Fundamentos de Mecânica Conceitos: Propriedades ......Fundamentos de Mecânica –4300151 Prof. Renato F. Jardim –2020-2 1 Resumo: Posição, deslocamento e velocidade como vetores

Fundamentos de Mecânica – 4300151

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2

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Resumo:

Posição, deslocamento e velocidade como vetores

• A posição 𝒓 de um ponto que tem

coordenada x é dada por

𝒓 = 𝒙 Ԧ𝒊

• O vetor deslocamento Δ de um

objeto se movendo ao longo do eixo

x é

𝒓 = 𝒓𝒇 - 𝒓𝒊 = (xf – xi) Ԧ𝒊

• A velocidade média (vetorial) de

um objeto se movendo ao longo do

eixo x é

𝒗m = 𝒓𝒕

= (𝒙𝒇 − 𝒙𝒊)

(𝒕𝒇 − 𝒕𝒊)Ԧ𝒊

• É possível descrever um movimento através de uma

equação ou função horária, genericamente falando, do

tipo:

xf(t) = xi + vxΔt

xf(t) = xi + vx(tf – ti) , ou ainda

x(t) = x0 + v t

Onde xf = x, xi = x0, ti = 0 e tf = t, com a velocidade do

objeto sendo uma constante !



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Conceitos: Propriedades adicionais de velocidade

• Quando a velocidade de um objeto é

constante, seu gráfico de posição versus tempo

é uma linha reta. O gráfico de velocidade versus

tempo é uma linha horizontal.

• A velocidade instantânea de um objeto é sua

velocidade em qualquer instante particular.

• A inclinação da curva x(t) de um objeto em um

determinado instante é numericamente igual a

componente x da velocidade vx do objeto

naquele instante.

• A área sob a curva υx(t) do objeto durante um

intervalo de tempo é a componente x do

deslocamento do objeto durante esse intervalo

de tempo.

tempo

x

t

v = x/t

tempo



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Diz-se que um objeto está em movimento

uniforme se ele percorrer distâncias iguais em

intervalos de tempo iguais, não importa quão

pequenos esses intervalos de tempo possam ser.

Ao desenharmos um gráfico de posição versus

tempo para um movimento uniforme, o resultado

é uma linha reta !

Mas o mundo não é assim tão Uniforme quanto

parece e para avançar nesse conceito de não

uniformidade é necessário introduzir uma outra

grandeza importante na descrição do

Movimento: a aceleração !!!

Resumo

x(t)

t(s)

Movimento

Uniforme

x(t)

t(s)

Movimento

Não Uniforme



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Ferramentas Quantitativas:

Propriedades Adicionais da Velocidade

• A componente x da velocidade instantânea de um objeto é a

derivada da coordenada x do objeto em relação ao tempo:

vx = lim𝑡0

𝑥/𝑡

vx = 𝑑𝑥

𝑑𝑡= ⅆ𝑥/ⅆ𝑡



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Conceitos: Propriedades adicionais de velocidade

• Quando a velocidade de um objeto é constante, seu gráfico

de posição versus tempo é uma linha reta; o gráfico de

velocidade versus tempo é uma linha horizontal.

• A velocidade instantânea de um objeto é sua velocidade em

qualquer instante particular.

• A inclinação da curva x(t) de um objeto em um determinado

instante é numericamente igual a componente x da velocidade

do objeto naquele instante.

• A área sob a curva υx(t) do objeto durante um intervalo de

tempo t é a componente x do deslocamento do objeto

durante esse intervalo de tempo.

Resumo

posição versus tempo

tempo (h)

velocidade vetorial versus tempo

velocidade escalar versus tempo

tempo (h)

tempo (h)



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O que depende da escolha da

origem?

• Velocidade média

• Posição

• Deslocamento

• Velocidade escalar

• Velocidade instantânea

O resto depende apenas das

diferenças de posição 𝒓

Resumo

As diferenças entre distância percorrida e

deslocamento podem ser resumidas como segue:

Distância Percorrida Deslocamento

Depende do caminho percorrido Independente do caminho

percorrido

Sempre positiva Pode ser positiva ou negativa

É uma grandeza ESCALAR É uma grandeza VETORIAL

Retornando aos Movimentos não Uniformes !



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Uma abordagem baseada em dados


Observar a queda de um objeto Vamos medir a posição do

objeto versus tempo

• o que é possível descobrir ?

• (dados claramente não são

reais)



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Qual é o plano?

• ver o que é possível descobrir apenas com os

dados

• necessário um pouco de abstração - um modelo

de como a situação física se encaixa

• apresentar uma hipótese a partir dos dados

• o que o modelo pode prever?

• testá-lo


Qual é a hipótese?

• não temos grande intuição para o dia a dia

• a queda acontece muito rápido (tempo de espera ?)

• nenhum tempo tomado pode ser considerado muito preciso

• vamos tentar algo que parece plausível

A ideia é boa, mas equivocada !

Hipótese 1: para cada incremento de tempo Δt, o objeto “cai”

ou percorre a mesma distância Δx.

Se isso fosse verdade, o Δx deve ser o mesmo para intervalos

de tempo idênticos, ou Δx/Δt deve ser constante

(Sabemos agora que isso significa velocidade constante.)

Hipótese 1

• para cada incremento de tempo Δt, o objeto

“cai” ou percorre a mesma distância Δx.

• Como escrever isso matematicamente:

Δx ∝Δt ou Δx vs Δt é uma linha reta !

Vamos ver o que os dados nos informam

Acerca da Hipótese Possível 1 !!!



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A Hipótese 1 está equivocada. O objeto (irei dar um

nome !!!) “acelera” (tem sua x/t alterada, ou seja,

sua velocidade alterada) de maneira uniforme

enquanto experimenta a queda !

O que os dados nos informam ?

tempo distância taxa da distância alterada

Vamos olhar atentamente

• A taxa de mudança de posição aumenta

• Ou seja: a velocidade também aumenta

• Mas aumenta na mesma quantidade a

cada segundo!

• Sugere que sua taxa de variação é

constante (e de fato é !!!).


Vamos tentar uma

segunda hipótese !

10

10

10

10



10

Hipótese 2: A taxa (v/t) na qual a

velocidade varia é uma constante.

• Encontrar uma constante de movimento é

muito importante para a descrição de

qualquer tipo de Movimento (esse é o

pressuposto básico das chamadas leis de

conservação)!

• O que eu quero dizer: não importa o que

aconteça, essa “coisa constante” não é

alterada através do Movimento. Deve ser

um grande negócio para construir uma

teoria ou modelo.


Vamos tentar

De fato! Embora a posição e a velocidade

aumentam continuamente, a taxa v/t de

mudança da velocidade é constante.

Isso é aceleração: 𝒗𝒕

= 𝒕

(𝒙𝒕

) = 𝟐𝒙

𝒕𝟐=

𝐝𝟐𝒙

𝐝𝐭𝟐



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Aceleração

O que acabamos de descobrir?

1. Que a taxa de variação da velocidade é (essencialmente) constante para um objeto

em queda livre !

2. Sendo (1) verdadeiro, a velocidade de um objeto em queda livre aumenta

linearmente com o tempo, ou seja, v(t) t, ou ainda, de maneira genérica, pode ser escrita

como v = a t, onde a é uma constante

3. Chamamos a taxa de variação da velocidade v/t ou dv/dt de aceleração

4. Como v = x/t = dx/dt, ou ainda dx = v dt , isso significa que x(t) aumenta

quadraticamente através do movimento !

5. Vamos então estudar essa tal “aceleração” (grandeza vetorial), ou a taxa de variação

da velocidade em um Movimento !



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Aceleração

O objetivo agora é então estender a descrição do

movimento em uma dimensão para incluir

mudanças, alterações na velocidade.

Esse tipo de movimento é chamado de acelerado

e já não é denominado de Uniforme !



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• O movimento não uniforme de um objeto pode

ser descrito pelo conceito de aceleração. São

essencialmente três (03) situações, como ilustra a

Figura ao lado !

• O objetivo é então descrever a aceleração na

forma gráfica e matematicamente.

• Importante relembrar que a aceleração é o

resultado de uma taxa de variação da velocidade

em relação ao tempo diferente de Zero, ou seja,

𝑣𝑡

ou d𝑣

d𝑡 Zero

Aceleração

carro acelera na direção positiva de x

carro desacelera na direção positiva de x

carro desacelera na direção negativa de x



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Aceleração

Olhando para a Frente: Aceleração devido à gravidade

• Um objeto acelerando ao cair:

• A gravidade g é um grande negócio

• Perto da superfície da terra, o problema é

relativamente simples uma vez que g pode ser

assumida constante (~ 9,8 m/s2)

• Você aprenderá como explicar a influência da

gravidade em objetos que se movem nas vizinhanças

da superfície da Terra.



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Aceleração

• Generalização da “sequência de quadros”, que já

vimos !!!

• Aprendendo como exibir e interpretar o movimento

através da utilização, ou uso, de dados

• Como determinar a posição, deslocamento, velocidade

escalar, velocidade e aceleração de objetos ?



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Aceleração

• analisar o movimento observando os quadros

individuais de um clipe de filme gravado em

tempos igualmente espaçados (já vimos isso

antes, certo ?).

• A abordagem é viável, mas discreta, e portanto

limitada

• se apenas tivéssemos alguma matemática para

isso.....é possível avançar !



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Representações do Movimento

Examinando diferentes formas gráficas e

matemáticas de representar o movimento.

curva x(t)

x em unidades

de metros

t em unidades

de segundos

xf(t) = xi + vx(tf – ti)



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Aceleração

Um bom teste para verificar nossa

familiaridade com graficos

Qual figura ao lado poderia representar

o gráfico de velocidade versus tempo de

uma motocicleta cuja velocidade está

aumentando continuamente?

A magnitude de v (ou 𝒗 ) deve

aumentar (o sinal não é importante)

(a) (b)

(d)(c)



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Aceleração

Conceitos de Interesse

Mudanças na velocidade

Objetivos

• Definir a aceleração a partir da velocidade

• Identificar se um objeto está acelerando a

partir de várias representações gráficas

diferentes de movimento.

• Compreender as relações vetoriais entre

velocidade e aceleração.


• Se a velocidade de um objeto está sendo

alterada, o objeto está acelerando.

• A componente x da aceleração média, Ԧ𝑎xm,

de um objeto é a mudança na componente x da

velocidade, Ԧ𝑣xm, dividida pelo intervalo de

tempo durante o qual essa mudança ocorreu.

• A unidade SI de aceleração é m/s2.



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Aceleração


• Sempre que o vetor velocidade Ԧ𝑣 e o

vetor aceleração Ԧ𝑎 de um objeto apontam

na mesma direção, o objeto acelera.

• Se o vetor velocidade Ԧ𝑣 e o vetor

aceleração Ԧ𝑎 apontarem em direcoes

opostas, o objeto fica mais lento, é

desacelerado !

carro acelera na direção positiva de x

carro desacelera na direção positiva de x

carro desacelera na direção negativa de x



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• Para objetos em aceleração, a curva x(t)

não é uma linha reta.

• As figuras mostram curvas x(t) para dois

objetos em aceleração:

• Para cada objeto, considere os

deslocamentos Δx1 e Δx2 durante dois

intervalos de tempo iguais (Δt) mas em

intervalos de tempo diferentes.

• Se o deslocamento aumenta com a

evolução do tempo (Δx2 > Δx1), a

velocidade está aumentando.

• Se o deslocamento diminui com a

evolução do tempo (Δx2 < Δx1), a

velocidade está diminuindo.

Aceleração

vx = lim𝑡0

𝑥/𝑡

𝒕

𝒕

𝒕

𝒕



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Aceleração

t

t

v1 = 𝑥

1

𝑡

v2 = 𝑥

2

𝑡

x(t) com curvatura para cima ! x(t) com curvatura para baixo !

v2 = 𝑥

2

𝑡

v1 = 𝑥

1

𝑡

v2 > v1v2 < v1



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Aceleração


• A curvatura da curva (ou trajetoria) x(t) é uma

medida da componente x da aceleração (ax).

• Uma curvatura para cima corresponde a um

valor positivo de ax:

• A curva encontra-se acima da reta

tangente; mais rápido do que um

comportamento linear

• Uma curvatura para baixo corresponde a um

valor negativo de ax:

• A curva encontra-se abaixo da reta

tangente; mais lento que um comportamento

linear



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Aceleração devido à gravidade

• Identificar a gravidade como a causa da

aceleração vertical de um objeto que se

move próximo à superfície da Terra.

• Exibir os efeitos da gravidade de um

objeto usando diagramas de movimento.

• Modelar o caso idealizado de

movimento vertical na ausência de

outras influências, como a resistência do

ar, usando o conceito de queda livre.

• Um objeto caindo em linha reta em direção à

superfície da Terra: movimento acelerado.

• Uma bola caindo registrada em intervalos de

tempo iguais de 0,05 s.

• Os deslocamentos crescentes indicam que a

velocidade da bola aumenta à medida que ela “cai”:

a bola, então, acelera durante o movimento.



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Questão de Interesse

• A aceleração de um objeto ao cair

depende das características físicas do

objeto?

• Segure um livro e uma folha de

papel, cortados no mesmo tamanho do

livro, lado a lado 1 m acima do chão.

Segure o papel paralelo ao chão e o livro

com as capas paralelas ao chão e solte-os

no mesmo instante. Qual atinge o chão

primeiro? Agora coloque o papel em cima

do livro e repita a experiência. O que você

percebe?

• Fazer esse experimento em casa

• Observar o comportamento

• Descrever o comportamento observado



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• Qual é a magnitude da aceleração da gravidade

quando um objeto “cai”?

• pena versus pedra

• no vácuo, sem resistência do ar.

• a aceleração devido à gravidade não

depende das características físicas do objeto

• O movimento de um objeto sob

a influência apenas da gravidade

é chamado de queda livre.

• quais propriedades são mais fundamentais?

• quais são circunstanciais?


vácuo ar



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https://youtu.be/frZ9dN_ATew

Recomendo que assistam ao filme para observar a queda de objetos no vácuo !



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• Qual é a magnitude da aceleração da

gravidade quando um objeto cai?

• como da última vez, a posição x

tempo é alterada mais rapidamente

que linearmente

• o deslocamento entre tempos

adjacentes é linear

• portanto, a velocidade aumenta a

uma taxa constante durante o

movimento.


Procedimento dos “quadros” – já conhecido !



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• Qual é a magnitude da aceleração da

gravidade quando um objeto “cai”?

• sem resistência do ar, a magnitude

da aceleração de todos os objetos

em queda livre é de ~ 9,8 m/s2.

• O que isso significa? O tempo que

leva para cair de uma certa altura é o

mesmo para todos os objetos em

queda livre.


É possível avançar e

olhar para um outro

tipo de Movimento em

uma dimensão com

Aceleração constante !

Movimento de projétil

em uma dimensão

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