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Formulação matemática do Problema Inverso
Estrutura
• Problema Inverso– Otimização
• Problema Inverso linear– Mínimos Quadrados
• Problema Inverso não-linear– Método de Gauss-Newton
• Aspectos geométricos– Problema linear 1D– Problema não-linear 1D
• Exercícios
Problema Inverso(Otimização)
1
1
NNd
d
d
1
1
)(
)(
)(
NN pg
pg
pg
dados observados
dados preditos
Problema Inverso(Otimização)
1
1
NNd
d
d
1
1
)(
)(
)(
NN pg
pg
pg
dados observados
dados preditos
)]([)]([)( pgdpgdp T
norma L2(função escalar)
N
iii pgdp
1
2)]([)(
Problema Inverso(Otimização)
O Problema Inverso consiste em determinar um vetor de
parâmetros p , M-dimensional, que minimiza a função oooo)( p
*p
)]([)]([)( pgdpgdp T
norma L2(função escalar)
N
iii pgdp
1
2)]([)(
Problema Inverso(Otimização)
)]([)]([)( pgdpgdp T
norma L2(função escalar)
N
iii pgdp
1
2)]([)(
1* 0)( Mp
O Problema Inverso consiste em determinar um vetor de
parâmetros p , M-dimensional, que minimiza a função oooo)( p
*p
Problema Inverso(Otimização)
)]([)(2)( pgdpGp T
matriz N x M transposta vetor N x 1
Problema Inverso linear(Mínimos Quadrados)
bpBpg )(
matriz N x M vetor N x 1vetor M x 1
][1
* bdBBBpTT
bpBpg )(
matriz N x M vetor N x 1vetor M x 1
Estimador de Mínimos Quadrados
Problema Inverso linear(Mínimos Quadrados)
Problema Inverso não-linear(Método de Gauss-Newton)
bpBpg )(
diferente
)]([)()()( 00
1
00 pgdpGpGpGp TT
Método de Gauss-Newton
bpBpg )(
ppp 0
Problema Inverso não-linear(Método de Gauss-Newton)
Aspectos geométricos(Problema linear 1D)
bxaag ii )(
Aspectos geométricos(Problema linear 1D)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
gi (a)
a
bxaag ii )(
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
gi (a)
a
Aspectos geométricos(Problema linear 1D)
bxaag ii )(
bxa
bxa
bxa
ag
ag
ag
3
2
1
3
2
1
)(
)(
)(
3
2
1
d
d
d
-200000
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1400000
1600000
1800000
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
φ (a)
a
Aspectos geométricos(Problema linear 1D)
bxa
bxa
bxa
ag
ag
ag
3
2
1
3
2
1
)(
)(
)(
3
2
1
d
d
d
bxaag ii )(
-200000
0
200000
400000
600000
800000
1000000
1200000
1400000
1600000
1800000
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
φ (a)
a
Aspectos geométricos(Problema linear 1D)
bxa
bxa
bxa
ag
ag
ag
3
2
1
3
2
1
)(
)(
)(
3
2
1
d
d
d
bxaag ii )(
*a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
2122 ])()[()( byaxag iii
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
2122 ])()[()( byaxag iii
0
20
40
60
80
100
120
0 500 1000 1500 2000
gi (a)
a
0
20
40
60
80
100
120
0 500 1000 1500 2000
gi (a)
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
3
2
1
d
d
d
23
23
22
22
21
21
3
2
1
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
byax
byax
byax
ag
ag
ag
2122 ])()[()( byaxag iii
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 500 1000 1500 2000
φ (a)
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
3
2
1
d
d
d
2122 ])()[()( byaxag iii
23
23
22
22
21
21
3
2
1
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
byax
byax
byax
ag
ag
ag
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 500 1000 1500 2000
φ (a)
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
3
2
1
d
d
d*0x
2122 ])()[()( byaxag iii
23
23
22
22
21
21
3
2
1
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
byax
byax
byax
ag
ag
ag
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 500 1000 1500 2000
φ (a)
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
3
2
1
d
d
d*0x
_|_0x
2122 ])()[()( byaxag iii
23
23
22
22
21
21
3
2
1
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
byax
byax
byax
ag
ag
ag
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
φ (a)
*a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 500 1000 1500 2000
a
Aspectos geométricos(Problema não-linear 1D)
φ (a)
Ψ (a)
*a
#a
Exercícios
• Formular o Problema Inverso linear 1D
– Equação de Mínimos Quadrados
• Formular o Problema Inverso não-linear 1D
– Equação do método de Gauss-Newton
