Fourier Revisão 05

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Revisão de Fourier

Text of Fourier Revisão 05

  • 1

    ELETRNICA DE POTNCIA

    CIRCUITOS COM FORMAS DE

    ONDAS PERIDICAS NO SENOIDAIS

    APLICAO DA SRIE DE FOURIER (REVISO)

    PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005

  • 2

    CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIDICAS NO SENOIDAIS

    SRIE DE FOURIER (REVISO)

    1. FUNES PERIDICAS

    Uma funo f(t) peridica se:

    f(t+T) = f(t) para -< t < . [1]

    Figura 1- Funes Peridicas

    O menor T que satisfaz a equao [1] chamado de perodo de f(t).

    A equao [1] implica que

    f(t + n.T) = f(t); t no intervalo -< t < t; sendo n inteiro.

    As funes peridicas so completamente especificadas por seus valores em qualquer perodo.

    Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) u(t-t0-T)] [2]

    Onde u(t) o degrau unitrio

    Ento ( )

    =

    +=n

    T Tntftf .)( [3]

    A funo fT(t) chamada de gerador de f(t).

    T

    T

    t t+T t

    f(t)

    T

    f(t)

    tt t+T

    f(t) = f(t+T)

  • 3

    Funes peridicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua anlise.

    Funo par uma funo peridica que f(-t) = f(t).

    Figura 2 - Funo par Quando a funo par ela possui simetria com relao ao eixo das ordenadas (eixo y).

    Funo mpar uma funo peridica que f(-t) = -f(t).

    Figura 3 - Funo mpar Quando a funo mpar ela possui simetria com relao origem.

    Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que:

    ( )[ ] ( )

    ( )[ ] ( ) mpar funo uma .sen..sen.

    par funo uma .cos..cos.

    tAtA

    tAtA

    =

    =

    Soma de funes pares resultam em uma funo par:

    ( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 so escalares, fp, gp e hp so funes pares.

    tt

    t

    f((((t)

    A

    A.cos(t)

    tt

    t

    f((((t)

    A

    A.sen(t)

    A1

    -A1

  • 4

    Soma de funes mpares resultam em uma funo mpar:

    ( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 so escalares, fi, gi e hi so funes mpares.

    Produto de funes pares resultam em uma funo par:

    ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp = , onde K1 e K2 so escalares, fp, gp e hp so funes pares.

    Produto de funes mpares resultam em uma funo mpar:

    ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii = , onde K1 e K2 so escalares, fi, gi e hi so funes mpares.

    Produto de funes pares por funes mpares resultam em uma funo mpar:

    ( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi = , onde K1 e K2 so escalares, fi uma funo par, e gi e hi so funes mpares.

    Qualquer funo peridica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma funo par com uma funo mpar.

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) [4c]

    [4b] 2

    [4a] 2

    tftftf

    tftftf

    tftftf

    ip

    i

    p

    =+

    =

    +=

    Definies importantes:

    Valor mdio ou mdia de uma funo peridica f(t):

    +

    =

    Tt

    tmdiodttf

    Tf 0

    0).(1 [5]

    Valor mdio quadrado de uma funo peridica f(t) ( chamado de potncia mdia em f(t)):

    +

    =

    Tt

    tmdio dttf

    Tf 0

    0.)(1 22 [6]

    Raiz quadrada do valor mdio quadrado, ou valor rms de uma funo peridica f(t):

    +

    ==

    Tt

    tmdiorms dttfTff

    0

    0.)(1 22 [7]

  • 5

    2. SRIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER

    Se uma funo peridica f(t) obedece s condies de Dirichlet, ento a funo pode ser representada pela srie trigonomtrica de Fourier. bom ressaltar que as condies de Dirichlet so suficientes, mas no necessrias, pois existem funes peridicas que no obedecem a estas condies, e, no entanto possuem srie de Fourier. As condies de Dirichlet so:

    1. f(t) contnua por partes 2. f(t) possui um nmero de mximos e mnimos finitos em qualquer intervalo

    finito. 3. f(t) absolutamente integrvel sobre um perodo, isto : ( )

  • 6

    Figura 4

    ( ) ( )

    =+=

    ==

    ++=

    =

    n

    n

    nnnn

    n

    nn

    a

    bbac

    tfac

    tncctf

    arctan

    )( de mdio valor 2/

    .cos.

    22

    00

    10

    [10]

    ou

    ( ) ( )

    =+=

    ==

    ++=

    =

    n

    n

    nnnn

    n

    nn

    babac

    tfac

    tncctf

    arctan

    )( de mdio valor 2/

    .sen.

    22

    00

    10

    [11]

    3. INFLUNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER 3.1. SIMETRIA PAR

    Funes peridicas com simetria par so do tipo ( ) ( )tftf = .

    Para as funes peridicas com simetria par, as equaes usadas para calcular os coefi-cientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( )tnan .cos. ( )tnsenbn ..

    ( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. + nn

    an

    bn

    cn

  • 7

    ( )

    ( ) ( )

    ... 3, 2, 1, 0

    ... 3, 2, 1, ...cos.4

    .

    2

    2/

    0

    2/

    00

    ==

    ==

    =

    kb

    kdttktfT

    a

    dttfT

    a

    k

    T

    k

    T

    [12]

    Observe que as funes peridicas com simetria par, no possuem termos em seno.

    3.2. SIMETRIA MPAR

    Funes peridicas com simetria mpar so do tipo ( ) ( )tftf = .

    Para as funes peridicas com simetria mpar, as equaes usadas para calcular os coe-ficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4

    ... 3, 2, 1, 0

    0

    2/

    0

    0

    ===

    ==

    =

    kkdttktfTb

    ka

    a

    T

    k

    k

    [13]

    Observe que as funes peridicas com simetria mpar, no possuem termos em cosse-no, e seu valor mdio nulo.

    3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA

    Funes peridicas com simetria de meia-onda so do tipo ( ) ( ) ( )22 TtfTtftf =+= .

    Figura 5 - Simetria de meia onda

    T/2

    t

    t+(T/2)

    A

    -A

    T

    t

    f(t)

  • 8

    Para as funes peridicas com simetria de meia-onda, as equaes usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) mpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4

    par) ( ... 6, 4, 2, 0

    mpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4

    par) ( ... 6, 4, 2, 0

    0

    2/

    0

    2/

    0

    0

    kkdttktfT

    b

    kkb

    kkdttktfT

    a

    kka

    a

    T

    k

    k

    T

    k

    k

    ==

    ==

    ==

    ==

    =

    [14]

    Observe que as funes peridicas com simetria de meia-onda, s possuem termos m-pares, e seu valor mdio nulo.

    3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA

    Funes peridicas com simetria de quarto de onda so funes que possuem simetria de meia-onda e, alm disso, simetria em relao ao ponto mdio dos semiciclos positivo e negativo. Quando uma funo possui simetria de quarto de onda, sempre possvel torn-la com simetria par ou mpar.

    Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda mpar

    t

    f(t)

    t

    f(t)(a)

    (b)

  • 9

    Para as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa-es usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( )

    )(qualquer ... 3, 2, 1, 0

    mpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8

    )par ( ... 6 4, 2, 0

    0

    4/

    0

    0

    kkb

    kkdttktfT

    a

    kka

    a

    k

    T

    k

    k

    ==

    ==

    ==

    =

    [15]

    Observe que as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, s possuem termos mpares em cosseno, e seu valor mdio nulo.

    Para as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria mpar, as e-quaes usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:

    ( ) ( ) mpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8

    )par ( ... 6 4, 2, 0

    ) (todo ... 3, 2, 1, 0

    0

    4/

    0

    0

    kkdttktfT

    b

    kkb

    kka

    a

    T

    k

    k

    k

    ==

    ==

    ==

    =

    [16]

    Observe que as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria mpar, s possuem termos mpares em seno, e seu valor mdio nulo.

    Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da srie de Fourier da senide recortada de amplitude A como mostra a figura 7 abaixo.

    Figura 7

    seno

    f(t)

    t

    2pi

    A

  • 10

    Soluo: Das relaes [9b] vem que:

    Exemplo 2 Calcular a srie de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e perodo T da figura 8 a seguir.

    Figura 8

    Soluo: Das relaes [9a] vem que:

    Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que:

    )](sen)([sen2

    )()cos()sen(.1)()cos()(1 222

    01

    pi

    pi

    pi

    pi

    ============ A

    tdttAtdttfa

    (((( ))))

    ++++============ 2

    )2sen()2sen(2

    )()sen()sen()()sen()(12

    01

    pi

    pi

    pi

    pi AtdttAtdttfb

    T

    T1

    A

    t

    f(t)

    )]1[sen(.

    2)cos(.2)cos()(21

    0

    0

    0

    TnTnAdttnA

    Tdttntf

    Ta

    TTt

    tn ===

    +

    )]1cos(1[.

    2)sen(.2)sen()(21

    0

    0

    0

    TnTnAdttnA

    Tdttntf

    Tb

    TTt

    tn ===

    +

    TTAdtA

    Tdttf

    Ta

    TTt

    t

    1..

    1).(12

    1

    0

    00

    0 ===

    +

    [ ]

    =

    ++=1

    )sen()]1cos(1[)cos()1sen(.

    22

    1.)(n

    tnTntnTnTnATA

    tf

  • 11

    4. A SRIE DE FOURIER, O PRINCPIO DA SUPERPOSIO E O CLCU-LO FASORIAL.

    O principal conceito que se pode inferir da srie de Fourier trigonomtri