Função de mais de uma variável

Introdução

Everton Lopes

Função de mais de uma variável

• No curso de Cálculo I trabalhamos apenas com funções de uma variável y = f(x), ou seja, funções f: D R R. Podemos ampliar este conceito considerando situações em que uma grandeza depende de várias outras e estender para tais funções os conceitos de limite, derivada e integral.

Exemplos:• A área de um retângulo de base x e altura y é uma função

de x e y dada por f(x,y) = xy• O volume de um paralelepípedo de arestas medindo x, y e z

é uma função das três variáveis x, y e z, f(x,y,z) = xyz• f: R2 R3; f(x, y) = (x, y, x + y)• f: R3 R2; f(x, y, z) = ( x+z, x – z)

Função de mais de uma variável

• Definição: Uma função f de duas variáveis, x e y, é uma regra que associa para cada ponto (x,y) de um domínio D do plano um único número real f(x,y). Analogamente, uma função f de três variáveis, x, y e z , é uma regra que associa para cada ponto (x,y,z) de um domínio D do espaço um único número real f(x,y, z).

• O domínio de uma função de duas variáveis é um subconjunto do R2 formado pelo conjunto de pares (x,y) que satisfazem a expressão de f. Analogamente, o domínio de uma função de três variáveis é um subconjunto do R3 formado pelo conjunto de ternos (x,y,z) que satisfazem a expressão de f.

Função de mais de uma variável

Exemplos.Determinar o domínio das seguintes funções

• f(x, y) = x2 + y2. • f(x, y, z) = x + y + z .

22 yx25)y,x(f

Função de mais de uma variável

Representação gráfica de uma função de duas variáveis

• O gráfico de uma função de uma variável y = f(x) é uma curva no plano.• Se f(x,y) é uma função de duas variáveis o gráfico de f(x,y) no

espaço xyz é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) do R3 tais que (x,y) pertence ao domínio de f, e z = f(x,y). Em geral tal gráfico será uma superfície do R3.

• Para cada ponto (x,y) do domínio de f corresponde um único z R tal que z = f(x,y). Logo, nenhuma reta perpendicular ao plano xy pode interceptar o gráfico em mais de um ponto

Exercícios no quadro

x

y

z

x

y

z

x

y

z

Curvas de nível de uma função• Um outro método para representar geometricamente

uma função de duas variáveis é semelhante ao da representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional . Isto é feito através das chamadas curvas de nível, descritas a seguir.

• Considere o gráfico da função z = f(x,y), e as curvas obtidas pela interseção dessa superfície com os planos z = k. As projeções destas interseções sobre o plano XY são chamadas de curvas de nível de altura k. Um conjunto de curvas de nível para z = f(x,y) é chamado de um esboço de contornos ou mapa de contornos de f