Fund de Mat Elem-Notas de Aul (1)

FFUUNNDDAAMMEENNTTOOSS

DDEE

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

EELLEEMMEENNTTAARR RReessuummoo

2012

Matemática 2

Sumário 1 - Revisão de Matemática Básica: 1.1 – Introdução 03 1.2 – Conjuntos numéricos 04 1.3 – Operações com números 10 1.4 – Expressões Algébricas 20 1.5 – Equações do 1º grau 29 1.6 – Sistemas lineares 34 1.7 – Equações do 2º grau 36 2 - Noções de teoria dos conjuntos 2.1 – Introdução 40 2.2 – Operações com Conjuntos 44 2.3 – Operações com Intervalos 49 2.4 – Problemas Envolvendo Conjuntos 50 2.5 – Produto Cartesiano 56 2.6 – Relações 59

3 - Funções elementares e suas aplicações 3.1 – O Que é Função 60 3.2 – Variação de uma Função 65 3.3 – Variação do Sinal de uma função 69 3.4 – Função Constante 71 3.5 – Função Constante 73 3.6 – Função do 1º Grau (função afim) 74 3.7 – Função do 2º Grau (função quadrática) 87 3.8 – Função Modular 94 3.9 – Função Exponencial 98 3.10 – Função Logarítmica 107 3.11 – Função Inversa e Função Composta 115 3.12 – Função Racional 123 3.13 – Funções Periódicas 128 4 – Noções de Limites e Derivada 4. 1. Introdução 139 4. 2. Cálculo da Derivada de algumas Funções 132 Bibliografia 135

Matemática 3

1 – RReevviissããoo ddee MMaatteemmááttiiccaa BBáássiiccaa

1.1 – INTRODUÇÃO

A palavra matemática tem em sua etimologia o significado de aprender. Na história da

Matemática, por mais de 4.000 anos, desde a construção das

pirâmides até o projeto de edifício moderno, do uso da roda até

os complexos sistemas de informação, as pessoas têm estudado

as relações entre formas e números, e a simbologia para

representação dessas relações. O objetivo principal de tal

empreendimento e aprender a conhecer e a atuar no meio ambiente. Desde as primeiras

civilizações agrícolas até a complexa sociedade da informação de nossos dias, a matemática tem

sido uma ferramenta poderosa que tem auxiliado o homem na construção de sua história.

A matemática está presente nos projetos humanos, desde o lançamento e manutenção de

satélites em órbita no espaço, na repetição de padrões de um desenho em papel de parede, no

momento que estamos dirigindo um carro ou quando

administramos uma empresa. Estudar matemática pode nos

auxiliar a pensar de modo mais claro e mais lógico. A melhor

maneira de compreender a matemática é pegar lápis, papel, uma

calculadora (ou um computador), e tentar reconstruir o

conhecimento acumulado durante os milênios de história dessa

ciência. É isto que convidamos você a fazer nessas páginas escritas e durante as aulas, um esforço

na construção de conceitos essenciais da matemática elementar.

Uma das idéias básicas da matemática é a idéia de número. No dia a dia os

números inteiros, por exemplo, são usados para representar quantidades,

classificar e identificar. Isto fica evidente numa empresa de ônibus que tem uma

determinada quantidade de veículos, que é representada por um número inteiro.

Os ônibus de linhas específicas (que fazem o mesmo percurso) são classificados

por um mesmo número (por exemplo, a linha 637). Por sua vez, cada ônibus é identificado pelo seu

número de registro e nesse caso cada veículo tem o seu.

Matemática 4

1.2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

A longo tempo os números foram sendo agrupados em conjuntos, de acordo com algumas

características comuns. Por isso temos:

• Conjuntos dos Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.

Os números naturais são utilizados para contar, representar quantidades inteiras. Estes números

podem ser visualizados como pontos de uma reta, conforme a figura abaixo:

Exemplos e contra-exemplos de números naturais: 7∈N, -11∉N, 0,7∉ N, -1/3∉N.

Obs. Neste conjunto não encontramos resposta para: 7 – 9 = ? , 32 – 44 = ?. Tais respostas

pertencem ao conjunto dos números inteiros.

• Conjuntos dos Números Inteiros: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Os números inteiros podem ser visualizados como pontos de uma reta.

Marca-se o zero e, a sua direita escreve-se os números positivos (maiores que zero) e a sua esquerda

os números negativos (menores que zero). O Conjunto dos números racionais engloba os números

naturais e os números inteiros, N ⊂ Z ⊂ Q.

Exemplos e contra-exemplos de números inteiros: 7∈Z, -11∈Z, 0,7∉ Z, -1/3∉Z.

• Conjuntos dos Números Racionais: Q = { a / b | a ∈ Z e b ∈ Z* }

Podemos considerar os números racionais como aqueles que podem ser representados como um

número fracionário de quociente exato ou periódico. O Conjunto dos números racionais engloba os

números naturais e os números inteiros, N ⊂ Z ⊂ Q.

Matemática 5

Exemplos e contra-exemplos de números racionais: 7∈Q; -11∈Q; 0,7∈Q; -1/3∈Q;

0,3333...∈Q; ³√8∈Q e √2∉Q (√2 é um nº irracional) .

Obs. I . Como transformar um número decimal periódico simples em fração?

Exemplo i: Vamos escrever o número decimal periódico 0,3333... na forma fracionária:

1ª) Chamar de x o número que queremos expressar como fração.

x = 0,3333...

2º) Multiplicar essa igualdade pela unidade (1) seguida de tantos zeros quantos forem os

algarismos de sua parte periódica, isto é, se a parte periódica for formada de 1 algarismo,

multiplicamos por 10, se a parte periódica for formada de 2 algarismo, multiplicamos por 100, se a

parte periódica for formada de 3 algarismo, multiplicamos por 1000, ...

10•x = 10 • 0,33333.... 10x = 3,33333....

3º) Subtrair desse resultado o número decimal periódico do princípio (x).

10x = 3,33333....

- x = 0,3333 ...

9x = 3

4º) Isolar x.

x = 3 / 9 ou x = 1/3

0,3333... = 3 / 9 ou

0,3333... = 1/3

Exemplo ii: Vamos escrever o número decimal periódico 0,85858585... na forma fracionária:

1ª) Chamar de x o número que queremos expressar como fração.

x = 0, 85858585...

2º) Multiplicar essa igualdade pela unidade (1) seguida de tantos zeros quantos forem os

algarismos de sua parte periódica, isto é, se a parte periódica for formada por 2 algarismos,

multiplicamos por 100, se a parte periódica for formada de 3 algarismo, multiplicamos por 1000,

se a parte periódica for formada de 4 algarismo, multiplicamos por 10000, ...

x = 0, 85858585... 100x = 85, 85858585...

3º) Subtrair desse resultado o número decimal periódico do princípio (x).

100x = 85, 85858585...

-x = 0, 85858585...

99x = 85

Matemática 6

4º) Isolar x.

x = 85 / 99

0,858585 ... = 85/99

Obs. II . √2 ∉ Q (√2 é um nº irracional)

Vamos provar que √2 ∉ Q, usando o método de redução a um absurdo (contradição). Para isto,

vamos começar admitindo que √2 ∈ Q e analisar as conseqüências dessa suposição.

1º) Supondo que √2 ∈ Q, então √2 pode ser escrita na forma de uma fração irredutível p/q, isto é,

√2 = p / q onde o mdc(p, q) = 1

2º) Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade √2 = p / q :

( √2) 2 = (p / q)2

2 = p2 / q2

2q2 = p2

Mas se p2 = 2q2, significa que p2 é par

Se p2 é par então p é par

Se p é par tem a forma p = 2k.

3º) Substituindo p = 2k em p2 = 2q2, temos

(2k)2 = 2q2

4k2 = 2q2

2k2 = q2

Mas se q2 = 2k2, significa que q2 é par

Se q2 é par então q é par

3º) Mas p é par e q é par o mdc(p, q) ≠1, o que gera uma contradição com a suposição, de que √2

∈ Q. Logo vale a negação de que √2 ∈ Q, o que equivale afirmar que √2 ∉ Q.

Matemática 7

• Conjuntos dos Números Reais: R = { x | x é números racional ou x é números irracional }

Exemplos e contra-exemplos de números reais: 7∈ R, -11∈R, 0,7∈R, -1/3∈Q, √2∈R e √-2∉R

(√-2 é um número complexo) .

Podemos dispor geometricamente os números reais usamos uma reta com o número real zero (como

origem O) e a direita marcamos os números positivos e a esquerda os números negativos. Veja a

figura abaixo:

Todo número real corresponde a um e somente um ponto na reta real e todo ponto na reta real

corresponde a um e somente um número real. Entre dois números reais na reta existem infinitos

números reais.

• Conjuntos dos Números Complexos: C = { x + yi | x ∈ R , y ∈ R e i²=-1 }

Exemplos: 2 + 5i ∈ C; √-2 ∈ C, pois √-2 = 0 + i√2; 7∈ C, pois 7 = 7 + 0 i.

Geometricamente, os números Complexos são representados no plano cartesiano xy (com dois

eixos, x e y), com o par de números (zero, zero) na origem. No eixo horizontal, a direita marcamos

os números positivos e a esquerda os números negativos. No eixo vertical, acima marcamos os

números positivos e abaixo os números negativos. Veja a figura abaixo:

Matemática 8

Um número complexo Z = x + yi é entendido como um par de números reais Z = (x, y), onde x

representa a parte real e y representa a parte imaginária do número complexo.

INTERVALOS

O conjunto dos números reais é ordenado, isto é, podemos comparar dois números reais

quaisquer devido à seguinte propriedade importante desses números:

Lei da Tricotomia Sejam a e b dois números reais quaisquer. Somente uma das seguintes

expressões é verdadeira: a < b, a = b ou a > b.

As desigualdades podem ser usadas para representar intervalos (subconjuntos dos números reais).

Como por exemplo: os números reais entre 0 e 1.

Assim, dados dois números reais, a e b, com a < b, temos os seguintes intervalos respectivamente:

aberto, fechado, semi-aberto a direita e semi-aberto a esquerda, representados na reta real e

algebricamente.

Exemplos:

i) [2, 8] , indica os números reais entre 2 e 8 incluindo 2 e 8.

ii){x∈R l 2< x < 5}, indica os números reais entre 2 e 5, não inclui 2 nem o 8.

Matemática 9

Intervalos Infinitos

Exemplos:

i) ]-∞, 2], indica os números reais que são menores ou igual a dois, inclui o 2.

ii) {x∈R l x > 1}, indica os números reais que são maiores que 1, não inclui o 1.

Aplicação: Um automóvel faz, na estrada, 14,8 km por litro de gasolina e cidade 11,2 km por litro.

O tanque de combustível desse automóvel tem capacidade para 50 litros. Qual o intervalo de

percurso máximo que esse automóvel pode percorrer com o tanque cheio?

Solução:

Supondo que este automóvel está com o tanque cheio, temos duas situações limites: ele só ande na

estrada ou somente na cidade.

Se ele só se movimenta na estrada ele percorrerá no máximo 50 L × 14,8 km/L = 740 km

Se ele só se movimenta na cidade ele percorrerá no máximo 50 L × 11,1 km/L = 560 km.

Todas as outras opções estarão entre essas duas.

Portanto, com o tanque cheio, ele percorrerá entre 560 km e 740 km, [560 km, 740 km].

Matemática 10

1.3 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:

Para os números reais a, b e c valem as seguintes PROPRIEDADES para adição:

• propriedade do elemento neutro da adição a + 0 = 0 + a = a Ex. 2+0=0+2= 2

• propriedade do elemento simétrico da adição a + (-a) = (-a) + a = 1 Ex. 2+(-2)=(-2)+2=0

• associativa da adição a+(b+c)=(a+b) c Ex. 2+(3+4)=(2+3)+4=9

• comutativa da adição a + b = b + a Ex. 2+3=3+2= 5

Obs. A subtração pode ser entendida como a soma pelo simétrico. A subtração 5 – 3 pode ser

escrita como 5 +(–3).

Exemplo 1 : Vamos calcular o valor numérico das expressões abaixo:

i) 8 – 7 + 5 – 16 = 1 + 5 – 16 = 6 – 16 = -10

ii) =−+32

51

52 3 / 5 – 2 / 3 = 9 / 15 – 10 / 15 = (9 – 10) / 15 = -1/15.

Para somamos frações de denominadores diferentes ↑: mmc(5, 3) = 15.

Exemplo 2: Na pirâmide a seguir vale a seguinte regra:

o número colocado em cada tijolo é a soma dos

números dos dois tijolos nos quais ele se apóia e que

estão imediatamente abaixo dele. Qual o número do

tijolo situado no topo da pirâmide?

Solução:

Aplicando a regra de preenchimento: o número colocado em

cada tijolo é a soma dos números dos dois tijolos nos quais ele

se apóia e que estão imediatamente abaixo dele. Chegamos a

conclusão que O tijolo do topo da pirâmide tem o número 72.

Regra básica:

mmc(5, 3) 5, 3 | 3 5, 1 | 5/ × 1, 1 | 15

Matemática 11

Para adicionarmos dois números de sinais iguais adicionamos os números e repetimos o sinal.

Para adicionarmos dois números de sinais diferentes subtraímos os números e consideramos o

sinal do número que tem maior valor absoluto.

Dízima periódica (são números racionais, pois podem ser escritas na forma de fração a/b):

i) 0,555... = 5/9

ii) 0,373737... = 37/99

iii) 1,2222... = 1 + 0,222... = 1 + 2/9 = 9/9 + 2/9 = 11 / 9.

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:

Para os números reais a, b e c valem as seguintes PROPRIEDADES:

• elemento neutro da multiplicação a . 1 = 1 . a = a Ex. 2 . 1 = 1 . 2 = 2

• elemento inverso da multiplicação a . 1/a = 1/a . a = 1 Ex. 2 . 1/2=1/2 . 2 = 1

• associativa da multiplicação a . (b . c) = (a . b) . c Ex. 2.(3 . 4)=(2 . 3).4=24

• comutativa da multiplicação a . b = b . a Ex. 2 . 3 = 3 . 2 = 6

• distributiva da multiplicação em relação adição e a subtração. a . (b ± c) = a . b ± a . c

Ex. 2.(3+4)=2.3 + 2.4= 6+8= 14

Regras de Sinais da Multiplicação e Divisão:

Exemplo 1 : Vamos calcular o valor numérico das expressões abaixo, envolvendo multiplicações e

divisões:

i) 8 . 7 : (-4) = 56 : (-4) = -14

ii) =32:

51.

52 2 / 25 : 2 / 3 = 2 / 25 . 3 / 2 = 6 / 50 ou 3/25.

Matemática 12

Exemplo 2: O gráfico de coluna ao lado apresenta os lucros anuais, em reais, de uma empresa ao longo do tempo, de 2001 a 2005. Calcule a média dos lucros dos anos indicados no gráfico ao lado.

Solução:

A média de um conjunto de valores e calculada

dividindo-se a soma dos valores pelo número de

valores:

nx...xxx x n++++

= 321

3420005

505000340000315000350000300000=

++++= x , a média dos lucros é R$342.000,00.

PORCENTAGEM (%): é uma fração (razão) de denominador 100, isto é, n % = n/100.

Exemplos: i) 5 % = 5/100 ou 0,05

ii) 32% = 32 / 100 ou 0,32

iii) 15% de 500 = 15/100 × 500 = 75

Regra de Sinais:

Para multiplicamos dois números de sinais iguais multiplicamos os números e colocamos o sinal

positivo no produto obtido, isto é, (+).(+) = (+) e (–).(–) = (–)

Para multiplicamos dois números de sinais diferentes multiplicamos os números e colocamos o

sinal negativo no produto obtido, isto é, (+).(–) = (–) e (–).(+) = (–)

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO:

• Potenciação: a . a . a . a . ... . a = an , onde a é base, n é o expoente, a∈R, n∈N e n≥2.

n fatores

Convenções: a0 = 1 (a≠0)

a1 = a

a–n = 1/ an (a≠0).

• Radiciação: é a operação inversa da potenciação.

Matemática 13

Dado um número real a, chama-se raiz enésima (ou radical de índice n) de a todo número real que

verifique: rn = a. Em símbolos escreve-se assim: arr a nn =⇔= .

Obs. Potências de expoente fracionário: são aquelas cujo expoente é uma fração. Uma potência de

expoente fracionário é equivalente a uma raiz de índice com o denominador da fração e, como

radicando, a base da potência elevada ao numerador da fração. Em símbolo: n mnm

a a = .

Exemplos:

Para usar a calculadora científica: 321/5 32 ^ (1 ÷ 5) = 2

√25 25 ^ (1 ÷ 2) = 5

4 81 81 ^ (1 ÷ 4) = 3

Exemplo 1: Efetue as potenciação e radiciação abaixo:

i) 25 + √81 – (-5)³ = 2.2.2.2.2 + √81 – (-5).(-5).(-5)= 32 + 9 – (-125) = 41+125=166

ii) =+

2536

52 3

8 / 125 + 6 / 5 = 8 / 125 + 150 / 125 = 158 / 125.

Para somamos frações de denominadores diferentes ↑: mmc (125, 5) = 125.

Exemplo 2: Simplifique a expressão 3113532 −+

343)1152(3113532 −=−+=−+

mmc(125, 5) 125, 5 | 5 25, 1 | 5 × 5, 1 | 5/

1, 1 | 125

Matemática 14

Para somar e subtrair radicais semelhantes aplicamos a propriedade distributiva (somando e subtraindo os

coeficientes de cada um dos radicais)

Obs.: 1. No conjunto dos números inteiros, racionais e reais não temos raiz de índice par de um

número negativos, como 9− , 4 16− . Já a raiz 283 −=− , de índice ímpar (3), existe nos

conjuntos mencionados, pois (-2)³ = (-2). (-2). (-2) = 8.

Obs.: 2. A potenciação pode ser usada para expressar um número real em notação científica:

N . 10x , onde 1 ≤ N < 10 e x ∈ Z,

Exemplos:

i) A velocidade da luz no vácuo é 300.000 km/s = 3 . 105 km/s.

ii) A distância média de Júpiter até o Sol é aproximadamente 778.300.000 km = 7,783 × 108 km.

iii) Um núcleo atômico tem um diâmetro de aproximadamente 0,000000000000001 m = 10-15 m.

Obs. 3. A ordem na qual se efetua as operações de adição, a subtração, a multiplicação e a

divisão:

• Numa expressão executamos primeiro as potenciações e as

radiciações, em segundo as Multiplicações e Divisões e, por

último, as Adições e Subtrações (sempre da esquerda para a

direita).

• Quando houver parênteses ( ), executamos prioritariamente

as operações grafadas em seu interior. O mesmo vale para os

símbolos [ ] (colchetes) e { } (chaves).

• Calculando o valor de uma expressão numérica

a) -[–3 + 2 – ( 4 – 5 – 6)] =

= - [ - 3 + 2 – (-7)] Primeiro, resolvemos as operações do interior do parêntese.

= - [ - 3 + 2 + 7] Segundo, eliminamos o parêntese.

= - [ +6] Terceiro, resolvemos as operações do interior do colchete.

= - 6 Segundo, eliminamos o colchete.

Matemática 15

b) {- 5 + [-8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}

= {-5 + [-8 + 3 x (+5) - 3]} Primeiro, resolvemos as operações do interior do parêntese.

= {-5 + [-8 + 15 - 3]} Segundo, resolvemos a multiplicação dentro do colchete.

= {-5 + [+4]} Terceiro, resolvemos as operações do interior do colchete.

= {-5 + 4} quarto, eliminamos o colchete.

= {-1} quinto, resolvemos a adição dentro da chave.

= -1 sexto, eliminamos a chave.

c) [3 – 8 . 5 – (–1 – 2 . 3)] . (32 – 52)2 =

= [3 – 8 . 5 – (–1 – 6)] . (9 – 25)2 Primeiro, resolvemos as operações do interior do parêntese.

= [3 – 8 . 5 – (–7)] . (-16)2 ...

= [3 – 8 . 5 + 7] . (-16)2 resolvemos as operações do interior do colchete.

= [3 – 40 + 7] . (+256) ...

= [–30] . (+256) multiplicando os resultados do colchete e do parêntese.

= -7680

d) {4 – [–12 – (15 – 20)]} × {–6 + [–(2 – 4)]} :11 =

= {4 – [–12 – (–5)]} × {–6 + [–(–2)]} :11

= {4 – [–12 + 5]} × {–6 + 2} :11

= {4 – [–7]} × {–4} :11 =

= {4 + 7} × {–4} :11

= {11} × {-4} : 11

= {-44} : 11

= - 4

e) =++

2) - 49()25 (1 4) - 169(

Matemática 16

3525

56 9

2) - (75) (1 4) - (13

=

=

+=

++=

f) =−

+

41

54:

32

21

Primeiro, resolvemos a adição do interior do parêntese usando o

mmc.

Segundo, dividindo o resultando do parêntese por 4/5, ou seja,

multiplicando pelo inverso de 4/5

terceiro, resolvemos a subtração usando o mmc.

Resultado expresso em fração e em decimal

f) =×

−

−

+

32

4453

:

431

41

32

...1,20833333ou2429

246

2435

41

2435

41

45

67

41

54

:67

41

54

:6

43

=

−=

−=

−×

=

−

=

−

+=

Matemática 17

ATIVIDADES

1) Complete a tabela abaixo e a partir dos resultados obtidos responda os itens a seguir e

justificando sua resposta:

a b a + b b + a a – b b – a a . b b . a a : b b : a a² b² 9 6 -9 -6

0,35 0,65 4,7 -3,3 1/2 1/4 -8/3 1/9 √2 √3

a) Quem é maior: a – b ou b – a?

b) Quem é menor: a ÷ b ou b ÷ a?

c) Quando elevamos um número negativo a um expoente par o resultado é sempre positivo. Esta

afirmação é verdadeira ou falsa?

d) Quando elevamos um número negativo a um expoente ímpar o resultado é sempre negativo. Esta

afirmação é verdadeira ou falsa?

e) Quando multiplicamos dois números entre 0 e 1 o produto é menor que esses números? [D;D;C;C;C]

2) Uma pessoa abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte

movimento: Dia Saldo inicial Depósito Retirada 20 0 21 R$ 530,00 22 R$ 250,00 25 R$ 650,00 28 R$ 300,00 30 R$ 160,00

Qual será o saldo dessa pessoa após essas operações? Solução: 530 – 250 + 650 – 300 + 160 = 470

3) Um revendedor encomendou as seguintes mercadorias para renovar o seu estoque:

Mercadoria Quantidade Preço Unitário(R$) Camisetas Camisas

Bermudas calças

300 150 250 200

6 12 9

18 Quanto ele pagou por essa compra? Explicite os cálculos.

Solução: 300.6 + 150.12 + 250.9 + 200.18 = 9450 reais.

Matemática 18

4) Um automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 350 km, o

proprietário colocou 30 litros de gasolina no tanque. Esse combustível será suficiente para fazer

esse percurso? Justifique sua resposta. Solução: Dividindo-se: 350 / 12 = 29,2 litros<30litros. Sim.

5) Um automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina e cidade 9 km por litro. O tanque de

combustível desse automóvel tem capacidade para 45 litros. Qual o intervalo de percurso máximo

que esse automóvel pode percorrer com o tanque cheio? Solução: cidade=9.45=405 e estrada=12.45=540. [405, 540].

6) Curiosidade: Escreva um número de três algarismos. Multiplique esse número por 7. Depois

multiplique esse resultado por 11 e por último multiplique por 13. Qual o resultado final? Tente

com outros números de três algarismos e verifique se o resultado tem alguma curiosidade quando

comparado com o número inicial.

7) Calcule o valor de expressão abaixo:

a) ((5 × 4) + 3) – (4 + 3 – 2) + 5 =

b) – [– 3 + 2 – (4 – 5 – 6)]

c) {– 5 + [– 8 + 3 × (–4 + 9) – 3]}

d) =+

232

21

e) =+

++

151

53

31

51

...999,0

f)...777,0

14...111,0 +

23; - 6; -1; 7/12; 2; 55/3

8) Um consumidor tem disponível duas blusas e três saias para comprar.

De quantas formas diferentes poderá combiná-las para realizar uma compra

de uma blusa e uma saia?

9) Calcule as porcentagens:

a) 10% de 140

Matemática 19

b) 24% de 500

c) 5% de 66

d) 12,5% de 72 14; 120; 3,3; 9.

10) Curiosidades ou Propriedades?

a) Digite um número de 3 algarismos iguais em sua calculadora (por exemplo 333). Some os 3

algarismos iguais que compõe o numero (no exemplo sugerido 3+3+3=9). Divida o número pela

soma dos seus algarismos (no exemplo sugerido 333 : 9 = ..?..). Repita o processo para os diversos

casos de números de 3 algarismos iguais divididos pela soma dos seus algarismos e verifique se

existe um padrão.

b) Considerando as informações anteriores, avalie se existe um padrão para números de 4

algarismos iguais divididos pela soma dos seus algarismos.

Matemática 20

1.4 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

• INTRODUÇÃO

Nos primórdios da história da matemática recorria-se ao uso de objetos para representar e

operar com números. Com a invenção da escrita usaram palavras para indicar os cálculos e as

operações, na resolução de problemas. Mas, com o passar do tempo, superando muitas dificuldades,

os homens foram lentamente aprendendo a substituir as palavras por letras e as operações por sinais,

para tornar os cálculos mais fáceis.

Na antiguidade, os gregos usaram letras e símbolos, de forma limitada, para representar

números e indicar a solução de um problema. Muitos séculos se passaram, até 1572, quando o

matemático Raffaele Bombeli publicou sua obra, L’Algebra, que muito contribuiu para o

desenvolvimento da linguagem algébrica. Foi, porém o matemático francês François Viète (1540 –

1603) que introduziu o uso sistemático dos símbolos das letras para representar os números, da

maneira que são usados até hoje. Por esse motivo, é considerado o Pai da Álgebra.

Hoje, vivemos numa sociedade onde a quantidade de informações numéricas que nos são

apresentadas dia-a-dia é imensa e variada. E, para resolver os problemas decorrentes dessas

informações, podemos traduzi-los para a linguagem da álgebra.

A seguir apresentamos sentenças que estão expressas com palavras, bem como sua

representação na linguagem matemática:

i) Um número mais o seu triplo é igual a 10. Simbolicamente podemos representamos assim: x + 3x

= 10.

ii) Os três quartos de um número menos dois é igual a 35. Simbolicamente podemos representamos

assim: 3x/4 - 2 = 35.

• EXPRESSÃO

Expressões é conjunto de letras e números - ou somente números - reunidos por sinais de operações.

As expressões podem ser de dois tipos: aritméticas e algébricas.

• As expressões 5 × 3 - 4:2 ou 3/5 + 5/7 + 1/2 são chamadas de expressões aritméticas ou

expressões numéricas. (apresentam operações somente com números).

• As expressões 4a + 7b - 8c ou 3x + 4y - 5z + 7 são expressões algébricas (apresentam operações

com números e letras).

Matemática 21

VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Valor Numérico de uma Expressão Algébrica e o resultado numérico que se obtém quando se

substituem as letras pelos seus respectivos valores e se efetuam as operações indicadas.

Exemplo.: o valor numérico da expressão algébrica a2 + 3b - ab, para a = 2 e b = -1 é 3, pois

substituindo temos (2)2 + 3(-1) - (2) (-1) = 4-3+2 = 3.

• FÓRMULA

Fórmula é uma expressão matemática que permite atingir um resultado por meio da

substituição as letras que representam determinadas grandezas por seus respectivos valores. As

fórmulas são úteis no estabelecimento de relação entre grandezas em diferentes campos do saber:

física (E = m.c²), química (PV=nrt), economia (L = R – C), administração, etc. Elas nos auxiliam a

descrever ou representar uma situação real em termos matemático, ou seja, criar um modelo

matemático.

Exemplo: i) Uma das fórmulas mais famosa da matemática é a chamada fórmula Bhaskara1 que é

usada para determinar as raízes de uma equação de 2º grau.

Considerando a equação ax2 + bx + c = 0, a∈R e a ≠ 0, a fórmula de Bhaskara é dada por:

.4acb∆e2a

∆ b- x 2 −=±

=

Podemos aplica-la para resolver a equação x2 + 5x – 6 = 0. Nesta equação a=1, b=5 e c=-6.

1º) Calculamos o valor de ∆ substituindo os valores de a, b e c.

∆ = b² - 4ac = 5² - 4.1.(-6) = 25 + 24 = 49

2º) Calculamos os valores de x substituindo os valores de a, b e ∆.

6-212-

27 5-x'e1

22

27 5-x'

27 5-

2.149 5-

2a∆ b- x ==

−===

+=⇒

±=

±=

±= , portanto o

conjunto solução dessa equação é S = { -6, 1 }

Exemplo: ii) No mês t = 0, um pequeno grupo de coelhos escapa de uma embarcação para uma ilha

onde não há coelhos. A partir desse fato a população, p(t), de coelhos na ilha, no mês t, é dada pela

fórmula abaixo:

1 Bhaskara (1114-1185 d.C.) é considerado o mais importante matemático da Índia.

Matemática 22

.0,28.(0,8)21500P(t) t ≥

+= tpara

Calcule a população para cada número de meses indicados na tabela abaixo.

Nº de Meses 0 2 4 6 10 12 24 60 120

População de coelhos

Solução:

Calculando a população para os meses indicados na tabela usando a fórmula apresentada:

Para t=0 5030

1500282

15001282

150080282

15000 0 ==+

=+

=+

=.),.(

)P( (população inicial)

Para t=2 75...3012,75)64,0(282

150080282

15002 2 ≅=+

=+

=.),.(

)P( (população depois de 2 meses)

Para t=4 111...3684961,11180282

15004 4 ≅=+

=),.(


Para t=6 161...5990215,16080282

15006 6 ≅=+

=),.(


Para t=10 300...6118764,29980282

150010 10 ≅=+

=),.(


Para t=12 382...2488381,38280282

150012 12 ≅=+

=),.(

)P( (população depois de 1 ano)

Para t=24 703...4900691,70380282

150024 24 ≅=+

=),.(

)P( (população depois de 2 anos)

Para t=60 750...99839091,74980282

150060 60 ≅=+

=),.(


Para t=120 750...999999975,74980282

1500120 120 ≅=+

=),.(


Após 5 anos (60 meses) a população tende a se estabilizar em 750 coelhos.

Exemplo: iii) Um jornal cobra x reais por palavra de um anúncio classificado semanal e (x + 3)

reais por palavra, por duas semanas. Se uma pessoa quer colocar um anúncio de 50 palavras durante

uma semana e outro de 32 palavras durante duas semanas, escreva uma expressão representando o

custo total.

Solução:

O custo para o primeiro anúncio, de uma semana: 50.x

Matemática 23

O custo para o primeiro anúncio, de duas semanas: 32.(x + 3)

O custo total dos dois anúncios: CT = 50.x + 32.(x + 3)

CT = 50.x + 32.x + 96

CT = 82.x + 96

Exemplo: iv) Cinqüenta pés de maçãs crescem numa determinada área. Cada pé produzirá duas

caixas de maçãs. Para cada pé adicional que for plantado e cultivado até começar a produzir haverá

um decréscimo na produção total de 1/12 de caixa. Escreva uma expressão que dê a quantidade

total de caixas produzidas, quando o número x de macieiras for maior que 50.

Solução:

1º vamos entender o problema através de uma simulação:

Se plantarmos 50 pés (x=50), a produção esperada será:

Q = x . 2

(observe que multiplicamos o nº de macieiras pela produção de cada uma)

Se plantarmos 51 pés (x=51), ocorrerá uma redução de 1/12 na produtividade esperada em cada

árvore plantada, isto é, a produção em cada uma da x macieiras será de 2 – 1/12 caixas, logo a

produção total é:

Q = 51 .[ 2 – 1/12.(1)] ou Q = 51 .[ 2 – 1/12(51 – 50)]




Q = 52 .[ 2 – 1/12.(2)] ou Q = 52 .[ 2 – 1/12(52 – 50)]




Q = 53 .[ 2 – 1/12.(3)] ou Q = 53 .[ 2 – 1/12(53 – 50)]

...

Portanto,

Matemática 24

se plantarmos x pés, ocorrerá uma redução de x/12 na produtividade esperada em cada árvore

plantada, isto é, a produção em cada uma da x macieiras será de 2 – x/12 caixas, logo a produção

total é:

)] . (x x . [ Q 501212 −−= , onde x é a quantidade de macieiras e x > 50.

• ATIVIDADES ENVOLVENDO FÓRMULAS

11) Uma grande companhia da área de transporte de carga tem uma frota de caminhonetes cujo

custo operacional (em reais) anual unitário é C = 0,45x + 2300, onde x é o número de quilômetros

percorridos por uma caminhonete em um ano.

a) Qual o custo anual de caminhonete que percorreu 25000 km?

b) Que número de quilômetros proporcionará um custo operacional anual, por camionete, inferior a

R$11.300? R$13550; 20000km

12) Investem-se P Reais à taxa anual r de juros (simples). Após t anos, o montante na conta é dado

por A = P + P.r.t, onde a taxa de juros é expressa em forma decimal.

a) Qual o montante obtido por uma aplicação de R$ 2000,00, a taxa de juros de 20% ao ano num

prazo de 3 anos.

b) Para que um investimento de R$1.000 ultrapasse R$1.250 em 2 anos, qual deve ser a taxa de

juros? 1200; >12,5%

13) Curiosidade: É um engano pensar que uma pessoa que calça sapatos 40

tem um pé com 40 cm de comprimento. A fórmula algébrica usada para

determinar o tamanho aproximado dos sapatos é: Nº do sapato = (5.p + 28) / 4,

onde p é o comprimento do pé em centímetro. Considerando essas

informações calcule o número do sapato de uma pessoa cujo comprimento do pé mede 24 cm? 37

14) Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma certa fábrica indica que um trabalhador

médio que chega no trabalho às 8 horas terá montado g(x) = -x3 + 6x2 + 15x gabinetes de

computadores após x de trabalho.

a) Quantos gabinetes um trabalhador desses terá montado às 10 horas? (Dica: às 10horas, x = 2).

b) Quantos gabinetes terá um trabalhador desses montado entre 9 e 10 horas?

Matemática 25

c) Quantos gabinetes terá um trabalhador desses montado entre 9 e 10 horas?

d) Quantos gabinetes terá um trabalhador desses montado entre 10 e 11 horas?

e) Quantos gabinetes terá um trabalhador desses montado entre 11 e 12 horas? 46; 26; 26; 20; 8

15) É estimado que t anos a partir de agora, a população de uma certa cidade será de

1)(t

6 30 P(t)+

−= mil habitantes.

a) Qual é a população atual dessa cidade?

b) Qual será a população dessa cidade daqui a 5 anos?

c) Qual será a população dessa cidade daqui a 9 anos?

d) Quanto a população crescerá durante o nono ano?

e) O que acontece com a população à medida que t cresce mais e mais? Interprete seu resultado. 24000 hab; 29000 hab; 29400 hab; 67; Estabiliza-se 30000.

PRODUTOS NOTÁVEIS.

É muito comum nas expressões algébricas o aparecimento de certos produtos. Para simplificar

o trabalho nos cálculos usamos os produtos notáveis. Na tabela abaixo apresentamos alguns

produtos notáveis:

Produtos notáveis Exemplos

(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + 2ab + b2 (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

(a – b)2 = (a – b).(a – b) = a2 – 2ab + b2 (x – 3)2 = x2 – 6x + 9

(a + b).(a – b) = a2 – b2 (x + 3)(x – 3) = x2 – 9

(x + a).(x + b) = x2 + (a + b).x + ab (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (x – 2)3 = x3 – 6x2 + 12x – 8

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 8

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8

Matemática 26

Alguns produtos notáveis podem ser associados com áreas:

I – O produto (a + b)2 corresponde a área de um quadrado de lado a + b:

Observe que a figura é composta [o todo: de um quadrado maior de lado a + b e área (a + b)²] de

um quadrado médio de lado a e área a², dois retângulo de dimensões a e b e área a.b e um

quadrado pequeno de lado b e área b².

Portanto a área do quadrado de lado a + b (o todo) é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

II – O produto (a – b)2 corresponde a área de um quadrado de lado a – b: Observe que a figura é composta [o todo: de um quadrado maior de lado a e área a²] de um

quadrado médio de lado a – b e área (a – b)², dois retângulo de dimensões a e b e área a.b. O

quadrado pequeno de lado b e área b² faz parte do retângulo a.b.

Para obter a área do quadrado de lado a – b e área (a – b)² é preciso retirar do quadrado de

lado a e área a² (o todo), os dois retângulos a.b (que contém o quadradinho b² cada um) e repor um

quadradinho b².

Matemática 27

Portanto a área do quadrado de lado a – b (parte) é (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

III – O produto (a + b).(a – b) corresponde a área pintada no retângulo abaixo

Deslocando o retângulo de dimensões a-b e b formamos a segunda figura. Na

segunda figura fica evidente que (a + b).(a – b) = a2 – b2. ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENVOLVENDO PRODUTOS NOTÁVEIS:

I. Desenvolva:

a) (3x + y)2

(3x + y)2 = (3x)2 + 2.3x.y + y2 = 9x2 + 6xy + y2

b) ((1/2) + x2)2

((1/2) + x2)2 = (1/2)2 + 2.(1/2).x2 + (x2)2 = (1/4) + x2 + x4

c) ((2x/3) + 4y3)2

((2x/3) + 4y3)2 = (2x/3)2 - 2.(2x/3).4y3 + (4y3)2 = (4/9)x2 – (16/3)xy3 + 16y6

d) (2x+3y)3

(2x + 3y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

e) (x4 + (1/x2))3

(x4 + (1/x2))3 = (x4)3 + 3.(x4)2.(1/x2) + 3.x4.(1/x2)2 + (1/x2)3 = x12 + 3x6 + 3 + 1/x6

Matemática 28

f) ((2x/3) + (4y/5)).((2x/3) – (4y/5))

((2x/3) + (4y/5)).((2x/3) – (4y/5)) = (2x/3)2 – (4y/5)2 = (4/9)x2 – (16/25)y2

II. Efetue as multiplicações:

a) (x – 2).(x – 3)

(x – 2).(x – 3) = x2 + ((-2) + (-3))x + (-2).(-3) = x2 – 5x + 6

b) (x + 5).(x – 4)

(x + 5).(x – 4) = x2 + (5 + (-4))x + 5.(-4) = x2 + x - 20

III. Simplifique as expressões:

a) (x + y)2 – x2 – y2

(x + y)2 – x2 - y2 = x2 + 2xy + y2 – x2 - y2 = 2xy

b) (x + 2).(x – 7) + (x – 5).(x + 3)

= (x + 2).(x – 7) + (x – 5)(x + 3) = x2 + (2 + (-7))x + 2.(-7) + x2 + (-5+3)x + 3.(-5)

= x2 - 5x – 14 + x2 - 2x - 15

= 2x2 - 7x – 29

c) (2x – y)2 - 4x(x – y)

(2x – y)2 – 4x(x – y) = (2x)2 – 2.2x.y + y2 – 4x2 + 4xy

= 4x2 – 4xy + y2 –4x2 + 4xy = y2

Matemática 29

1.5 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS do 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista

uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Ex: 2x – 5 = 3 o número desconhecido x recebe o nome de incógnita.

y² – 5y + 6 = 0 o número desconhecido y é a incógnita desta equação.

2x – 5y = 10 os números desconhecidos x e y são as incógnitas desta equação.

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma a.x + b = 0, em

que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável.

Na equação 3x + 15 = 0 temos:

3 é o coeficiente

15 é o termo independente

x é a incógnita.

Resolver uma equação significa encontrar valores da incógnita que satisfazem a sentença

tornando-a verdadeira.

A equação 3x + 15 = 0 pode ser resolvida assim:

1º) Como a equação é uma igualdade podemos somar -15 (simétrico de 15) no primeiro e no

segundo membro da equação: 3x + 15 + (-15) = 0 + (-15), com isto temos: 3x = -15.

2º) Na nova igualdade obtida podemos multiplicar o primeiro e no segundo membro da equação 3x

= -15, pelo inverso de 3 (ou seja 1/3): 3x . 1/3 = -15 . 1/3 x = -5, solução ou conjunto verdade

da equação: S = {-15}.

x = -5 é valor de x que satisfazem a sentença (equação) tornando-a verdadeira. Substituindo o valor

de x encontrado acima, podemos confirmar a sua

3.(-5) + 15 = -15 + 15 = 0

Uma outra forma de resolvê-la é:

3x + 15 = 0 3x = -15 x = -15/3 x = -5

Matemática 30

Situação problema

Uma empresa comprou uma máquina e um caminhão. Pagou pelos dois juntos 572 mil reais. Sabe-

se que o preço da máquina é o triplo do preço do caminhão. Como calcular o preço de cada um?

Como o preço da máquina é o triplo do preço do caminhão, vamos indicar o preço do caminhão

por x e o preço da máquina por 3x (triplo significa três vezes).

Então, podemos escrever x + 3x = 572 é chamada de equação.

Equação é toda sentença matemática que representa uma igualdade e na qual existe uma ou

mais letras que indicam um número desconhecido.

A letra que indica o número desconhecido, chama-se incógnita. Na equação anterior a incógnita é x.

Numa equação, a expressão que vem à esquerda do sinal de igual é chamada de 1º membro e a

direita, de 2º membro. 1º membro 2º membro

x + 3x = 572

Vamos agora encontrar o valor de x na equação x + 3x = 572 usando um Processo prático:

x + 3x = 572 adicionando x com 3x, no 1º membro, encontramos 4x.

4x = 572 ‘passando’ o quatro para o 2º membro, invertendo a operação: de multiplicação para divisão.

x = 572 / 4 dividindo 572 por 4 encontramos o valor de x.

x = 143

Como x está indicando o preço do caminhão podemos dizer que seu preço é 143 mil reais.

Conhecendo o preço do caminhão podemos encontrar o preço da máquina, que é o triplo do preço

do caminhão. Assim o preço da máquina é 3x = 3 . 143 = 429.

Resp. O preço do caminhão é 143 mil reais e o preço da máquina é 429 mil reais.

Exemplo: Uma companhia de gestão do tráfico

urbano de uma cidade X destacou um quarteirão Q,

sob sua jurisdição, limitado por quatro ruas, com mão

única, para um estudo do volume do tráfico na hora

do rush. O número de veículos que passam pelas, em

média, em certo horário, é indicado no diagrama ao

lado, no qual as setas mostram o sentido do fluxo.

Suponha que todo carro que chega no quarteirão sai

Matemática 31

por uma das vias indicadas e no período considerado. Qual o número x de veículo que sai pela

segunda rua vertical?

Solução:

O problema nos informa que todo carro que chega no quarteirão sai por uma das vias indicadas e no

período considerado. Portanto o número total de carros que chega é igual ao número total dos que saem:

Nº de entrada = Nº de saídas

190 + 235 + 225 + 270 = 215 + 210 + 200 + x

920 = 625 + x

x = 295

Exemplos de resolução de algumas equações do 1º grau pelo processo prático:

a) 4.(x – 4) – 1 = 3.(2x – 7)

Para iniciar a resolução vamos eliminar os parênteses aplicando a propriedade distributiva:

4.x – 4.4 – 1 = 3.2x – 3.7 multiplicamos 4 por, x e por 4 no 1º membro e 3 por, 2x e por 7 no 2º membro

4x – 16 – 1 = 6x – 21 como resultado encontramos a equação mais simples 4x – 16 – 1 = 6x – 21

4x – 17 = 6x – 21 efetuando as operações possíveis (-16 – 1)

4x – 6x = - 21 + 17 transpondo os termos que tem letras para o 1º membro e os termos sem letras para o 2º membro

- 2x = - 4 reduzindo os termos semelhantes resulta em -2x no 1º membro e -4 no 2º membro

2x = 4 multiplicando os dois membros da equação por (-1) encontramos

x = 4 / 2 ‘passando’ o dois para o 2º membro, invertendo a operação: de multiplicação para divisão.

x = 2 dividindo 4 por 2 encontramos o valor de x

Esta equação apresenta denominadores diferentes de 1, portanto

Matemática 32

16) Resolva as seguintes equações do primeiro grau:

17) Resolva os seguintes problemas (forme a equação para desenvolver a habilidade de modelar

matematicamente um problema):

a) Quantos oitavos existem em 13 inteiros?

b) Quanto devo adicionar em 7/5 para obter 34 inteiros?

c) Quatro pessoas resolveram montar uma sociedade. A primeira colocou uma quantia de capital

igual ao dobro do capital da terceira. A segunda colocou a metade do que colocou a quarta, que por

sua vez colocou o triplo da terceira. Se o capital da empresa é de R$ 150.000,00, quanto colocou

cada uma delas?

d) Se uma empresa vende um produto em que o lucro por unidade é R$3,50, quantas unidades

deverá vender para conseguir um lucro de R$ 8.750,00?

Matemática 33

e) Qual número é o quíntuplo de um quinto de 90?

f) Uma empresa é composta por três departamentos. O primeiro deles faturou R$80.000,00. O

segundo faturou três quintos do primeiro. Quanto deverá faturar o terceiro, se o faturamento total

precisa ser o dobro do faturamento dos dois primeiros departamentos?

[104 oitavos; 32 3/5; 20000; 2500; 90; 128000]

Matemática 34

1.6 – SISTEMAS LINEARES (SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS)

Situação problema

Tenho 220 reais e quero comprar 8 peças de roupas entre camisetas e bermudas. O preço de cada

camiseta é vinte e de cada bermuda é quarenta reais. Quantas camisetas e quantas bermudas posso

comprar, usando todo o meu dinheiro?

Indicando o número de camisetas por x e o número de bermudas por y. Como quero comprar 8

peças de roupas, podemos escrever que x + y = 8.

Se o preço de cada camiseta é vinte reais e de cada bermuda é quarenta reais. Como indicamos as

camisetas por x e as bermudas por y, podemos dizer que o preço das camisetas é 20x e que o preço

das bermudas é 40y. Então 20x + 40y = 220, pois tenho 220 reais para a compra. Nesse caso,

dizemos que as duas equações anteriores formam um sistema de equações do 1º grau com duas

incógnitas e devem ser escritas na forma

=+=+

220 40y 20x 8 y x

Para resolver esse sistema temos que encontrar os valores de x e de y que é solução tanto da

primeira equação como da segunda.

Para resolver um sistema de duas equações é preciso chegar a uma só equação com uma só

incógnita e para isso existem vários métodos (método da adição, método da substituição, ...).

Para resolver esse sistema vamos usar o método da substituição:

=+=+

220 40y 20x 8 y x

1º) isolamos o valor de uma das variáveis em uma das equações. Nesse caso vamos isolar y na 1ª

equação:

Se x + y = 8 então y = 8 – x.

2º) Vamos substituir o valor isolado em uma das equações na outra ... Nesse caso vamos substituir o

valor obtido y, na 1ª equação, na 2ª equação:

20x + 40y = 220 20x + 40.(8 – x) = 220

20x + 40.8 – 40.x = 220 aplicando a propriedade distributiva.

20x + 320 – 40x = 220 efetuando as operações possíveis

– 20x = 220 – 320 reduzindo os termos semelhantes e 320 transpondo para o 2º membro

-20x = -100 efetuando as operações possíveis, 220 – 320

Matemática 35

20x = 100 multiplicando os dois membros da equação por (-1) encontramos

x = 100/20 ‘passando’ o vinte para o 2º membro, invertendo a operação: de multiplicação para divisão.

x = 5 dividindo 100 por 20 encontramos o valor de x

3º) Já encontramos o valor de x. Note que no início da resolução já tínhamos concluído que: y=8 - x

Então, para obter y, basta substituir x por 5. Assim:

y = 8 - x

y = 8 - 5

y = 3

Com isto concluímos que o valor de x é 5 e o valor de y é 3.

Resp. A solução do sistema é o par ordenado (5, 3).

18) Resolva os sistemas:

Matemática 36

1.7 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Equações do 2º grau é toda equação do tipo ax² + bx + c = 0, onde a∈R*, b∈R e c∈R. Para

resolvê-la é comum usarmos a fórmula:

.4acb∆onde ,2a

∆ b- x 2 −=±

=

Demonstração da fórmula de resolução de uma equação do 2º grau com uma incógnita.

Partindo da equação e usando conhecimentos básicos vamos encontrar a fórmula:

1ª) Considerando a equação ax² + bx + c = 0 podemos somar dividir os dois membros da equação

por a:

ax²/a + bx/a + c/a = 0/a x² + bx/a + c/a = 0

2ª) Considerando a equação x² + bx/a + c/a = 0, podemos somar –c/a nos dois membros da

equação, com isto isolamos os termos de x no 1º membro:

x² + bx/a + c/a + (–c/a) = 0 + (–c/a) x² + bx/a = –c/a

3ª) Considerando x² + bx/a = –c/a, podemos transformar o 1ª membro num trinômio quadrado

perfeito, somando b²/4a² nos dois membros:

x² + bx/a + b²/4a² = b²/4a² – c/a

4ª) Fatorando o 1º membro e encontrando um denominador comum para o 2º membro, temos:

(x + b/2a)² = b²/4a² – 4ac/4a²

5ª) Portanto, podemos isolar x:

4ac)/4a² (b² = b/2a) +(x −±

2a4ac b² =

2ab x −±

+

2a4ac b²

2ab = x −±

−

2a4ac b² b = x −±− , chamado b² - 4ac de ∆, concluímos que:

2a b = x ∆±−

Matemática 37

Exemplo 1: Resolver a equação x2 – 5x + 6 = 0. Nesta equação a = 1, b = -5 e c = 6.


∆ = b² - 4ac = (-5)² - 4.1.(6) = 25 – 24 = 1


224

21 5xe3

26

21 5x

21 5

2.11 (-5)-

2a∆ b- x 21 ==

−===

+=⇒

±=

±=

±= , portanto o conjunto

solução dessa equação é S = { 2, 3 }

• A soma e o produto das raízes da equação do 2º grau É comum associarmos a soma e o produto das raízes com os coeficientes (a, b e c) da

equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.

Demonstrando essas relações:

I – A soma das raízes x1 e x2:

ab-

2a2b-

2a∆ b-

2a∆ b- x x 21 ==

−+

+=+

II – O produto das raízes x1 e x2:

ac

4a4ac

4a4ac)(bb

4a)∆( b

2a∆ b- .

2a∆ b- x. x 22

22

2

22

21 ==−−

=−

=−+

=

No Exemplo 1 a equação x2 – 5x + 6 = 0, cujos coeficientes são a = 1, b = -5 e c = 6, tem

soma das raízes x1 + x2 = -b/a = -(-5) / 1 = 5 e

produto das raízes x1 . x2 = c/a = 6 / 1 = 6

De fato, as suas duas raízes são 2 e 3, portanto a soma é 2 + 3 = 5 e o produto 2. 3 = 6.

Exemplo 2: Resolver a equação 2x2 – 6x = 0. Nesta equação a=2, b=-6 e c=0.


∆ = b² - 4ac = (-6)² - 4.2.0 = 36 – 0 = 36

Matemática 38


040

46 6xe3

412

46 6x

46 6

2.236 (-6)-

2a∆ b- x 21 ==

−===

+=⇒

±=

±=

±= , portanto o

conjunto solução dessa equação é S = { 0, 3 } .

Obs. Todo equação do tipo ax2 + bx = 0 (com c=0) tem uma raiz nula (igual a zero).

Exemplo 3: Resolver a equação 3x2 – 75 = 0. Nesta equação a=3, b=0 e c=-75.


∆ = b² - 4ac = 0² - 4.3.(-75) = 0 – (-900) = 900


5630-

630 0xe5

630

630 0x

630 0

2.3900 (0)-

2a∆ b- x 21 −==

−===

+=⇒

±=

±=

±= ,

portanto o conjunto solução dessa equação é S = {-5, -5 } .

Obs. Todo equação do tipo ax2 + c = 0 (com b=0) tem duas raízes reais simétrica (mesmo módulo

e sinais contrários).

Exemplo 4: Resolver a equação x2 – 4x + 4 = 0. Nesta equação a=1, b=-4 e c=4.


∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.(4) = 16 – 16 = 0


224

20 4xe2

24

20 4x

20 4

2.10 (-4)-

2a∆ b- x 21 ==

−===

+=⇒

±=

±=

±= , portanto o

conjunto solução dessa equação é S = { 2 }

Obs. Todo equação do tipo ax2 + bx + c = 0 (com ∆=0) tem duas raízes reais iguais (mesmo

valor).

Exemplo 5: Resolver a equação x2 – 4x + 5 = 0. Nesta equação a=1, b=-4 e c=5.


∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.(5) = 16 – 20 = -4


Matemática 39

R4-,2.1

4- (-4)- 2a

∆ b- x ∉±

=±

= , portanto a equação não tem raízes reais. O conjunto

solução dessa equação é S = { } ou ∅

Obs. Todo equação do tipo ax2 + bx + c = 0 (com ∆<0) não tem duas raízes reais (suas raízes

pertencem aos números complexos).

19) Resolva as equações: a) x² – 7x + 10 = 0

b) x² – 6x + 9 = 0

c) –3x² + 12x = 0

d) 7x² + x + 1 = 0

e) 25x² – 4 = 0 {2; 5}; {3}; {0, 4}; { }; {±2/5}

Matemática 40

2 – NOÇÕES DE TEORIA DE CONJUNTOS

2.1 – INTRODUÇÃO

A Teoria dos Conjuntos, como a conhecemos hoje, começou a ser sistematizada no século

XIX. Dentre os matemáticos que contribuíram para essa sistematização, destaca-se

o tchecoslovaco Bernhard Bolzano (1781 - 1848), o alemão Richard Dedekind

(1831- 1916) e o russo Georg Cantor (1845-1918), na figura ao lado. Este último

foi quem mais contribuiu no estudo dos conjuntos, com a sua teoria intuitiva,

publicada em 1874, considerada uma das maiores inovações da Matemática

Contemporânea. Logo após sua publicação começaram a surgir paradoxos, ou seja, contradições

lógicas na sua estrutura. O início do século XX foi marcado por tentativas de eliminar esses

paradoxos, criaram-se as teorias axiomatizadas de conjuntos.

Os conceitos de conjunto, elementos e pertinência são 3 conceitos primitivos, aceitos sem

definição.

Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de grupo, coleção ou classe e, à idéia de

elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. A relação de pertinência (∈ -

pertence a e ∉ - não pertence a), estabelece a relação de um elemento em relação a um conjunto.

Deste modo, se João Carlos é um dos elementos do Conjunto dos Vendedores de uma empresa,

dizemos: João Carlos ∈ Vendedores. Se o conjunto A = {2, 6, 8, 9, 10}, então podemos afirmar

que: 2 ∈ A, 8 ∈ A, 9 ∈ A, 1 ∉ A, 5 ∉ A, 7 ∉ A.

Podemos representar um conjunto de três formas: por extensão, por compreensão e por diagrama.

Exemplo 1: P = conjunto dos números pares entre 1 e 9, os seus elementos são: 2, 4, 6, 8.

Representando por extensão: P = {2, 4, 6, 8}. Nesse caso podemos afirmar que 8

pertence ao conjunto P ( 8∈ P) e 9 não pertence a P (9 ∉ P).

Exemplo 2. D = conjunto dos resultados possíveis de um lançamento de um

dado, os seus elementos são: 1, 2, 3, 4, 5, e 6. Representando por

diagrama (uma linha fechada):

Matemática 41

Nesse caso podemos afirmar que 2 pertence ao conjunto D (2∈D) e 8 não pertence a

D (8∉D).

Exemplo 3. L = conjunto das letras da palavra amor, os seus elementos são: a, m, o e r.

Representando por compreensão: L = { x | x é letra da palavra amor}

TIPOS DE CONJUNTOS

CONJUNTO UNIVERSO: O Conjunto Universo é a reunião de todos os conjuntos a serem

estudados no contexto em que estamos trabalhando.

Exemplos: Quando falamos sobre biologia, o Conjunto Universo será todos os seres vivos;

Quando falamos sobre os números naturais, o Conjunto Universo será todos os números

inteiros positivos.

Na resolução de equações um dos conjuntos mais importantes é o conjunto dos números

Reais que reúne vários outros conjuntos numéricos.

CONJUNTO VAZIO

O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Representa-se o Conjunto Vazio por: { }

ou Ø.

Exemplo: • Seja A = {x / x é natural e menor que 0} Este conjunto é vazio, pois não existe

número natural negativo.

• Conjunto dos países da África que iniciam pela letra M. Este conjunto é vazio, pois

não existe país da África cujo nome se inicia pela M.

CONJUNTO UNITÁRIO

O Conjunto unitário é o conjunto é caracterizado por possuir apenas um único elemento.

Exemplo: • O conjunto dos números naturais compreendidos entre 0 e 2. Nesse caso existe

somente um elemento, o 1. Representamos por {1}.

• O conjunto dos números inteiros compreendidos entre –3 e –1. Entre os números –3 e

–1 existe apenas o número inteiro –2. Representamos {–2}.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Finito: quando podemos enumerar todos os seus elementos.

Matemática 42

Exemplo: • O conjunto dos Estados da Região Sul do Brasil: S = {Paraná, Santa Catarina, Rio

Grande do Sul}

Infinito: quando não podemos enumerar todos os seus elementos

Exemplo: • O conjunto dos números naturais: IN = {0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

A RELAÇÃO DE INCLUSÃO (⊂ - está contido em e ⊄ - não está contido em) estabelece a

relação de um conjunto em relação a um outro conjunto.

Por exemplo, o conjunto de vendedores de uma empresa está contido no conjunto dos funcionários

da empresa, ou dito de outra forma, o conjunto dos funcionários de uma empresa está contém (⊃) o

conjunto dos vendedores da empresa.

A relação negativa também é usada na mesma forma da relação de pertinência. Por exemplo: o

conjunto dos funcionários de uma pizzaria não contém o conjunto dos entregadores desta pizzaria,

pois os mesmos são terceirizados.

Definição: Dizemos que A está contido em B, ou ainda que A é

subconjunto de B, se todos os elementos de um conjunto A também

pertencem a um conjunto B.

Em símbolos: A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Exemplo i: Dados os conjuntos B = {0, 1, 2, 3 ,4 ,5} e A = {1, 3, 5},

vemos que todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto B,

então podemos afirmar que A é subconjunto de B, A ⊂ B ou B ⊃ A.

Exemplo ii: Todo fogão é um eletrodoméstico, mas nem todo

eletrodoméstico é um fogão. Esta idéia pode ser representada através da

relação de inclusão usando diagramas:

A relação de inclusão possui quatro propriedades fundamentais:

• ∅ ⊂ A O conjunto vazio está contido em todo conjunto.

• Propriedade reflexiva: A ⊂ A Todo conjunto está contido em si mesmo.

• Propriedade antissimétrica: se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = A

• Propriedade transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C

Matemática 43

Bastante usada na Matemática, a propriedade antissimétrica é utilizada quando queremos mostrar

que os conjuntos A e B são iguais. Para provar que A = B, basta mostrar que A ⊂ B e B ⊂ A, ou

seja, que todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A.

A propriedade transitiva, por sua vez, é fundamental no raciocínio dedutivo, é usada em lógica, na

análise de alguns silogismos (argumentos que consistem em duas premissas das quais, por

inferência, obtém-se necessariamente uma terceira, a qual chamamos conclusão)

Exemplo i) 1ª premissa: Todos os homens são mortais.

2ª premissa: Os brasileiros são homens.

Conclusão: Logo, os brasileiros são mortais.

Exemplo ii) 1ª premissa: Todo felino é mamífero.

2ª premissa: Todo gato é felino

Conclusão: Então, todo gato é mamífero.

G F M

B H M

Matemática 44

2.2 - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

I) Intersecção (∩)

Chama-se intersecção de dois conjuntos A e B de um universo U ao conjunto de elementos de

U que pertencem simultaneamente a A e B. Indica-se a intersecção por A ∩ B (lê-se: A inter B).

Em símbolos: A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.

Em diagrama:

Exemplos

i) Sendo A = {1, 2, 3, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, então A ∩ B = {1, 3, 5}.

ii)Sendo I = {1, 3, 5, 7, ...} e P = {0, 2, 4, 6, ...}, então I ∩ P = { } (conjunto vazio: ∅)

iii) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3}, então A ∩ B = B. Observe que neste caso o conjunto B

está contido em A, portanto todos elementos de B são comuns a A.

II) União (∪)

Chama-se união de dois conjuntos A e B de um universo U ao conjunto de elementos de U

que pertencem a A ou B (ou inclusivo, e/ou). Indica-se a união por A ∪ B (lê-se: A união B).

Em símbolos: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

Matemática 45

Em diagrama:

Exemplos:

i) Sendo A = {1, 2, 3, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7}.

ii)Sendo I = {1, 3, 5, 7, ...} e P = {0, 2, 4, 6, ...}, então I ∪ P = N (conjunto dos números naturais)

iii) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3}, então A ∪ B = M. Observe que neste caso o conjunto

B está contido em A, portanto todos elementos de B são comuns a A.

III) Diferença (-)

Chama-se diferença A – B (lê-se: A menos B) o conjunto de elementos de U que pertencem a

A e não pertencem a B.

Em símbolos: A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.

Em diagrama:

Exemplos:

i) Sendo A = {1, 2, 3, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, então A – B = { 2 }.

ii)Sendo I = {1, 3, 5, 7, ...} e P = {0, 2, 4, 6, ...}, então I − P = I (conjunto dos números impares)

Matemática 46

iii) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3}, então A − B

= {4, 5}. Observe que neste caso o conjunto B está

contido em A, portanto a diferença é complementar de

B em relação a A (em símbolo: BAC ou BC ou B ).

EXERCÍCIOS

20) Dados os conjuntos X = {x / x é as letras do alfabeto}, B = {b / b é as vogais do alfabeto} e

C = {c / c é as consoantes do alfabeto}, coloque V ou F para as sentenças abaixo:

a) c ∉ B

b) B ⊂ X

c) {a, b, c, d, e } é subconjunto de C

d) B ⊂ C

e) X ⊄ B

f) b ∈ C

g) k, w, y ∈ C

F;V;F;F;V;V;V

21) Represente pelos elementos e pelo diagrama de Venn o conjunto P = {x / x são as raízes da

equação x2 – 17x + 72 = 0} Resposta: {8, 9}

22) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente

positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é: Resposta: 127

23) Escreva todos os subconjuntos do conjunto M = {x | x são os números naturais divisores de

15}.

24) Quais das proposições são verdadeiras?

a) {1, 2} ⊂ {1, 2}

b) {1, 2} ∈ {1, 2}

c) a ∉ {b, a}

d) ∅ ⊂ {a, b, c, d, e}

Matemática 47

e) {a} ⊂ {b, a}

f) 2 ⊂ {1, 2, 3}

g) {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 2, 3, 3}

V;F;F;V;V;F;V

25) Escreva os elementos dos conjuntos A, B e C do

diagrama ao lado.

A = {..., ...., ...., .... }

B = {..., ...., ...., .... }

C = {..., ...., ...., .... }

26) Dado o diagrama, determine os seguintes conjuntos, escrevendo

seus elementos.

a) A – B

b) B ∩ A

c) B – A

d) A ∪ B

{1,3,5}; {7}; {8, 9,10}; {1,3,5,7,8,9,10}

27) São dados os conjuntos A = {x ∈ N | x é impar}, B = {x ∈ Z | – 3 ≤ x < 4} e C = {x ∈ Z / -1<

x < 6}. Determine.

a) A =

b) B =

c) C =

d) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) =

e) (A ∩ B) =

f) A – (B ∪ C)

g) B – (A ∩ C)

h) (B – A) ∩ (A – C)

{1,3,5,7,...}; {-3,-2,-1,0,1,2,3}; {0,1,2,3,4,5}; {0,1,2,3,};{1,3};{5,7,...}; {-3,-2,-1,0,2}; ∅

28) Os muçulmanos sequer se limitam aos paises de etnia árabe, como muito imaginam. Por

exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um

país de etnia árabe. (Adaptado da Superinteressante, Ed. 169, out, 2001). Considere T o conjunto de

todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de

Matemática 48

todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se

representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas e nem árabe por:

a) T – (A ∪ M)

b) T – A

c) T – (A ∩ M)

d) (A – M) ∪ (M – A)

e) M – A

A

Matemática 49

2.3 – OPERAÇÕES COM INTERVALOS Exemplo;

i) Dados os intervalos: A = {x ∈ R | 2 < x < 5} e B = [3, 8[, determine a intersecção e a união dos

intervalos A com B.

Solução:

1º)Representamos na reta real, usando um escala comum e realizamos operações solicitadas:

2º)Para encontramos a intersecção tomamos a parte comum dos dois intervalos.

3º)Para encontramos a união tomamos a parte comum e não comum dos dois intervalos.

Resposta: A ∩ B = [3, 5[ e A ∪ B = ]2, 8[

ii) Dados os intervalos: A = {x ∈ R | 2 < x < 5} e B = [3, 8[, determine a diferença entre A e B e

entre B.

Solução:

1º)Representamos na reta real, usando um escala comum e realizamos operações solicitadas:

2º)Para encontramos a diferença A - B tomamos a parte que pertence ao conjunto A e não

pertence ao conjunto B.

3º) Para encontramos a diferença B - A tomamos a parte que pertence apenas ao conjunto B e não

pertence ao conjunto A.

Resposta: A – B = [2, 3[ e B – A = [5, 8[

Matemática 50

2.4 - PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS

Em geral podemos dizer que problemas constituem-se, essencialmente, de perguntas ou

tarefas a serem executadas. Nesta etapa do nosso curso, vamos resolvê-los, utilizado além das

informações contidas nos enunciados, nossos conhecimentos relativos às operações de conjuntos

que são: União, Intersecção e Diferença.

Exemplos:

i) Uma pesquisa realizada numa universidade sobre o gosto musical dos alunos indicou que 458

gostam de MPB, 112 gostam de música Clássica, 62, de ambos e 36, de nenhum desses estilos

musicais. Com base nestes dados, determine o número de alunos consultados.

Solução:

Sendo B o conjunto dos alunos que gostam de MPB, C o conjunto dos alunos que gostam de música

Clássica e U o conjunto dos alunos consultados, podemos usar o diagrama geral de dois conjuntos

para trabalhar com dados do problema:

n(B) = 458

n(C) = 112

n(B ∩ C)= 62

1º) registramos o número de elementos correspondentes a intersecção e o complementar da união

dos dois conjuntos (nenhum dois estilos);

2º) registramos o número de elementos de cada conjunto, considerando o registro da intersecção.

Portanto na região do diagrama correspondente aos elementos exclusivos de A temos 458 – 62 =

396 elementos. Na região do diagrama correspondente aos elementos exclusivos de B temos 112 –

62 = 50 elementos

3º) O número de alunos consultados é igual a 396 + 62 + 50 + 36 = 544 .

ii) Realizou-se uma pesquisa num supermercado de uma grande cidade sobre o consumo de três

produtos, A, B e C. Feito a apuração, obteve-se o resultado disposto na tabela abaixo:

Produtos A B C A e B A e C B e C A, B e C Nenhum dos Três

Número de Consumidores

300 400 500 140 180 160 120 360

Responda os seguintes itens:

a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?

Matemática 51

b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B ou o produto C?

c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?

d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?

e) Quantas pessoas foram consultadas?

Solução:

Sendo A o conjunto dos consumidores do produto A, B o conjunto dos consumidores do produto B,

C o conjunto dos consumidores do produto C e U o conjunto dos clientes consultados, podemos

usar o diagrama geral de três conjuntos para trabalhar com dados do problema:

1º) Registramos inicialmente o número de elementos a intersecção dos três conjuntos (A, B e C) e o

valor correspondente ao número de elementos que não pertence a nenhum dos três produtos:

2º) A seguir registramos número de elementos das intersecções duas a duas (A e B, A e C, B e C)

considerando que já está registrado o número de elementos que não pertence a nenhum dos três

produtos (A, B e C).

3º) Por último registramos o total de consumidores dos produtos A, B e C, considerando o que já

está registrado, a intersecção dos três conjuntos (A, B e C) e as intersecções duas a duas. Com isto

encontramos os resultados registrados na quarta figura (diagramas), o que nos permite responder

os itens do problema.

a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?

Observando o quarto diagrama: 100 pessoas

b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B ou o produto C?

O conectivo ‘ou’ indica a união de A, B e C: 100+60+120+20+220+40+280 = 840 pessoas

c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?

O conectivo ‘ou’ indica a união de A e B: 100+60+120+20+220+40 = 560 pessoas

Matemática 52

d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?

Observando o quarto diagrama: 280 pessoas

e) Quantas pessoas foram consultadas?

Envolvem a soma de todos os valores: 100+60+120+20+220+40+280+360 = 1200 pessoas

iii) Uma prova era constituída de dois problemas. Trezentos alunos acertaram somente um dos

problemas, 260 acertaram o segundo, cem alunos acertaram os dois e duzentos e dez erraram o

primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução:

Representando a informações (quantidades) acima usando diagrama de Venn:

Fizeram a prova: 100 + 160 + 140 + 50 = 450 alunos

Matemática 53

EXERCÍCIOS

29) Numa pesquisa com 100 alunos de uma universidade foi obtido o seguinte resultado:

• 57 alunos praticam futebol; • 43 alunos praticam basquete; • 25 alunos praticam os dois esportes. Nessas condições, determine: a) quantos alunos praticam apenas futebol? b) quantos alunos praticam apenas basquete? c) quantos alunos não praticam nenhum desses esportes?

32; 18; 25

30) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o

resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B, e 70 assistem a outros

canais distintos de A e B. Qual o número de pessoas que assistem a A e não assistem a B?

180 pessoas

31) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68

receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas

dessas crianças receberam as duas vacinas?

46 crianças

32) No lançamento de um dado perfeito, de quantas maneiras diferentes podemos obter números

ímpares ou números primos?

Resp.: 4

33) Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou

não: Gosta de música?, Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70

responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas; e 40 não a ambas. Quantos jovens foram

entrevistados?

Resp.: 175

34) Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados

apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a

segunda. Faça o diagrama e calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão?

Resp.: 20 alunos ou 50%

35) Segundo o Censo do IBGE no ano 2006, 81% dos brasileiros possuíam televisão, 79%

possuíam geladeira, 8% possuíam geladeira e televisão e 4% não tinham TV nem geladeira. Qual o

total de brasileiros que possuíam apenas televisão?

Resp.: 73%

Matemática 54

36) Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentração nazista e

de lá resgataram 979 prisioneiros. Desses 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321

não tinham nenhuma dessas duas doenças. Qual o número de prisioneiros com as duas doenças?

Resp.: 120 prisioneiros

37) Um total de sessenta clientes potenciais foi a uma loja de equipamento informático. Deles

cinqüenta e dois fizeram compras: vinte compraram papel; trinta e seis compraram pendrive; quinze

compraram cartuchos de tinta para impressora; seis compraram simultaneamente papel e pendrive;

nove compraram simultaneamente pendrive e cartuchos; cinco compraram simultaneamente papel e

cartuchos. Quantos compraram os três artigos? Resp.: um cliente

38) Uma prova com duas questões foi aplicada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos

acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão.

Quantos alunos erraram as duas questões?

39) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de

televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305

assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos

programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos

três programas.

a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas? b) Quantas famílias assistem somente ao programa A? c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?

40) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de

Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os

dois livros e 15 não leram nenhum deles.

a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos alunos leram só Helena? c) Qual é o número de alunos nessa classe?

41) Numa enquete com 100 pessoas na porta de um supermercado sobre três produtos, as respostas

foram: 10 pessoas compram somente o produto A, 30 pessoas compram somente o produto B, 15

pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6

pessoas compram B e C, e 4 compram os três produtos.

Matemática 55

a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos? b) Quantas pessoas não compram nenhum desses produtos? c) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não compram C? d) Quantas pessoas compram os produtos A ou B? e) Quantas pessoas compram o produto A? f) Quantas pessoas compram o produto B? 42) Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes

resultados: 41 estudam Inglês; 29 estudam Francês e 26 estudam Espanhol; 15 estudam Inglês e

Francês, 8 estudam Francês e Espanhol, 19 estudam Inglês e Espanhol; 5 estudam os três idiomas.

a) Quantos estudantes não estudam nenhum desses idiomas? b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?

43) Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lêem o jornal A, 29% lêem o jornal B, 22%

lêem o jornal C, 13% lêem A e B, 6% lêem B e C, 14% lêem A e C e 6% lêem os três jornais.

a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais? b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C? c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?

44) Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao

canal X, 40 ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e Z, 3 a X e Z, e 1 assiste aos três.

a) Quantos não assistem a nenhum desses canais? b) Quantos assistem somente ao canal X? c) Quantos não assistem nem a X nem a Y?

45) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas, A, B e C, de um determinado

produto apresentou os seguintes resultados: A, 48%; B, 45%; C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e

C, 15%; nenhuma das três, 5%.

a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas? b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas?

46) A, B e C são conjuntos tais que n(A ∩ B) = 8, n(C) = 10, n(A − C) = 7, n(A ∩ B ∩ C) = 5,

n(B ∩ C) = 6, n(B) = 12, n(A ∩ C) = 7.

Determine o número de elementos de: a)B − C; b)A; c)A ∪ B; d)A ∪ B ∪ C.

Matemática 56

2.5 - PRODUTO CARTESIANO

Considere dois conjuntos A e B, não-vazios. Chamamos produto cartesiano de A por B o

conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b) tais que a ∈A e b ∈ B.

Em símbolo: A x B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}

Exemplos: i) Considere A = {2, 3} e B = {0, 1}.

a) O produto cartesiano de A por B é o conjunto formado pelos seguintes pares ordenados:

A x B = {(2, 0); (2, 1); (3, 0); (3, 1)}.

Os pares ordenados podem ser representados por meio de um diagrama e no plano cartesiano:

A x B é representado por 4 pontos

b) O produto cartesiano de B por A é o conjunto formado pelos seguintes pares ordenados: B x A =

{(0, 2); (0, 3); (1, 2); (1,3)}

Representados por meio de um diagrama e no plano cartesiano:

B x A é representado por 4 pontos

Exemplos: ii) Considere os intervalos A = [-3, 3] e B = [-2, 2].

O produto cartesiano de A por B corresponde a região

(retângulo) delimitada no eixo x por -3 e 3 e no eixo y por -2 e

2, conforme a figura ao lado.

Matemática 57

Exemplos: iii) Considere os intervalos infinitos:

A = {x ∈ R | x ≥ 1} e B = {y ∈ R | y ≥ 3}.

O produto cartesiano de A por B corresponde a região

(aberta) delimitada inferiormente no eixo x por 1 e no eixo y

por 3, conforme a figura ao lado.

Exemplos: iv) Considere o intervalo A = ]-3, 4] e o

conjunto unitário B = { 2 }.

O produto cartesiano de A por B corresponde ao

segmento de reta horizontal, passando em y=2,

delimitado a esquerda por x=-3 (aberto) e a direita e

x=4 (fechado), conforme a figura ao lado.

Exercícios

47) Dados os conjuntos A = {0, 1, -1}, B = {-2, 3} e C = {4}, Determine os produtos:

a) A x B

b) B x A

c) B2

d) C x B

e) A x C

f) B x C

48) Se n(A x B) = 10 e A = {1, 3}, quantos elementos tem B? [5]

• PRODUTO CARTESIANO DE TRÊS CONJUNTOS

Considere três conjuntos A, B e C não-vazios. Chamamos produto cartesiano de A, B e C o

conjunto formado por todos os ternos ordenados (a, b, c) tais que a ∈A, b ∈ B e c ∈ C.

Em símbolo: A x B x C = {(a, b, c) | a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C}

Matemática 58

Exemplos: Considere A = {2, 3}, B = {0, 1} e C = {5, 6}.

O produto cartesiano de A por B é o conjunto formado pelos seguintes pares ordenados:

A x B x C = {(2, 0, 5); (2, 0, 6); (2, 1, 5); (2, 1, 6) (3, 0, 5); (3, 0, 6), (3, 1, 5), (3, 1, 6)}.

Podemos representar este produto cartesiano através de diagrama de árvore e no sistema de

coordenadas R³.

Matemática 59

2.6 - RELAÇÕES

Considere dois conjuntos A e B não-vazios. Denominamos relação de A em B todo

subconjunto (parte) do produto cartesiano A x B.

Notação: R: A B

Exemplos:

Vamos considerar os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {-1, 1} e determinar A x B.

A x B = {(1, -1); (1, 1); (2, -1); (2, 1); (3, -1); (3, 1)}

A partir de A x B podemos escrever algumas relações Ri (subconjuntos A x B):

R1 = {(x, y) ∈ A x B | y = x} = {(1, 1)}

R2 = {(x, y) ∈ A x B | y > x} = {(1, -1), (2, -1), (3, -1), (3, 1)}

Representação gráfica da relação R2. -2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3x

y

R3 = {(x, y) ∈ A x B | y é positivo} = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)}

Obs. As relações inversas de R1, R2 e R3 são obtidas trocamos x por y e y por x: R-11 = {(1, 1)}, R-1

2

= {(-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (1, 3)} e R-13 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}

Matemática 60

3 – PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES

3. 1 – O QUE É FUNÇÃO

No dia a dia, usamos conceitos matemáticos de forma intuitiva e sem formalização. Um

exemplo desse uso informal é o conceito de função: num setor de uma empresa onde cada

funcionário trabalha em um computador temos uma função do conjunto F (de funcionários) no

conjunto C (de computadores).

Função e toda relação que associa cada elemento de um conjunto A a um e somente um

elemento de um conjunto B.

No caso citado acima, cada funcionário está associado a um computador.

Basicamente definimos função entre dois conjuntos numéricos: de N em N, de Z em Z, de R em R.

Como por exemplo: A função de N em N que associa um número com seu triplo. De acordo com a

lei dessa função

O número 0 está associado 3 . 0 = 0





...

A generalização matematicamente dessa

idéia resulta na fórmula y = 3.x.

Graficamente esta função é representa

por um conjunto de pontos do plano

cartesiano (R²): {(0, 0),(1, 3), (2, 6), (3,

9), (4, 12), (5, 15), ...}, conforme o

gráfico ao lado.

y = 3x

0

3

6

9

12

15

0 1 2 3 4 5x

y

Matemática 61

Metaforicamente podemos entender função como uma máquina (lei, fórmula) que transforma

matematicamente o valor de entrada produzindo um novo valor de saída. O valor de saída é uma

função do valor de entrada.

f(x) = 3x

Note que o valor de y (valor de saída) depende do valor de x (valor de entrada). Então

denominamos y de VARIÁVEL DEPENDENTE e x de VARIÁVEL INDEPENDENTE.

O conceito de função é exaustivamente usado para modelar fenômenos em diversas áreas do

conhecimento. A seguir apresentamos alguns exemplos de aplicações das funções:

Aplicações:

i) O custo total C, em unidades monetárias (u.m.), para produzir um certo número de metros de

tecido é dado por C(x) = 2x + 18. A partir desse modelo matemático, podemos calcular o custo para

produzir:

0 metro, C(0) = 2.0 + 18 = 0 + 18 = 18 (18 é custo fixo, independe do número de metros

produzidos)

1 metro, C(1) = 2.1 + 18 = 2 + 18 = 20

2 metros, C(1) = 2.2 + 18 = 4 + 18 = 22

3 metros, C(1) = 2.3 + 18 = 6 + 18 = 24

4 metros, C(1) = 2.4 + 18 = 8 + 18 = 26

5 metros, C(1) = 2.5 + 18 = 10 + 18 = 28

...

10 metros, C(1) = 2.10 + 18 = 20 + 18 = 38

20 metros, C(1) = 2.20 + 18 = 40 + 18 = 58

Pelos cálculos acima, dá para observar que cada metro a mais gera um custo de 2 u.m., isto é, a taxa

média de variação (TMV) é 2 u.m..

Esta função pode ser representada graficamente no plano cartesiano, isto pode ser feito

manualmente ou usando: a planilha Excel, Graphmatica, Maple, etc..

x(m) Custo(u.m.) 0 18 1 20 2 22 3 24 4 26 6 30 10 38 20 58

Matemática 62

Custo(u.m.)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25x(m)

C(u.m)

C(x) = 2x + 18 (u.m)

ii) Suponha que o custo total em unidades monetárias (u.m.) de x unidades produzidas de um certo

bem é dado pela função C(x) = x³ - 30x² + 500x + 200.

a) Calcule o custo de produzir 5 unidades desse bem.

b) Calcule o custo de produzir 10 unidades desse bem.

c) Calcule o custo de produzir 15 unidades desse bem.

d) Calcule o custo de produzir a décima unidade desse bem.

e) Calcule o custo de produzir a décima quinta unidade desse bem.

f) Monte uma tabela para avaliar o custo total para produzir x unidade e o custo de cada xª unidade.

Solução

a) O custo de produzir 5 unidades é o valor da função custo total quando x = 5. Isto é, o custo de 5

unidades: C(5) = (5)³ — 30.(5)2 + 500(5) + 200 = 2075 u.m.

b) O custo de produzir 10 unidades é o valor da função custo total quando x = 10. Isto é, o custo de

10 unidades: C(10) = (10)³ — 30.(105)2 + 500(10) + 200 = 3200 u.m.

c) O custo de produzir 5 unidades é o valor da função custo total quando x = 15. Isto é, o custo de

15 unidades: C(15) = (15)³ — 30.(15)2 + 500(15) + 200 = 4325 u.m.

d) 0 custo de produzir a décima unidade é a diferença entre o custo de produzir 10 unidades e custo

de produzir 9 unidades. Isto é, Custo da 10ª unidade = C(10) – C(9) = 3.200 - 2.999 = 201 u.m.

Matemática 63

e) 0 custo de produzir a décima unidade é a diferença entre o custo de produzir 15 unidades e custo

de produzir 14 unidades. Isto é, Custo da 15ª unidade = C(15) – C(14) = 4325 - 4064 = 261

e) Abaixo apresentamos respectivamente as tabelas de custo para x unidades e o custo a xª

unidade. Na primeira o custo foi calculado diretamente pela fórmula C(x) = x³ - 30x² + 500x +

200. Na segunda, o custo da xª unidade foi calculado pela diferença dos custos C(x) – C(x – 1).

iii) Uma fábrica de componentes eletrônicos, produz em média 80

peças por hora. Sabendo que cada uma dessas peças é vendida por

R$ 15,00, resolva o que se pede:

a) Escreva uma função Q que relacione o tempo de trabalho e a

quantidade de peças produzidas.

b) Escreva uma função R que relacione a quantidade de peças vendidas e a quantia arrecadada com

a venda

x | custos . 0.0 200.0000 1.0 671.0000 2.0 1088.0000 3.0 1457.0000 4.0 1784.0000 5.0 2075.0000 6.0 2336.0000 7.0 2573.0000 8.0 2792.0000 9.0 2999.0000 10.0 3200.0000 11.0 3401.0000 12.0 3608.0000 13.0 3827.0000 14.0 4064.0000 15.0 4325.0000 16.0 4616.0000 17.0 4943.0000 18.0 5312.0000 19.0 5729.0000 20.0 6200.0000

xª | Custo da xª unid. 1.0 471.0000 2.0 417.0000 3.0 369.0000 4.0 327.0000 5.0 291.0000 6.0 261.0000 7.0 237.0000 8.0 219.0000 9.0 207.0000 10.0 201.0000 11.0 201.0000 12.0 207.0000 13.0 219.0000 14.0 237.0000 15.0 261.0000 16.0 291.0000 17.0 327.0000 18.0 369.0000 19.0 417.0000 20.0 471.0000

Gráfico de y = x³ - 30x² + 500x + 200

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 5 10 15 20

x

y

Matemática 64

c) Determine a função composta R(Q(x)). Que grandezas essa função relaciona?

Solução:

a) A função Q que relaciona o tempo de trabalho e a quantidade de peças produzidas é:

A quantidade de peças produzidas = 80 peças/hora . tempo

Q(x) = 80.t

Esta função representa quantidade de peças produzidas Q(x) em t de horas de trabalho.

b) A função R que relaciona a quantidade de peças vendidas e a quantia arrecadada com a venda

é:

A quantia arrecadada = 15 reais . número de peças

R(q) = 15.q

Esta função representa quantidade arrecadada R(q) quando são vendidas q peças..

c) A função composta R(Q(x)) é:

R(Q(x)) = R ( 80t ) = 15 . 80t

R(Q(x)) = 1200t

A função R(Q(x)) relaciona o número de horas de produção e a quantia arrecadada (Receita) com

as peças produzidas.

Matemática 65

3. 2 – VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO, MÁXIMOS e MÍNIMOS

• Dizemos que uma função f é crescente num intervalo [a, b] se à medida que aumenta o valor de

x, dentro do intervalo, as imagens (valores de y) correspondentes também aumentam, isto é,

se ∀x1∈[a, b], ∀x2∈[a, b] e x1 < x2 então f(x1) < f(x2).

• Dizemos que uma função f é decrescente num intervalo [a, b] se à medida que aumenta o valor

de x, dentro do intervalo, as imagens (valores de y) correspondentes diminuem, isto é,

se ∀x1∈[a, b], ∀x2∈[a, b] e x1 < x2 então f(x1) > f(x2).

• xo é um ponto de máximo se existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo xo tal que f(xo) ≥ f(x),

∀x∈]a, b[.

• xo é um ponto de mínimo se existe um intervalo aberto ]a, b[ contendo xo tal que f(xo) ≤ f(x),

∀x∈]a, b[.

Considere o gráfico da função f(x) abaixo, de domínio [-9, 8], e obtenha os intervalos onde ela é

crescente e onde ela é decrescente, e determine os pontos de máximo e de mínimo.

A função é crescente nos intervalos: -9 ≤ x ≤ -6 e -2 ≤ x ≤ 7.

A função é decrescente nos intervalos: -6 ≤ x ≤ -2 e 7 ≤ x ≤ 8.

xo = -6 e xo = 7 são pontos de máximo.

xo = -2 é um pontos de mínimo. Existem outros: x = -9 e x = 8.

Matemática 66

O gráfico abaixo apresenta a produção de autoveículos no Brasil no ano de 2010.

Produção de Autoveículos no Brasil - 2010

46.051

55.258

49.048

54.488

39.785

62.98467.310

66.745

59.98555.593

56.271

46.664

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Mês

Nº de Autoveículos

Nesta representação gráfica (gráfico de linha) ficam evidentes as variações (crescimento e

decrescimento) ocorridas durante o ano considerado.

• O nível de produção do final do ano (12, 39875) é superior ao nível de produção do inicio (1,

46664).

• Durante o ano de 2010 o nível máximo da produção ocorreu em no mês 9 (setembro): 67310.

• Durante o ano de 2010 o nível mínimo da produção ocorreu em no mês 12 (dezembro): 39785.

• Os índices de produção de um mês em relação ao mês anterior, a partir de fevereiro (2) são:

Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Produção 46.664 46.051 55.258 49.048 56.271 55.593 59.985 66.745 67.310 62.984 54.488 39.785

Índice _ 0,987 1,200 0,888 1,147 0,988 1,079 1,113 1,008 0,936 0,865 0,730

Os índices inferiores a 1 indicam que a produção diminuiu e os índices superiores a 1 indicam que

a produção aumentou no mês considerado em relação ao mês anterior.

• A maior variação de crescimento no ano de 2010 ocorreu no mês de março: 1,200.

• A maior variação de decrescimento no ano de 2010 ocorreu no mês de dezembro: 0,730.

Matemática 67

TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO

Taxa média de variação (TMV) de y em relação a x, quando x passa de x1=a para x2=b, é a

variação em y dividida pela variação em x, ou seja,

∆xf(a)-∆x)f(a

a - bf(a)-f(b)

∆x∆yTMV

b

a

+== ou

Exemplo: i) Dada a função f definida por f(x) = 4 – 5x, determine a taxa média de variação de f,

a) se x varia de 0 a 1.

b) se x varia de 1 a 2.

c) se x varia de 2 a 7.

d) se x varia de xo a xo+h.

Solução:

a) 5 15

14-1)(

10)(4-5)(4

15.0)(4-5.1)(4

0 - 1f(0)-f(1)

∆x∆yTMV

1

0−=

−=

−=

−−=

−−===

b) 5 15

1(-6)(

15)(4-)1(4

15.1)(4-5.2)(4

1 - 2f(1)-f(2)

∆x∆yTMV

2

1−=

−=

−−=

−−=

−−===

)10

c) 5 525

56)(-31)(

510)(4-35)(4

55.2)(4-5.7)(4

2 - 7f(2)-f(7)

∆x∆yTMV

7

2−=

−=

−−=

−−=

−−===

d)

5h5.h

h5.x4-5.h5.x4

h)5.x(4-5.h]5.x[4

h)5.x(4-h)]5.(x[4

x - hx)f(x-h)f(x

∆x∆yTMV

oo

oooo

oo

oohx

x

o

o

−=−

=+−−

=

−−−=

−+−=

++

==+

Exemplo: ii) Uma fabrica de doces verificou que o custo total diário para produzir x caixas de

doces cristalizados era dado por C(x) = x2/2 + x + 2 (em reais).

a) Calcule a taxa média de variação do custo se a produção aumentar de x1=5 para x2=10.

em relação a x.

Matemática 68

b) Calcule a taxa média de variação do custo se a produção aumentar de x1=10 para x2=15. Essa

taxa média de variação é maior ou menor que a taxa média de variação calculada na letra a)?

Solução:

a)

3,5 5

35/2 5

4/2-39/2 5

2-(39/2)

52)(-7) (25/2

52) 0 /2(0-2) 5 /2(5

0 - 5f(0)-f(5)

∆x∆yTMV

225

0

====

=++

=++++

===

b)

8,5 5

(39/2)-(124/2) 5

14/2) (25/2-24/2) (100/2

57) (25/2-12) (100/2

52) 5 /2(5-2) 10 /2(10

5 - 10f(5)-f(10)

∆x∆yTMV

225

0

===++

=

=++

=++++

===

Exemplo: iii) Um círculo tem raio r. Calcule a variação média na área:

a) Quando o raio varia de 2 cm para 3 cm.

b) Quando o raio varia de 3 cm para 4 cm.

c) Quando o raio varia de r para r + h.

Lembre-se que a área do círculo é A = π.r2.

Solução:

a) π=π

=ππ

=ππ

=== 5 1.5

1.4-.9

1).2(-).3(

2 - 3A(2)-A(3)

∆x∆yTMV

223

2

b) π=π

=ππ

=ππ

=== 7 1.7

1.9-.16

1).3(-).4(

3 - 4A(3)-A(4)

∆x∆yTMV

224

3

c)

hrhrhhrh

hrh

π+π=π+π

=ππ+π+π

=

ππ+π+π=

π+π=

++

==+

222

2

22

2

h h.r-.r

h.r-.r

h.r-h).(r

r - hrA(r)-h)A(r

∆x∆yTMV

22

2222hr

r

Matemática 69

3. 3 – ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO

Estudar o sinal de uma função significa obter os valores de x para os quais a função é positiva (y>0)

ou negativa (y<O).

Estude o sinal da função f(x) definida no intervalo [3, 11] e representada na

a função é positiva nos intervalos 3 < x < 4 ou 8 < x < 11.

a função é negativa no intervalo 4 < x < 8.

em x = 4 e em x = 8 a função é nula.

Observe que a função é positiva nos intervalos que o gráfico está acima do eixo x e a função é negativa no intervalo que o gráfico está abaixo do eixo x.

Exercícios

1) Examine a curva de demanda na Figura ao

lado:

a) Quantos itens os consumidores compram se

o preço for R$ 17,00 por item? R$ 8,00 por

item?

b) A qual preço os consumidores compram 30

itens? 10 itens?

Matemática 70

2) Uma companhia tem um orçamento total de R$250.000 e gasta esse orçamento em matéria-prima

e pessoal. A companhia usa m unidades de matéria-prima, ao custo de R$50 por unidade, e tem r

empregados, ao custo de R$20.000 cada.

a) Qual é a equação do vínculo orçamentário da companhia?

b) Resolva para m, a quantidade de matéria-prima que a companhia pode comprar, como função de

r, o número de empregados.

c) Resolva para r, o número de empregados que a companhia pode empregar, como função de m, a

quantidade de matéria-prima usada.

1)[20; 50]; [R$1; R$25]

2) 20000r + 50m = 250000; m=5000-400r; r=12,5-m/400

3)

Matemática 71

3. 4 – FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS

Função de duas variáveis é toda a relação que associa a cada (x, y) ∈ R², um e

somente um número real z = f(x, y).

Exemplo 1: A relação que associa a cada par de números reais (x, y), a soma de seus quadrados, é

uma função de duas variáveis.

• A função pode ser expressa assim: f(x, y) = x² + y².

• O valor de f(3, 4) é: f(3, 4) = 32 + 42 = 25.

• O valor de f(-2, 3) é: f(-2, 3) = (-2)2 + 32 = 13.

• O valor de f(-4, -5) é: f(-4, -5) = (-4)2 + (-5)2 = 41.

• O valor de f(0, 0) é: f(0, 0) = 02 + 02 = 0.

• Podemos constatar, nesse exemplo, que os valores da função f são números reais não

negativos.

• O gráfico desta função de duas variáveis é superfície.

Exemplo 2: Considere q a quantidade semanal demandada de manteiga num supermercado (em

Kg), x o preço por kg de manteiga, y o preço por Kg de margarina e que q = 100 – 0,2.x + 0,1.y

unidades monetárias.

Temos uma função de duas variáveis onde f(x, y) = q e o domínio da função é D = {(x, y)∈R²| x≥0,

y≥0, 100 - 0,2.x + 0,1.y≥0} (pois não é possível termos preços ou quantidades negativas).

• Assim, por exemplo,

• f(200, 150) = 100 - 0,2.200 + 0,1.150 = 75 u.m..

Matemática 72

• Isto é, se o preço por Kg de manteiga for 200 u.m. e o preço por Kg de margarina for 150 u.m.,

a quantidade semanal demandada será de 75 Kg.

• Observação: Quando não for especificado o domínio de uma função, convenciona-se que o

mesmo é o mais amplo subconjunto de R² tal que f(x, y) ∈ R.

• O gráfico desta função de duas variáveis é a superfície plana.

EXERCÍCIOS

01. Considere a função f cujo domínio é D = {(x, y) ∈ R2 | y ≠ 0} e y

y 2x y) f(x, += . Calcule:

a) f(l, 1) e) f(0, 3) + f(5, 5)

b) f(0, 3) f) f(a, a), onde a≠0g) f(0, 2) / f(1, 6)

c) f(-6, 6) h) f(3+h, 4) - f(3, 4)

d) f(8, 9) i) f(3, 4+h) - f(3, 4)

02. O lucro L de uma firma depende do número x de vendedores e do estoque y, em milhares de

reais. Se o lucro é descrito pela função L = f(x, y) = 1400 – (12 – x)2 – (40 – y)2, determine o lucro

L quando:

a) x = 4 e y = 25.

b) x = 6 e y = 30.

[1111; 1264]

Matemática 73

3. 5 – FUNÇÃO CONSTANTE

É toda função do tipo y = k (onde k é uma constante

real). O gráfico de tal função é uma reta horizontal, passando

pelo ponto de ordenada (eixo y) k. Assim, temos:

Domínio: R

Imagem: { k }

Exemplo: i) A função de domínio real definida por y = 3 é uma função constante cujo gráfico é

X y = 3 -5 3 -4 3 -3 3 -2 3 -1 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3

Domínio: R

Imagem: { 3 }

Exemplo: ii) Considere a função

de domínio real definida por mais

de uma sentença:

<≥

=0

0 xse 1,-

xse 2, f(x)

O seu gráfico é:

Domínio: R

Imagem: { -1, 2}

Observe que a semi-reta y = -1 é aberta (ο) em x=0 e a semi-reta y = 2 é fechada (•) em x=0, isto

porque a lei y = -1 só vale para x < 0 e a lei y = 2 vale para x ≥ 0.

Esta função não é contínua, ocorre um “salto” em x=0, o seu valor muda bruscamente de -1 para 2.

O gráfico de y = 3

-1

0

1

2

3

4

-5 -3 -1 1 3 5x

y

Gráfico de f(x)

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

y

Matemática 74

3. 6 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU (Função Afim)

Definição: É toda função do tipo y = ax + b (onde a e b são números reais e a ≠ 0)

Prova-se que o gráfico de tal função é uma reta. Dessa forma, ele pode ser obtido através de pelo

menos dois pontos (dois pontos distintos determinam uma reta).

Na função do 1º grau y = ax + b o parâmetro a é chamado coeficiente angular e o b

parâmetro é coeficiente linear. Na a função do primeiro grau y = 5x + 3, o coeficiente angular é

a=5 e o coeficiente linear é b=3. Na a função do primeiro grau y = -2x + 4, o coeficiente angular é

a=-2 e o coeficiente linear é b=4.

• Exemplo: i) Esboçando e analisando o gráfico da função do primeiro grau y = 2x + 1.

Solução:

Atribuindo a x os valores 0 e 1 (arbitrários), descobrimos os valores de y correspondentes.

x = 0 y = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1 (0, 1)

x = 1 y = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 (1, 3)

Assim, a reta procurada passa pelos

pontos (0, 1) e (1, 3) e seu gráfico é o da

figura ao lado.

Analise do gráfico da função y = 2x + 1:

• A raiz dessa função é : 2x + 1 = 0

2x = -1 x = -1/2 = -0,5 (é valor de

x que anula a função, geometricamente é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x)

• Quanto a variação, a função y = 2x + 1 é crescente (aumentando x aumenta y)

• Quanto a variação do sinal, a função y = 2x + 1 é positiva para x > -1/2, negativa para x < 11/2

e nula para x = -1/2 (raiz).

y = 2x + 1

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

y

Matemática 75

Exemplo: ii) Dada a função real f definida por f(x) = 7 – 2x, determine:

a) f(3) + f(4) + f(7/2);

b) Esboce o gráfico de f(x);

c) f(x + h); , [h é um acréscimo dado a variável x];

d) f(x + h) – f (x);

e) h

(x) f h) f(x −+ , [este quociente corresponde a taxa de variação média da função].

Solução:

a) Calculando os valores de f(3), f(4) e f(7/2) substituindo o valor x em f(x) = 7 – 2x:

f(3) = 7 – 2 . 3 = 7 – 6 = 1

f(4) = 7 – 2 . 4 = 7 – 8 = -1

f(7/2) = 7 – 2 . 7/2 = 7 – 7 = 0 [x=7/2 é a raiz dessa pois é valor de x que anula a função]

Calculando o valor de f(3)+ f(4) + f(7/2) = 1 + (-1) + 0 = 0

b) O gráfico da função x y =7 - 2x

-2 11

-1 9

0 7

1 5

2 3

3 1

4 -1

A função f(x) é decrescente

c) Para Calcular o valor de f(x + h) substituímos o valor x por x + h em f(x) = 7 – 2x:

f(x+h) = 7 – 2(x+h) = 7 – 2x – 2h

d) O valor de f(x + h) – f(x):

f(x + h) – f(x) = 7 – 2x – 2h – (7 – 2x) = 7 – 2x – 2h – 7 + 2x = – 2h

e) O valor de [ f(x + h) – f(x)] / h:

2227227−=

−=

−=

−+h

hh

x) - (h x - - h

(x) f h) f(x , a taxa de variação média dessa função é -2.

O gráfico de f(x) = 7 - 2x

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

Matemática 76

Exemplo: iii) Uma pessoa está conectada à internet, fazendo o download de um arquivo. A

velocidade média de download no momento é de 40 kB/s. Isso significa que a cada segundo está

sendo feito o download de 40 kB de dados.

Solução:

Veja a tabela

A função que expressa a quantidade de informação

em função do tempo é: D = 40.t ( para t medido em

segundos) e o gráfico que a representa está

construído ao lado.

Sua variação é crescente, a quantidade de informação aumenta em função do tempo, dito de outra

forma, a quantidade de informação é diretamente proporcional ao tempo.

• Exemplo: iv) Se x representa a temperatura de um objeto em graus Celsius, então a temperatura

em graus Fahrenheit é uma função f(x), definida por f(x) = 9x/5 + 32.

a) A água congela a 0° C (C = Celsius) e entra em ebulição a 100°C. Quais são as temperaturas

correspondentes em quais Fahrenheit?

b) O alumínio se liquefaz a 600º C. Qual é o ponto de liquefação em graus Fahrenheit?

Solução

a) f(0) = 9.0/5 + 32 = 0 + 32 = 32. A água congela a 32°F.

f(100) = 9.(100)/5+ 32 = 180 + 32 = 212. A água entra em ebulição a 212°F.

b) f(600) = 9.(600)/5 + 32 = 1188 + 32 = 1220. O alumínio se liquefaz a 1220°F.

• Exemplo: v) Esboce e analise o gráfico da função y = -x/2 + 2.

Solução:

Atribuindo a x os valores 0 e 1 (arbitrários),

D = 40t

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3

x

y

Matemática 77

calculamos os valores de y correspondentes, substituindo x na função.

• x = 0 y = -0/2 + 2 = 0 + 2 = 2 (0, 2)

• x = 4 y = -4/2 + 2 = -2 + 2 = 0 (4, 0)

Assim, a reta procurada passa pelos pontos (0, 1) e (1, 3) e seu

gráfico é o da figura ao lado.

Analise do gráfico da função y = -x/2 + 2:

• A raiz dessa função é : -x/2 + 2 = 0 -x/2 = -2 x = 2 . 2 = 4 (é valor de x que anula a

função, geometricamente é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x)

• Quanto a variação, a função y = -x/2 + 2 é decrescente (aumentando x diminui y)

• Quanto a variação do sinal, a função y = -x/2 + 2 é positiva para x < 4, negativa para x > 4 e

nula para x = 4 (raiz da função).

Exemplo: vi) A água consumida nas regiões urbanas vem de grandes represas que

devem ser conservadas sempre limpas. Suas margens não devem ser povoadas, para que

esgotos não sejam despejados em suas águas.

Suponha que numa dessas represas o medidor do nível da água consista de uma barra

graduada, perpendicular à superfície da água, conforme a figura. Sendo 0 m o nível

mínimo para abastecimento da cidade servida pela represa.

O gráfico ao lado mostra o nível dessa represa em função

do tempo, nos dez primeiros dias do mês de janeiro.

Supondo que o gráfico em todo o mês de janeiro seja um

segmento de reta, responda:

a) em que dia do mês de janeiro o nível da água atingirá o

mínimo necessário para o abastecimento da cidade?

b)durante quanto tempo no mês de janeiro o nível da água

se apresentará negativo?

c) durante quanto tempo no mês de janeiro o nível da água se apresentará positivo?

Solução:

a) O gráfico indica que o nível da água varia de acordo com uma função afim y = ax + b, que passa

pelos pontos (0, -3) e (10, -1). Substituindo os valores de x e y em y = ax + b:

(0, -3) -3 = a.0 + b b = -3

(10, -1) -1 = a.10 + -3 -1 + 3 = 10.a a = 2 / 10 = 1 / 5 .

Matemática 78

Logo o modelo funcional do problema é y = x/5 – 3, onde y indica o nível da água em função do

tempo x, para x ≥ 0.

O nível da água atingirá o mínimo quando y = 0, isto é,

0 = x/5 – 3

3 = x/5

x = 15. Em 15 de janeiro o nível da água atingirá o mínimo necessário para o abastecimento da

cidade.

b) De acordo com os cálculos anteriores os gráfico corta o eixo no ponto (15, 0). Para valores

menores que 15, o nível da água negativo, é inferior ao mínimo necessário. Portanto, no mês de

janeiro o nível da água se apresentará negativo durante os 14 primeiros dias.

c) Para valores maiores que 15, o nível da água é positivo, é superior ao mínimo necessário.

Portanto, no mês de janeiro o nível da água se apresentará positivo do dia 16 ao dia 31.

• Aplicações: Função custo e Função receita

Um produto tem um custo total de produção dado pela função C(x) = 500000 + 10000.x, onde C(x)

é custo para produzir x toneladas. O seu preço de venda e de R$15.000,00 a tonelada (preço

constante). Esboce os gráficos da função custo total, da função receita e da função lucro.

I) A função custo total é dada pela fórmula C(x) = 10000.x + 500000.

Podemos construir o gráfico considerando dois valores para x e descobrindo os respectivos valores

de C(x).

Para x = 0 a custo é C(0) = 10000 . 0 + 500000= 500000 e

para x = 10 a custo é igual a R(100) = 10000 . 100 + 500000 = 1500000.

O gráfico da função R(x) (supondo que x possa

assumir qualquer valor positivo) será uma semi-

reta, partindo do ponto (0, 500000) (pois o

coeficiente linear é 500000). Assim, o gráfico da

função receita será o da figura ao lado.

Matemática 79

II) A função receita é dada pela fórmula R(x) = 15000.x. Multiplicamos o valor de cada tonelada

pela quantidade de toneladas.

Podemos construir o gráfico considerando dois

valores para x e descobrindo os respectivos valores

de R(x).

Para x = 0 a receita é R(0) = 15000 . 0 = 0 e

para x = 10 a receita é igual a R(100) = 15000 .

100 = 1500000.

O gráfico dessa função (supondo que x possa assumir qualquer valor positivo) será uma semi-reta,

partindo da origem do sistema cartesiano (pois o coeficiente linear é nulo). Assim, o gráfico da

função receita será o da figura(R) acima. Da análise dos dois gráficos deduz o seguinte. O ponto

crítico (ponto de equilíbrio) ocorre em x = 100. Nesse ponto o valor de x que iguala receita e

custo. Para valores de x menores que 100 toneladas ocorre prejuízo, a receita é menor que as

despesas (custos). Para valores de x maiores que 100 toneladas ocorre lucro, a receita é maior que

as despesas (custos).

III) Para encontramos a função lucro fazemos a diferença entre as funções receita e custo.

L(x) = R(x) – C(x), isto é:

L(x) = 15000 x – (10000x + 500000)

L(x) = 5000x – 500000

Vamos construir o gráfico considerando dois valores

para x e descobrindo os respectivos valores de L(x).

Para x = 0 o lucro é L(0) = 5000 . 0 - 500000= 0 e

Para x =100 o lucro é L(100) = 5000 . 100 – 500000 = 0.

O gráfico dessa será uma semi-reta, partindo do ponto (0, -500000), o gráfico acima. Da análise

dos dois gráficos deduz o seguinte. O lucro é negativos para x<100, positivo para x>100 e nulo

para x-100 toneladas.

Matemática 80

UMA APLICAÇÃO DE FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA

Um plano de ligações telefônicas de longa distância cobra 88 centavos por qualquer ligação até 15

minutos de duração e 8 centavos para cada minuto ou fração de minuto adicional.

a) Use a notação de chaves para escrever uma fórmula do custo, C, de uma ligação como uma

função de sua duração t, em minutos.

b) Desenhe o gráfico da função.

c) Indique o domínio e a imagem da função.

Solução

a) Para 0 < t ≤ 15, o custo C é 88 centavos, isto é, C = 88.

Se t > 15, subtraímos 15 para determinar os minutos adicionais e multiplicamos pela taxa de 8

centavos por minuto, isto é, C = 88 + 8(t–15), simplificando temos: C = 88 + 8t – 120 = 8t – 32.

A função custo em centavos é, então,

>−≤<

=15,328

15088tset t , se

C

b)O gráfico pode ser obtido a parti da tabela do custo da ligação:

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 C 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 168 176 184 192 200 208

Custo da Ligação

88

0

40

80

120

160

200

0 5 10 15 20 25 30

t

Cent

avos

O custo é constante no intervalo 0 < t ≤ 15 e crescente no intervalo t >15.

Matemática 81

c) Como não existem ligações com duração zero ou negativas, o domínio é t > 0.

O custo das ligações é maior o igual a 88 centavos, conforme o gráfico acima. Portanto a imagem

da função custo é C ≥ 88.

EXERCÍCIOS

01. Seja a função do 1º grau y = f(x) = 3x – 5.

A) Quanto é f(1)?

B) Ache o valor de y quando x é 5.

C) Ache o valor de x quando y é 4.

D) Ache a taxa média de variação de f entre x = 2 e x = 4. (TMV = ∆y / ∆x)

E) Esboce o gráfico de y.

02. Duas locadoras de automóveis A e B alugam carros populares nas seguintes condições:

A - uma taxa fixa de R$ 100,00 mais R$ 0,20 por km rodado.

B - uma taxa fixa de R$ 40,00 mais R$ 0,35 por km rodado.

a) Expresse o custo de locação em A em função dos quilômetros rodados.

b) Expresse o custo de locação em B em função dos quilômetros rodados.

c) Em que locadora é mais vantajosa a locação? Discuta graficamente.

Resp. CA=0,20 + 100 e CA=0,35 + 40 para x≥0; 0≤x<400 é melhor B e para x>400 é melhor a A.

03. A assinatura mensal de um telefone celular é de R$36,00 e cada unidade de conversação custa

R$ 3,00.

a) Quantas unidades de conversação posso usar durante um mês para que a conta seja inferior a R$

72,00?

b) Suponha que as tarifas sofram um reajuste de 5%. Quantas unidades de conversação devo usar

durante um mês para que a conta continue inferior a R$72,00? (Você pode fazer arredondamentos,

se for necessário.)

c) Proponha uma função que calcule a conta telefônica. (menos de 12, 10)

04. Em determinado país, onde a moeda também é o Real, qualquer cliente da TPT (Telefone para

Todos) paga R$18,50 por sua assinatura mensal e R$ 1,25 para cada minuto falado. A soma da

Matemática 82

assinatura com o preço do total de unidades de conversação é aplicada uma taxa de imposto de

16%.

a) Qual é o número máximo de minutos que um cliente pode utilizar sem que a sua conta mensal

atinja R$ 70,00?

b) Se a taxa for elevada para 18%, qual o número máximo de minutos que o cliente poderá falar

para que sua conta mensal seja menor que R$ 70,00?

c) Proponha uma função que calcule a conta telefônica. (33min e 32 min)

05. Suponha que a demanda D de um determinado produto varie com o preço de venda p do

produto sendo a função de demanda qD dada por qD = -5p + 56. Por outro lado, a oferto O deste

produto, também depende do preço de venda p, e a função de oferta qO dada por qO = 3p.

(Demanda é a quantidade q (q ≥ O) que os consumidores estão dispostos a comprar ao preço p (p ≥

0); oferta é a quantidade que o produtor (ou produtores) está disposto a oferecer ao preço p.)

a) Pergunta-se: qual o preço de equilíbrio, isto é, a que preço a oferta é igual à demanda? Qual a

quantidade de equilíbrio?

b) Interprete graficamente. Seguindo o que se faz em Economia, use o eixo horizontal para q e o

vertical para p.

Resp. P = 7 e q = 21; 0≤p<7 oferta menor que a demanda e

P=7 oferta igual a demanda; p>7 oferta maior que a demanda.

06. André precisa contratar um serviço de fretamento de caminhão. Fez orçamento com duas

empresas. A companhia A cobra uma taxa fixa de R$ 500,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.

A companhia B cobra somente o valor por quilômetro rodado, que é de R$ 1,00. João precisa enviar

a carga para uma cidade que fica a 900 quilômetros de distância. Responda:

a) Qual das companhias ele deve escolher para pagar menos?

b) Represente graficamente o valor cobrado pelas companhias A e B, em função do total de

quilômetros rodados.

c) Em que situação as duas companhias cobram o mesmo valor?

d) Em que situação, contratar a companhia B é mais vantajoso?

Cia B;

=1000km

<1000km

Matemática 83

Regressão Linear – como ajustar uma reta a dados bi-variável

A Regressão Linear tem por objetivo descrever através de um modelo matemático, a relação

existente entre duas variáveis, x e y, a partir de n observações dessas variáveis. Supondo x a

variável explicativa (independente) e y a variável explicada (dependente), diremos que y = f(x).

Em regressão Linear Simples ajustamos uma reta (y = ax + b) aos dados através dos cálculos

dos coeficientes a e b, conforme as fórmulas abaixo:

2)

.

∑∑∑∑∑

−

−=

x( xn.

yx (x.y)n. a 2 e

nxa.

ny b ∑−

∑=

Exemplo: i) Vamos apresentar um exemplo de ajuste de uma reta y = ax + b ao dados:

x 1 2 3 4

y 3 5 7 9

O valor de a é dado pela fórmula:

2)

.

∑∑∑∑∑

−

−=

x( xn.

yx (x.y)n. a 2

O valor de a é dado pela fórmula:

nxa.

ny b ∑−

∑=

Construindo uma tabela de valores para os n=4 pares (x, y):

x y x . y x²

1

2

3

4

3

5

7

9

3

10

21

36

1

4

9

16

Σx = 10 Σx = 24 Σx = 70 Σx = 30

Substituindo na fórmula, temos:

2200

01122

1324.17

2 ==−−

=−

−=

40 20

40 800 04.0 04. a

15-64

2. 4

b ==−=1024

Portanto o modelo é y = 2x + 1.

Diagrama de dispersão

y = 2x + 1

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5

x

y

Matemática 84

Exemplo: ii) Ajustar uma reta aos dados da tabela abaixo.

x 2 4 6 8 10

y 10 8 6 10 12

Solução:

Para ajustar uma reta aos dados desses cincos pares (n=5) precisamos do somatórios de: x, y, x² e

x.y. Isto é facilmente obtido na tabela abaixo.

x y x . y x²

2

4

6

8

10

10

8

6

10

12

4

16

36

64

100

4

16

36

64

100

Σx = 10 Σx = 46 Σx = 288 Σx = 220

Substituindo esses resultados na fórmula

3,020060

)30(220.546.30288.5

)

.22 ==

−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑

x( xn.

yx (x.y)n. a 2

7,45300,3.

546 b =−=

Portanto a reta ajustada aos

dados tem a seguinte equação:

y= 0,3.x + 7,4.

No gráfico acima temos os pontos marcados e reta ajustada aos dados.

Diagrama de Dispersão

y = 0,3x + 7,4

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12

Matemática 85

Representação gráfica de uma inequações

As inequações cujos polinômios associados possuem duas variáveis são chamadas de inequações

com duas incógnitas. Suas soluções são, graficamente, partes do plano. Para resolvê-las, devem ser

transformadas de modo que o primeiro membro seja a incógnita y e o segundo, uma expressão do

tipo ax + b. Em seguida, representar a reta y = ax + b e determinar qual parte do plano cumpre a

desigualdade.

Exemplo: Vamos representar graficamente a inequações x – y < 1.

1º) Isolando y no primeiro membro:

x – y < 1

–y < 1 – x

y > x – 1

2º) Representando a reta y = x – 1 no plano cartesiano:

x y = x – 1

-1 y = -1 – 1 = -2

0 y = 0 – 1 = -1

1 y = 1 – 1 = 0

2 y = 2 – 1 = 1

3º) A representação gráfica da inequação x – y < 1 é região pintada do plano

Todos os pontos (x, y), sendo y > x – 1, tais como (0, 0), (0, 1) (1, 1), (1, 2), encontram-se na região

colorida do plano e serão soluções da inequação x – y < 1.

Matemática 86

SITUAÇÃO-PROBLEMA ENVOLVENDO SISTEMAS DE INEQUAÇÔES

A relação que deve existir entre lúcios e carpas para que se considere que ambas as populações

estão em equilíbrio é de, pelo menos, 5 carpas para cada lúcio. Estima-se que, pelas condições do

pântano, a quantidade de animais das duas espécies não deve

superar 900 exemplares.

Criando um modelo matemático para representar a situação problema.

1º) Não conhecemos o número de lúcios nem o o número de carpas, vamos representar

respectivamente por x e y.

Sabemos que o número máximo de exemplares que o pântano suporta é 900, portanto x + y ≤ 900.

2º) Das informações oferecidas sabemos também que devem ter pelo menos, 5 carpas para cada

lúcio, logo x ≤ 5y.

As duas inequações formam o sistema:

≤≤+

y 5x 900 y x

3º) Representando graficamente cada inequação e por último o sistema o sistema:

≤≤+

y 5x 900 y x

⇒

≥−≤

x/5 yx 900 y

⇒

=−=

x/5 yx 900 y

∩

Qualquer ponto da área colorida é solução do sistema de inequações.

Matemática 87

3. 7 – FUNÇÃO DO 2º GRAU (Função Quadrática)

Definição: É toda função do tipo y = ax² + bx + c (onde a, b e c são números reais e a ≠ 0).

Exemplo 1:

A função y = x² – 4x + 3 é uma função do 2º grau. Seus coeficientes são: a=1, b=-4 e c=3

Exemplo 2:

A função y = x² – 36 é uma função do 2º grau. Seus coeficientes são: a=1, b=0 e c=-36

Mostra-se que o gráfico da função do 2º grau (y = ax² + bx + c ) é uma parábola.

Para construí-lo podemos usar alguns pontos de referencia: as raízes da função (os valores de x que

a torna nula), o vértice (xv , yv), onde xv = -b/2a e yv = -∆/4a, e o valor do coeficiente c.

• As raízes indicaram as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo das abscissas (x).

• O vértice indicará o ponto mais alto (se a<0) ou o ponto mais baixo (se a>0) da parábola.

• O valor do coeficiente c indicará a ordenada do ponto onde a parábola corta o eixo das ordenadas

(y).

• Exemplo: i) Esboce o gráfico da função y = x² – 4x + 3.

Solução.

1º) Raízes: x² – 4x + 3 = 0 (os valores de x que a torna nula).

∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4

1 22

22 4 x

e 3 26

22 4 x

2

2 4 2.1

4 (-4)- 2a

b- x

2

1

==−

=

==+

=

⇒±

=±

=∆±

=

2º) Vértice:

xv = -b/2a = -(-4) / 2.1 = 4 / 2 = 2

yv = -∆/4a = - 4 / 4.1 = 4 / 4 = 1

Matemática 88

3º) A partir desses valores (x2=1, x1=3 e xv=2) de x podemos montar uma tabela mais completa

incluindo outros valores inteiros (para facilitar o cálculo) próximos a estes.

x -1 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 1 3 3 8 encontramos esses resultados substituindo o valor

de x na fórmula de y, conforme os cálculos abaixo.

x = -1 y = (-1)² – 4.(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 (-1, 8)

x = 0 y = 0² – 4.0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 (0, 3)

x = 1 y = 1² – 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 (1, 0)

x = 2 y = 2² – 4.2 + 3 = 4 – 8 + 3 = 1 (2, 1)

x = 3 y = 3² – 4.3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 (3, 0)

x = 4 y = 4² – 4.4 + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 (4, 3)

x = 5 y = 5² – 4.5 + 3 = 25 – 20 + 3 = 8 (5, 8)

Assim, a parábola procurada passa pelos pontos (-1, 8), (0, 3), (1, 0), (2, 1), (3, 0), (4, 3) e (5, 8) ,

conforme o gráfico anterior.

Analisando o gráfico dessa função:

• A raiz dessa função é : x1 = 3 x2 =1 (são valores de x que anula a função, geometricamente é

a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x)

• Quanto a variação, a função é crescente (aumentando x aumenta y) para x > 2 e decrescente

(aumentando x diminui y) para x < 2.

• Quanto a variação do sinal, a função é positiva para x < 1 ou x > 3 e negativa para 1 < x < 3.

Exemplo: ii) Dado a função real f(x) = 2x + x – 3, encontre:

a) f(1) + f(-2) + f(2);

b) Esboce o gráfico de f(x);

c) f(x + h); , [h é um acréscimo dado a variável x];

d) f(x + h) – f (x);

e) h

(x) f h) f(x −+ , [este quociente corresponde a taxa de variação média da função].

Solução:

a) Calculando os valores de f(1), f(-2) e f(2) substituindo o valor x em f(x):

Matemática 89

f(1) = 2.1² + 1 – 3 = 2 + 1 – 3 = 0, [x=1 é uma raiz dessa pois é um valor de x que anula a

função]

f(-2) = 2.(-2)² + (-2) – 3 = 8 + (-2) – 3 = 8 – 2 – 3 = 3

f(2) = 2.(2)² + 2 – 3 = 8 + 2 – 3 = 7

Calculando o valor de f(1)+ f(-2) + f(2) = 0 + 3 + 7 = 10

b) O gráfico da função

x y =2x² +x-3

-3 12

-2 3

-1 -2

0 -3

1 0

2 7

3 18

As coordenadas do Vértice:

xv = -b/2a = -1 / 2.2 = -1 / 4 = 0,25

yv = -∆/4a = - 25 / 4.2 = -25 / 8 = 3,125

A função f(x) é decrescente para x <-1/4 e crescente para x >-1/4.

A imagem da função f(x) é: Im = { y ∈ R | y ≥ -25/8 }.

c) Para Calcular o valor de f(x + h) substituímos o valor x por x + h em f(x) = 2x² + x – 3:

f(x+h) = 2(x+h)² + (x+ h) – 3 = 2(x² + 2xh + h²) + x+ h – 3 = 2x² + 4xh +2h² + x+ h – 3

d) O valor de f(x + h) – f(x):

f(x + h) – f(x) = 2x² + 4xh +2h² + x+ h – 3 – (2x² + x – 3)

= 2x² + 4xh +2h² + x+ h – 3 – 2x² – x + 3

= 4xh + 2h² + h

e) O valor de [ f(x + h) – f(x)] / h:

f(x) = 2x² + x - 3

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

Matemática 90

1 2h 4x 1)h 2h (4x h 2h² 4xh

3 h x 2h² 4xh 2x²h

(x) f h) f(x

++=++

=++

=

++−−++++=

−+

hh

h) x x² ( 32

, a taxa de variação média dessa

função é 4x + 2h + 1.

Exemplo: iii) A temperatura T de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em função do tempo t,

de acordo com a lei dada por T(t) = -t²/8 + 4t + 10, para 0≤t≤24. Determine o instante e o valor

máximo da temperatura em graus Celsius.

Solução.

O instante e o valor máximo da temperatura são encontrados pelas coordenadas do vértice da

função T(t) = -t²/8 + 4t + 10: a = -1/8, b = 4 e c = 10.

Vértice:

xv = tv = -b/2a = -(4) / 2.(-1/8) = -4 / (-1/4) = -4 . (-4/1) = 16 h

yv = Tv = -∆/4a = -(4² - 4.(-1/8).10) / 4.(1/8) = -(16 + 5) / (1/2) = -21 . (-2/1) = 42ºC

No instante t = 16h ocorre a temperatura máxima da estufa.

Isto também pode ser encontrado a partir de uma tabela construída no Excel, atribuindo valores

para a t (tempo) e calculando através da lei da função o valor da temperatura(T):

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

T(t) 10,0 13,9 17,5 20,9 24,0 26,9 29,5 31,9 34,0 35,9 37,5 38,9 40,0 40,9 41,5 41,9 42,0 41,9 41,5 40,9 40,0 38,9 37,5 35,9 34,0

O gráfico da função T(t) = -t²/8 + 4t + 10 é

T(t)

0,0

8,0

16,0

24,0

32,0

40,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

t

T

Matemática 91

Exemplo: iv) Leia informações abaixo:

Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio

ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00.

Caso contrário, para cada lugar vago, será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada

passagem. Responda às questões:

a) Supondo que cada turista seja responsável pelo pagamento da sua passagem de ônibus, quanto

cada um pagará se houver 1 lugar vago? E se houver 5 lugares vagos? E se houver 15?

b) O faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função f(x) = (40 – x).(20 +

x), onde x indica o número de lugares vagos (0 < x < 40)?

c) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha

faturamento máximo?

d) qual é o faturamento máximo possível em cada viagem?

e) A função dada para o faturamento da empresa de ônibus, f(x) = (40 – x) (20 + x).

Qual o significado de (40 – x)? E de (20 + x)?

f) Nesse trecho, está indicado que 0 ≤ x ≤ 40. Esta informação é importante? Qual o significado

disso para a função f?

Solução.

a) Se houver um lugar vago a passagem sofrerá um acréscimo de 1 real. Passará custar 20 + 1 =

21 reais.

Se houver cinco lugares vagos a passagem sofrerá um acréscimo de 1×5 real. Passará custar 20 +

5 = 25 reais.

Se houver quinze lugares vagos a passagem sofrerá um acréscimo de 1×15 real. Passará custar 20

+ 15 = 35 reais.

b) Sim. O faturamento é igual ao número de passageiros multiplicado pelo o valor de cada

passagem. O número de passageiros é 40 menos o nº de lugares vagos. O valor de cada passagem

é 20 mais 1 real para cada lugares vagos, ou seja, (20 + 1.x). Logo o faturamento é:

f(x) = número de passageiros × valor de cada passagem = (40 – x).(20 + x), onde x é o número de

nº de lugares vagos.

c) Se f(x) = (40 – x).(20 + x), efetuando a multiplicação temos:

f(x) = 800 + 40x – 20x – x²

f(x) = 800 + 20x – x², que é uma função do 2ºgrau, com a=-1, b=20 e c=800.

A tabela dessa função construída no Excel:

Matemática 92

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

800 819 836 851 864 875 884 891 896 899 900 899 896 891 884 875 864 851 836 819 800

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

779 756 731 704 675 644 611 576 539 500 459 416 371 324 275 224 171 116 59 0

O seu gráfico é:

f(x) = (40 – x).(20 + x)

0

150

300

450

600

750

900

0 5 10 15 20 25 30 35 40Nº de lugares vazios

Faturamento

O gráfico é parte de uma parábola.

O nº de lugares vagos que gera um faturamento máximo é dado por xv = -b / 2a = -20 / 2.(-1) =10.

O faturamento máximo ocorre quando tem 10 lugares vagos.

d) O faturamento máximo é dado por yv = -∆ / 4a ou substituindo x por 10 na função f(x) = (40 –

x).(20 + x). Por ser mais simples vamos optar por substituir x=10 na função.

f(10) = (40 – 10).(20 + 10) = 30 × 30 = 900 reais,

O faturamento máximo é 900 reais.

e) (40 – 10) significa número de lugares ocupados e

(20 + 10) significa o custo de cada passagem.

f) 0 ≤ x ≤ 40 significa o domínio da função f. Esta função só tem sentido real se o número de

lugares desocupados for igual ao número total de lugares desse ônibus.

Exemplo: v) O lucro de uma empresa, em função dos meses de janeiro a dezembro do ano 2009, é

dado, em milhares de reais, pelo modelo matemático L(n) = 48n – 4n², n ∈ {1, 2, 3, ..., 12} em que

os números naturais n, variando de 1 a 12, correspondem, respectivamente, aos meses de janeiro a

dezembro.

Com base nessas informações, julgue se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as alternativas abaixo.

a) ( ) O maior lucro da empresa, no ano, ocorreu em junho.

Matemática 93

b) ( ) O maior lucro obtido pela empresa, no ano, foi de R$ 144.000,00.

c) ( ) O lucro, durante o primeiro semestre de 2008, foi decrescente.

d) ( ) O lucro, durante o segundo semestre de 2008, foi de crescente.

e) ( ) O lucro foi igual nos meses de maio e setembro.

f) ( ) O lucro médio, nos três primeiros meses, foi de R$ 84000,00.

Solução:

a) O modelo da função é do 2º grau: L(n) = 48n – 4n², com a=-4, b=48 e c=0.

O lucro máximo ocorre quando xv = nv = -b / 2a = -48 / 2.(-4) = 6 (corresponde ao mês de junho).

Portanto a afirmação é verdadeira.

b) O lucro máximo é yv = Lv = -∆ / 4a

= -(48² - 4.4.0) / 4.(-4) = -144 milhares de reais.

Portanto a afirmação é verdadeira.

c) Construindo uma tabela do lucro para cada

mês constatamos o crescimento.

Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

Lucro(x1000) 44 80 108 128140 144 140 1281088044 0

Portanto a afirmação é falsa.

d) Na anterior tabela do lucro é decrescente no 2º semestre. Isto também pode ser visualizado no

gráfico(os pontos (•) destacados na parábola: da função:


e) No mês de maio (n=5) o lucro foi de L(5) = 48 . 5 – 4 . 5² = 140 milhares de reais.

No mês de maio (n=9) o lucro foi de L(9) = 48 . 9 – 4 . 8² = 108 milhares de reais.


f) O lucro médio no primeiro trimestre foi de (44 + 80 + 108) / 3 ≅ 73,33333 milhares de reais.


L(n) = 48.n - 4.n²

0

30

60

90

120

150

0 3 6 9 12mês

Lucro (x1000)

Matemática 94

3. 8 – FUNÇÃO MODULAR

I) Módulo ou valor absoluto de um número real.

Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é

<−≥

=0 x se x,

0 x se x, |x | .

Geometricamente, o módulo é interpretado como a distância do número até o zero na reta real, isto

é, 2x |x | = .

Exemplos:

i) | 5 | = 5, geometricamente, é a distância do 5 até o zero:

ii) | -3 | = 3, geometricamente, é a distância do 5 até o zero:

iii) | 8 – 6 | = | 2 | = 2

iv) | 6 – 8 | = | -2 | = 2

Algumas Propriedades dos Módulos:

i) | x | ≥ 0, para todo x ∈ R.

ii) 2x |x | =

iii) | -x | = | x |

iv) | x |² = | x² | = x²

v) | x × y | = | x | × | y |

vi) | x ÷ y | = | x | ÷ | y | , para y≠0.

vii) | x + y | ≤ | x | + | y |

viii) | x | = | y | ⇔ ( x = y ou x = -y)

ix) sendo k > 0: | x | = k ⇔ ( x = k ou x = -k)

x) sendo k > 0: | x | < k ⇔ ( -k < x < k)

xi) sendo k > 0: | x | > k ⇔ ( x < -k ou x > k)

Matemática 95

Usando as propriedades dos módulos, determine as raízes das Equações Modulares

seguintes:

a) | 2x – 3 | = 5

Usando a propriedade ix,

se | 2x – 3 | = 5 ⇔ 2x – 3 = 5 ou 2x – 3 = -5

⇔ 2x = 5 + 3 ou 2x = -5 + 3

⇔ 2x = 8 ou 2x = -2

⇔ x = 4 ou x = -1

S = { -1, 4 }

b) | 3x – 1 | = | 2x + 6 |

Usando a propriedade viii,

se | 3x – 1 | = | 2x + 6 | ⇔ 3x – 1 = 2x + 6 ou 3x – 1 = -( 2x + 6 )

⇔ 3x – 2x = 6 + 1 ou 3x + 2x = -6 + 1

⇔ x = 7 ou 5x = -5

⇔ x = 7 ou x = -1

S = { -1, 7 }

Matemática 96

II) Função modular

Chama-se função modular a função f : R R, definida por f(x) = | x | ou

<−≥

=0 x se x,

0 x se x, )f(x .

• O gráfico da função modular pode ser construído por parte.

1º) O gráfico para x≤0: 2º) O gráfico para x<0: 3º) O gráfico de f(x) = | x |:

O Gráfico de f(x) = | x | são duas semirretas de mesma origem (0, 0).

• Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = | x + 1|.

1º) O gráfico para x + 1 ≤ 0: 2º) O gráfico para x + 1 < 0:

3º) O gráfico de f(x) = | x + 1 |:

Matemática 97

O Gráfico de f(x) = | x + 1 | são duas semirretas de mesma origem (-1, 0).

• O gráfico da função f(x) = | x2 – 4 |, x∈R.

<−−

≥−−=−=

0 4 x se 4), (x-

0 4 x se 4, x | 4 x | f(x)

22

222

Tabela de valores da função e o primeiro esboço do gráfico

x y = x² – 4 -5 21 -4 12 -3 5 -2 0 -1 3 0 4 1 3 2 0 3 5 4 12 5 21

O gráfico de f coincide com a parábola y = x² – 4 nos pontos onde y ≥ 0. Quando y < 0, no

intervalo ente -2 e 2, tomamos os pontos simétricos em relação ao eixo x.

O gráfico de f(x)=|x² - 4|

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

-5

0

5

10

15

20

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Matemática 98

3. 9 – FUNÇÃO EXPONENCIAL

I) POTENCIAÇÃO

Definição:

Dado um número real a e um número natural n (n >1), definimos a potência an como o produto de n

fatores iguais ao número a.

onde a é base, n é o expoente e an é a potência.

Exemplos: a) 5³ = 5 . 5 . 5 = 125

b) 210 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 1024

Extensão da definição:

i) a0 = 1............ (potência com expoente zero)

ii) a1 = a .......... (potência com expoente um)

iii) a-n = 1/ an = (1/ a)n ............ (potência com expoente negativo)

iv) am / n = n√am ........................ (potência com expoente racional)

Propriedades da potenciação:

i) am . an = am+n .

ii) am : an = am−n .

iii) (am)n = am.n .

iv) (a . b)n = an . bn.

v) (a : b)n = an : bn.

APLICAÇÕES:

• A área de um quadrado é encontrada multiplicando as duas dimensões

(largura e comprimento).

Matemática 99

Portanto a área do quadrado de lado L é: A = L . L Aquadrado = L2.

• O volume de cubo é encontrado multiplicando as três dimensões (largura,

comprimento e altura).

Portanto o volume do cubo de aresta a é: V = a . a. a Vcubo = a3.

• Lançando uma moeda não-viciada, uma vez, duas vezes, três vezes, ..., n vezes sucessivamente

os resultados possíveis são:

Cara (k)

Uma vez: • 2 possibilidades

Coroa(c)

Cara (k) Cara (k) Coroa(c) Duas vezes: • 4 possibilidades Cara (k) Coroa(c) Coroa(c)

Cara (k) Cara (k) Coroa(c) Cara (k) Cara (k) Coroa(c) Coroa(c) Três vezes: • Cara (k) 8 possibilidades Cara (k) Coroa(c) Coroa(c) Cara (k) Coroa(c)

Coroa(c)

... ...

Matemática 100

Observe que para os lançamentos acima os resultados correspondem a uma potencia de dois: 2n,

onde n é o número de vezes que a moeda foi lançada.

Simplifique a expressão 102.729512 . 243

usando as propriedades da potenciação.

Solução: 61

21.

312 . 32 . 3

2.32 . 3

2.729512 . 243 1-110-965

106

95

10 ===== −−

II – EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

São equações nas quais a incógnita aparece no expoente.

Ex. i) 2x = 64

ii) 2x +2x-1 + 2x+2 = 9

iii) 2x . 3 = 3x . 2

iv) 25x – 6 . 5x + 5 = 0

Para resolver as equações exponenciais, vamos utilizar todas as propriedades das potências

conhecidas e também a propriedade abaixo. O objetivo é reduzir o 1º e o 2º membros a potências de

mesma base.

Se a > 0 e a ≠ 1, então am = an então m = n.

(Se as bases são iguais os expoentes são iguais)

Ex. i) Resolva a equação 2x = 64.

Resolução:

Fatorando 64 temos: 2x = 26. Igualando os expoentes: x = 6.

Portanto, o conjunto solução é S = { 6 }.

Ex. ii) Resolva a equação 5x+1 = 1 / 125.

Resolução:

Matemática 101

Fatorando 125 temos: 5x+1 = 1 / 5³, que é equivalente 5x+1 = 5-3. Igualando os expoentes:

x + 1 = -3, logo x = -4.

Portanto, o conjunto solução é S = { -4 }.

Ex. iii) Resolva a equação 2x+1 = √8.

Resolução:

Fatorando 8 temos: 2x+1 = √2³, escrevendo na forma de expoente fracionário chegamos a

igualdade 2x+1 = 23/2. Igualando os expoentes: x + 1 = 3/2, logo x = 1/2.

Portanto, o conjunto solução é S = { 1/2 }.

Ex. iv) Resolva a equação 2x² - 1 = 256.

Resolução:

Fatorando 256 temos: 2x² − 1 = 28, que é equivalente 2x²− 1 = 28. Igualando os expoentes: x² − 1 = 8,

logo x = ± 3.

Ex. v) Resolva a equação 32x – 6.3x – 27 = 0.

Resolução:

1º) vamos resolver esta equação através de uma transformação:

32x – 6.3x – 27 = 0 ⇒ (3x)2 - 6.3x – 27 = 0

2º) Fazendo a substituição de 3x por y (3x = y), obtemos: y2- 6y – 27 = 0;

aplicando Bhaskara encontramos

∆ = (-6)² - 4.1.(-27) = 36 + 108 = 144

2126

121446 ±

=±

=

.) -(- y ⇒ y’ = -3 e y’’ = 9

3º) Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y:

y’= -3 ⇒ 3x’ = -3 ⇒ não existe x’, pois potência de base positiva é positiva

y’’= 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’ = 2

Portanto a solução é x = 2.

Matemática 102

II) FUNÇÃO EXPONENCIAL Chama-se de função exponencial a toda função do tipo y = ax, definida para todo x real com a > 0 e

a ≠ 1.

Gráfico da função exponencial: y = ax.

Exemplos:

i) O gráfico da função exponencial: y = 2x

x y = 2x

-3 y = 2–3 = 1/8

-2 y = 2–2 = 1/4

-1 y = 2–1 = 1/2

0 y = 20 = 1

1 y = 21 = 2 2 y = 22 = 4 3 y = 23 = 8

Domínio: R e

a Imagem: R* +

A variação da função: y = 2x é uma função crescente (a > 1)

ii) O gráfico da função exponencial: y = (1/2)x

x y = (1/2)x

-3 y = (1/2)–3 = 8

-2 y = (1/2)–2 = 4

-1 y = (1/2)–1 = 2

0 y = (1/2)0 = 1

1 y = (1/2)1 = 1/2 2 y = (1/2)2 = 1/4 3 y = (1/2)3 = 1/8

Domínio: R e

a Imagem: R* +

A variação da função: y = (1/2)x é uma função decrescente (0 < a < 1)

y = 2^x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y

y = (1/2)^x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y

Matemática 103

Crescimento Populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of

Population" formulou um modelo para descrever a população

presente em um ambiente em função do tempo. Considerou

N=N(t) o número de indivíduos em certa população no

instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes

naquele ambiente eram proporcionais à população presente e

a variação do tempo conhecida entre os dois períodos.

Chegou à seguinte equação para descrever a população

presente em um instante t: N(t) = No.er.t onde No é a população presente no instante inicial t = 0 e r

é uma constante que varia com a espécie de população. A forma do gráfico é semelhante ao da

função y = kex.

O modelo de Thomas Malthus, que previa uma propagação do desabastecimento de alimentos, por

acreditar que as populações humanas cresciam exponencialmente, enquanto o suprimento de

alimentos crescia linearmente.

Consideramos um país cuja população

inicialmente era de 2 milhões, com uma

taxa anual de crescimento de 4%, o

modelo exponencial da população é P(t)

= 2.(1,04)t milhões de habitante. Se o

número de pessoas (em milhões) que o

país é capaz alimentar inicialmente por

ano é 4 milhões de pessoas e cresce o

suficiente para alimentar mais 0,5 milhão

de pessoas a cada ano. Então, modelo

linear do suprimento populacional é N(t)

= 4 + 0,5t. Usando estes dois modelos (o

exponencial e o linear), faça uma analise

comparativa da população e do

suprimento populacional ao longo do

tempo.

Solução: Construindo uma tabela no

Excel para as duas funções dos modelos,

podemos construir seus respectivos

gráficos e fazer a análise.

P(t) e N(t)

78; 43,00

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Nº de anos

População(milhoes)

N(t) - P(t)

-10,00

0,00

10,00

20,00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Nº de Anos

População(milhões)

Matemática 104

Tabelas para t = 0 até t = 92

t P(t) N(t) 0 2,00 4,00 1 2,08 4,50 2 2,16 5,00 3 2,25 5,50 4 2,34 6,00 5 2,43 6,50 6 2,53 7,00 7 2,63 7,50 8 2,74 8,00 9 2,85 8,50 10 2,96 9,00 11 3,08 9,50 12 3,20 10,00 13 3,33 10,50 14 3,46 11,00 15 3,60 11,50 16 3,75 12,00 17 3,90 12,50 18 4,05 13,00 19 4,21 13,50 20 4,38 14,00 21 4,56 14,50 22 4,74 15,00 23 4,93 15,50 24 5,13 16,00 25 5,33 16,50 26 5,54 17,00 27 5,77 17,50 28 6,00 18,00 29 6,24 18,50 30 6,49 19,00

A partir do ano t = 0 até t ≅ 78,32, o suprimento de alimento é maior do que a demanda (o gráfico

de N(t) está acima do gráfico de P(t) ou a diferença N(t) – P(t) é positiva). No instante t = 78,320,

o suprimento de alimento é exatamente o suficiente para a população. Para os instantes t > 78,32,

o suprimento de alimento é menor do que as necessidades da população (o gráfico de N(t) está

abaixo do gráfico de P(t) ou a diferença N(t) – P(t) é negativa).

31 6,75 19,50 32 7,02 20,00 33 7,30 20,50 34 7,59 21,00 35 7,89 21,50 36 8,21 22,00 37 8,54 22,50 38 8,88 23,00 39 9,23 23,50 40 9,60 24,00 41 9,99 24,50 42 10,39 25,00 43 10,80 25,50 44 11,23 26,00 45 11,68 26,50 46 12,15 27,00 47 12,64 27,50 48 13,14 28,00 49 13,67 28,50 50 14,21 29,00 51 14,78 29,50 52 15,37 30,00 53 15,99 30,50 54 16,63 31,00 55 17,29 31,50 56 17,98 32,00 57 18,70 32,50 58 19,45 33,00 59 20,23 33,50 60 21,04 34,00 61 21,88 34,50

62 22,76 35,0063 23,67 35,5064 24,61 36,0065 25,60 36,5066 26,62 37,0067 27,69 37,5068 28,79 38,0069 29,95 38,5070 31,14 39,0071 32,39 39,5072 33,68 40,0073 35,03 40,5074 36,43 41,0075 37,89 41,5076 39,41 42,0077 40,98 42,5078 42,62 43,0079 44,33 43,5080 46,10 44,0081 47,94 44,5082 49,86 45,0083 51,86 45,5084 53,93 46,0085 56,09 46,5086 58,33 47,0087 60,66 47,5088 63,09 48,0089 65,61 48,5090 68,24 49,0091 70,97 49,5092 73,81 50,00

Matemática 105

Exercícios

01. Esboce o gráfico de cada uma das funções exponenciais abaixo:

A) y = 2x B) y = (1/3)x C) y = 2x+1 D) y = 2-x-1

02. Projeta-se que, daqui t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50.e0,00t milhões.

a) Qual é a população atual?

b) Qual será a população daqui a 30 anos? Resp. 50000000; 91105940

03. O número de habitantes de uma cidade hoje é 40000, Esse valor cresce a uma taxa de 2% ao

ano. Qual será o número de habitantes daqui a 10 anos? Proponha uma função que calcule o número

de habitante e esboce o seu gráfico.

04. O PIB de um país, este ano, é de 600 bilhões de dólares. Esse valor cresce à taxa de 5% ao ano.

A) Qual sem o PIB daqui a 5 anos?

B) Proponha uma função que calcule o PIB em função do tempo e esboce o seu gráfico.

05. Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação

existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída

por esse indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão abaixo

Q = 700 – 400.e-0,5t onde

Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário

t = meses de experiência e e = 2,718

A) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com dois meses de experiência

deverá produzir mensal mente?

B) E um funcionário, sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

Compare este resultado com o resultado do item A. Há coerência entre eles? 3) 48 759 N = 40000(1,02)t 4) 765,77 bi; P = 600(1,05)t 5) 533 e 300 (sim)

06. Quando os professores selecionam textos para seus cursos, eles normalmente escolhem entre os

livros que já estão na sua estante. Por esta razão, a maioria dos editores envia exemplares de novos

livros aos professores (na atualidade isto não tem ocorrido com freqüência) que lecionam

disciplinas correlatas. O editor de matemática em uma grande editora estima que, se x mil

Matemática 106

exemplares de cortesia forem distribuídos, as vendas no primeiro ano de um novo livro serão de

aproximadamente f(x) = 20 – 15.e-0,2x exemplares.

a) Quantos exemplares o editor pode esperar vender no primeiro ano, se nenhum exemplar de

cortesia tiver sido enviado?

b) Quantos exemplares o editor espera vender no primeiro ano se 10.000 exemplares de cortesia

forem enviados?

c) Se a estimativa do editor estiver correta, qual seria a projeção mais otimista para as vendas do

livro no primeiro ano?

d) Esboce esta função de vendas. Resp. 5000; 17970; 20000

07. Analise e decida se cada uma das seguintes tabelas

de valores poderia corresponder a uma função linear,

uma função exponencial, ou nenhuma dessas coisas.

Para cada tabela de valores que poderia corresponder a

uma função linear ou exponencial, ache uma fórmula para

a função.

[s(t)=30,12(0,6)t;g(u)=-1,5u+27]

Matemática 107

3. 10 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA

I) Logaritmo (definição) Considere a informações abaixo:

Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos

anos a população da América Latina irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Nessas condições, podemos organizar o seguinte quadro:

Tempo População

Início Po

1 ano ⇒ P1 = Po . 1,03

2 ano ⇒ P2 = Po . 1,03 . 1,03 = Po . 1,032.

3 ano ⇒ P3 = Po . 1,03 . 1,03 . 1,03 = Po . 1,033.

...

n ano ⇒ Pn = Po . 1,03 . 1,03 ... 1,03 = Po . 1,03n.

Supondo que a população dobrará após x anos, temos: P = 2.PO Po.(1,03)x = 2.Po.

Simplificando: (1,03)x = 2.

Não é possível resolver essa equação transformando-a em uma igualdade de potências de mesma

base, como vimos no estudo de exponenciais. Para resolvê-la, precisamos utilizar logaritmos.

Diz-se que o logaritmo de um número N positivo, em uma base "a" positiva e diferente de 1 (um), é

o expoente ao qual se deve elevar a base para obter o número N. Então:

Considerando N > 0 e 0 < a ≠1, se loga N = x, equivale a dizer que: ax = N.

loga N = x ⇔ ax = N.

Ex. I) log2 8 = 3, equivale a dizer que: 23 = 8.

II) log3 1/81 = -4, equivale a dizer que: 3-4 = 1/34 = 1/81.

III) log5 √5 = 1/2, equivale a dizer que: 51/2 = √5.

Matemática 108

Como calcular um logaritmo?

Por exemplo:

i) log2 32

1º) Como nós não conhecemos o valor, vamos indicá-lo pela letra x:

log2 32 = x ⇔ 2x = 32

2º) Fatorando o 32, encontramos a igualdade:

2x = 25

x = 5

Portanto log2 32 = 5

Obs. Usando a calculadora científica de 2 linhas: ‘log 32 ÷ log 2 =’ 5.

Usando a calculadora científica de 1 linha: ’32 log ÷ 2 log =’ 5.

ii) log4 (1/8)

1º) Como nós não conhecemos o valor, vamos indicá-lo pela letra y:

log4 (1/8) = y ⇔ 4y = 1/8

2º) Fatorando o 8 e o 4, encontramos a igualdade:

(2²)y = 1/23

2²y = 2-3

Aplicamos a propriedade de potência de potência e passamos a potencia 2³ do denominador para o

numerador trocando o sinal do expoente, com isto encontramos uma igualdade de potencia de

mesma base. Com isto 2y = -3, logo y = -3/2.

Portanto log4 (1/8) = -3/2 ou 1,5.

Obs. Usando a calculadora científica de 2 linhas: ‘log (1÷8) ÷ log 4 =’ -1.5

Usando a calculadora científica de 1 linha: ’(1÷8) log ÷ 4 log =’ -1.5

ii) log1/9 (√27)

1º) Como nós não conhecemos o valor, vamos indicá-lo pela letra w:

log1/9 (√27) = w ⇔ (1/9)w = √27

2º) Fatorando o 9 e o 27, encontramos a igualdade:

(1/3²)w = √3³

(3-²)w = 33/2

Matemática 109

3-²w = 33/2

Passamos a potencia 3² do denominador para o numerador trocando o sinal do expoente. O radical

foi escrito na forma de expoente fracionário. Aplicamos a propriedade de potência de potência no

1º membro. Dessa maneira encontramos uma igualdade de potencia de mesma base. Com isto -2w

= 3/2, logo w = -3/4.

Portanto log1/9 (√27) = -3/4 ou -0,75.

Obs. Usando a calculadora científica de 2 linhas: ‘log ( √ 27 ) ÷ log (1 ÷ 9 ) =’ -0.75

Usando a calculadora científica de 1 linha: ‘( 27 √ ) log ÷ (1 ÷ 9 ) log =’ -0.75

Aplicação dos logaritmos na medida da Intensidade de um Terremoto

• A intensidade de um terremoto na escala Richter é feita usando logaritmo. Sua fórmula para o

cálculo é: Magnitude M = log (A/T) + B, onde A é a amplitude do movimento do solo na estação

medidora, em micra, T é a duração da onda sísmica, em segundos, e B é um fator empírico

responsável pela atenuação da onda sísmica em função de sua distância em relação ao epicentro do

terremoto. Para um terremoto que ocorreu a 10000 km da estação medidora, B = 6,8.

Considerando que em um terremoto a amplitude do movimento do solo a = 10 micra e a duração T

= 1s, a sua magnitude foi:

M = log (10/1) + 6,8 = log (10) + 6,8 = 1 + 6,8 = 7,8 na escala Richter.

Um terremoto de intensidade de 7,8 na escala Richter causa enormes danos próximo ao epicentro.

• A energia liberada em um terremoto pode ser medida em escala logarítmica por meio da escala

de magnitudes Richter (vulgarmente conhecida como escala Richter): )10 . 1,75 E( log .

3 2 M 2-= ,

na qual M é a magnitude do terremoto e E é a energia liberada no terremoto, medida em

quilowatt.hora (kWh). Esta fórmula permite constatar que, para cada variação de uma unidade na

magnitude M, a energia liberada aumenta, aproximadamente, 31,6 vezes.

Vamos comprovar isto calculando as energias liberadas por terremotos de magnitudes 5 e 6, na

escala Richter, por meio da fórmula M = 2/3 . log (E / 1,75.10-2) e comparando as quantidades de

energia liberadas.

Matemática 110

Calculando a energia liberada para o terremoto de magnitude 5:

Vamos considerar M = 5 (magnitude 5) .

)10 . 1,75 E( log .

3 2 M 2-= )

10 . 1,75 E( log .

3 2 5 2-= )

10 . 1,75 E( log 7,5 2-= 2-

7,5

10 . 1,75 E 10 =

-27,5 10 . 1,75 10 E ×=

kWh5,510 . 1,75E=

Calculando a energia liberada para terremoto de magnitude 6:

Vamos considerar M = 6 (magnitude 6) .

)10 . 1,75 E( log .

3 2 M 2-= )

10 . 1,75 E( log .

3 2 6 2-= )

10 . 1,75 E( log 9 2-= 2-

9

10 . 1,75 E 10 =

-29 10 . 1,75 10 E ×=

kWh710 . 1,75E=

Comparando as quantidades de energia liberadas, obtém-se a

31,6 kWh10 . 1,75kWh10 . 1,75

EE

5,5

7

5

6 ≅= , na comparação da variação de 5 para 6, a energia liberada

aumentou, aproximadamente, 31,6 vezes.

• Em Química, os logaritmos são usados para medir a acidez de uma solução líquida. Isto é feito

medindo a concentração de íons de hidrogênio (denotada por [H+]) na solução (a unidade de

medida, a título de informação, é de “moles por litro”). Tais concentrações geralmente envolvem

expoentes negativos de 10, ordens de grandeza negativas são usadas para comparar níveis de acidez.

A medida de acidez usada é o pH e é calculado como oposto do logaritmo na base 10 da

concentração de hidrogênio na solução: pH = – log [H+].

Portanto as soluções mais ácidas têm concentrações de íons de hidrogênio mais altos e valores de

pH mais baixos.

Temos vinagres com pH de 2,4 e recipientes com bicarbonato de sódio cujo pH é 8,4.

a) Quais são as concentrações de Íons de hidrogênio no vinagre?

b) Quais são as concentrações de Íons de bicarbonato de sódio?

c) Quantas vezes a concentração de Íons de hidrogênio do vinagre é maior que do bicarbonato de

sódio?

d) Que ordem de grandeza difere um produto do outro?

Matemática 111

SOLUÇÃO

a) O pH do Vinagre é: pH = 3,4, logo

-log [H+] = 2,4

log [H+] = -2,4 (aplicando a definição de logartmo: loga b = c ⇔ ac = b)

[H+] = 10-2,4 (lembre-se que 10-2,4 = 1 / 10-2,4 ≅ 3,98 × 10-3)

[H+] ≅ 3,98 × 10-3 moles por litro.

b) O pH do Bicarbonato de sódio é: pH = 8,4, logo

-log [H+] = 8,4

log [H+] = -8,4 (aplicando a definição de logartmo: loga b = c ⇔ ac = b)

[H+] = 10-8,4 (lembre-se que 10-8,4 = 1 / 10-8,4 ≅ 3,98 × 10-9)

[H+] ≅ 3,98 × 10-9 moles por litro.

c) Comparando a concentração de íons de vinagre com a concentração de íons de Bicarbonato de

sódio, isto será feito através da divisão:

69)9( 1010101010

10 3,9810 3,98

sódio de obicarbonat de ][Hvinagre de ][H 3 3

9

3

9

3====

×

×= +−−−−

−

−

−

−

+

+

litropormoleslitropormoles

d) A concentração de Íons de hidrogênio do vinagre tem sua ordem de grandeza 6 vezes maior que

a do bicarbonato de sódio, exatamente a diferença entre os níveis de pH.

EXERCÍCIOS:

1. Qual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmo de 1/8 na base 4?

2. Calcular com o auxílio da definição

A) log1/9 √27 B) log3√3 27

3. Determinar a base n que verifica a igualdade logn 16 = 4. 1)2 e -2/3 2) -3/4 e 2 3) 2

4. Usando uma calculadora, obtenha os logaritmos a seguir.

a) log 54 f) ln 1,5

b) log 7 g) ln 243

Matemática 112

c) log 122 h) ln 1,7

d) log 34,6 i) ln 0,8

e) ln 7 j) log 0,92

5. O número de habitantes de uma cidade é hoje 7000, e cresce à taxa de 3% ao ano.

A) Qual será o número de habitantes daqui a 8 anos?

B) Qual será o número de habitantes daqui a 30 anos?

C) Daqui a quanto tempo (aproximadamente) a população dobrará? Dados: log 2 = 0,3010; log

(1,03) = 0,0128.

(8867; 16990; 23,5 anos)

6. O PIB de um país, este ano, é de 600 bilhões de dólares. Esse valor cresce à taxa de 5% ao ano.

A) Qual sem o PIB daqui a 5 anos?

B) Proponha uma função que calcule o PIB em função do tempo e esboce o seu gráfico.

[765,8 bilhões, P=600(1,05)t]

7. Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente

entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por esse

indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q = 700 - 400e-0,5t onde

Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário

t = meses de experiência e e = 2,718

A) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com dois meses de experiência

deverá produzir mensal mente?

B) E um funcionário, sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

Compare este resultado com o resultado do item A. Há coerência entre eles?

533 e 300 (sim)

Matemática 113

II) Função Logarítmica

A função logarítmica é da inversa da função exponencial. É definida por y = logax ⇔ ay = x

sendo a > 0, a ≠1 e x > 0.

• Uma função logarítmica importante é a de base e = 2,718281828... , chamada função logarítmica

natural e notada por y = ln x.

• Outra função logarítmica importante é a de base 10, chamada função logarítmica decimal e

notada por y = log x.

Exemplos:

i) Vamos construir o gráfico da função logarítmica y = log2 x:

Domínio: R* +

Imagem: R

Tabela:

x y = log2 x 1/8 y = log2 (1/8) = -3 1/4 y = log2 (1/4) = -2 1/2 y = log2 (1/2) = -1

1 y = log2 (1) = 0 2 y = log2 (2) = 1 4 y = log2 (4) = 2 8 y = log2 (8) = 3

Variação da função y = log2 x é crescente (a = 2 > 1) e

ii) Vamos construir o gráfico da função logarítmica y = log1/2 x:

Domínio: R* +

Imagem: R

Tabela:

x y = log1/2 x 1/8 y = log1/2 (1/8) = 3 1/4 y = log1/2 (1/4) = 2 1/2 y = log1/2 (1/2) = 1

1 y = log1/2 (1) = 0 2 y = log1/2 (2) = -1 4 y = log1/2 (4) = -2 8 y = log1/2 (8) = -3

Gráfico da função log

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y


-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

Matemática 114

Variação da função y = log1/2 x é decrescente (0 < a = 1/2 < 1).

A reta vertical x = 0 (o eixo y) é assíntota (reta que é tangente a uma curva no infinito) ao gráfico de y

= log1/2 (x).

ii) O gráfico da função logarítmica y = log5 (x – 1) é


-3

-2

-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

Domínio de y = log5 (x – 1) é ]1, +∞[, pois x – 1 deve ser positivo para que o log exista.

x – 1 > 0 x > 1

A reta vertical que passa em x = 1 é assíntota ao gráfico de y = log5 (x – 1).

Imagem: R

Exercícios:

1. Esboce o gráfico de cada uma das funções logarítmicas abaixo:

a) y = log3 x

b) y = log1/3 x

Matemática 115

3. 11 – FUNÇÃO INVERSA E FUNÇÃO COMPOSTA I) Operações com Funções

A partir das funções elementares podemos obter novas funções através das operações usuais

(adição, subtração, multiplicação e divisão):

Definição: Sejam f e g duas funções com domínios que possuem valores comuns. Então, para todos

os valores de x na intersecção desses domínios, as combinações algébricas de f e g são definidas

pelas seguintes regras:

• Soma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• Diferença: (f – g)(x) = f(x) – g(x)

• Produto: (f.g)(x) = f(x).g(x)

• Quociente: (f / g)(x) = f(x) / g(x).

O domínio da nova função (soma, diferença, produto ou quociente) consiste em todos os números

que pertencem ao domínio de f e ao domínio de g (pertencem a intersecção dos domínios).

Exemplo: Sejam f(x) = x3 e g(x) = √x .

Encontre fórmulas para as funções f + g, f - g, f . g, f / g, f + f e g . g. Descreva o domínio de cada

uma.

SOLUÇÃO

O domínio de f é o conjunto de todos os números reais e o domínio de g pode ser representado pelo

intervalo [0, +oo[. Como eles se sobrepõem, então a intersecção desses conjuntos resulta no

conjunto dado pelo intervalo [0, +oo[. Assim:

• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x3 + √x, com domínio [0, +oo[

• (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x3 - √x, com domínio [0, +oo[

• (f . g)(x) = f(x) . g(x) = x3. √x, com domínio [0, +oo[

Matemática 116

• (f / g)(x) = f(x) / g(x) = x3. √x, com domínio ]0, +oo[, observe que g(x) é o denominador da

fração, portanto não pode assumir o valor zero

• (f + f)(x) = f(x) + f(x) = x3 + x3 = 2. x3 com domínio R.

• (g. g)(x) = g(x) . g(x) = √x . √x = ( √x)² com domínio [0, +oo[

II) Função Composta

Existem situações em que uma função não é construída combinando operações entre duas

funções; uma função pode ser construída aplicando as leis envolvidas, primeiro uma e depois a

outra. Esta operação para combinar funções, que não está baseada nas operações numéricas, é

chamada de composição de função.

Definição Composição De Funções: Sejam f e g duas funções tais que o domínio de g

intersecciona com a imagem de f. A composição g de f, denotada por g o f, é definida pela regra:

(g o f)(x) = g ( f(x) )

O domínio de g o f consiste em todos os valores de x que estão no domínio de f e cujo valor f(x)

encontra-se no domínio de g. Veja a Figura abaixo:

Exemplo: i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = 2x .

Encontre as funções compostas:

a) g o f

Matemática 117

b) f o g

c) f o f

d) g o g

SOLUÇÃO

a) g o f = g ( f(x)) = g ( x³ ) = 2x³

b) f o g = f ( g(x)) = f ( 2x ) = (2x)³ = 8x³

c) f o f = f ( f(x)) = f ( x³ ) = ( x³ )³ = x9

d) g o g = g ( g(x)) = g ( 2x ) = 2.( 2x ) = 4x

Exemplo: ii) Um problema interessante: Todo mês, uma empresa divide igualmente uma parte x do

lucro entre seus 50 funcionários. Consideremos as seguintes funções:

I) a função f associa x à fração destinada a cada funcionário: x/50 x :f f→ ou u=f(x) = x/50;

II) a função g que associa a fração anterior à soma dessa fração com o salário (s) de cada

funcionário: s f(x) f(x) :g g +→ ; A função g é aplicada sobre os valores de f, isto é,

s x/50 x/50 x gf +→→ ou s x/50 x/50:f(g(x)) g +→

Se a parte do lucro que será distribuída é x reais, então cada funcionário receberá: g(f(x)) =x/50+ s

reais.

A função g(f(x)) é chamada de função composta de g e f, é a função formada por duas funções g(u)

e f(x). Para obtê-la substituímos u, na função g, por f(x).

Indica-se a composição das funções g e f por gof, ou seja. (gof)(x) = g(f(x)).

Em digramas representamos assim:

Matemática 118

Exemplo: i) Dadas as funções reais de variável real f(x) = x – 3 e g(x) = x² + 1, determinar:

a) (gof)(4)

b) (fog)(4)

c) (gof)(x)

d) (fog)(x)

e) (gog)(4)

f) (fof)(x)

Solução

a) Queremos calcular (gof) (4), ou seja, g(f(4)).

Para isto, primeiro calculamos f(4)= 4 – 3 = 1, e depois substituímos o x da função g por f(4),

isto é, (gof)(4) = g(f(4)) = g(1) = 12 + 1 = 2.

b) Nosso objetivo é calcular (fog) (4), ou seja, f(g(4)).

Para isto, primeiro calculamos g(4)= 4² +1 = 17, e depois substituímos o x da função f por g(4),

isto é, (fog)(4) = f(g(4)) = f(17) = 17 – 3 = 14.

c) Queremos determinar a função composta de g e f, (gof) (x), ou seja g(f(x)).

Para isto, substituímos o x da função g por f(x): (gof)(x) = g(f(x)) = [f(x)]2 + 1 = (x – 3)² + 1 = x² –

6x +9 + 1 = x² – 6x +10.

(g of) (x) = g(f(x))= x² – 6x +10.

d) Nosso objetivo é determinar a função composta de f e g, (fog)(x), ou seja, f(g(x)).

Para isto, substituímos o x da função f por g(x): (fog)(x)= f(g(x))= [g(x)] – 3 = (x² + 1) – 3 = x² +

1 – 3 = x² – 2 .

(fog)(x)= f(g(x))= x² – 2.

Matemática 119

e) O valor de (gog)(4), ou seja g(g(4)).

Para isto, substituímos o x da função g por g(4). O valor de: g(4)= 4² + 1 = 17

(gog) (4) = g(g(4)) = [g(4)]2 + 1 = 17² + 1 = 289 + 1 = 290.

(gog)(4) = g(g(4))= 290.

f) No caso da função composta de f e f, (fof)(x), ou seja, f(f(x)).

Substituímos o x da função f por f(x): (fof)(x)= f(f(x))= [f(x)] – 3 = (x – 3) – 3 = x – 6.

(fog)(x)= f(g(x))= x² – 2.

Exemplo: ii) Sendo f(x) = (x – 2) / 5 e g(x) = 5x², encontre a função composta de g e f.

Solução:

a função composta de g e f é, (gof)(x)= g(f(x)).

Para determinar esta composta, substituímos o x da função g por f(x): (gof)(x) = g(f(x)) =5. [f(x)]2

= 5[(x – 2)/5]² = 5.( x² – 4x + 4) / 25 = (x² – 4x +4)/5.

544 +−

==x x² g(f(x)) (g of) (x) .

Aplicações:

i) Um estudo ambiental de uma certa cidade sugere que o nível médio diário de monóxido de

carbono no ar será c(p) = 0,4.p + 1 partes por milhão (ppm) quando a população é p milhares de

pessoas. É estimado que t anos a partir de agora a população da comunidade será de p(t) = 10 +

0,2.t² mil.

a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.

b) Calcule o nível de monóxido de carbono daqui a 4 anos.

c) Calcule o nível de monóxido de carbono daqui a 5 anos.

d) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 7,88 ppm?

Solução

a) O nível de monóxido de carbono é uma função da variável p pela equação c(p) = 0,4p + 1

e a variável p é uma função variável t pela equação p(t) = 10 + 0,2t².

Portanto o nível de monóxido de carbono é uma função composta de c e p:

cop = c[p(t)] = 0,4[p(t)] + 1 = 0,4[10 + 0,2t²] + 1 = 4 + 0,08t² + 1 = 5 + 0,08t²

O nível de monóxido de carbono no ar em função do tempo t é expresso por c[p(t)] = 5 + 0,08t².

b) Para calcular o nível de monóxido de carbono daqui a 4 anos basta substituir t por 4 em c[p(t)]

= 5 + 0,08t².

Matemática 120

c[p(4)] = 5 + 0,08.4² = 5 + 0,08.16 = 6,28 ppm.

c) Para calcular o nível de monóxido de carbono daqui a 5 anos basta substituir t por 5 em c[p(t)]

= 5 + 0,08t².

c[p(5)] = 5 + 0,08.5² = 5 + 0,08.25 = 7 ppm.

d) Para encontrar o valor de t para o nível de monóxido de carbono igual a 7,88, devemos igualar

c[p(t)] a 7,88 e resolva a equação formada:

c[p(t)] = 5 + 0,08t² = 7,88

0,08t² = 7,88 - 5

0,08t² = 7,88 - 5

0,08t² = 2,88

t² = 2,88 / 0,08 = 36 t = √36 = 6 anos

Isto é, 6 anos a partir de agora o nível de monóxido de carbono será de 7,88 ppm.

II) Função Inversa

Dada a função f: A B, descrita no diagrama abaixo:

f = {(3, 7), (4, 8), (5, 9)}

Chama-se função inversa de f, indicada por f-1, a função de B em A, obtida trocando o valor de x

pelo valor de y e o valor de y pelo valor de x em cada par ordenados da função f, o que resulta em:

f-1 = {(7, 3), (8, 4), (9, 5)} e em diagrama

Matemática 121

Exemplo: i) Encontramos a inversa da função y = 2x – 1.

Solução:

1º) Trocando x por y e y por x, temos x = 2y – 1 e

2º) após a troca isolando a variável y:

x = 2y – 1 x + 1 = 2y (x + 1) / = y

Portanto a função inversa é y = (x + 1) / 2.

Construindo o gráfico da função e de sua inversa num mesmo plano cartesiano, observamos que os

seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz do 1º e 3º quadrantes (y = x):

x y = 2x – 1 -5 -11 -4 -9 -3 -7 -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9

Exemplo: ii) Encontramos a inversa da função y = x / (2x + 4).

Solução:

1º) Trocando x por y e y por x, temos x = y / (2y + 4) e

2º) após a troca isolando a variável y:

x = y / (2y + 4) x.(2y + 4) = y 2xy+ 4x = y 2xy – y = -4x, colocando y em evidencia

temos : y(2x – 1) = -4x y = -4x / (2x – 1) ou y = 4x / (1 – 2x)

Portanto a função inversa de y = x / (2x + 4) é y = 4x / (1 – 2x).

Construindo o gráfico da função e de sua inversa num mesmo plano cartesiano, observamos que os

seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz do 1º e 3º quadrantes (y = x):

y = 2x – 1 e y = (x + 1)/2

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

y

Matemática 122

y = x / (2x + 4) e y = 4x / (1 - 2x)

-6-5-4-3-2-10123456

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

Matemática 123

3.12 – FUNÇÃO RACIONAL

É toda função definida por um quociente de dois polinômios, sendo o denominador um polinômio

não nulo.

São exemplos de funções racionais as funções:

i) 22xx

1xf(x) 2 ++−

=

ii) 2x

1f(x)−

=

iii) x1f(x) =

Exemplo: Esboçando o gráfico e analisando a função racional x1f(x) = .

O domínio dessa função é R*, ou seja, R – { 0 }.

Construindo uma tabela para x < 0 e para x > 0, podemos esboçar o gráfico (hipérbole).

O gráfico é formado por uma hipérbole:

Grafico da Função f(x) = 1/x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

y

x y = 1/x1/6 6 1/5 5 1/4 4 1/3 3 1/2 2 1 1 2 1/2 3 1/3 4 1/4 5 1/5 6 1/6

x y = 1/x-6 - 1/6 -5 - 1/5 -4 - 1/4 -3 - 1/3 -2 - 1/2 -1 -1

- 1/2 -2 - 1/3 -3 - 1/4 -4 - 1/5 -5 - 1/6 -6

Matemática 124

O domínio dessa função é o conjunto dos reais excluindo o zero.

A função é decrescente, pois quando aumento os valores de x os valores de y diminuem.

Na tabela e no gráfico, observando que a medida que x aumenta, o valor da função (y=1/x)

diminui e tendendo a zero.

Matematicamente escrevemos assim: 0(1/x) limx

=∞→

O mesmo ocorre se x vai diminuindo e ficando muito pequeno.

Matematicamente escrevemos assim: 0(1/x) limx

=∞−→

Por outro lado, à medida que x se aproxima de zero, por valores positivos (por exemplo:

assumindo os valores: 1/2; 1/3; 1/4; 1/5,...) o valor da função (y=1/x) vai ficando cada vez maior

(2, 3, 4, 5, ...).

Matematicamente escrevemos assim: ∞+=+→

(1/x) lim0x

À medida que x se aproxima de zero, por valores negativos (por exemplo: assumindo os valores:

-1/2; -1/3; -1/4; -1/5, ...) o valor da função (y=1/x) vai ficando cada vez menor (-2, -3, -4, -5, ...).

Matematicamente escrevemos assim: ∞−=−→

(1/x) lim0x

Aplicação: i) Uma empresa utiliza 2.000 unidades de um componente eletrônico por ano,

consumidas de forma constante ao longo do tempo. Vários pedidos são feitos por ano a um custo de

transporte de R$ 150,00 por pedido.

a) Chamando de x a quantidade de cada pedido, obtenha o custo anual de transporte em função de

x. Faça o gráfico dessa função.

b) Qual o custo se x = 50? Nesse caso, quantos pedidos são feitos por ano?

Solução:

a) O consumo é 2000 unidades. Se x é o

número de unidades de cada pedido, o

número de pedidos(n) é o quociente entre

2000 e x, isto é, n= 2000/x.

Cada pedido custa R$150,00, portanto o custo

anual de transporte(y) é o produto do número

de pedidos(n) pelo custo de cada pedido(150),

isto é, y = n.150 y= (2000/ x).150 y =

300000/x. O gráfico é:

y = 300000 / x

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 10 20 30 40 50 60x

y

Matemática 125

b) O custo anual de transporte(y), se x = 50, é y = 300000/50 = 6000 reais.

Aplicação: ii) De acordo com Keynes (John Maynard, economista inglês, pioneiro da

macroeconomia, 1883-1946), a demanda por moeda para fins especulativos é função da taxa de

juros.

Admitindo que em determinado país a

demanda por moeda para fins especulativos é

5 x 12 y −

= (para x > 5), em que x é a taxa

anual de juros (em %) e y é a quantia (em

bilhões) que as pessoas procuram manter

para fins especulativos, calcule qual a

demanda por moeda para fins especulativos se a taxa de juros for 8% ao ano?

Solução:

x = 8%

y =?

Substituindo na fórmula: y = 12 / (x – 5) = 12 / (8 – 5) = 12 / 3 = 4 bilhões

As Funções racionais são utilizadas em estudos ambientais tais como modelos de custo-

benefício. O custo para se remover um poluente do ar, da água ou do solo é estimado como uma

função da percentagem de poluente removido. Quanto mais alta a percentagem removida, maior é o

“benefício” para as pessoas e o ambiente. Estas questões são complexas e a definição de “custo” é

discutível. O custo para remover uma quantidade pequena de poluente pode ser razoavelmente

pequeno. Mas o custo para se remover os 5% finais de poluentes, por exemplo, pode ser

extremamente caro.

Aplicação: iii) O custo (em u.m.) de remover x % dos poluentes da água em um determinado lago é

expresso pela função racional: .100x0para ,x100

80000.x C(x) <≤−

=

a) Usando a função custo desse enunciado encontre custo para remover a metade dos poluentes.

y = 12 / (x - 5)

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20x

y

Matemática 126

b) Considerando as informações do enunciado, obtenha a porcentagem que podemos remover com

320000 u.m.

c) Avalie o que acorre com o custo quando se tende a remover 100% dos poluentes.

Solução:

a) A metade dos poluentes é x = 100%. Aplicando na fórmula temos:

..8000050

50.800005010050.80000

100.8000)( muxxxC ==

−=

−=

b) Com um custo de 320000 u.m podemos remover x%. Para calcular x substituiremos C(x) por

320000 na fórmula e resolveremos a equação obtida:

xxxx

xxxC 80000)100.(320000

100.80000320000

100.8000)( =−⇒

−=⇒

−=

32000000 – 320000x = 80000x ⇒ –320000x–80000x = –32000000 ⇒ –400000x = –32000000

Multiplicando os dois membros por (-1) temos:

400000x = 32000000 ⇒ x = 32000000/400000 ⇒ x = 80%

Com um custo de 320000 u.m podemos remover 80%.

c) Quando a remoção dos poluentes tende para 100%, o custo da remoção tende a se tornar

infinito. Isto pode ser observado a partir da tabela e do gráfico construído com o Excel:

x 1 10 30 50 70 90 93 95 97 98 99 99,5 99,7 99,8 99,9 C 808 8889 34286 80000 186667 720000 1062857 1520000 2586667 3920000 7920000 15920000 26586667 39920000 79920000

Custo de Remoção

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

8000000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x(%)

C

Matemática 127

Exercício

1) Suponha que uma função custo-benefício é dada por x 105

50.x f(x)−

= ,

para 0 ≤ x ≤ 100, em que x é a percentagem de algum poluente a ser

removido e f(x) é o custo associado (em milhões de reais).

Encontre o custo para remover 70%, 95%, e 100% do poluente.

Matemática 128

3.13 – FUNÇÃO PERIÓDICA

Função periódica é uma função real f, quando existe um número positivo p que satisfaz à

igualdade f(x + p) = f(x), ∀x ∈ D(f). O menor valor de p que verifica essa condição é chamado

período de f.

O gráfico de uma função periódica é formado por trechos que se repetem ao longo do eixo x.

Exemplo i:

O gráfico abaixo é de uma função periódica.

Observe que f(x + 2)= f(x), Vx∈R. O valor 2 é o período dessa função.

A imagem de f(x) é Im = { y ∈ R | 0 ≤ y ≤ 2}.

f (x) é limitada, pois 0 ≤ f(x) ≤ 2, ∀x∈ R.

Exemplo ii:

A função f: R R definida por f(x) = sen x (denominada função seno) é periódica. Veja o gráfico

abaixo:

Matemática 129

Observe que f(x + 2π)= f(x), Vx∈R. O valor 2π é o período dessa função.

O Domínio de f(x) = cos x é D = R.

A imagem de f(x) = sen x é Im = { y ∈ R | -1 ≤ y ≤ 1}.

f (x) = sen x é limitada, pois -1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x∈ R.

Exemplo iii:

A função f: R R definida por f(x) = cos x (denominada função cosseno) é periódica. Veja o

gráfico abaixo:

Observe que f(x + 2π)= f(x), Vx∈R. O valor 2π é o período dessa função.

O Domínio de f(x) = cos x é D = R.

A imagem de f(x) = cos x é Im = { y ∈ R | -1 ≤ y ≤ 1}.

f (x) = cos x é limitada, pois -1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x∈ R.

Matemática 130

4 – NOÇÕES DE LIMITES E DERIVADA

4. 1. INTRODUÇÃO

. O desenvolvimento “teórico” do cálculo diferencial e integral, está baseado em um uso

extensivo da teoria delimites, uma noção fundamental desta área da matemática superior. Nós

vamos apresentar uma breve introdução à noção intuitiva (argumentos apresentados de um modo

informal) de limites e seu papel no cálculo das derivadas.

Para isto vamos começar reapresentado a o conceito Taxa de Variação Média (TVM) de uma

função f(x), definida em um intervalo a ≤ x ≤ b, com a variação de f(x) dividida pelo

comprimento do intervalo, isto é,

Taxa de Variação Média de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b é: a b(a) f f(b)TVM

a

b

−−

=

Exemplos i) Suponha que f(x) = x2 – 2 e calcule a taxa de variação média de f(x) nos seguintes

intervalos:

a) 1 ≤ x ≤ 2

b) 1 ≤ x ≤ 1,1

c) 1 ≤ x ≤ 1,1

d) 1 ≤ x ≤ 1,001

e) 1 ≤ x ≤ 1,0001

f) 1 ≤ x ≤ 1,00001

Solução

a) A taxa de variação média no intervalo 1 ≤ x ≤ 2 é

313 0 3

1 2(1) f f(2) TVM

a b(a) f f(b)TVM

1

2

a

b

==−

=−−

=⇒−−

=1

b) A taxa de variação média no intervalo 1 ≤ x ≤ 1,1 é

2,10,10,21

0,1 0 0,21

1 1,1(1) f f(1,1) TVM

a b(a) f f(b)TVM

1

1,1

a

b

==−

=−−

=⇒−−

=

c) A taxa de variação média no intervalo 1 ≤ x ≤ 1,01 é

Matemática 131

2,010,01

0,0201 0,01

0 0,0201 1 1,01(1) f f(1,01) TVM

a b(a) f f(b)TVM

1

1,01

a

b

==−

=−−

=⇒−−

=

d) A taxa de variação média no intervalo 1 ≤ x ≤ 1,001 é

2,0010,01

0,002001 0,001

0 0,002001 1 1,001(1) f f(1,001) TVM

a b(a) f f(b)TVM

1

1,001

a

b

==−

=−−

=⇒−−

=

e) A taxa de variação média no intervalo 1 ≤ x ≤ 1,0001 é

2,00010,001

0,00020001 0,0001

0 0,00020001 1 1,0001(1) f f(1,0001) TVM

a b(a) f f(b)TVM

1

1,0001

a

b

==−

=−−

=⇒−−

=

f) A taxa de variação média no intervalo 1 ≤ x ≤ 1,00001 é

2,000010,0001

010,00002000 0,0001

0 010,000020001 1,0001

(1) f f(1,00001)TVM a b(a) f f(b)TVM

1

1,0001

a

b

==−

=−−

=⇒−−

=

Observe que nesse caso à medida que a (limite inferior do intervalo) se aproxima de b (limite

superior do intervalo), a diferença b–a aproxima-se de zero e os valores da TVM aproxima-se de 2.

A TVM quando b se aproxima de a é denominada a taxa de variação no ponto x=a.

Matemática 132

4. 2. CÁLCULO DA DERIVADA DE ALGUMAS FUNÇÕES

Para facilitar o trabalho de cálculo, consideraremos a diferença b–a igual a h: b–a = h e b=a+h.

h(a) f h)f(alimab

a b(a) f f(b)TVM

0ha

b−+

−−

=→

édeaproximasequandoA ,

A TVM quando b se aproxima de a, ou seja, h se aproxima de zero (h 0), temos a taxa de variação

no ponto x=a. Isto é o que denominamos derivada no ponto a. O símbolo de derivada da função f no

ponto x=a é f ’(a). Portanto

h(a) f h)f(alim(a)' f

0h

−+=

→.

A derivada de uma função, é outra função, que mede a derivada para qualquer ponto da função. A

obtenção da derivada feita pelo limite: h

(x) f h)f(xlim(x)' f0h

−+=

→

Exemplo i) No Exemplo anterior a função é f(x) = x² - 1. Para encontrar a derivada desta função

vamos desenvolver o seguinte roteiro de cálculos:

1º) Aplicando a definição de derivada de uma função: h


−+=

→

Para isto precisamos calcular f(x + h) e substituir na definição:

f(x + h) = (x + h)2 – 1 = x2 +2xh + h2 – 1

h1) (x 1 h 2xh xlim(x)' f

222

0h

−−−++=

→

2º) Reduzindo os termos semelhante, colocando em evidencia o h e simplificando:

h) (2x limh

h).h (2x limh

h 2xhlim(x)' f0h0h

2

0h+=

+=

+=

→→→

3º) O limite de 2x+h quando h tente a zero é calculando substituindo o h por zero.

2x02xh) (2x lim(x)' f0h

=+=+=→

Portanto a derivada da função f(x) = x² - 1 é a função 2x.

Se f(x) = x² - 1, então f’(x) = 2x.

Exemplo ii) Dada a função f(x) = x³. Encontre a derivada desta função.

Matemática 133

Solução:



−+=

→


f(x + h) = (x + h)3 = x3 +3x²h + 3xh² + h3

hx h 3xh h3x xlim(x)' f

33223

0h

−+++=

→


)h 3xh (3xlimh

.hh 3xh (3xlimh

h 3xh h3xlim(x)' f 220h

22

0h

322

0h++=

++=

++=

→→→

)

3º) O limite de x³ quando h tente a zero é calculando substituindo o h por zero. 22222

0h3x0 3.0.h 3x)h 3xh (3xlim(x)' f =++=++=

→

Portanto a derivada da função f(x) = x³ é a função 3x².

Se f(x) = x3, então f’(x) = 3x2.

Exemplo iii) Dada a função f(x) = ax + b. Encontre a derivada desta função.

Solução:



−+=

→


f(x + h) = a(x + h) + b = ax + ah + b

hb) (ax b ah ax lim(x)' f

0h

+−++=

→

2º) Reduzindo os termos semelhante e simplificando:

alimhah lim

hb ax b ah ax lim(x)' f

0h0h0h →→→==

−−++=

3º) O limite de a (que é uma constante) quando h tente a zero é:

Matemática 134

aalim(x)' f0h

==→

Portanto a derivada da função f(x) = ax + b é a função y = a.

Se f(x) = ax + b, então f’(x) = a.

Exemplo iv) Dada a função f(x) = ax² + bx + c. Encontre a derivada desta função.

Solução:



−+=

→


f(x + h) = a(x + h)² + b(x + h) + c = a(x² + 2xh + h²) + bx + bh + c = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c

b ah 2ax limh

b)h ah (2ax limh

bh ah² 2axhlim

hc bx ax² c bh bx ah² 2axh ax²lim

hc) bx (ax² c bh bx ah² 2axh ax²lim(x)' f

0h

0h0h

0h

0h

++=

++=

++=

−−−+++++=

++−+++++=

→

→→

→

→


b ah 2ax limh

b)h ah (2ax limh

bh ah² 2axhlim

hc bx ax² c bh bx ah² 2axh ax²lim(x)' f

0h

0h0h

0h

++=

++=

++=

−−−+++++=

→

→→

→

3º) O limite de 2ax + ah + b quando h tente a zero é:

b 2ax b a.0 2ax b ah 2ax lim(x)' f0h

+=++=++=→

Portanto a derivada da função f(x) = ax² + bx + c é a função y = 2ax + b.

Se f(x) = ax² + bx + c, então f’(x) = 2ax + b.

Matemática 135

BIBLIOGRAFIA

• HARIKI, Seiji. Matemática aplicada: administração, economia, contabilidade. São Paulo:

Saraiva, 1999.

• HOFFMANN, Laurence D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro:

LTC, 1999.

• HUGHES-HALLETT, Deborah. Funções para modelar variações: uma preparação para o

cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

• _________________________. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999.

• IEZZI, G. MURAKAMI, C. MACHADO, N. J. Fundamentos de Matemática Elementar. São

Paulo: Atual, 2005. Volume 1

• MEDEIROS DA SILVA, S., Matemática para cursos de Economia, Administração e

Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 2004.

• MORETTIN, P. A. Cálculo: funções de uma variável. São Paulo: Atual, 2009.

• SILVA, Fernando César M., Matemática Básica para decisões Administrativa. São Paulo:

Atlas, 2007.

• GOLDSTEIN, Larry J. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade.

Porto Alegre: Bookman, 2011.

• DEMANA, Franklin D. Pré-cálculo. São Paulo : Addison Wesley, 2009.

Documents

Fund de Mat Elem-Notas de Aul (1)