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FRVV – máximos e mínimos livres 22, xyyxz
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AM2
Máximos e mínimos de FRVV
nDf :Seja
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Máximos e mínimos de FRVR
Seja
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Máximos e mínimos de FRVR
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Máximos e mínimos de FRVV
Seja
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Exemplo
Máximos e mínimos de FRVV
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Máximos e mínimos de FRVV
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Máximos e mínimos de FRVV
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Máximos e mínimos de FRVV – como identificar extremantes interiores
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Máximos e mínimos de FRVV – como classificar extremantes interiores
matriz pode ser diagonalizada
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Relação entre valores próprios da matriz Hessiana e natureza do ponto crítico
Sendo a matriz Hessiana uma matriz real e simétrica é possível diagonalizar a matriz
Seja 2:f é matriz 2X2
após diagonalização:
2
10 0
0
XfH
Neste caso, o polinómio de Taylor de grau 2 é dado por
0002 XXXfXfXP 00021 XXXXX f
T H
0XfH
ponto crítico: 00 Xf
2022
01002 21
21,, yyxxyxfyxP
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Relação entre valores próprios da matriz Hessiana e natureza do ponto crítico
2022
01002 21
21,, yyxxyxfyxP
• Se os valores próprios tiverem o mesmo sinal P2 é paraboloide
• Se os valores próprios tiverem sinal contrário P2 é paraboloide hiperbólico (“sela”)
é ponto de mínimo local
é ponto de máximo local
é ponto de sela
não se pode concluir nada por este método, sendo necessário
analisar o comportamento da função na vizinhança de
00 , yx 00 , yx
00 , yx
00 , yx
se 0, 21
se 0, 21
• Se algum dos valores próprios for nulo
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Máximos e mínimos de FRVV – como classificar extremantes interiores
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Classificação dos pontos críticos
nM 21det
Sabe-se que
nMtr 21
(produto dos valores próprios)
(soma dos valores próprios)
(soma dos elementos da diagonal principal)
Exemplo
Sem determinar os valores próprios, veja se é possível determinar o sinal dos valores próprios de M a
partir de det(M) e tr(M) nos seguintes casos
b)a) c)
110541011
M
510023001
M
103021310
M
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Classificação dos pontos críticos para n=2
Se 2n
0,0
2
22
2
2
2
0
yx
f
yf
yxf
xyf
xf
X
H
2
0,0
2
0,02
2
0,02
2
0
yxxyfyx
yfyx
xfXfHdet
iguais porque 2Cf
0,02
2
0,02
2
0 yxy
fyxx
fXr f
Ht
21
21
Se 00 , yx
00 XfHdet
00 Xr fHt
for ponto de mínimo local:
0, 21 2
0,0
2
0,02
2
0,02
2
yx
xyfyx
yfyx
xf
00,02
2
0,02
2
yx
yfyx
xf mesmo sinal
00,02
2
0,02
2
yx
yfyx
xf 00,02
2
yx
xf
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Classificação dos pontos críticos para n=2
Se 2n
0,0
2
22
2
2
2
0
yx
f
yf
yxf
xyf
xf
X
H
2
0,0
2
0,02
2
0,02
2
0
yxxyfyx
yfyx
xfXfHdet
0,02
2
0,02
2
0 yxy
fyxx
fXr f
Ht
21
21
Se 00 , yx
00 XfHdet
00 Xr fHt
for ponto de máximo local:
0, 21 2
0,0
2
0,02
2
0,02
2
yx
xyfyx
yfyx
xf
00,02
2
0,02
2
yx
yfyx
xf mesmo sinal
00,02
2
0,02
2
yx
yfyx
xf 00,02
2
yx
xf
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Classificação dos pontos críticos para n=2
Se 2n
0,0
2
22
2
2
2
0
yx
f
yf
yxf
xyf
xf
X
H
2
0,0
2
0,02
2
0,02
2
0
yxxyfyx
yfyx
xfXfHdet
0,02
2
0,02
2
0 yxy
fyxx
fXr f
Ht
21
21
Se 00 , yx
00 XfHdet
for ponto de sela:
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Máximos e mínimos de FRVV – como classificar extremantes interiores, n=2
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Máximos e mínimos de FRVV – como classificar extremantes interiores, n=2
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Exemplo
Máximos e mínimos de FRVV
Determine e classifique os extremantes de 2323 2, xyyyxxyxf
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