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Função Indireta de Utilidade, Função Gasto e Demanda Hicksiana

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Função Indireta de Utilidade, Função

Gasto e Demanda Hicksiana

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Antes de iniciar a exposição, devem ser consideradas algumas características

importantes das preferências que estamos tratando. Primeiro:

(i) Preferências racionais – completas e transitivas – garantem comparabilidade

entre as cestas e consistência (curvas de indiferença não se cruzam)

(ii) Continuidade – garante que existirá uma função utilidade que expressa essas

preferências

(iii) Monotonicidade – garante que o consumidor utilizará toda a sua renda –

pode-se utilizar alguma hipótese alternativa de não-saciedade local –

atendendo ao Varian, usamos monotonicidade

(iv) Função utilidade contínua e perfeitamente diferenciável duas vezes

Hipóteses iniciais

Devem estar cientes dos resultados do problema de maximização da utilidade do

consumidor (aula anterior)

max�(��, … , �)�. �. ∑ ���� ≤ � (1)

� = � � + � � − �. ������ =

��(�)��� − ��� ≤ 0 2 ���� ��!"�"#��$��� > 0

���� = � − �. � ≥ 0(3)

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Função Indireta de Utilidade

Denominaremos função indireta de utilidade, ( �,� , � identidade do resultado do

processo de maximização da utilidade com a restrição orçamentária.

( �,� ≡ �(��∗ ��, … , �, � , … , �∗ ��, … , �, � ) ≡ maxu(��, … , �)�. �. ∑ �� �� ≤ � (4)

Derivando-se a função indireta de utilidade com respeito ao preço do bem i, obtém-se:

�((�,�)�� =, ��

��-��-���

�.�(5)

0#!�#1��çã� 2 , 4#��� ��(�)��- = ��-

0�$4�54�, �((�,�)�� = �,�-��-���

�.�(6)

7��8��:#���1�#: �. � = �#, ��$4�54�:"�"�� = ��

������ + �<

��<��� +⋯+ ��

������ + �� +⋯+ �

����� = 0 ⇒,�-

��-��� = −�� (7)

-.�Substituindo (7) em (6)

�((�,�)�� = −��� (8)

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x2

x1

Crescimento do preço do

bem 1

Crescimento da utilidade – curvas

de indiferença superiores

Gráfico 1 – Curva de Offer ou curva preço-consumo

A partir da equação (8), pode-se afirmar que a utilidade varia inversamente a variações do

preço do bem i, tendo como pano de fundo as hipóteses levantadas. Na verdade, ela é não

decrescente no preço do bem i, pois se a quantidade do bem i for zero, a variação da

utilidade a partir do aumento de seu preço, também será zero. Ao passo que se a

quantidade consumida do bem i for positiva, um aumento de seu preço deverá reduzir a

utilidade indireta, enquanto uma diminuição de seu preço deverá aumentar a utilidade

indireta. Esse resultado pode ser expresso a partir da curva de Offer ou curva preço-

consumo, apresentada em vermelho no gráfico 1.

Curva preço consumo

ou de Offer

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Um outro resultado interessante aparece quando derivamos a função indireta de

utilidade com respeito à renda.

�((�,�)�� =, ��

��������(9)

Ora, mas a partir da equação (2), tem-se:

�((�,�)�� = �,��

�����

No entanto, sabe-se que ∑�� BCDBE = FEFE = 1

E, portanto, �((�,�)�� = � 10

A partir de (10), pode-se concluir que a utilidade marginal da moeda é igual a �,que já era

conhecido desde a aula passada.

Substituindo-se a equação (10) na equação (8), chega-se à identidade de Roy, em que:

�((�,�)��

�((�,�)��

= −��

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Variação da renda

Variação da utilidade

x2

x1Gráfico 2 – Caminho de Expansão da Renda ou Curva

Renda-Consumo

O gráfico (2) apresenta a curva renda consumo que mostra o crescimento da renda e o

consequente aumento do nível de utilidade.

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Homogeneidade de grau zero

Uma das características do problema de maximização da utilidade é sua

homogeneidade de grau zero nos preços e na renda. Isso significa que, se

multiplicarmos a renda e todos os preços por um mesmo escalar, H > 0,não haverá

alteração na cesta escolhida �∗. De maneira que u(x*) não se altera. Isso é facilmente

comprovável observando-se a figura 3. A figura mostra uma restrição orçamentária

definida a partir da renda e dos preços e curvas de indiferença que representam a

utilidade dos agentes, definindo-se a escolha x*. A multiplicação dos preços e da

��

�<

Figura 3

x*

��<

���

−���<

renda pelo mesmo escalar H não resultará

em mudança da restrição orçamentária e

não altera as preferências, implicando a

mesma escolha. Como a função utilidade

também não sofreu nenhuma modificação,

o nível de utilidade será o mesmo. Assim,

pode-se afirmar que ( �,� = ( H�, H� ,

ou seja, que o valor da função indireta de

utilidade não se altera.

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Função Gasto

Até o momento, resolvemos um problema que consistiu em maximizar a utilidade dada uma

restrição orçamentária. Esse problema é apresentado no gráfico 4a, que mostra a restrição

orçamentária e as diferentes curvas de indiferença que representam os níveis de utilidade

que o consumidor pretende maximizar. Podemos, alternativamente, resolver um problema

diferente. Indagar-se qual a renda mínima necessária para um consumidor atingir um

determinado nível de utilidade. Nesse caso, o problema ocorre como apresenta no gráfico

4b, queremos saber qual a renda mínima para se obter o nível de utilidade representado

pelo conjunto I≿ = �KL: � ≿ M .

Gráfico 4a – Problema de Maximização

da utilidade

��

�<

��

�<

Gráfico 4b – Problema de Minimização

do Gasto

I≿

M

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O problema de minimização do gasto consiste, então, em:

minC ∑�� ���. �. �(��, … , �) ≥ �P (11)

� = �. � + Q �P − �(�)����� = �� − Q ����� ≤ 0 12���Q = �P − � � ≤ 0 13

A partir de (12), obtém-se �� − Q BRBCD ≤ 0 ⇒ �� ≤ Q BR

BCD #, ��$��5�# ��54#,���������-

= ���- 14

E, a partir de (13):

�P − � � = 0 ⇒ �P = � � 15

As equações (15) e (14) apresentam resultados parecidos ao problema de

maximização da utilidade, apenas, em vez de a solução obrigatoriamente pertencer à

linha orçamentária, deve pertencer à curva de indiferença. No entanto, como (14)

aponta para a tangência, o resultado é, na prática, o mesmo.

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Essa questão pode ser observada a partir da figura 5, que mostra a coincidência do

resultado. Com a figura 6 da aula passada. Nesse caso, tem-se que � = �T. Veremos o

significado disso a seguir.

Assim como tivemos a função indireta de utilidade como idêntica à utilidade

resultante do problema de maximização da utilidade, podemos definir a função gasto

como idêntica ao gasto que resolve o problema de minimização do gasto.

�<

��Figura 5 – O problema de Minimização do

gasto

��, … , �, �P ≡ ����∗ ��, … , �, �P + ⋯+ ��∗ ��, … , �, �P (16)

Para efeitos de notação, a partir de

agora, denominaremos ��∗ ��, … , �, �Pde :� ��, … , �, �P

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Podemos, então, realizar os mesmos exercícios que fizemos com a função indireta, mas

com a função gasto. Inicialmente, podemos ver como a função gasto varia em relação à

preço de um bem i:

( )

( )

( )

( )(19)

,

SHEPHARD. deLEMA como conhecida (10) equação a se- tem varia.,não utilidade a que vezuma

),(,

(18) ),(,

:hicksiana demanda de u),h( demanda a sdenominemo E

)17(),(,

1

1

i

i

n

k i

k

k

i

i

n

k i

kki

i

ii

hp

ug

p

uh

h

uh

p

ug

p

uhph

p

ug

uhpug

=∂

∂+=

∂+=

=

=

=

p

pp

pp

p

pp

µ

Isso significa que a função gasto é crescente no preço do bem i, ou seja, toda vez que

aumentamos o preço é necessário um aumento do gasto para se atingir o mesmo nível de

utilidade que se tinha anteriormente.

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Ao se derivar a função gasto com respeito à utilidade, tem-se que, usando o teorema

da envoltória (ver Simon e Blume 457-459), tem-se que:

)20(),(),,(

µµ

=∂

∂=

u

ug

u

uL px

Pode-se afirmar, portanto, que a função gasto é estritamente crescente em u.

Prova Auxiliar

Suponha que houvesse um �′ ≻ �, tal que �. �W ≤ �. � = (�, �), então, nesse caso,

por monotonicidade e continuidade, haveria um �′′ ≥ �′, tal que �. �W < �, � , e,

portanto a cesta � não resolveria o problema de minimização do gasto.

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Pensemos agora que alteramos o vetor de preços p por um escalar

qualquer ψ. Nesse caso, sabe-se que a função objetivo se transforma

de:

iiii xpxp ∑∑ ψ para

Como consequência, sabe-se que as equações (12) e (13) se

transformarão em:

( ))'12(0

,...1

i

i

i

ni

i UMg

p

x

xxup

x

L ψµµψ ≥⇒≤

∂−=

)'14(j

i

j

i

j

i

p

p

p

p

UMg

UMg==

ψ

ψ

Como a equação (13) não se altera, não há alteração no vetor de

escolha e a função gasto é simplesmente

( ) )(13' ,),( ∑= uhpug ii pp ψ

Implicando homogeneidade de grau 1 em p.

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Demanda Hicksiana

A demanda hicksiana é representada por Y(Z, �), em que Y(Z, �) =:�(Z, �)

⋮:(Z, �)

. O

funcionamento da demanda hicksiana pode ser exemplificado no gráfico 6a, que mostra a

curva de indiferença que delimita o conjunto de cestas que atinge pelo menos o nível de

utilidade �P. Pode-se afirmar que a solução Y(Z, �) resolve o problema de minimização do

gasto, quando o nível de utilidade é u. Nesse caso, a renda resultante será Z, � =Z. Y(Z, �), em que p é o vetor de preços transposto. Por (2) e (3) e (12) e (13), sabe-se

que

Y Z, � = \ �, Z, � (21)e

Y Z, ( Z,� = \ Z,� (22)

Isso significa que o vetor de demanda que resolve o problema de minimização do gasto

quando os preços são preços são p e a utilidade é u é igual ao vetor de demanda que

resolve o problema de maximização da utilidade quando os preços também são p e a

renda é igual a Z, � . Da mesma maneira, o vetor de demanda que resolve o problema

de maximização da utilidade quando os preços são p e a renda é m é o mesmo vetor que

resolve o problema de minimização do gasto quando os preços são p e o nível de

utilidade é ( Z,� . Isso é conhecido como dualidade.

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Demanda Hicksiana – gráficos 3a e 3b

Conjunto de cestas

pelo menos tão boas

Curva de

indiferença

1x

2x

*

1x

*

2x

1x

2

1

p

pLembrem-se: uma

teoria de preços

relativos

( )uh ,1 p

Demanda

hicksiana

( )mx ,1 p

Demanda

marshalliana

hx1

mx1

Repare que a cesta que minimiza o

gasto quando o nível de utilidade

alcançado é igual a m, que é a mesma

que maximiza a utilidade quando o

consumidor tem renda m. Ao mesmo

tempo o valor da função indireta de

utilidade dessa solução é igual a u.

u

( )( )( ) ( )( ) ( ) )16(),(,,

)15(),(,,

)14(),(,

)13(),(,

mvm

ugu

uupgv

mmpvg

pphpx

ppxph

p

p

=

=

=

=

Figura 6a - Processos de minimização do

gasto e de maximização da utilidade

Figura 6b – Curvas de demanda

hicksiana e marshalliana

2p

m

( )

2

,'

p

ug p

Y(Z′, �)Y Z, � ≡ � Z, Z, �

�P

�(Z′,�)

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Equação de Slutsky

Assim, entenderemos como demanda marshalliana , \ Z,� , e, como demanda

hicksiana, Y Z, � . Ainda que as igualdades (21) e (22) se sustentem, as respostas de

cada uma dessas demandas não são iguais. Como pode ser percebido na figura 6a,

quando o preço do bem 1 varia, a demanda hicksiana varia a Y(ZW, �), enquanto a

demanda marshalliana, \ Z,� , se desloca a \ Z′,� . A resposta a essa caracterização

pode ser obtida a partir da equação (21). Derivando-se os dois lados da equação, com

respeito ao preço do bem i, tem-se:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )(24)

),(

),(,,

),(,),(,

),(

),(,,

),(,,

,),(

:Shephard de Lema Pelo

(23) ),(

),(

),(,),(,,

renda Efeitoãosubstituiç Efeitona)marshallia (Demanda

totalEfeito

4444 34444 2144344214434421ug

uguh

p

ug

p

ug

ug

uguh

p

ug

p

u

uhp

ug

p

ug

ug

ug

p

ug

p

u

i

ii

i

ii

i

i

iii

p

ppxp

pphppx

p

ppxp

ppxph

pp

p

p

ppxppxph

∂−

∂=

⇒∂

∂+

∂=

=∂

∂+

∂=

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A equação (24) divide a variação da demanda marshalliana em dois efeitos. O primeiro é

o efeito substituição que se iguala à variação da demanda marshalliana, o segundo é o

efeito renda, que corresponde à correção feita para o cálculo da demanda hicksiana

(equação 23) como respeito ao aumento da renda necessário para manter o mesmo

nível de utilidade que se encontrava inicialmente. O efeito substituição define a

alteração do consumo se o consumidor não tivesse tido mudança em seu poder de

compra, enquanto o efeito renda mede justamente a alteração do consumo decorrente

da mudança no poder de compra.

O efeito substituição sempre variará inversamente ao preço, no que podemos

denominar de lei da demanda compensada.

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Lei da Demanda Compensada

A lei da demanda compensada afirma que dp.dh≤0.

Prova: suponha dois vetores de preços p’ e p’’ e dois vetores de demanda

hicksiana h’(p’,u) e h’’(p’’,u), significando que h’ é resultante da escolha com

os preços p’ e h’’ é resultante da escolha com os preços p’’. Deve-se provar,

portanto que (para fins de notação p.h implica a multiplicação do vetor linha p

pelo vetor coluna h):

( )( )( ) ( ) )27(''.''''.''''.''.

)26('''.'''

0hphphphp

0hhpp

≤−+−

≤−−

Comecemos pelo primeiro parênteses da equação (18). Note-se que o consumidor

teria minimizado o gasto em h’(p’,u). Logo, a escolha h’’(p’’,u) não poderá minimizar

o gasto a não ser que h’’(p’’,u) seja igual a h’(p’,u) ou haja mais de uma solução para

o problema de minimização do gasto (pense em substitutos perfeitos em razão 1 e

preços relativos 1). Se p’.h’’<p’h’, então, h’ não poderia ser a solução para o

problema de minimização do gasto. Logo, o valor tem de ser menor ou igual a 0. O

mesmo raciocínio se aplica ao segundo componente da equação (18). Isto significa

que se p1/p2 aumenta, então, a demanda por p1 tem de cair e a demanda por p2,

subir.

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O caso de dois bens

Sabe-se que, se, aos preços (p1, p2), o consumidor tem a cesta (x1, x2) que minimiza o

gasto, então, a cesta (y1, y2)~ (x1, x2) atende a seguinte restrição:

(28) 22112211 ypypxpxp +≤+

com estrita desigualdade se a escolha for única. O mesmo pode ser dito a respeito

dos preços (q1, q2) que são aqueles para os quais a cesta (y1, y2) é escolhida.

(29) 22112211 xqxqyqyq +≤+

Somando-se as duas equações e reordenando-se, tem-se a equação (30):

( )( ) ( )( ) )30(022221111 ≤−−+−− xypqxypq

Como 1< = �<1� − �� M� − �� ≤ 0(31)

Isso significa que se o primeiro termo for positivo, o segundo tem de ser

negativo e vice-versa, o que mostra que as quantidades variam na direção

inversa aos preços.

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Significado da Equação de Slutskty

Deve-se notar que de acordo com a lei da demanda compensada, quando se tratar do

próprio bem, ou seja de xi frente a uma variação de pi, o primeiro termo sempre terá

sinal negativo. O segundo termo dependerá, no entanto, do valor de

( ) ( )m

ug

ug

ug

∂=

∂ ),(,

),(

),(, ppx

p

ppx

se o bem for normal, este termo assume um valor positivo, dando ao efeito renda

um valor negativo. Se o bem for inferior, este termo assume um valor negativo,

dando ao efeito renda um valor positivo.

Essa característica ajuda a entender o paradoxo representado pelos bens de Giffen,

que têm a curva de demanda positivamente inclinada.

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1x*

1x

*

2x

hx1

mx1

2p

m

( )

2

,'

p

ug p

Gráfico 4

No gráfico 4, o consumidor escolhe, com a

restrição inicial em negro, a cesta x*. Há

um aumento do preço do bem 1 e o

consumidor passa a escolher a cesta xm . A

demanda hicksiana nos auxilia a dividir

esse efeito em duas partes. A primeira

associada à mudança nos preços relativos,

representada por:

mx2

renda efeito sdenominamo que-

ãosubstituiç efeito sdenominamo que-

111

*

111

hmm

hh

xxx

xxx

=∆

=∆

Reparem que só há mudança do nível de utilidade no efeito renda. Isso será

importante na próxima aula. Ao mesmo tempo, o resultado mostra que a função

indireta de utilidade variou inversamente ao preço do bem 1, mas essa variação

só se deu por causa do efeito renda. Logo, a variação da utilidade indireta é uma

consequência do efeito renda.