Formação Geral

Componente Curricular:

MATEMÁTICA E ESPAÇO

2ª Semana

Aulas 5, 6, 7 e 8

Retomaremos nosso tema, realizando em sala de aula a leitura do texto Trançados Amazônicos. A ideia é que em grupos de dois ou três componentes, os alunos realizem a

leitura buscando promover um debate inicial em pequenos grupos para, em seguida, toda a turma debater acerca do tema tratado, compartilhando impressões sobre

o texto. Sugerimos que durante o debate os alunos explanem suas reflexões (sugeridas na aula anterior)

sobre práticas cotidianas experimentadas ou observadas ao longo de sua vida em que conhecimentos matemáticos

se fazem presentes. Boa atividade!

Caminhando um pouco mais...

Que terno ordenado pode representar uma ‘mariposa’ em que os anéis concêntricos consecutivos não têm a mesma

largura?

Nesta situação, é preciso usar um artifício novo de identificação, como mostra o exemplo abaixo:

(3,4,3+1+2)

Note que, neste caso, a mudança ocorre no registro da terceira coordenada, visando evidenciar as diferentes larguras dos anéis concêntricos consecutivos.

Identifique, então, as ‘mariposas’ abaixo:

(1,3,3)

(1,4,3+1+2)

(3,3,2)

(3,4,2+1+2)

Agora, utilizando papel quadriculado, cada aluno deverá construir as ‘mariposas’ abaixo identificadas:

CÁLCULO DE ÁREAS

Tendo como objeto de estudo as ‘mariposas’ do povo bora, um interessante tema que pode ser trabalhado é o cálculo de áreas. Como exemplo, iremos calcular a área da ‘mariposa’ que construímos em nossa primeira semana de aula. Para isso, utilizaremos como unidade de medida o quadradinho de referência do papel quadriculado. Ao contarmos os quadradinhos que compõem a ‘mariposa’, notamos que sua área é 41 .

Área = 41

Ainda utilizando o exemplo anterior, note que, o cálculo da área da ‘mariposa’ pode ser também realizado por meio da

seguinte transformação:

= + = +

Este exemplo visa mostrar que a área de um quadrado dentado é igual à soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos, sendo a soma desses números igual ao comprimento de uma diagonal do referido quadrado dentado.

Isso nos faz perceber que a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2, isto é, 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = n2. Este é um interessante resultado matemático. O exemplo que acabamos de desenvolver nos ajuda a compreender:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

1 + 3 + 5 + 7 = 42

25

16

41

O exemplo anterior nos ajuda a perceber que de modo geral se d é o número de quadradinhos que forma a diagonal da ‘mariposa’, então a sua área é:

𝐴ሺ𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎ሻ= ൬𝑑− 12 ൰

2 + ൬𝑑− 12 + 1൰2

(I)𝐴ሺ𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎ሻ= 𝑑2 + 12

Continuando os cálculos, obtemos:

Mas, como d é igual a metade do número de fitas (nf) utilizado na construção, podemos encontrar a área da ‘mariposa’ também em função de nf. Ou seja:

𝐴ሺ𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎ሻ= 𝑑2 + 12 = ൬𝑛𝑓2 ൰2 + 12

Portanto:

𝐴ሺ𝑚𝑎𝑟𝑖𝑝𝑜𝑠𝑎ሻ= (𝑛𝑓)2 + 48

Mas já sabemos que nf (a,b,c) = 2a + 4c.(b – 1). Então, fazendo uma substituição na fórmula anterior, podemos encontrar a área de uma mariposa (a,b,c) em função somente das coordenadas a, b, c:

𝐴ሺ𝑎,𝑏,𝑐ሻ= (𝑛𝑓)2 + 48 = [2𝑎 + 4𝑐ሺ𝑏− 1ሻ]2 + 48

(II)

Logo,

𝐴ሺ𝑎,𝑏,𝑐ሻ= [𝑎 + 2𝑐ሺ𝑏− 1ሻ]2 + 12 (III)

Encontramos, portanto, três fórmulas (I, II e III) para calcular a área de ‘mariposas’!

Tendo como foco o cálculo de áreas, cada aluno deverá retomar as quatro ‘mariposas’ construídas em papel quadriculado. O desafio agora é o seguinte: calcule a área de cada ‘mariposa’ utilizando uma das fórmulas (I, II ou III) por nós encontradas. Além disso, transforme cada ‘mariposa’ em um somatório de dois quadrados, representando no papel quadriculado o processo por você realizado.

PADRÕES PLANARES SIMPLES

Como registrar um padrão planar como o da figura abaixo?

(3,3,3,5x1)

Ele será registrado por uma quadra ordenada do tipo (a,b,c,p x q), em que (a, b, c) é a ‘mariposa’ que se repete no padrão planar, p é a distância entre duas ‘mariposas’ horizontalmente vizinhas e q é a

distância entre duas ‘mariposas’ verticalmente vizinhas.

Identifique, agora, a mariposa abaixo:

Um problema a mais: quais são os eixos de simetria presentes nas duas últimas malhas por nós apresentadas?

Quer aprofundar seu conhecimento acerca do tema?

Geometria e cestaria dos Bora na Amazônia Peruana

Paulus Gerdes

Baixe gratuitamente em: http://www.lulu.com/spotlight/pgerdes