Fourier Revisão 05

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Revisão de Fourier

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  • 1

    ELETRNICA DE POTNCIA

    CIRCUITOS COM FORMAS DE

    ONDAS PERIDICAS NO SENOIDAIS

    APLICAO DA SRIE DE FOURIER (REVISO)

    PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005

  • 2

    CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIDICAS NO SENOIDAIS

    SRIE DE FOURIER (REVISO)

    1. FUNES PERIDICAS

    Uma funo f(t) peridica se:

    f(t+T) = f(t) para -< t < . [1]

    Figura 1- Funes Peridicas

    O menor T que satisfaz a equao [1] chamado de perodo de f(t).

    A equao [1] implica que

    f(t + n.T) = f(t); t no intervalo -< t < t; sendo n inteiro.

    As funes peridicas so completamente especificadas por seus valores em qualquer perodo.

    Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) u(t-t0-T)] [2]

    Onde u(t) o degrau unitrio

    Ento ( )

    =

    +=n

    T Tntftf .)( [3]

    A funo fT(t) chamada de gerador de f(t).

    T

    T

    t t+T t

    f(t)

    T

    f(t)

    tt t+T

    f(t) = f(t+T)

  • 3

    Funes peridicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua anlise.

    Funo par uma funo peridica que f(-t) = f(t).

    Figura 2 - Funo par Quando a funo par ela possui simetria com relao ao eixo das ordenadas (eixo y).

    Funo mpar uma funo peridica que f(-t) = -f(t).

    Figura 3 - Funo mpar Quando a funo mpar ela possui simetria com relao origem.

    Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que:

    ( )[ ] ( )

    ( )[ ] ( ) mpar funo uma .sen..sen.

    par funo uma .cos..cos.

    tAtA

    tAtA

    =

    =

    Soma de funes pares resultam em uma funo par:

    ( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 so escalares, fp, gp e hp so funes pares.

    tt

    t

    f((((t)

    A

    A.cos(t)

    tt

    t

    f((((t)

    A

    A.sen(t)

    A1

    -A1

  • 4

    Soma de funes mpares resultam em uma funo mpar:

    ( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 so escalares, fi, gi e hi so funes mpares.

    Produto de funes pares resultam em uma funo par:

    ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp = , onde K1 e K2 so escalares, fp, gp e hp so funes pares.

    Produto de funes mpares resultam em uma funo mpar:

    ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii = , onde K1 e K2 so escalares, fi, gi e hi so funes mpares.

    Produto de funes pares por funes mpares resultam em uma funo mpar:

    ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi = , onde K1 e K2 so escalares, fi uma funo par, e gi e hi so funes mpares.

    Qualquer funo peridica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma funo par com uma funo mpar.

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) [4c]

    [4b] 2

    [4a] 2

    tftftf

    tftftf

    tftftf

    ip

    i

    p

    =+

    =

    +=

    Definies importantes:

    Valor mdio ou mdia de uma funo peridica f(t):

    +

    =

    Tt

    tmdiodttf

    Tf 0

    0).(1 [5]

    Valor mdio quadrado de uma funo peridica f(t) ( chamado de potncia mdia em f(t)):

    +

    =

    Tt

    tmdio dttf

    Tf 0

    0.)(1 22 [6]

    Raiz quadrada do valor mdio quadrado, ou valor rms de uma funo peridica f(t):

    +

    ==

    Tt

    tmdiorms dttfTff

    0

    0.)(1 22 [7]

  • 5

    2. SRIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER

    Se uma funo peridica f(t) obedece s condies de Dirichlet, ento a funo pode ser representada pela srie trigonomtrica de Fourier. bom ressaltar que as condies de Dirichlet so suficientes, mas no necessrias, pois existem funes peridicas que no obedecem a estas condies, e, no entanto possuem srie de Fourier. As condies de Dirichlet so:

    1. f(t) contnua por partes 2. f(t) possui um nmero de mximos e mnimos finitos em qualquer intervalo

    finito. 3. f(t) absolutamente integrvel sobre um perodo, isto : ( )

  • 6

    Figura 4

    ( ) ( )

    =+=

    ==

    ++=

    =

    n

    n

    nnnn

    n

    nn

    a

    bbac

    tfac

    tncctf

    arctan

    )( de mdio valor 2/

    .cos.

    22

    00

    10

    [10]

    ou

    ( ) ( )

    =+=

    ==

    ++=

    =

    n

    n

    nnnn

    n

    nn

    babac

    tfac

    tncctf

    arctan

    )( de mdio valor 2/

    .sen.

    22

    00

    10

    [11]

    3. INFLUNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER 3.1. SIMETRIA PAR

    Funes peridicas com simetria par so do tipo ( ) ( )tftf = .

    Para as funes peridicas com simetria par, as equaes usadas para calcular os coefi-cientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( )tnan .cos. ( )tnsenbn ..

    ( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. + nn

    an

    bn

    cn

  • 7

    ( )

    ( ) ( )

    ... 3, 2, 1, 0

    ... 3, 2, 1, ...cos.4

    .

    2

    2/

    0

    2/

    00

    ==

    ==

    =

    kb

    kdttktfT

    a

    dttfT

    a

    k

    T

    k

    T

    [12]

    Observe que as funes peridicas com simetria par, no possuem termos em seno.

    3.2. SIMETRIA MPAR

    Funes peridicas com simetria mpar so do tipo ( ) ( )tftf = .

    Para as funes peridicas com simetria mpar, as equaes usadas para calcular os coe-ficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4

    ... 3, 2, 1, 0

    0

    2/

    0

    0

    ===

    ==

    =

    kkdttktfTb

    ka

    a

    T

    k

    k

    [13]

    Observe que as funes peridicas com simetria mpar, no possuem termos em cosse-no, e seu valor mdio nulo.

    3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA

    Funes peridicas com simetria de meia-onda so do tipo ( ) ( ) ( )22 TtfTtftf =+= .

    Figura 5 - Simetria de meia onda

    T/2

    t

    t+(T/2)

    A

    -A

    T

    t

    f(t)

  • 8

    Para as funes peridicas com simetria de meia-onda, as equaes usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) mpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4

    par) ( ... 6, 4, 2, 0

    mpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4

    par) ( ... 6, 4, 2, 0

    0

    2/

    0

    2/

    0

    0

    kkdttktfT

    b

    kkb

    kkdttktfT

    a

    kka

    a

    T

    k

    k

    T

    k

    k

    ==

    ==

    ==

    ==

    =

    [14]

    Observe que as funes peridicas com simetria de meia-onda, s possuem termos m-pares, e seu valor mdio nulo.

    3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA

    Funes peridicas com simetria de quarto de onda so funes que possuem simetria de meia-onda e, alm disso, simetria em relao ao ponto mdio dos semiciclos positivo e negativo. Quando uma funo possui simetria de quarto de onda, sempre possvel torn-la com simetria par ou mpar.

    Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda mpar

    t

    f(t)

    t

    f(t)(a)

    (b)

  • 9

    Para as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa-es usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( )

    )(qualquer ... 3, 2, 1, 0

    mpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8

    )par ( ... 6 4, 2, 0

    0

    4/

    0

    0

    kkb

    kkdttktfT

    a

    kka

    a

    k

    T

    k

    k

    ==

    ==

    ==

    =

    [15]

    Observe que as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, s possuem termos mpares em cosseno, e seu valor mdio nulo.

    Para as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria mpar, as e-quaes usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( ) mpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8

    )par ( ... 6 4, 2, 0

    ) (todo ... 3, 2, 1, 0

    0

    4/

    0

    0

    kkdttktfT

    b

    kkb

    kka

    a

    T

    k

    k

    k

    ==

    ==

    ==

    =

    [16]

    Observe que as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria mpar, s possuem termos mpares em seno, e seu valor mdio nulo.

    Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da srie de Fourier da senide recortada de amplitude A como mostra a figura 7 abaixo.

    Figura 7

    seno

    f(t)

    t

    2pi

    A

  • 10

    Soluo: Das relaes [9b] vem que:

    Exemplo 2 Calcular a srie de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e perodo T da figura 8 a seguir.

    Figura 8

    Soluo: Das relaes [9a] vem que:

    Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que:

    )](sen)([sen2

    )()cos()sen(.1)()cos()(1 222

    01

    pi

    pi

    pi

    pi

    ============ A

    tdttAtdttfa

    (((( ))))

    ++++============ 2

    )2sen()2sen(2

    )()sen()sen()()sen()(12

    01

    pi

    pi

    pi

    pi AtdttAtdttfb

    T

    T1

    A

    t

    f(t)

    )]1[sen(.

    2)cos(.2)cos()(21

    0

    0

    0

    TnTnAdttnA

    Tdttntf

    Ta

    TTt

    tn ===

    +

    )]1cos(1[.

    2)sen(.2)sen()(21

    0

    0

    0

    TnTnAdttnA

    Tdttntf

    Tb

    TTt

    tn ===

    +

    TTAdtA

    Tdttf

    Ta

    TTt

    t

    1..

    1).(12

    1

    0

    00

    0 ===

    +

    [ ]

    =

    ++=1

    )sen()]1cos(1[)cos()1sen(.

    22

    1.)(n

    tnTntnTnTnATA

    tf

  • 11

    4. A SRIE DE FOURIER, O PRINCPIO DA SUPERPOSIO E O CLCU-LO FASORIAL.

    O principal conceito que se pode inferir da srie de Fourier trigonomtrica aplicada na anlise de circuitos lineares que possuem geradores de tenso e/ou corrente com formas de ondas peridicas no senoidais, caracteriza-se pelos seguintes pontos:

    a) O gerador de forma de onda no senoidal pode ser substitudo por uma soma de geradores senoidais com amplitudes e freqncias dos respectivos harmnicos da srie de Fourier de sua forma de onda peridica, alm de um gerador constan-te (corrente contnua) com amplitude correspondente ao valor mdio da forma de onda.

    b) Se o circuito for linear pode-se aplicar o princpio da superposio, isto , a res-posta do circuito a soma das respostas de cada termo (a cada gerador) da srie de Fourier.

    c) Se estivermos interessados apenas na resposta no regime permanente, pode-se utilizar a anlise fasorial para se encontrar as respostas de cada termo (de cada gerador) senoidal (e/ou cossenoidal) da srie de Fourier. Neste caso, facilita-se o trabalho se a srie estiver escrita em sua forma compacta, isto , ou somente em termos de seno ou de cosseno (ver item 2).

    Figura 8 - Ilustrao do Princpio da Superposio

    REDE REDE

    0000REDE

    i0(t)

    1111REDE

    i1(t)

    nREDE

    in(t)

    i(t)

    i(t)

    Fonte Original Fontes Equivalentes Superposio

    =

    =0n(t)nii(t)

  • 12

    Vf(t)Vf

    on

    te =

    Vc

    arga

    R

    L VL

    VR

    i

    t0 2pipipipipi/2pi/2pi/2pi/2 pipipipi

    300Cosseno

    Exemplo 3 Suponha um gerador de onda quadrada, de amplitude A e freqncia f Hertz (ou =2pi.f rad/s) alimentado uma carga RL, conforme a figura 9 abaixo. Deseja-se determinar a corrente de regime permanente do circuito.

    Figura 9 - Circuito RL srie

    A srie de Fourier da funo vf(t), com forma de onda quadrada, dada por:

    ( ) ( ) mpar .sen41

    nn

    tnAtv

    n

    f

    =

    =

    pi

    A soluo ser dada pela srie de Fourier da corrente, onde cada harmnico de corrente pode ser calculado a partir de cada harmnico de tenso, dividindo-se o fasor tenso pela impedncia calculada na freqncia do respectivo harmnico. O fasor corrente de cada harmnico dado por:

    ( )( ) ( )RLnLnR

    nA

    Z

    VI

    nn

    nn

    nn.arctan.

    0.4

    22

    0

    pi

    +

    ==

    Portanto a corrente do circuito dada pela seguinte srie de Fourier:

    (((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))RLntnLnRn

    Ati .arctan.sen

    ..

    1422

    pi

    ++++====

    Exemplo 4 A onda de tenso da figura a seguir aplicada a um circuito srie RL com R igual a 2000 e L igual a 10 H. Achar a tenso no resistor empregando a srie trigo-nomtrica de Fourier.

    Figura 10 - Forma da tenso produzida por um retificador de

    meia onda.

  • 13

    Soluo: A onda aplicada possui simetria par, portanto, contm apenas termos em cos-seno, cujo os coeficientes so obtidos pela integrao:

    cos(npi/2) -1 quando n = 2, 6, 10, ... +1 quando n = 4, 8, 12, ... cos(npi/2) 0 quando n mpar

    Para n igual a 1 a expresso indeterminada e deve ser calculada separadamente.

    O valor de a0/2, que o valor mdio da funo dado por:

    Assim, a srie de Fourier da onda de tenso aplicada ao circuito RL srie dada por:

    A impedncia total do circuito srie Z = R + j(n.L) e deve ser calculada para cada harmnico na expresso da tenso v. Os resultados so mostrados na tabela abaixo.

    n n. R n.L |Z| 0 1 2 4 6

    0 377 754

    1508 2262

    2k 2k 2k 2k 2k

    0 3,77k 7,54k

    15,08k 22,62k

    2k 4,26k 7,78k 15,2k 22,6k

    0o 62o

    75,1o 82,45o 84,92o

    Calculando-se os coeficientes para a srie da corrente (observando os ngulos de atra-so), temos:

    n = 0 k

    I2

    /3000

    pi=

    n = 1 )62cos(26,4

    2/3001

    o= t

    kI

    ( ) ( ) ( ) ( )2/cos)1(

    600..cos.cos.3001 2

    2/

    2/pi

    pi

    pi

    pi

    pi

    nn

    tdtntan

    ==

    ( ) ( )2

    3002

    )2sen(2

    300.cos.3001

    2/

    2/

    2/

    2/

    21 =

    +==

    pi

    pi

    pi

    pi

    pi

    pi

    tttdta

    [ ]pi

    =pi

    =pi

    = pi

    pi

    pi

    pi

    3002

    30030021

    2

    2

    2

    22

    0/

    /

    //)tsen()t(d).tcos(.

    a

    +++= ...)6cos(352)4cos(

    152)2cos(

    32)cos(

    21300 ttttv pi

    pi

  • 14

    n = 2 )1,752cos(78,7

    3/6002

    o= t

    kI pi etc

    A srie da corrente , ento:

    Fazendo-se o produto da corrente i pelo resistor de 2k vem que a tenso no resistor :

    VALOR MDIO E RMS DE UMA FUNO PERIDICA

    4.1. VALOR MDIO

    O valor mdio de uma funo peridica, conforme j visto, dado pela equao abaixo:

    +

    ==

    Tt

    tmdiodttf

    TFf 0

    0).(10 [17]

    Representando-se f(t) por sua expanso em srie de Fourier, tem-se:

    ( )2

    ...sen.1 0

    01

    000

    0

    acdttncc

    TF

    Tt

    tn

    nn ==

    ++=

    +

    =

    [18]

    4.2. VALOR RMS

    O valor mdio de uma funo peridica, conforme j visto, dado pela equao abaixo:

    +

    ==

    Tt

    tRRMSdttf

    TFf 0

    0.)(1 2 [19]

    Representando-se f(t) por sua expanso em srie de Fourier, tem-se:

    ( ) dttnccT

    FTt

    tn

    nnR ...sen.1

    2

    10

    0

    0 +

    =

    ++= [20]

    A integrao, em um perodo, de termos em seno, ou produtos de termos em seno com freqncias distintas nula. Portanto, a equao anterior se reduz a:

    ...)92,846cos()6,22(35600

    )45,824cos()2,15(15600)1,752cos()78,7(3

    600)62cos(26,4)2(

    3002300

    +

    +++=

    o

    ooo

    tk

    tk

    tk

    tkk

    i

    pi

    pi

    pi

    pi

    ...)92,846cos(483,0)45,824cos(67,1)1,752cos(4,16)62cos(4,705,95

    ++++

    ++++++++++++====o

    ooo

    t

    tttvR

  • 15

    =

    =

    +=

    +=

    1

    220

    1

    220 22

    ..

    1n

    n

    n

    n

    Rc

    cc

    TTcT

    F [21]

    Observa-se, portanto, que o valor rms consiste na raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores rms dos harmnicos individuais mais o quadrado do valor mdio da funo peridica.

    5. ONDULAO E FATOR DE ONDULAO DE TENSES E CORRENTES PERIDICAS NO SENOIDAIS.

    Considere um dipolo de um circuito linear a parmetros concentrados som uma tenso e corrente peridicas no senoidais, descritas pelas sries de Fourier abaixo:

    ( )

    ( )

    =

    =

    ++=

    ++=

    1

    1

    .sen

    .sen

    n

    inpnDC

    n

    vnpnDC

    tnIIi

    tnVVv

    [22]

    onde: VDC valor da componente contnua da tenso (valor mdio da tenso) Vpn amplitude do harmnico de ordem n da tenso (valor de pico) vn ngulo de fase do harmnico de ordem n da tenso IDC valor da componente contnua da corrente (valor mdio da corrente) Ipn amplitude do harmnico de ordem n da corrente (valor de pico) in ngulo de fase do harmnico de ordem n da corrente

    A partir dos resultados do item 5.2, pode-se determinar os valores rms (eficazes) da ten-so e da corrente atravs das equaes abaixo:

    =

    =

    +=

    +=

    1

    22

    1

    22

    n

    nDCR

    n

    nDCR

    III

    VVV

    [23]

    onde: 2pnn VV = o valor rms (eficaz) do harmnico de ordem n da tenso 2pnn II = o valor rms (eficaz) do harmnico de ordem n da corrente

    Os somatrios dentro das equaes [23], referem-se soma dos quadrados dos valores rms (eficazes) dos componentes harmnicos da tenso e da corrente. Como os compo-nentes harmnicos so senides e, portanto possuem mdias nulas, as somatrias refe-rem-se, portanto, ao quadrado do valor rms da componente CA das formas de onda,

  • 16

    denominada de ondulao. As componentes CA (ou de ondulao) da tenso e da cor-rente so, portanto, definidas pelas equaes a seguir:

    22

    1

    2

    22

    1

    2

    DCRn

    nCA

    DCRn

    nCA

    IIII

    VVVV

    ==

    ==

    =

    =

    [24]

    A partir das equaes [24], define-se os fatores de ondulao da tenso e da corrente, conforme as equaes abaixo:

    %100% spercentuai valores em ou,

    %100% spercentuai valores em ou,

    ========

    ========

    iiDC

    CAi

    vv

    DC

    CAv

    rrII

    r

    rrVV

    r

    [25]

    onde: rv fator de ondulao de tenso, e ri o fator de ondulao de corrente.

    Observe que para uma tenso (ou corrente) com forma de onda puramente alternada, o fator de ondulao infinito, e para uma tenso (ou corrente) com forma de onda cons-tante, o fator de ondulao nulo.

    6. POTNCIA E FATOR DE POTNCIA EM CIRCUITOS LINEARES COM CORRENTES E TENSES PERIDICAS NO SENOIDAIS.

    Considere um dipolo de um circuito linear a parmetros concentrados som uma tenso e corrente peridicas no senoidais, descritas pelas sries de Fourier das equaes [22].

    A potncia instantnea nos terminais deste dipolo ser dada pelo produto v.i. A potncia mdia (ou eficaz) deste dipolo ser, portanto:

    ( ) ( )

    +

    =

    =

    ++

    ++

    ++=

    ==

    Tt

    tn

    inpnDCn

    vnpnDC

    Tt

    t

    Tt

    t

    dttnIItnVVT

    P

    dtivT

    dtpT

    P

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    11.sen..sen

    1

    ..

    1.

    1

    [26]

    Tendo em vista que os termos em seno e os termos com produto de senos de freqncias distintas possuem integraes nulas em um perodo, tem-se o seguinte resultado para a equao anterior:

  • 17

    ( ) ( )

    onde cos..

    cos..cos2.

    .

    1

    11

    invnnnn

    nnDCDC

    invnn

    nnDCDCinvnn

    pnpnDCDC

    IVIVP

    IVIVIV

    IVP

    =+=

    +=+=

    =

    =

    =

    [27]

    A equao [26] mostra que a potncia mdia (eficaz) total a soma das potncias m-dias obtidas a partir da interao de correntes e tenses com a mesma freqncia; cor-rentes e tenses com freqncias diferentes no interagem para produzir potncia mdia (eficaz).

    Da mesma forma que definida para circuitos com tenses e correntes senoidais, defi-ne-se tambm a potncia aparente para circuitos com tenses e correntes peridicas no senoidais como sendo o produto da tenso rms (eficaz), com a corrente rms (eficaz), conforme a equao abaixo:

    =

    =

    ++==1

    22

    1

    22

    n

    nDCn

    nDCRR IIVVIVS [28]

    Convm chamar ateno aqui que o termo potncia eficaz, refere-se potncia mdia, isto , o valor mdio da potncia instantnea, ao passo que os termos tenso e corrente eficazes referem-se aos valores rms da tenso e da corrente.

    A partir das equaes [27] e [28], determina-se o fator de potncia, que definido como sendo a relao entre a potncia mdia (eficaz) e a potncia aparente, conforme a equa-o abaixo:

    =

    =

    =

    ++

    +

    =

    ==

    1

    22

    1

    22

    1cos..

    .

    n

    nDCn

    nDC

    n

    n

    nnDCDC

    RR

    IIVV

    IVIVfp

    IVP

    SPfp

    [29]

    Observe da equao [29], que quando as formas de onda de corrente e tenso no so senoidais, o fator de potncia no pode ser igualado a cos(), onde o ngulo da im-pedncia do circuito.

    6.1. POTNCIA E FATOR DE POTNCIA QUANDO UMA DAS FORMAS DE ONDA (TENSO OU CORRENTE) FOR SENOIDAL.

    muito comum em circuitos de eletrnica de potncia ocorrer que uma da formas de onda, geralmente a tenso, de um determinado dipolo seja senoidal, enquanto que a cor-rente do mesmo peridica, mas no senoidal. Neste caso, as equaes dos itens anteri-ores podem ser simplificadas conforme apresentado a seguir.

  • 18

    Seja um dipolo, cujas formas de onda de tenso e corrente possam ser representadas pelas equaes abaixo:

    ( )

    ( )

    =

    ++=

    +=

    1

    11

    .sen

    .sen

    n

    inpnDC

    vp

    tnIIi

    tVv

    [30]

    Ento, o clculo da potncia mdia (equaes [26] e [27]) se reduz a:

    111 cos. IVP = [31]

    Logo, pode-se observar que apenas o componente de primeiro harmnico da corrente responsvel pela potncia mdia (eficaz). Os demais componentes, tanto o DC, quanto os harmnicos no produzem potncia mdia.

    A potncia aparente do dipolo ser dada ento por:

    =

    +==1

    2211

    n

    nR IIVIVS DC [32]

    O fator de potncia, neste caso, determinado pela equao abaixo:

    ( ) ( )

    ( )senoidais correntes para 11

    coscoscos.

    1

    22

    1

    1

    1

    22

    11

    1

    111

    =

    +

    =

    =

    +

    =

    ==

    =

    =

    n

    n

    n

    n

    R

    II

    I

    II

    IIV

    IVSPfp

    DC

    DC

    [33]

    Quando a forma de onda da corrente possuir componente DC (mdio) nulo, as equaes da potncia aparente e do fator de potncia podem ser reescritas conforme a seguir:

    ( ) ( )

    Harmnico Distoro de Fator :FDH 1

    coscoscos.

    1

    2

    1

    1

    1

    2

    11

    1

    111

    1

    211

    =

    ==

    ==

    ==

    =

    =

    =

    n

    n

    n

    n

    R

    n

    nR

    I

    IFDH

    FDH

    I

    IIV

    IVSPfp

    IVIVS

    [34]

  • 19

    Pode-se, ento, desenvolver-se a expresso da potncia aparente.

    ( ) 2212

    221

    211

    2. DSIVIVS

    n

    n +=

    +=

    =

    [35]

    onde: S1 a potncia aparente de primeiro harmnico D denominada de potncia de distoro harmnico

    A potncia aparente S1 a potncia aparente para formas de onda senoidais e pode ser escrita em termos da potncia mdia (ativa ou eficaz) e da potncia reativa, ambas de primeiro harmnico.

    ( )

    ( )1111

    1111

    21

    21

    21

    sen.

    cos.

    IVQ

    IVP

    QPS

    =

    =

    +=

    [36]

    Logo, a equao [35] pode ser reescrita conforme a equao [37], mostrando que a po-tncia aparente total composta de um componente de potncia ativa, devido ao primei-ro harmnico, um componente de potncia reativa devido ao primeiro harmnico, e um componente de distoro harmnica, devidos aos demais harmnicos de corrente.

    221

    21

    2 DQPS ++= [37]

    A equao [37] define um tetraedro de potncias, ao invs de um tringulo de potncias como o caso de circuitos com formas de onda puramente senoidais.

    D

    S

    S1

    P1

    Q1

  • 20

    A

    -A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi

    A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi

    A

    -A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi

    Srie de Fourier de algumas formas de onda

    -------------------------------------------------------------------------

    -------------------------------------------------------------------------

    -------------------------------------------------------------------------

    ++++++++++++++++==== ...t)(t)(t)(t(

    pi

    Atf 7sen

    715sen

    513sen

    31)sen4)(

    ++++++++++++++++++++==== ...)7cos(2)7(

    1)5cos(2)5(1)3cos(2)3(

    1)cos(24

    2)( ttttAAtf

    pi

    ++++++++++++==== ...)5sen(

    51)4sen(

    41)3sen(

    31)2sen(

    21)sen(2)( tttttAtf

    pi

  • 21

    A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi

    meio ciclode senide

    A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi2pi2pi2pi2pi 3pi3pi3pi3pi

    2

    -------------------------------------------------------------------------

    -------------------------------------------------------------------------

    A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi

    meio ciclode senide

    ++++==== ...)8cos(97

    2)6cos(75

    2)4cos(53

    2)2cos(31

    2)sen(2

    1)( tttttAtf pipi

    ++++

    ++++

    ==== ...)8cos(97

    2)6cos(75

    2)4cos(53

    2)2cos(31

    212)( ttttAtf pi

    ++++++++==== ...

    44cos4sen

    33cos3sen

    22cos2sen

    1cossen22)(

    pipi

    AAtf

  • 22

    A

    t0 2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi4pi4pi4pi4pi

    -------------------------------------------------------------------------

    -------------------------------------------------------------------------

    A

    t0 2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi 4pi4pi4pi4pi

    ++++++++++++++++++++==== )...5sen(

    51)4sen(

    41)3sen(

    31)2sen(

    21)sen(

    2)( tttttAAtf

    pi

    ++++++++++++++++==== )...5sen(

    51)4sen(

    41)3sen(

    31)2sen(

    21)sen(

    2)( tttttAAtf

    pi

    A

    t0

    pipipipi

    2pi2pi2pi2pipipipipi

    2pi2pi2pi2pi

    -A

    ++++++++++++++++++++

    ++++

    ++++++++++++++++++++====

    )...11sen(111)9sen(

    91)7cos(

    71)5cos(

    51)3cos(

    31)sen(2

    ...)9sen(2)9(1)7cos(2)7(

    1)5cos(2)5(1)3cos(2)3(

    1)cos(24)(

    ttttttA

    tttttA

    tf

    pi

    pi

  • 23

    (pi+) / 2(pi+) / 2(pi+) / 2(pi+) / 2

    A

    t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi

    -A

    (pi) / 2(pi) / 2(pi) / 2(pi) / 2

    -------------------------------------------------------------------------

    A

    t0 pipipipi

    2pi2pi2pi2pipipipipi

    2pi2pi2pi2pi

    -A

    senide

    [[[[ ]]]]

    ====++++

    ++++++++++++

    ++++

    ++++

    ====++++

    ++++++++++++

    ++++

    ++++

    ++++++++++++====

    2).sen(

    )1(])1sen[(])1sen[(

    )1(])1sen[(])1sen[(

    2

    2).cos(

    )1(])1cos[(])1cos[(

    )1(])1cos[(])1cos[(

    2

    )sen(2

    )2sen()2sen()(2

    )cos()(2sen)(2sen2

    )cos()cos(2

    )(

    n

    tnn

    nn

    n

    nnA

    n

    tnn

    nn

    n

    nnA

    tA

    tAA

    tf

    pi

    pi

    pi

    pi

    pi

    (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

    ++++

    ++++

    ++++

    ++++

    ==== ...7sen2

    7sen5sen2

    5sen3sen2

    3sensen2sen

    4)( ttttn

    Atf

    pi

  • 24

    Forma de onda de um inversor trifsico (Seis pulsos - 3 semicondutores em conduo simultnea)

    Srie de Fourier

    Forma de onda de um inversor trifsico (Seis pulsos - 2 semicondutores em conduo simultnea)

    V

    pipipipi2pi2pi2pi2pi

    3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi

    -V

    t

    2V/3V/3

    -2V/3-V/3

    ABV

    ACV

    CAV

    ANV

    BNV

    CNV

    ++++

    ====

    ====6

    sen6

    cos4

    1

    pi

    pi

    pitn

    n

    n

    V

    nABV

    (((( ))))tnnn

    V

    n

    pi

    pisen

    6cos

    34

    1

    ====

    ====

    ANV

  • 25

    Srie de Fourier

    V

    pipipipi2pi2pi2pi2pi

    3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi

    -V

    t

    V/2

    ABV

    ANV

    BNV

    CNV

    -V/2

    ++++

    ====

    ====6

    sen6

    cos2

    1

    pi

    pi

    pitn

    n

    n

    V

    nANV

    ++++

    ====

    ====3

    sen6

    cos34

    1

    pi

    pi

    pitn

    n

    n

    V

    nABV