Definição

Gráficos das Funções do 1º grau

Determinação da função dados dois pontos

Equações do 1º grau

Inequações do 1º grau

Uma função f : ℝ ⟶ ℝ é denominada função Afim, quando sua expressão algébricaé um binômio do primeiro grau, ou seja:

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃.

Exemplos:

𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5

𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3

𝑓 𝑥 =𝑥

2− 4

𝑓 𝑥 = 𝑒. 𝑥 + 𝜋

DEFINIÇÃO

Definição: Dada uma função qualquer f : ℝ ⟶ ℝ . Se tomarmos um ponto 𝑥 dodomínio da função e um ∆𝑥 ∈ ℝ, chama-se taxa de variação da função f nointervalo [𝑥, 𝑥 + ∆𝑥] o número :

𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Conclusão : As Funções Afim se caracterizam porapresentarem uma inclinação constante (igual a 𝒂)no seu gráfico. Portanto, têm como gráfico uma reta.

No caso das Funções Afim, 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, e teremos:

∆𝑦

∆𝑥=

𝑎 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑏 − (𝑎𝑥 + 𝑏)

∆𝑥=

𝑎. ∆𝑥

∆𝑥= 𝑎

Notemos que a taxa de variação da função nointervalo [𝑥, 𝑥 + ∆𝑥] corresponde a inclinação da reta𝑷𝟏𝑷𝟐 , secante ao gráfico da função.

∆𝑦

∆𝑥

xx x+∆x

y = f (x+∆x) – f (x)

y

f (x)

f (x+∆x) P2

P1

x

O QUE CARACTERIZA A FUNÇÃO AFIM

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM

Como vimos anteriormente a inclinação do gráfico deuma função afim é constante.

x

y

Porém, há infinitas possibilidades de retas com a mesmainclinação. Como determinar qual delas corresponde areta procurada ?

Para isso, vamos investigar qual o valor de 𝑓(𝑥), para𝑥 = 0.

Conclusão : Dada uma função do tipo 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, oseu gráfico será uma reta com inclinação 𝒂, e queintercepta o eixo y no ponto (𝟎, 𝒃).

𝑓 0 = 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑏

b

𝑎 =∆𝑦

∆𝑥

•

𝑓(0)

Por isso as Funções Afim são também chamadas de Funções Lineares

Ou seja, dada uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 seugráfico é uma linha reta, cuja inclinação é constante eigual a 𝒂.

Função Constante: Função Identidade:𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑏

𝑥

𝑦

𝑎 = 0

𝑏 = 0 𝑒 𝑎 = 1•

CASOS PARTICULARES DE FUNÇÕES AFIM

𝒂 = 𝟎 significa inclinação zero, ou seja, uma reta horizontal. 𝒂 =

∆𝑦

∆𝑥= 1 , significa que a reta

é a bissetriz do 1º quadrante.

𝒃 = 𝟎, significa que a reta passa na origem;

𝑥

𝑦

•

𝑓 0 = 0

Diz-se que duas grandezas (x e y) são proporcionais quando existe uma relação dotipo 𝒚 = 𝒄. 𝒙 entra elas, onde 𝒄 é uma constante.

Nesse caso podemos ter as seguintes situações:

Quando: 𝑐 > 0

• 𝑥 cresce ⇒ 𝑦 cresce , se 𝑥 decresce ⇒ 𝑦 decresce;

• Se 𝑥 duplica ⇒ 𝑦 duplica , se 𝑥 triplica ⇒ 𝑦 triplica , etc.

• Neste caso diz-se que 𝑥 e 𝑦 são diretamenteproporcionais;

Quando: 𝑐 < 0

• 𝑥 cresce ⇒ 𝑦 decresce , se 𝑥 decresce ⇒ 𝑦 cresce;

• Neste caso diz-se que 𝑥 e 𝑦 são inversamenteproporcionais;

PROPORCIONALIDADE

𝑥

𝑦

𝑐 =∆𝑦

∆𝑥

𝑥

𝑦

𝑐 =∆𝑦

∆𝑥

MÉTODO PRÁTICO PARA DESENHAR O GRÁFICO

x

y

(0, 𝑏)•

• Primeiro: Sabemos que o gráfico é uma reta e,portanto, basta que tenhamos dois de seus pontospara poder traça-la;

Dada a função : 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 , como traçar seu gráfico ?

• Segundo : Sabemos que 𝑏 = 𝑓 0 , o que nosfornece o primeiro ponto (𝟎, 𝒃)

• Terceiro : Para obter mais um ponto da reta vamosfazer 𝑓 𝑥 = 0, que nos dará o ponto onde a retacruza o eixo 𝑥

𝑓 𝑥 = 0

Basta agora unir os dois pontos para traçar o gráfico.

Mas 𝑓 𝑥 = 0 ⇒ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥 = −𝑏

𝑎Logo temos o segundo ponto (−

𝒃

𝒂, 𝟎)

(−𝑏

𝑎, 0)

•

FUNÇÕES LINEARES - EXEMPLOS

Funções Lineares Crescente e Decrescente

a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 b. 𝑓 𝑥 =𝑥

2− 2 c. 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3

Crescente : 𝒂 > 𝟎 Decrescente : 𝒂 < 𝟎

Esboce o gráfico das funções abaixo

x

y

(0,1)

𝑏 = 1 𝑒 𝑎 = 2

−1

2, 0

•

•

𝑏 = −2 𝑒 𝑎 =1

2

x

y

(0,−2)

4,0

•

•

x

y

(0,3)

3,0

•

•

𝑏 = 3 𝑒 𝑎 = −1

DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM CONHECENDO-SE DOIS PONTOS

Sabemos da geometria que uma reta fica perfeitamentedeterminada a partir de dois de seus pontos.

Mas como determinar a expressão algébrica de uma funçãoafim, a partir de dois de seus pontos 𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1 e𝑃1 = (𝑥2, 𝑦2)

Como os dois pontos pertencem a reta, suas coordenadasdevem satisfazer a equação 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 .

x

y

•

•𝑃2(𝑥2, 𝑦2)

𝑃1(𝑥1, 𝑦1)

Logo, podemos substituir os valores dos dois pontos dadosna expressão geral da função afim, o que nos fornecerá:

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1

𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2

Resolvendo o sistema linear acima, podemos obter os valores de 𝒂 𝑒 𝒃

Determinar as Funções Afim a seguir a partir dos pontos dados

𝑎 + 𝑏 = 1

2𝑎 + 𝑏 = −2 0𝑥 + 𝑏 = 03𝑎 + 𝑏 = 2

−2𝑎 + 𝑏 = 1𝑎 + 𝑏 = −2

EXEMPLOS

𝑃1 = (1,1)

𝑃2 = (2,−2)

𝑃1 = (0,0)

𝑃2 = (3,2)

𝑃1 = (−2,1)

𝑃2 = (1,−2)

Fazendo E2 – E1 temos :

𝑎 = −3

Substituindo em E1 :

−3 + 𝑏 = 1 ⇒ 𝑏 = 4

Logo temos :

𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 4

De E1 temos: 𝑏 = 0

Substituindo em E2 :

3𝑎 = 2 ⇒ 𝑎 =2

3

Logo temos :

𝑓(𝑥) =2

3𝑥

Fazendo E2 – E1 temos :

3𝑎 = −3 ⇒ 𝑎 = −1

Substituindo em E2 :

−1 + 𝑏 = −2 ⇒ 𝑏 = −1

Logo temos :

𝑓 𝑥 = −𝑥 − 1

EQUAÇÕES DO 1º. GRAUO ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO LINEAR

x

Caso 1 : a > 0

x

Caso 2 : a < 0

Equações do 1º. Grau são equações do tipo :

𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎

x

y

b••

Zero ou Raiz𝑓(𝑥) = 0 Zero de uma função linear

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇔ 𝒙 = −𝒃

𝒂

𝑓 𝑥 > 0

𝒙 = −𝒃

𝒂

𝑓 𝑥 < 0

𝒙 = −𝒃

𝒂𝑓 𝑥 > 0

𝑓 𝑥 < 0••

INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

Sentenças do Primeiro Grau

Conjunto Solução de uma Inequação Regras de Manipulação algébrica

É o conjunto dos valores de 𝒙 quetornam a sentença verdadeira. Lembrar que ao multiplicar ambos

membros de uma desigualdadepor um número negativo, o sinalda desigualdade tem que serinvertido.

São sentenças que podem ser colocadas na forma:

𝒂𝒙 + 𝒃 ≥ 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 > 𝟎

𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 ou 𝒂𝒙 + 𝒃 < 𝟎

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0}

Exemplos :

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0}

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0}

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0}

Exemplo:

−𝑥 ≥ −3⇒ 𝑥 ≤ 3

EXEMPOS - INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

Determinar o conjunto solução das seguintes inequações

a. 2x - 5 > 0 b. 3 - 2x ≥ x - 12 c. - 4x ≤ 16

x

Neste caso 𝑎 = 2 > 0

𝑓 𝑥 > 0𝒙 = −

−𝟓

𝟐=

𝟓

𝟐

•

Logo :

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 >5

2

Colocando na forma padrão:

−𝑥 − 2𝑥 + 15 ≥ 0 ⇒

−3𝑥 + 15 ≥ 0

x

Neste caso 𝑎 = −3 < 0

𝑓 𝑥 ≥ 0 𝒙 = −𝟏𝟓

−𝟑= 𝟓

•

Logo :

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 5

x

Neste caso 𝑎 = −4 < 0

Colocando na forma padrão:

−4𝑥 − 16 ≤ 0

•

Logo :

𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ −4

𝑓 𝑥 ≤ 0

𝒙 = −−𝟏𝟔

−𝟒= −𝟒

Exemplos: Determinar o conjunto solução dos seguintes sistemas

SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

Conjunto Solução: O Conjunto solução de um sistema de inequações é formado pelainterseção dos conjuntos solução das desigualdades que compõe o sistema.

a. 2𝑥 − 3 < 14 − 3𝑥 < 13

b. 3𝑥 − 4 > 0−𝑥 + 5 ≥ 0

2𝑥 − 3 < 1 ⇒ 2𝑥 − 4 < 0 ⇒ 𝑥 = −−4

2= 2

1ª inequação:

4 − 3𝑥 < 13 ⇒ -3𝑥 − 9 < 0 ⇒ 𝑥 = −−9

−3= −3

2ª inequação:

⇒ 𝑆1 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 2

⇒ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > −3

𝑎 > 0

𝑎 < 0

𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 2 𝑒 𝑥 > −3

0-3 2

2𝑥 − 3 < 1 ⇒ 2𝑥 − 4 < 0 ⇒ 𝑥 = −−4

2= 2

1ª inequação:

4 − 3𝑥 < 13 ⇒ -3𝑥 − 9 < 0 ⇒ 𝑥 = −−9

−3= −3

2ª inequação:

⇒ 𝑆1 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 2

⇒ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > −3

𝑎 > 0

𝑎 < 0

𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 = 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 2 𝑒 𝑥 > −3

0-3 2

INEQUAÇÕES-PRODUTO E QUOCIENTE

São inequações nas quais aparecem produtos ou quocientes de monômios do1º grau. Para resolvê-las, devemos lembrar que um produto (ou quociente) seránegativo de seus fatores tiverem sinais contrários e positivo se os sinais forem iguais.

Exemplos: Determine o conjunto solução das seguintes inequações

a. 𝒙 − 𝟐 ∙ 𝟏 − 𝟐𝒙 ≤ 𝟎

𝑥 = 21º fator: 𝑎 > 0 e

x

𝑓 𝑥 > 0𝑥 = 2•

𝑓 𝑥 < 0

𝑥 =1

22º fator: 𝑎 < 0 e

𝑓 𝑥 > 0

𝑓 𝑥 < 0•𝑥 =

1

2

𝑥 − 2 − − +

1 − 2𝑥 + − −

Produto − + −

𝒙 =𝟏

𝟐𝒙 = 𝟐

1 220••

b. 𝒙+𝟒

𝒙−𝟏≥ 𝟎

𝑥 = −41º fator: 𝑎 > 0 e

x

𝑓 𝑥 > 0𝑥 = −4•

𝑓 𝑥 < 0

𝑥 = 12º fator: 𝑎 > 0 e

𝑓 𝑥 > 0

𝑓 𝑥 < 0

•𝑥 = 1

𝑥 + 4 − + +

𝑥 − 1 − − +

Quociente + − +

𝒙 = −𝟒 𝒙 = 𝟏

-4 20••

INEQUAÇÕES-PRODUTO E QUOCIENTE

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