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Universidade Federal Fluminense Instituto de F ´ ısica Fundamentos da Teoria Cl´ assica de Campos Pedro Rangel Braga Orientador: Rodrigo Ferreira Sobreiro Niter´oi 2012

Fundamentos da Teoria Cl assica de Campos · 2020. 5. 25. · A teoria de campos desempenha um papel fundamental no desenvolvimento das teorias f sicas, uma vez que quase todas as

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  • Universidade Federal FluminenseInstituto de F́ısica

    Fundamentos da Teoria Clássica de Campos

    Pedro Rangel Braga

    Orientador: Rodrigo Ferreira Sobreiro

    Niterói

    2012

  • PEDRO RANGEL BRAGA

    FUNDAMENTOS DA TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS

    Trabalho de monografia apresentado aocurso de graduação em F́ısica -Bacharelado, da Universidade FederalFluminense, como requisito parcial àconclusão do curso.

    Orientador: Prof. Dr. RODRIGO FERREIRA SOBREIRO

    Niterói-RJ2012

  • 2

    Aos meus pais, avós e noiva.

  • Agradecimentos

    Será bem dif́ıcil, netas poucas linhas condensar todas as pessoas que devo agradecer,mas existem algumas que não poderiam ficar de fora desta seção. São muitas pessoasque foram fundamentais na minha formação neste tempo de faculdade, desde já peçodesculpas se não citarei alguém.

    Gostaria de agradecer em primeiro lugar, ao Prof. Rodrigo Sobreiro pela paciênciae atenção, com que me recebeu e aceitou me orientar neste trabalho. Neste tempo emque fui orientado, amadureci bastante e consegui vislumbrar o que seguirei na minha vidaacadêmica, e o senhor tem papel fundamental neste processo. Muito obrigado.

    Agradeço também aos professores que fizeram parte da minha jornada, ao Prof. JorgeSá Martins pelos incontáveis conselhos, que trancenderam a categoria de professor, aoProf. Jesus Lubián pela primeira oportunidade de iniciação cientifica, pela imensa paciência,e por todos os conselhos dados. Agradeço também aos professroes Paulo Gomes, MarcoMoriconi e Nivaldo Lemos por também fazerem parte da minha formação.

    Minha graduação foi muito boa por estar com os melhores amigos que poderia ter,obrigado Lais, Rogério, Samir, Claudio e Débora. Devo agradecer e especial ao LeonardoSilveira, Allan vieira e Antônio Duarte que foram praticamente minha famı́lia, nestepeŕıodo todas as conversas desde discuções sobre disciplinas, até os salgadinhos de 1real foram inesquećıveis. Ao Rosembergue e Rafael deixo meu agradecimento, pelos doisúltimos peŕıodos de faculdade que foram extremamente divertidos.

    Aos amigos fora do IF-UFF Rodrigo, Daniel Izidro, Daniel Boechart, Telma e Fer-nando, obrigado.

    Gostaria de agradecer a minha famı́lia por tudo o que fizeram por mim, minha mãe emeu pai me deixam sem palavras para descrever tudo o que representam para mim, meusavós Orlando e Abner que são extensões dos meus pais, minha tia Maristela que foi minhamãe de Niterói, meus primos/irmãos Caroline e Lucas por serem os melhores primos domundo, assim como Alessandro e Leandro, ao meu amigo que se tornou irmão Rainer e aminha noiva Isabela, que sem ela não estaria neste momento da minha vida. Obrigado,sem voçês não conseguiria.

    Por fim agradeço a AMBEV por não me deixar só nos momentos de tristeza, e porme fazer ainda mais feliz nos momentos de alegria, orbigado por ter me acompanhadointensamente neste peŕıodo, ao Wolframalpha que teve papel fundamental em algumasintegrais, a Sony Entertainment pelo Playstation 3, ao Don Vitto Corleone, e ao Flumi-nense Football Club que tem me dado alegria e um time de guerreiros que me inspira acontinuar.

  • 4

    “There is no gain without pain.”(Benjamin Franklin)

  • Resumo

    A teoria de campos desempenha um papel fundamental no desenvolvimento das teoriasf́ısicas, uma vez que quase todas as teorias de importância F́ısica podem ser colocadasno formato de campos. Neste trabalho estudamos os principais grupos clássicos de trans-formações. Através do teorema de Noether, podemos ver como as tranformações estãopresentes nas quantidades conservadas destes sistemas.

  • Abstract

    Field theory plays a fundamental role in the development of physical theories, since almostall of the theories of physical importance, can be placed as a field theory. We study themajor classical groups of symmetry. We discuss Noether’s theorem, from which we can seehow the transformations imply in the existence of conserved quantities in these systems.

  • Sumário

    Agradecimentos 3

    Resumo 5

    Abstract 6

    1 Introdução 91.1 Notação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 GRUPOS 112.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Postulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Grupo de matrizes cont́ınuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.3.1 O grupo linear geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 O grupo unitário U(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3 O Grupo unitário especial SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4 O Grupo ortogonal O(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5 O Grupo ortogonal especial SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.4 Exponenciais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Parametrização dos elementos de um grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Rotações. Os grupos O(3) e SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 O grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 O grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.9 O grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3 TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 233.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Rudimentos do cálculo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Formulação lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.4.1 Transformações de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.2 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.5 Invarância de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.1 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.2 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5.3 Transformações de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    7

  • SUMÁRIO 8

    4 O campo escalar 374.1 Equação de Klein-Gordon e lagrangeana do campo escalar . . . . . . . . . 374.2 O tensor energia-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5 O campo vetorial 415.1 Campo vetorial massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Campo vetorial sem massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    6 Teoria de calibre para o campo escalar 456.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Teorema de Noether para simetria global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Teorema de Noether para simetria local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.4 Teoria de calibre para o campo escalar complexo . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7 Conclusão 50

    8 Bibliografia 52

  • Caṕıtulo 1

    Introdução

    Ao longo deste trabalho veremos conceitos importantes de simetrias em um sistemaf́ısico. A teoria de grupos tem papel fundamental no desenvolvimento da Teoria Clássicade Campos, uma vez que estes grupos são a base matemática para representarmos asideias f́ısicas para determinadas simetrias. Faremos um estudo sobre os principais gruposclássicos, porém voltaremos nossa atenção basicamente para o grupo de Lorentz e o grupode Poincaré. Quando trocamos as coordenadas generalizadas qk(t) para coordenadas decampos ψA(xµ), estamos trocando um sistema discreto por um sistema cont́ınuo cominfinitos graus de liberdade. A simetria para estas novas coordenadas, é feita com umteorema extremamente elegante e poderoso, que é o teorema de Noether. Estudaremosprincipalmente dois sistemas, campos escalares e campos vetoriais. Analisaremos em cadasistema as quantidades conservadas com o uso do teorema de Noether.

    Para definir uma simetria entre os campos escalares e vetorial introduziremos umasimetria de calibres global e local do grupo U(1), onde veremos a invariância da lagrange-ana somente para simetria global, e a necessidade de se introduzir um potencial quandoa simetria local é feita.

    Neste trabalho, usei como base principalmente as notas de aula do Professor RodrigoFerreira Sobreiro, baseada em um curso do Professor César Augusto Linhares da Fonsecajúnior na Universidade do Estado do Rio de Janeiro[1].

    1.1 Notação.

    As notações usadas foram as convencionalmente usadas em teoria de campos, utili-zamos também a convenção para somatórios de Einstein. Escolhemos a convenção de queı́ndices gregos vão de zero a três e ı́ndices latinos de um a três. Estaremos trabalhandocom o sistema de unidades naturais

    c = G = ~ = κ = . . . = 1, (1.1)

    ou seja, todas as constantes universais serão tidas como a unidade. A notação de derivadaparcial com relação a coordenada xµ de um objeto ψ que fora usada é

    9

  • CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 10

    ∂ψ

    ∂xµ= ∂µψ = ψ,µ. (1.2)

    Também foi usada a seguinte notação dxn = dx1dx2dx3dx4 . . . dxn

  • Caṕıtulo 2

    GRUPOS

    2.1 Introdução.

    Dois conceitos importantes em F́ısica são os de invariância e covariância. São im-portantes por estarem ligados diretamente à observação de um fenômeno f́ısico. Quandorealizamos uma transformação, ou uma mudança de referencial de observação, iremosprocurar se certas grandezas f́ısicas, como por exemplo a energia ou o momento, sãoinvariantes ou covariantes, ou seja, se elas mudam dado uma mudança no referêncial deobservação e como acontece esta mudança. A covariância é uma declaração sob o modo dese transformar destas gradezas f́ısicas, e as classifica perante seu caráter covariante. Umapergunta importante a ser feita é: estas grandezas f́ısicas terão este caráter sob que tipos detransformação? Para responder a pergunta anteriormente feita teremos que ter uma ideiasobre simetria. Uma grandeza que é invariante sob uma transformação será simétrica, jáuma que é covariante terá uma lei de tranfromação. Uma das maneiras de analisar sime-trias se dá através do estudo dos grupos de transformações. A conexão entre as grandezasf́ısicas e simetrias será feita pelas representações de cada grupo de transformação. Então,partiremos de uma situação real, que é a observação de um dado sistema, neste detecta-mos uma simetria, então associamos esta a um grupo de transformações. Isto levará a umespaço abstrato da álgebra deste grupo, que terá uma representação, e por fim nos traránovas informações reais sobre o sistema observado. Como exemplo ilustrativo podemoscitar o caso da propagação da luz. Ao estudar as equações de Maxwell, notamos umasimetria, esta simetria nos leva ao grupo de Lorentz, que terá uma representação onde seencaixa o fóton, mas terá outra representação onde se encaixa o elétron, outra onde seencaixa um quark et cetera.

    2.2 Postulados.

    Um conjunto de elementos A,B,C... forma um grupo G sob uma aperação (.) se oselementos podem ser combinados de tal forma a satisfazer quatro postulados:

    1. Identidade. Dentre os elementos do grupo existe 1 tal que para qualquer elementoA do grupo

    11

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 12

    A.1 = 1.A = A. (2.1)

    2. Fechamento. O produto de dois elementos do grupo corresponde a um elemento dogrupo. Seja A ∈ G e B ∈ G então,

    A.B = C ∈ G. (2.2)

    3. Inversa. Para todo elemento A do grupo existe um elemento inverso A−1 tal que

    A.A−1 = A−1.A = 1. (2.3)

    4. Associatividade. Se três ou mais elementos são combinados sob operação de multi-plicação, então a ordem da multiplicação é irrelevante, isto é

    A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C. (2.4)

    Para formar um grupo precisamos que todos estes postulados sejam satisfeitos. Po-demos ter uma coleção de elementos que seja finita, o que nos leva à um grupo finito. se,por outro lado, os elementos formarem um cont́ınuo então o grupo é dito grupo cont́ınuo.Além disto, se A.B = B.A dizemos que o grupo é Abeliano ou comutativo, caso contrárioé dito não-Abeliano, ou não-comutativo. Neste trabalho nos limitaremos a falar sobre osgrupos de Lie.

    2.3 Grupo de matrizes cont́ınuas.

    Uma matriz regular é uma matriz quadrada que possui inversa. Sob certas condições,pode-se mostrar que as matrizes quadradas n× n satisfazem os postulados mencionadosacima sob a operação (.).O grupo envolvendo matrizes cont́ınuas pode ser finito ou infinito,discreto ou cont́ınuo, e ter entradas reais Rn ou complexas Cn. Uma matriz regular de graun atuando em Rn ou em Cn irá produzir uma tranformação X → X ′ ou Z → Z ′ , onde X,X′ ∈ R e Z, Z ′ ∈ C, onde Zi = xi + iyi. Em F́ısica costumamos procurar transformações

    que deixam alguma forma funcional de X ou Z invariantes. Como por exemplo o caso deum espaço tridimensional Euclidiano, onde podemos considerar tranformação que deixax21 + x

    22 + x

    23 invariante.

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 13

    2.3.1 O grupo linear geral

    O grupo mais abrangente de matrizes lineares é o grupo linear geral GL(n,C) de ma-trizes regulares inverśıveis com entradas complexas de grau n. Uma matriz é caracterizadapor n2 elementos. Cada elemento pode conter uma parte real e uma parte imaginária. Avariação cont́ınua dos 2n2 elementos irá gerar um grupo de matrizes com 2n2 parâmetrosreais e de dimensão 2n2.

    2.3.2 O grupo unitário U(n)

    O conjunto de matrizes unitárias A de grau n com n2 elementos formam o grupounitário U(n), que deixa a forma hermitiana

    n∑i=1

    ZiZ∗i , (2.5)

    invariante. A unitariedade da matriz A é dada por

    A†A = 1, (2.6)

    ou, de forma equivalente

    aika∗ij = δij. (2.7)

    Portanto,

    |aij|2 6 1. (2.8)

    2.3.3 O Grupo unitário especial SU(n)

    Se limitarmos nossa atenção para matrizes unitárias de determinante +1 nós obtemoso grupo especial unitário SU(n) com (n2 − 1) parâmetros.

    2.3.4 O Grupo ortogonal O(n)

    O grupo de matrizes ortogonais de grau n formam o grupo ortogonal O(n) de n(n−1)/2 parâmetros. Este caso é na verdade o grupo U(n) para matrizes reais. Como AtA = 1temos

    ∣∣AtA∣∣ = ∣∣At∣∣ |A| = |A|2 = 1. (2.9)Logo temos que |A| = ±1.

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 14

    2.3.5 O Grupo ortogonal especial SO(n)

    Se voltarmos nossa atenção para as matrizes ortogonais porém com determinanteigual a 1 temos o grupo ortogonal especial SO(n), que deixa invariante a forma quadrática

    ρ =n∑i=1

    x2i .

    2.4 Exponenciais de matrizes

    Definimos a exponencial de uma matriz A pela série

    eA = 1 + A+A2

    2!+A3

    3!+ . . .

    =∞∑p=0

    Ap

    p!. (2.10)

    Onde A0 = 1.A seguir, apresentaremos algumas relações importantes para as exponenciais de

    matrizes.i. Se duas matrizes A e B são comutantes, então

    eA+B = eAeB. (2.11)

    ii. Se B é uma matriz regular de grau n, então

    BeAB−1 = eBAB−1. (2.12)

    iii. Se λ1, λ2, . . . , λn são autovalores de A, então os autovalores de eA são eλ1 , eλ2 , . . . , eλn

    iv. A série exponencial da matriz A definida pela equação (1.16) satisfaz as relaçõesusuais de funções exponenciais

    eA∗

    = (eA)∗, eAT

    = (eA)T ,

    eA†

    = (eA)†, eA−1

    = (eA)−1 = e−A. (2.13)

    v. O determinante de eA é etr(A).

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 15

    2.5 Parametrização dos elementos de um grupo

    Consederamos um grupo de matrizes regulares cont́ınuas não singulares com parâmetrosreais de grau n. Podemos escrever os elementos de uma matriz A deste grupo da forma

    aij = δij + αij. (2.14)

    Note que, se αij = 0, teremos a matriz A como sendo a identidade. Logo, podemostratar os αij como parâmetros independentes e gerar os elementos do grupo pela variaçãodos mesmos em torno da identidade, de tal forma que os elementos do grupo podem serrepresentados por r parâmetros αi tal que

    A = A(α1, . . . , αr), (2.15)

    onde 1 é caracterizada por 1 = A(0, . . . , 0).Uma vez feita a decomposição do grupo em parâmetros a partir da identidade,

    podemos tomar esta variação suficientemente pequena de tal maneira que podemos repre-sentar os elementos de A(α) no entorno da identidade por uma série de Taylor

    A(α) = A(0) + αk

    (∂A

    ∂αk

    )ak=0

    +1

    2αkαl

    (∂A

    ∂αk

    )ak=0

    (∂A

    ∂αl

    )al=0

    +O(α3)

    = A(0) + αkXk +1

    2αkαlXkXl +O(α3), (2.16)

    onde

    XK =

    (∂A

    ∂αk

    )ak=0

    . (2.17)

    São os geradores infinitesimais de grupo. Geradores de um grupo funcionam como umabase onde a álgebra do grupo será contruida. Se o elemento inverso A(α)−1 também podeser escrito na forma de uma expansão em torno da identidade, então podemos escrevê-locomo

    A(α)−1 = A(0)− αkXk +1

    2αkαlXkXl +O(α3). (2.18)

    Logo, teremos

    A(α)−1A(α) = A(0) +O(α2). (2.19)

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 16

    Vamos definir o comutador dos geradores Xk como sendo

    [Xk, Xl] = XkXl −XlXk = CmklXm. (2.20)

    Os objetos Cmkl são chamados constante de estrutura de um grupo de LieChamaremos de álgebra g de um grupo G a variação dos parâmetros de um

    grupo em torno da identidade, constitúıdas de seus geradores e constantes de estrutura.Os grupos de Lie de dimensão n definem um espaço de dimensão m, onde os vetorespertencentes a este espaço, se transformam sob a aplicação de um elemento deste grupode acordo com sua álgebra. Considere um elemento A de um grupo de Lie atuando em umcerto vetor ~v, como por exemplo rotações que deixam a norma de um vetor de invariante.Como vimos podemos condensar as informações de como o elemento A irá atuar em ~vna forma de exponencias de matrizes. Então podemos dizer que a tranformação que estevetor irá sofrer será dada pela aplicação de eα

    aXa . Então de maneira grosseira podemoscondensar nossa informação e dizer que temos grupo = ealgebra.

    2.6 Rotações. Os grupos O(3) e SO(3)

    Sejam Rij as entradas de uma matriz de rotação em três dimensões atuando em umvetor ~v = (v1, v2, v3) visto por um observador em O. O resultado da aplicação de Rij em~v, será visto por um observador em O′ , e será da forma

    x′

    i = Rijxj. (2.21)

    Uma rotação mantém a forma métrica invariante, logo,

    x′

    ix′

    i = xjxj. (2.22)

    Substituindo a forma de x′i temos,

    RijxjRikxk = xjxj, (2.23)

    que só será verdade se

    RijRik = δjk. (2.24)

    Logo podemos ver que as matrizes de rotações são ortogonais, ou seja, o grupo O(3).Destarelação temos ainda

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 17

    detR = ±1. (2.25)

    Pelo fato de termos detR = ±1 temos, além de rotações, inversões carcterizadas pordetR = −1. Portanto, para rotações com detR = 1 temos o grupo SO(3).

    Sabemos que o grupo O(n) tem n(n− 1)/2 parâmetros, então para o grupo O(3)teremos três parâmetros que irão caracterizar uma rotação em um espaço tridimensional.Tais parâmetros podem ser por exemplo três ângulos θ1, θ2 e θ3 em torno dos eixos x,y ez respectivamente dados pelas matrizes

    R1(θ1) =

    1 0 00 cos θ1 sin θ10 − sin θ1 cos θ1

    , (2.26)

    R2(θ2) =

    cos θ2 0 sin θ20 1 0− sin θ2 0 cos θ2

    , (2.27)

    R3(θ3) =

    cos θ3 sin θ3 0− sin θ3 cos θ3 00 0 1

    . (2.28)Agora vamos fazer uma variação infinitesimal nos parâmetros θi de forma que

    obtemos para θi � 1

    R1(θ1) =

    1 0 00 1 θ10 −θ1 1

    = 1 + iθ1 0 0 00 0 −i

    0 i 0

    , (2.29)

    R2(θ2) =

    1 0 θ20 1 0−θ2 0 1

    = 1 + iθ2 0 0 −i0 0 0

    i 0 0

    , (2.30)

    R3(θ3) =

    1 θ3 0−θ3 1 00 0 1

    = 1 + iθ3 0 −i oi 0 0

    0 0 0

    . (2.31)Então estas rotações infinitesimais podem ser escritas como

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 18

    Rk(θk) = 1 + iθkJk, Jk = −idRkdθk

    , J†k = Jk. (2.32)

    Vemos então que as matrizes J são os geradores do grupo SO(3). A algebra de Liedas matrizes J é dada por

    [Jm, Jl] = i�mlkJk. (2.33)

    Então, podemos escrever

    R (θk) = eJkθk . (2.34)

    2.7 O grupo SU(2)

    Vimos que o grupo SU(2) é composto por matrizes unitárias de grau 2 e det = 1, talque

    U †U = 1, detU = 1. (2.35)

    Sendo

    U =

    (a bc d

    ). (2.36)

    Temos pelas condições de unitariedade de U e de seu determinante

    U =

    (a b−b∗ a∗

    ), |a|2 + |b|2 = 1. (2.37)

    Temos então dois números complexos que caracterizam os parâmetros de SU(2), issonos da 4 parâmetros reais, restando 3 deles que definem o grupo. Pode-se mostrar que háuma correspondência entre os grupos SO(3) e SU(2), gerando uma álgebra para o grupoSU(2). A esta correspondência damos o nome de homomorfismo, onde os três parâmetroslivres são também três ângulos θ1, θ2, θ3, de forma que a matriz U pode ser escrita como

    Uk(θk) = ei2σkθk , (2.38)

    onde as σk são as matrizes de Pauli.

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 19

    2.8 O grupo de Lorentz

    Os elementos do grupo de Lorentz são as matrizes Λ que deixam o tensor métrico doespaço de Minkowski η invariante, tal que

    ΛtηΛ = η, (2.39)

    onde

    η =

    1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

    . (2.40)Desta relação vemos que a identidade é automaticamente satisfeita. A associatividade

    também é satisfeita pois estamos tratando de matrizes. Seja Λ̃ a inversa de Λ tal que

    Λ̃Λ = ΛΛ̃ = 1. (2.41)

    Agora multiplicando a relação de invariância de η pela direita por Λ̃ e pela esquerdapor Λ̃t temos

    Λ̃tΛtηΛΛ̃ = Λ̃tηΛ̃ =(

    ΛΛ̃)tη(

    ΛΛ̃)

    = 1η1 = η. (2.42)

    Logo

    Λ̃tηΛ̃ = η. (2.43)

    Verificaremos agora a propriedade de fechamento. Sejam Λ1 e Λ2 sucessivas tran-formações de Lorentz, e seja Λ tal que

    Λ1Λ2 = Λ. (2.44)

    Note que cada uma das tranformações Λ1 e Λ2 devem satisfazer a equação de in-variância de η. Calculando ΛtηΛ obetemos

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 20

    ΛtηΛ = (Λ1Λ2)t η (Λ1Λ2) = Λ

    t2Λ

    t1ηΛ1Λ2 = Λ

    t2ηΛ

    t1 = η. (2.45)

    Logo podemos dizer que as tranformações de Lorentz formam mesmo um grupo. Te-mos detΛ = ±1 e que −1 ≥ Λ00 ≥ 1. As tranformações com detΛ = 1 são chamadas detransformações próprias e as com detΛ = −1 são chamadas de transformações impróprias.As tranformações com Λ00 ≥ 1 são ortócronas. Já para as Λ00 ≤ −1 são as tranformaçõesant́ıcronas. Deste conjunto iremos tomar apenas as tranformações próprias e ant́ıcronas,pois somente com estas duas condições formamos o grupo de Lorentz restrito SO(1,3)que incorpora a identidade e tem a propriedade de fechamento. S é devido ao determi-nante ser unitário positivo, O devido a este grupo representar rotações e (1, 3) devidoà distinção entre 1 coordenada temporal e 3 coordeadas epaciais. Tendo consciência doabuso de linguagem chamaremos a partir de agora o grupo restrito de Lorentz apenaspor grupo de Lorentz. Para encontrar os geradores do grupo de Lorentz devemos tomaruma tranformação infinitesimal e estudar sua variação a partir da identidade. Seja umatranformação infinitesimal de Lorentz dada por

    Λµν = δµν + ω

    µν , (2.46)

    substituindo na equação de invariancia de η temos

    (δµν + ωµν ) ηµσ

    (δσρ + ω

    σρ

    )= ηνρ + ωρν + ωνρ = ηνρ, (2.47)

    onde desprezamos termos de ordem 2 em ω.Podemos concluir que

    ωρν = −ωνρ. (2.48)

    Esta relação nos dá 6 parâmetros independentes, como era de se esperar para o grupoSO(1,3). Podemos reescrever esta relação como

    Λµν = δµν −

    i

    2ωρσ (Σρσ)

    µν , (2.49)

    onde Σ são os geradores do grupo. Note que ω esta sendo escrito na base dos Σ umavez que os ı́ndices ν e µ são ı́ndices de linhas e colunas das matrizes geradoras do grupoenquanto, os ı́ndices ρ e σ identificam qual matriz geradora esta sendo combinada com ω.Outro fato a ser notado é que Σ é antissimétrica, e mesmo que não o fosse a contraçãocom ω faria permanecer somente a parte antissimétrica de Σ. Como estamos trabalhandocom grupos de Lie, garantimos também a hermiticidade de Σ.

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 21

    2.9 O grupo de Poincaré

    Uma transformação de Poincaré é dada por uma transformação de Lorentz seguidade uma translação no espaço-tempo de Minkowski

    x′µ = Λµνx

    ν + aµ. (2.50)

    As transformações de Poincaré formam o grupo ISO(1, 3) e seus elementos são descritospor (Λ, a). Vamos verificar os postulados de grupo. A identidade é automaticamentesatisfeita (Λ, a) = (1, 0). O elemento inverso e dado por (Λ−1,−Λ−1a) = (Λ−1,−a). Acompleteza verifica-se por

    x′= (Λ1, a1)x. (2.51)

    x′′

    = (Λ2, a2)x′= Λ2 (Λ1, a1)x+ a2 = (Λ2Λ1,Λ2a1 + a2)x = (Λ, a)x. (2.52)

    Mostrando assim que esta transformação forma um grupo.Os geradores do grupo de Lorentz podem ser escritos na forma de operadores de

    momento angular da seguinte maneira

    Σµν = −i (xµ∂ν − xν∂µ) . (2.53)

    Temos também que os geradores do grupo das translações quando são escritos comooperadores, tomam a forma dos operadores de momento na mecânica quântica, quandoescritos na representação das posições, tal que Pρ = −i∂ρ.

    Calculemos o comutador dos geradores do grupo de Lorentz, com os geradores dogrupo das translações. Para tal temos de aplicar este a um campo φ qualquer, uma vezque estão na forma de operadores

    [Pρ,Σµν ]φ = [−i∂ρ, i (xµ∂ν − xν∂µ)]φ= − [∂ρ (xµ∂ν − xν∂µ)− (xµ∂ν − xν∂µ) ∂ρ]φ= − [∂ρ (xµ∂ν)− ∂ρ (xν∂µ)− xµ∂ν∂ρ − xν∂µ∂ρ]φ= − [ηρµ∂ν + xµ∂ρ∂ν − ηρν∂µ − xν∂ρ∂ν − xµ∂ν∂ρ + xν∂µ∂ρ]φ= − [ηρµ∂ν − ηρµ∂µ]φ. (2.54)

    Portanto a álgebra do grupo de Poincaré é dada por

    [Pν , Pµ] = 0, (2.55)

  • CAPÍTULO 2. GRUPOS 22

    [Σµν ,Σρσ] = i (ηµσΣνρ + ηνρΣµσ − ηµρΣνσ − ηνσΣµρ) , (2.56)

    [Pρ,Σµν ] = − [ηρµPν − ηρµPµ] . (2.57)

  • Caṕıtulo 3

    TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS

    3.1 Introdução

    A interação a distância entre dois corpos, sempre foi objeto de estudo na F́ısica,desde a atração gravitacional entre dois corpos celestes no espaço, até a interação entredois quarks no interior de um hadron. Com o conceito de campo podemos entender comose dão estas interações. A Teoria Clássica de Campos é de extrema importância pois quasetodas as teorias de importância f́ısica podem ser colocadas na forma de campos. Maisainda, por este ser o primeiro passo para a segunda quantização, que é feita transformandoas variáveis de campos em operadores, construindo assim a Teoria Quântica de Campos.

    3.2 Rudimentos do cálculo funcional

    Considere um ponto qualquer y que esteja no interior Ω onde os campos e o sistemaestão descritos, e a variação δφ(y) neste ponto. Escrevemos

    δS[φ]

    δφ(y)=

    ∫dx4

    [∂L(x)∂φ(y)

    +∂L(x)∂φ(x), µ

    δ (∂µφ(x))

    δφ(y)

    ], (3.1)

    como sendo a derivada de S com relação a φ(y). Como por hipótese a variação é bemdefinida, escrevemos

    δφ(x)

    δφ(y)= δ4(x− y). (3.2)

    Onde δ4 é a “função” delta de Dirac. Isto significa que δ4(x − y) é a derivada funcionalde φ com respeito a si mesmo. A diferencial usual da função de várias variáveis f

    df =∑i

    ∂f

    ∂xidxi. (3.3)

    23

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 24

    A expressão (3.2) é análoga à djxi = δij. Note que a variação em x nada tem a ver com a

    variação em y, logo

    δ

    δφ(y)∂µφ(x) = ∂µ

    δ

    δφ(y)φ(x) = ∂µδ

    4(x− y). (3.4)

    A gora, a (3.1) pode ser escrita como

    δS[φ]

    δφ(y)=

    ∫dx4

    [∂L(x)∂φ(x)

    δ4(x− y) + ∂L(x)∂φ(x), µ

    ∂µδ4(x− y)

    ], (3.5)

    logo

    δS[φ]

    δφ(y)=∂L(y)∂φ(y)

    − ∂µ∂L(y)∂φ(y), µ

    . (3.6)

    Que nada mais é do que a equação de Euler-Lagrange para este ponto interno do domı́nioΩ.

    3.3 Formulação lagrangeana

    Para um sistema f́ısico discreto, sua descrição é feita por coordenadas generalizadasqk(t). Para um sistema cont́ınuo utilizaremos como coordenadas, as chamadas coordena-das de campo ψA(xµ)

    1. Onde A = 1, . . . ,M é um ı́ndice de campo, que irá considerartodos os campos do sistema f́ısico em questão, ao passo que µ = 0, 1, . . . , N é o ı́ndicedas coordenadas de espaço-tempo. Se estivéssemos tratando do eletromagnetismo porexemplo, A = 1, 2 poderia ser ~B, ~E e µ = 0, 1, 2, 3 seria t, x, y, z respectivamente.

    A lagrangeana de um sistema cont́ınuo unidimensional deve depender das coordenadasgeneralizadas de campo e, posśıvelmente suas derivadas no espaço e no tempo, alémdisso de uma forma mais geral pode também depender das coordenadas de espaço etempo. Como estamos tratando de um sistema cont́ınuo, as ideias apresentadas para aforma desta lagrangeana devem levar em conta seu caráter de assumir um valor em cadaponto do espaço. Pensando desta forma é razoável pensar que a lagrangeana do sistemadeverá ser escrita em termos de uma densidade langrangeanaL 2 integrada no intervalodo espaço-tempo em que estamos interessados. Então a forma mais geral posśıvel parauma lagrangeana será

    1De agora em diante, irei considerar impĺıcita a dependência do campo ψ em relação as variáveis xµ.Portanto ψA = ψA(xµ), e também por simplificação farei x = xµ, quando necessário, a distinção comrelação ao ı́ndices será feita.

    2Tendo em vista o abuso de linguagem, de agora em diante chamaremos a densidade lagrangeanaapenas de lagrangeana.

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 25

    L =

    ∫<dx3L

    (ψA, ∂µψ

    A, xµ). (3.7)

    Logo a ação deve ter a forma

    S =

    ∫Ω

    dΩL, (3.8)

    onde dΩ = dxn = dx0dx1dx2dx3dx4 . . .. Obteremos as equações de Euler-Lagrange,usando o prinćıpio de Hamilton.[4]

    Prinćıpio de Hamilton.Dado um sistema mecânico descrito pela lagrangeana (3.7),seu movimento do instante t1 ao instante t2 é tal que a ação (3.8) é mı́nima(mais geral-mente, estacionária) para a trajetória real, mantidos fixos os extremos da trajetória.

    O fato de a ação ser mı́nima implica em

    δS = δ

    ∫Ω

    dΩL =∫

    dΩδL = 0, (3.9)

    onde Ω representa uma região do espaço-tempo cuja borda permanece fixa. Então teremos

    δS =

    ∫Ω

    dΩ

    (∂L∂ψA

    δψA +∂L∂ψA,µ

    δψA,µ

    )= 0. (3.10)

    Queremos que a equação (3.10) seja em termos de δψA, pois este se anula na borda de Ω.Para tal faremos uma integração por pates na segunda parcela de (3.10), de forma que

    ∫Ω

    dΩ∂L∂ψA,µ

    δψA,µ = −∫

    dΩ∂µ

    (∂L∂ψA,µ

    )δψA. (3.11)

    Levando em (3.10) temos

    δS =

    ∫Ω

    dΩ

    [∂L∂ψA

    − ∂µ(∂L∂ψA,µ

    )]δψA = 0. (3.12)

    Note que esta expressão pode ser esccrita na forma da equação (3.2) da seguinte maneira

    δS[φ] =

    ∫dx4

    δS[φ]

    δφ(x)δφ(x). (3.13)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 26

    Como δψA se anula na borda de Ω, temos então pelo teorema fundamental do cálculo dasvariações

    ∂L∂ψA

    − ∂µ(∂L∂ψA,µ

    )= 0. (3.14)

    Que são as equações de Euler-Lagrange para campos. Note que tais equações são fun-damentais, valem em qualquer sistema de referência. Elas são resultado do prinćıpio deHamilton para uma região qualquer Ω do espaço-tempo.

    3.4 Teorema de Noether

    Quantidades conservadas em um sistema f́ısico são de grande valia para o entendi-mento de como se comporta o sistema. Nesta seção levaremos em conta, não somentevariações na borda de integração, como também variações no referencial de observação,e variações envolvendo apenas os campos. A invariância da ação tem portanto papelfundamental no estudo de teorias de campo. É o teorema de Noether que faz a conexãoentre simetrias e quantidades f́ısicas conservadas perante um grupo de tranformações. Oteorema de Noether, por sua vez, é independente do grupo de transformações que pode-mos fazer e gera diferentes quantidades conservadas para cada grupo, dáı sua importânciapara o estudo de teoria de campos.

    3.4.1 Transformações de coordenadas

    Seja x′µ = x

    ′µ(x). Isso implica em ψ

    ′A = ψ′A(ψA(x)

    ). Vamos definir agora as seguintes

    variações

    δxµ = x′µ − xµ, δψA(x) = ψ′A(x′)− ψA(x). (3.15)

    Logo temos como consequência δL = L′(x′)− L(x), onde

    L′(x′) = L′(ψ′A(x′), ∂′µψ′A(x

    ′), x

    ′, t′) e L(x) = L

    (ψA(x), ∂µψ

    A(x), x, t). (3.16)

    A variação definida por δ trata de quantidades calculadas no sistema xµ e x′µ esta-

    belecendo uma relação entre os dois sistemas de observação.Agora vamos definir a variação δ̃ como

    δ̃ψA(x) = ψ′A(x)− ψA(x). (3.17)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 27

    Note que, como em teoria de campos temos os campos como nossas variáveis, avariação δ̃ ’e feita somente nas coordenadas de campo, ambos ψA

    ′e ψA sendo calculadas

    no mesmo referencial. Note também que δ̃x = 0. Agora vamos escrever a variação δ̃ emtermos da variação δ

    δ̃ψA(x) = ψ′A(x)− ψA(x) + ψ′A(x′)− ψ′A(x′) = δψA(x) + ψ′A(x)− ψ′A(x′). (3.18)

    Mas sabemos que pela variação δxµ e xµ′

    estão relacionados da seguinte maneira

    x′µ = xµ + δxµ, (3.19)

    expandindo o termo em x′

    em série de Taylor até primeira ordem na variável xµ temos

    ψ′A(x

    ′µ) ≈ ψ′A(x′µ) + ∂µψ′A(x

    ′µ)(x′µ − xµ) = ψ′A(x′µ) + ∂µψ

    ′A(xµ)δxµ. (3.20)

    Então

    δ̃ψA(xµ) = δψA(xµ)− ∂µψ′A(xµ)δxµ, (3.21)

    mas

    ψ′A(xµ) = ψA(xµ) + δ̃ψA(xµ), (3.22)

    logo

    δ̃ψA(x) = δψA(x)− ∂µψA(x)δxµ. (3.23)

    Onde novamente desprezamos termos de segunda ordem em xµ.Vamos agora estudar a relação entre as variações δ e δ̃ com a divergência ∂µ. Come-

    cemos então mostrando que δ̃ comuta com ∂µ

    δ̃[∂µψA(xµ)] = ∂µψ

    ′A(xµ)− ∂µψA(xµ)= ∂µ(ψ

    ′A(xµ)− ψA(xµ))= ∂µδ̃ψ

    A(xµ), (3.24)

    logo

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 28

    [δ̃, ∂µ

    ]= 0. (3.25)

    Para a variação δ temos

    ∂µ[δψA(xµ)

    ]= ∂µ

    [ψ′A(x

    ′µ)− ψA(xµ)]

    = ∂µψ′A(x

    ′µ)− ∂µψA(xµ)= ∂µψ

    ′A(x′µ)− ∂µψA(xµ) + ∂

    µψ′A(x

    ′µ)− ∂′µψ′A(x

    ′µ)

    = ∂µψ′A(x

    ′µ) + δ[∂µψ

    A(xµ)]− ∂′µψ

    ′A(x′µ). (3.26)

    Mas pela regra da cadeia temos

    ∂µψ′A(x

    ′µ) = ∂µx′ν∂

    νψ′A(x

    ′µ). (3.27)

    Além disto temos

    ∂µx′ν = ∂µx

    ν + ∂µδxν = δνµ + ∂µδx

    ν . (3.28)

    Levando as equações (3.28) e (3.27) em (3.26) obteremos a relação de comutação dadapor

    [∂µ, δ] = ∂µδxν∂′

    νψ′A(x

    ′µ). (3.29)

    3.4.2 Teorema de Noether

    Teorema 3.4.1 (Teorema Noether). [1] Toda transformação de simetria cont́ınua leva auma lei de conservação.

    Para provarmos o teorema de Noether vamos variar a ação e impor a simetriasobre a mesma

    δS =

    ∫Ω

    dΩ′L′(x′)−

    ∫Ω

    dΩL(x) = 0. (3.30)

    Para passar das variável com linha para as variáveis sem linha usamos

    dΩ′= dΩ(1 + ∂µδx

    µ). (3.31)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 29

    Tal relação é proveniente do jacobiano da transformação, ao tomarmos somente termosem primeira ordem em δ. Portanto

    δS =

    ∫Ω

    dΩ(1 + ∂µδxµ)[L(x) + δL]−

    ∫Ω

    dΩL

    =

    ∫Ω

    dΩδL(xµ) +∫

    ∂µδxµL(xµ), (3.32)

    mas

    δL(xµ) = L′(x′µ)− L(x) e δ̃L(xµ) = L′(xµ)− L(xµ). (3.33)

    Combinando estas duas equações temos

    δL(xµ) = δ̃L(xµ) + L′(x′µ)− L′(xµ), (3.34)

    com

    δL(xµ) = δ̃L(xµ) + ∂µL(xµ)δxµ. (3.35)

    Então a variação da ação pode ser escrita como

    δS =

    ∫Ω

    dΩ[δ̃L(xµ) + ∂µL(xµ)δxµ + ∂µδxµL(xµ)

    ]. (3.36)

    Reescrevendo as duas últimas parcelas como a derivada de um produto temos

    δS =

    ∫Ω

    dΩ[δ̃L(xµ) + ∂µ (L(xµ)δxµ)

    ]. (3.37)

    Abrindo a operação δ̃ temos

    δ̃L = ∂L∂ψ

    +∂L∂ψA,µ

    δ̃ψA,µ, (3.38)

    mas fazendo uso das equações de Euler-Lagrange temos

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 30

    δ̃L = ∂µ(∂L∂ψA,µ

    δ̃ψA,µ

    ). (3.39)

    Assim δS toma a forma

    δS =

    ∫Ω

    dΩ∂µ

    [∂L∂ψA,µ

    δ̃ + Lδxµ]. (3.40)

    Escrevendo δ̃ como função de δ temos

    δ̃ψA = δψA − ∂νψAδxν . (3.41)

    Substituindo na variação da ação temos

    δS =

    ∫Ω

    dΩ∂µ

    [∂L∂ψA,µ

    (δψA − ∂νψAδxν

    )+ Lδxµ

    ]=

    ∫Ω

    dΩ∂µ

    [∂L∂ψA,µ

    δψA −(∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − δνµL

    )δxν], (3.42)

    mas δS = 0 por hipótese. Logo pelo teorema fundamental do cálculo das variações ointegrando deve se anular, uma vez que Ω é arbitrário, então

    ∂µ

    [∂L∂ψA,µ

    δψA −(∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − δνµL

    )δxν]

    = 0. (3.43)

    Esta equação mostra claramente um equação de continuidade para o que chamamos decorrente de Noether

    fµ =∂L∂ψA,µ

    δψA −(∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − δνµL

    )δxν . (3.44)

    Então a equação da continuidade para a corrente de Noether é da forma

    ∂µfµ = 0 (3.45)

    Com esta equação de conservação provamos o teorema de Noether.O termo entre parênteses não depende de variação dos campos, apenas nas co-

    ordenadas dado por δxµ. Assim este termo é definido como o tensor energia momentocanônico

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 31

    Θµν =∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − δνµL. (3.46)

    Os demais termos estão relacionados a transformações que influenciam na variação doscampos. Em termos do tensor energia momento a corrente de Noether toma a forma

    fµ =∂L∂ψA,µ

    δψA −Θµνδxν . (3.47)

    3.5 Invarância de Poincaré

    Antes de começarmos a tratar das transformações de Poincaré, iremos definir o queé um transformação de calibre.

    Definição 1. Uma transformação de calibre é tal, que diferentes configurações de campos,podem levar em quantidades observáveis idênticas.

    Ou seja, uma transformação de calibre, somente irá alterar, as configurações de campo,sem mexer nas coordenadas.

    Uma teoria de campos relativ́ıstica tem como postulados básicos:

    • Um campo genérico ψA obedece ao prinćıpio de Hamilton de mı́nima ação

    δ

    ∫Ω

    d4xL = 0. (3.48)

    Onde

    L = L(ψA, ∂µψA, x). (3.49)

    • A ação é invariante perante transformações de Poincaré.

    • A ação pode ser invariante perante transformações de calibre.

    Como estamos lidando agora com uma teoria relativ́ıstica o espaço deixa de ser umacoisa geral, pois temos que lidar com uma geometria 4-dimensional. Então temos umespaço de Minkowski com tensor métrico definido pela equação (2.40)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 32

    3.5.1 Translações

    Uma translação infinitesimal é definida por

    x′µ = xµ + Σµ. (3.50)

    Onde Σµ é um parâmetro infinitesimal. Como é uma tranformação que afeta apenas ascoodernadas temos ψ

    ′A(x) = ψA(x), então δψA(x) = 0.Podemos escrever a corrente de Noether como

    fµ = −ΘµνΣν . (3.51)

    Onde Θµνo tensor energia momento canônico dado por

    Θµν =∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − ηµνL. (3.52)

    Como os Σµ são arbitrários a conservação da corrente de Noether implica na con-servação do tensor energia momento canônico tal que

    ∂µΘµν = 0. (3.53)

    3.5.2 Transformações de Lorentz

    Uma transformação infinitesimal de Lorentz é definida como

    Λµν = δνµ + ω

    µν . (3.54)

    Onde ωµν é um parâmetro infinitesimal e antissimétrico. Onde a aplicação em xν gera

    x′µ = Λµνx

    ν = δµνxν + ωµνxν = x

    µ + ωµνxν , (3.55)

    logo

    δxµ = ωµνxν . (3.56)

    Uma transformação nos campos pode ser escrita em termos dos parâmetros infinite-simais ωµν e dos geradores do grupo de Lorentz. Onde esta toma a forma

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 33

    ψ′A(x

    ′) = ψA(x)− i

    2ωµν (Σµν)

    AB ψ

    B(x). (3.57)

    Onde como visto na seção (1.10) os Σµν são os geradores do grupo e dependem da naturezados campos. Partindo disto temos

    δψA(x) = − i2ωµν (Σµν)

    AB ψ

    B. (3.58)

    Então podemos escrever a corrente de Noether como

    fµ = − i2

    ∂L∂ψA,µ

    ωµλ(Σµλ

    )ABψB −Θµνωνλxλ. (3.59)

    Onde Θµν e xλ estão contráıdos com ωνλ que é antissimétrico logo só sobrará a parteantissimétrica de Θµνxλ, então antisimetrizando este fator temos

    Θµνxλ → 12

    (Θµνxλ −Θµλxν

    ). (3.60)

    Então a corrente de Noether associada a uma tranformação de Lorentz toma a forma

    fµ = ai

    2

    ∂L∂ψA,µ

    (Σµν)AB ψ

    B(x) +ωνλ2

    (Θµλxν −Θµνxλ

    )=

    1

    2ωνλ

    [Θµλxν −Θµνxλ − ∂L

    ∂ψA,µ

    (iΣνλ

    )ABψB]. (3.61)

    Temos Mµλν , que é antissimétrico em λ e ν, sob a forma

    Mµλν = Θµλxν −Θµνxλ + ∂L∂ψA,µ

    (iΣλν

    )ABψB. (3.62)

    Os parâmetros da transformação ω são arbitrários, então a corrente de Noether pode serescrita como

    ∂µMµλν = 0. (3.63)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 34

    O tensor Mµλν pode ser interpretado como o tensor de densidade de momento angulartotal canônico. Este nome fica claro quando escrevemos Mµλν como a soma de ummomento angular orbital e um momento de spin clássico. Para tal vamos substituir naequação (3.62) a expressão do tensor energia-momento canônico

    Mµλν = xν(∂L∂ψB,µ

    ∂λψB − ηµλL)− xλ

    (∂L

    ∂ψB,µ∂νψB

    − ηµνL+ ∂L∂ψB,µ

    )+

    ∂L∂ψA,µ

    (iΣνλ

    )ABψB

    =

    [xν

    ∂L∂ψB,µ

    ∂λ − xλ ∂L∂ψB,µ

    ∂ν +∂L∂ψB,µ

    (iΣνλ

    )AB

    ]ψB +

    (ηµνxλ − ηµλxν

    )L

    =

    [∂L∂ψB,µ

    (xν∂λ − xλ∂ν

    )+

    ∂L∂ψB,µ

    (iΣνλ

    )AB

    ]ψB +

    (ηµνxλ − ηµλxν

    )L

    =∂L∂ψA,µ

    [δAB(xν∂λ − xλ∂ν

    )+(iΣνλ

    )AB

    ]ψB +

    (ηµνxλ − ηµλxν

    )L. (3.64)

    Para uma interpretação que nos dê a ideia de momento angular façamos µ = 0, λ = i eν = j

    M0ij = ∂L∂ψ̇A

    [δAB(xj∂i − xi∂j

    )+(iΣij

    )AB

    ]ψB. (3.65)

    Separando em duas partes temos

    M0ij = J ij + S ij. (3.66)Onde interpretamos

    J ij = ∂L∂ψ̇A

    (xj∂i − xi∂j

    )ψB, (3.67)

    como a densidade de momento angular orbital. E o termo

    S ij = ∂L∂ψ̇A

    (iΣij

    )ABψB, (3.68)

    é interpretado como a densidade de momento de spin pois depende de caracteŕısticasintŕınsecas dos campos. Portanto a associação com o tensor M será

    Mµλν = J µλν + Sµλν (3.69)Onde J é associado ao momento angular orbital do campo e S é associado com o momentode spin do campo, tal que

    J µλν = Θµλxν −Θµνxλ, Sµλν = ∂L∂ψA,µ

    (iΣλν

    )ABψB. (3.70)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 35

    3.5.3 Transformações de Poincaré

    Para uma tranformação infinitesimal de Poincaré teremos

    δxµ = ωµνxν + aµ e QAB = −

    i

    2

    (Σρλ)ABωρλ. (3.71)

    A corrente de Noether será, para esta transformação,

    fµ =∂L∂ψA,µ

    (iΣρλ

    )ABωρλψ

    B −(∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − ηµνL)δxν

    = =i

    2Sµρνωρλ −

    (∂L∂ψA,µ

    ∂νψA − ηµνL)δxν . (3.72)

    Tomando a divergência de δxµ temos

    ∂ρ(δλ) = ωλν∂ρxν

    = ωλνδνρ

    = ωλρ

    = −ωρλ. (3.73)

    Então

    fµ = −Sµρλ∂ρ(δxλ)−Θµνδxν . (3.74)

    Mas o primeiro termo pode ser escrito na forma de derivada de um produto, logo

    fµ = −∂ρ(Sµρλδxλ

    )+ ∂ρSµρλδxλ − θµνδxν . (3.75)

    Tomando a divergência temos

    ∂µfµ = −∂µ∂ρ

    (Sµρλδxλ

    )+ ∂µ

    (∂ρSµρλδxλ

    )− ∂µΘµνδxν . (3.76)

    O operador derivada é simétrico enquanto o termo de spin não o é logo o primeiro termode ∂µf

    µ é zero, restando assim

    −∂µ [(−∂ρSµρν + Θµν) δxν ] = 0. (3.77)

  • CAPÍTULO 3. TEORIA CLÁSSICA DE CAMPOS 36

    Definindo o tensor energia-momento simétrico como

    T µν = Θµν − ∂ρSµρν . (3.78)

    Escrevendo a expressão para δxµ teremos

    −∂µ [T µν (ωνρxρ + aν)] = 0. (3.79)

    Note que há uma contração de T µνxρ com ωνρ que é anitissimétrico sobrando assimsomente a parte antissimétrica de T µνxρ

    ∂µ (T µν) aν + ∂µ1

    2(T µνxρ − T µρxν)ωνρ = 0. (3.80)

    Para mostrar que as divergências são independentes faremos a primeira parcela

    ∂µT µν = ∂µ (Θµν − ∂ρSµρν) . (3.81)

    O segundo termo é zero pela antissimetria de Sµρν o primeiro termo também será nulocom já vimos na equação (3.53). Como os parâmetros são arbitrários temos

    ∂µT µν = 0 e ∂µMµνρ = 0. (3.82)

    Onde

    Mµνρ = T µνxρ − T µρxν . (3.83)

  • Caṕıtulo 4

    O campo escalar

    4.1 Equação de Klein-Gordon e lagrangeana do campo

    escalar

    Uma vez feita abordagem sobre as tranformações infinitesimais em que levamosem conta aspectos relativ́ısticos, podemos agora aplicar este formalismo a campos re-lativ́ısticos. Para tal precisamos de equações que estejam na foma covariante, ou seja, quetraduzem as leis f́ısicas da mesma forma em todos os referênciais inerciais.

    Na mecânica quântica não relativ́ıstica a relação de dispersão é da forma

    E =P 2

    2m. (4.1)

    Onde P e E se tornam operadores, sob a forma

    p = −i∂j, E = i∂t. (4.2)

    Então aplica-se a uma função de onda Ψ, e temos a equação de Schroedinger livre

    (∂2j + i∂t

    )Ψ = 0. (4.3)

    Tal equação é um invariante de Galileu, mas não é invariante de Lorentz, o quedevemos fazer é obeter equações e langrangeanas que sejam invariantes de Lorentz pelamesma substituição de operadores. Na relatividade restrita a relação de dispersão parauma part́ıcula massiva é dada por

    pµpµ = m2. (4.4)

    37

  • CAPÍTULO 4. O CAMPO ESCALAR 38

    Aplicando a um campo φ(p) temos

    (pµpµ −m2

    )φ = 0. (4.5)

    Que é uma equação de campos clássica, a teoria quântica de campos é feita tomando oscampos como operadores, o que não faremos neste trabalho.

    Da relação pµ = i∂µ. Temos

    (∂µ∂µ +m

    2)φ(x) = 0. (4.6)

    Que vale tanto para campos reais quanto para campos complexos.Uma lagrangeana posśıvel para φ real, que obedece a equação de klein-Gordon

    tem a forma dada por

    L = 12∂µφ∂µφ−

    1

    2m2φ2. (4.7)

    Que tem equações de Euler-Lagrange dadas por

    ∂µ

    (∂L∂φ,µ

    )− ∂L∂φ

    = 0. (4.8)

    ∂L∂φ

    = −m2φ2. (4.9)

    ∂µ

    (∂L∂φ,µ

    )= ∂µ

    [∂

    ∂φ,µ

    (1

    2ηαβ∂αφ∂βφ

    )]= ∂µ

    [1

    2ηαβδµα∂βφ+

    1

    2ηαβ∂αφδ

    µβ

    ]= ∂µ

    [1

    2∂µφ+

    1

    2∂µφ

    ]= ∂µ∂

    µφ. (4.10)

    Verificando realmente que esta lagrangeana fornece a equação de Klein-Gordon.Para um campo escalar complexo teŕıamos

    L = ∂µφ∗∂µφ−m2φ∗φ. (4.11)

  • CAPÍTULO 4. O CAMPO ESCALAR 39

    Obedecendo então a

    (∂µ∂µ +m

    2)φ∗ = 0. (4.12)

    Um estudo bastante didático que podemos fazer neste momento é considear o campo

    φ =1√2

    (φ1 + iφ2) . (4.13)

    Então temos a lagrangeana dada por

    L = 1√2∂µ (φ1 − iφ2)

    1√2∂µ (φ1 + iφ2)−

    m2

    2(φ1 − iφ2) (φ1 + iφ2)

    =1

    2∂µ (φ1φ1 + φ2φ2)−

    m2

    2(φ1φ1 + φ2φ2)

    =1

    2∂µφiφi −

    m2

    2φiφi. (4.14)

    Logo concluimos que o campo escalar nada mais é do que dois campos reais de mesmamassa.

    4.2 O tensor energia-momento

    Como temos campos escalares

    φ′(x′) = φ(x). (4.15)

    Neste caso temos

    QAB = 0. (4.16)

    E ainda

    Sµνγ = 0. (4.17)

    o tensor energia-momento se escreve como

  • CAPÍTULO 4. O CAMPO ESCALAR 40

    T µν = θµν . (4.18)

    Que, considerando o campo complexo, temos

    T µν = ∂L∂φµ

    ∂νφ− ηµνL = ∂L∂φµ

    ∂νφ+∂L∂φ∗µ

    ∂νφ∗ − ηµνL. (4.19)

    Que fornece

    T µν = ∂µφ∗∂νφ+ ∂µφ∂νφ∗ − ηµν(∂σφ

    ∗∂σφ−m2φ∗φ). (4.20)

    Como exemplo, podemos calcular a densidade de energia

    T 00 = φ̇∗φ̇+ φ̇∗φ̇− φ̇∗φ̇+ ~∇φ∗.~∇φ+m2φ∗φ. (4.21)

    E também a densidade de momento

    T oi = φ̇∗~∇φ+(~∇φ∗

    )φ̇. (4.22)

  • Caṕıtulo 5

    O campo vetorial

    5.1 Campo vetorial massivo

    Para campos vetorias usaremos a lagrangeana de Proca, por conta desta se reduzirao eletromagnetismo quando m = 0. A lagrangeana de Proca é dada por

    L = −14FµνFµν +

    1

    2m2ψµψµ. (5.1)

    Onde o tensor intensidade de campo é definido como

    Fµν = ∂µψν − ∂νψµ. (5.2)

    Vamos obter as equações de campo utilizando as equações de Euler-Lagrange

    ∂L∂ψγ

    = m2ψγ. (5.3)

    ∂L∂ψγ,σ

    = −12

    ∂Fµν∂ψγ

    Fµν = −12

    ∂ψγ,σ(∂µψν − ∂νψµ)Fµν . (5.4)

    ∂L∂ψγ,σ

    = −12

    (δσµδ

    γν − δσν δγµ

    )Fµν = −1

    2(Fσγ −Fγσ) = Fγσ. (5.5)

    Resultando em

    ∂νFµν +m2ψµ = 0. (5.6)

    41

  • CAPÍTULO 5. O CAMPO VETORIAL 42

    Esta é a chamada equação de Proca. Tomando a divergência temos

    ∂µψµ = 0. (5.7)

    Que é uma consequência das equações de campo pela antisimetria de Fµν . Mas por outrolado se substituirmos a expressão de Fµν temos

    ∂ν∂νψµ − ∂ν∂µψν +m2ψµ = 0. (5.8)

    O segundo termo é zero como vimos, logo, as equações de campo são simplesmente asequações de Klein-Gordon para cada componente do campo

    (∂ν∂

    ν +m2)ψµ = 0. (5.9)

    Sujeitas ao v́ınculo

    ∂µψµ = 0. (5.10)

    O tensor energia-momento se escreve como

    T µν = ∂L∂ψρ,µ

    ∂νψρ − ηµνL − ∂ρSµρν

    = ∂νψρFµν − ηµν

    1

    4Fρσ − ηµν

    1

    2m2ψσψσ − ∂ρSµρν . (5.11)

    Vimos que o termo de spin se esreve como

    Sµρν = − i2

    [Fαµ (Σρν)αβ + Fαρ (Σνµ)

    αβ −Fαν (Σµρ)

    αβ

    ]ψβ. (5.12)

    E com

    (Σνµ)αβ = i

    (δαρ gβν − δαν gβρ

    ). (5.13)

    O spin de Proca toma a forma

    Sµρν = Fρµψν . (5.14)

  • CAPÍTULO 5. O CAMPO VETORIAL 43

    Tomando sua divergência temos

    ∂ρSµρν = ∂ρFρµψν + Fρµ∂ρψν . (5.15)

    Substituindo na expressão de T µν rearrumando e usando as equações de movimento temos

    Tµν = FµαFαν + ηµν1

    4FαβFαβ +m2ψµψν −

    1

    2m2ηµνψ

    αψα. (5.16)

    A densidade de energia é calculada da seguinte maneira

    T 00 = F0αFα0 +1

    4FαβFαβ +m2ψ0ψ0 −

    1

    2m2ψαψα

    = F0kFk01

    4FjkF jk +

    1

    4F0kF0k +

    1

    4Fk0Fk0 +m2ψ0ψ0 −

    1

    2m2ψ0ψ0 −

    1

    2m2ψkψk

    = F0kF0k + 14F jkF jk − 1

    2F0kF0k + 1

    2m2ψ0ψ0 +

    1

    2m2ψkψk

    =1

    2F0kF0k + 1

    4F jkF jk + 1

    2m2ψ0ψ0 +

    1

    2m2ψkψk. (5.17)

    Onde usamos a antissimetria de Fµν e o fato de que a mudança de posição de ı́ndicesespaciaisocorrem acompanhadas de um sinal negativo por conta da definição da métrica(2.40). A densidade de momento será

    T 0i = −(Fα0Fαj +m2ψ0ψj

    ). (5.18)

    5.2 Campo vetorial sem massa

    Seja a lagrangeana de Proca de um campo sem massa dada por

    L = −14FµνFµν . (5.19)

    As equações de campos se tornam

    ∂νFνµ = 0. (5.20)

    Neste caso se impormos o v́ınculo ∂µψµ=0 teremos a equação da onda como as equações

    de campo

  • CAPÍTULO 5. O CAMPO VETORIAL 44

    ∂ν∂νψµ = 0. (5.21)

    O tensor energia-momento se escreve como

    T µν = FµαFαν + ηµν1

    4FαβFαβ. (5.22)

    Seja agora uma transformação de calibre dada por

    ψµ → ψ − ∂µχ. (5.23)

    Onde χ = χ(x) é um campo escalar arbitrário. O campo escalar Fµν se tranforma como

    ∂µψν − ∂νψµ → ∂µψν − ∂µ∂νχ− ∂νψµ + ∂ν∂µχ. (5.24)

    portanto esta transformação de calibre deixa Fµν invariante. Fazendo uma tranformaçãode calibre no v́ınculo temos

    ∂µψµ → ∂µψµ − ∂µ∂µχ. (5.25)

    Isto implica em um v́ınculo de calibre da forma

    ∂µ∂µχ = 0. (5.26)

    Se quisermos que o novo campo também obedeça ao mesmo v́ınculo. Ou seja ψµ e χobedecem a mesma equação de onda. A corrente de calibre desta transformação é dadapor

    jµ =∂L

    ∂ψν,µδψν= −Fνµ∂νχ = Fµν∂νχ. (5.27)

    Tomando a divergência de jµ e usando as equações de movimento temos

    Fµν∂µ∂νχ = 0. (5.28)

    Este campo coincide exatamente com o campos eletromagnético fazendo a associaçãoentre ψµ e Aµ.

  • Caṕıtulo 6

    Teoria de calibre para o campoescalar

    6.1 Introdução

    Até agora fizemos estudos de campos livres, ou seja, onde não há interação, massabemos que na natureza, os atributos de sistema f́ısicos só podem ser medidos quandoobservamos sua resposta a uma perturbação exterior. Quando lidamos com um sistemade campos livres, podemos ter a necessidade de incluir outros campos quando certassimetrias são impostas. Veremos isto de forma expĺıcita quando tratarmos do campoescalar livre, ao fazermos uma simetria local será necessário a inclusão de um potencialcom as caracteristicas do quadri-potencial do eletromagnetismo Aµ.

    6.2 Teorema de Noether para simetria global

    Seja uma tranformação dada por

    φ′(x′) = eω

    aTaφ(x). (6.1)

    onde o parâmetro ωa é não depende das coordenadas xµ. Por este motivo esta trans-formação é chamada de transformação global.

    Sabemos que

    φ′

    i(x) = [δij + δωa(Ta)ij]φj(x)

    = φi + δωa(Ta)ijφj(x). (6.2)

    Em termos das tranformações (3.15), podemos escrever

    δxµ =δxµ

    δωaδωa, δφi(x) =

    δφi(x)

    δωaδωa. (6.3)

    45

  • CAPÍTULO 6. TEORIA DE CALIBRE PARA O CAMPO ESCALAR 46

    A varição (3.23) nos campos tornam-se

    δ̃φi(x) =

    [δφi(x)

    δωa− ∂µφi(x)

    δxµ

    δωa

    ]δωa. (6.4)

    Então de (6.2) temos

    δφi(x)

    δωa= (Ta)ijφj(x). (6.5)

    Levando as (6.3) e (6.4) em

    δS[φ] =

    ∫dx4

    [δL

    δφi(x)δ̃φi(x) + ∂µ

    (∂L∂φi,µ

    δ̃φi(x) + Lδxµ)]

    , (6.6)

    temos

    δS[φ] =

    ∫dx4

    [δL

    δφi(x)

    δ̃φi(x)

    δωa(x)+ ∂µ

    (∂L∂φi,µ

    δ̃φi(x)

    δωa(x)+ L δx

    µ

    δωa(x)

    )]δωa(x), (6.7)

    mas δS = 0, então

    δLδφi(x)

    δ̃φi(x)

    δωa(x)= −∂µ

    (∂L∂φi,µ

    δ̃φi(x)

    δωa(x)+ L δx

    µ

    δωa(x)

    ). (6.8)

    Como φi(x) é solução das equações de Euler-Lagrange temosδL

    δφi(x)= 0, logo

    ∂µJµa = 0, (6.9)

    onde

    Jµa =∂L∂φi,µ

    δ̃φi(x)

    δωa(x)+ L δx

    µ

    δωa(x). (6.10)

  • CAPÍTULO 6. TEORIA DE CALIBRE PARA O CAMPO ESCALAR 47

    6.3 Teorema de Noether para simetria local

    Para uma simetria local devemos ter δS[φ]δωa(x)

    = 0, logo

    δLδφi(x)

    δ̃φi(x) + ∂µ

    (∂L∂φi,µ

    δ̃φi(x) + Lδxµ)

    = 0. (6.11)

    Escrevendo de forma análoga a (6.7)

    δS[φ]

    δωa(y)=δL(x)δφi(x)

    δ̃φi(x)

    δωa(y)+ ∂

    [∂L(x)∂φi(x),µ

    δ̃φi(x)

    δωa(y)+ L δx

    µ

    δωa(y)

    ], (6.12)

    isto para um transformação local dada por

    φ′

    i(x′) = φi(x) + δω

    a(x)(Ta)ijφj(x). (6.13)

    Teremos então

    δ̃φi(x) = δωa(x)(Ta)ijφj(x). (6.14)

    Além disto devemos para assegurar a simetria, adicionar um potêncial de calibre da forma

    δ̃Aaµ(x) = fabcδω

    b(x)Acµ(x)− ∂µδωa. (6.15)

    Levando em conta que

    δ̃φi(x)

    δωa(y)= δ4(x− y)(Ta)ijφj(x) (6.16)

    e

    δAaµ(x)

    δωb(x)= fabcA

    cµδ

    4(x− y)− δab∂µδ4(x− y), (6.17)

    logo teremos

    δS[φ,A]

    δωa(y)=

    δLδφi(x)

    Taφi(y) +δLδAbµ

    fabcAcµ + ∂µ

    δLδaµ. (6.18)

  • CAPÍTULO 6. TEORIA DE CALIBRE PARA O CAMPO ESCALAR 48

    Mas δS[φ,A]δωa(y)

    = 0, então

    ∂µδL(y)δAaµ(y)

    +δL(y)δAbµ(y)

    fabcAcµ(y) = −

    δL(y)δφi(y)

    Taφi(x). (6.19)

    Seja Jµa (x) = −δL(x)δAaµ(x)

    , então podemos escrever

    ∂µJµa (x)− fabcAbµ(x)J cµ(x) = −

    δL(x)δφi(x)

    Taφ(x). (6.20)

    O lado esquerdo desta equação será definido como a derivada covariante de Jµa .

    6.4 Teoria de calibre para o campo escalar complexo

    Seja a lagrangeana do campo escalar complexo sob a forma (4.11). Façamos umatransformação de calibre global gerada por um elemento α de U(1) dada por

    φ→ φ′ = eiαφ, (6.21)

    φ∗ → φ′∗ = e−iαφ∗. (6.22)

    Note que esta lagrangeana é invariante sob estas transformações. A partir disto teremos

    δxµ

    δωa= 0,

    δ̃φ

    δα= iφ, e

    δ̃φ∗

    δα= −iφ. (6.23)

    Então

    Jµ = −i [φ∗∂µφ− φ∂µφ∗] . (6.24)

    Levando em conta as equações de Klein-Gordon (4.5) teremos

    ∂µJµ = 0. (6.25)

  • CAPÍTULO 6. TEORIA DE CALIBRE PARA O CAMPO ESCALAR 49

    Logo, podemos ver que esta lagrangeana tem a simetria de calibre global de U(1) que échamado campo de calibre. Assim como o teorema de Noether para uma simetria globalrequer, temos a divregência nula da corrente de Noether.

    Faremos agoa uma transformação de calibre local gerada por um elemento α(x) deU(1) dada por

    φ→ φ′ = eiα(x)φ, (6.26)

    φ∗ → φ′∗ = e−iα(x)φ∗. (6.27)

    Levando a uma variação da lagrangeana da forma

    L → L′ = (∂µ − iα∂µα)φ∗ (∂µ + iα∂µα)φ−m2φ∗φ. (6.28)

    O termo de massa permanece invariante, mas as derivadas tomam uma nova forma e otermo em ∂µα não deixa esta lagrangeana permanecer invariante. Para tal, tomemos umpotencial de calibre com as caracteŕısticas do quadri-potencial Aµ do eletromagnetismo,tal que

    Aµ → A′

    µ = Aµ − ∂µα, (6.29)

    que deixa invariante o tensor Fµν . A derivada usual passa a ser a derivada covarianteDµ = (∂µ + ieAµ), onde e é a carga elementar. Então vemos que há uma necessidade demudar a forma da lagrangeana, escreveremos esta sob a forma

    L = (Dµφ)∗Dµφ−m2φ∗φ−1

    4FµνFµν , (6.30)

    Onde o último termo é a lagrangeana do campo eletromagnético livre, e (Dµφ)∗ =

    (∂µ − ieAµ)φ∗. Observe que esta lagrangeana é invariante de calibre pelas transformações(6.26), (6.27) e (6.29). O tenosr energia momento para este sistema será

    Θµν = (Dµφ)∗ ∂νφ+ (Dµφ) ∂

    νφ∗ + Fµγ∂νAγ − ηµνL. (6.31)

    Note, que como era de ser esperado pelo prinćıpio de calibre, o observável Θµν é invariantesob as tranformações (6.26), (6.27) e (6.29).

  • Caṕıtulo 7

    Conclusão

    Ao longo deste trabalho vimos como simetrias são importantes em F́ısica. Da teoriade grupos aplicada a sistemas f́ısicos conseguimos introduzir não só simetrias e repre-sentações, mas como dar significado as mesmas. Podemos dizer através das diferentesrepresentações que as part́ıculas são objetos gerados pela simetria de um sistema f́ısico.Os números quânticos que caracterizam uma part́ıcula podem ser resultados de diferentessimetrias, como por exemplo um quark, que tem uma simetria relacionada com a cargade sabor, outra com o spin, outra com a craga de cor, et cetera. Quando trabalhamoso grupo de Poincaré, vimos que os postulados da relatividade geral passam a ser umaconsequência da geometria que usamos para montar este grupo, que são as translações etransformações de Lorentz, então temos as leis f́ısicas como sendo objetos que permane-cem invariantes, dada uma simetria. Usamos o teorema de Noether para estudar simetriasdos campos escalares e vetoriais, tal teorema foi de extrema importância, pela fato de nãodepender do grupo de tranformações que estamos trabalhando, nem o sistema de co-ordenadas considerado. Vimos que campos escalares tem termo de spin zero, logo sãoconsiderados como sistemas bosônicos, diferentemente de campos vetoriais que possuemmais graus de liberdade pois o termo de momento angular orbital e de spin é diferentede zero. Quando levamos em conta a expressão de um grupo de tranformação vimosnovas expressões geradas pelo teorema de Noether. Quando as tranformações de calibresfeitas foram globais, vimos uma expressão para a corrente de Noether chamada correntede calibre, que será diferente para cada gerador de grupo, associando então uma “carga”conservada para cada gerador. Quando levamos em conta tranformações de calibre locaisnão observamos mais uma quantidade conservada, mas sim uma condição de v́ınculo queé a de que a corrente definida por Jµa (x) = −

    δL(x)δAaµ(x)

    tenha derivada covariante zero.

    A simetria de calibre U(1) que aplicamos no campo escalar complexo nos revelou, quequando esta é feita de forma global a lagrangeana não se altera e temos uma correnteconservada. Porém quando nos propomos a fazer uma simetria de calibre local de U(1),não mais tivemos esta invariância, o fato de impormos que esta lagrangeana deve teruma simetria local para uma teoria de calibre, nos levou a introdução de um potencialda forma do quadri-potencial do eletromagnetismo, e uma nova forma da lagrangeanacom campos escalares complexos e com o termo que representa o campo eletromagnéticolivre é introduzida, tal lagrangeana é invariante sob as tranformações locais de calibre.Então vemos que o eletromagnetismo toma forma naturalmente quando levamos em conta

    50

  • CAPÍTULO 7. CONCLUSÃO 51

    estas transformações. Portanto assim como as part́ıculas que podem ser entendidas comouma manifestação geométrica de simetrias de certos sistemas, temos que o campo ele-tromagnético pode também ser entendido com uma manifestação puramente geométricaquando impomos uma simetria local do grupo U(1).

  • Caṕıtulo 8

    Bibliografia

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  • Referências Bibliográficas

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    [4] N. A. Lemos, Mecânica Anaĺıtica (Editora Livraria da F́ısica, São Paulo, 2007), 2a

    edição.

    [5] R. Aldrovandi e J. G. Pereira, Notes for a Course on Classical Fields (Notas de aula,2008)

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