Fractais

FractaisFractaisUma breve Uma breve introduçãointrodução

Donde surgiu o termo “fractal”?Donde surgiu o termo “fractal”?

Raíz no termo latino fractus;

Fractus (irregular) vem do verbo frangere (quebrar, dividir em fragmentos irregulres).

Criado por Benôit Mandelbrot, matemático polaco, por volta de 1967 para designar todas as formas com dimensões não inteiras.

1) Introdução1) Introdução


Um exame fino de várias formas naturais revela que as suas irregularidades têm um padrão.

A natureza está cheia de belas formas, repetindo-as em diferentes escalas dentro do mesmo ser ou objecto.

Numa paisagem, por exemplo, à medida que a escala de observação aumenta, reencontram-se em diferentes escalas um padrão análogo.

KilimanjaroKilimanjaro

1) Introdução1) IntroduçãoSó recentemente os fractais tiveram lugar na

nossa visão científica da Natureza.

Desde os dias de Euclides até meados do séc. XX pensava-se que:

as curvas eram suaves e podiam ser representadas por funções “bem comportadas”; era sempre possível saber qual o declive da curva ou o seu grau de curvatura;

estas curvas suaves descreviam todas as características do mundo ordenado em que pensávamos viver.

Chamava-se a essas curvas “analíticas”.

1) Introdução1) IntroduçãoCom o conhecimento de uma parte de uma curva

analítica, pode conhecer-se de forma exacta a parte restante.

No entanto estas curvas não existem virtualmente em lado nenhum no mundo real.

Quanto mais de perto olhamos para os objectos da Natureza

mais depressa nos apercebemos que à

maioria deles falta a suavidade num sentido

muito completo; é o efeito de escala já

referido anteriormente.


Os fractais estão por todo o lado.

No que respeita à estrutura, os fractais podem ser de dois tipos:

Conservar a estrutura que adquirem no seu desenvolvimento (árvores, folhas de certas plantas,...);

Sofrer alterações constantes (formas complexas de uma nuvem, bruxulear do fogo,...).

Folha de fetoPaisagem

1) Introdução1) IntroduçãoDe todos os fractais, o mais fácil de perceber talvez seja a Curva de Koch.

Sobre a curva de Koch...

Foi explorada pelo matemático sueco Helge Von Koch, em 1904;

É uma curva contínua de comprimento infinito; As suas propriedades não podiam ser descritas

pela matemática da altura.

Curvas como a de Koch eram chamadas “monstros”, “patológicas” e até mesmo “psicóticas”.

1) Introdução1) Introdução A construção da Curva de Koch, como muitas outras, baseia-se num processo recursivo:

1)1) Inicia-se a sua construção, a partir de um segmento de recta que se divide em três partes iguais;

2)2) Substitui-se o terço médio por dois segmentos iguais, de modo a que o terço médio e os dois novos segmentos formem um triângulo equilátero;

1) Introdução1) Introdução 3)3) Obteve-se uma linha poligonal com 4 segmentos de comprimento igual;

4)4) Repetindo o processo descrito de 1)-3) vai obter-se a seguinte figura:

Os processos de 1)-3) podem ser repetidos ad infinitum e obter-se-á uma figura do tipo da seguinte, sendo esta cada vez mais complexa.


No limite quando se tende para infinito, acaba por haver um “pico” em cada um

dos pontos da curva.

Não tem quaisquer regiões contínuas ou suaves.

Tornou-se Tornou-se um um fractalfractal.

2) Propriedades dos 2) Propriedades dos FractaisFractais

Um fractal, tal como nós já sabemos, é uma função contínua sem derivadas.

Estudemos três formas de construir uma função contínua sem derivadas:

• Analítica

• Geométrica

• Aritmética.

2.1) Construção de fractais2.1) Construção de fractais 2.1.1) As construções analíticas2.1.1) As construções analíticas

Karl Weierstrass, matemático alemão, descreveu uma curva que não era diferenciável: a distribuição de Weierstrass, que se escreve como:

+

W(x) = v–nHcos (vnx)

n=0

Outros exemplos são o desenvolvimento em série de Fourier de curvas do tipo das de Von Koch.

2.1.1) As construções 2.1.1) As construções analíticasanalíticas

Função de Função de WeierstrassWeierstrass

Contínua, sem

derivada em nenhum

ponto +

W(x) = v–nHcos (vnx)

n=0

2.1.2) As construções 2.1.2) As construções geométricasgeométricas

Um exemplo desta construção é a curva de Von Koch já apresentada.

A partir dessa curva, Von Koch criou uma outra figura conhecida por Floco de Neve Floco de Neve ouou Ilha de Von Ilha de Von KochKoch, onde o iniciador em vez de ser um segmento de recta é um triângulo equilátero.


Propriedades do floco de neve de Koch:Propriedades do floco de neve de Koch:

1. É um fractal ordenado, pois as suas regras de construção são precisas e extremamente repetidas;

2. Qualquer parte da curva parece exactamente a mesma independentemente da ampliação que se lhe dê.

3. Chamamos-lhe auto-semelhante.auto-semelhante.

Fractal auto-semelhanteFractal auto-semelhante

Sistema decimal


Tipos de auto-semelhança:Tipos de auto-semelhança:

Auto- Auto- semelhança de semelhança de tipo estatísticotipo estatístico

Casos de fractais onde pequenas cópias, parecendo-se com o todo, têm variações.

Referimo-nos a estes fractais , menos precisamente ordenados, como fractais aleatórios.

Estes são os fractais da natureza.

Broccoli RomanescoBroccoli Romanesco

Linha de costaLinha de costa


Auto - Auto - semelhança num semelhança num

pontoponto

Um exemplo deste tipo de auto-semelhança é a “Capa de um Livro”, onde os rectângulos estão colocados numa sequência onde claramente a auto-semelhança só é encontrada num ponto.

Esse ponto é o ponto Esse ponto é o ponto limite no qual o tamanho limite no qual o tamanho dos rectângulos tende para dos rectângulos tende para zero.zero.

Foto

““A Capa do LivroA Capa do Livro” é ” é

auto-semelhante neste ponto. auto-semelhante neste ponto.

2.1.2) As construções 2.1.2) As construções geométricasgeométricas Auto-afinidadeAuto-afinidade

Este gráfico não é auto-

semelhante.

É auto-afim porque os factores de redução não são os mesmos sobre os dois eixos.

Lembremo-nos que a geometria afim não distingue um círculo de uma elipse ou um quadrado de um rectângulo.

2.1.2) As construções 2.1.2) As construções geométricasgeométricas Auto-semelhança estritaAuto-semelhança estrita

A construção do Triângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski inicia-se num triângulo equilátero que se divide em quatro pequenos triângulos equiláteros e assim sucessivamente.

2.1.2) As construções 2.1.2) As construções geométricasgeométricas Este objecto é composto de cópias pequenas, mas exactas, de si próprio.

Tanto este triângulo como a curva de Koch têm uma Tanto este triângulo como a curva de Koch têm uma

auto-semelhança estrita.auto-semelhança estrita.

2.1.3) As construções aritméticas

2.2) Conjunto de Cantor2.2) Conjunto de Cantor

Tomemos como exemplo o Conjunto Conjunto de Cantor.de Cantor.

Este é um conjunto de pontos infinito no intervalo unitário [0,1].

O iniciador é uma linha recta. De seguida, divide-se em três e retira-se o terço médio. Repetindo este passo infinitamente nas partes restantes, obtemos as chamadas poeiras de Cantor.

2.2) Conjunto de Cantor2.2) Conjunto de Cantor

Poeira de Cantor a 3 dimensões

Facilmente se intui que apesar deste conjunto ser infinito, o seu comprimento total é zero.

2.2) Ilha de Koch2.2) Ilha de Koch

Por outro lado, temos a já conhecida Ilha de von Koch (ou floco de neve), onde:

• O perímetro é infinito;

• A área é finita;

2.2) Ilha de Koch2.2) Ilha de Koch

Por cada transformação que se faz, cada lado dá origem a 4 lados, cada um com 1/3 do comprimento do inicial, donde a nova linha será 4/3 vezes mais comprida do que a original.

Assim, o perímetro na iteração n é dado por:

Pn = 3 ( 4/3) Pn = 3 ( 4/3) ou ou Pn+1 = 4/3 PnPn+1 = 4/3 Pn

1 1

3-

2.2) Ilha de Koch2.2) Ilha de KochComo Pn é uma progressão geométrica de razão

>1, provámos que o perímetro é infinito.

No entanto, a área limítrofe é finita, pois a ilha de koch permanece no interior do círculo no qual está inscrito o triângulo de partida.

A área total é 1,6 vezes a área do 1º triângulo.

Mais Monstros...Mais Monstros...

Damos agora a conhecer, muito superficialmente, alguns dos monstros criados pela mente tortuosa

dos matemáticos...

Devil´s StaircaseDevil´s Staircase

Space filling curves - Space filling curves - Curva de Hilbert Curva de Hilbert

Space filling curves - Space filling curves - Curva de PeanoCurva de Peano

Triângulo de Sierpinski - Triângulo de Sierpinski - 3D 3D

Triângulo de Sierpinski – Triângulo de Sierpinski – outra visãooutra visão

Esponja de MengerEsponja de Menger

Árvores de PitágorasÁrvores de Pitágoras

Artigo Mandel

Conjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot


Vale dos Cavalos Marinhos



Conjuntos de MandelbrotConjuntos de Mandelbrot

Conjuntos de JuliaConjuntos de Julia



Dendrite


4) Dimensão Fractal4) Dimensão Fractal

A noção de dimensão que temos é a de dimensão topológica: D=0 para um ponto, D=1 para uma curva, D=2 para uma superfície, etc.

Mas...

A dimensão fractal de um objecto mede o A dimensão fractal de um objecto mede o seuseu grau de irregularidadegrau de irregularidade.

4.1) Dimensão de Hausdorff - 4.1) Dimensão de Hausdorff - BesicovichBesicovich

Graças à teoria dos fractais, Hausdorff e Besicovich inventaram, em 1919, um novo conceito de dimensão: uma dimensão não inteira, chamada de

A dimensão de H–B é muitas vezes chamada de dimensão fractal e

representada por fracções, números irracionais ou soluções de equações

complicadas.

(Chaos and Fractals)

dimensão de Hausdorff - Besicovichdimensão de Hausdorff - Besicovich

4.1) Dimensão de Hausdorff - 4.1) Dimensão de Hausdorff - BesicovichBesicovich

Definição:Definição:

Seja E uma parte limitada dum espaço métrico, {Bj} uma sua cobertura por bolas bolas BjBj de diâmetro de diâmetro djdj

( ou quadrados, cubos, ..., consoante a dimensão do espaço).

Seja

HHa, a, (E) será o valor correspondente à cobertura (E) será o valor correspondente à cobertura de volume minimal.de volume minimal.

onde dj , > 0, um expoente positivo.

HH,, (E) = inf (E) = inf ( (dj dj )) jj

4.1) Dimensão de H-B4.1) Dimensão de H-B

Seja HSeja H (E) = lim H (E) = lim H ,, (E)(E)

HH (E) tanto pode tender para zero como (E) tanto pode tender para zero como para infinito .para infinito .

O valor de O valor de que separa estes dois que separa estes dois casos ( e onde Hcasos ( e onde H (E) poderá ser finito) (E) poderá ser finito) é a dimensão de Hausdorff, D é a dimensão de Hausdorff, D

(les géom fractales)(les géom fractales)

HH

4.1) Dimensão de H-B4.1) Dimensão de H-BPor outras palavras, Para todo o E existe um valor crítico 00 tal que::

• < < 00 HH (E) (E) = =

• > > 00 HH (E) = 0(E) = 0

Definimos, assim, o menor tal que H

(E) é nulo ou o maior tal que H (E) é infinito.

4.1) Dimensão de H-B4.1) Dimensão de H-BTemos então:

MedidaMedida HH (E) (E) = = HH (E) (E) = = HH (E) (E) = = DimensãoDimensão < < 00 = = 00 > > 0 0

A dimensão de Hausdorff de E é 00..

• 0 = 1 (igual à dimensão topológica ) para as linhas regulares;

• 0 > 1 para as curvas de von Koch;

• 0 < 1 para os Conjuntos de Cantor;

• 0 = 2 para as Curvas de Peano;

4.2) Dimensão de Minkowski-4.2) Dimensão de Minkowski-BouligandBouligand

Esta dimensão surge por majoração da dimensão de Hausdorff, isto é, tomando-se bolas de diâmetro fixo.

Seja N(E) o nº mínimo de bolas, todas com o mesmo diâmetro, que cobrem completamente o conjunto E.

Resulta da definição uma majoração de H,

(E):

H , (E) ( ) . N (E)


Para todo o , H = , e temos:

H (E) lim ( ) .N (E) =

lim ln () + ln N (E) =

Dimensão de Dimensão de Minkowski - Minkowski - BouligandBouligand

D M-B = lim ln N (E)

ln (1/)


Temos que: Dim MB (E)

No limite, com a tender para zero,

Dim H (E) Dim MB (E)

Qualquer destas duas medidas é chamada de dimensão fractal.

No entanto, na prática, DH é impossível de calcular e DMB é muito difícil.

Métodos alternativos

Assim, foi necessário arranjar métodos alternativos que aproximassem estas duas

medidas.

Apresentamos 3 medidas alternativas:

• Dimensão de auto-semelhança

• Dimensão de compasso

• Dimensão box-counting

4.3) Dimensão de auto-4.3) Dimensão de auto-semelhançasemelhança

Dada uma estrutura auto-semelhante, existe uma relação entre o factor redução s e o número de peças a em que a estrutura pode ser dividida

Tem-se que:

a = 1/sD

Que é equivalente a:

D é chamada

dimensão de auto-dimensão de auto-semelhança.semelhança.

D= log a/log (1/s)

4.3) Dimensão de auto-4.3) Dimensão de auto-semelhançasemelhança

Vejamos a aplicação da dimensão de auto-semelhança a alguns fractais:

FractaisFractaisEscala de Escala de

reduçãoredução:: ssPeçasPeças

aaDimensãoDimensão

Conjunto Conjunto dede

CantorCantor

1

3K2K

Log 2/log 3 0,6309

Triângulo Triângulo de de SierpinskiSierpinski

1

2K3K

Log 3/log 2 1,5850

Carpete Carpete de de SierpinskiSierpinski

1

3K 8K

Log 8/log 3 1,8928

4.4) Dimensão de 4.4) Dimensão de CompassoCompasso

Através da equação matemática de uma espiral ou de um círculo é possível determinar o seu comprimento real, bastando para tal transformar as equações com coordenadas polares.

No entanto,

Quando se trata de medir coisas como fronteiras de países, não existe nenhuma equação matemática

para tal.

Por isso usamos mapas, pois sabendo a escala do mapa usamos compassos ou bitolas e fazemos a conversão. O resultado varia com a escala usada.


Tomemos o clássico exemplo do caso da determinação do comprimento da costa da Grã-

Bretanha:

Medida do Compasso Comprimento

500 Km 2600 Km

100 Km 3800 Km

54 Km 5770 Km

17 Km 8640 Km

À medida que o compasso diminui o comprimento À medida que o compasso diminui o comprimento aumenta.aumenta.


Concluímos que quanto maior é o grau de precisão, maior é o comprimento determinado;

Assim,

esta fronteira tem um comprimento infinito.esta fronteira tem um comprimento infinito.

A partir da equação definida pela razão entre o compasso e o comprimento calculamos o comprimento previsível da costa.


A fórmula é:u = c / sd

Onde:

u é o comprimento;

s é a medida do compasso;

d é o declive da recta que melhor se ajusta aos pontos do diagrama log/log.

Log do comprimento

log do factor de redução


Para a costa da Grã-Bretanha temos declive0,36

Chegámos assim à dimensão de compasso, que pode ser utilizada para curvas não auto-semelhantes e que é determinada por:

Dc = 1+d

Assim sendo, a dimensão fractal da costa da Bretanha é aproximadamente 1,36.

4.5) Dimensão de Box-4.5) Dimensão de Box-CountingCounting

Nesta dimensão propõe-se uma medição sistemática.

Para chegar a esta dimensão...

Começamos por colocar uma grelha regular, com n divisões de lado s;

Contamos os quadrados que contêm alguma parte da estrutura;

Isto dá-nos um nº de quadrados que contêm alguma parte do conjunto, digamos N, que depende da nossa escolha para s.

4.5) Dimensão de Box-4.5) Dimensão de Box-CountingCounting

Ao declive da recta que melhor se ajusta aos pontos do diagrama chama-se DDB B – Dimensão – Dimensão Box-Counting.Box-Counting.

Dividindo progressivamente os valores de s e contando os correspondentes N(s), conseguimos construir um diagrama log/log.

( mais precisamente um diagrama log N(s)/log diagrama log N(s)/log (1/s)(1/s) )

4.6) Fractais dinâmicos 4.6) Fractais dinâmicos

Consideremos agora um fractal como sendo descrito ao longo do tempo, isto é, como uma órbitaórbita ou trajectória.trajectória.

1. Como a DMB é uma medida geométrica, não tem em conta a frequência com que a órbita passa pela mesma esfera/cubo de raio r.

2. O processo de contagem do número de cubos de uma cobertura do espaço-fase é muito demorado em termos computacionais.

4.6) Dimensão 4.6) Dimensão PointwisePointwise

Consideremos uma trajectória no espaço–fase como na imagem seguinte:

•

z

x

y

• •

• •

• •

• •

4.6) Dimensão Pointwise4.6) Dimensão Pointwise

1) Seleccionamos um grande nº de pontos pertencentes à órbita;

2) Colocamos um cubo de comprimento c num qualquer ponto da órbita;

3) Contamos o nº de pontos dentro do cubo – N(c).

A probabilidade de achar um ponto neste cubo é A probabilidade de achar um ponto neste cubo é dada por:dada por:

P(c) = N(c)/NP(c) = N(c)/Ntt,

onde Nt é o nº total de pontos na órbita

4.6) Dimensão 4.6) Dimensão PointwisePointwise

Assim, temos a

Definição de dimensão de uma órbita no ponto xDefinição de dimensão de uma órbita no ponto xi i

Seja xi um vector no espaço-fase.

Medindo a percentagem relativa de tempo que a órbita passa dentro do cubo , isto é,

Dp = lim log P(c, xi)

log cc

obtém – se a dimensão pointwise.

4.7) Dimensão de 4.7) Dimensão de CorrelaçãoCorrelação

É semelhante à anterior.

Foi usada com sucesso por muitos experimentalistas ( Malraison et al.,1983; Swiney, 1985; Moon & Li, 1985;...)

Assim,

1. Reduzimos a órbita a um conjunto de N pontos {xi};

2. Calculamos as distâncias entre os pares de pontos, dij = |xi – xj|, usando a distância Euclideana ou equivalente.

4.7) Dimensão de 4.7) Dimensão de CorrelaçãoCorrelação

3. É definida uma função de correlação:

C(c) = lim 1

N2 N x

(nº de pares (i,j) com distância dij < c)

Em muitos casos, esta função tende para acd , quando c tende para 0, donde se pode definir a dimensão de correlação como:

DG = lim log C(c)

log cc 0

4.8) Dimensão de 4.8) Dimensão de InformaçãoInformação

Similar a DMB, mas tenta ter em conta a frequência com que a trajectória passa por cada ponto da cobertura.

1. Cobrimos o conjunto de pontos pretendido por um conjunto de N cubos de tamanho c;

2. Contamos o nº de pontos Ni em cada uma das N células;

3. Determinamos a probabilidade de achar um ponto nessa célula, Pi, onde Pi = Ni/Nt, Pi = 1

Seja I( ) = - Pi . log Pi


Para pequeno, podemos definir:

DI = lim I() = lim Pi. logPi 0 log(1/) 0 log

Esta é uma medida de imprevisibilidade de um sistema.


Para finalizar, podemos dizer que:

• DMB não tem em conta a distribuição de pontos entre as células cobertas;

• DI mede a probabilidade de encontrar um ponto numa célula;

• DG mede a probabilidade de encontrar 2 pontos numa mesma célula.

(Grassberger & Procccio, 1984)

Os fractais na Geologia - Os fractais na Geologia - AmonitesAmonites

Os fractais na BiologiaOs fractais na Biologia

Em organismos vivos foi encontrada uma infinidade de formas, emergentes no processo de crescimento biológico.

Como surgiram?

Este é um dos problemas fundamentais na Biologia.


D’Arcy Thompsons (1942) considera a forma de um organismo como um acontecimento no espaço-tempo e não apenas uma mera configuração no espaço.

Esta visão é a base de muitos modelos matemáticos desenvolvidos com o objectivo de conhecer a morfogénese dos objectos biológicos.


As propriedades fractais são visíveis em muitos objectos biológicos:

• vegetação

• recifes de coral

• na fisiologia humana

• etc;

Recife de coralRecife de coral


Um modelo matemático bem conhecido pela formação de padrões biológicos é o L-System, L-System, de Lindenmayer, que explicaremos mais adiante.

Aplicação recenteAplicação recente: Gráficos de computador para a síntese de objectos biológicos.

Modelação na Biologia


Outro desenvolvimento importante na teoria fractal foi a modelação de padrões de

crescimento com os modelos Laplacianosmodelos Laplacianos.

Estes iniciaram-se na física com o modelo de agregação de difusão limitada – DLA e são

usados para descrever fenómenos de crescimento fractal.


Apesar dos muitos estudos, o problema do surgimento das formas no processo de crescimento biológico continua em aberto.

Novos desenvolvimentos na matemática, física e ciência da computação oferecem a possibilidade aos biólogos de levar a cabo simulações experimentais nas quais o processo de crescimento, interacção entre células ou elementos do esqueleto, podem ser imitados em objectos virtuais de computador.


Apesar de tudo, ainda é difícil imaginar que será possível, algum dia, executar uma simulação

experimental completa a nível molecular.

O desenvolvimento de um modelo de simulação O desenvolvimento de um modelo de simulação deve:deve:

• Ser apoiado por trabalho experimental;

• Relacionar o modelo com observações de objectos reais;

• Ser interdisciplinar – Matemática, Biologia, Ciências da Computação, Trabalho

experimental, ...

Arbustos fractaisArbustos fractais

Os L-SystemsOs L-Systems

O biólogo Aristid Lindermayer, em 1980, formalizou a descrição do crescimento das plantas dando-lhe o nome de L-Systems.

Um L-system pode ser descrito como:

P:VV*

aP(a)

Onde V* é o conjunto de todas as “strings” formadas por símbolos e o axioma (0) V* e onde (0) é uma

“string” inicial.

Para todos os símbolos do alfabeto a V, há uma e uma só regra de produção P(a).


Começando com o axioma (0) , o L-System gera uma sequência de “strings” (0),(1),..., onde a

“string” (i+1) é obtida da “string” precedente (i), aplicando a regra de produção a todos os

símbolos 1(i),...,m

(i) das “strings” simultaneamente tendo assim:

(i+1)=P(1(i))P(2

(i))P(3(i))...P(m

(i))


Um L-System é um iterador. É como uma máquina de feedback que opera segundo “strings”. As regras de

produção determinam como a “string” incial é transferida até sair a “string” final.

Como funciona um L-System?

Axioma“string”inicial

Regra de ProduçãoInput Output


Para desenvolver um L-System para uma espécie biológica particular podemos proceder de acordo com os

seguintes passos:

Analisar o objecto na natureza (observação) e ou no laboratório;

Preparar as regras de uma forma formal;

Formular as regras e o estado inicial de um L-System; Criar uma simulação por computador, dado que o L-System irá gerar uma grande “string” de símbolos;


Comparar a imagem (ou várias figuras de diferentes estádios de desenvolvimento) com o comportamento do objecto real.

Traduzir para um gráfico final o resultado de simulação;


A interpretação gráfica dos L-Systems foi baseada no estudo de Seymour Papert – turtle graphics.

Este estudo consiste em estabelecer regras fixas para cada símbolo.

Imaginemos uma tartaruga que foi treinada para entender vários comandos, que lhe são impostos por controlo remoto e lhe são dados em forma de símbolos.


Considere-se o seguinte conjunto de instruções para a tartaruga:

F move-se para diante segundo um comprimento l fixado e desenha uma linha desde a posição onde estava até à nova posição;

f move-se para diante como F mas não desenha a linha;

+ vira à esquerda segundo um ângulo fixado;

- vira à direita segundo um ângulo fixado.


A figura que se segue mostra uma pequena “string” de símbolos e a correspondente interpretação gráfica.


Algumas aplicações dos L-Systems e dos turtle graphics na construção de fractais

Curva de Von Koch

Na sua construção clássica o que fazemos é substituir repetidamente um segmento de recta por uma sequência de linhas.

Essa sequência pode ser descrita como:

•Primeiro temos F;

•Seguidamente temos F+F--F+F


Podemos assim descrever a construção da curva de Von Koch através do seguinte L-System:

L-System: Curva de Von Koch

Axioma: F

Regras de Produção:F F+F--F+F

+ +

- -

Parâmetros: = 60 graus

F F+F--F+F

Os L-SystemsOs L-Systems Elaborando o L-System obtemos assim as duas primeiras gerações:

1ª geração: F+F--F+F

2ª geração: F+F--F+F+F+F--F+F--F+F+F+F--F+F

Conjunto de Cantor

A regra vai ser F FfF, isto é, após termos desenhado um segmento de recta, dividimo-lo em três partes iguais e tiramos a do meio.

Os L-SystemsOs L-SystemsA representação gráfica deste L-System é a sequinte:

É visível que a regra não está completa.

Assim, tem que se acrescentar o seguinte à regra de produção:

f fff


Este complemento vai fazer com que a distância central entre os segmentos se mantenha embora estes se continuem a dividir e a distância entre os segmentos tenha um terço do tamanho da distância da geração anterior.

Obtemos assim assim a seguinte representação gráfica:

Os L-SystemsOs L-SystemsCrescimento de Plantas

Podemos aplicar os L-Systems ao crescimento das plantas.

Para ser feita esta representação foi necessário acrescentar mais um símbolo – o parêntesis [ - que indica o início de um ponto de ramificação e o parêntesis ] – que indica o fim desse ponto.


Estudemos o seguinte exemplo:

L-System de uma erva (weedlike plant)

Temos uma estrutura com três segmentos e duas ramificações. Cada segmento e ramo é igual, ou seja, em cada ramo existem também três pequenos segmentos e duas pequenas ramificações.

Os L-SystemsOs L-SystemsEsta erva pode ser representada pelo seguinte L-System:

L-System:Weedlike plant

Axioma:F

Regras de Produção: F F[+F]F[-F]F

Parâmetro: = 25.7 graus

Daqui temos como duas primeiras gerações:

1ª geração: F[+F]F[-F]F

2ª geração:

F[+F]F[-F]F[+F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F[-F[+F]F[-F]F]F[+F]F[-F]F


Vamos obter assim uma erva com o seguinte aspecto gráfico:

Os fractais na fisiologiaOs fractais na fisiologia


Os sistemas

* respiratório

* circulatório

* nervoso

são exemplos notáveis de arquitectura fractal, ramificações que se dividem e subdividem vezes e vezes sem conta.

Alguns dos exemplos mais marcantes de formas fractais estão na fisiologia:


Apesar de ainda nenhum mecanismo genético, enzímico ou biofísico se ter mostrado responsável

por esta estrutura fractal, poucos são os que duvidam.

Uma análise cuidada aos pulmõespulmões revela uma escala fractal, auto-semelhante, onde os

brônquios e os bronquíolos formam um padrão de ramificações semelhantes ao de uma árvore.

Já foi notado que esta estrutura torna os pulmões mais resistentes durante o seu crescimento.


Os pulmões como um caso de auto–semelhança na Natureza


O O coraçãocoração está cheio de redes fractais: as artérias coronárias e as veias, as fibras de ligação

das válvulas à parede do coração, os músculos cardíacos, etc.

A estrututa fractal dos pulmõespulmões disponibiliza uma área de absorção muito maior, além da área de transferência entre os brônquios ,

revestimento intestinal ou condutas de bílis.


Os rins também ostentam

uma estrutura fractal.


Kalda propôs um modelo fractal do sistema cardiovascular que consegue distribuir uma

reserva de oxigénio homogénea por todo o corpo.

Também a redundância de estruturas fractais as torna robustas contra possíveis agressões.

Por exemplo,

O coração pode continuar a funcionar mesmo depois de parte do seu sistema ter sofrido um

estrago considerável.

Sistema CardiovascularSistema Cardiovascular


Do seu trabalho sobre a capacidade de “tambores fractais” amortecerem vibrações, Bernard Sapoval deduziu outra vantagem do carácter fractal do sistema circulatório:

““A estrutura fractal do sistema circulatório A estrutura fractal do sistema circulatório humano amortece as batidas do nosso coração. humano amortece as batidas do nosso coração.

““O coração é uma bomba muito violenta... se O coração é uma bomba muito violenta... se existisse qualquer ressonância na circulação existisse qualquer ressonância na circulação

sanguínea, morreríamos.” sanguínea, morreríamos.”


Finalmente,

notamos que o corpo exibe fractais fractais dinâmicosdinâmicos.

Os fractais podem salvar a nossa vida a Os fractais podem salvar a nossa vida a qualquer minuto.qualquer minuto.

Por exemplo,

É bem sabido que batidas cardíacas saudáveis são caóticas e não regulares.

(Goldberger, Rigney and West)

Um estudo cuidado das taxas cardíacas em diversas escalas de tempo revela auto-semelhança.

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