Função quadrática:a função geral de 2º grau

Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo

y = f(x) = ax2 + bx + c

Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.

O Domínio de toda função quadrática é IR.

Exemplos

y = f(x) = x2 + 3x – 1é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.

y = f(x) = –x2 + 5é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.

y = f(x) = –2x2 + 4xé uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.

y = f(x) = x2

é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva?

A = (40 + 2x).(20+2x)

40 m

20 m

x

xxx

⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2

⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800

Veja seus gráficos

y = x2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–2

–14 5–4–5

4

5

4211001–14–2

y = x2x

y = x2

Im = [0, +∞[ Mínimo = 0

Veja seus gráficos

y = – x2.

x

y

01 2 3–3 –2 –1

–2

–14 5–4–5

– 42– 1100

– 1–1– 4–2

y = – x2x

y = – x2

–3

–4

Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são curvas

chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é

chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é

chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada

para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada

para baixo.

Eixo de simetria.

V

eixo de simetria da

parábola

A A1

B B1

C1

D1

C

D

r1

r2

r3

r4

Raízes da função quadrática

Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas.Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.

Número de raízes da equação de 2º grau Para resolver uma equação de 2º grau usamos

a fórmula de Bhaskara

O número real é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.

> 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas. = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais

(ou 1 raiz real dupla). < 0 ⇔ não tem raízes reais.

a2bx

sendo = b2 – 4ac

Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto

de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;B) a altura máxima que ele atinge;C) o instante em que ele atinge o solo.

Veja o gráfico da função h(t) = –5t2 – 30t + 80

t (s)

h (m)

0 3

125

8

80