Funcoes Polinomiais Recursos Para a Aula (1)

7/24/2019 Funcoes Polinomiais Recursos Para a Aula (1)

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216 DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância

4

PARTE

R

e c u r s o s p a r a a

a u l a

TEMA 2 Funções polinomiais, racionais e exponenciais

História da Matemática

prESSáGIO FuNESTOChistian Goldbach nasceu em Konisgbeg, pússia,

actualmente Caliningado, na rússia, a 18 de Maço de1690 e moeu a 20 de Novembo de 1764 em

Moscovo.

O seu ai foi um asto otestante em Konisgbeg,onde Chistian cesce e estdo Medicina e Dieito.Em 1710 inicio ma viagem ea Eoa dante 14anos que lhe emitiu conhece alguns dos mais

imotantes cientistas da éoca, como, o exemo,leibniz, os membos da famia Benoi, De Moive,Ee…

poco temo deois de egessa a Konisgbeg(1724) ofeeceam-lhe um luga como ofesso de

Matemtica e de Históia em São petesbgo (1725),onde taou contacto com a nobeza e com os cículosde ode do iméio usso, até que em 1728 foi

nomeado tto do jovem cza pedo II, mdando-seaa Moscovo, cidade onde estava a cote.

pedo II moe dois anos deois, em 1730, e otabalho de Goldbach teminou, emboa tivesse

continuado ao seviço da imeatiz da rússia, Ana

Ivanova. Em 1732, a cote mudou-se aa São

petesbugo e Goldbach etomou o seu tabalho naAcademia, ela qual foi esonsável. Ascendeam

aulatinamente a sua osição social e os seus

endimentos, imeio com o seu tabalho aa o

Ministéio dos Negócios Estangeios e mais tade comoconseheio ivado.

realizou imotantes tabalhos no camo da

Teoia de Númeos e é ecodado elo seu agumento,qe foi escito ea imeia vez nma cata diigida aEule: «Cada númeo inteio a maio do que dois

ode esceve-se como soma de dois númeos

imos.»



217DESAFIOS • Matemtica • 10.o ano • Mateia fotocoive © Santiana-Constância

4

PARTE

R e c ur s o s p ar a

a a ul

a

rADIAçõES ElECTrOMAGNÉTICASA adiação electomagnética é oduzida ela oscilação das descagas elécticas. As ondas

electomagnéticas oagam-se ataés do a ou do azio, dado que não ecisam de um meio mateialaa o faze.

Estas ondas movem-se à velocidade da luz (c 5 300 000 km/s) e oagam-se segundo o

movimento ondatóio cjas caactesticas estão definidas eo se comimento de onda (l), qese mede em metos, e a sa feqência (f ), qe é o númeo de osciaes o cicos qe, nm onto A,se dão o segndo. A nidade de feqência é o hetz, Hz, qe eqivae a m cico o segndo.

A eaão ente o comimento de onda (l), em metos, e a feqência (f ), em hetz, é: f c 5l

.

Consoante o valo do comimento de onda,

denominam-se de foma difeente; o exemlo, aios X(comimentos de onda infeioes a 1 nanómeto, um

milionésimo de milímeto), adiação ultaioleta, luz isíel

(comimento de onda ente 400 e 800 nanómetos), infaemelhos, ondas de ádio (comimentode onda até vios mihaes de metos), etc.

As micoondas são ondas eectomagnéticas cjo comimento de onda vai de 1 mm a 30 cm.A fequência das micoondas aa um comimento de onda de 1 mm calcula-se de acodo com

a fnão de oocionaidade invesa, qe eaciona comimento de onda e feqência:

f c 300 000 km/s

0,001 m

3 10 m/s

1

8

5 5 53

l 10 m 3 10 Hz 300 GHz

3

11

35 3 5

2

Obseva que o comimento é exesso em metos e a constante c

exessa-se em m/s, aa obte como estado a feqência em hetz. Como oestado é mito eevado, convetemo-o em Gigahetz, GHz (1GHz5 109 Hz).

A uTIlIDADE DAS pAráBOlAS1. Aplicação às antenas parabólicas e aos faróis dos automóveis

A imeia figa eesenta a seginte oiedade: qaqe aio qechega aalelo ao eixo eflecte-se na aábola assando elo foco. Inesamente,qualque aio que sai do foco de um eselho aabólico eflecte-se na aábolae sai aalelo ao eixo. É nesta oiedade que se baseiam as antenas aabólicas:as ondas chegam aalelas ao eixo e, ao eflectiem-se, assam elo foco onde

são ecebidas (figua 1). Nos faóis dos automóeis, o onto luminoso fica situadono foco e os aios saem aaeos ao eixo (figa 2).

2. Aplicação bélica da parábola

Desde a éoca de Galileu (1564-1642) sabe-se que, ao disaa um canhão,a tajectóia descita ela bala é uma aábola que deende do ângulo de

incinaão û do canhão sobe a hoizonta e da veocidade com qe a baa sai.

Este facto é mito úti, ois se qisemos disaa de m onto A a m avo B qe não odemose, oque está o detás de uma montanha, temos aenas que inclina o canhão, e a bala, seguindoa sa tajectóia aabóica, assa o cima da montanha aa aceta no avo B (figa 3).

Curiosidades matemáticas

A

l

Foco

Foco

A B

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3




4

PARTE

R e c u r s o s p a r a a

a u l a

CONVÉM QUE…

Conhea o qe é ma potência

com expoente fraccionário.

PORQUE…

Nas fnes exonenciais tambémse tiizam exoentes faccionios.

A potência de expoente fraccionário a

m

n é o adica de ndice n e adicando

am, isto é: a amn

m

n 5 .

po exemo:

3 345 455

5 5

32 35

2

2

5

75

7

5 52

2

1 1

2257

Conteúdos prévios

CONVÉM QUE…

reveja o conceito de função afim.

PORQUE…

É ma caso atica das fnesoinomiais de imeio ga.

uma fnão afim é ma fnão do tiof (û)5 mû 1 b, onde m e b sãonúmeos difeentes de zeo.

O se gfico é ma inha ecta.Ao númeo m chama-se declive e a b

chama-se ordenada na origem.

y

û

f( ) = 2 – 2û û

1

1

CONVÉM QUE…

Seja caaz de esove equações do

segundo grau.

PORQUE…

Se-he- úti aa eesentaaboas.

Equações do segundo grau completas

aû2 1 bû 1 c 5 0

2û2 2 û 2 15 0

û6 64

2

1 8

452 2

51

5b b ac

a

2 1 û

û

1

2

1

1

2

5

52

Equações do segundo grau incompletas

aû2 1 bû 5 0

7û2 2 4û 5 0→ û ? (7û 2 4)5 0

û

û

1 0

7 4 0

5

2 5

→

û24

75

aû2 1 c 5 04û2

2 365 0→ û25

36

4 5 9→ û 5 9

û

û

1

2

3

3

5

52




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PARTE


a a ul

a

Notação matemática

O QUE SIGNIFICA?

f (û)5 mû 1 b Exessa mafunção cuja

representação

é uma recta.

COMO ESCREVEMOS?

O decive da ecta (coeficienteda vaiveû) eesenta-se com a eta m

e a odenada na oigem com a eta b.

po vezes, também se esceve na foma:

f (û) = aû 1 b

onde a eesenta o mesmo qe m.

y = mx + n

y = mx

n

y = n

m < 0

m = 0

m > 0

y

û

O QUE SIGNIFICA?

f (û)5 Indica ma5 aû2

1 bû 1 c , função cuja

com a Þ 0 representação

é uma parábola.

COMO ESCREVEMOS?

a, b e c costmam se os coeficientesda eqaão de segndo ga.

Costma acescenta-se a condiãoa Þ 0 aa se te a ceteza de qeo oinómio é de segndo gae qe eesenta ma aboa.

a > 0

a < 0

Máximo

Mínimo

y

û

O QUE SIGNIFICA?

f (û)5 k

aû2 + b Indica ma

função cuja

representação

é uma hipérbole.

COMO ESCREVEMOS?

O nmeado da facão costmadesigna-se o k , em semehana com a constantede oocionaidade invesa enteas gandezas qe têm esta eaão.

y

û

f ( ) = + bk

– aû

û

O QUE SIGNIFICA?

f (û)5 aû Indica maa Þ 1 função

a . 0 exponencial.

COMO ESCREVEMOS?

As fnes exonenciais são do tio2û, 7û, (4)û…

A eta a indica a base da otência,qe é m númeo ositivo conhecido,e a eta û, o exoente, qe é a vaiveda fnão.

y = a

a > 1

y

û

û y = a

a < 1

û

O QUE SIGNIFICA?

f (û)5 ogaû Indica ma

a Þ 1 função

a . 0 logarítmica.

COMO ESCREVEMOS?

As fnes ogatmicas são do tioog2û, og(û+1), nû, 5n û… isto é,a eta a indica a base do ogaitmoqe tem de se m númeo ositivoconhecido.

y = loga

a > 1

y

û

û

y = loga

a < 1

û



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PARTE


a u l a

220 DESAFIOS • Matemática • 10.o ano • Material fotocopiável © Santillana- Constância

1 Máximo de uma função quadrática

Uma empresa fabrica um artigo que tem um

custo de 100 €. Se o vender por 120 €, há 2000

pessoas que o compram. Por cada euro de

aumento do preço, o número de compradores

desce em 50 pessoas, e por cada euro que dimi-

nua, há mais 50 compradores.

Qual é o preço a que a empresa deve vender o

artigo para obter o lucro máximo?

E qual será esse lucro?

Façamos um estudo da função acerca da qualse pretende saber o máximo. O lucro total será

igual ao produto do lucro por artigo e do número

de compradores.

Seja û o acréscimo de preço, o lucro unitário

será 20 1 û, e o número de compradores será

2000 2 50û.

Assim, o lucro total ( y ) em função do acréscimo

de preço (û) é dado pela função:

y 5 (20 1 û)(2000 2 50û) 5

5 250û2 1 1000û 1 4000

Esta é uma função do segundo grau de coefi-

ciente a 5 250 , 0; logo, corresponde a uma

parábola côncava com máximo no seu vértice.

Se acharmos o vértice, encontramos o valor de

û que procuramos:

û2

1000

2 ( 50)105

25

2

3 2

5b

a

O lucro máximo obtém-se quando se aumen-

ta 10 €, isto é, quando o preço de venda é

120 1 10 5 130 €. Nesse caso, o lucro total é:

y = (20 1 10)(2000 2 50 3 10) 5 30 3 1500 5 5 45 000 €

Realize as seguintes actividades

Os ganhos totais de uma empresa são dados

pela função y 2

3

11

432

52 1 1û û , onde û são

os milhares de unidades produzidas e y são os

milhares de euros de lucro. Calcule quantas

unidades deve a empresa produzir para que o

lucro seja máximo.

2 Máximo de uma função quadrática

Uma empresa sabe que a função, que relaciona

o custo em euros para produzir uma unidade de

um artigo, e sendo û o número de unidades

produzidas, tem a seguinte expressão algé-

brica:

y 5 1

5(û 2 4)(û 2 400) 1 8000

Quantas unidades se devem fabricar para que

o custo unitário seja mínimo?

Efectuamos as operações para expressar a

equação na forma canónica y 5 aû2 1 bû 1 c .

y 5 1

5(û 2 4)(û 2 400) 1 8000 5

51

5û

22

404

5û 1 8320

A função é uma parábola, neste caso convexa,

uma vez que a

5

1

5

. 0. O seu mínimo, que

é o que queremos determinar, será o seu vértice.

û 2

404

52

1

5

2025

2

5

3

5

b

a

O custo por unidade é:

f (202) 5 159,20 €

Realize as seguintes actividades

Quanto medem os

lados de um triângulo

rectângulo, tal que a

soma dos seus catetos

é 20 e o quadrado

construído sobre a

sua hipotenusa tem

área mínima?

NESTE PROJECTO, PRETENDEMOS QUE APRENDA A:

• Calcular os extremos relativos de funções de segundo grau correspondentes a situações reais.

• Obter, de forma aproximada, os extremos relativos de outras funções.

Na vida quotidiana… Optimização de funções





Estratégias de resolução de problemas4

PARTE


a u l a


1 Um fazendeiro deseja construir um

recinto rectangular, para o qual dispõe

de 12 m de arame. Como um dos lados

coincide com um muro, não é necessário

vedá-lo.

Esceva a ea (S) do ecinto em fnão do comimento do ado û. reesentagaficamente a fnão qadtica obtida

e detemine aa qe vao de û se obtém

a ea mxima. Tenha em consideaão qe2û 1 y 5 12.

PROBLEMAS PROPOSTOS

Pretende-se fechar um terreno rectangular com 50 m de arame. Quais devem ser as dimensões

do recinto para que a área seja máxima?

Apresentação e resolução

Sejamû e h as dimenses do teeno ectanga. Como o emeto mede 50 m,tem-se qe a eaão ente a base,û, e a ata, h, é: û 1 h 5 25.

Se designamos o y a ea do ectângo vem qe:

y 5 û ? h 5 û ? (252 û)⇔ y 5 25û 2 û2

Como û 1 h 5 25, os vaoes de û vaiam ente 0 e 25, como se ode ve na tabea.

paa eesenta a fnão, ocamos os ontos de intesecão com o eixo dos û, esovendo a eqaão:

25û 2 û2 5 0→ û ? (252 û)5 0

E como o coeficiente de û2 da fnão énegativo, a concavidade é votada aa baixoe o mximo enconta-se no onto médio do intevao (0, 25), isto é, o mximoobtém-se aa û 5 12,5 e a ea mxima é y 5 156,25 m2.

O vao de h é 12,5 m e o ecinto é m qadado.

PROBLEMA RESOLVIDO

FAZER TABELAS E GRÁFICOS

ESTrATÉGIA: Em agns obemas, é úti eesenta gaficamente ma fnão o consti ma tabea com

os dados do obema.

h

û

y

O 12,5

156,25 V (12,5; 156,25)

25 û

y

Sû

û1 5 0

û2 5 25

TABELA DE VALORESDE y 5 25Æ 2 Æ2

û y

0 0

5 100

10 150

12,5 156,25

15 150

20 100

25 0




4

PARTE


a a ul

a

TEMA 2 Polinómios

HIstória da Matemática

uM HOMEM DE prINCípIOSpaolo ruffini nasceu em 1765 em valentano, onde

o seu ai execia Medicina. Anos mais tade toda a

famia se mdo aa Modena, em cja nivesidaderuffini estudou Matemática, Medicina, Filosofia e

liteata.

poco temo deois, em 1791, acano o gade ofesso de Matemática nessa mesma uniesidadeao mesmo temo que obtinha a autoização aa

exece a ofissão de médico em Modena.

Aós a inasão naoleónica da egião, que assoua chama-se reública Cisalina, paolo ruffini fez atedo ecém-ciado Conselho da reública Cisalina,

cago qe abandono aós dois anos aa eintegaos seus afazees na univesidade. Ao etoma a sua

actividade académica, aa não ede o seu cago,

tinha de jua fidelidade à bandeia fancesa. ruffini

ecso-se a ja e ede a cteda de Matemticana univesidade, motivo elo qual se voltou aa a

ática da Medicina, emboa sem abandona a

Matemtica.

Anos mais tade, egessaia à uniesidade comoseu eito. No camo da Matemática investigou a

esoão de eqaes e a foma de oea com eas. Todavia, aqio o qe é nivesamente conhecidoé ela ega de ruffini: um método aa dividi

oinómios a ati dos ses coeficientes.

Moeu em Modena em 1822, ovavelmente

devido ao tifo, doença que tinha estudado duante

ma eidemia qe assoo a zona nessa éoca.

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