Fondamenti di controllo di processo - Plone site · 2020. 1. 17. · Fondamenti di controllo di processo Stefano Miani1 1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e Meccanica

Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali

Fondamenti di controllo di processo

Stefano Miani1

1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e MeccanicaUniversità degli Studi di Udine

Settembre 2005

Stefano Miani Fondamenti di controllo di processo


Programma del modulo

1 Modelli di processo (2 ore)2 Strumenti per l’analisi (10 ore)

trasformatefunzioni di trasferimentostabilita’ e marginirisposta in frequenzastrumenti software per la modellazione di sistemi di controllospecifiche del sistema in retroazione

3 Regolatori industriali (2 ore)

Controllo a relayControllo PIDProcessi target



Controllo di processo: celle di lavorazione automatica peroperazioni ripetitive/pericoloseScopo:

riduzione costi;

qualita’;

Problema: isole realizzate con dispositivi eterogenei e protocollidiversiIntegrazione dei flussi informativi a livello aziendale medianteadozione standard



migliore utilizzo risorse mediante accurata pianificazione(anche real time);

flessibilita’ produzione (nuove lavorazioni);

riduzione tempi produzione;

miglioramento progettazione prodotti (informazioni nonambigue);

identificazione, conservazione e riutilizzo informazioni relativeai prodotti;

controllo della produzione;

riduzione scarti;

riduzione scorte;



LivelliModelli di processo

Struttura a livelli

GestioneaziendaGestione

stabilimentoSupervisione

integrata

Supervisione di cella

Sistemi di controllo

1

3

4

5

6

2

Piano officina (campo)

PLC, CN,controlloriper robot

sottoprocesso produttivo

sensori, attuatoriprocessi fisici

dispositivi di controlloconfigurazione parametri (PC, PLC)"completo" , ottimizzazione, raccolta info,

basi di dati, coordinamento tra celle,operatori umani, pianificazione (PC; workstation)

produzione, logistica, amministrazione,manutenzione, pianificazione, ordini (Sist. inf. az.)

flussi fisici e finanziari




Livello 1: schema a livelli

Livello 1: piano officina (campo). Realizza funzioni di misura ecomando sui processi produttivi. Dispositivi interagenti con ilprocesso fisico: sensori, attuatori.

CONTROLLO

SISTEMA DI

PROCESSO FISICO

ATTUATORISENSORI

DISTURBI

MATERIALI

ENERGIA

MATERIALI

ENERGIA

informazioni




Livello 1, schema “controllistico”

+

–

+ +Controllorein retroazione Attuatore

Processo

Trasduttoredel disturbo

Misuradel disturbo

Misuradel segnale

di riferimento

Segnaledi riferimento

Variabiledi controllo

Variabilecontrollata

Variabilemanipolabile

Disturbosull’attuatore

Disturbosul processo

Misura dellavariabile controllata Trasduttore

della variabilecontrollata

Disturbosul trasduttore

Disturbosul trasduttore

CompensatoreTrasduttoredel segnale

di riferimento




Livelli 2 e 3

Livello 2: sistemi di controllo. Funzioni di controllo di processi efunzioni di sicurezza. Controllori interagenti con dispositivi dilivello 1: PLC, regolatori, CNC, etc.

Livello 3: supervisione di cella. Sviluppo di un sottoprocessoproduttivo completo mediante varie macchine (e controllori).Coordinamento delle macchine. Configurazione dei parametri dellivello 2, ottimizzazione (traiettorie, sequenze, etc.). Possononecessitare di intervento umano.




Controllo della posizione di un carroponte

riduzione dei tempi di spostamento dei materiali

risparmio energetico

sicurezza




mt

mp

x

Θ

l

I=Momento di inerzia del pendolo rispetto al baricentro;mp=massa del pendolo;mt=massa del carrello;b=coefficiente di attrito aerodinamico;g=accelerazione di gravità;l=distanza del baricentro del pendolo dal centro di rotazione




Equazioni fondamentali

ΣF = Ma

Στ = Iα

(I + mpl2)θ̈ + mpgl sin(θ) + mpl ẍ cos(θ) = 0

(mt + mp)ẍ + bẋ + mpl θ̈ cos(θ)−mpl θ̇2 sin(θ)− u = 0




Comportamento del sistema simulabile mediante Simulink

a=x..

Σ F

α=θ..

v=x. x

ω=θ. θΣ τ

Rotazione

Traslazione

cos

TrigonometricFunction1

sin

TrigonometricFunction

Step

Scope1

Scope

Product2

Product1

Product1s

Integrator3

1s

Integrator2

1s

Integrator1

1s

Integrator

−K−

Gain1

−K−

Gain

−K−

Attrito1

−b

Attrito

−K−

1/M

−K−

1/I

Figura: Schema Simulink del carroponte




0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

t

x

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10−3

t

θ

Figura: Grafici dell’andamento della posizione del carroponte edell’angolo del carico




Controllo di livello

Efficienza, riduzione dei costi di produzione

Velocità elevate (2 m/min) e prodotti larghi (0.42 m2)

Perturbazioni sensibili nel processo

Velocità/stabilità

��

��

��

��

Submerged nozzle

Stopper Rod

Molten steel

Level sensor

Water cooled mold

Extracting speed V

Reference level

ActuatorLadle

Tundish Controller




��

Water cooled mold

Controller

ActuatorStopper Rod

Reference level

Level sensor

Tundish

Submerged nozzle

Molten steel

Ladle

Extracting speed V

Controller

ActuatorStopper Rod

Level measurement��

��

��

��

Q o

Q i

U

O

y(t) =1

C

∫ t0

(qi (τ)− q0(τ))dτ




0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura: Risposta (nominale) dello stopper a un segnale a gradino di u




Fenomeno di clogging/unclogging

(Dussud et al. 1998) clogging/unclogging ' disturbo p(t) agentesulla posizione di apertura dello stopper Ac ' 10× 10−3m,Tc ' 600s

Qi

1+s τK

Ac

cT

Nonlineartime-varying

model

Linear time-invariantwith additive disturbance

QiK

1+s τ

p(t)p(t)

t

+

-O O

11+.5s




530 535 540 545 550 555 560 565 570 575 580−5

0

5

10

Time (seconds)

Figura: Simulazione del comportamento in presenza di unclogging




Reference level

Levelmeasure

QioQ

Extractingspeed

N (s)

D (s)c

c W (s)P

W (s)D

Controller

Actuator Model

+

p(t)

+-

-

+

Actual level

++

filterLow-pass

Measurementnoise

y

Process

V

-

K 1

2K W (s)A s

Clogging/Uncloggingdisturbance

n(t)

1 Taratura del PID per garantire buoni margini di stabilità

2 (ri) taratura locale per reiezione ai disturbi

3 Progetto del filtro passa-basso per l’errore di misura




Controllo di posizione di una struttura flessibile

Tempi di risposta ridotti (1 s)

Dimensioni non trascurabili (60/120m)

Funzionamento in diverse condizioni

Imc ϑ̈0(t) = −k [ϑ0(t)− ϑ1(t)] + τ(t)Iv ϑ̈i (t) = −k [ϑi (t)− ϑi−1(t)]− k [ϑi (t)− ϑi+1(t)] + τi (t)L

= −2k ϑi (t) + k ϑi−1(t) + k ϑi+1(t) + τLi (t)Iv ϑ̈20(t) = −k [ϑ20(t)− ϑ19(t)] + τL20(t) i = 1 . . . 19




0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Time (s)

Ang

ular

pos

ition

(deg

)

position

position

tip

motor

Figura: Simulazione della risposta all’impulso del sistema oscillante




0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Time (s)

Tip

ang

ular

pos

ition

(de

g)

Figura: Grafico dell’andamento simulato del sistema reale (120 m) e realedel sistema da laboratorio (2 m)



Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini

Gradino, rampa e parabola

Gradino (o step)

δ−1(t) = sca(t) =

{0 per t < 01 per t ≥ 0

Rampa

δ−2(t) = ram(t) =

{0 per t < 0t per t ≥ 0

Parabola

δ−3(t) = par(t) =

{0 per t < 0t2

2 per t ≥ 0

1

t

t

t




Impulso

δ−2(t) =∫ t−∞ δ−1(τ)dτ δ−1(t) =

dδ−2(t)dt = δ̇−2(t)

δ−3(t) =∫ t−∞ δ−2(τ)dτ δ−2(t) =

dδ−3(t)dt = δ̇−3(t)

“Derivando” il gradino siottiene l’impulso δ(t) (Delta diDirac)

δ−1(t) =

∫ t−∞

δ(τ)dτ

t0Stefano Miani Fondamenti di controllo di processo



Definizione, proprietà, antitrasformata

s ∈ C, s = σ + iω

e−st = e−σte−iωt = e−σt (cos(ωt) + i sin(ωt))

F (s) = L[f (t)] =∫ +∞

0−f (t)e−stdt (∃ σ̄ integrale esiste σ > σ̄)

Operatore lineare

L[αf (t) + βg(t)] = αF (s) + βG (s)




Trasforma derivate e integrali in t in operazioni algebriche in s

L[ḟ (t)] = sF (s)−f (0)(f (0−) se discontinua

)L[

∫ t0

f (τ)dτ ] =1

sF (s)

Per ogni f (t) esiste una sola F (s) e viceversa.




Tabella delle trasformate più comuni

f (t) F (s)

ḟ (t) sF (s)− f (0)f̈ (t) s2F (s)− sf (0)− ḟ (0)∫ t

0 f (τ)dτ1s F (s)

δ−1(t)1s

eαt f (t) F (s − α)eαt 1s−α

δ−2(t)1s2

δ(t) 1

sin(ωt) ωs2+ω2

cos(ωt) ss2+ω2

eαt sin(ωt) ω(s−α)2+ω2

f (t − τ) e−τsF (s)




Antitrasformata

f (t) = L−1[F (s)] = 12πi

∫ σ+i∞σ−i∞

F (s)estds (σ > σ̄)

Segnale con trasformata razionale

U(s) =N(s)

D(s)=

∑i

Ais − pi

(pi = poli)

Ai = lims→pi

U(s)(s − pi ) (Ai = residuo di U(s) in pi )




Esempio: antitrasformata semplice

U(s) =s + 1

(s + 3) (s + 2)

A1 = lims→−3

s + 1

s + 2=−2−1

A2 = lims→−2

s + 1

s + 3=−11

U(s) =2

s + 3+

−1s + 2

U(s) =∑

i

Ais − pi

=⇒ u(t) =∑

i

Aiepi t

Esempio: continua da esempio precedente

u(t) = 2e−3t − e−2t




Se polo pi = α + iω complesso allora ∃ p∗i = α− iω

Ais − pi

A∗is − p∗i

y1 :Ai

s−pi =⇒ Aieαte iωt y2 :

A∗is−p∗i

=⇒ A∗i eαte−iωt

y1 + y2 = 2|Ai |eαt cos (ωt + θ)

Polo reale: p = α → eαt

Coppia di poli complessi: p = α± iω → eαt cos (ωt + θ)




Dalle equazioni differenziali alla funzione di trasferimento

Mÿ(t) + bẏ(t) + Ky(t) = u(t)(Ms2 + bs + K

)Y (s)− sMy(0)− ẏ(0)− by(0) = U(s)

Se y(0) = 0 e ẏ(0) = 0, allora

Y (s)

U(s)= W (s) =

1

Ms2 + bs + K

W (s) = Y (s)U(s) é il rapporto tra le trasformate dei segnali in uscita ein ingressou(t) = δ(t) (U(s) = 1) =⇒ Y (s) = W (s)U(s) = W (s)Trasformata della risposta all’impulso (risposta impulsiva)




Albero con motore e due volani in figura, in cui viene fornita lacoppia motrice cm al primo volano mediante albero rigido.

cmθ1

B B1

θ2

2

L’albero tra i due volani, di inerzia J1 e J2, e’ elastico e la coppiadi richiamo elastica e’ pari a Cel = K (θ1 − θ2).Coppia di attrito sui due supporti: cattri = Biωi




Uscita=y = θ1, ingresso=u = cm

J1θ̈1 = cm − cattr1 − K (θ1 − θ2)J2θ̈2 = −cattr2 + K (θ1 − θ2)

W (s) =s2J2 + sB2 + K

s (s3J1J2 + (J1B2 + J2B1) s2 + (J1K + J2K + B1B2) + K (B1 + B2))

In forma di stato:ẋ1 = x2ẋ2 =

1J1

u − B1J1 x2 −KJ1

(x1 − x3)ẋ3 = x4ẋ4 = −B2J2 x4 +

KJ2

(x1 − x3)y = x1




Funzione di trasferimento razionale

W (s) =NW (s)

DW (s)

Ingresso con trasformata razionale

U(s) =NU(s)

DU(s)

=⇒ Uscita con trasformata razionale

Y (s) = W (s)U(s) =∑

i

Ais − pi

y(t) =∑

i

Aieαi t +

∑j

|Aj |eαj t cos (ωj + θj)




Funzioni di trasferimento elementari

Funzione di trasferimento proporzionale

G (s) = Kp =⇒ Y (s) = KpU(s), y(t) = Kpu(t)

Funzione di trasferimento derivativa (o derivatore ideale)

G (s) = s =⇒ Y (s) = sU(s), y(t) = u̇(t) (u(0) = 0)

Funzione di trasferimento integrale (o integratore)

G (s) =1

s=⇒ Y (s) = 1

sU(s), y(t) =

∫ t0

u(τ)dτ




Zeri, poli e rappresentazioni

G (s) =bms

m + bm−1sm−1 + . . . b0

sn + an−1sn−1 + . . . a0

Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G (s)G (s) é stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa

G (s) =

µ∏

i (1 + sτi )∏

i

(1 + 2ξni

sωni

+(

sωni

)2)sg

∏i (1 + sTi )

∏i

(1 + 2ξdi

sωdi

+(

sωdi

)2)




Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1s )

Parametri caratteristici

Valore di regime y∞, valore massimo ymaxSovraelongazione massima S% = 100 ymax−y∞y∞Tempo max sovraelongazione TM , Tempo di salita Ts (y(t) da0, 1 a 0, 9 di y∞)




Parametri caratteristici

Tempo di ritardo Tr (y(t) = 0, 5y∞)Tempo di assestamento Ta� (y(t) in (1− 0.01�)y∞,(1 + 0.01�)y∞)Periodo oscillazione Tp




G (s) =µ

1 + sTy(t) = µ

(1− e−t/T

)

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t/T

y/µ

y∞ S% Ts Tr Ta5 Ta1µ 0 ' 2.2T ' 0.7T ' 3T ' 4.6T




G (s) = µ(1+sT1)(1+sT2) , T1 > T2

y(t) = µ(1− T1T1−T2 e

−t/T1 + T2T1−T2 e−t/T2

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y/µ

t

T1=1, T

2=3

y∞ S%

µ 0




G (s) = µ1+2ξs/ωn+(s/ωn)

2

y(t) = µ

(1− 1√

1−ξ2e−ξωnt sin

(ωnt

√1− ξ2 + arccos ξ

))

ξ: smorzamento (critico=√

22 )

ωn: pulsazione naturaley∞ µ

S% 100−ξπ/√

1−ξ2

Ta� − 1ξωn ln 0.01ξ




Risposta in frequenza

Funzione di trasferimento W (s) stabile

u(t) = A sin(ωt + φ)

Y (s) = W (s)U(s)

I modi del sistema decadono =⇒ restano i modi in ingresso

yrp(t) = A|W (iω)| sin (ωt + φ + arg (W (iω)))

Se il sistema è stabile si comporta come un guadagno e unosfasatore (variabili) alle varie frequenze

W (s) =1

(s + 1)(s + 3)

u(t) = sin(t) =⇒ y(t) =∣∣∣∣ 1(1i + 1)(1i + 3)

∣∣∣∣ sin (t + ∠ 1(1i + 1)(1i + 3))




Diagrammi di Bode

G (iω) = |G (iω)|e i arg(G(iω)): risposta in frequenzaRappresentazione grafica di modulo e fase

|G (iω)|dB = 20 log10 |G (iω)|

|G (iω)|dB = |µ|dB +∑

j |1 + iωτj |dB +∑

j

∣∣1 + 2iξNj ω/ωNj − ω2/ω2j ∣∣dB −g |ω|dB −

∑j |1 + iωTj |dB −

∑j

∣∣1 + 2iξDj ω/ωDj − ω2/ω2j ∣∣dBarg (G (iω)) = arg(µ) +

∑j arg (1 + iωτj) + · · · −∑

j arg(1 + 2iξDj ω/ω

Dj − ω2/ω2j

)µ 1/s 1/ (1 + sT ) 1/ (1 + 2ξs/ωn + s

2/ω2n)




|µ|dB = 20 log10 |µ| arg(µ) ={

0 se µ > 0−π se µ < 0∣∣∣∣ 1(iω)g

∣∣∣∣dB

= −20g log10 ω arg(

1

(iω)g

)= −g π

2




∣∣∣∣ 11 + iωT∣∣∣∣dB

=

{0 se ω � 1/|T |−20 log10 ω − 20 log10 |T | se ω � 1/|T |

arg

(1

1 + iωT

)=

{0 se ω � 1/|T |−π2 sign(T ) se ω � 1/|T |




∣∣∣∣ 11 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n∣∣∣∣dB

=

{0 se ω � ωn−40 log10 ωωn se ω � ωn

arg

(1

1 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n

)=

{0 se ω � ωn−π sign(ξ) se ω � ωn




Banda passante {1√2≤ |G(jω)||G(j0)| ≤

√2 ω ≤ ω̄

|G(jω)||G(j0)| ≤

1√2

ω > ω̄




Pulsazione critica ωC : |G (jωC )| = 1

−150

−100

−50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10−3 10−2 10−1 100 101 102−270

−180

−90

0

Pha

se (d

eg)

Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 91.7 deg (at 0.497 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Margine di fase φm: φm = π + ∠(G (jωC ))




Pulsazione di attraversamento ωπ: ∠G (jωπ) = −πMargine di guadagno.

k : m =1

|G (jωπ)|

−150

−100

−50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10−3 10−2 10−1 100 101 102−270

−180

−90

0

Pha

se (d

eg)

Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 91.7 deg (at 0.497 rad/sec)

Frequency (rad/sec)




Carroponte

W (s) =0.1

s

1 + 2 · 1.61(10−16) (s/0.99) + (s/0.99)2

(19.96s + 1)(1 + 2 · 1.78(10−2) (s/1.40) + (s/1.40)2

)

−200

−150

−100

−50

0

50From: Input Point To: Output Point

Mag

nitu

de (d

B)

10−3 10−2 10−1 100 101−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)




Il modello2 lineare permette di valutare il comportamento delsistema

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25nonlinearelineare 0.1+0.1u

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0nonlinearelineare−.15+.15u




Quando viene chiusa la retroazione il comportamento cambia

C(s)

H(s)

r +y

P(s)−

P(s)= funzione di trasferimento del processo (modello delprocesso)

C (s)=funzione di trasferimento del controllore (realizzata daappositi dispositivi, vedi parte Prof. Vitturi su PLC)

H(s)=funzione di trasferimento del trasduttore (posta pari a 1nel seguito)




C(s)

H(s)

r +y

P(s)−

L’effettivo comportamento I/O é dettato da L(s) = C (s)P(s):

Wry (s) =C (s)P(s)

1 + C (s)P(s)

passaggio da stabilitá a instabilitá (e viceversa);

tempi di risposta del sistema ad anello chiuso;




Modifica dei margini di stabilitá

P(s) =10

(s/3)2 + 2 · 0.5 · s/3 + 1, C (s) =

10s + 1

s

−50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10−3 10−2 10−1 100 101 102−180

−135

−90

−45

0

Pha

se (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Margini piccoli o negativi =⇒ sistema prossimo all’instabilitá oinstabile




Tempi di risposta: dipendono dalla banda passante ω̄W diW (s) (si pensi alla banda passante di un sistema del primoordine)

ω̄W dipende dalla pulsazione critica ωLC di L(s)

Modifica dei tempi di risposta ottenuta mediante opportunascelta di ωLCPer il sistema ad anello chiuso vale

ω̄W ' ωLC

Banda ad anello aperto non aumentabile a piacere per

realizzabilitá componentistabilitá in presenza incertezzedisturbi presenti nel sistema

compromesso tra banda/stabilitá/realizzabilitá/disturbi



Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine

Funzioni principali

funzioni di controllo (PID o relay)

interfaccia verso processo

interfaccia operatore

allarmi

Funzioni ausiliarie

interfaccia comunicazione con supervisore

funzioni di programmazione

ripartenza dopo mancata alimentazione

autodiagnosi

back-up malfunzionamenti




efficacia regolazione ampia gamma processi industriali(specifiche non stringenti)

relativa facilita’ di taratura (utenti/compito))

importanza e convenzienza standardizzazione (utilizzo,robustezza, affidabilita’, costi, produzione e manutenzione,scorte)

prestazioni scadenti causa sensori e attuatori (rumore, filtri,calibrazione, isteresi, attriti statici)

utilizzo in strutture di controllo piu’ complesse

eccessivo sforzo per conoscenza approfondita del modello




Approccio generale

considerazioni di tipo statico

scarsa valutazione aspetti dinamici, solo nella fase finale

sistemi gia’ in funzionamento/migliorie

rapporto tempi/costi.

SoluzioneEsperimenti post installazione per identificazione parametri fon-damentali (guadagno, costante di tempo dominante, ritardoequivalente) e correzione guadagni.




Progetto integrato

Parametri del processo e del regolatore tenuti in conto dall’inizio.Utilizzabile per processi in cui il transitorio o gli aspetti dinamici(vedi risposta in frequenza) sono parte rilevante del processo




Regolatore Processo

d ny u x ysp

Regolatore (controllore) rappresentato da C (s), processo da G (s).

ysp(t) = segnale di riferimento o setpoint. In generale,ysp(t) = Yspδ−1(t);

d(t) = disturbo di carico, in bassa frequenza. In generaled(t) = Dδ−1(t);

n(t) = disturbo (o rumore) a alta frequenza (es: misuaralivello).




Nel controllo di processo, nel 1995 il 95% dei controllori erano PID(Äström e Hägglund, PID controllers, Theory design and tuning).Motivazioni: specifiche non particolarmenti stringenti

relay: sistemi del primo ordine con dinamica lenta (regolazionetemperatura, livello)

P: processi integrali (regolazione livello) se si accetta errore diregime permanente

PI: processi del primo ordine (e ritardo) privi di azioneintegrale (puramente algebrici come regolazione valvola)

PID: processi con dinamica del secondo ordine (reale ocomplessa smorzata).




Controllo a relay (on-off)

Funzionamento on-off (basso consumo);

Utilizzato per processi con dinamica lenta;

In generale e’ presente isteresi �;

A tre valori [um, 0, uM ] per pilotare motori elettrici perservovalvole;

Cicli limite: metodo funzione descrittiva. Cicli dipendono daum, uM e �.




Azione proporzionale

u(t) = KCe(t),U(s)

E (s)= KC

effetto principale: allargamento banda senza sfasare;

riduzione margine guadagno e fase;

lega l’errore e all’ingresso secondo il guadagno proporzionaleKC ;

In letteratura, banda proporzionale PB = 100/KC ;

L’errore di regime permanente eP∞ ai (soli) gradini su ysp e de’ non nullo. Detto KP = G (0), si ha

eP∞ =1

1 + KCKPYsp −

KP1 + KCKP

D

eP∞ = 0 se u(t) = KCe(t) + U. U = reset;




Azione integrale

u(t) =KCTI

∫ t0

e(τ)dτ + u(0),U(s)

E (s)=

KCTI

1

s

effetto principale: errore di regime permanente nullo;

riduzione margine di fase;

effetto combinato di PI:

C (s) =KCTI

1 + sTIs

u(0) da assegnare nella commutazione manuale/automaticoper evitare salti (bumpless transfer).




Azione derivativa

u(t) = KCTDd

dte(t),

U(s)

E (s)= KCTDs

amplifica segnali a alta frequenza =⇒ usura attuatori;associata a un passabasso:

C (s) =KCTDs

1 + sTD/N, N ' 5÷ 10

utilizzata sempre congiuntamente a altre azioni.

dal punto di vista meccanico (prendere con cautela), e’assimibilabile all’azione dell’attrito.




Forma ISA

PID(s) = KC

(bYsp − Y +

1

sTIE +

sTD1 + sTd/N

(cYsp − Y ))

Gff =U

Ysp= KC

(b +

1

sTI+

sTD1 + sTd/N

c

)Gfb = KC

(1 +

1

sTI+

sTD1 + sTd/N

)b e c variano tra 0 e 1 (c o 0 o 1)




G (s)ff

yspProcesso

d n

u x y

G (s)fb

−

Scelta di b e c permette variazione zeri della funzione ditrasferimento ad anello chiuso.




Sistemi con risposta non oscillante

Metodo della tangente

Ga(s) =µ

1 + Tse−τs (1)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

τ T+τ

−yτ/T

y

−

−




0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

τ

−τ/TT+τ




Metodo delle areeL’area compresa tra l’asintoto della curva e la risposta al gradino di(1) e’ data da

S1 = µūτ +

∫ ∞τ

e−t−τT dt = µū(τ + T ) = ȳ(τ + T )

L’integrale della risposta di (1) tra t = 0 e t = T + τ e’ dato da

S2 =

∫ T0

µū(1− e−tT )dt =

µūT

e=

ȳT

e

e dunque

T =eS2ȳ

E’ consigliabile rispetto alla tangente per segnali“rumorosi”




Primo metodo di Ziegler e Nichols (anello aperto)

G (s) =KP

1 + sTe−sτ

R =KPT

KC TI TDP 1/ (Rτ)

PI 0.9/ (Rτ) 3τ

PID 1.2/ (Rτ) 2τ 0.5τ




Seconod metodo di Ziegler e Nichols (anello chiuso orisposta frequenza)

si inserisce solo azione proporzionale KC ;

si aumenta guadagno fino a innescare oscillazione che hapulsazione ω̄ = ωπ (ωπ=plsazione di attraversamento). SiaKu il valore del guadagno;

il periodo dell’oscillazione e’ T̄ = 2πω̄ .

KC TI TDP 0.5KuPI 0.45Ku T̄/1.2

PID 0.6Ku T̄/2 T̄/0.8




Sistemi con risposta oscillante

Sistema approssimante del 2o ordine

Ga(s) =µω2n

s2 + 2ξωn + ω2nMax sovraelongazione percentuale S% per t = TM

TM =π

ωn√

1− ξ2S% = 100e

− ξπ√1−ξ2

η =

∣∣∣∣ ln 0.01S%π∣∣∣∣ = ξ√

1− ξ2

ξ =η√

1 + η2

ωn =π√

1 + η2

TM


Livelli e modelli di processoLivelliModelli di processo

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Fondamenti di controllo di processo - Plone site · 2020. 1. 17. · Fondamenti di controllo di processo Stefano Miani1 1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e Meccanica