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Hewlett-Packard
Ano: 2016
FUNÇÃO REAL
DE UMA
VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 05
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO .................................................................................................................. 2
PRODUTO CARTESIANO .......................................................................................................................................... 2
Número de elementos de ....................................................................................................................... 2
Representações de um produto cartesiano ........................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
RELAÇÃO DE A em B ............................................................................................................................................ 3
FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL ............................................................................................................. 3
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO .......................................................................................................................... 3
ELEMENTOS ESSENCIAIS ..................................................................................................................................... 3
FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ......................................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ................................................................... 4
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL ....................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ................................................................................... 5
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO ..................................................................................................................... 6
GRÁFICOS EM 3D ................................................................................................................................................ 6
NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL ........................................................... 7
QUESTÕES EXTRAS.......................................................................................................................................... 7
GABARITO ........................................................................................................................................................... 9
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 9
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 9
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
INTRODUÇÃO AO PLANO
CARTESIANO Você deve se lembrar, do 9° ano, que em um plano
cartesiano ortogonal, no qual temos um sistema de
eixos perpendiculares e (denotado por ),
um ponto P de abscissa e ordenada , denotado
por , pode ser representado conforme a
figura a seguir.
Em geral, os eixos coordenados e são
graduados em uma mesma escala.
PRODUTO CARTESIANO
Sejam e conjuntos não vazios. Tomando
quaisquer e podemos formar pares
ordenados .
O produto cartesiano de por , denotado por
, é o conjunto formado por todos esses pares
ordenados.
Em símbolos, temos:
Obs.1: Em geral, .
Número de elementos de Sendo A e B conjuntos finitos, é possível demonstrar
que o número de elementos do produto cartesiano de
por , , é dado por:
Representações de um produto
cartesiano O produto cartesiano de por pode ser
representado de três formas:
Tabular
Diagrama de flechas
Diagrama cartesiano
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Sejam .
a) Determine .
b) Represente os produtos cartesianos e
, na forma
b.1) tabular;
b.2) de diagrama de flechas; e
b.3) de diagrama cartesiano.
1.2. Sejam . Represente .
TAREFA 1 – Ler: na parte teórica 1, o tópico
“Introdução ao plano cartesiano”, a Observação 1 e
os exercícios resolvidos 1 e 2.
TAREFA 2 – Ler, na pág 6 e 7, a Obs. 4, os ex.
resolvidos 5 e 6 e FAZER os PPS de 1 a 4a.
Representaremos tais produtos cartesianos apenas
no plano cartesiano. Use a seguinte notação:
Extremo do intervalo aberto: traçar por ele
uma perpendicular pontilhada;
Extremo do intervalo fechado: traçar por ele
uma perpendicular contínua;
Extremo do intervalo infinito: não traçar reta;
Intercessão de retas contínuas: “bolinha
fechada”;
Intercessão de retas, em que pelo menos uma
é pontilhada: “bolinha aberta”.
Para representar o produto cartesiano, você deve
pintar a região comum delimitada pelas retas e suas
intercessões.
Como representar um produto cartesiano quando
pelo menos um dos conjuntos é um intervalo?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
AULA 02
RELAÇÃO DE A em B Considere dois conjuntos e , não vazios, e o
produto cartesiano formado à partir de e .
Todo subconjunto de denomina-se relação de
em .
Exemplo 1: Sendo e tem-se
que . Desse
modo, algumas relações de A e B são:
FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Considere e , subconjuntos não vazios do conjunto
dos números reais , e todas as relações de em
possíveis de serem realizadas.
Dentre essas relações, chamaremos de função
de em , denotada por , aquelas em que
para cada existe um único , tal que
.
Obs.1: O conjunto é denominado domínio da função
e será denominado por .
Obs.2: O conjunto é denominado contradomínio da
função e será denominado por .
Obs.3: Se , então é a imagem de por
o qual denotamos por .
Obs.4: O conjunto formado pelos elementos de
para os quais existe pelo menos um elemento de
tal que é denominada conjunto-imagem de
e será denotado por .
Note que
Obs.5: Em , com , é denominado
variável independente e é denominado variável
dependente.
NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO A noção intuitiva de função é aquela que nos permite
reconhecer as situações em que os valores de duas
grandezas estão relacionados de tal forma que a cada
valor de uma delas está associado um único valor da
outra.
Exemplo 1: Ao “pesarmos” nosso prato em um self-
service, temos a certeza de que para cada quantidade
de comida servida existirá um valor associado a ser
pago e este será único.
Exemplo 2: Ao analisar, durante um intervalo de
tempo, a altura atingida por uma bola ao ser chutada
para cima, tem-se a certeza de que, para cada
instante analisado a altura atingida pela bola existirá e
será única. Mesmo que o contrário não seja
verdadeiro (isto é, em dois instantes distintos a bola
pode estar a uma mesma altura).
ELEMENTOS ESSENCIAIS Para definirmos uma função , precisamos de três
elementos essenciais:
que associa a cada um único
elemento .
EM SALA – Ler, na pág. 16, o exercício resolvido 9(a, d,
e). E, na pág 22, o exercício resolvido 11.
Verifique se cada elemento do domínio , sem
exceção, está associado a exatamente um elemento
do contradomínio .
Dica: Uma relação será uma função de A em B se a
comparação a seguir valer para todos os elementos
de A:
Cada filho(em A) deve ter uma única mãe (em B).
Dica prática para relações envolvendo intervalos:
No diagrama cartesiano: trace retas verticais por
toda a extensão do domínio da suposta função.
Se pelo menos uma das retas não intersectar, ou
intersectar mais de uma vez, a curva
apresentada, então não se trata de uma função
de A em B.
Como verificar se uma relação de A em B é uma
função de A em B?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES
ALGÉBRICAS Quando é uma função real de variável real, o valor
é, geralmente, dado por uma expressão
algébrica em termos de .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Responda à situação descrita no quadro verde
acima.
AULA 03
DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Suponha, nas expressões a seguir, que e
representam polinômios na variável , que assume
todos os valores reais para os quais seja um
número real.
existe em se, e somente se, .
Assim, sendo , tal que
, tem-se
existe em se, e somente se, .
Assim, sendo , tal que , tem-se
existe, em , para todo .
Assim, sendo , tal que , tem-se
existe em se, e somente se, .
Assim, sendo , tal que
, tem-se
Obs. 1: Algumas funções podem ter suas leis dadas
por expressões que “misturam” os casos acima.
Nesses casos, você deve analisar cada expressão.
TAREFA 3 – Ler, na pag 20, o exercício resolvido 10 e
na pág 25 a 30, os exercícios resolvidos 12, 13, 15 e 17.
Após a leitura, fazer os PSA 5,8, 11, 13, 15(c,d,e), 17 e
24.
A seguir tem-se a mesma situação descrita em duas
linguagens:
I) EM LÍNGUA PORTUGUESA
Seja f uma função com domínio em um
conjunto A e contradomínio em um conjunto B, tal
que a imagem de cada elemento do domínio é
associada ao quadrado deste acrescido de 1. Dado
que os elementos de A são todos os números inteiros
entre -2 e 2 e os elementos de B são os números
naturais não nulos menores que 4, determine o que se
pede:
a) o domínio de ;
b) o contradomínio de ;
c) a imagem de -1 pela função ;
d) o conjunto-imagem de ;
e) o elemento do domínio de tal que sua
imagem pela função f é igual a 2;
f) o elemento do contradomínio de tal que ele
é a imagem de 0 pela função f.
II) EM LINGUAGEM SIMBÓLICA
Seja , uma função tal que
. Dados e
, determine o que se pede:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) tal que ;
f) tal que .
Esperamos que, com essa comparação, você entenda
o significado e as facilidades que a linguagem
simbólica nos traz.
Entendendo a simbologia das funções... TAREFA 4 – Fazer os PSA 6, 10, 12, 14, 16(a,d,e), 18,
22(a,b), 26 e 32.
EM SALA – Ler, na pág 32, o resolvido 19(b, c, d, e, g, i)
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE
UMA VARIÁVEL REAL Seja uma função real de uma variável real,
com . Diz-se que é uma raiz de f se:
e
é solução de
Obs. 2: Se é zero de uma função , então é correto
afirmar que o par ordenado . E, desse
modo, a representação cartesiana de f intersectará o
eixo exatamente no ponto . Portanto, pode-
se dizer que o zero de uma função é igual à abscissa
do ponto de intercessão do gráfico de f com o eixo das
abscissas.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Sejam ,
e uma função tal
que sua representação cartesiana está ilustrada a
seguir.
Determine os zeros de .
3.2. Determine, se existir, a raiz de cada uma das
funções a seguir.
a) , tal que
b) , tal que
AULA 04
REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE
UMA FUNÇÃO DESFAZENDO MITOS
Normalmente, quando falamos de gráfico de uma
função, a um aluno do 1° ano do Ensino Médio,
percebemos que alguns acreditam em alguns mitos.
MITO 1) Existem apenas dois “tipos” de gráfico:
parábola ou reta.
Veja como podemos definir o que é um gráfico de
uma função:
O gráfico de uma função é o
conjunto dos pares ordenados , em
que e .
Ou seja, se supormos ,
temos a seguinte representação cartesiana de :
E, desse modo, qualquer “seleção” de pontos da
região vermelha (qualquer “desenho”), que atenda à
definição de função, pode ser o gráfico de uma função
e não apenas uma reta ou uma parábola.
MITO 2) Para se construir o gráfico de uma função é
obrigatório “ligar os pontinhos”.
Observando o que vimos no MITO 1), podemos
perceber que, no caso de ser um subconjunto de
ou de , teremos como representação
cartesiana de um conjunto de pontos
“isolados”. Desse modo, qualquer subconjunto de
não terá pontos “ligados”, nem por segmentos
de reta, nem por outra curva qualquer.
EM SALA – Ler, na pág 36, o exemplo 4 e o exercício
resolvido 21.
TAREFA 6 – Fazer os PSA 35, 36(b,c), 37, 38 e 40.
EM SALA – Ler, na pág 37, os exercícios resolvidos 22 e
23.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Sejam uma função real de uma variável real
tal que e , um subconjunto não-vazio de .
Nesse contexto, podemos dizer que, em , uma
função pode receber apenas uma das seguintes três
classificações:
é dita CRESCENTE em se sendo, e
elementos de , tivermos que
Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita),
o gráfico de sobe, quando é crescente.
é dita DECRESCENTE em se sendo, e
elementos de , tivermos que
Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita),
o gráfico de desce, quando é decrescente.
é dita CONSTANTE em se sendo, e
elementos de , tivermos que
Note que o gráfico de fica contido em uma reta
horizontal, quando é constante.
GRÁFICOS EM 3D Sela do cavalo
Sela do Macaco
EM SALA – Ler, nas pág. 41, a Observação 10, o
Exemplo 6 e o exercício resolvido 25.
TAREFA 7 – Ler, na pág 40, o exercício resolvido 24 e
fazer os PSA 41 a 45.
TAREFA 8 – Ler, na parte teórica 5, o exemplo 8 e fazer
os PSA 46 a 48.
Uma função pode ser crescente e decrescente?
Note que em todos os casos acima, a definição foi
feita sobre um subconjunto do domínio da função,
ou seja, quando falamos de crescimento ou
decrescimento, estamos estudando cada
“pedacinho” da função. Desse modo, como um todo,
uma função pode ser crescente em um momento e
decrescente em outro. Porém, é claro, em um mesmo
subconjunto a função é crescente ou decrescente
ou constante (apenas um).
Tente citar algum exemplo de função que seja
crescente em um intervalo e decrescente em outro.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7
AULA 05
NOÇÃO DE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
MOTIVAÇÃO
Um preparador físico acompanhou o desenvolvimento
de um atleta desde o início da adolescência do rapaz
até ele atingir a idade adulta.
Durante esse período, o preparador concluiu que a
massa do atleta, em quilograma, em função da
altura , em metro, era dada pela expressão
.
Também constatou que a altura do rapaz, em
metro, em função do tempo , em ano, era dada pela
expressão
.
Caso o preparador físico sentisse necessidade, seria
possível expressar a massa do rapaz em função do
tempo? Como?
Obs.: Para uma avaliação da massa em função do
tempo , o preparador teve de efetuar uma
composição das funções e .
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS
1. Seja , uma função com 22f x x a x ,
em que é uma constante real. Dado que 3 72f
, determine as raízes de .
2. O gráfico a seguir é uma representação cartesiana
de uma função .
A partir da análise do gráfico, julgue os itens a seguir.
Em seguida, justifique, no espaço indicado, apenas um
dos itens que você julgou como errado, caso exista.
1.
2.
3. Se , com , então
4. Em é uma função crescente.
3. Considere que o valor total cobrado por uma conta
de telefone seja composto por uma taxa fixa de R$
35,00, que inclui a cobrança dos 150 primeiros
minutos utilizados, mais R$ 0,10 por minuto que
exceder os 150 primeiros. Determine a lei que
exprime o valor total cobrado , em reais, em termos
do número de minutos .
4. Estabeleça o domínio da função real , em que
.
5. Dadas as funções , com 1 3 2f x x ,
e , com 2 3g x x , determine g f x .
6. Considere os conjuntos e
e a função , tal que .
Nessas condições, é possível
a) .
b) .
c) .
d) .
e )
TAREFA 9 – Ler, na parte teórica 5, a Obs. 11, os
exercícios resolvidos 26 a 31 e fazer os PROP. 50,
51(b,c), 52(a,d), 53(a,b,e), 54(a,b,e), 56 e 57.
EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1,2, 5, 8, 9, 11,
12, 14, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 31, 33,
EXTRA (Composição de Funções): CONHECENDO
AVALIAÇÕES 34; 35; 36; 38; 39; 40; 42
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8
7. Um taxista cobra por uma corrida um valor fixo de R$
chamado de bandeirada, e R$ por quilômetro
rodado. Em uma corrida de quilometros, qual o valor
pago , em reais, por taxista?
a)
b)
c)
d)
e)
8. A função real cuja lei é
, tem domínio igual
a
a)
b)
c)
d)
e)
9. A figura a seguir é uma representação cartesiana de uma
função que tem exatamente quatro raízes reais
É correto afirmar que a soma das raízes dessa função
pertence ao intervalor
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
10. Considere uma função tal que
. Nessas condições, tem-se
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
11. Sejam, e , tais que
e , . Dado que
,
tem-se igual a
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
12. Nos itens a seguir têm-se representadas relações entre
os conjuntos A e B. Assinale a opção que indica uma função
.
13. Considere a função tal que
. O conjunto A pode ser igual a
a)
b) .
c) .
d) .
e) .
14. Considere uma função tal que
. Nessas condições, tem-se que
a)
.
b)
c)
.
d) .
e) .
15. Durante certo período, um automóvel deslocou-se com
velocidade , em metro por segundo, que variou em função
do tempo , em segundos, de acordo com a expressão
. A distância , em metro, entre esse
automóvel e um ponto fixo , durante o período
considerado, pode ser expressa em função de por
. Determine e .
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 6
b.1)
1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5A B
3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2B A
b.2) A B
B A
b.3)
A B
B A
1.2.
2.1.
a) 1, 0, 1A ;
b) 1, 2, 3B ;
c) 2;
d) 1, 2 ;
e) 1 ou 1x x ;
f) 1.
3.1. 0, 3, 6
3.2. a)9 b)1
2, 2,2
QUESTÕES EXTRAS 1. 0, 9
2. C E E E
3. 35, se 0 x 150
20 0,1 , se 150V
x x
4. | 2D f x x
5. 6 1g f x x
6. E
7. C
8. B
9. C
10. C
11. B
12. C
13. A
14. C
15. 5 613d v e 218 27 28d v t t t
