12
Faculdade de Engenharia FRVV – diferenciabilidade 2 2 , x y y x z

FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

FRVV – diferenciabilidade 22, xyyxz

Page 2: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

FRVV – Diferenciabilidade e derivada total

a matriz jacobiana tem os mesmos elementos que o gradiente

nx

xX

1

nxxXfXXDf ,,100

ou, se f diferenciável:

matriz jacobiana de f em X0

DERIVADA TOTAL de f em X0

Page 3: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais

IMPORTANTE:

f diferenciável em 0X fexistem derivadas parciais de em 0X

f não é diferenciável em 0Xfnão existem derivadas parciais de em 0X

f diferenciável em 0Xfexistem derivadas parciais de em 0X

f não é diferenciável em 0X fnão existem derivadas parciais de em 0X

Page 4: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais

Exemplo

Seja

00 se ,000 se ,2

,yxyx

yxf

a) Calcule as derivadas parciais em (0,0)

b) Mostre que esta função não é diferenciável em (0,0)

Page 5: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais contínuas

IMPORTANTE:

fderivadas parciais de em 0X f não é diferenciável em 0Xexistem mas não são contínuas

Page 6: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e existência de derivadas parciais contínuas

Exemplo

Seja

0 se ,

0 se ,1sin,2

xy

xyx

xyxf

a) esta função é diferenciável em R2

b) a derivada parcial em ordem a x não é contínua nos pontos (0,y)

Mostre que

Page 7: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e continuidade

IMPORTANTE:

Page 8: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e continuidade

Exemplo

Mostre que a função

0,0, se ,0

0,0, se ,, 22

yx

yxyx

xyyxf

não diferenciável em (0,0). E em ? 0,0, yx

Page 9: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade, continuidade e derivadas parciais

IMPORTANTE:

Page 10: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e derivadas direcionais

O conceito de diferenciabilidade está associado com a possibilidade de definir um plano tangente ao gráfico de uma função num dado ponto.

NOTA FINAL:

É um conceito “mais forte” do que o de derivada direcional:

É possível existirem todas as derivadas direcionais de uma função num dado ponto, e essa função não ser diferenciável ou contínua nesse ponto.

Page 11: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade e derivadas direcionais

Exemplo

Considere a função

0,0, se ,0

0,0, se ,, 24

2

yx

yxyxyx

yxf

Mostre que

b) esta função não é contínua (logo não é diferenciável) em (0,0).

a) existem todas as derivadas direcionais em (0,0);

Page 12: FRVV – diferenciabilidademines/AM2/Teoricas/FRVV_parte4.pdf · Faculdade de Engenharia AM2 Diferenciabilidade e derivadas direcionais O conceito de diferenciabilidade está associado

Faculdade de Engenharia

AM2

Diferenciabilidade

7 – b)8 – a)