Embed Size (px)
Citation preview
Função
Definição:
Se A e B são conjuntos não-vazios, dizemos que
uma relação de A em B é uma função (ou aplicação) f de
A em B se, e somente se, todo elemento Ax estiver
associado apenas um, e somente um, elemento y em B .
Observações Importantes:
A sentença f é função de A em B pode ser
indicada por BAf : .
Na linguagem matemática, y e )(xf têm o mesmo
significado.
Testes
1) Os esquemas abaixo representam relações de A em B.
Indique as relações que são funções:
2) (UFF-RJ) Em um certo dia, três mães deram a luz em
uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda,
trigêmeos e a terceira teve, um único filho. Considere,
para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o conjunto das 6
crianças e as seguintes relações:
I. À que associa cada mãe ao seu filho.
II. À que associa cada filho á sua mãe.
III. À que associa cada criança ao seu irmão.
São funções:
a) somente a I; c) somente a III; e) nenhuma.
b) somente a II; d) todas;
Domínio, Contradomínio e Imagem
Domínio:
Contra-Domínio:
Imagem:
Valor numérico de uma função
Chamamos de valor numérico da função )(xf o
valor que a variável y assume quando a variável x é
substituída por um determinado valor que lhe é atribuído.
Testes
1) (FAAP) Durante um mês, o número y de unidades
produzidas de um determinado bem e função do número x de
funcionários empregados de acordo com a lei xy 50
Sabendo que 121 funcionários estão empregados, o acréscimo
de produção com a admissão de 48 novos funcionários é:
a) 550 b) 250 c) 100 d) 650 e) 200
2) (UERJ-2004) Uma panela, contendo um bloco de gelo a
-40°C, é colocada sobre a chama de um fogão.
A evolução da temperatura T, em graus Celsius, ao longo do
tempo x, em minutos, é descrita pela seguinte função real:
T(x) = 20x - 40 se 20 x
T(x) = 0 se 102 x
T(x) = 10x - 100 se 2010 x
T(x) = 100 se 4020 x
O tempo necessário para que a temperatura da água atinja
50°C, em minutos, equivale a:
a) 4,5 b) 9,0 c) 15,0 d) 30,0
3) (UFRN) Se 3
4)2(
x
xxf , então )5(f é igual a:
a) 3
4 b)
10
3 c) 1 d)
5
2 e)
8
1
4) (UFMA) Seja IRIR: f uma função tal que
5)()12(.2 xfxf , para todo x real. O valor de
)0(f , sabendo-se que 0)31( f , é:
a) 255 b) 0 c) 150 d) 75,5 e) 155
5) (CEFET-RN-2003) A temperatura (T) de uma estufa, em
graus centígrados (ºC), é regulada em função do tempo (t)
pela expressão: 1552
T2
tt
. Quando t = 8, a
temperatura (T) da estufa será de:
a) 17º C b) 19º C c) 21º C d) 23º C
2
6) Qual dos seguintes gráficos não representam uma
função f:IR→IR: ?
7) (PUC-RS-2004) Em uma fábrica, o número total de
peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho
é dado por
O número de peças produzidas durante a quinta hora de
trabalho é
a) 40 b) 200 c) 1000 d) 1200 e) 2200
8) (UFRRJ) O matemático Mathias levou seu filho a um
parque de diversões. Enquanto o menino se divertia nos
brinquedos, Mathias passava o tempo fazendo tentativas
de representar graficamente os movimentos de seu filho.
Tentando representar
I. a altura de seu filho em função do tempo na roda
gigante,
II. a velocidade de seu filho em função do tempo no
escorrega,
III. a velocidade de seu filho em função do tempo na
gangorra,
IV. a distância de seu filho até o centro do carrossel, em
função do tempo no carrossel,
o matemático Mathias fez os seguintes gráficos:
O conjunto que melhor representa as relações entre
movimentos e gráficos é
a) R = {(I, 2), (II, 1), (III, 4), (IV, 6)}.
b) R = {(I, 1), (II, 2), (III, 3), (IV, 4)}.
c) R = {(I, 3), (II, 5), (III, 2), (IV, 1)}.
d) R = {(I, 2), (II, 3), (III, 5), (IV, 6)}.
Estudo do Domínio da Função real
Definição:
O domínio da função é um subconjunto de IR, no qual é
formado por todos os valores possíveis reais de x , para os
quais as operações indicadas na lei de associação sejam
possíveis em IR.
Testes
1) Determine o domínio das seguintes funções de variável
real:
a) xxy 32 d) 3 23 xy
b) x
xf1
)( e) 423)( xxxf
c) 2
)(
x
xxf f)
4
2)(
x
xxf
(PUC) O conjunto de todos os x para os quais
x
xxf
1
1)( é um número real é:
a) { }11/ xIRx
b) }1/{ xIRx
c) }11/{ xIRx
d) }1/{ xIRx
Análise de Gráficos
Função Crescente
Definição:
Uma função f , real de variável real, é crescente
em A , )( fDA , se, e somente se, para quaisquer
números 1x e 2x do conjunto A , no qual ocorre 21 xx
temos )()( 21 xfxf .
Função Decrescente
Definição:
Uma função f , real de variável real, é decrescente
em A , )( fDA , se, e somente se, para quaisquer
números 1x e 2x do conjunto A , no qual ocorre 21 xx
temos )()( 21 xfxf .
Zeros de uma função
Definição:
O número real x que pertence ao domínio da função f
e faz 0)( xf é denominado zero da função f .
3
Sinal de Uma Função
Criério Gráfico da Reta Vertical
O gráfico de uma relação, representa uma função
quando toda reta vertical que o corta, só o faça uma única
vez.
Critério Gráfico da Reta Horizontal
O gráfico de uma função, representa uma função
injetora quando toda reta horizontal que o corta, só o faça
uma única vez.
Testes
1) (UFRN-2002) O banho de Mafalda. Na hora do banho,
Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou
observando o nível da água subir. Deixou-a encher
parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira,
entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira.
O gráfico abaixo que mais se aproxima da
representação do nível(N) da água na banheira em função
do tempo (t) é:
2) (UFRN-2001) Um reservatório com formato de um
cilindro circular reto (veja figura abaixo) está sendo
abastecido de água, com vazão constante. A altura do
reservatório é H metros, e ele, com essa vazão, enche
completamente em T horas.
Dentre os gráficos abaixo, aquele que representa a altura (h)
do nível da água no reservatório em função do tempo (t) é:
3) (INSPER-2010) No gráfico a seguir estão representadas a
entrada e a saída de água da caixa d´água de um edifício,
durante as 24 horas de um dia. A linha tracejada indica o
fluxo de água que abastece a caixa d’água e a linha cheia o
fluxo que está sendo consumido.
O horário deste dia em que o nível da caixa d’água esteve
mais alto ocorreu
a)entre 0h e 1h d) entre 15h e 16h
b)entre 5h e 6h e) entre 20h e 21h.
c)entre 10h e 11h
4) (ENEM) Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o
metabolismo do álcool e sua presença no sangue dependem de
fatores como peso corporal, condições e tempo após a
ingestão. O gráfico mostra a variação da concentração de
álcool no sangue de indivíduos de mesmo peso que beberam
três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em
jejum e após o jantar. Tendo em vista que a concentração
máxima de álcool no sangue permitida pela legislação
brasileira para motoristas é 0,6 g/L, o indivíduo que bebeu
após o jantar e o que bebeu em jejum só poderão dirigir
após, aproximadamente,
4
a) uma hora e uma hora e meia, respectivamente.
b) três horas e meia hora, respectivamente.
c) três horas e quatro horas e meia, respectivamente.
d) seis horas e três horas, respectivamente.
e) seis horas, igualmente.
Tipos de Função
Função Sobrejetiva
Definição:
Dizemos que uma função f : A → B é sobrejetiva
(ou sobrejetora) se, e somente se, o conjunto imagem for
igual ao contradomínio da própria função, isto é, Im(f) = B.
Em outras palavras não pode sobrar elementos do conjunto
B sem receber flechas.
Função Injetiva
Definição:
Uma função f : A → B é chamada injetiva, a quem
chame de injetora, quando cumpre a seguinte condição:
x1 = x2 em A => f(x1) = f(x2) ou, equivalentemente,
f(x1) = f(x2) => x1 = x2. Portanto não poderá ter elemento
recebendo duas flechas.
Importante
A propósito: o termo “injetiva” é preferível a
“injetora”, inclusive porque se presta à formação o de
derivados como “injetividade”, enquanto que “injetoridade”
simplesmente não existe.
Função Bijetiva
Definição:
Uma função é bijetiva (ou bijetora) quando é
simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Observe os diagramas abaixo:
Testes
1) (UFRN-2006) Sejam B o conjunto formado por todos os
brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f : B → R é a
função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em
centímetros, então f : a) é injetiva e não é sobrejetiva.
b) é injetiva e é sobrejetiva.
c) não é injetiva e é sobrejetiva.
d) não é injetiva e não é sobrejetiva.
2) (UFRN-2002) Sejam E o conjunto formado por todas as
escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado
pelos números que representam a quantidade de professores
de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a função que a
cada escola de E associa seu número de professores, então:
a) f não pode ser uma função bijetora.
b) f não pode ser uma função injetora.
c) f é uma função sobrejetora.
d) f é necessariamente uma função injetora.
3) Considere três funções hgf e, , tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital.
A função h atribui a cada número natural, p seu dobro.
Podemos afirmar que das funções dadas, são injetoras:
a) hgf e, c) hg e
b) hf e d) apenas h
4) (UNIMONTES-2008) As tabelas a seguir representam
algumas conjugações do verbo estar.
5
Das tabelas acima, a única que representa uma bijeção de
A em B é a:
A) tabela 1. C) tabela 3.
B) tabela 2. D) tabela 4.
Função Composta
Definição:
Sejam BAf : e DCg : tais que
)()Im( gDf , então definimos uma terceira função
DAgof : tal que ))(()( xfgxgof .
Exemplo:
Sejam 43)( xxf e 1)( 2 xxg duas funções
reais. Determine ))(()( xfgxgof :
Representação por diagrama:
Função Inversa
Definição:
Sendo BAf : uma função bijetora, chamamos de
função inversa de f , e representamos por 1f , à função
ABf :1 tal que: xyfyxf )()(1
.
Determinação da Inversa
Sendo BAf : uma função bijetora
a) Trocar x por y e y por x , na lei de f .
b) Isolando-se y , encontramos 1f .
Exemplo:
Consideremos os conjuntos A= {0, 2, 4, 6, 8} e
B = {1, 3, 5, 7, 9} e a função BAf : definida por
1 xy . A função f está representada no diagrama
abaixo:
Determine à função ABf :1, representada no
diagrama abaixo:
Testes
1) Sejam IRIRf : e IRIRg : . Determine
))(( xgf e ))(( xfg no cãs abaixo:
73)( xxf e 14)( xxg
2) (UFRN-91) Se f e g funções reais dadas por
1)( xxf e 2)( xxg , então )1)(( xfog é:
a) 12 x d) 22 )1( x
b) 1)1( 22 x e) 2)1( 2 x
c) 1)1( 2 x
3) (UFRN-95) Se f e g funções de IR em IR, tais que
32)( xxf e xxgf ))(( , então )(xg é igual a:
a) 12 x c) 23 x e) 2
3x
b) 32 x d) 32 x
x
4) Determine a inversa das seguintes funções bijetoras:
a) 13)( xxf
b) 5
23)(
xxf
c) 3
12)(
x
xxf , }3{)( IRfD e }2{)( IRfCD
d) 1)( 3 xxf
e) 2
)(
x
xxf , }2{)( IRfD e }1{)( IRfCD
5) (UNIRIO) Hoje em dia, não basta ser verde!
Eram exatamente 19h59 horas do dia 20 de março e toda a
equipe do Instituto Sea Shepherd Brasil, uma ONG nacional,
criada por brasileiros, para agir em prol dos ambientes
marinhos do Brasil, estava mobilizada para ajudar a combater
um dos maiores desastres das companhias de petróleo no
mundo - o afundamento da plataforma P36.
6
Na medida em que nenhum derramamento de óleo no mar é
ecologicamente insignificante, analise a situação de uma
mancha de óleo sobre a superfície da água em forma de um
círculo de raio r (em m) e área S (em m2).
Considerando que a área é uma função do raio dada por
A(r) = r2, e que o raio r aumenta em função do tempo t
(em min), de acordo com a relação r(t) = 5 + 5t, qual é a
área (em m£) da mancha de óleo no instante t = 2min?
Considere o valor de = 3,14.
a) 47,10 b) 706,50 e) 38,10
c) 70,65 d) 57,10
6) (VUNESP-2010) Através dos gráficos das funções f(x)
e g(x), os valores de f(g(0)) e g(f(1)) são, respectivamente:
a) –5 e 0. b) –5 e 2. c) 0 e 0. d) 2 e –5. e) 2 e 0.
Função Constante
Denomina-se função constante toda
IRIR: f definida por bxf )( se, e somente se,
a cada IRx , for sempre associado ao mesmo elemento
IRb .
Representação Gráfica
O gráfico da função constante é uma reta paralela
ou coincidente ao eixo abscissas, passando pelo ponto
),0( b .
Função Polinomial de 1º grau
Definição:
Denomina-se função polinomial de 1º grau, ou
função afim toda função IRIR: f definida por
baxxf )( , com a e b IR e 0a .
Tipos de função afim
i) Função linear
Toda função afim baxxf )( em que o termo
independente de )(bx é igual a zero é também chamada de
função linear axxf )( )0( a .
O gráfico da função linear é uma reta que passa pela
origem )0,0( do sistema cartesiano.
ii) Função Identidade
Na função axxf )( , se 1a , xxf )( é
denominada função identidade.
O gráfico da função identidade é a reta bissetriz
aos 1º. e 3º. quadrantes
Raiz ou zero da função
De modo geral, zero da função baxxf )( é o
valor de x para o qual 0)( xf . Logo, fazendo
0)( baxxf , temos:
a
bx (zero da função).
Representação Gráfica
Toda função polinomial do 1º grau,
baxxf )( , com 0a , é representada por uma
reta oblíqua ao eixo das abscissas, ou seja, não paralela aos
eixos Ox e Oy .
Testes
1) Uma indústria implantou um programa de prevenção de
acidentes de trabalho. Esse programa prevê que o número y
de acidentes varie em função do tempo t (em anos) de acordo
com a lei y = 28,8 - 3,6t. Nessas condições, quantos anos
levará para essa indústria erradicar os acidentes de
trabalho?
2) (CEFET-RN-2007) Sendo q a quantidade produzida de um
determinado produto, chamamos ponto de equilíbrio o ponto
cuja abcissa q é tal que a receita total é igual ao custo total.
Sabendo-se que a receita total e o custo total de um certo
produto são dados, respectivamente, por RT = q + 2 e
CT = 2q – 2 , a quantidade a ser produzida no ponto de
equilíbrio é
a) 4. b) 6. c) 0. d) 2.
3) (UFRN) Numa corrida de táxi, a bandeirada vale R$ 3,00
e cada quilometro rodado R$ 1,20. Quanto se pagará, em
reais, pou uma corrida de 15 km?
a) 22 b) 19 c) 21 d) 20 e) 18
4) (VUNESP-97) 0 gráfico mostra o resultado de uma
experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da
folha de um certo vegetal, em função do tempo e em
condições diferentes de luminosidade.
7
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se
razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como
taxa de absorção (geralmente medida em μ moles por
unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a
taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no
escuro, a relação entre essas duas taxas é:
a) m1 = m2. c) m1 . m2 = 1. e) m1 = 2m2.
b) m2 = 2m1. d) m1 . m2 = -1.
5) (UERJ-2002) Sabedoria egípcia
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a
sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares
de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de
direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram
que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de
tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela
recuava até perto da vareta. As sombras mais longas
coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias
quentes.
(Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.)
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita
no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de
comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da
sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de
coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y)
e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os
segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra
que ela determinava no chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação
da reta que contém o segmento AB:
a) y = 8 – 4x
b) x = 6 – 3y
c) x = 8 – 4y
d) y = 6 –3x
6) (UFRN-2002) A academia Fique em Forma cobra uma
taxa de inscrição de R$ 80,00 e uma mensalidade de R$
50,00. A academia Corpo e Saúde cobra uma taxa de
inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 55,00.
a) Determine as expressões algébricas das funções que
representam os gastos acumulados em relação aos meses
de aulas, em cada academia.
b) Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que
pretende “malhar” durante um ano? Justifique, explicitando
seu raciocínio.
7) (UFSE) O gráfico abaixo informa a quantia a ser paga pelo
consumo de água, em certa cidade da região nordeste.
De acordo com o gráfico, um consumo de 28 m3 importa no
pagamente de:
a) R$20,00 c) R$ 72,00 e) R$ 112,00
b) R$ 58,00 d) R$ 90,00
8) (PUC-2007) De acordo com certa revista, o peso ideal do
corpo adulto em função da altura é dado pela fórmula
a 150P (a 100)
b
, em que P é o peso, em
quilogramas, a é a altura, em centímetros, b 4 , para
homens, e b 2 , para mulheres. Se André e Simone, que
têm a mesma altura, estão com seu peso ideal, segundo a
informação dessa revista, e André pesa 6 quilos a mais do
que Simone, pode-se afirmar que o peso de Simone, em
quilogramas, é igual a:
a) 54 b) 56 c) 62 d) 68
9) (ENEM-2009) Uma empresa produz jogos pedagógicos
para computadores, com custos fixos de R$ 1.000,00 e
custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida.
Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por
C(x) = 1 + 0,1x (em R$1000,00). A gerência da empresa
determina que o preço de venda do produto seja de R$
700,00. Com isso a receita bruta para x jogos é dada por
R(x) = 0,7x (em R$ 1000,00). O lucro líquido, obtido pela
venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença
entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que
modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando
são produzidos x jogos, é:
8
11) (ENEM) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de
extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de
crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies
ameaçadas de extinção em 2011 será igual a
a) 465. b) 493 c) 498. d) 538. e) 699.
12) (UFPEL-2009) Numa empresa A de telefonia, a
tarifação mínima corresponde a 30 unidades de tempo e
não é gratuita. Após essa tarifação inicial, a cobrança é
feita proporcionalmente ao tempo utilizado. Em outra
empresa, B, o tempo de tarifação inicial é o dobro do
considerado na empresa A, porém o valor cobrado é 50%
mais caro. Após a tarifação inicial em B, o valor cobrado
por tempo utilizado é 25% mais barato do que em A.
Nessas condições, dentre os esboços abaixo, o que
representa graficamente, de forma mais aproximada, os
valores cobrados pelas duas empresas A e B é:
Estudo do Sinal
Dada a função baxxf )( , com 0a ,
temos dois casos a considerar:
0a (função crescente)
(zero da função)
0a (função decrescente)
(zero da função)
Inequações Simultâneas
São inequações do tipo: )()()( xhxfxg
Inequações desse tipo podem ser desmembradas em
duas, formando um sistema:
)()(
)()(
xhxf
xfxg
Inequação Produto
Dadas às funções )(xf e )(xg , chamamos de
inequação produto toda inequação que pode assumir uma das
seguintes formas:
0)()( xgxf 0)()( xgxf
0)()( xgxf 0)()( xgxf
Inequação Quociente
Dadas às funções )(xf e )(xg , chamamos de
inequação quociente toda inequação que pode assumir uma das
seguintes formas:
0)(
)(
xg
xf 0
)(
)(
xg
xf
0)(
)(
xg
xf 0
)(
)(
xg
xf
Inequação Potência
Dada a função )(xf e o número *INn , chama-
se inequação potência toda inequação do tipo:
0)( n
xf 0)( n
xf
0)( n
xf 0)( n
xf
13) Resolva as inequações:
a) )2.(5143 xx
b) 6322 xxx
14) Determine o conjunto solução das inequações:
a) 0)4).(1).(2( xxx
b) 31
1
x
x
c) 0)6.()1.()3( 845 xxx
15) Após o pagamento de todos os custos na importação de
um produto, uma empresa calcula o faturamento que terá com
o mesmo usando a lei f(x) = 8x - 640, onde f(x) é o fatu-
0)( xf
0)( xf
baxxf )(
a
b
0)( xf
baxxf )(
0)( xf a
b
9
ramento líquido de x unidades vendidas. Qual a quantidade
mínima que essa empresa terá de vender para obter lucro?
Função Polinomial de 2º grau
Definição:
Denomina-se função polinomial de 2º. Grau, ou
função quadrática, toda função IRIR: f definida
por cbxaxxf 2)( , com a , b e c IR e
0a .
Exemplos:
a) xxxf 100)( 2 b) 143)( 2 xxxf
Zero da função quadrática
Chama-se de zero ou “raízes da função” polinomial
do 2º grau cbxaxxf 2)( , 0a , os números
reais x tais que 0)( xf .
Quantidade de raízes
0 ( Duas raízes reais e distintas).
0 ( Duas raízes reais e iguais).
0 ( raiz real).
Representação Gráfica
A construção gráfica de uma função quadrática no
plano cartesiano é uma curva denominada de parábola, que
dependendo dos sinais de a e de podem assumir uma
dos seguintes casos:
Observações Importantes
1º) As coordenadas do vértice V são dadas por:
a
bxv
2 e
ayv
4
2º) Se 0a , temos:
Parábola com a concavidade voltada para cima.
O conjunto imagem é
a
yyf4
/IR)Im( .
a
yv4
é denominado valor mínimo.
3º) Se 0a , temos:
Parábola com a concavidade voltada para cima.
O conjunto imagem é
a
yyf4
/IR)Im( .
ayv
4
é denominado valor máximo
Estudo do Sinal
1º Caso 0a (Concavidade para cima)
0a
0 ( Duas
raízes reais e
distintas, ).
0 ( Duas
raízes reais e
iguais).
0 ( raiz
real).
2º Caso 0a (Concavidade para baixo)
0a
0 ( Duas
raízes reais e
distintas, ).
0 ( Duas
raízes reais e
iguais).
0 ( raiz
real).
Testes
1) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao
fim de t segundos, atinge a altura h, dada por:
h = 40t - 5t2.
a) Calcule a posição da pedra no instante 2 s.
b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75 m,
durante a subida.
c) Determine em que instante a pedra appós ser lançada
atinge o solo.
d) Determine a altura máxima que a pedra atinge.
e) Construa o gráfico da função h para 0 ≤ t ≤ 8.
2) (FAAP) Supondo que no dia 5 de dezembro de 1995, o
Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha
informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o
seu valor máximo às 14 horas, e que nesse dia a temperatura
f(t) em graus é uma função do tempo "t" medido em horas,
dada por (t)v = - t2 + bt - 156, quando 8 < t < 20. Obtenha o
valor de b.
a) 14 b) 21 c) 28 d) 35 e) 42
3) (UNIRIO) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em
forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas
internas são, em m, expressas por x, 20-x, e 2. O maior
volume que esta piscina poderá ter, em m3, é igual a:
a) 240 b) 220 c) 200 d) 150 e) 100
4) (UFMG) Um certo reservatório, contendo 72 m3 de água,
deve ser drenado para limpeza. Decorridas t horas após o
início da drenagem, o volume de água que saiu do
10
reservatório, em m3, é dado por V(t) = 24t - 2t2. Sabendo-
se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório
estará completamente vazio às:
a) 14 horas. b) 16 horas. c) 19 horas. d) 22 horas.
5) (UFRN-2002) Uma pedra é atirada para cima, com
velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de
100m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação
ao solo, em função do tempo (t) é dada pela expressão:
h(t) = - 5t2 + 40t + 100
a) Em que instante t a pedra atinge a altura máxima?
Justifique.
b) Esboce o gráfico de h(t).
6) (FUVEST-SP) Num terreno, na forma de um triângulo
retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros,
deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e
y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa
será máxima?
7) (UFRN-2001) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela,
para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um
dos lados, parte de um extenso muro reto.
O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três
outras perpendiculares a ele (ver figura).
Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os
valores de x e y são, respectivamente:
a) 45m e 45m c) 36m e 72m
b) 30m e 90m d) 40m e 60m
8) (FEI-SP) Durante o processo de tratamento uma peça
de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela
função: f(t) = 2 + 4t – t2, 0 < t < 5.
Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo?
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
9) (PUC-MG) A temperatura, em graus centígrados, no
interior de uma câmara, é dada por f(t) = t2 - 7t + A, onde
t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t =
0 , a temperatura é de 10°C, o tempo gasto para que a
temperatura seja mínima, em minutos, é:
a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5
10) (VUNESP-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo,
tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo
(em segundos) pela expressão
h(t) = 3t - 3t2, onde h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?
11) (UFSM-2000) Um laboratório testou a ação de uma droga
em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de
sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação
v(t)=at2+b, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo
t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando
t=12 meses após o início da experiência, a quantidade de
frangos que ainda estava viva no 10o mês é
a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) 300
12) (VUNESP-2001) Um ônibus de 40 lugares transporta
diariamente turistas de um determinado hotel para um
passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão
ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso
contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância
de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento
da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função
f(x)=(40-x).(20+x), onde x indica o número de lugares vagos
(0 ≤ x ≤ 40). Determine
a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada
viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo;
b) qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem.
13) (PUC-2007) Um ônibus parte da cidade A com destino à
cidade B. Em cada instante t, medido em horas, a distância
que falta percorrer até o destino é dada, em quilômetros,
pela função D, definida por 2
t 7D(t) 40 1
t 1
. Com
base nessas informações, pode-se estimar que o tempo gasto
por esse ônibus para ir de A até B, em horas, é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
14) (PUC-2007) O número N de atletas classificados para a
disputa de certa prova final pode ser calculado por meio da
equação 2N x 5x 1 . Observando-se que N tem de
ser um número natural, pode-se afirmar que o maior número
de atletas que se classificam para essa prova final é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
15) (PUC-2007) A função que relaciona o risco R de morte de
um indivíduo com a dose D de radiação a que ele é submetido
é dada por 2R 1,5D D . Com relação a um indivíduo que
tenha sido submetido a uma contaminação radioativa, o
aumento de R, em porcentagem, devido a uma variação de D
de 1 para 2, é igual a:
a) 80% b) 130% c) 179% d) 220%
16) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os
raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador “Chorão” chutou a bola em direção ao gol, de 2,30 m de altura interna. A sombra da bola descreveu um reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de “Chorão”, nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
11
A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura abaixo:
A equação da parábola era do tipo: Y = 36
2X + C
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: a) na baliza c) dentro do gol b) atrás do gol d) antes da linha do gol
17) (UFRN-2010) Em uma fábrica, o custo diário com
matéria-prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) = 10x . A quantidade de unidades
produzidas desse produto, após t horas, 80 t , por sua
vez, é dada por 2
2
16)( tttQ .
A) Preencha as tabelas localizadas no Espaço destinado à Resposta de acordo com as expressões das funções Q(t) e C(x) dadas, e explicite os cálculos efetuados.
B) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)) , que corresponde ao custo em função das horas( t ).
18) (UERJ-2010) Uma bola de beisebol é lançada de um
ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B,
conforme representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas
com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é
2 2
75 5
x xy . Se a abscissa de D é 35 m, a distância
do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50
19) (ENEM) Um boato tem um público-alvo e alastra-se
com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é
diretamente proporcional ao número de pessoas desse
público que conhecem o boato e diretamente proporcional
também ao número de pessoas que não o conhecem. Em
outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o
público-alvo e x o número de pessoas
que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k .x.(P - x), onde k é
uma constante positiva característica do boato. O gráfico
cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real,
é:
20) (ENEM) Considerando o modelo descrito, se o público
alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de
propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um
número de pessoas igual a:
a) 11.000. c) 33.000. e) 44.000.
b) 22.000. d) 38.000.
21) (UFF-2010) Em Mecânica Clássica, a norma G do campo
gravitacional gerado por um corpo de massa uma distância d > 0 do corpo é diretamente proporcional a m e inversamente
proporcional ao quadrado de d.
Seja G = f (d) a função que descreve a norma G do campo
gravitacional, gerado por um corpo de massa constante um
ponto a uma distância d > 0 desse corpo.
É correto afirmar que f (2d) é igual a:
a) f(d)/4 b) f(d)/2 C) 4f(d) D) 2f(d) E) f(d) 22) (PUC-PR-2010) Um menino está à distância de 6 m de um
muro cuja altura é 3 m, e chuta uma bola que vai bater
exatamente sobre o muro. Se a equação da trajetória da bola
em relação ao sistema de coordenadas cartesianas indicado
pela figura é y = ax² + (1 – 4a)x, a altura máxima atingida
pela bola é:
a) 5 m
b) 4 m
c) 4,5 m
d) 3,5 m
23) (UFCG PB/2010) O custo de produção de um produto
fabricado por uma cooperativa agrícola, em milhares de reais,
é dado pela função C(x) = 4 + 6x, onde x é dado em milhares
de unidades. Verificou-se que o faturamento de venda desses
produtos, também em milhares de reais, é dado pela função
F(x) = x2 + 3x. É correto afirmar que a cooperativa começará
a ter lucro com a venda desse produto, a partir da produção
de
a) 3 milhares. d) 2 milhares.
b) 2,6 milhares. e) 4 milhares.
c) 7 milhares.
12
24) (ENEM-2010) Nos processos industriais, como na
indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos
capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas
situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve
ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e
a cerâmica no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para
elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a
função
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno,em
graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o
instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a
temperatura for 48ºC e retirada a temperatura for 200ºC.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em
minutos, igual a
a) 100.
b) 108.
c) 130
d) 150
25) (FGV /2010) Na figura abaixo temos os gráficos das
funções custo (C) e receita de vendas (R) diárias de um
produto de uma empresa, em função da quantidade
produzida e vendida, em número de unidades.
a) o lucro será nulo somente se a quantidade produzida e
vendida for 30.
b) haverá prejuízo somente quando a quantidade
produzida e vendida for menor que 10.
c) o prejuízo máximo será de $400.
d) o lucro máximo é superior a $800.
e) haverá lucro positivo quando a quantidade produzida e
vendida estiver entre 10 e 30.
