Função de 1º grau

  Definição

 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.

 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

 

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

    Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .

    Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y

0 -1

0

    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Zero e Equação do 1º Grau

   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que  f(x) = 0.

   Temos:

   f(x) = 0        ax + b = 0       

   Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

                                    f(x) = 0        2x - 5 = 0       

2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

                                    g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2   

3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:

    h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5

 

Crescimento e decrescimento

   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

      Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes    valores de y também aumentam. Dizemos, então que a     função y = 3x - 1 é crescente.   Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:

para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Sinal

   Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que

essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

  1º) a > 0 (a função é crescente)

         y > 0       ax + b > 0         x >

         y > 0      ax + b < 0         x <

    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

          y > 0  ax + b > 0            x <

         y > 0  ax + b < 0            x <

 

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

 

Exercícios

FUNÇÕES DO 1º GRAU

 

1.(UFU-MG) No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas por y=3-x e y= kx+t, respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente:

 

a. 2 e 1 b. -2 e 1 c. 2 e 0 d. -1/2 e 0

e. 1/2 e 0

 2. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico

 

 

a. f(x)= -x+2 b. f(x) = -x/2 + 1 c. f(x)= -x/2 + 2 d. f(x)=4x

e. f(x)= -x

3. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):

a. y= x/3 b. y=-x/3 + 1 c. y= 2x d. y= x/3 +1 e. y= -x

 

4. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

 

 

a. a = 0 ; b = 0 b. a > 0 ; b > 0 c. a < 0 ; b > 0 d. a > 0 ; b = 0 e. a > 0 ; b < 0

 

5. ( UFMA ) A representação da função y = -3 é uma reta :

a. paralela aos eixo das ordenadas b. perpendicular ao eixo das ordenadas c. perpendicular ao eixo das abcissas d. que intercepta os dois eixos e. nda

 

6. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :

 

 

a. a < 2 b. a < 0 c. a = 0 d. a > 0 e. a = 2

 

7. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?

 

 

a. y = 2x - 3 b. y = - 2x + 3 c. y = 1,5 x + 3 d. 3y = - 2x e. y = - 1,5x + 3

8. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é :

 

a. - 13/5 b. 22/5 c. 7/5 d. 13/5 e. 2,4

9.( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :

 

a. 0 b. 2 c. 3 d. 4 e. -1

10. ( FUVEST - SP ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é :

 

a. f(x)= x-3 b. f(x)= 0,97x c. f(x)=1,3x d. f(x)=-3x e. f(x)= 1,03x

 

11. ( UFRN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 então o valor de y para x = -1 é:

 

a. 3 b. 4 c. -7 d. -11 e. nda

 

12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é :

a. 0 b. 2 c. -5 d. -3 e. -1

 

13. ( UFPE ) Seja y = ax + b onde a e b são números reais tal que a< 0 e b > 0 . Assinale a alternativa que indica a representação desta função:

 

14.( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas condições:

 a. m = 2t b. t = 2m c. m = t d. m + t = 0 e. m - t=4

 

15. ( MACK-SP ) O ponto P pertence ao gráfico cartesiano da função dada por f(x) = -x + 30. A somas das coordenadas de P é:

a. 30 b. negativa se x < 30 c. sempre negativa d. zero se x = 30 e. impossível de ser determinada com a informação dada.

Função Quadrática

  Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

 

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

    Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

 

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

    Temos:

                   

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o

radicando ,  chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando é zero, há só uma raiz real;

quando é negativo, não há raiz real.

Função Quadrática   

  Coordenadas do vértice da parábola

   Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

 

Imagem

     O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a > 0

 

2ª quando a < 0,

a < 0

Construção da Parábola

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;

3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;

5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.

Sinal

   Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.

    Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º -  > 0   Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

quando a > 0

y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2

 

quando a < 0

y > 0 x1 < x < x2

y < 0 (x < x1 ou x > x2)

2º -  = 0

quando a > 0

 

quando a < 0

                

 

3º -  < 0

quando a > 0

quando a < 0

FUNÇÕES DO 2º GRAU

 

1. (ACAFE - SC) - A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:

a. 0 b. 1

c. 2 d. 3 e. 4

2. (PUC - MG) - O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é:

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

3. (CEFET - PR) - O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é:

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

4. (UEL-PR)- Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a:

a. 5/6 b. 31 /14 c. 83/12 d. 89/18 e. 93/12

5. (MACK - SP) - O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; então k pode ser:

a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4

6. (PUC - SP) - O número de pontos comuns aos gráficos das funções f(x) = x2 - 2 e g(x) = - x2 - 4 é:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

 7. (UFCE) - Considere a função f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:

a. vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); b. f possui dois zeros reais e distintos; c. f atinge um máximo para x = 1; d. gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. e. nda

8. (UFGO) - Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:

a. {0; 1 } b. {- 1 ; 0} c. {1 } d. {- 2; 3} e. {3; 4}

9. (PUC - RS) - A imagem da função f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 1, é o intervalo:

a. [-1; ºº ) b. (-1;ºº ) c. [0; ºº ) d. (-°° ;-1) e. (-ºº ;-11 ]

10. (UEPG - PR) - Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu conjunto - imagem é:

a. {y E IR/y 4} b. {y E IR/-4<y<4} c. {y E IR/y>4} d. {y E IR/y 4} e. R

 

11.(FGV - SP) - O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 - 100x + 5000. O valor do custo mínimo é:

a. 3250 b. 3750 c. 4000 d. 4500 e. 4950