Fundamentos de Mecânica Ondulatória

Ondas propagantes

Ondas• Ondas mecânicas

– precisam de um meio de propagação

• Ondas Eletromagnéticas– não precisam de um meio de propagação

(podem se propagar no vácuo).

• Ondas uni-dimensionais • Ondas bi-dimensionais• Ondas tri-dimensionais

• Ondas Transversais• Ondas Longitudinais

• Ondas progressivas• Ondas estacionárias

Ondas transversais e longitudinais

Direção do movimento

Ondas transversais e longitudinais

Timbre: composição harmônica e decaimento

Forma da frente de onda: esférica (esq.) e plana (dir.)

Ondas Progressivas:transversais e longitudinais

Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal- applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”

Propagação de um pulso transversal e um pulso longitudinal- applet Angel Garcia – applet “ondas-descripcion”

Geração de uma onda transversal e sua relação com o movimento circular: Norimari – applet ewave1

Ondas Progressivas e MCU

Ondas Progressivas

transversais e longitudinais

Qualquer ponto da corda oscila comMHS de amplitude ym ;

Onda se desloca por distância igual aocomprimento de onda vT) durante um período T;

Ou seja v = fT =

Os pontos que diferem por x = noscilam em fase.

Ondas Transversais: Função de Onday(x,t)=f(x,t)

y’(x’, t)=f(x’,t)

Sendo x’=x – vtpara pulso da esquerda p/ direita

y(x,t)=y’(x’,t)=f(x’)

y(x,t)=f(x-vt)

Se x-vt=cte vfase=dx/dt

Representação de uma onda transversalAmplitude x deslocamento e Amplitude x tempo

Como y(x) = y(x+nt a função de onda senoidal fica:

y(x,t) = ym sen [(2(x -vt)] = ym sen [k(x –vt)] y(x,t) = ym sen (k x - t + ) onde v = fk

Velocidade em uma onda

Dada a função de onda y(x,t) = ym sen (k x - t + )

Concavidade Aceleraçao

²y = -k2 ym sen(kx-t) ²y = -2 ym sen(kx-t)

x² t²

Concavidade Positiva Aceleraçao PositivaConcavidade Nula Aceleraçao NulaConcavidade Negativa Aceleraçao Negativa

Temos a Equação de Onda:

²y = v2 ²y onde v = fk

t² x²

Equação de Onda

Equação de Onda

F1y /F = - (dy/dx)x

F2y /F = (dy/dx)x+dx

Fy = F1y + F2y

Equação de OndaFy = F[(y/x)] (x + x) – F[(y/x)] (x)

Fy = Fx[ y (x + x) – y (x ) ] 1 x x x Fy = Fx ²y x²

Como Fres = mares Temos

Fy = Fx ²y = x ²y x² t²

²y = F ²y

t² x²

²y = ²y

x² F t²

²y = v²²y

x² t²

v² = F v = ( F/ )1/2

Ou seja, a velocidade depende das prop. do meio.

Na mudança de meio f1 = f2

V1 = V2

1 2

Energia em uma onda transversalPara propagar energia é preciso esticar a corda!!! Ou seja, é preciso realizar trabalho sobre os elementos da corda!

Energia PotencialW = F. L

onde L = [dl – dx] L = { [(dy)2 + (dx)2]1/2 - dx } L = {dx[1 + (dy/dx)2]1/2 - dx}

Em primeira aproximação (1+z)n = 1 + nz quando z << 1

L = { dx[1 + 1/2(dy/dx)2] - dx } L = { dx + [1/2(dy/dx)2]dx - dx } L = { [1/2(dy/dx)2]dx }

U = -F L = -F/2 (y/x)2 dx

Energia Cinética e Potência

K = (y/t)2 dx

P(x,t) = Fy vy = - F (y/x) (y/t) P(x,t) = y2

m v cos2[kx –t]

Mostrando que a potência é um número positivo e portantoa energia está fluindo o tempo todo pela corda.

Na média cos2[kx –t] = ½ tal que Pmed = (½) y2m v

QUESTÃO: Quanto vale K e U para um elemento de corda que se encontra em y(x,t) = ym?

Representação de uma Onda Longitudinal

onda de deslocamento s = smcos(kx - t) onda de variação de pressão Δp = Δpmsen(kx - t)

onda de variação de densidade Δ = Δ msen(kx - t)

Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal- applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”

Ondas longitudinais

Lembrando que a densidade é:

= m/V dm/V2)dV ddV/V) ddV/V

Sabendo que o módulo de compressibilidade volumétrica é:

B = -V p/V

onde B expressa a variação relativa de volume de um elemento de fluido submetido à uma variação de pressão temos:

p = -BdV/V) = B d

Ondas longitudinaisSuponha um elemento de fluido de área A e espessura x. Seu volume é dado por: V = A x

Quando uma onda de variação de pressão passa pelo elemento de fluido temos que a espessura varia de x para x’ = x(1+ds/dx)

Tal que a densidade seja dada por: ’m/A x’’m/[A x(1+ds/dx)]’m/A x) 1/[1+ds/dx]’o 1/[1+ds/dx]

Em 1a. Aprox.: (1+z)-1 = 1 –z +…

’o(1-ds/dx)

o ds/dx p = -B ds/dx

x’ = [x + x + s(x+x)] – (x+s(x,t)] x’ = x + s(x+x) - s(x,t) x’ = x [ 1+ds/dx]

Onda longitudinal

B = -V p/V

Logo a velocidade

v = (B/0 )1/2

v = (RT/M)1/2

Var << Vsólido

VT=0C < VT=20C