Formação de agrupamentos: conceitos básicos e algoritmos prof. Luis Otavio Alvares INE/UFSC

Formação de agrupamentos: conceitos básicos e algoritmos

prof. Luis Otavio Alvares

INE/UFSC

Parte desta apresentação é baseada em material do livro

Introduction to Data Mining de Tan, Steinbach, Kumar

e de material do prof. José Leomar Todesco (UFSC)

Prof. Luis Otavio Alvares 2

Conceitos

O problema de Clustering é descrito como: recebido

um conjunto de dados (de objetos), tentar agrupá-

los de forma que os elementos que compõem

cada grupo sejam mais parecidos entre si do que

parecidos com os elementos dos outros grupos.

Em resumo, é colocar os iguais (ou quase iguais)

juntos num mesmo grupo e os desiguais em

grupos distintos.

2

Dado um conjunto de objetos, colocar os objetos em grupos baseados na similaridade entre eles

Inerentemente é um problema não definido claramente

Como agrupar os animais seguintes?

O que é formação de agrupamentos (clustering)?

Adaptado de material de Marcílio C. P. de Souto - DIMAp/UFRN




Com bicoCom bico

Sem bicoSem bico






TerraTerraÁguaÁgua






AveAve

MamíferoMamífero





Distâncias entre cluster

são maximizadas

Distâncias intra-cluster

são minimizadas

Aplicações de clustering

Entendimento– Agrupar documentos

relacionados, agrupar proteínas com funcionalidades similares, agrupar ações com as mesmas flutuações de preço

Sumarização– Reduzir o tamanho de

grandes conjuntos de dados

Discovered Clusters Industry Group

1 Applied-Matl-DOWN,Bay-Network-Down,3-COM-DOWN,

Cabletron-Sys-DOWN,CISCO-DOWN,HP-DOWN, DSC-Comm-DOWN,INTEL-DOWN,LSI-Logic-DOWN,

Micron-Tech-DOWN,Texas-Inst-Down,Tellabs-Inc-Down, Natl-Semiconduct-DOWN,Oracl-DOWN,SGI-DOWN,

Sun-DOWN

Technology1-DOWN

2 Apple-Comp-DOWN,Autodesk-DOWN,DEC-DOWN,

ADV-Micro-Device-DOWN,Andrew-Corp-DOWN, Computer-Assoc-DOWN,Circuit-City-DOWN,

Compaq-DOWN, EMC-Corp-DOWN, Gen-Inst-DOWN, Motorola-DOWN,Microsoft-DOWN,Scientific-Atl-DOWN

Technology2-DOWN

3 Fannie-Mae-DOWN,Fed-Home-Loan-DOWN, MBNA-Corp-DOWN,Morgan-Stanley-DOWN

Financial-DOWN

4 Baker-Hughes-UP,Dresser-Inds-UP,Halliburton-HLD-UP,

Louisiana-Land-UP,Phillips-Petro-UP,Unocal-UP, Schlumberger-UP

Oil-UP

Agrupando a precipitação na Austrália

A noção de cluster pode ser ambígua

Quantos clusters?

Quatro Clusters Dois Clusters

Seis Clusters


Encontrar o melhor agrupamento para um conjunto de objetos não é uma tarefa simples, a não ser que n (número de objetos) e k (número de clusters) sejam extremamente pequenos, visto que o número de partições distintas em que podemos dividir n objetos em k clusters é aproximadamente

kn/k! Ex. k=2 e n=5 então são 16 formas de dividir 5

elementos em 2 grupos.

Dificuldades

10

Para agrupar 25 objetos em 5 grupos, existem 2.436.684.974.110.751 maneiras possíveis.

E se o número de clusters é desconhecido, precisamos somar todas as partições possíveis para cada número de clusters entre 2 e 5 (desconsiderando um só cluster).

Dificuldades

11

Porque a efetividade dos algoritmos de Clustering é um

problema:

1. Quase todos os algoritmos de Clustering requerem

valores para os parâmetros de entrada que são

difíceis de determinar, especialmente para conjuntos

de dados do mundo real contendo objetos com

muitos atributos.

Dificuldades

12

2. Os algoritmos são muito sensíveis a estes valores de

parâmetros, freqüentemente produzindo partições

muito diferentes do conjunto de dados mesmo para

ajustes de parâmetros significativamente pouco

diferentes.

3. Conjuntos de dados reais de alta dimensão (muitos

atributos) têm uma distribuição muito ampla o que

dificulta a análise.

Dificuldades

13

Medidas de Similaridade

As medidas de similaridade fornecem valores numéricos que expressam a “distância” entre dois objetos.

Quanto menor o valor desta “distância”, mais semelhantes serão os objetos, e tenderão a ficar no mesmo cluster.

Quanto maior a “distância”, menos similares serão os objetos e, em conseqüência, eles deverão estar em grupos distintos.

14


Uma função de distância deve ser tal que:

• não assuma valores negativos (o menor valor é 0);

• ser simétrica (a distância do objeto i ao j tem que ser igual à distância do objeto j ao i);

• forneça o valor 0 quando calculada a distância do objeto a si mesmo ou quando dois objetos são idênticos;

• respeite a desigualdade triangular, (dados 3 objetos, a distância entre dois deles tem que ser menor ou igual a soma das distâncias entre esses dois objetos e o terceiro).



Medidas de Similaridade Distância Euclidiana

City block (Manhattan, taxicab, L1 norm, Hamming)

– Um exemplo comum é a distância de Hamming, que é o número de bits que é diferente entre dois vetores binários

2222

211 )(...)()(),( pp yxyxyxyxd

pp yxyxyxyxd ...),( 2211


Métrica de Canberra

coeficiente de CzeKanowski

p

i ii

ii

yx

yxyxd

1

,

p

iii

p

iii

yx

yxyxd

1

1

,min21,

17

Não há uma medida de similaridade que sirva para todos os tipos de variáveis que podem existir numa base de dados.

Variáveis numéricas:A medida que é normalmente usada para

computar as dissimilaridades de objetos descritos por variáveis numéricas é a Distancia Euclidiana

A normalização faz com que todas as variáveis tenham um peso igual. A normalização deve ser efetuada para todos os atributos.


18


19


Exemplos para strings:

Cores = {Branco, Amarelo, Vermelho, Marrom, Preto}x1 = Brancoy1 = Amarelo

0, se a1 = a2 d(x1,y1) =

1, se a1 a2

Opção1: medida binária de similaridade


Opção2: transformar o string em um valor numérico (mais usado quando há ordem entre os valores nominais)

E usar a distância Euclidiana

Vermelho PretoMarromAmarelo

0,25 0,5 0,75 1

Branco

0



Principais abordagens de Clustering

Particionamento (K-médias e variantes)– Divide os pontos (dados) em conjuntos disjuntos (clusters) tal que cada

ponto pertence a um único cluster

Hierárquica– Um conjunto de clusters aninhados organizados como uma árvore

Baseadas em densidade– Encontra clusters baseado na densidade de regiões

Baseadas em grade (Grid-based)– Encontra clusters baseado no número de pontos em cada célula

K-médias (K-means)

Abordagem por particionamento Cada cluster está associado a um centróide (ponto central) Cada ponto é associado ao cluster cujo centróide está mais próximo Número de clusters, K, precisa ser especificado O algoritmo básico é bem simples:


K-médias: exemplo do funcionamento


K-médias: partição

Diagrama de Voronoi – poliedros convexos em torno dos centróides


k-means (Exemplo)

VariáveisItem x1 x2A 5 3B -1 1C 1 -2D -3 -2

Usar k=2 (parâmetro informado pelo usuário)

Dataset a ser clusterizado


Passo 1

Determina-se os centróides iniciais (normalmente pega-se ao acaso k pontos (registros): por exemplo os registros A e B),isto é:

C1(1) = (5,3)C2(1) = (-1,1)

k-means (Exemplo)


Passo 2:

Calcula-se as distâncias de cada ponto aos centróides, para definir os cluster iniciais.

k-means (Exemplo)

Os clusters são:

C1 = {A}C2 = {B,C,D}

Pois C e D estão mais perto de B do que de A


k-means (Exemplo)

Passo 3: cálculo dos novos centróides

C1(2)= (5,3)

C2(2)=


k-means (Exemplo)

Passo 4: novo cálculo dos clusters

Os clusters são:

C1 = {A}C2 = {B,C,D}

Pois: •A está mais perto de C12 do que de C22

•B, C e D estão mais perto de C22 do que de C12

Como os elementos dos clusters não se alteraram, os centróides vão ser os mesmos e com isso o algoritmo para.


Outros exemplos com o k-médias

Dois conjuntos de clusters diferentes gerados pelo K-médias

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Particionamento sub-ótimo

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Particionamento ótimo

Pontos originais

Importância de escolher os centróides iniciais

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 3

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 6

Importância de escolher os centróides iniciais

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 3

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 6

Avaliando os clusters gerados

A medida mais comum é a soma dos erros quadrados (Sum of Squared Error - SSE)

Para cada ponto, o erro é a distância ao centróide mais próximo

x é um ponto de dados no cluster Ci e mi é o ponto representativo (centróide) do cluster Ci

Uma maneira fácil de reduzir o SSE é aumentar K, o número de clusters Um bom particionamento com um K pequeno pode ter um SSE menor do que um mau particionamento com um K maior

K

i Cxi

i

xmdistSSE1

2 ),(

Importância da escolha dos centróides iniciais

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 3

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 3

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

Iteration 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

xy

Iteration 5

Importância da escolha dos centróides iniciais

Exemplo com 10 clusters

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

yIteration 1

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

yIteration 2

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

yIteration 3

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

yIteration 4

Iniciando com dois centróides em um cluster para cada par de clusters


0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 1

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 2

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 3

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 4

Iniciando com dois centróides em um cluster para cada par de clusters


Iniciando com um par de clusters tendo 3 centróides iniciais e outro par com somente um.

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 1

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 2

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 3

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 4


Iniciando com um par de clusters tendo 3 centróides iniciais e outro par com somente um.

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

yIteration 1

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 2

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 3

0 5 10 15 20

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

Iteration 4

Pré e Pós-processamento

Pré-processamento– Normalize os dados

– Elimine exceções (outliers)

Pós-processamento– Elimine clusters pequenos que podem representar

outliers

– Divida clusters “fracos” i.e., clusters com SSE relativamente alto

– Junte clusters que estão “perto” e que tenham SSE relativamente baixo

Limitações do K-médias

K-médias tem problemas quando os clusters têm– Tamanhos diferentes

– Densidades diferentes

– Formato não esférico

K-médias tem problemas quando os dados contêm outliers.

Limitações do K-médias: tamanhos diferentes

Pontos originais K-médias (3 Clusters)

Limitações do K-médias: densidades diferentes

pontos originais K-médias (3 Clusters)

Limitações do K-médias: formatos não esféricos

Pontos originais K-médias (2 Clusters)

Superando as limitações do K-médias

Pontos originais Clusters do K-médias

Uma solução é usar muitos clusters.Encontra partes de clusters, mas que precisam ser unidos.


Pontos originais clusters do K-médias


Pontos originais clusters do K-médias

O algoritmo K-médias é sensível a ruídos visto que um objeto com um valor extremamente grande pode, distorcer a distribuição de dados.

Para diminuir essa sensibilidade, no algoritmo K- medoids, ao invés de utilizar o valor médio dos objetos em um cluster como um ponto referência, a mediana é utilizada, que é o objeto mais centralmente localizado em um cluster.


Métodos de K-medoids (K-medianas) Em vez de médias (centróides), usa objetos

representativos chamados medoids

PAM (Partitioning Around Medoids, 1987) – inicia com um conjunto de medoids e iterativamente substitui um dos medoids por um dos pontos não-medoids se ele melhora a distância total do particionamento resultante

CLARA (Clustering Large Applications, 1990) – It draws multiple samples of the data set, applies PAM on each sample, and gives the best clustering as the output

CLARANS (“Randomized “CLARA, 1994) – mais eficiente e escalável que CLARA e PAM


Exercício

+

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Documents

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