)

o que implica que uma sequência de funções ϕ(·, t) converge quando t→ T a alguma ϕT : M→Rn+1. Ainda, como a constanteC0 é independente de p∈M, a convergência é uniforme em p e o limite ϕT é contínuo. Assim, quando s→ T na desigualdade(4.6), temos

|ϕ(p, t)−ϕT (p)| ≤C0√

n(T − t) (4.7)

Denotaremos o limite ϕT (p) por p no restante do capítulo.

Observação 4.2.2. Recordemos o conjunto de pontos atingíveis pelo fluxo de curvatura média é definido por

S =

x ∈ Rn+1; existe uma sequência (pi, ti) ∈M× [0,T ) com ti→ T e ϕ(pi, ti)→ x.

Notemos que S = p ; p ∈M . De fato, já vimos acima que p ; p ∈M ⊂ S . Então suponhamos um x ∈ S comϕ(pi, ti)→ x. Pela desigualdade (4.7), temos

|ϕ(pi, ti)− pi| ≤C0√

n(T − ti),

o que implica que0≤ ||ϕ(pi, ti)− x|− |pi− x|| → 0,

isto é, pi→ x. Como o conjunto p ; p ∈M é fechado, então deve conter o ponto x. Logo, S ⊂ p ; p ∈M .

4.2. SINGULARIDADES DO TIPO I 73

Queremos verificar como a Fórmula de Monotonicidade de Huisken se comporta ao redor de cada ponto atingível pelofluxo de curvatura média, de forma que possamos verificar o comportamento da hipersuperfície próximo de singularidades detipo I. Para isso precisaremos das definições abaixo.

Definição 4.2.3. Para todo p ∈M, definimos a função de densidade do calor por

θ(p, t) =∫M

e−|x−p|24(T−t)

(4π(T − t))n/2 dµt ,

e a função densidade limite do calor porΘ(p) = lim

t→Tθ(p, t).

Como M é compacta, podemos também definir a função densidade do calor maximal

σ(t) = maxx0∈Rn+1

∫M

e−|x−x0 |

2

4(T−t)

(4π(T − t))n/2 dµt ,

e a densidade limite do calor maximalΣ = lim

t→Tσ(t).

Observação 4.2.4.

(i) Notemos que θ(p, t)≤ σ(t), para todo p ∈M e t ∈ [0,T ) e Θ(p)≤ Σ para todo p ∈M. A função Θ é bem definida poiso limite existe e é finito, já que θ(p, t) é monótona não-crescente em t e é positiva. Além disso, as funções θ(·, t) sãotodas contínuas e convergem monotonicamente para Θ, portanto esta é semicontínua superiormente e não-negativa.

(ii) A função σ : [0,T )→ R é também positiva e monótona não-crescente, sendo o máximo de uma família de funçõessuaves não-crescentes, portanto Σ está bem definido e é finito. Ainda mais, pela Fórmula de Monotonicidade de Huisken,temos que σ é localmente Lipschitz e portanto diferenciável em quase todo ponto. Logo, pelo Lema 3.2.1 do Capítulo3, em cada t ∈ [0,T ) onde σ é diferenciável, temos pela Fórmula de Monotonicidade de Huisken que

σ′(t) =−

∫M

e−|x−xt |24(τ−t)

(4π(τ− t))n/2

∣∣∣H +〈x− xt ,ν〉2(τ− t)

∣∣∣2dµt , (4.8)

onde xt ∈ Rn+1 é qualquer ponto tal que

σ(t) =−∫M

e−|x−xt |24(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt .

(iii) Atentemos que o máximo de θ(·, t), em M pode ser diferente de σ(t), já que

σ(t)≥ maxp∈M

θ(p, t) = maxp∈M

∫M

e−|x−p|24(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt .

Para que possamos analisar a formação de singularidades, precisaremos observar a hipersuperfície evoluindo tão próximado limite quanto se queira. Para tanto, faremos um rescaling da hipersuperfície próximo de cada p. Seja

s = s(t) =−12

log(T − t)

e definamos para cada s ∈(− 1

2 logT,+∞),

ϕ(q,s) =ϕ(q, t(s))− p√

2(T − t(s)). (4.9)


A equação de evolução para estas hipersuperfícies com rescaling fica

∂ ϕ

∂ s(q,s) =

(dtds

)∂

∂ t

(ϕ(q, t)− p√

2(T − t)

)

= 2e−2s

(1√

2(T − t)

∂ϕ

∂ t(q, t)+

ϕ(q, t)− p(2(T − t))3/2

)

=√

2(T − t)∂ϕ(q, t)

∂ t+

ϕ(q, t)− p√2(T − t)

=√

2(T − t)H(q, t)ν(q, t)+ ϕ(q,s)

= H(q,s)ν(q,s)+ ϕ(q,s),

(4.10)

em(− 1

2 logT,+∞), onde H =

√2(T − t)H(q, t) e ν(q,s) = ν(q, t) são respectivamente a curvatura média e a normal unitária

das hipersuperfícies com rescaling, ϕs = ϕ(·,s). Como

|A|=√

2(T − t)|A| ≤C0 <+∞, (4.11)

então todas as hipersuperfícies ϕs tem curvaturas uniformemente limitadas, e considerando novamente a equação (4.7) temosque

|ϕ(p,s)|=∣∣∣ϕ(p, t(s))− p√

2(T − t(s))

∣∣∣≤ C0√

2n(T − t(s))√2(T − t(s))

=C0√

n,

o que implica que ϕ(M,s)∩BC0√

2n(0) 6= /0 em cada tempo s. Notemos que o ponto ϕ(p,s) pertence ao interior de BC0√

2n(0).Derivemos portanto a Fórmula de Monotonicidade de Huisken com rescaling.

Proposição 4.2.5 (Fórmula de Monotonicidade com rescaling). Consideremos as hipersuperfícies com rescaling definidasem (4.9), para cada s ∈

(− 1

2 logT,+∞). Então

dds

∫M

e−|y|2

2 dµs =−∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµs ≤ 0. (4.12)

Além disso, para s1,s2 ∈(− 1

2 logT,+∞), com s1 < s2, temos que

∫M

e−|y|2

2 dµs1 −∫M

e−|y|2

2 dµs2 =∫ s2

s1

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsds,

e em particular, ∫ +∞

− 12 logT

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsds =

∫M

e−|y|2

2 dµ− 12 logT ≤C <+∞, (4.13)

para uma constante uniforme C =C(Area(ϕ0),T ) independente de s ∈(− 1

2 logT,+∞)

e p ∈M.

Demonstração. Consideraremos

y =x− p√2(T − t)

e s =−12

log(T − t),

para algum x ∈ Rn+1 e t ∈ (0,T ). Logo, observando que

µs = (2(T − t))−n/2µt ,


temos

dds

∫M

e−|y|2

2 dµs =

(dtds

)ddt

∫M

e−|x−p|24(τ−t)

(2(T − t))n/2 dµt

=−2(T − t)∫M

e−|x−p|24(τ−t)

(2(T − t))n/2

∣∣∣H +〈x− p,ν〉2(T − t)

∣∣∣2dµt

=−2(T − t)∫M

e−|y|2

2

∣∣∣ H√2(T − t)

+〈y, ν〉√2(T − t)

∣∣∣2dµs

=−∫M

e−|y|2

2 |H + 〈y, ν〉 |2dµs.

As outras duas afirmações são diretas, bastando integrar as equação (4.12). Em especial na última, basta notar que aestimativa para a constante C segue do fato de que

∫M

e−|y|2

2 dµ− 12 logT =

∫M

e−|x−p|2

4T

(2T )n/2 dµ0 ≤Area(ϕ0)

(2T )n/2 .

Notemos que fixando um raio R > 0, se BR = BR(0)⊂ Rn+1, então

H n( ˜ϕ(M,s)∩BR) =∫M

χBR(y)dµs ≤∫M

χBR(y)eR2−|y|2

2 dµs

≤ eR22

∫M

e−|y|2

2 dµs ≤ eR22

∫M

e−|y|2

2 dµ− 12 logT

≤ CeR22 ,

(4.14)

já que M é compacto e e−|y|2

2 ≤ 1, onde a constante C é independente de R e s.

Observação 4.2.6. Na estimativa (4.13) da Fórmula de Monotonicidade com rescaling, podemos escolher a constante C comosendo independente também de p ∈M.

A seguir, consideraremos um resultado de Stone, demonstrado em [48] que será útil para que possamos tomar os limitesde funções sobre hipersuperfícies com rescaling.

Lema 4.2.7. Suponhamos que para cada s ∈(− 1

2 logT,+∞), temos as hipersuperfícies com rescaling, definidas por (4.9).

Então

(a) Existe uma constante uniforme C =C(n,Area(ϕ0),T ) tal que, para qualquer p ∈M e para todo s ∈(− 1

2 logT,+∞),∫

Me−|y|dµs ≤C;

(b) Para qualquer ε > 0 existe um raio uniforme R = R(ε,n,Area(ϕ0),T ) tal que para qualquer p ∈ M e para todos ∈(− 1

2 logT,+∞), ∫

ϕs(M)\BR(0)e−|y|2

2 dH n ≤ ε.

Demonstração. Pela Fórmula de Monotonicidade com rescaling, para quaisquer p ∈M e s ∈(− 1

2 logT,+∞), temos que∫

Me−|y|2

2 dµs ≤∫M

e−|y|2

2 dµ− 12 logT .


Pela Observação 4.2.6 acima, o lado direito da integral pode ser estimado por uma constante dependendo apenas de T e deArea(ϕ0) e não de p ∈M. Logo, para todo p ∈M e s ∈

(− 1

2 logT,+∞), temos∫

ϕs(M)∩Bn+1(0)e−|y|dH n ≤ H n( ˜ϕ(M,s)∩Bn+1(0))≤ C1e

(n+1)22 =C1 (4.15)

e ∫ϕs(M)∩B2n+2(0)

e−|y|dH n ≤ H n( ˜ϕ(M,s)∩B2n+2(0))≤C2, (4.16)

onde C1 e C2 são constantes dependendo apenas de n,T e de Area(ϕ0). Como

dds

ϕs =ddt

((2(T − t))−n/2

µt

) dtds

=

(n(2(T − t))−

n2−1

µt +(2(T − t))−n/2 ddt

µt

)(2(T − t))

=

(n(2(T − t))−

n2−1

µt − (2(T − t))−n/2H2 ddt

µt

)s(2(T − t))

= nϕs− H2ϕs = (n− H2)ϕs,

então, temos que

dds

∫M

e−|y|dµs =∫M

dds

e−|y|dµs +∫M

e−|y|dµs

ds=∫M

(−⟨

y|y|

,∂ ϕ

∂ s

⟩e−|y|

)+(n− H2)e−|y|dµs

=∫M

(n− H2− 1

|y|⟨y, Hν + y

⟩)e−|y|dµs

≤∫M

(n− H2− |y|

2

|y|+ |H|

∣∣∣⟨ y|y|

, ν

⟩∣∣∣)e−|y|dµs =∫M

(n− H2−|y|+ |H|

)e−|y|dµs

<∫M

(n+1−|y|)e−|y|dµs = (n+1)∫M

e−|y|dµs−∫M|y|e−|y|dµs

= (n+1)∫M

e−|y|dµs−∫

ϕs(M)∩Bn+1(0)|y|e−|y|dH n

−∫

ϕs(M)∩B2n+2(0)\Bn+1(0)|y|e−|y|dH n−

∫ϕs(M)\B2n+2(0)

|y|e−|y|dH n

≤ (n+1)∫M

e−|y|dµs−(

infϕs(M)∩Bn+1(0)

|y|)∫

ϕs(M)∩Bn+1(0)e−|y|dH n

− (n+1)∫

ϕs(M)∩B2n+2(0)\Bn+1(0)e−|y|dH n− (2n+2)

∫ϕs(M)\B2n+2(0)

e−|y|dH n

≤ (n+1)∫

ϕs(M)∩Bn+1(0)e−|y|dH n +(n+1)

∫ϕs(M)\B2n+2(0)

e−|y|dH n

− (2n+2)∫

ϕs(M)\B2n+2(0)e−|y|dH n

= (n+1)(∫

ϕs(M)∩Bn+1(0)e−|y|dH n−

∫ϕs(M)\B2n+2(0)

e−|y|dH n),

já que y = ϕ e pela equação de evolução (4.10), para ϕ. Porém, pela desigualdade (4.15), temos que ter

dds

∫M

e−|x|dµs < 0 ou∫

ϕs(M)∩B2n+2(0)e−|y|dH n ≤C1.

Assim, da desigualdade (4.16), segue que

dds

∫M

e−|y|dµs < 0 ou∫M

e−|y|dµs =∫

ϕs(M)\B2n+2(0)e−|y|dH n +

∫ϕs(M)∩B2n+2(0)

e−|y|dH n ≤C1 +C2,


o que implica que ∫M

e−|y|dµs ≤max(C1 +C2),

∫M

e−|y|dµ− 12 logT

=C3,

para quaisquer p ∈M e s ∈(− 1

2 logT,+∞). Como

∫M

e−|y|2 dµ− 1

2 logT =∫M

e−|x−p|

4T

(2T )n/2 dµ0 ≤Area(ϕ0)

(2T )n/2

não depende de p ∈M, então temos que ∫M

e−|y|dµs ≤C(n,Area(ϕ0),T ).

Agora, sejam p ∈M e s ∈(− 1

s logT,+∞)

arbitrários. Decomponhemos ϕs(M) em partesMk

s∞

k=0 , onde

M0s = ϕs(M)∩B1(0),

e para cada k ≥ 1,Mk

s =

y ∈ ϕs(M) ; 2k−1 ≤ |y|< 2k.

Então, pela item (a) que acabamos de demonstrar, temos

H n(Mks)≤ H n(ϕs(M)∩B2k(0)) =

∫M

χB2k (y)e2k

dµs

≤∫M

χB2k (y)e2k−|y|dµs ≤ e2k

∫M

e−|y|dµs ≤C3e(2k),

para cada k, independentemente da escolha de p e s. Assim, para cada k, como |y| ≥ |2k−1|, temos∫Mk

s

e|y|2/2dH n ≤ e−

|2k−1 |22 H n(Mk

s)≤C3e−12 (2

k−1)2e(2

k) =C3e(2k−22k−3),

novamente independentemente da escolha de p e s. Como para cada ε > 0, podemos achar um k0 = k0(ε,n,Area(ϕ0),T ) talque

∞

∑k=k0

C3e(2k−22k−3) ≤ ε,

então, se tomarmos R = R(ε,n,Area(ϕ0),T ) = 2k0−1, temos que∫ϕs(M)\BR(0)

e−|y|2

2 dH n =∞

∑k=k0

∫Mk

s

e−|y|2

2 dH n ≤∞

∑k=k0

C3e(2k−22k−3) ≤ ε

e concluímos a demonstração.

Podemos aplicar o resultado que acabamos de demonstrar a uma sequência de hipersuperfícies com rescaling convergindosuavemente.

Corolário 4.2.8. Se uma sequência de hipersuperfícies com rescaling ϕsi converge localmente e suavemente (a menos dereparametrização) a alguma hipersuperfície limite M∞, então∫

M∞

e|y|dH n ≤C

e

limi→∞

∫M

e−|y|2

2 dµsi =∫M∞

e−|y|2

2 dH n

onde a constante C é a mesma do item (a) do Lema 4.2.7.


Demonstração. Notemos que para cada R > 0, temos pelo item (a) do Lema 4.2.7 que∫M∞∩BR(0)

e−|y|dH n ≤ liminfi→∞

∫ϕ(M,si)∩BR(0)

e−|y|dH n

≤ liminfi→∞

∫M

e−|y|dµsi ≤C.

Fazendo R→+∞, a primeira desigualdade segue.Agora, dado ε > 0, pelo item (b) do Lema 4.2.7, existe R(ε) tal que∫

ϕs(M)\BR(0)e−|y|2

2 dH n ≤ ε.

Logo, ∫M∞

e−|y|2

2 dH n =∫M∞∩BR(0)

e−|y|2

2 dH n +∫M∞\BR(0)

e−|y|2

2 dH n

= limi→∞

∫ϕ(M,si)∩BR(0)

e−|y|2

2 dH n + limi→∞

∫ϕ(M,si)\BR(0)

e−|y|2

2 dH n

≤ limi→∞

∫M

e−|y|2

2 dµsi + ε,

de onde, pela convergência, segue o resultado.

Da estimativa (4.11), já sabemos que |A| ≤C0, isto é a curvatura em cada hipersuperfícies com rescaling é uniformementelimitada. O próximo resultado, devido à Huisken [28], estende essa limitação à todas as derivadas da curvatura.

Proposição 4.2.9. Para cada k ∈N, existe uma constante Ck dependendo somente de k,n,C0, a constante da estimativa (4.5),e da hipersuperfície inicial tal que |∇kA|g ≤Ck para todo p ∈M e s ∈

[− 1

2 logT,+∞).

Demonstração. Pela Proposição 3.1.1 do Capítulo 2, recordemos que

∂

∂ t|∇kA|2 = ∆|∇kA|2−2|∇k+1A|2 + ∑

p+q+r=kp,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA∗∇

kA.

Logo, notando que|∇kA|2g = |∇kA|2g (2(T − t))k+1 ,

temos

∂

∂ s|∇kA|2g =

dtds

∂

∂ t|∇kA|2g = (2(T − t))

∂

∂ t

((2(T − t))k+1|∇kA|2g

)= (2(T − t))

(−2(k+1)(2(T − t))k|∇kA|2g +(2(T − t))k+1 ∂

∂ t

(|∇kA|2g

))

=−2(k+1)|∇kA|2g +(2(T − t))k+2

∆|∇kA|2−2|∇k+1A|2 + ∑p+q+r=kp,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA∗∇

kA

≤−2(k+1)|∇kA|2g + ∆|∇kA|2g−2|∇k+1A|2g +C(n,k) ∑

p+q+r=kp,q,r∈N

|∇pA|2g|∇qA|2g|∇rA|2g|∇kA|2g.

Como |A|g é limitada pela constante C0, suponhamos por indução que para 0≤ i≤ k−1, temos a limitação uniforme de |∇iA|gcom constantes Ci =Ci(n,C0,ϕ0). Notemos que se p,q,r 6= k então pela Desigualdade de Young

|∇pA|g|∇qA|g|∇rA|g|∇kA|g ≤CpCqCr|∇kA|g

≤(CpCqCr)

2

2ε+

ε|∇kA|2g2

.


Logo,∂

∂ s|∇kA|2g ≤ ∆|∇kA|2g +Bk|∇kA|2g−2|∇k+1A|2g +Dk,

para algumas constantes Bk e Dk dependendo apenas de n,k,C0 e da hipersuperfície inicial. Assim, temos que

∂

∂ s|∇kA|2g +Bk|∇k−1A|2g ≤ ∆|∇kA|2g +Bk|∇kA|2g−2|∇k+1A|2g +Bk∆|∇k−1A|2g +BkBk−1|∇k−1A|2g

−2Bk|∇kA|2g +Dk +BkDk−1

≤ ∆(|∇kA|2g +Bk|∇k−1A|2g)−Bk|∇kA|2g +BkBk−1|∇k−1A|2g +Dk +BkDk−1

≤ ∆(|∇kA|2g +Bk|∇k−1A|2g)−Bk|∇kA|2g +BkBk−1C2k−1 +Dk +BkDk−1

≤ ∆(|∇kA|2g +Bk|∇k−1A|2g)−Bk(|∇kA|2g +Bk|∇k−1A|2g)+BkBk−1C2

k−1 +Dk +BkDk−1 +B2kC2

k−1,

onde usamos a hipótese indutiva |∇k−1A|g ≤Ck−1. Portanto, pelo Princípio do Máximo Fraco, temos que a função |∇kA|2g +Bk|∇k−1A|2g é uniformemente limitada por uma constante C2

k dependendo de n,k,C0 e da hipersuperfície inicial. Daí segue que|∇kA|2g ≤Ck e o resultado fica demonstrado.

Agora, apresentamos um resultado também devido à Huisken em [28] (seção 3) sobre a convergência de uma sequênciade hipersuperfícies com rescaling e algumas características de hipersuperfícies limite.

Proposição 4.2.10. Para cada ponto p ∈M e cada sequência de tempos si → +∞, existe uma subsequência si j tal queas hipersuperfícies ϕsi j

, com rescaling ao redor de p, convergem localmente suavemente (a menos de reparametrização)

para alguma hipersuperfície limite completa suave, não vazia M∞ tal que H + 〈y, tν〉 = 0 para todo y ∈ M∞. Qualquerhipersuperfície limite satisfaz H n(M∞∩BR)≤CR para toda bola de raio R em Rn+1 e para cada k ∈ N, existem constantesCk tais que |∇kA|g ≤Ck. Além disso, se a hipersuperfície inicial é mergulhada, então M∞ permanece mergulhada.

Demonstração. Daremos um esboço da demonstração de Huisken.Pela estimativa (4.14), existe uma limitação superior uniforme sobre H n(ϕ(M,s)∩BR) para cada R, independente de

s. Ainda, pelo controle uniforme da norma da segunda forma fundamental das hipersuperfícies com rescaling na Proposição4.2.10, existe r0 > 0 tal que, para cada s e cada q ∈M, se U s

r0,q é a componente conexa de ϕ−1s (Br0(ϕs(q))) em M contendo

q, então ϕs(U sr0,q) pode ser escrito como o gráfico de uma função suave f sobre um subconjunto da bola de raio r0 no

hiperplano tangente à ϕs(M) ⊂ Rn+1 no ponto ϕs(q). Pela limitação |∇kA|g ≤Ck da Proposição 4.2.10, temos que todas asderivadas de tal função f , acima de uma ordem α ∈N são limitadas por constantes Cα independentes de s. Pelo procedimentode Langer na seção 3 de [35], temos que para cada R > 0, uma subsequência das hipersuperfícies ϕ(M,s)∩BR(0) devemconvergir suavemente à uma hipersuperfície limite em BR(0). Então, a existência de uma hipersuperfície limite completa esuave segue tomando R→+∞. Recordando a discussão logo acima da Fórmula de Monotonicidade com rescaling, temos quecada hipersuperfície com rescaling intersecta a bola de raio C0

√2n centrada na origem de Rn+1, e assim o limite não pode ser

vazio. Vamos ver agora que de fato M∞ satisfaz H + 〈y, ν〉= 0. Pela Proposição 3.1.1 do Capítulo 2, temos

∂ H∂ s

=dtds

∂

∂ tH = (2(T − t))

∂

∂ t

(√2(T − t)H

)=√

2(T − t)∂H∂ t−√

2(T − t)H

= (2(T − t))3/2 (∆H +H|A|2

)−√

2(T − t)H

= ∆H + H|A|2− H,

e como ν = ν , então∂ ν

∂ s=

dtds

∂ν

∂ t=−2(T − t)∇H =−∇H.


Portanto, ∣∣∣ ∂

∂ s

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2∣∣∣= 2|H + 〈y, ν〉 | ∂

∂ s, H + 〈y, ν〉

= 2|H + 〈y, ν〉 |∣∣∣ ∂

∂ sH +

⟨∂y∂ s

, ν

⟩+

⟨y,

∂ ν

∂ s

⟩∣∣∣= 2∣∣∣(∆H + H|A|2− H +

⟨Hν + y, ν

⟩−⟨y, ∇H

⟩)(H + 〈y, ν〉

)∣∣∣= 2∣∣∣∆H + H|A|2 + 〈y, ν〉−

⟨y, ∇H

⟩∣∣∣∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣

≤C|C+ 〈y, ν〉 ||C+ 〈y, ν〉 | ≤C(|y|+C)(|y|+C)

≤C(|y|2 +1),

para alguma constante C independente de s, o que implica que∣∣∣ dds

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµs

∣∣∣=∣∣∣∫

M

dµs

ds

(e−|y|2

2

(∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2)+

(dds

e−|y|2

2

)∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2 + e−

|y|22

∂

∂ s

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2)dµs

∣∣∣=∣∣∣∫

Me−|y|2

2

(∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2 (n− H2−

⟨y, Hν + y

⟩)+

∂

∂ s

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2)dµs

∣∣∣≤∫M

e−|y|2

2(C(|y|2 +1)(|y|2 +1)+C(|y|2 +1)

)dµs

≤C∫M

e−|y|2

2 (|y|4 +1)dµs,

sendo o último termo uniformemente limitado em s ∈(− 1

2 logT,+∞)

por uma constante positiva C = C(Area(ϕ0),T ) peloLema 4.2.7. Supondo que existe uma sequência de tempos si→+∞ tal que∫

Me−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsi ≥ δ ,

para algum δ > 0, então temos que em todos os intervalos (si,si +δ/(2C)) tal integral é maior que δ/2∣∣∣∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsi+

δ2C−∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsi

∣∣∣≤∣∣∣ dds

∫ si+δ

2C

si

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsi

∣∣∣≤C

(δ

2C

)=

δ

2.

Mas isto é uma contradição com o fato de que∫ +∞

− 12 logT

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsids <+∞,

pela Fórmula de Monotonicidade com rescaling. Se ϕsi é uma subsequência convergente localmente suave de hipersuperfíciescom rescaling (a menos de reparametrização), temos que para cada bola BR,∫

ϕ(M,si)∩BR

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dH n ≤

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsi → 0,

logo, a hipersuperfície limite M∞ satisfaz H + 〈y, ν〉= 0 em todos os pontos, o que demonstra a primeira parte da proposição.


As estimativas dos volumes e derivadas da curvatura seguem analogamente ás da estimativas (4.14) da Proposição 4.2.9para a sequência convergente.

Suponhamos agora que a hipersuperfície inicial é mergulhada. Sabemos da Proposição 3.3.8 do Capítulo 3 que todasas hipersuperfícies ϕs permanecem mergulhadas e a única possibilidade para M∞ não estar mergulhada é que duas ou maisregiões toquem uma a outra no mesmo ponto y∈Rn+1 tangencialmente. Sejam g(t) as métricas induzidas nas hipersuperfíciesevoluindo e consideremos o conjunto

Ωε =(p,q, t) ∈M×M× [0,T ) ; dt(p,q)≤ ε

√2(T − t)

,

onde dt é a distância geodésica na variedade Riemanniana (M,g(t)). Seja

Bε = inf∂Ωε

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|√2(T − t)

.

Afirmamos que Bε > 0 para qualquer ε > 0 suficientemente pequeno. Suponhamos que Bε = 0 para algum ε > 0, isto é, existeuma sequência de tempos ti→ T e pontos pi,qi com

dti(pi,qi) = ε√

2(T − ti) e|ϕ(p, ti)−ϕ(q, ti)|√

2(T − ti)→ 0,

o que implica que |ϕi(pi)− ϕi(qi)| → 0 e di(pi,qi) = ε, onde denotamos por ϕi as hipersuperfícies e distâncias com rescaling,ou seja,

ϕi(t) =ϕ(p, ti)−ϕ(pi, ti)√

2(T − ti)e di =

dti√2(T − ti)

,

respectivamente. Do mesmo modo que procedemos na demonstração da primeira afirmação, se U i é a componente conexade ϕi(Br0(ϕi(pi))) contendo pi, então , pela limitação uniforme na segunda forma fundamental das hipersuperfícies comrescaling, temos que ϕi(U i) pode ser escrito como o gráfico de uma função suave fi sobre um subconjunto do hiperplanotangente à ϕi(M)⊂Rn+1 em ϕi(pi). Como di(pi,qi) = ε, quando ε > 0 é pequeno o suficiente, dependendo de r0 e C0, entãoas constantes de Lipschitz destas funções fi são uniformemente limitadas por uma constante dependendo de r0 e C0. Alémdisso, para cada i ∈ N, temos que qi ∈U i e ϕi(qi) pertence ao gráfico de fi. Logo, |ϕi(pi)− ϕi(qi)| é limitada inferiormenteuniformemente por uma constante positiva, o que implica que Bε não é zero para tal ε > 0.

Supondo que M∞ tem uma auto-intersecção, podemos parametrizar localmente por uma ϕ∞ : U → Rn+1 tal que umasequência de reparametrizações das hipersuperfícies com rescaling, ϕi, converge à ϕ∞ e ϕ∞(p) = ϕ∞(q) para um par depontos p,q ∈U. Escolhendo ε > 0 menor que a distância entre p e q em M∞ e tal que Bε > 0, consideremos a função definidaem Ωε ⊂M×M× [0,T ) por

L(p,q, t) =|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|√

2(T − t).

Se o mínimo de L no tempo t é menor que Bε , então este não pode ser atingido na fronteira de Ωε e, procedendo como nademonstração da Proposição 3.3.8 do Capítulo 3 para a função L lá definida, tal mínimo é não-decrescente. Portanto, existeuma cota inferior positiva em

infΩε

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|√2(T − t)

.

Se considerarmos duas sequências pi→ p e qi→ q, então di(pi,qi)≥ ε e |ϕi(pi)− ϕi(qi)| → 0, o que implica que

dti(pi,qi)≥ ε√

2(T − ti),

ou seja, (pi,qi, ti) ∈ Ωε e|ϕ(pi, ti)−ϕ(qi, ti)|√

2(T − ti)→ 0,

o que é um absurdo, pois acabamos de ver que esta quantidade é limitada inferiormente por uma constante positiva.


Observação 4.2.11.

(i) Vimos na Proposição 2.4.1 do Capítulo 2 que qualquer uma dessas M∞ homotéticas, isto é, satisfazendo H + 〈y, ν〉= 0,possuem um fluxo de curvatura média associado que contrai homoteticamente, dado por Mt = M∞

√1−2t, colapsando

no tempo maximal T = 1/2.

(ii) No caso de uma hipersuperfície contraindo homoteticamente ao redor de um ponto x0 ∈ Rn+1 e colapsando em umtempo T, a derivada na Fórmula de Monotonicidade de Huisken com núcleo do calor ρx0,T é zero, isto é, a integral

∫M

e−|x−x0 |

2

4(T−t)

(4π(T − t))n/2 dµt

é constante no tempo. Reciprocamente, pela Proposição 2.4.1 do Capítulo 2 e pela unicidade do fluxo, se tal derivada ézero em algum tempo, a hipersuperfície se contrai homoteticamente ao redor de x0, pois em tal tempo, deve satisfazer

H +〈x− x0,ν〉2(T − t)

= 0

em todos os pontos. Observe também que nesse caso, as hipersuperfícies com rescaling

ϕs =ϕt − x0√2(T − t)

são estacionárias para todo t ∈ [0,T ).

Um breather é uma hipersuperfície evoluindo pela curvatura média em [0,T ) tal que Mt = λL(Mt ′), onde t > t ′ per-tencem à [0,T ), λ > 0 é uma constante e L uma isometria de Rn+1. Se λ = 1 dizemos que são estáveis e se λ > 1, quese expandem. Notemos que breathers compactos estáveis ou se expandindo não existem pelo Princípio da Comparação, to-mando esferas circunscritas, que vimos contrair homoteticamente. Vamos demonstrar que um breather compacto se contraihomoteticamente.

Suponhamos sem perda de generalidade que t ′ = 0 e t > 0, ambos em [0,T ), e seja τ > 0. Considere uma pequenamodificação em σ dada por

σ(M,τ) = maxx0∈Rn+1

∫M

e−|x−x0 |

2

4τ

(4πτ)n/2 dH n.

Como se trata de um breather, então podemos ver que assim σ(L(M),τ) = σ(M,τ) e temos invariância por rescaling, isto é,para cada λ > 0,

σ(λM,λ 2τ) = σ(M,τ) (4.17)

Definindo τ(t) =C− t para algum C > 0, e integrando a derivada análoga á σ ′(t), equação (4.8), temos

σ(M0,τ(0))− σ(Mt ,τ(t)) =∫ t

0

∫Ms

e−|x−x

τ(s)|2

4τ(s)

(4πτ(s))n/2

∣∣∣∣∣H +

⟨x− xτ(s),ν

⟩2τ(s)

∣∣∣∣∣2

dH nds.

Pela hipótese e pela propriedade (4.17), temos

σ(M0,C)≥ σ(Mt ,C− t) = σ(λM0,C− t) = σ

(M0,

(C− t)λ 2

).

Se tomarmos C = t/(1−λ2), que é menor que t, pois λ < 1, então temos (C− t)/λ

2 =C. Logo,

σ(M0,τ(0)) = σ(M0,C) = σ(Mt ,C− t) = σ(Mt ,τ(t)),


o que implica que para quase todo ponto s ∈ (0, t), temos

H +〈x− ys,ν〉2(C− s)

= 0

para algum ys ∈ Rn+1. Portanto temos que a hipersuperfície se contrai homoteticamente.Agora, fixemos um ponto p ∈M e consideremos uma sequência de hipersuperfícies com rescaling, ϕsi , convergindo a

menos de reparametrização, localmente e suavemente a alguma hipersuperfície limite M∞ que satisfaz H + 〈y, ν〉 = 0 paratodo y ∈ M∞. Notemos que pelo Corolário 4.2.8, podemos relacionar Θ(p) e M∞ por

Θ(p) = limt→T

θ(p, t) = limi→∞

∫M

e− |x−p|2

4(T−t(si))

(4π(T − t(si)))n/2 dµt(si)

= limi→∞

∫M∞

e−|y|2

2

(2π)n/2 dµsi =1

(2π)n/2

∫M∞

e−|y|2

2 dH n,

lembrando queµsi = (2(T − t))−

n2 µt .

Em particular, se M∞ é um hiperplano de multiplicidade um passando pela origem de Rn+1, então

Θ(p) =1

(2π)n/2

∫M∞

e−|y|2

2 dH n = 1.

Observação 4.2.12.

(i) Se tomarmos um tempo τ > 0 que é estritamente menor que o tempo maximal T de existência do fluxo e realizarmosrescaling ao redor ao redor do ponto de não-singularidade

p = limt→τ

ϕ(p, t) = ϕ(p,τ),

a hipersuperfície sendo regular ao redor de p no tempo τ, implica que todo limite de hipersuperfícies com rescalingdeve ser flat - na realidade, união de hipersuperfícies passando pela origem. Além disso, se a hipersuperfície não temauto-inteseções em ϕ(p,τ), então tal limite é um hiperplano passando pela origem e temos que

limt→τ

∫M

e−|x−ϕ(p,τ)|2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt = 1.

Notemos que se a hipersuperfície inicial é mergulhada, então isto vale para todo p ∈M.

(ii) Notemos que se τ ∈ (0,T ) e x0 = ϕτ(p), segue também, pela Fórmula de Monotonicidade de Huisken, que para cadap ∈M temos ∫

M

e−|x−x0 |

2

4τ

(4πτ)n/2 dµ0 ≥ 1,

o implica que

Area(ϕ0) =∫M

dµ0 ≥∫M

e−|x−x0 |

2

4τ dµ0 ≥ (4πτ)n/2 ,

e portanto

τ ≤ (Area(ϕ0))2n

4π.

Como isso vale para todo τ < T, segue que

Tmax = T ≤ (Area(ϕ0))2n

4π.


Lema 4.2.13. As únicas hipersuperfícies (ϕ,M) em Rn+1 completas, suaves satisfazendo

H + 〈y,ν〉= 0 e∫M

e−|y|dH n <+∞

e que minimizam o funcional1

(2π)n/2

∫M

e−|y|2

2 dH n,

são os hiperplanos com multiplicidade um passando pela origem.

Demonstração. Suponhamos que existe uma hipersuperfície suave M=M0 tal que

1(2π)n/2

∫M

e−|y|2

2 dH n ≤ 1,

satisfazendo H + 〈y,ν〉= 0. Sabemos então da Proposição 2.4.1 do Capítulo 2 que Mt =M√

1−2t é um fluxo de curvaturamédia que se contrai homoteticamente no intervalo (−∞,1/2). Assim, para todas Mt , H é limitada em subconjuntos compac-tos de Rn+1, pela suavidade do fluxo. Suponhamos que M0 e Mt são todas compactas primeiramente. Tomando y0 ∈ Rn+1 eτ ≤ 1/2 quaisquer, considere

limt→−∞

∫Mt

e−|y−y0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dH n,

onde as integrais estão bem definidas, pois por hipótese,∫M

e−|y|dH n <+∞.

Fazendo uma mudança de variáveis y = x√

1−2t, temos

limt→−∞

∫Mt

e−|y−y0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dH n(y) = limt→−∞

∫M

e−|x√

1−2t−y0 |2

4(τ−t)

(4π(τ− t)/(1−2t))n/2 dH n(x).

Quando t→−∞, a sequência de funções dentro da integral converge pontualmente para a função

x 7→ e−|x|2

2

(2π)n/2

e as funções são limitadas superior e uniformemente por e−|x|, fora de alguma bola BR(0) ⊂ Rn+1 suficientemente grande.Como e−|x| é integravel em M por hipótese, temos pelo Teorema da Convergência Dominada que

limt→−∞

∫Mt

e−|y−y0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dH n =1

(2π)n/2

∫M

e−|x|2

2 dH n ≤ 1,

o que implica, pela Fórmula de Monotonicidade de Huisken, que

∫Mt

e−|y−y0 |

2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dH n ≤ 1,

para cada y0 ∈ Rn+1 e t < τ ∈ (−∞,1/2).Tomando agora y0 ∈M e τ = 0. Pelo item (ii) da Observação 4.2.12, temos que

limt→0−

∫Mt

e−|y−y0 |

2

−4t

(−4πt)n/2 dH n = 1,


o que implica ∫Mt

e−|y−y0 |

2

−4t

(−4πt)n/2 dH n = 1,

para todo t ∈ (−∞,0). Portanto, pela Fórmula de Monotonicidade de Huisken, temos que ter

H(y)+〈y− y0,ν(t)〉−2t

= 0

para todo t < 0 e y ∈Mt . Multiplicando por −2t e tomando t→ 0, como H é limitado nos subconjuntos compactos de Rn+1

e Mt →M, temos então que〈y− y0,ν(t)〉= 0

para todo y,y0 ∈M. Mas isto significa justamente que M é uma hipersuperfície passando pela origem de Rn+1.Observemos que no caso em que as hipersuperfícies Mt não são compactas, como∫

Me−|y|dH n <+∞,

então a Fórmula de Monotonicidade de Huisken ainda continua valendo, considerando M fixo nas integrais, e podemos aplicaro mesmo argumento.

Notemos que uma consequência direta do Lema 4.2.13 é o próximo resultado.

Corolário 4.2.14. Nas hipóteses do Lema 4.2.13, temos que

1(2π)n/2

∫M

e−|y|2

2 dH n ≥ 1.

Agora, do que discutimos anteriormente da Observação 4.2.12 da função Θ, podemos concluir algo a mais.

Corolário 4.2.15. A função densidade limite de calor satisfaz Θ ≥ 1 em todo M. Além disso, se Θ(p) = 1, então todasequência convergente de hipersuperfícies com rescaling ϕs, ao redor de p converge a um hiperplano de multiplicidade umpassando pela origem de Rn+1. Consequentemente, Σ≥ 1.

Demonstração. Como para todo τ < T, temos

limt→τ

∫M

e−|x−ϕτ (p)|2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt = 1,

então ∫M

e−|x−ϕτ (p)|2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt ≥ 1,

para todo t < τ. Fixando t < T e tomando τ → T, temos ϕτ(p)→ p e

θ(p, t) =∫M

e−|x−p|24(T−t)

(4π(T − t))n/2 dµt = limτ→T

∫M

e−|x−ϕτ (p)|2

4(τ−t)

(4π(τ− t))n/2 dµt ≥ 1,

o que implica queΘ(p) = lim

t→Tθ(p, t)→ 1.

Se Θ(p) = 1, então pelo item (i) da Observação 4.2.12, temos que

1(2π)n/2

∫M

e−|y|2

2 dH n = 1,

e o resultado segue do Lema 4.2.13.


Observação 4.2.16. Ainda mais, temos o seguinte resultado devido à White, demonstrado em [50], fornecendo um critériounicidade de convergência para o fluxo de curvatura média, a partir do valor de Θ(p).

Teorema 4.2.17. Existem constantes ε = ε(n) > 0 e C = C(n) tais que se Θ(p) < 1+ ε, então |A| ≤C(n) em uma bola deRn+1 ao redor de p, uniformemente no tempo t ∈ [0,T ).

Notemos que não há hipóteses sobre o sinal de H, a taxa de blow-up da curvatura ou mesmo sobre singularidade de tipoI. Expliquemos a convergência citada. Se o limite de uma subsequência de hipersuperfícies com rescaling é um hiperplanopassando pela origem, então Θ(p) = 1 e o resultado de White afirma que em uma bola ao redor de p a curvatura é limitada.Nessa bola, as hipersuperfícies sem rescaling ϕt (a menos de reparametrização) convergem localmente uniformemente em C0

para alguma ϕT com curvatura uniformemente limitada, o que, pelas estimativas interiores de Ecker e Huisken ([15]) implicaque a convergência é na realidade uniforme. Portanto, segue que o hiperplano tangente a ϕT no ponto p é único como limitede qualquer sequência de hipersuperfícies com rescaling.

4.3 AnáliseDentre as singularidades de tipo I, ainda podemos diferenciar o comportamento da curvatura ao redor dessas singularida-

des.

Definição 4.3.1. Dizemos que p ∈M é um ponto singular se existe uma sequência de pontos pi→ p em M e tempos ti→ Ttal que para alguma constante δ > 0,

|A(pi, ti)| ≥δ√

2(T − ti).

Dizemos que p ∈M é um ponto singular especial se existe uma sequência de tempos ti→ T tal que para alguma constanteδ > 0,

|A(p, ti)| ≥δ√

2(T − ti).

Observação 4.3.2.

(i) Notemos que sempre existe ao menos um ponto singular, já que M é compacta e como vimos no Capítulo 3, temos


2(T − t).

Porém, nem sempre um ponto singular especial está presente.

(ii) Suponhamos que p ∈M é um ponto singular especial. Então, após realizar rescaling a hipersuperfície ao redor de umponto p, temos que

|A(p,si)|=√

2(T − ti)|A(p, ti)| ≥ δ > 0,

para

si =−12

log(T − ti),

o que implica que tomando uma subsequência de si → +∞, qualquer hipersuperfície limite obtida pela Proposição4.2.10, satisfazendo portanto H + 〈y, ν〉= 0, não pode ser flat, já que A 6= 0 em algum ponto em BC0

√2n.

(iii) Se p ∈M não é um ponto singular especial, então para toda sequência si→+∞, temos

|A(p,si)|=√

2(T − ti)|A(p, ti)| → 0,

o que significa que qualquer hipersuperfície limite satisfaz A = 0 em algum ponto em BC0√

2n.

A próxima proposição é uma variação do argumento na seção 4 de [48] de Stone e fornece uma caracterização de quandouma hipersuperfície limite é um único hiperplano passando pela origem.

4.3. ANÁLISE 87

Proposição 4.3.3. Se o limite de hipersuperfícies com rescaling ao redor de p é um hiperplano de multiplicidade um passandopela origem de Rn+1(ou equivalentemente, Θ(p) = 1), então p não é um ponto singular.

Demonstração. Pelo Corolário 4.2.15, o ponto p ∈M é um mínimo da densidade limite do calor Θ, a qual sabemos ser umafunção semicontínua superiormente. Logo, temos que Θ é contínua em p. Pelo Lema 4.2.13, precisamos demonstrar que paracada sequência pi→ p e ti→ T, temos θ(pi, ti)→ 1 = Θ(p).

Suponhamos que existe δ > 0 tal que θ(pi, ti)→ 1+ δ . Para cada j ∈ N, existe i0 tal que ti ≥ t j, para todo i > i0, eassim θ(pi, ti) ≤ θ(pi, t j). Tomando i→ ∞, temos que 1+ δ ≤ θ(p, t j), o que é um absurdo, pois quando j → ∞, temosθ(p, t j)→Θ(p) = 1. Se p é um ponto singular com pi→ p e ti→ T tal que para alguma constante δ > 0 vale

|A(pi, ti)| ≥δ√

2(T − ti),

então consideramos as famílias de hipersuperfícies com rescaling ao redor de pi, dadas por

ϕi(q,s) =ϕ(q, t)− pi√

2(T − t), com s = s(t) =−1

2log(T − t),

tendo medidas associadas µi,s. Consideremos as funções definidas por

ψ(q) = ϕi(q,si) =ϕ(q, ti)− pi√

2(T − ti), com si =−

12

log(T − ti),

tendo medidas associadas µi,si . Para todo ε > 0, como Θ(pi)≥ 1, temos que

ε ≥ θ(pi, ti)−1≥ θ(pi, ti)−Θ(pi)

=∫M

e− |x−pi |2

4(T−ti)

(4π(T − ti))n/2 dµti −Θ(pi)

=1

(2π)n/2

∫M

e−|y|2

2 dµi,si −Θ(pi)

=1

(2π)n/2

∫ +∞

si

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµi,sds.

Logo, como pelas estimativas uniformes da curvatura da Proposição 4.2.9 temos∣∣∣ dds

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµs

∣∣∣≤C,

onde C =C(Area(ϕ0),T ) é uma constante positiva independente de s, então segue que

ε ≥ 1(2π)n/2

∫ +∞

si

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµi,sds

≥ 1(2π)n/2

∫ si+1c∫M e−

|y|22

∣∣∣H+〈y,ν〉∣∣∣2dµi,si

si

(∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµi,si −C(s− si)

)ds

=1

(2π)n/2

12C

(∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµi,si

)2

,

possivelmente passando a uma subsequência de si. Usando a Proposição 4.2.10, extraímos da sequência de hipersuperfíciesψi, uma subsequência convergindo localmente e suavemente, a menos de reparametrização, à alguma hipersuperfície limiteM∞. Logo, pelo Lema 4.15, temos que

ε ≥ 1(2π)n/2

12C

(∫M∞

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dH n

)2

,


para todo ε > 0, o que implica que M∞ satisfaz H + 〈y, ν〉= 0. Assim, pelo Corolário 4.16, temos que

1(2π)n/2

∫M∞

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dH n = lim

i→∞

1(2π)n/2

∫M

e−|y|2

2 dµi,si = limi→∞

θ(pi, ti) = 1,

o que implica, pelo Lema 4.2.13, que a hipersuperfície M∞ é um hiperplano. Porém, como todos os pontos φi(pi) pertencem àbola de raio C0

√2n em Rn+1 e a segunda forma fundamental Ai de ψi satisfaz |Ai(pi)| ≥ δ > 0 para todo i ∈ N, por hipótese,

então segue que a segunda forma fundamental de M∞ é não nula em algum ponto da bola BC0√

2n(0), o que é um absurdo.Portanto, p não pode ser um ponto singular.

Podemos concluir então o seguinte resultado.

Corolário 4.3.4. Em um ponto singular p ∈M, existe um limite M∞ de hipersuperfícies com rescaling é uma hipersuperfíciecompleta, suave, não vazia com volume localmente limitado e curvatura limitada possuindo todas as suas derivadas covari-antes, e ainda que satisfaz H + 〈y, ν〉= 0 e não é um hiperplano de multiplicidade um passando pela origem de Rn+1. Alémdisso, se a hipersuperfície inicial é mergulhada, então M∞ é também mergulhada e não é flat.

Demonstração. Segue das Proposições 4.2.10 e 4.3.3, pois os únicos limites flats de blow-up de um fluxo de curvatura médiade uma hipersuperfície mergulhada são os hiperplanos pela origem de Rn+1.

Observação 4.3.5.

(i) Outra maneira de se obter um limite homotético de blow-up não-trivial é aplicar o Teorema 4.2.17, excluindo a presençade singularidades no caso Σ = 1. De fato, como o conjunto de pontos atingíveis S é compacto, se Σ > 1, então deveexistir um ponto x0 = p tal que Θ(p)> 1, do contrário, pelo Teorema 4.2.17, a curvatura seria uniformemente limitadaquando t→ T, o que é um absurdo. Realizando rescaling das hipersuperfícies ao redor de x0 ∈ Rn+1, temos um limitehomotético de blow-up que não pode ser uma hipersuperfície de multiplicidade um passando pela origem.

(ii) Mais ainda, esse limite pode ser gerado também do seguinte modo: para todo t ∈ [0,T ), seja xt tal que

σ(t) = maxx0∈Rn+1

∫M

e−|x−x0 |

2

4(T−t)

(4π(T − t))n/2 dµt =∫M

e−|x−xt |24(T−t)

(4π(T − t))n/2 dµt ,

e consideremos as hipersuperfícies com rescaling com medidas associadas µs ao redor dos pontos xt , dadas por

ϕ(q,s) =ϕ(q, t(s))− xt(s)√

2(T − t), com s = s(t) =−1

2log(T − t).

Realizando rescaling também de σ ′, recordando da equação (4.8), temos

dds

∫M

e−|y|2

2 dµs =−∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµs ≤ 0.

Integrando em (− 12 logT,+∞), segue que

σ(0)−Σ =1

(2π)n/2

∫ +∞

− 12 logT

∫M

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dµsds <+∞.

Assim, podemos proceder analogamente para gerar uma hipersuperfície limite homotética M∞ tal que

1(2π)n/2

∫M∞

e−|y|2

2

∣∣∣H + 〈y, ν〉∣∣∣2dH n = Σ≥ 1.

Portanto, como pelo Teorema 4.2.17 temos que a curvatura é limitada quando Σ = 1, então a hipersuperfície limite M∞

não é um hiperplano de multiplicidade um passando pela origem.

4.4. CONVEXIDADE EM MÉDIA 89

4.4 Convexidade em médiaAssumiremos nesta seção que todas as hipersuperfícies são mergulhadas, a menos de menção.Se uma hipersuperfície inicial compacta é mergulhada com H > 0 sempre, a menos de um tempo finito, então podemos

restringir os limites das hipersuperfícies com rescaling e utilizar a análise da Seção 4.3. Veremos nesta seção que esse casoé particular, já que todo ponto singular é um ponto singular especial, e que é possível classificar todas as hipersuperfícieslimite mergulhadas em Rn+1 tais que H + 〈x,ν〉 = 0 e H ≥ 0. Além disso, temos que a menor taxa pela qual a curvatura setorna ilimitada é 1/

√2(T − t), ainda que seja natural pensar em outras regiões cujas curvaturas estejam se tornando mais

acentuadas a uma taxa menor.Recordemos do Corolário 3.4.4 do Capítulo 3 que se a hipersuperfície inicial é convexa em média, então após um t0 > 0,

existe uma constante α > 0 tal que α|A| ≤ H ≤ n|A| sempre em M, para todo tempo t ≥ t0. Portanto, podemos assumir nestaseção que para cada t ∈ [0,T ), temos

α√2(T − t)

≤ maxp∈M

H(p, t)≤ C√2(T − t)

.

Primeiro, vamos demonstrar o importante resultado de classificação de Huisken (seção 4 de [28] e seção 5 de [30]) parahipersuperfícies convexas em média mergulhadas contraindo homoteticamente.

Teorema 4.4.1. Seja M ⊂ Rn+1 uma hipersuperfície suave, completa, mergulhada e convexa em média evoluindo pelacurvatura média, tal que H + 〈x,ν〉= 0 em todo x ∈M, e

|A|+ |∇A| ≤C e H n(M∩BR)≤CeR,

para alguma constante C > 0 e para toda bola de raio R > 0 em Rn+1. Então, a menos de uma rotação em Rn+1,M deve serum hiperplano passando pela origem ou uma esfera Sn(

√n) ou um cilindro Sm(

√m)×Rn−m.

Demonstração. Suponhamos que M seja conexa. Se o resultado é verdadeiro neste caso, como qualquer componente conexatem que pertencer a alguma classe de hipersuperfícies (hiperplano, esfera ou cilindro) e claramente duas quaisquer hipersu-perfícies coincidem ou tem intersecções, então qualquer hipersuperfície mergulhada, satisfazendo as hipóteses no enunciado,tem que ser conexa.

O caso n = 1, devido à Abresch e Langer, será demonstrado no Capítulo 5. Suponhamos portanto que n≥ 2.Tomando a derivada covariante da equação H + 〈x,ν〉= 0 em um frame ortonormal (e1, · · · ,en) em M, temos

∇iH = 〈x,ek〉hik e∇i∇ jH = hi j + 〈x,ν〉hikh jk + 〈x,ek〉∇ih jk

= hi j−Hhikh jk + 〈x,ek〉∇khi j,

(4.18)

onde usamos as equações de Gauss-Weingarten e de Codazzi. Multiplicando ambos os lados por gi j e hi j e realizandocontração de índices, temos

∆H = H−H|A|2 + 〈x,ek〉∇kH = H(1−|A|2)+ 〈x, ∇H〉 , (4.19)

hi j∇i∇ jH = |A|2− tr(A3)H +

12〈x,ek〉∇k|A|2,

o que implica, pela Identidade de Simons, que

∆|A|2 = 2|A|2(1−|A|2)+2|∇A|2 +⟨x,∇|A|2

⟩.

Da equação (4.19) e do Princípio do Máximo Forte para equações elípticas (vide a seção 8 de [7]), temos que H = 0 ou H > 0em todo M, já que como H ≥ 0 e ∆H ≤ H + 〈x,∇H〉 .

Suponhamos que H = 0. Como M é completo e se x é um campo vetorial tangente em M pela equação 〈X ,ν〉= 0, entãopara cada x0 ∈M, existe uma única solução da equação diferencial ordinária

γ′(s) = x(γ(s)) = γ(s),


passando por x0 e contida em M, para todo s ∈ R. Porém, tal solução é simplesmente a reta em Rn+1 passando por x0 e pelaorigem. Assim, M tem que ser um cone e sendo suave, a única possibilidade é um hiperplano passando pela origem de Rn+1.

Suponhamos agora que H > 0 sempre. Seja R > 0 e defina η como a conormal à M∩BR(0) unitária apontando paradentro ao longo de ∂ (M∩BR(0)). Observemos que pelo Teorema de Sard esta é uma fronteira suave para quase todo R > 0.Então, supondo que R pertence ao conjunto Ω ⊂ R+ dos valores regulares da função | · | restrita à M, pela equação (4.19) epelo Teorema da Divergência, temos que

εR =−∫

∂ (M∩BR(0))|A| 〈∇H,η〉e−

R22 dH n−1(x)

=∫M∩BR(0)

|A|∆He−|x|2

2 +

⟨∇(|A|e−

|x|22 ),∇H

⟩dH n(x)

=∫M∩BR(0)

(|A|H(1−|A|2)+ |A| 〈x,∇H〉+ 1

2|A|⟨∇|A|2,∇H

⟩−|A| 〈x,∇H〉

)e−|x|2

2 dH n(x)

=∫M∩BR(0)

(|A|H(1−|A|2)+ 1

2|A|⟨∇|A|2,∇H

⟩)e−|x|2

2 dH n(x),

e

δR =−∫

∂ (M∩BR(0))

H|A|〈∇|A|,η〉e−

R22 dH n−1(x)

=∫M∩BR(0)

H|A|

∆|A|2e−|x|2

2 +

⟨∇

(H|A|

e−|x|2

2

),∇|A|2

⟩dH n(x)

=∫M∩BR(0)

(2|A|H(1−|A|2)+ 2H|∇A|2

|A|+

H|A|⟨x,∇|A|2

⟩+

⟨∇H,∇|A|2

⟩|A|

− H|∇|A|2|2

2|A|3− H|A|⟨x,∇|A|2

⟩)e−|x|2

2 dH n(x)

=∫M∩BR(0)

(2|A|H(1−|A|2)+ 2H|∇A|2

|A|+

⟨∇H,∇|A|2

⟩|A|

− 2H|∇|A|2|2

2|A|3

)e−|x|2

2 dH n(x).

Logo,

σR = 2δR−4εR =∫M∩BR(0)

(4H|∇A|2

|A|− H|∇|A|2|2

2|A|3

)e−|x|2

2 dH n(x)

=∫M∩BR(0)

(4|A|2|∇A|2−|∇|A|2|2

) H|A|3

e−|x|2

2 dH n(x).

Como 4|A|2|∇A|2 ≥ |∇|A|2|2, então σR é não-negativa e não-decrescente com relação à R. Notemos que se mostrarmos queliminfR→+∞ σR = 0, então em cada ponto de M, teremos que

4|A|2|∇A|2 = |∇|A|2|2. (4.20)

Notemos que por definição, temos pelas estimativas em A e ∇A que

|σR|=∣∣∣∣∫

∂ (M∩BR(0))

(−2

H|A|2〈∇|A|,η〉+4|A| 〈∇H,η〉

)e−

R22 dH n−1

∣∣∣∣≤ 4e−R2/2

∫∂ (M∩BR(0))

H|A||∇|A|2|2 + |A||∇H|dH n−1

≤ 8e−R2/2∫

∂ (M∩BR(0))H|∇A|+ |A||∇H|dH n−1

≤Ce−R2/2H n−1(∂ (M∩BR(0))).

Suponhamos que para todo R pertencendo à Ω⊂ R+ (que é de medida completa) e maior que algum R0 > 0, temos

H n−1(∂ (M∩BR(0)))≥ δReR2/4, (4.21)

4.4. CONVEXIDADE EM MÉDIA 91

para alguma constante δ > 0. Definindo xM como a projeção do vetor x no espaço tangente à M e sendo a função dada por

R 7→H n(∂ (M∩BR(0))),

é monótona, contínua à esquerda e em todo valor R ∈ Ω, então podemos diferenciar H n−1(∂ (M∩BR(0))) em quase todoponto de R+. Logo, pela Fórmula da Coárea (Apêndice B.3), temos que

H n(M∩BR(0))−H n(M∩Br(0))≥∫ R

r

ddξ

H n(∂ (M∩Bξ (0)))dξ

≥∫ R

r

∫∂ (M∩Bξ (0))

|∇M|x||−1dH n−1(x)dξ

=∫ R

r

∫∂ (M∩Bξ (0))

|x||xM|

dH n−1(x)dξ

≥∫ R

r

∫∂ (M∩Bξ (0))

dH n−1(x)dξ ,

onde a derivada na integral é tomada somente nos pontos onde a integral existe e ∇M|x| denota a projeção do gradiente emRn+1 da função |x| no espaço tangente à M. Logo, se R > r > R0, então temos

H n(M∩BR(0))−H n(M∩Br(0))≥∫ R

r

∫∂ (M∩Bξ (0))

dH n−1(x)dξ

≥ δ

∫ R

rξ eξ 2/4dξ

= 2δ (eR2/4− er2/4),

o que implica que quando R→ +∞, temos que H n(M∩BR(0))e−R diverge, o que é um absurdo com a limitação dada porH n(M∩BR)≤CeR. Assim,

liminfR→+∞

eR24 H n−1(∂ (M∩BR(0))) = 0.

Como o mesmo vale para |σR|, então pelo que dissemos, temos que a equação (4.20). Explicitando tal equação, pela condiçãode igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwartz, segue que para cada ponto existem constantes ck tais que

∇khi j = ckhi j,

para todo i, j. Realizando contração por gi j e hi j, temos

∇kH = ckH e ∇k|A|2 = 2ck|A|2,

o que implica que∇k logH = ck e ∇k log |A|2 = 2ck.

Logo, segue que |A|= αH localmente para alguma constante α > 0 e por conexidade de M, isto vale globalmente.Supondo que |∇H| 6= 0 em um ponto, temos

∇khi j = ckhi j =∇kH

Hhi j,

o qual é um 3-tensor, simétrico pelas equações de Codazzi, e portanto ∇kHhi j = ∇ jHhik. Considerando coordenadas normaiscom uma base ortonormal (e1, · · · ,en) tal que e1 = ∇H/|∇H|, temos

0 = |∇kHhi j−∇ jHhi j|2 = 2|∇H|2(|A|2−

n

∑i=1

h21i

),


o que implica que

|A|2 = h211 +2

n

∑i=2

h21i +

n

∑i, j 6=1

h2i j = h2

11 +n

∑i=2

h21i,

ou seja, a menos de i = j = 1, temos hi j = 0, o que significa que A tem posto um. Assim, temos que em cada ponto de M,ou A tem posto um ou ∇H = 0. Se o núcleo de A é vazio em todo ponto, então A tem que ter posto no mínimo dois já queassumimos n≥ 2. Logo, temos que ∇H = 0, o que implica ∇A = 0 e pela equação (4.18), que hi j = Hhikhk j. Assim, todos osautovalores de A são 0 ou 1/H, e como o núcleo é vazio, então A = Hg/n, isto é, H =

√n e A = g/

√n. Logo, como

∆M|x|2 = 2n+2

⟨x,∆Mx

⟩= 2n+2H 〈x,ν〉= 2n−2H2 = 0,

pois H + 〈x,ν〉 = 0, então temos que |x|2 é uma função harmônica em M que deve ser constante em M, pelo Princípio doMáximo Forte para equações elípticas, considerando o ponto de M de mínima distância da origem. Nesse caso temos entãoque M é a esfera Sn(

√n).

Suponhamos que o núcleo de A não é vazio em algum ponto p ∈M e consideremos uma família de vetores ortonormaistangentes unitários v1(p), · · · ,vn−m(p)∈ TpM ⊂Rn+1 gerando tal núcleo, de dimensão (n−m), isto é, hi j(p)v j

k(p) = 0. Logo,percorrendo a geodésica γ(s) de p em M com velocidade inicial vk(p), temos

∇s(hi jγj

s ) = H−1 〈∇H,γs〉hi jγj

s ,

o que implica, pelo Lema de Gronwall, que hi j(γ(s))γj

s = 0 para todo s∈R. Como γ é uma geodésica em M, a normal à curvaem Rn+1 é também normal à M e sendo κ a curvatura de γ em Rn+1, temos então que

κ =

⟨ν ,

dds

γs

⟩= hi jγ

isγ

js = 0.

ou seja, γ é uma reta em Rn+1. Assim, todos os subespaços afins de dimensão (n−m), dados por p+S(p)⊂Rn+1 estão conti-dos em M, onde S(p) = 〈v1(p), · · · ,vn−m(p)〉 ⊂Rn+1. Agora, seja σ(s) uma geodésica de p a um outro ponto q, parametrizadapelo comprimento de arco e estendamos os vetores vk ao longo de σ pelo transporte paralelo. Então temos

∇s(hi jvjk) = H−1 〈∇H,σs〉hi jv

jk,

e novamente pelo Lema de Gronwall, segue que hi jvjk(s) = 0 para todo s ∈ R e temos que vk(q) está contido no núcleo de A

em q ∈M. Isto mostra que o núcleo S(p) de A tem dimensão constante n−m com 0 < m < n, já que A é sempre não nula, emcada ponto p ∈M e todos os subespaços afins de dimensão (n−m), dados por p+S(p)⊂ Rn+1 estão contidos em M. Alémdisso, como hi jv

jk(s) = 0 ao longo de σ , denotando por ∇Rn+1

a derivada covariante de Rn+1, temos que

∇Rn+1

s vk = ∇svk +hi jvjkσ

isν = 0,

o que implica que os vetores estendidos vk são constantes em Rn+1, isto é, a extensão paralela é independente de σ , ossubespaços S(p) são todos um mesmo subespaço vetorial (n−m)- dimensional de Rn+1, o qual denotaremos por S, e que M=M+S⊂ Rn+1. Como a projeção ortogonal π : M→ S é então uma submersão, segue que para todo y ∈ S, N =M∩ (y+S⊥)é uma subvariedade m-dimensional completa e suave de Rn+1. Assim, sendo M = M+ S, temos que M = N× S, o queimplica que L = S⊥ ∩M é uma subvariedade m-dimensional completa e suave de S⊥ = Rm+1 com M = L× S. Além disso,como S está no espaço tangente de todo ponto de L, a normal ν à M em um ponto de L, está em S⊥ e deve coincidir com anormal νL a L em S⊥. Assim, podemos ver que a curvatura média de M nos pontos de L é igual a curvatura média HL de L,como uma hipersuperfície de S⊥ = Rm+1. Logo, L é uma hipersuperfície em Rm+1 satisfazendo HL +

⟨z,νL

⟩= 0 para todo

z ∈ Rm+1. Como, por construção, a segunda forma fundamental de L tem núcleo vazio, temos portanto que L = Sm(√

m) eM= Sm(

√m)×Rn−m, o que conclui a demonstração.

Observação 4.4.2.

(i) Como consequência do resultado que acabamos de demonstrar, segue que todos os limites de blow-up são convexos.

(ii) Em dimensão n ≥ 2, se a hipótese H > 0 não for satisfeita, o resultado não é verdadeiro. Por exemplo, o toro deAngenent apresentado no Exemplo 2.4.7 do Capítulo 2.

(iii) Na realidade em [30] (Teorema 5.1), Huisken demonstra um resultado mais geral, sem a hipótese da hipersuperfícieser mergulhada. Neste caso, ainda podemos ter que esta é Γ×Rn−1, onde Γ é uma das curvas de Abresch e Langer(Observação 5.2.4 do Capítulo 5).

Como pelo Corolário 4.3.4 temos que hiperplanos limites de multiplicidade um passando pela origem de Rn+1 não sãolimites de blow-up em um ponto singular, podemos concluir, como consequência do Teorema 4.4.1, o seguinte.

Teorema 4.4.3. Se uma hipersuperfície compacta e mergulhada evoluindo pela curvatura média satisfaz H ≥ 0, então, todahipersuperfície limite obtida por rescaling o redor de um ponto singular de tipo I, a menos de uma rotação em Rn+1, deve sera esfera Sn(

√n) ou um dos cilindros Sm(

√m)×Rn−m.

Considerando o funcional de Huisken, definido por∫M

e−|y|2

2 dH n,

recordemos que Θ(p) é justamente o valor do funcional de Huisken em qualquer limite de hipersuperfícies com rescaling, ecomo essas últimas são finitas, temos que os possíveis valores de Θ(p) são 1, no caso de um hiperplano, e

Θn,m =

1(2π)n/2

∫Sm(√

m)×Rn−me−|x|2

2 dH n,

para 1≤ m≤ n. Podemos ainda escrever esta equação por

Θn,m =

( m2πe

)m/2ωm,

onde ωm é o volume da M-esfera unitária. Como Θn,m não depende de n, denotemos por simplicidade Θm = Θn,m. Assim,temos o seguinte resultado devido à Stone.

Lema 4.4.4. Todos os Θm são distintos e maiores que 1 para m > 0.

Demonstração. Segue diretamente, observando que Θmm≥1 é uma sequência estritamente decrescente em m ∈ N, comΘm→

√2 quando M→ ∞.

Portanto, a forma das hipersuperfícies limite surgindo de um blow-up de uma singularidade do tipo I do fluxo de curvaturamédia de uma hipersuperfície compacta, mergulhada e convexa em média, pode ser classificada pelo valor da função dedensidade limite do calor no ponto de blow-up. Enunciemos a conclusão dessa discussão na seguinte proposição.

Proposição 4.4.5. Todo ponto singular de tipo I na evolução pela curvatura média de uma hipersuperfície compacta mergu-lhada com H ≥ 0 é um ponto singular especial.

Observação 4.4.6.

(i) Podemos ver que Σ > 1 sem usar o Teorema 4.2.17. De fato, por pela Proposição 4.4.5, deve existir ao menos um pontosingular especial p ∈M e portanto Θ(p)> 1 e Σ≥Θ(p)> 1.

(ii) Como consequência, se o fluxo desenvolve uma singularidade do tipo I e um limite de blow-up é uma esfera, entãoo fluxo é suave até a hipersuperfície colapsar a um ponto, sendo que a partir de um tempo se torna convexa e vai setornando assintoticamente esférica.

(iii) Temos um resultado mais geral devido à Huisken, mas daremos a demonstração de Hamilton no próximo capítulo,diferente da original em [29].

Teorema 4.4.7. Uma hipersuperfície compacta e convexa em Rn+1 com n≥ 2 evoluindo pela curvatura média se tornaassintoticamente uma esfera, contraindo a um ponto em tempo finito na topologia C∞.

93

94

Capítulo 5

Singularidades de tipo II e o caso de curvasplanas

Nos focamos neste capítulo na evolução de curvas evoluindo pela curvatura média. Inicialmente introduzimos singulari-dades de tipo II e apresentamos uma técnica de blow-up devido a Hamilton para esse tipo de singularidade, uma importanteferramenta para a análise que é feita ao decorrer do capítulo no caso de curvas. Um exemplo é dado por uma curva do tipocardioide no plano com um laço bem pequeno, possuindo alta curvatura: em algum tempo o laço contrai enquanto o restose mantém suave e uma cúspide se desenvolve. Tal singularidade é do tipo II, pois se tivermos uma singularidade do tipo I,teríamos, como veremos, uma curva de Abresch-Langer como limite de blow-up e isto implicaria que, como esta é compacta,a curva inteira teria colapsado a um ponto. Veremos em especial que curvas mergulhadas não desenvolvem singularidades dotipo II ([27]).

Apresentamos entre outros, resultados clássicos da teoria de curve shortening flows, como a classificação de Abresch-Langer [1], a estimativa de Harnack ([25]) para este caso e os Teoremas de Gage-Hamilton ([45]) e de Grayson ([32]).

5.1 Blow-up para singularidades de tipo IINotemos que a Fórmula de Monotonicidade de Huisken não pode ser utilizada no contexto de singularidades de tipo II,

pois pela condiçãolimsup

t→Tmaxp∈M|A(p, t)|

√T − t =+∞,

em geral não conseguimos controlar a taxa de blow-up. Para lidarmos com blow-up próximo dessas singularidades, precisamosde novas estimativas que sejam independentes de hipótese de tipo II e invariante por rescaling.

Proposição 5.1.1. Seja ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 o fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície compacta tal que paraalguma constante Λ > 0, temos

supp∈M|A(p,0)| ≤ Λ <+∞.

Então, existem τ = τ(Λ) ∈ (0,T ) e constantes Cm =Cm(Λ) para cada m ∈ N tais que

|∇mA(p, t)|2 ≤ Cm

tm

para todo p ∈M e t ∈ (0,τ).

Demonstração. Procederemos por indução em m ∈ N, a ordem da derivada covariante de A.Consideremos m = 0. Pela Proposição 3.1.1 do Capítulo 3, temos

∂

∂ t|A|2 = ∆|A|2−2|∇A|2 +2|A|4 ≤ ∆|A|2 +2|A|4,

95

CAPÍTULO 5. SINGULARIDADES DE TIPO II E O CASO DE CURVAS PLANAS 96

o que implica que∂

∂ t|A|2max ≤ 2|A|4max,

já que ∆|A|max ≤ 0. Resolvendo esta desigualdade, temos

−12

1|A|2max|t

+12

1|A|2max|0

≤ 2t,

isto é,

|A(p, t)|2max ≤(

1Λ2 −4t

)−1

=C0(Λ)

para todo t ∈ [0,τ(Λ) = 1/4Λ2) =C(Λ) e p ∈M, o que demonstra o resultado para o caso m = 0.Agora, suponha que

|∇kA(p, t)|2 ≤ Ck

tm

seja verdadeiro para todo 0≤ k ≤ m−1, p ∈M e t ∈ (0,τ). Tomando a função definida em M× (0,τ) por

f =m

∑k=0|∇kA|2λktk,

para algumas constantes λ0, · · · ,λm > 0, então pela Proposição 3.1.4 do Capítulo 3 e pela Desigualdade de Young, temos que

∂ f∂ t

=∂

∂ t

m

∑k=0|∇kA|2λktk

=m

∑k=1|∇kA|2kλktk−1 +

m

∑k=0

λktk

∆|∇kA|2−2|∇k+1A|2 + ∑p+q+r=kp,q,r∈N

∇pA∗∇

qA∗∇rA∗∇

kA

≤ ∆ f +

m

∑k=1|∇kA|2(kλk−2λk−1)tk−1−2|∇m+1A|2kλmtm +

m

∑k=0

λktkC(k) ∑p+q+r=kp,q,r∈N

|∇pA||∇qA||∇rA||∇kA|

≤ ∆ f +m

∑k=1|∇kA|2(kλk−2λk−1)tk−1 +

m−1

∑k=0

λkC(k) ∑p+q+r=kp,q,r∈N

CpCqCrCk

+λmtm/2C(M)

∑p+q+r=m

p,q,r<m

CpCqCr

|∇mA|+λmtmCm|A|2|∇mA|2

≤ ∆ f +m

∑k=1|∇kA|2(kλk−2λk−1)tk−1 +Cλmtm|∇mA|2 +D.

Tomando λk = 2k/k! para cada 0≤ k ≤ m, temos

∂

∂ tf ≤ ∆ f +Cλmtm|∇mA|2 +D≤ ∆ f +C f +D (5.1)

para todo p ∈M e t ∈ (0,τ), onde as constantes C e D dependem somente de m e Λ, pela hipótese de indução. Observemosque como f suave em M× [0,τ), então a desigualdade (5.1) é válida também para t = 0. Logo, podemos aplicar o Princípiodo Máximo Fraco para obtermos

f ≤(

fmax(0)DC

)eCt ≤C,

5.1. BLOW-UP PARA SINGULARIDADES DE TIPO II 97

isto é, f é limitada em [0,τ) por alguma constante C =C(m,Λ, fmax(0)), onde fmax(0) = |A|2max(0)≤ Λ2. Segue que

tm|∇mA(p, t)|2 ≤ f (t)λm≤ C

λm=Cm

em [0,τ), o que conclui a demonstração, pois Cm =Cm(Λ).

Assim, temos uma consequência direta da Proposição 5.1.1 e de sua demonstração.

Corolário 5.1.2. Seja ϕ : M× [0,T )→ Rn+1 o fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície compacta tal que

supp∈M|A(p,0)| ≤ Λ <+∞.

Então existem constantes Cm = Cm(Λ) para cada m ∈ N tais que |∇mA(p, t)|2 ≤ Cm para todo p ∈M e t ∈ (τ/2,τ), ondeτ(Λ) = 1/4Λ2.

Descreveremos agora a técnica devida à Hamilton para se obter um fluxo de blow-up em uma singularidade de tipo IIdo fluxo de curvatura média de uma hipersuperfície compacta no tempo T > 0. Tomemos uma sequência de tempos tk ∈[0,T −1/k] e uma sequência de pontos pk ∈M tais que

|A(pk, tk)|2(

T − 1k− tk

)= max

t∈[0,T−1/k]p∈M

|A(p, t)|2(

T − 1k− t). (5.2)

Notemos que se esse máximo for limitado por uma constante C em uma subsequência ki→∞, então para todo t ∈ [0,T ) temosque t ∈ [0,T −1/ki] e

|A(p, t)|2(T − t) = limi→∞|A(p, t)|2

(T − 1

ki− t)≤C

para todo p ∈M, o que é uma contradição com a condição de sigularidade do tipo II, já que se tomarmos o limsupt→T , temos

limsupt→T

maxp∈M|A(p, t)|2(T − t)≤ limsup

t→TC =C <+∞.

Notemos também que este fato implica que que tk → T quando k→ ∞, já que se tki é uma subsequência que converge a umT 6= T, então temos que |A(pki , tki)|2 é limitada pela compacidade de M× [0, T ], o que implica que

maxt∈[0,T−1/k]

p∈M

|A(p, t)|2(

T − 1ki− t)= |A(pki , tki)|

2(

T − 1ki− tki

)também é limitada, o que é uma contradição, pois mostramos que o máximo na equação (5.2) tende à +∞. Assim, podemos es-colher uma subsequência crescente com tk→ T, não re-indexada por simplicidade, tal que |A(pk, tk)|→+∞ monotonicamente.Daí temos que

|A(pk, tk)|2tk→+∞ e |A(pk, tk)|2(

T − 1k− tk

)→+∞.

Além disso, podemos assumir que (possivelmente uma subsequência) pk → q para algum q ∈M, pela compacidade de M.Consideremos ϕk : M× Ik→ Rn+1, os rescalings do fluxo dados por

ϕk(p,s) = |A(pk, tk)|(

ϕ

(p,

s|A(pk, tk)|2

+ tk

)−ϕ(pk, tk)

),

onde

Ik =

[−|A(pk, tk)|2tk, |A(pk, tk)|2

(T − 1

k− tk

)].

Denotemos Mks = ϕk(M,s) e por Ak a segunda forma fundamental das hipersuperfícies ϕk. Notemos que

∂ϕk

∂ s(p,s) =

1|A(pk, tk)|

∂ϕ

∂ t(p, t) =

H(p, t)|A(pk, tk|

ν(p, t) = Hk(p,s)νk(p,s),

isto é, ϕk continua sendo um fluxo de curvatura média. Observemos que


(P1) pela definição, temos que ϕk(pk,0) = 0 ∈ Rn+1,

(P2) |Ak(pk,0)|= 1, já que

|Ak(p,s)|2 =(gi jhi j

)2k =

1|A(pk, tk|2

∣∣∣∣A(p,s

|A(pk, tk)|2+ tk

)∣∣∣∣2 ,e

(P3) para cada ε > 0 e ω > 0, existe k ∈ N tal que

maxp∈M|Ak(p,s)| ≤ 1+ ε

para todo k ≥ k e s ∈ [−|A(pk, tk)|2tk,ω]. De fato, pela escolha dos pares (pk, tk) e pela equação (5.2), temos

|Ak(p,s)|2 = 1|A(pk, tk)|2

∣∣∣∣A(p,s

|A(pk, tk)|2+ tk

)∣∣∣∣2≤ 1|A(pk, tk)|2

|A(pk, tk)|2T −1/k− tk

T −1/k− tk− s/|A(pk, tk)|2

=|A(pk, tk)|2(T −1/k− tk)|A(pk, tk)|2(T −1/k− tk)− s

se(s/|A(pk, tk)|2

)+ tk ∈ [0,T −1/k], isto é, se s ∈ Ik. Logo, assumindo s≤ ω, como

|A(pk, tk)|2(T −1/k− tk)→+∞,

então existe k′ suficientemente grande tal que

||Ak(p,s)|−1|< ε

para todo k ≥ k′ e p ∈M, o que conclui o resultado.

Portanto, se garantirmos que esses fluxos, possivelmente para uma subsequência, convergem localmente e suavemente emcada intervalo compacto de tempo, então temos um fluxo de curvatura média tal que a norma da segunda forma fundamentalé limitada uniformemente por 1 e o intervalo de tempo no qual o fluxo existe é todo R, já que limk→∞ Ik = (−∞,+∞). Este éo resultado da próxima proposição.

Proposição 5.1.3. A menos de uma subsequência, a família de fluxos ϕk converge na topologia C∞loc a um fluxo de curvatura

média limite suave e não vazio de hipersuperfícies completas M∞s definido para qualquer tempo em R. Tal fluxo é dito eterno

e como consequência, não pode conter hipersuperfícies compactas. Além disso, a segunda forma fundamental e todas assuas derivadas covariantes são limitadas uniformemente e |A∞|max = 1 para s = 0 na origem de Rn+1, o que implica tambémque o fluxo limite não é flat. Por último, se a hipersuperfície original inicial é mergulhada, então o fluxo limite consiste dehipersuperfícies mergulhadas.

Demonstração. Como já vimos, em cada intervalo de tempo limitado [s1,s2], as evoluções ϕk possuem curvaturas satisfa-zendo |Ak| ≤ (1+ ε), o que implica que para ε << 1 pelo Corolário 5.1.2, em cada intervalo [s1 + 1/16,s1 + 1/8], temosestimativas uniformes |∇mAk| ≤ Cm, com Cm independente de s1, para cada m ∈ N. Sejam µk

s a medida associada à hiper-superfície ϕk no tempo s e µ0 a medida associada à hipersuperfície inicial ϕ0. Logo, pela Fórmula de Monotonicidade deHuisken, temos


H n(ϕk(M,s)∩BR) =∫

MχBR(y)dµ

ks (y)≤

∫M

χBR(y)eR2−|y|2

4 dµkξ(y)

≤ eR2/4∫

Me−|y|2

4 dµks (y)

= (4π)n/2∫

M

e−|y|2

4(s+1−s)

[4π(s+1− s)]n/2 dµks (y)

≤C(R)∫

M

e− |y|2

4(s+1−|A(pk ,tk)|2tk)

[4π(s+1−|A(pk, tk)|2tk)]n/2 dµ−|A(pk,tk)|2tk(y)

=C(R)∫

M

|A(pk, tk)|ne− |x−ϕ(pk ,tk)|

2|A(pk ,tk)|2

4(s+1−|A(pk ,tk)|2tk)

[4π(s+1−|A(pk, tk)|2tk)]n/2 dµ0(x)

≤C(R)∫

M

|A(pk, tk)|n

[4π(s+1−|A(pk, tk)|2tk)]n/2 dµ0(x)

≤C(R)Area(ϕ0)|A(pk, tk)|n

[4π(s+1−|A(pk, tk)|2tk)]n/2 dµ0(x),

o que implica que se s ∈ [s1,s2]⊂ R, então

limsupk→∞

H n(ϕk(M,s)∩BR)≤C(R)Area(ϕ0)

(4πT )n/2 =C(R,ϕ0).

Daí, temos queH n(ϕk(M,s)∩BR)≤C(R,ϕ0,s1,s2)

uniformemente para s ∈ [s1,s2], onde a constante C independe de k ∈ N. Consideremos as hipersuperífices ϕk : M× Ik →Rn+1×R∼= Rn+2 definidas por

ϕk(p,s) = (ϕk(p,s),s)

e procederemos como na demonstração da Proposição 4.17 do Capítulo 4. Consideremos reparametrizações das ϕk localmentecomo gráficos de funções suaves. Como temos estimativas uniformes das derivadas covariantes de Ak, então temos estimativasuniformes locais das derivadas covariantes no espaço e das derivadas no tempo dessas funções suaves de representação comográficos. Logo, a menos de uma subsequência, obtemos localmente um fluxo de curvatura média limite suave, o que garante,tomando possivelmente uma nova subsequência, a existência de um fluxo limite formado por hipersuperfícies completas.

Pelo que discutimos antes de enunciarmos esta proposição, temos então as consequências do enunciado para este fluxolimite. O fato que este não pode conter hipersuperfíes compactas é uma consequência do Corolário 3.3.6 do Capítulo 3, já quehipersuperfícies compactas evoluindo pela curvatura média desenvolvem singualridades em tempo finito.

Agora, suponhamos que a hipersuperfície inicial seja mergulhada. Sabemos da Proposição 3.3.8 do Capítulo 3 que todasas hipersuperfícies nos fluxos ϕk são mergulhadas em cada tempo, o que deixa apenas a possibilidade das M∞

s não seremmergulhadas se duas ou mais regiões se intersectam tangencialmente em algum y ∈ Rn+1. Tomemos a função monótona nãodescrescente definida por

G(t) = maxs∈[0,t]p∈M

|A(p,s)|,

e uma função suave K : [0.T )→ R+ também monótona não-decrescente tal que G(t) ≤ K(t) ≤ 2G(t) para todo t ∈ [0,T ).Consideremos ainda o aberto

Ωε =(p,q, t) ∈M× [0,T ) ; dg(t)(p,q)≤ ε/K(t)

,

onde dg(t) é uma distância geodésica em (M,g(t)). Seja

Bε = inf∂Ωε

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|K(t).


Procederemos novamente como na demonstração da Proposição 4.17. Suponhamos que Bε = 0 para algum ε > 0. Logo,existem uma sequência de tempos ti→ T monotonicamente e pontos pi,qi com

dg(ti)(pi,qi) =ε

K(ti)e |ϕ(pi, ti)−ϕ(qi, ti)|K(ti)→ 0,

isto é,dg(si)(pi,qi) = ε e |ϕi(pi)− ϕi(qi)| → 0,

onde ϕi é o rescaling da hipersuperfície ϕti póximo ao ponto ϕ(pi, ti) com fator K(ti)≥ G(ti). Como as curvaturas associadasà Ai destas hipersuperfícies com rescaling ϕi satisfazem

|Ai(p)|= |A(p, ti)|K(ti)

≤ |A(pi, ti)|G(ti)

≤ 1,

então podemos escrever localmente cada ϕi em uma vizinhança U i conexa de cada pi como o gráfico de uma função suavefi. Como dg(si)(pi,qi) = ε, então quando ε > 0 é suficientemente pequeno, temos que as constantes Lipschitz destas fi sãouniformemente limitadas, qi ∈U i e ϕi(qi) pertence ao gráfico de fi. o que implica que |ϕi(pi)− ϕi(qi)| > 0, ou seja Bε > 0,uma contradição com o que assumimos.

Fixando um ε > 0 tal que Bε > 0 e considerando a função definida em Ωε =M×M× [0,T )\Ωε por

L(p,q, t) = |ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|K(t),

temos que se o mínimo de L em um tempo t fixo, que é sempre positivo já que as hipersuperfícies estão mergulhadas (logoinjetivas), é menor que Bε , então tal mínimo não é atingido na fronteira de Ωε , mas no seu interior, digamos em um (p,q, t).Logo, segue que

∂L∂ t

(p, t) = K(t)∂

∂ t|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|+ |ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|K′(t)

≥ K(t)∂

∂ t|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|

e podemos ver como na demonstração da Proposição 3.3.8 do Capítulo 3, que esta última derivada parcial é não negativa ondeexiste (em quase todo ponto), o que implica pelo Lema 3.2.1 do Capítulo 3 na versão para mínimo, que neste caso o mínimode L é não decrescente no tempo, pois

∂Lmin

∂ t(t) =

∂L∂ t

(p,q, t)

em cada tempo onde Lmin é diferenciavel. Assim, existe uma limitação inferior positiva Cε de

infΩε

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|K(t)

e daí, como K(t)≤ 2G(t), temos que

infΩε

|ϕ(p, t)−ϕ(q, t)|G(t)≥ Cε

2> 0.

Notemos que para os pares (pk, tk) tomados na equação (5.2), temos

|A(pk, tk) = G(tk),

pois do contrário, existiria um t < tk commaxp∈M|A(p, t)|> |A(pk, tk)|,

o que é uma contradição a equação (5.2). Segue de G ser monótona não decrescente que para todo t ≤ tk, temos |A(pk, tk)≥G(t). Logo, fixando ω,δ > 0, temos pela estimativa (5.1.2) que

maxp∈M|Ak(p,s)| ≤ (1+δ )


para todo s≤ ω. Daí segue que

G(

s|A(pk, tk)|2

+ tk

)= max

r≤sp∈M

∣∣∣∣A(p,r

|A(pk, tk)|2+ tk

)∣∣∣∣≤ max

r≤ω

p∈M

|Ak(p,r)||A(pk, tk)|

≤ (1+δ )|A(pk, tk)|.

(5.3)

Notemos que se s ∈ [0,ω] e dgk(s)(p,q)> ε, então

dg(s/|A(pk+tk)|2+tk)(p,q) =dgk(s)(p,q)|A(pk + tk)|

=dgk(s)(p,q)

G(tk)

≥ ε

G(s/|A(pk, tk)|2 + tk)

≥ ε

K(s/|A(pk, tk)|2 + tk),

e assim, (p,q,s/|A(pk, tk)|2 + tk) ∈ Ωε .Caso s≤ 0, definindo

L(s) = supM∞

s

|A∞| ≤ 1,

temos que se L(s) = 0 para algum s≤ 0, então M∞s é um hiperplano e o fluxo limite é flat até s = 0, o que é um absurdo, pois

|A∞(0,0)|= 1. Logo L(s)> 0 e para todo s≤ 0, temos

G(s/|A(pk, tk)|2 + tk)|A(pk, tk)|

≥ L(s)2

,

e se dgk(s)(p,q)> 2ε/L(s), então

dg(s/|A(pk+tk)|2+tk)(p,q) =dgk(s)(p,q)|A(pk + tk)|

≥ 2ε

|A(pk, tk)|L(s)

≥ ε

G(s/|A(pk, tk)|2 + tk)

≥ ε

K(s/|A(pk, tk)|2 + tk),

o que implica que (p,q,s/|A(pk, tk)|2 + tk) ∈ Ωε também neste caso. Portanto em ambos os casos, se

dgk(s)(p,q)> minε,2ε/L(s) = ε > 0,

já que ε < 2ε/L(s), pois L(s)≤ 1, então∣∣∣∣ϕ(p,s

|A(pk, tk)|2+ tk

)−ϕ

(q,

s|A(pk, tk)|2

+ tk

)∣∣∣∣G( s|A(pk, tk)|2

+ tk

)≥ Cε

2> 0

e pela estimativa (5.3), segue que

|ϕk(p,s)−ϕk(q,s)|=∣∣∣∣ϕ(p,

s|A(pk, tk)|2

+ tk

)−ϕ

(q,

s|A(pk, tk)|2

+ tk

)∣∣∣∣ |A(pk, tk)|

≥ Cε |A(pk, tk)|2G(s/|A(pk, tk)|2 + tk)

≥ Cε

2(1+δ )> 0.


Pela arbitrariedade de ω e δ e como a convergência ao fluxo limite é suave, temos que esta estimativa cale para todas ashipersuperfícies limite M∞s, para cada s ∈ R. Assim, se um par de pontos de M∞

s tem distância geodésica maior que ε > 0,então a distância extrínseca entre eles é limitada inferiormente unifomemente por alguma constante positiva. Se ε > 0 ésuficientemente pequeno tal que qualquer hipersuperfície com |A| ≤ 1, assim como para cada M∞

s , é um mergulho quandorestrita a qualquer bola de raio menor que ε, então concluímos a demonstração. Notemos que as hipersuperfícies M∞

s nãopossuem auto-intersecções para todo s ∈ R, já que são todas mergulhadas.

Observação 5.1.4. Comentamos que este procedimento de blow-up pode ser aplicado também à singularidades de tipo I.Porém, o fluxo limite que se obtém não é mais eterno, mas definido em algum intervalo (−∞,Ω) com Ω > 0, e |A∞| ≤ 1 valesomente em (∞,0]. Chamamos tal fluxo limite de ancião.

A Proposição 5.1.3 reduz portanto a análise de singularidades de tipo II, à classificação dos fluxos eternos com curvaturae suas derivadas covariantes limitadas e possuindo, em algum ponto, máximo da norma da segunda forma fundamental igualà 1. Uma classe de exemplos desses fluxos são os sólitons de translação, definidos na Seção 2.4.9 do Capítulo 2.

A seguir, exibimos uma demonstração segundo Hamilton (seção 5 em [22]) do Teorema 4.4.7 do Capítulo 4, como pro-metido. Consideremos antes, o seguinte resultado que será necessário, demonstrado em [22] (Teorema 1.1).

Teorema 5.1.5. Seja (M,g) uma n-hipersuperfície no espaço Euclidiano, suave, completa e estritamente convexa , com n≥ 2e g sendo a métrica induzida pela imersão. Se que para alguma constante α > 0 temos A≥ αHg, então M é compacta.

Demonstração (Teorema 4.4.7). Seja T o tempo maximal de existência de uma solução suave do fluxo de curvatura médiade M. Recordemos do Capítulo 3 pela discussão após o Corolário 3.5.5 que imediatamente após iniciado o fluxo, temos aconvexidade estrita H > 0 sempre e pela Proposição 3.5.8, que existe uma constante α > 0, independente do tempo, tal queA ≥ αHg. Se em T temos uma singularidade do tipo II, então pelo método de blow-up de Hamilton, temos como limite deblow-up um fluxo eterno não limitado com H ≥ 0. Porém pelo Princípio do Máximo Forte para H, considerando a equaçãode evolução de H, temos que H > 0 para todo tempo, já que se em algum ponto tivermos H = 0, então teremos H ≡ 0sempre, o que implicaria pela convexidade que o fluxo limite é simplesmente um hiperplano fixo; e também que A ≥ αHgcontinua valendo no limite. Assim, pelo Teorema 5.1.5, todas as hipersuperfícies do fluxo limite são compactas, o que é umacontradição com o fato de não ser limitada. Isso mostra que não há singularidades do tipo II nesse caso e podemos tratar apenasdas de tipo I. Novamente pelo Teorema 5.1.5, temos que qualquer limite de blow-up é mergulhado, estritamente convexo ecompacto, o que implica pelo Teorema 4.4.3 do Capítulo 4 que esse limite tem que ser a esfera Sn(

√n). Logo, temos que a

sequência de hipersuperfícies com rescaling converge à Sn(√

n) na topologia C∞. Portanto, como o limite de blow-up é únicoe compacto, então a hipersuperfície original contrai a um ponto, o que conclui a demonstração.

5.2 Curvas planasFaremos inicialmente algumas considerações iniciais sobre curvas planas. Uma referência com definições e alguns resul-

tados locais e globais sobre curvas podem ser encontradas em [10] (Capítulo 1 e Seção 5.7).

Observação 5.2.1.

(i) Recordemos que uma curva plana γ : S1→ R2 fechada parametrizada pelo comprimento de arco

ξ (θ) =∫

θ

0

∣∣γ ′(φ)∣∣dφ

possui vetor tangente unitário à γ dado porτ(ξ ) = γ

′(ξ ),

normal unitária à γ porν(ξ ) = Rτ(ξ ) = Rγ

′(ξ ),

onde R : R2→ R2 é a rotação de um vetor no plano por um ângulo de π/2 no sentido anti-horário, e a curvatura é dadapor

k(ξ ) =⟨τ′(ξ ),ν(ξ )

⟩.

5.2. CURVAS PLANAS 103

Podemos considerar uma família

γt : S1→ R2

t∈[0,T ) de curvas planas como a que acabamos de considerar, para algum

T > 0, através da aplicação γ : S1× [0,T )→R2 definida por γ(θ , t) = γt(θ). Neste caso, dizemos que γ é parametrizadopelo comprimento de arco se é parametrizado por ξ definido em S1× [0,T ) por

ξ (θ , t) =∫

θ

0

∣∣∣∣ ∂γ

∂φ(φ , t)

∣∣∣∣dφ .

Além disso, definimos os os vetores tangente e normal unitários e a curvatura de γ respectivamente por

τ(ξ ) =∂γ

∂ξ(ξ ), ν(ξ ) = Rτ(ξ ) e k(ξ ) =

⟨∂τ

∂ξ(ξ ),ν(ξ )

⟩.

Logo, podemos definir o vetor curvatura kν de γ, que pelas equações acima, fica dado por

kν =∂ 2γ

∂ξ 2 .

Passamos então a descrever um fluxo de curvatura média de curvas planas. Dada uma curva γ0 : S1→ R2, dizemos queγ é uma solução do fluxo de curvatura média de γ0 se satisfaz

∂γ

∂ t= kν ,

γ(·,0) = γ0(·).

Assim, como∂

∂θ=

∂

∂ξ

∂ξ

∂θ=

∂

∂ξ

∣∣∣∣ ∂γ

∂θ

∣∣∣∣ ,o que implica de imediato que

∂ 2

∂ t∂ξ=

∂ 2

∂ξ ∂ t+ k2 ∂

∂ξ, (5.4)

podemos derivar as equações de evolução das componentes geométricas associadas a uma solução γ do fluxo de curva-tura média. Primeiro, notemos que

∂τ

∂ t=

∂

∂ t

(∂γ

∂ξ

)=

∂

∂ξ

(∂γ

∂ t

)+ k2 ∂γ

∂ξ

=∂

∂ξ(kν)+ k2

τ =∂k∂ξ

ν + kR∂τ

∂ξ+ k2

τ

=∂k∂ξ

ν + k2R2τ + k2

τ =∂k∂ξ

ν .

Daí, temos

∂ν

∂ t=

∂

∂ t(Rτ) = R

∂τ

∂ t=

∂k∂ξ

R2τ =− ∂k

∂ξτ

e

∂k∂ t

=∂

∂ t

⟨∂τ

∂ξ,ν

⟩=

⟨∂

∂ t

(∂τ

∂ξ

),ν

⟩+

⟨∂τ

∂ξ,

∂ν

∂ t

⟩=

⟨∂

∂ξ

(∂τ

∂ t

)+ k2 ∂τ

∂ξ,ν

⟩+

⟨∂τ

∂ξ,

∂ν

∂ t

⟩=

∂ 2k∂ξ 2 + k3 + k

∂k∂ξ〈ν ,τ〉= ∂ 2k

∂ξ 2 + k3.


(ii) Pela Proposição 2.4.1 do Capítulo 2, temos a equação para curvas contraindo homoteticamente é

d2γ

dξ 2 =−⟨

γ,Rdγ

dξ

⟩.

(iii) No caso de curvas evoluindo por translação, temos pela Proposição 2.4.2 do Capítulo 2 que a equação é

d2γ

ds2 =

⟨v,R

dγ

ds

⟩,

onde v ∈ R2 é o vetor velocidade dado pela Proposição 2.4.2 do Capítulo 2. Resolvendo esta equação, temos que aúnica possibilidade, a menos de homotetias e movimentos rígidos, é dada pelo gráfico da função definida por

f (x) =− log(cosx)

no intervalo (−π/2,π/2). Esta curva é conhecida como ceifador.

(iv) À respeito do comportamento no intervalo de existência de solução suave para o fluxo de curvatura média, Angenentdemonstrou em [4] que o número de interseções, ou auto-intersecções de curvas é não-crescente no tempo.

No que segue, utilizaremos por simplicidade a notação ∂x ou o subscrito para denotar a derivada parcial com relação aoparâmetro x.

Iniciaremos com o Teorema de Classificação de Abresch-Langer ([1]), caso unidimensional do Teorema 4.4.1 do Capítulo4. Para sua demonstração, utilizaremos o seguinte resultado, conhecido como Teorema dos Quatro Vértices, tratado em [10](Seção 1.7 B). Um vértice de uma curva γ : S1→ R2 é um t ∈ [0,1] tal que k′(t) = 0, isto é, um ponto crítico da curvatura.

Teorema 5.2.2. Toda curva simples, convexa e fechada tem no mínimo quatro vértices.

Proposição 5.2.3. As únicas curvas em R2 completas, suaves e mergulhadas satisfazendo a equação k+ 〈x,ν〉 = 0 são asretas passando pela origem e o círculo unitário.

Demonstração. Consideremos sem perda de generalidade, uma curva γ parametrizada pelo comprimento de arco ξ satisfa-zendo k =−〈γ,ν〉 . Como vimos na Observação 5.2.1, temos

k =⟨∂ξ τ,ν

⟩=⟨∂ξ τ,Rτ

⟩=⟨R∂ξ τ,R2

τ⟩=−

⟨∂ξ ν ,τ

⟩,

ou seja, ∂ξ ν =−kτ. Daí, derivando k =−〈γ,ν〉 , segue que

kξ =−⟨γ,∂ξ ν

⟩= k 〈γ,τ〉 .

Notemos que se em algum ponto temos k = 0, então temos que kξ = 0 nesse mesmo ponto, o que implica pelo Teorema deExistência e Unicidade para Equações Diferenciais Ordinárias, que k é identicamente zero. Logo, γ é uma reta contendo aorigem em R2, já que 〈x,ν〉= 0 para todo x ∈ γ.

Passemos a analisar portanto o caso em que k > 0 em todo ponto (possivelmente revertendo a orientação). Derivando |γ|2,temos

∂ξ |γ|2 = 2〈γ,τ〉= 2kξ

k= 2∂ξ logk.

Integrando esta equação, obtemos k =Ce|γ|2/2 para alguma constante C > 0, o que implica que k é limitada inferiormente por

C. Assim, como γ é estritamente convexa, temos que θ = arccos〈e1,ν〉 fica bem definida para toda a curva, e podemos entãotomar θ como uma coordenada de γ. Notando que

∂ξ θ =− 1√1−〈e1,ν〉2

⟨e1,∂ξ ν

⟩=

k〈e1,τ〉

〈e1,τ〉= k,


segue que

kθ =kξ

k= 〈γ,τ〉 e

kθθ =∂ξ kθ

k=

1+ k 〈γ,ν〉k

=1k− k

(5.5)

Multiplicando a equação de kθθ , por 2kθ , temos

2kθ kθθ +2kθ k−2kθ

k= 0

isto é,∂θ

(k2

θ + k2− logk2)= 0,

o que implica que k2θ+ k2− logk2 é constante, digamos D, ao longo da curva. Como k2− logk2 é limitada inferiormente por

1, temos que D≥ 1 e se D = 1, então kθ tem que ser zero e k constante igual à 1 ao longo da curva, o que implica que γ é umcírculo unitário centrado na origem de R2. Já se D > 1, então k é limitada superiormente uniformemente e como k =Ce|γ|

2/2,temos que γ é limitada, logo sua imagem está contida em uma bola de R2. Assim, como k > 0 em todo ponto e γ é mergulhadae completa, concluímos que γ tem que ser fechada, simples e estritamente convexa. Vamos assumir que γ não é um círculounitário e verificar os pontos críticos de k. Observemos que todo ponto crítico de k tem que ser não degenerado. De fato, pelasequações (5.5), temos que kθθ 6= 0 quando kθ = 0, pois do contrário, temos k = 1, o que implica que kθ = 0 em todo ponto,ou seja, k = 1 em todo ponto, o que é uma contradição pois supomos que γ não é um círculo unitário. Logo, pela compacidadede γ, segue que os pontos críticos são isolados e finitos. Notemos ainda pelas equações (5.5), que kmin < 1 e kmax > 1, poisrespectivamente temos que ter kθθ > 0 e kθθ < 0. Suponhamos que k(0) = kmax e que k(θ) é o primeiro valor crítico para k,para algum θ > 0. Logo, a curvatura é estritamente decrescente no intervalo [0,θ ] e novamente pela equação (5.5), como 〈γ,τ〉= 0 em θ = 0 e θ = θ , temos que k, e consequentemente também γ, são simétricas com respeito à esses pontos. Assim, k(θ)deve ser o mínimo kmin da curvatura, pois vimos que ponto crítico de k é não degenerado. Pelo Teorema dos Quatro Vértices,em cada curva fechada existem ao menos quatro pontos críticos de k e portanto, a curva possui ao menos quatro partes, sendocada uma de uma forma como já analisamos. Como a curva é fechada e mergulhada, a curvatura k(θ) deve ser então umafunção periódica, com período T > 0 da forma 2π/n para algum n≥ 2, e θ = T/2. Usando a equação kθθ = 1/k− k, temos

(k2)θθθ +4(k2)θ = 6kθ kθθ +2kkθθθ +8kkθ

= 6kθ

(1k− k)−2k

(kθ

k2 − kθ

)+8kkθ = 4

kθ

k,

o que implica, integrando por partes, que

4∫ T

2

0sin2θ

kθ

kdθ =

∫ T2

0sin2θ

((k2)

θθθ+4(k2)

θ

)dθ

= sin2θ(k2)

θθ

∣∣∣ T2

0−2

∫ T2

0cos2θ

(k2)

θθdθ +4

∫ T2

0sin2θ

(k2)

θdθ

= 2sinT(

k(

T2

)kθθ

(T2

)+ k2

θ

(T2

))−2cos2θ

(k2)

θ

∣∣∣ T2

0−4

∫ T2

0sin2θ

(k2)

θdθ +4

∫ T2

0sin2θ

(k2)

θdθ

= 2sinT(

k(

T2

)kθθ

(T2

)+ k2

θ

(T2

))−4cosT k

(T2

)kθ

(T2

)+4k(0)kθ (0).

Como

kθ (0) = kθ

(T2

)= 0 e k

(T2

)= kmin,

e kθθ = 1/k− k, então segue que

4∫ T/2

0(sin2θ)

kθ

kdθ = 2(sinT )(1− k2

min).


Observemos que (sinT )(1− k2min)≥ 0, pois kmin < 1 e 0 < T ≤ π. Por outro lado, como T ≤ π e kθ ≥ 0 em [0,T/2], já que

assumimos que vamos de kmax em θ = 0 à kmin em θ = T/2 sem intersectar qualquer outro ponto crítico de k, então 2θ ≥ 0,o que implica que k2

min = 1, o que é uma contradição, pois assumimos que γ não é o círculo unitário. Portanto γ tem que ser ocírculo unitário e concluímos a demonstração.

Observação 5.2.4. No caso da curva não ser mergulhada, temos uma imersão completa e suave de S1 ou de R, possivelmentecom auto-intersecções. Temos que no primeiro caso a curva é compacta de fechada e no segundo é uma reta passando pelaorigem de R2 ou uma cuva fechada e compacta. Em [1], Abresch e Langer conseguiram estender o teorema de classificaçãoneste caso considerando a variação de θ na curva entre os pontos de curvatura kmin e kmax que é T/2 (da demonstração queapresentamos no caso D > 1) e é dada pelo funcional definido por

J(D) =∫ kmax

kmin

dk√logk2− k2 +D

.

Assim, estudando esse funcional, Abresch e Langer obtiveram todas as diferentes curvas que contraem homoteticamente. Taiscurvas são geralmente chamadas de curvas de Abresch-Langer.

Notemos que o teorema que acabamos de demonstrar para o caso mergulhado vale sem hipóteses sobre a curvatura.Temos portanto que há somente duas possibilidades de fluxos limites de curvas com rescaling sem auto-intersecções: umareta passando pela origem ou o círculo unitário S1. Isto implica que nesse caso, todo ponto singular é um ponto singularespecial e que o limite é sempre único. Analogamente ao que discutimos na Proposição 4.4.5 e no item (ii) da Observação4.4.6 do Capítulo 4, temos o seguinte resultado.

Teorema 5.2.5. Se γ é uma curva plana fechada e simples, então toda curva obtida por limite de rescalings de γ próximode uma singularidade de tipo I na evolução pela curvatura é o círculo unitário. Consequentemente, se γ desenvolve umasingularidade de tipo I, então a partir de algum tempo, se torna convexa e contrai a um ponto, se tornando assintoticamentecircular.

Agora, no contexto de singularidades de tipo II, iremos demonstrar o seguinte resultado para o fluxo limite de uma curvaplana fechada obtido pelo método de blow-up de Hamilton.

Proposição 5.2.6. O fluxo limite obtido pelo método de blow-up de Hamilton em uma singularidade do tipo II de umaevolução pela curvatura média de uma curva fechada é formado por curvas sujas curvaturas nunca se anulam. Além disso,se a curva inicial é mergulhada, então todas as curvas do fluxo limite são estritamente convexas.

Para isso, precisaremos do seguinte resultado demonstrado em [6], devido a Angenent.

Proposição 5.2.7. Seja γ : S1× [0,T )→ R2, um fluxo de curvatura média de uma curva fechada plana imersa suavemente,onde em T há uma singularidade do tipo II. Consideremos o conjunto Z(t) = p ∈ γt ; k(p) = 0 e a função definida por

z(t) = cardZ(t),

isto é, z é a cardinalidade do conjunto de zeros de k em cada γt . Então a função z é finita em todo tempo e não decrescentedurante o fluxo. Além disso, para algum t ∈ [0,T ), se em algum ponto p ∈ γt temos k(p) = 0 e kε(p) = 0, então existem umintervalo aberto I próximo de p e um r > t pequeno tal que k nunca se anula em I× (t,r).

Demonstração. Consideremos o fluxo γ do enunciado da Proposição 5.2.7. Logo, tomando uma família finita Jt de intervalosabertos em γt tais que k 6= 0, pela equação de evolução para k (Observação 5.2.1) temos que

ddt

∫γt

|k|dξ =∫

γt

∂ |k|∂ t

dξ + |k|∂ξ

∂ t= ∑

I∈Jt

∫I

k|k|

∂k∂ t−|k|k2dξ

= ∑I∈Jt

∫I(signk)(kξ ξ + k3)−|k|3dξ

= ∑I∈Jt

∫I(signk)kξ ξ dξ

=−2 ∑p∈Z(t)

|kξ (p)|.


Como o funcional∫

γt|k|dξ é positivo e finito em todo tempo pela compacidade de γt , então sendo não crescente durante o

fluxo, converge a algum L≥ 0 quando t→ T. Assim, para todo t1 < t2 temos que∫γt1

|k|dξ −∫

γt2

|k|dξ =− ddt

∫γt

|k|dξ = 2∫ t2

t1∑

p∈Z(t)|kξ (p)|dt.

Se aplicarmos o método de blow-up de Hamilton, denotando por γns as curvas com rescaling no passo n com fator Kn→+∞

e curvatura kn, então para todo intervalo (a,b)⊂ R segue que

2∫ b

a∑

Zn(t)|∂ξ kn|dξ =

∫γn

a

|kn|dξ −∫

γnb

|kn|dξ =∫

γna

Kn+tn|k| dξ −

∫γn

bKn

+tn|k|dξ (5.6)

pois∫

γt|k|dξ é invariante por rescaling, onde Zn(t) = p ∈ γn

s ; kn(p) = 0 e ξ continua a denotar o comprimento de arco dascurvas com rescaling. Considerando a convergência local suave de curvas, então temos que a função∫ b

a∑

p∈γt ; k(p)=0|kξ (p)|dt

é semicontínua inferiormente. Daí, segue que

∫ b

a∑

Z∞(t)|∂ξ k∞|dξ ≤ lim

n→∞

∫ b

a∑

Zn(t)|∂ξ kn|dξ

= limn→∞

∫γn

aKn

+tn|k|dξ −

∫γn

bKn

+tn|k|dξ

= 0,

para o fluxo limite γ∞s , pois

aKn

n+ tn e

bKn

n+ tn

convergem à T, o que implica que ambos ∫γn

aKn

+tn|k|dξ e

∫γn

bKn

+tn|k|dξ

convergem à L = limt→T∫

γt|k|dξ . Pela arbitrariedade de a e b, temos então que para quase todo s ∈ R

∑Z∞(t)

|∂ξ k∞(p)|= 0.

Isto significa que em cada ponto p tal que k∞(p) = 0, temos também que ∂ξ k∞(p) = 0. Logo, pela Proposição 5.2.7, sefixarmos s ∈ R, então existe r > s suficientemente pequeno tal que γ∞

r não possui curvatura nula em nenhum ponto, o queimplica que k∞ > 0 em γ∞

r para todo r > s, pois sabemos que a convexidade estrita é preservada durante o fluxo pelo Corolário3.5.5 do Capítulo 3. Como isso vale para quase todo s ∈ R, então temos que o fluxo γ∞

s é formado por curvas com curvaturadiferente de zero.

5.2.1 Estimativa de HarnackNesta subseção veremos um teorema por meio de dois resultados devidos a Hamilton e da Proposição 5.2.6, que se uma

curva fechada desenvolve uma singularidade de tipo II, então o limite de fluxos com rescaling obtido pelo método de blow-upde Hamilton é na realidade um fluxo por translação, e portanto deve ser um ceifador (definido no item (iii) da Observação5.2.1), já que esta é a única curva plana que evolui por translação. Enunciaremos as versões originais, mas visando o objetivodesta seção, demonstraremos apenas para o caso de curvas compactas. As demonstrações para os caso gerais são os ambosprincipais objetivos no trabalho [25] de Hamilton.

O primeiro resultado é uma estimativa parabólica do tipo de Harnack sobre a curvatura média.


Teorema 5.2.8 (Estimativa de Harnack). Seja ϕ : M× (T0,T )→Rn+1 um fluxo de curvatura média de uma hipersuperfíciecompleta, convexa com segunda forma fundamental limitada para todo tempo em (T0,T ). Se X é um campo suave de vetorestangentes em M e dependente do tempo, então para todo t ∈ (T0,T ), temos que

∂H∂ t

+H

2(t−T0)+2〈∇H,X〉+hi jX iX j ≥ 0.

Demonstração. Como estamos tratando o caso de uma curva compacta γ, então podemos garantir que a curvatura k e todasas suas derivadas são limitadas nos intervalos de tempo (C,T − ε), para cada ε > 0 e C ∈ (T0,T − ε). Também, sendo acurva convexa, então temos pela Proposição 3.4.2 do Capítulo 3 que em cada um desses mesmos intervalos, k é limitadoinferiormente por um k0 > 0. Já que X é um campo tangente X , então podemos escrever X = λτ para alguma função λ :S1× (T0,T )→ R, onde τ é o campo tangente de γ. Considerando as equações de evolução de k, tomemos a forma definidapor

Z(λ ) = ∂tk+k

2(t−C)+2λkξ + kλ

2 = kξ ξ + k3 +k

2(t−C)+2λkξ + kλ

2

que é limitada inferiormente por

Z = kξ ξ + k3−k2

ξ

k+

k2(t−C)

, (5.7)

já que k e kξ são limitadas e k > 0 sempre. Tomando a

W = kξ ξ + k3−k2

ξ

k, (5.8)

temos pela equação de evolução de k e da equação (5.4)

(∂t −∂ξ ξ )W = ∂tkξ ξ +3k2kt −2kξ ∂tkξ

k+

k2ξ

kt

k2 − kξ ξ ξ ξ −6kk2ξ−3k2kξ ξ +

2k2ξ ξ

k+

2kξ kξ ξ ξ

k−

5k2ξ

kξ ξ

k2 +2k4

ξ

k3

= ∂ξ ∂tkξ + k2kξ ξ −2kξ ∂ξ kt

k−2kk2

ξ+

k2ξ

kξ ξ

k2 + kk2ξ+3k2kξ ξ +3k5− kξ ξ ξ ξ +

2kξ kξ ξ ξ

k+

2k2ξ ξ

k

−5k2

ξkξ ξ

k2 +2k2

ξ

k3 −6kk2ξ−3k2kξ ξ

= ∂ξ ξ (kξ ξ + k3)+2k2kξ ξ −5kk2ξ−

2kξ ∂ξ (kξ ξ + k3)

k+

k2ξ

kξ ξ

k2 +3k5− kξ ξ ξ ξ +2kξ kξ ξ ξ

k+

2k2ξ ξ

k

−5k2

ξkξ ξ

k2 +2k4

ξ

k3

=−5kk2ξ+3k5 +

2k4ξ

k3 +5k2kξ ξ +2k2

ξ ξ

k−

4k2ξ

kξ ξ

k2 .

Explicitando kξ ξ na definição de W e substituindo na equação acima temos

(∂t −∂ξ ξ )W =−5kk2ξ+3k5 +

2k4ξ

k3 +5k2(W + k2ξ/k− k3)+

2(W + k2ξ/k− k3)2

k−

4k2ξ(W + k2

ξ/k− k3)2

k2

=−5kk2ξ+3k5 +

2k4ξ

k3 +5k2W +5kk2ξ−5k5 +

2W 2

k+

2k4ξ

k3 +2k5 +4Wk2

ξ

k2 −4Wk2−2kk2ξ

−4k2

ξ(W + k2

ξ/k− k3)

k2 =2W 2

k+Wk2.

(5.9)

Assim, pelo Princípio do Máximo Fraco temos que se W é positiva em algum tempo, então W permanece positiva durante ofluxo, já que k é limitada por k0 > 0.


Agora, pelas equações (5.8) e (5.7) temos que Z =W + k/(2(t−C)), o que implica pela equação (5.9) que

(∂t −∂ξ ξ )Z =2W 2

k+Wk2 +

k3

2(t−C)− k

2(t−C)2

=2(Z− k/(2(t−C)))2 + k3(Z− k/(2(t−C)))

k+

k3

2(t−C)− k

2(t−C)2

=2Z2 + k2/(2(t−C)2)−2Zk/(t−C)

k+

k3Z− k4/(2(t−C))

k+

k3

2(t−C)− k

2(t−C)2

=2Z2

k− 2Z

t−C+ k2Z.

(5.10)

Notemos que quando t→C+ temos que k/(2(t−C)) diverge, já que k é limitada inferiormente por k0 > 0 e sendo W limitadainferiormente, temos que Z tende a +∞. Assim, existe δ > 0 suficientemente pequeno tal que Z é positiva em S1× (C,C+δ ),o que implica pelo Princípio do Máximo Fraco, considerando a equação (5.10) que Z não pode ser se anular em γt para todot ∈ (C,T − ε). Portanto, já que para toda função λ : M× (T0,T )→ R temos Z(λ ) ≥ Z > 0, então fazendo ε → 0 e C→ T0,concluímos que Z é positiva sempre, o que finaliza a demonstração.

O segundo resultado trata de caracterizar um fluxo de curvatura média ancião, definido na Observação 5.1.4, como umfluxo por translação, também apenas enunciado no caso mais geral e demonstrado para o caso de curvas planas compactas.

Teorema 5.2.9. Se ϕ : M× (−∞,T )→ Rn+1 é um fluxo de de curvatura média ancião de uma hipersupefície completa,estritamente convexa com segunda forma fundamental limitada sempre e H atingindo o máximo em M× (−∞,T ), então, ϕ éum fluxo por translação.

Demonstração. Seja γt um fluxo como no enunciado e consideremos

Z = ∂tk−k2

ξ

k+

kt−T0

.

Pelo Teorema 5.2.8, temos que Z ≥ 0 para todo ponto e t,T0 ∈ R tais que T0 < t < T. Fazendo T0→−∞, obtemos no limite

W = ∂tk−k2

ξ

k≥ 0,

que é o mesmo W que tomamos na demonstração do Teorema 5.2.8. Logo, da equação (5.9) temos que se W é zero em algumponto, então pelo Princípio do Máximo Forte, deve ser identicamente zero. Porém, k atinge o máximo em algum ponto porhipótese, o que implica que nesse ponto kt = kξ = 0 e daí segue que W = 0. Portanto, temos sempre kt = k2

ξ/k para todas as

curvas do fluxo, isto é, as curvaturas satisfazem

kξ ξ + k3−k2

ξ

k= 0.

Considerando o campo vetorial em R2 ao longo de γt dado por

v =−(kξ/k)τ + kν .

temos

∂ξ v =−

(kξ ξ

k−

k2ξ

k2

)τ−(

kξ

k

)∂ξ τ + kξ ν + k∂ξ ν

=−

(kξ ξ

k−

k2ξ

k2

)τ−(

kξ

k

)kν + kξ ν− k2

τ

=−

(−k2 +

k2ξ

k2 −k2

ξ

k2

)τ− k2

τ = 0.


Além disso, pelas equações de evolução para τ e ν e pela relação (5.4) segue que

∂tv =(−kts

k+

kξ kt

k2

)τ−

kξ

k∂ξ τ + ktν + k∂tν

=

(−kts

k+

kξ kt

k2 − kkξ

)τ +

(−

k2ξ

k+ kt

)ν

=

(−kst

k− kkξ +

k3ξ

k3 − kkξ

)τ

=

−∂ξ

(k2

ξk)

k+

k3ξ

k3 −2kkξ

τ

=

(−2

kξ kξ ξ

k2 +2k3

ξ

k3 −2kkξ

)τ

=−2kξ

k

(kξ ξ −

k2ξ

k+ k3

)τ = 0.

Portanto, temos que v é contante no espaço e no tempo ao longo de γ, já que curvas do fluxo limite são conexas. Como〈v,ν〉= k, então concluímos que γt é um fluxo por translação.

Observação 5.2.10. Notemos que no caso das curvas γt não compactas, as demonstrações não são verdadeiras pois pode serque um mínimo não seja atingido em Z(·, t) e também não podemos garantir que

limt→C−

infγt

Z(·, t) = +∞,

já que k poderia ir à zero no infinito.

Portanto, das Proposições 5.2.6 e 5.2.9, podemos enunciar o seguinte.

Teorema 5.2.11. O fluxo limite de blow-up, obtido pela técnica blow-up de Hamilton em uma singularidade do tipo II daevolução de uma curva fechada no plano, é um fluxo de curvatura média por translação de curvas completas não flat comcurvaturas positivas e derivadas covariantes limitadas, ou seja, um ceifador.

5.2.2 Curvas mergulhadasVeremos nesta subseção que não há singularidades de tipo II para curvas fechadas e mergulhadas no plano. E finalizamos

o capítulo utilizando este resultado e o Teorema 5.2.5 para apresentarmos o Teorema de Gage-Hamilton e o Teorema deGrayson.

Precisaremos da seguinte definição.

Definição 5.2.12. Seja γ : S1× [0,T )→ R2 um fluxo de curvatura média suave de uma curva inicial mergulhada e fechada.Para cada t ∈ [0,T ), consideremos a função Φt : γt × γt → R definida por

Φt(p,q) =

π|p−q|Lt

(sin πdt (p,q)

Lt

)−1se p 6= q,

1 se p = q,

onde dt é a distância geodésica (intrínseca) em γt entre p e q, |p− q| a distância canônica (extrínseca) em R2 e Lt é ocomprimento de γt . Dizemos que a função E : [0,T )→ R, definida por

E(t) = minp,q∈γt

Φt(p,q)

é a taxa de mergulho de Huisken.


Notemos que a função Φt está bem definida, é positiva - já que dt ≤ Lt/2, pois γt é fechada e mergulhada para todo t -, écontínua em γt × γt e C2 no aberto (p,q) ∈ γt × γt ; p 6= q . Observemos também que E está bem definida e é contínua, pelacompacidade de γt e pela suavidade do fluxo, respectivamente. Huisken demonstrou em [27] o seguinte resultado sobre E(t).

Lema 5.2.13. A taxa de mergulho de Huisken é monótona crescente em cada intervalo onde é estritamente menor que 1.

Demonstração. Seja [a,b]⊂ [0,T ) um intervalo onde E(t)< 1. Basta mostrarmos que nos pontos t ∈ [a,b] onde E for diferen-ciável, temos que E ′(t)> 0. Para verificarmos que existem pontos nos quais E é diferenciável, notemos que se considerarmosa aplicação Φ que leva cada t ∈ [a,b] à função γt , então derivando Φ no tempo para pontos p 6= q ∈ γt , temos que

dΦ

dt(t) =

ddt

(π|p−q|

Lt

(sin

πdt(p,q)Lt

)−1)

=

(π

Lt

ddt|p−q|− π|p−q|

L2t

∂tLt

)(sin

πdt(p,q)Lt

)−1

− π|p−q|Lt

(sin

πdt(p,q)Lt

)−2

cosπdt(p,q)

Lt

(π∂tdt(p,q)

Lt− πdt(p,q)

L2t

∂tLt

)=

π

Lt

〈p−q,k(p)ν(p)− k(q)ν(q)〉|p−q|

(sin

πdt(p,q)Lt

)−1

+

(π|p−q|

L2t

∫γt

k2dξ

)(sin

πdt(p,q)Lt

)−1

− π2|p−q|L2

tcos

πdt(p,q)Lt

(dt(p,q)

Lt

∫γt

k2dξ −∫ p

qk2dξ

)(sin

πdt(p,q)Lt

)−2

=

(〈p−q,k(p)ν(p)− k(q)ν(q)〉

|p−q|2+

1Lt

∫γt

k2dξ − π

Ltcot

πdt(p,q)Lt

(dt(p,q)

Lt

∫γt

k2dξ −∫ p

qk2dξ

))Φt

=


|p−q|2+

1Lt

(1− πdt(p,q)

Ltcot

πdt(p,q)Lt

)∫γt

k2dξ +π

Ltcot

πdt(p,q)Lt

∫ p

qk2dξ

)Φt

Como E é o mínimo de uma família de funções uniformemente localmente Lipschitz, então é também localmente Lipschitz,logo diferenciável em quase todo ponto. Assim, precisamos verificar que E ′(t)> 0 para todo tempo t onde a derivada existe.Sejam p,q ∈ γt tais que E(t) = Φt(p,q) em um tempo t onde E é diferenciável e suponhamos que E(t)< 1. Logo, temos queter p 6= q, pela definição de Φt . Notemos que

α = πdt(p,q)

Lt

satisfaz α cotα < 1, já que α ∈ (0,π/2]. Além disso,∫γt

k2dξ ≥(∫

γt

kdξ

)2/Lt ≥

4π2

Lt.

Assim, pelo Lema 3.2.1, temos que

E ′(t) =ddt

Φt(p,q),

o que implica que

ddt

E(t)≥(〈p−q,k(p)ν(p)− k(q)ν(q)〉

|p−q|2+

4π2

L2t(1−α cotα)+

π

Ltcotα

∫ p

qk2dξ

)E(t)

que pode ser escrito por

ddt

logE(t)≥ 〈p−q,k(p)ν(p)− k(q)ν(q)〉|p−q|2

+4π2

L2t(1−α cotα)+

π

Ltcotα

∫ p

qk2dξ , (5.11)

para qualquer (p,q) onde Φt toma o seu mínimo. Suponha que a curva é parametrizada em sentido anti-horário pelo compri-mento de arco. Considerando

p(ξ ) = γt(ξ1 +ξ ),


com p = γt(ξ1), então supondo (p,q) onde Φt atinge o mínimo, temos

0 =d

dξΦt(p(ξ ),q)

∣∣∣ξ=0

=

(π

Lt

ddξ|p−q|

)(sin

πdt(p,q)Lt

)−1

− π|p−q|Lt

(sin

πdt(p,q)Lt

)−2

cosπdt(p,q)

Lt

(π∂ξ dt(p,q)

Lt

)=

π

Lt

〈p−q,τ(p)〉|p−q|

(sin

πdt(p,q)Lt

)−1

− π|p−q|Lt

(sin

πdt(p,q)Lt

)−2π

Ltcos

πdt(p,q)Lt

onde τ(p) é o vetor tangente unitário orientado à γt em p. Daí, segue que

cosβ (p) =〈p−q,τ(p)〉|p−q|

=π|p−q|

Lt

(sin

πdt(p,q)Lt

)−1

cosπdt(p,q)

Lt= E(t)cosα

onde β (p) ∈ [0,π/2] é o ângulo entre (p−q) e τ(p). Da mesma forma para q, temos

cosβ (q) =−E(t)cosα

onde β (q) ∈ [0,π/2] é o ângulo entre q− p e τ(q), o que implica por construção que β (p)+β (q) = π. Observemos que seo segmento [p,q] tangencia γ, segue que E(t)cosα = 1, o que é uma contradição com nossa suposição inicial de E(t) < 1.Além disso, como cosβ (p) = E(t)cosα < cosα, então temos β (p)> α.

Agora, considerando ainda uma par (p,q) onde Φt atinge seu valor mnimo, de forma que p = γt(ξ1) e q = γt(ξ2), paraalguns ξ1 e ξ2, tomamos

p(ξ ) = γt(ξ1 +ξ ) e g(ξ ) = γt(ξ2−ξ ).

Assim, derivando como anteriormente, temos

0≤ d2

dξ 2 Φt(p(ξ ),q(ξ ))∣∣∣ξ=0

=


|p−q|2+

4π2

L2t

)E(t),

o que implica que

ddt

logE(t)≥ 〈p−q,k(p)ν(p)− k(q)ν(q)〉|p−q|2

+4π2

L2t(1−α cotα)+

π

Ltcotα

∫ p

qk2dξ

≥−4π2

L2t

α cotα +π

Ltcotα

∫ p

qk2dξ

=π cotα

Lt

(∫ p

qk2dξ − 4π

Ltα

).

Observemos que ∫ q

pk2dξ ≥

(∫ q

pk2dξ

)2/dt(p,q)

e como∫ q

pkdξ é o ângulo entre os vetores tangentes τ(p) e τ(q), temos

(∫ q

pkdξ

)2

= 4β (p)2 < 4α2.

Assim, pela definição de α, segue que

ddt

logE(t)≥ π cotα

Lt

(∫ p

qk2dξ − 4π

Ltα

)>

π cotα

Lt

(4α2

dt(p,q)− 4π

Ltα

)= 0,

o que finaliza a demonstração.


Observação 5.2.14. Notemos que segue como consequência do Lema 5.2.13 que para uma curva inicial fechada e mergulhadaem R2, existe uma constante C > 0, dependendo da curva inicial, tal que para todo [0,T ), temos a limitação E(t)≥C. SendoE invariante por rescaling por definição, então o mesmo vale para qualquer rescaling de curva, pois a função E é invariantepor rescaling, por construção.

Podemos então mostrar que não há singularidades de tipo II no fluxo de curvatura de curvas mergulhadas e fechadas.

Teorema 5.2.15. Durante o fluxo de curvatura média de uma curva fechada e mergulhada em R2 não há singularidades dotipo II.

Demonstração. Suponhamos por contradição que existe uma singularidade do tipo II. Pelo Teorema 5.2.11, sabemos que quequalquer fluxo limite de blow-up γ∞ ao redor desta singularidade é dado por um ceifador. Logo, tomemos γ∞ = Γ, o gráficoda função y =− log(cosx) em (−π/2,π/2), e consideremos os pontos

p1 = (−x1,− log(cosx1)), q1 = (x1,− log(cosx1)), p2 = (−x2,− log(cosx2)) e q2 = (x2,− log(cosx2))

pertencendo à Γ, para 0 < x1 < x2 < π/2 tal que

− log(cosx2)>π

2−3log(cosx1).

Como as curvas com rescaling γk convergem localmente a Γ na norma C1 para cada ε > 0 tal que x2 + ε < π/2 existe ksuficientemente grande tal que γk é suficientemente próxima de Γ na topologia C1 em um retângulo aberto Rε = (−x2−ε,x2 + ε)× (−ε,− logcosx2 + ε). Assim, existem pontos (p,q) em γk suficientemente próximos à (p1,q1) e outro par (p, q)também em γk suficientemente próximo de (p2,q2). Notemos que conforme k→∞, temos que a distância geodésica d

γk(p,q)sobre γk entre p e q é dada pelo comprimento da parte da curva que mais próxima ao vértice de Γ. De fato, o comprimentodesta parte é menor que π − 2log(cosx1) para k suficientemente grande, enquanto a outra parte da curva tem comprimentoque é no mínimo |p− p|+ |q−q|> 2(log(cosx1)− log(cosx2))> π−4log(cosx1), por construção. Portanto, utilizando quesinx ≥ 2x/π para todo x ∈ [0,π/2], temos que para k suficientemente grande, a taxa de mergulho de Huisken E para a curvacom rescaling γk é limitada superiormente por

π|p−q|L

(sin

πdγk(p,q)

L

)−1

≤ π(π +2ε)

L

(2

dγk(p,q)

L

)−1

=π(π +2ε)

2dγk

≤ π2

dγk(p,q)

,

onde L é o comprimento da curva γk. Consideremos k suficientemente grande tal que dγk(p,q) > − log(cosx1), o que de fato

pode ser feito, tendo em vista a convergência na topologia C1 de γk á Γ em Rε . Tomando ainda uma sequência de pares xi1 < xi

2tal que xi

1→ π/2, então temos uma sequência de curvas com rescaling γki tal que E→ 0, pois dγki (p,q)→+∞ quando i→∞.

Mas como E é invariante por rescalings e uniformemente limitada inferiormente por uma constante C > 0 para todas as curvasdo fluxo, então pela Observação 5.2.14 temos um absurdo. Logo γ∞ não pode ser um ceifador e portanto pelo o Teorema5.2.11, não temos uma singularidade do tipo II.

Pelo Teoremas 5.2.5 e 5.2.15, obtemos a seguir o análogo do Teorema 4.4.7 do Capítulo 4 para curvas, neste caso devidoà Gage e Hamilton. Destacamos também uma demonstração em [45].

Teorema 5.2.16 (Gage-Hamilton). Toda curva plana fechada e convexa evoluindo pela curvatura contrai a um ponto emtempo finito na topologia C∞. Assintoticamente, a curva se torna circular.

Apresentamos por fim, outro celebrado teorema, agora devido à Grayson. Seguiremos a demonstração de Ilmanen em[32].

Teorema 5.2.17 (Grayson). Se γ : S1× [0,T )→ R2 o fluxo de curvatura de uma curva suave, fechada e mergulhada noplano, sendo [0,T ) o intervalo maximal de existência, então, existe um tempo τ < T tal que γτ é convexo.

Demonstração. Pelo Teorema 5.2.15, não temos singularidades do tipo II. Logo, assumindo um singularidade do tipo I emT, recordemos do item (ii) da Observação 4.3.5 do Capítulo 4 que temos

σ(0)−Σ =∫ +∞

− 12 logT

∫γt

e−|y|2

2

∣∣∣k+ 〈y, ν〉 ∣∣∣2dξ dr <+∞.


Além disso, para toda família de intervalos disjuntos (ai,bi) ⊂ [− 12 logT,+∞) tais que ∑i∈N(bi − ai) = +∞, existe uma

sequência ri ∈ (ai,bi) com ri→+∞ e

limi→∞

1√2π

∫˜γri

e−|y|2

2

∣∣∣k+ 〈y, ν〉 ∣∣∣2dξ = 0

e

limi→∞

1√2π

∫˜γri

e−|y|2

2 dξ = limi→∞

σ(t(ri)) = Σ. (5.12)

Recordando ainda que as curvas γri possuem curvaturas localmente equilimitadas em L2, temos portanto que existe uma sub-sequência que converge a um limite homotético γ∞ na topologia C1

loc, isto é, satisfazendo k + 〈x,〉 = 0, já que o funcional∫γ

e−|y|2

2∣∣k+ 〈x,〉∣∣2 dξ é semicontínuo inferiormente na topologia C1

loc. Procedendo por boostrap, garantimos assim que γ∞

seja suave. Como pela Proposição 5.2.3 e pelo Lema 4.2.7 essa curva limite tem que ser uma reta possivelmente com mul-tiplicidade, ou uma curva limitada e fechada, então a convegência ocorre na realidade na topologia C1. Sendo a curva inicialmergulhada, pela Observação 5.2.14, temos que a taxa de mergulho de Huisken E na família de curvas com rescaling é limi-tada inferiormente uniformemente, o que implica que γ∞ permanece mergulhada. Portanto, pela Proposição 5.2.3, γ∞ deve seruma reta passando pela origem do plano com multiplicidade um ou o círculo unitário.

Como o Corolário 4.2.8 implica que

limi→∞

1√2π

∫˜γri

e−|y|2

2 dξ =1√2π

∫˜γ∞

e−|y|2

2 dξ

por (5.12) e como ∑ > 1, temos que este limite é maior que 1 e daí γ∞ tem que ser é o círculo unitário. Além disso, comoas curvaturas da sequência de curvas convergindo à γ∞ são limitadas uniformemente em L2, então fixando i ∈ N e tomandoρ = r− ri < 1 com r =− 1

2 log2(T − t), (observe que neste caso ρ > 1) temos da Observação 5.2.1 que

ddr

∫γr

(k2 +ρ k2ξ)dξ = 2(T − t)

ddt

∫γt

√2(T − t)k2dξ +

∫γr

k2ξ

dξ +2(T − t)ρddt

∫γt

(√2(T − t)

)3k2

ξdξ

=−√

2(T − t)∫

γt

k2dξ +(√

2(T − t))3 ∫

γt

(2kkξ ξ + k4)dξ

+∫

γr

k2ξ

dξ −3(√

2(T − t))3

ρ

∫γt

k2ξ

dξ +(√

2(T − t))5

ρ

∫γt

(2kξ kξ ξ ξ +7k2k2ξ)dξ

=∫

γr

(−k2 +2kkξ ξ + k4 + k2

ξ−3ρ k2

ξ+2ρ kξ kξ ξ ξ +7ρ k2k2

ξ

)dξ ,

já que∂tkξ = ∂ξ ∂tk+ k2kξ = kξ ξ ξ +4k2kξ .

Notemos que integrando por partes e usando a Desigualdade de Young, temos∫γr

k2k2ξ

dξ =13

∫γr

∂ξ (k3)kξ dξ

=−13

∫γr

k3kξ ξ dξ

≤ 16

∫γr

k6 + k2ξ ξ

dξ ,

o que implica que

ddr

∫γr

(k2 +ρ k2ξ)dξ ≤

∫γr

[−k2

ξ+ k4− k2−3ρ kξ −2ρ k2

ξ ξ+7ρ(k6 + k2

ξ ξ)/6]

dξ

≤∫

γr

(k2ξ+ k4 +3k6)dξ .


Por desigualdades de interpolação ([7], Seção 7.6 do Capítulo 3) temos que

‖k‖4L4 ≤C‖kξ‖L2‖k‖3

L2 +CL‖k‖4

L2 e ‖k‖6L6 ≤C‖kξ‖2

L2‖k‖4L2 +

CL2 ‖k‖

6L2 ,

o que implica pela Desigualdade de Young que

∫γr

k4dξ ≤ 12

∫γr

k2ξ

dξ +12

(∫γr

k2dξ

)3

+

(∫γr

k2dξ

)3

+C

L3(γr)

e

3ρ

∫γr

k6dξ ≤(

ρ

∫γr

k2ξ

dξ

)3

+2(∫

γr

k2dξ

)3

+C

L2(γr)

(∫γr

k2dξ

)3

.

Logo, como

L(γr)≥∫

γr

e−|y|2

2 dξ ≥√

2π

e ρ < 1, segue que

ddr

∫γr

(k2 +ρ k2ξ)dξ ≤

∫γr

(−k2ξ+ k2

ξ/2)dξ +C

(∫γr

k2dξ

)3

+

(ρ

∫γr

k2ξ

dξ

)3

+C(∫

γr

k2dξ

)3

+C

≤C(∫

γr

k2dξ

)3

+

(ρ

∫γr

k2ξ

dξ

)3

+C

≤C(∫

γr

(k2 +ρ k2ξ)dξ

)3

+C,

para uma constante C independente de r ≥ ri, e i ∈ N. Logo, tomando

Qi(r) =∫

γr

(k2 +(r− ri)k2

ξ

)dξ ,

temos acima uma desigualdade diferencialQ′i(r)≤CQi(r)+D

que podemos resolver, bastando integrar no intervalo [ri,ri +2δ ]. Daí temos, que se δ > 0 é pequeno o suficiente, então

Qi(r)≤C(δ ,Qi(ri)) =C

(δ ,∫

γri

k2dξ

)=C(δ ),

para todo r ∈ [ri,ri +2δ ], pois as curvas γri têm curvatura limitada uniformemente em L2. Logo, se r ∈ [ri +δ ,ri +2δ ], temos∫γr

(k2 +δ k2ξ)dξ ≤

∫γr

(k2 +(r− ri)k2ξ)dξ ≤C(δ )

o que implica que ∫γr

k2dξ ≤ C(δ )

δ,

para todo r ∈ [ri+δ ,ri+2δ ], onde C(δ ) é constante independente de i∈N. Agora, podemos tomar novamente uma sequênciade valores qi ∈ [ri +δ ,ri +2δ ] tal que

limi→∞

1√2π

∫˜γqi

e−|y|2

2

∣∣∣k+ 〈y, ν〉 ∣∣∣2dξ = 0

e

limi→∞

1√2π

∫˜γqi

e−|y|2

2 dξ = limi→∞

σ(t(qi)) = Σ > 1. (5.13)

Notemos que esta sequência de curvas com rescaling γqi também satisfazem a estimativa (4.14) do Capítulo 4 e possuem ke kξ uniformemente limitadas em L2. Logo, podemos extrair uma subsequência (não re-indexada) convergindo na topologiaC2 à uma curva limite que é novamente um círculo unitário. Portanto, as curvas γqi são convexas e o mesmo vale para γt emalgum tempo t ∈ [0,T ).

Observação 5.2.18. Se A(t) é a área delimitada pela curva γt fechada e mergulhada evoluindo curvatura, temos

ddt

A(t) =−∫

γt

kdξ =−2π.

Como pelo Teorema de Grayson temos que a curva se torna convexa em um determinado tempo e a partir daí pelo Teorema deGage-Hamilton passa a se contrair a um ponto, então segue que o tempo maximal até a curva se tornar um ponto é exatamente

Tmax =A(0)2π

.

116

Apêndice A

Notação

Utilizamos em todo o trabalho a notação de soma sobre índices repetidos.

• 〈·, ·〉 ou 〈·|·〉 é o produto interno canônico de Rn.

• e1, · · · ,en é a base canônica de Rn e 〈e1, · · ·ek〉 é o k-hiperplano gerado por e1, · · · ,ek , para 1≤ k ≤ n.

• trA é o traço de uma matriz quadrada.

• dist(x,A) é a distância de um ponto x ∈ Rn ao conjunto A⊂ Rn.

• diam(A) é o diâmetro do conjunto A⊂ Rn.

• χA é a função característica de um conjunto A⊂ Rn.

• sign é a função sinal em R.

• L n é a medida de Lebesgue canônica em Rn.

• H n é a medida de Hausdorff n-dimensional em Rn+1.

• (M,g) é uma variedade Riemanniana n-dimensional com métrica g, sendo que em coordenadas locais, gi j é a matriz decoeficientes de g e gi j é a matriz inversa de gi j.

• TpM e T ∗p M são respectivamente o espaço tangente e o espaço cotangente à M em p ∈M.

•

∂

∂xi

e

dx j

são as bases locais de TpM e T ∗p M, respectivamente, em coordenadas locais ao redor de p ∈M.

• T i1···ikj1··· jl são as componentes de um tensor T l-covariante e k-contravariante em bases locais.

• ∇T e ∇sTi1···ikj1··· jl = (∇T )i1···ik

s j1··· jl denotam a derivada covariante de um tensor T = T i1···ikj1··· jl ; ∇mT é a m-ésima derivada

covariante de T.

• fs, ∂s f e∂ f∂ s

denotam a derivada parcial de uma função / aplicação f com relação ao parâmetro s. Se f depender apenas

de s, então f ′(s) oud fds

ainda denotam essa derivada.

117

118

Apêndice B

Fatos de Análise Geométrica

B.1 Geometria RiemannianaComo referência, recomendamos os livros [7], [33] e [11].

Definição B.1.1. Uma n-hipersuperfície completa imersa em Rn+1 é uma dupla (M,ϕ), consistindo de uma n-variedadesuave e completa M e de uma imersão suave ϕ : M→ Rn+1.

A menos que seja explícito, sempre assumimos que M não possui fronteira.

Observação B.1.2.

(i) O posto da diferential dϕ é igual à n.

(ii) A imersão ϕ : M→Rn+1 induz uma métrica g em M através do pull-back de 〈·, ·〉 , o produto interno canônico de Rn+1.Em coordenadas locais ao redor de um ponto p ∈M, temos que as componentes gi j de g são

gi j =

⟨∂ϕ

∂xi,

∂ϕ

∂x j

⟩.

(iii) Como toda imersão é localmente um mergulho no espaço ambiente, podemos definir em cada p ∈M, um vetor normalunitário ν(p), a menos de sinal. Localmente, podemos sempre escolher ν suave. Se a hipersuperfície M é compacta emergulhada, então o interior de M está bem definido e consideraremos ν o vetor normal unitário apontando para dentro.Neste caso, o campo vetorial ν : M→ Rn+1 é globalmente suave.

(iv) A métrica g também pode ser estendida à tensores. Se T = T i1···ikj1··· jl e S = Ss1···sk

z1···zl são dois tensores, então

g(T,S) = gi1s1 · · ·giksk g j1z1 · · ·g jlzl T i1···ikj1··· jl Ss1···sk

z1···zl.

Dessa forma, temos a norma de um tensor induzida por g, dada por

|T |=√

g(T,T ).

(v) Se T e S são dois tensores em M, então denotamos por T ∗S um tensor resultante de uma soma de termos obtidos porcontração de índices dos tensores T e S, através de gi j e/ou gi j. Uma propriedade da notação ∗ é que

|T ∗S| ≤C|T ||S|,

para alguma constante C > 0.

119

APÊNDICE B. FATOS DE ANÁLISE GEOMÉTRICA 120

(vi) A métrica g também induz, em uma carta coordenada, a medida Riemanniana dada por

µ =√

det(gi j)Ln.

Considere no que segue (M,g) uma variedade Riemanniana.

Proposição B.1.3. As derivadas covariantes em cartas locais de um campo vetorial X e de uma 1-forma w em M podem serescritas respectivamente por

∇ jX i =∂X i

∂x j+Γ

ijkXk e ∇ jwi =

∂wi

∂x j−Γ

kjiw

k,

sendo que os símbolos de Christoffel Γijk são expressos por

ΓijkXk =

12

(∂

∂x jgkl +

∂

∂xkg jl−

∂

∂xlg jl

).

Definição B.1.4. Sejam f e X uma função e um campo vetorial em M, respectivamente. O gradiente ∇ f e o divergente divXem um ponto p ∈M são definidos respectivamente por

g(∇ f (p),v) = d fp(v),

para todo v ∈ TpM edivX = tr∇X = ∇iX i.

Definição B.1.5. O Laplaciano ∆T de um tensor T em (M,g) é definido em cartas locais por

∆T = gi j∇i∇ jT.

Proposição B.1.6 (Teorema da Divergência). Se X é um campo vetorial suave com suporte compacto em M e ∂M = /0,então ∫

MdivXdµ = 0.

Corolário B.1.7. Se f : M→ R é uma função suave com suporte compacto e ∂M= /0, então∫M

∆ f dµ = 0.

No que segue, consideremos uma n-hipersuperfície (M,ϕ).

Definição B.1.8. A segunda forma fundamental A = hi j de M é a 2-forma simétrica definida por

hi j =

⟨ν ,

∂ 2ϕ

∂xi∂x j

⟩e a curvatura média H é o traço de A, isto é,

H = gi jhi j.

Observação B.1.9.

(i) Como ν está definida a menos de um sinal, o mesmo ocorre para A. Porém hi jν , que é uma 2-forma com valores emRn+1, fica unicamente definida.

(ii) Tomando ν como a normal unitária apontando para dentro, consideramos que uma hipersuperfície é convexa se suasegunda forma fundamental é não negativa definida e estritamente convexa se é positiva definida. Notemos que se ahipersuperfície é mergulhada, a convexidade nesse sentido é equivalente à definição usual que a hipersuperfície limitaum subespaço convexo do espaço Euclidiano.

B.2. ESPAÇOS DE SOBOLEV EM VARIEDADES 121

(iii) Consideraremos as contrações hij e hi j pela métrica g, via gi j e gi j definidas por

hij = gilhl j e hi j = gilhlsgs j.

Definição B.1.10. Seja p ∈M. A aplicação Wp : TpM→ TpM dada por

Wp(v) = hij(p)v j ∂

∂xi

é chamada de operador de Weingarten. Seus autovalores λ1 ≤ ·· · ≤ λn são chamadas de curvaturas principais em p.

Segue da definição queH = λ1 + · · ·+λn e |A|2 = λ

21 + · · ·+λ

2n .

Proposição B.1.11 (Equações de Gauss-Weingarten). Em cartas locais, ao redor de um ponto p ∈M, temos que

∂ 2ϕ

∂xi∂x j= Γ

ki j

∂ϕ

∂xk+hi jν e

∂

∂x jν =−h jlgls ∂ϕ

∂xs.

Observação B.1.12.

(i) As equações de Gauss- Weingarten expressam que ∆M = ∆Rn −Aν .

(ii) Considerando M como uma subvariedade regular de Rn+1, temos ∇MX Y =

(∇Rn+1

X Y)M

onde M denota a projeção sobre

o espaço tangente à M e Y é a extensão local do campo Y em uma vizinhança local Ω⊂ Rn+1 de ϕ(M).

Proposição B.1.13. O tensor de Riemann, o tensor de Ricci e a curvatura escalar podem ser expressos em coordenadas locaispor

Ri jkl = g(

∇2ji

∂

∂xk−∇

2i j

∂

∂xk,

∂

∂xl

)= hikh jl−hilh jk,

Rici j = gklRik jl = Hhi j−hilglkhk j e

R = gi j Rici j = gi jgklRik jl = H2−|A|2.

Consequentemente, as fórmulas para permutar as derivadas covariantes ficam

∇i∇ jX s−∇ j∇iX s = Ri jklgksX l = (hikh jl−hilh jk)gksX l e

∇i∇ jwk−∇ j∇iwk = Ri jklglsws = (hikh jl−hilh jk)gksws.

Proposição B.1.14 (Equação de Codazzi). Em cartas locais, temos que

∇ih jk = ∇ jhik = ∇khi j.

Corolário B.1.15 (Identidade de Simons). Em cartas locais, temos que

∆hi j = ∇i∇ jH +Hhi jglshs j−|A|2hi j.

B.2 Espaços de Sobolev em variedadesRecomendamos os livros [7] e [26].Consideremos (M,g) uma n-variedade Riemanniana suave.

Definição B.2.1. Para cada função f : M→ R de classe Ck(M), com k ≥ 0, definimos

|∇k f |2 = ∇i1 · · ·∇ik f ∇i1 · · ·∇ik f .

APÊNDICE B. FATOS DE ANÁLISE GEOMÉTRICA 122

Definição B.2.2. O espaço de Lebesgue Lp(M), com p≥ 1, é a classe de funções mensuráveis f em M tais que

‖ f‖Lp(M) =

(∫M | f |p)

1/p <+∞, se p < ∞

infB supx∈M\B | f (x)|<+∞, se p =+∞,

onde B é percorrido entre os subconjuntos de medida nula.

Seja Dk,p(M), com p≥ 1, o espaço vetorial de funções suaves tais que |∇i f ∈ Lp(M), para todo 0≤ i≤ k.

Definição B.2.3. O espaço de Sobolev W k,p(M), com p≥ 1 e k ≥ 0, é o completamento de Dk,p com respeito à norma

‖ f‖W k,p(M) =k

∑i=0‖∇i f‖Lp(M).

Proposição B.2.4. Sejam k > l ≥ 0 dois inteiros e p > q≥ 1 dois reais satisfazendo

1p=

1q− k− l

n.

Se M é compacta, então W k,q(M) →W l,p(M).

Proposição B.2.5. Se M é compacta e possui fronteira de classe Cr, então Cr(M) é denso em W k,p(M) para todo k ≤ r.

Proposição B.2.6. Se f é uma função suave não nula em M com suporte compacto K, então f pode ser aproximada emW 1,q(M) por uma sequência de funções contínuas fi com suporte compacto Ki ⊂ K.

Proposição B.2.7. Se M é compacta e possui fronteira de classe C1, então as imersões

W k,q(M) → Lp(M)

são compactas para todo 1≥ 1/p > 1/q− k/n > 0.

B.3 Teoria Geométrica da MedidaRecomendamos os livros [47] e [34].Para cada real m não negativo, denotaremos nesta seção a medida de Lebesgue da bola fechada unitária centrada na origem

Bm1 (0)⊂ Rm por αm. Recordemos que

αm = L m(Bm1 (0)) =

πm/2

Γ((m/2)+1),

onde Γ a função Gama.

Definição B.3.1. Seja m um número real não negativo. A medida m-dimensional de Haudorff de um conjunto A ⊂ Rn, comm≤ n é definido por

H m(A) = limδ→0

infA⊂∪S j

diam(S j)≤δ

∞

∑j=1

αm

(diam(S j)

2

)m

,

onde o ínfimo é tomado sobre todas as coberturas enumeráveis

S j∞

j=1 de A tal que cada S j ⊂ Rn tem diâmetro no máximoδ .

Proposição B.3.2. Para cada n inteiro não negativo, temos que H n = L n em Rn.

Definição B.3.3. Consideremos A ⊂ Rn+1 e tomemos a projeção de A, proj(A) em um subespaço n-dimensional de Rn+1. Amedida de Hausdorff H n n-dimensional em Rn+1 de A contando multiplicidades é definida como

H n(A) =∫

y∈pro j(A)≡RnN(proj(A),x)dH n(x),

onde N(proj(A),x) é a cardinalidade de A∩proj−1(x).

Definição B.3.4. Seja A⊂Rn. Para 1≤m≤ n um real não negativo e a ∈Rn, definimos a densidade m-dimensional de A ema por

Θm(A,a) = lim

r→0

H m(A∩Bnr (a))

αmrm .

De maneira similar, se µ é uma medida em Rn e m um real não negativo, definimos a densidade m-dimensional de µ em a por

Θm(µ,a) = lim

r→0

µ(Bnr (a))

αmrm .

Observação B.3.5. Para cada A⊂ Rn, temos que Θm(A,a) = Θm(H mxA,a), onde H mxA é a medida definida por

(H mxA)(E) = H m(A∩E).

Proposição B.3.6. Se A⊂ Rn é Lebesgue mensurável, então Θn(A,x) = χA(x) para quase todo ponto x ∈ Rn.

Definição B.3.7. Seja f : Rm → Rn é uma função diferenciável em a. O Jacobiano k-dimensional de f em a, denotado porJk f (a) é o máximo volume k-dimensional de um cubo unitário k-dimensional.

Proposição B.3.8 (Fórmula da Coárea). Seja f : Rm → Rn uma função Lipschitz, com m > n. Se A ⊂ Rm é um conjuntoLebesgue mensurável, então ∫

AJn f (x)dL m(x) =

∫Rn

H m−n(A∩ f−1(y))dL n(y).

123

124

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FLUXOS DE CURVATURA MÉDIA EM ESPAÇOS EUCLIDIANOSrepositorio.unicamp.br/jspui/bitstream/REPOSIP/... · por meio de uma técnica de blow-up devida a Hamilton. Em especial, reservamos