Física 3 (EMB5043): Campo magnético

Física 3 (EMB5043): Campo magnéticoMATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre DuarteUniversidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

Sumário• Campo magnético

• Produzido por corrente• Lei de Biot-Savart

• Lei de Biot-Savart• Campo magnético produzido por fio infinito• Campo magnético produzido por fio curvilíneo• Campo magnético de uma bobina

• Força entre fios com correntes• Canhão eletromagnético

• Lei de Ampère• Fio longo percorrido por corrente• Solenóide• Toróide

• Resolução de problemas da Lista 9

Material para estudos

• Capítulo 29 do Halliday volume 3 e capítulo 8 do Moysés volume 3.

• Estudar os problemas da Lista 9 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

Campo magnéticoPRODUZIDO POR CORRENTE

Oersted descobre que fios com corrente

produzem campo magnético, em 1819.

Apresenta o resultado em 1820 numa reunião

da Academia de Ciências da França.

Hans Christian Oersted André-Marie Ampère

Ampère assiste a apresentação e inicia uma

série de experimentos sobre o tema. Uma

semana depois, descobre a atração magnética

entre fios com correntes no mesmo sentido.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Han

s_Christian_%C3%98rsted

https://pt.wikipedia.org/wiki/And

r%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re

Campo magnéticoLEI DE BIOT-SAVART

Para calcular o campo magnético produzido por fio com corrente, usa-se a lei de Biot-Savart:

0

2

ˆ

4

ids rdB

r

µ

π

×=

��

em que ids é um vetor obtido a partir de uma reta tangente ao

Jean-Baptiste

BiotFélix Savart

https://brasilescola.uol.com.br

/fisica/a-lei-biotsavart.htm

em que ids é um vetor obtido a partir de uma reta tangente ao

elemento ds e com o mesmo sentido da corrente i. O vetor r é

definido do elemento ds até o ponto onde deseja-se calcular o

campo magnético. O vetor ids e o vetor r formam um ângulo

θ entre si. Note que estes vetores são coplanares; logo, o

campo magnético é perpendicular ao plano.

A constante μ0 é chamada de permeabilidade magnética e indica o quão magnetizável é um dado

meio:7 1

0 4 10 T m Aµ π − −= × ⋅ ⋅

Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO INFINITO

0

2

ˆ

4

ids rdB

r

µ

π

×=

��

Para calcular o campo em P, usamos a lei de Biot-Savart:

em que e :2 2

r s R= +

( ) ( )0 0

2 2 2 2

ˆ sin sin

4 4

ids r idsdB

s R s R

θµ µ θ

π π= =

+ +

ˆ 1r =

O termo sin θ é dado pela relação de arco duplo:

( ) ( )4 4s R s Rπ π+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o osin 180 sin 180 cos sin cos 180 sinθ θ θ θ− = − =

2 2sin

R R

r s Rθ= =

+( )

0

32 2 24

iRdsdB

s R

µ

π=

+(1)Logo:

que pode ser, então, representado por:

Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO INFINITO

O campo magnético total em P é obtido a partir da integração da equação (1):

A integração desta equação é similar aos procedimentos estudados em aulas anteriores:

( )0

32 2 24

iR dsB

s R

µ

π

+∞

−∞

=+

∫

+∞

Os limites caracterizam um fio infinito

( )( )0 0 0

12 2 2

0

1 02 2 2

i i isB

R R Rs R

µ µ µ

π π π

+∞

= = − =+

0

2

iB

R

µ

π=

Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR FIO CURVILÍNEO

O campo magnético em C é dado por:

em que e r = R:

0

2

ˆ

4

ids rdB

r

µ

π

×=

��

ˆds r⊥�

idsµ0

24

idsdB

R

µ

π=

O elemento ds representa o comprimento do arco de circunferência e, desta forma, podemos

escrever0 0 0

2 24 4 4

i i idB ds Rd d

R R R

µ µ µφ φ

π π π= = =

0

4

iB

R

µφ

π=

Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA 2

O campo magnético é dado por:

em que e ds = dx; logo:

0

2

ˆ

4

ids rdB

r

µ

π

×=

��

ids

r

θ

• B

2 2r R x= +

sinidxµ θids

x ( )0

2 2

sin

4

idxdB

R x

µ θ

π=

+

O termo sin θ é dado por :

O campo magnético no ponto P2 será:

2 2sin

R

R xθ=

+ ( ) ( )0 0

3/2 3/22 2 2 24 4

iRiRdx dxdB

R x R x

µ µ

π π= =

+ +

( ) ( )0 0

3/2 1/22 2 2 2

04 4

LiR idx L

BRR x R L

µ µ

π π= =

+ +∫


Substituindo os valores, obtemos:

Podemos fazer o cálculo similar para determinar o campo magnético no ponto P1:

( )( )( )

( )( )

( ) ( )

7

0

1/2 1/22 2 2 2

4 10 0,693 0,136132 nT

4 4 0, 251 0,251 0,136

i LB

R R L

πµ

π π

−×= = =

+ +

( ) ( )

2 2

0 0

3/2 3/22 2 2 2

02

4 2

L L

L

iR iRdx dxB

R x R x

µ µ

π π

+ +

−

= =+ +

∫ ∫

( ) ( ) ( )

2

0 0 0

1/2 1/2 1/22 2 2 2 22

0

2 144 nT2 2 2 4

4

L

Li i ix L

BR R RR x L R LR

µ µ µ

π π π

+

= = = =+ ++

Função par

Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10

O campo magnético é dado por:

e o módulo do campo magnético total

produzido por uma bobina é:rr

×•

×•

r

dB dB

dBT

r

Vista frontal

0

2

ˆ

4

N ids rdB

r

µ

π

×=

��

θ

θa/2

idsids

×•

ids ids 2 cosTdB dB θ=

O campo magnético produzido pelas duas bobinas é o dobro do

campo produzido por uma. Assim:

o

0 0

2 3

ˆ sin 90cos

2 2T

ids rN N iadsdB

r r

µ µθ

π π

= =

a

em que cos θ = a/r e ( ) ( )1

22 22 2 5

2 2 4a ar a a a

= + = + =

Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10

O elemento ds é integrado ao longo do perímetro da bobina:

3

32

0 0 0

3 232

3

4

2 2 5 25

4

T

r

N N Niads iads idsdB

r aa

µ µ µ

π π π

= = = ��3r

3 32 2

0 0

2

0

4 4

5 2 5 2

a

T

Ni NiB ds

a a

πµ µ

π

= = ∫

3 32 2

0 04 4ˆ ˆ2 2

5 2 5O T

Ni NiB B z z

a a

µ µ = = =

� �

Considerando as duas bobinas, obtemos o campo magnético produzido no ponto O:

Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10 – ANÁLISE

×•

r

dB dB

dBT

r

Vista frontal

Considerando que o ponto está numa posição y qualquer ao longo

do eixo y temos:

o

0 0

2 3

ˆ sin 90cos

2 2T

ids rN NiadsdB

r r

µ µθ

π π

= = θ

θz

em que cos θ = a/r e . Logo:2 2r a z= +

×•

iL iL

θz

a

( )0 0

332 2 22 2

T

Niads NiadsdB

r a z

µ µ

π π= =

+Similarmente ao caso anterior, obtemos (para uma bobina):

( )( )

2

0

32 2 22

z

NiaB z

a z

µ=

+

Resolução de problemasLISTA 9, PROBLEMA10 – ANÁLISE

Para simular as figuras ao lado, foram

consideradas as seguintes condições:

μ0Ni/2 = 1 T·m

a = 1,0 m

(T)

( )( )

2

0

32 2 22

z

NiaB z

a z

µ=

+

a = 1,0 m

Região de análise: −4,0 m ≤ z ≤ 4,0 m

Distâncias de separação: 1,0 e 1,5 m

Lei de Biot-SavartCAMPO MAGNÉTICO DE UMA BOBINA ˆdB ids r∝ ×

� �

×r

ids

dB

×

r

ids

π/2

dB

×r

idsdB

π

×

r

ids3π/2

dB

dB

dB

dB

dB

ids

Força entre fios paralelosConsiderando que a distância de separação é muito

menor que o comprimento dos fios, podemos

assumir que o campo magnético que o fio a produz

sobre o fio b é dado por:

0

2

aa

iB

d

µ

π=

Pela regra da mão direita, podemos concluir que B está para baixo na região onde encontra-se

z

xy

Pela regra da mão direita, podemos concluir que Ba está para baixo na região onde encontra-se

o fio b. Como o fio b possui corrente ib e está numa região com campo magnético Ba, sofrerá a

atuação de uma força magnética Fba:

Similarmente, o fio a sofre a atuação da mesma força:

0 0

2 2

a a bba b a b

i i i LF i LB i L

d d

µ µ

π π= = =

0 0

2 2

b a bab a b a

i i i LF i LB i L

d d

µ µ

π π= = =

Observação:

- Correntes no mesmo sentido: atração

- Correntes no sentido oposto: repulsão

i j

k +−

Força entre fios paralelosCANHÃO ELETROMAGNÉTICO


× B

F1

As forças F2 e F4 são iguais; porém F1 é maior que F3:

em que o campo magnético produzido pelo fio superior é

dado por:

( ) ( )1 3 2 2rF F F i LB a i LB a b= − = − +i2

( ) 0 1iB yµ

π=

F2

F3

F4

com y representando a distância a partir do eixo. Logo:

( )2

B yyπ

=

( )0 1 0 1

2 22 2

r

i iF i L i L

a a b

µ µ

π π

= − +

( )( )( )( )( )( )( )

00 1 2 0 1 230 20 0,08 0,31 1

3,2 mN2 2 2 0,01 0,09

r

i i L i i bLF

a a b a a b

µµ µ

π π π

= − = = = + +

Lei de AmpèreJames Clerk Maxwell

Considere uma região com correntes saindo do plano delimitadas por

uma curva fechada:

0 env

C

B ds iµ⋅ =∫� ��

em que ienv é a corrente envolvida https://pt.wikipedia.org/wiki/James_Cler

k_Maxwell

em que ienv é a corrente envolvida

pela amperiana.

A lei de Ampère será utilizada para resolução de problemas simétricos, i.e., onde o campo

magnético B é paralelo ao caminho de integração (1º passo) e não depende do caminho ds

(2º passo). Logo:

em que s é o caminho total de integração.

00

envenv

C

iB ds Bds B ds Bs i B

s

µµ⋅ = = = = ∴ =∫ ∫ ∫

� ��

Lei de AmpèreFIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – CAMPO EXTERNO

Considere um fio infinito com corrente i saindo do plano.

O campo magnético é dado pelo lei de Ampère:

O campo magnético produzido é paralelo e independente

do elemento de integração ds. Logo:

0 env

C

B ds iµ⋅ =∫� ��

do elemento de integração ds. Logo:

0iBs

µ=

em que s representa o caminho total de integração, i.e., o perímetro do caminho:

0

2

iB

r

µ

π=

Lei de AmpèreFIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – CAMPO INTERNO

A curva amperiana delimina parte da corrente que

atravessa o fio. Assumindo que a densidade de corrente é

constante, a corrente envolvida é dada por:

Logo:

2

2 2 2

envenv

ii rJ i i

R r Rπ π= = ∴ =

Logo: 2

0 0 2env

C

rB ds i i

Rµ µ⋅ = =∫

� ��

Assumindo as duas condições de simetria, obtemos:

( )

2 2

0 0 0

2 2 22 2

ir ir irB

sR r R R

µ µ µ

π π= = =

Lei de AmpèreFIO LONGO PERCORRIDO POR CORRENTE – ANÁLISE

( )0

2 para 0

2

irr R

R

µ

π

≤ ≤( )2

0

2

para 2

RB r

ir R

r

π

µ

π

= ≥

Lei de AmpèreSOLENÓIDE

0 0 0

b c d a

C a b c d

B ds B ds B ds B ds B ds

= = =

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � � � ��

��

�

Assumindo um solenoide extenso (comprimento muito maior que o diâmetro):

0

b b h

C a a

B ds B ds Bds B ds Bh⋅ = ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫� ��

Lei de AmpèreSOLENÓIDE

Assumindo um solenoide extenso (comprimento muito maior que o diâmetro):

0

C

B ds Bh Niµ⋅ = =∫� ��

00

NiB i

h

µµ η= =

em que η representa a densidade de espiras do solenóide (espiras/m).

Lei de AmpèreTORÓIDE

O campo magnético dentro do toróide é circular. Logo:

0

C

B ds Bds N iµ⋅ = =∫ ∫� ��

considerando que o dispositivo possui N espiras.

*A corrente envolvida pela amperiana é Ni.

0 0

2

N i N iB

s r

µ µ

π= =


O elétron está em movimento circular devido a força magnética causada pelo campo magnético:

××××××××

B

• vr

( )2

0

vqvB m qv i

Rµ η= =

que fornece:2

mv mv×××××××××××2

0 0

mv mvi

qv R q Rµ η µ η= =

Substituindo os valores do enunciado, obtemos:

( )( )( )( )( )

11 8

7

0,57 10 0,0460 3 100, 272 A

4 10 10000 0,0230i

π

−

−

× × ×= =

×

Dúvidas?

[email protected]

Skype: diego_a_d

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