Embed Size (px)
Citation preview
fundamentos de
MODELAGEM NUMÉRICAem OCEANOGRAFIA
Joseph Harari
2015São Paulo
2015
EditoraçãoSALT | Sea & Limno Technology
DiagramaçãoDanilo Rodrigues VieiraThiago Marques Coelho
Capa:Leandro Inoe Coelho
Joseph Harari
fundamentos de
MODELAGEM NUMÉRICAem OCEANOGRAFIA
Catalogacao na Publicacao (CIP)
Ficha Catalografica feita pelo autor
H254f Harari, Joseph
Fundamentos de modelagem numerica em
Oceanografia / Joseph Harari. – Sao Paulo, 2015
246 p.; il., color; 21, 59× 27, 94 cm
ISBN 978-85-918934-0-9
1. Modelagem numerica. 2. Oceanografia.
I. Tıtulo.
CDD: 551.46
CDU: 556.5
Sumario
Sumario i
Lista de Figuras vi
Lista de Tabelas xii
Prefacio xiii
Introducao xiv
1 Conceitos basicos em Modelagem Numerica 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Metodo de diferencas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Diferencas finitas de alta ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Equacao da adveccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Estrutura de um modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Metodo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Validacao dos resultados de um modelo . . . . . . . . . . . . 13
2 Esquemas de diferencas finitas explıcitos, implıcitos e ite-
rativos 17
2.1 Equacao da difusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Esquemas de diferencas finitas explıcitos, implıcitos e iterativos 182.3 Solucao de esquemas implıcitos . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Complementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Analise de erros em modelos numericos 25
i
Sumario
3.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Metodo de von Neumann para analise de estabilidade . . . . 263.3 Analise de estabilidade para um esquema com 3 nıveis de tempo 303.4 Analise de estabilidade para um esquema implıcito . . . . . 313.5 Erros de dispersao computacional . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Erros associados ao modo computacional (ruıdo) . . . . . . . 353.7 Erros associados a difusao numerica . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Equacoes e suas condicoes de estabilidade. Equacoes com-
binadas e formulacoes 2D e 3D 44
4.1 Resumo das condicoes de estabilidade para solucoes da equacaoda adveccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Resumo das condicoes de estabilidade para solucoes da equacaoda difusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Equacao do decaimento—o metodo direto de analise de esta-bilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Equacao do oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5 Difusao e decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6 Solucoes para a equacao da adveccao–difusao–decaimento 1D 494.7 Exemplos de discretizacao de equacoes 2D e 3D . . . . . . . 50
5 Condicoes de contorno computacionais 58
5.1 Motivacao basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Possıveis solucoes computacionais para os contornos . . . . . 595.3 Consequencias das solucoes adotadas . . . . . . . . . . . . . 625.4 Modelagem considerando contornos continentais e ilhas . . . 665.5 Modelagem da dispersao para uma regiao geografica especıfica 68
6 Filtragens e instabilidade nao linear 73
6.1 Filtragem de resultados de modelo (no espaco) . . . . . . . . 736.2 Filtragem no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Instabilidade nao-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4 Possıveis solucoes para a instabilidade nao-linear . . . . . . . 80
7 Esquemas numericos de alta precisao 87
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 Equacao da adveccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ii
Sumario
7.3 Equacao da difusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4 “Splitting” (divisao ou parcelamento) . . . . . . . . . . . . . 105
8 Equacoes Elıpticas 107
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.2 Metodo da relaxacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.3 Relaxacao sequencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4 Super-relaxacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.5 Metodos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.6 Metodo da Eliminacao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9 Modelos numericos hidrodinamicos 1D 113
9.1 Solucao do sistema de equacoes de aguas rasas 1D simplificado(com condicoes de contorno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Solucao explıcita de primeira ordem para o sistema hidro-dinamico 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3 Solucao explıcita de segunda ordem para o sistema hidro-dinamico 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.4 Solucoes implıcita e semi-implıcita para o sistema hidro-dinamico 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.5 Solucao do sistema de equacoes de aguas rasas 1D com dissipacao125
10 Modelos Numericos Hidrodinamicos 2D 128
10.1 Equacoes hidrodinamicas basicas 2D . . . . . . . . . . . . . 12810.2 Modelo hidrodinamico 2D com solucao de primeira ordem no
tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.3 Modelo hidrodinamico 2D com solucao de segunda ordem no
tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.4 Solucoes implıcitas e semi-implıcitas para os termos de decai-
mento e difusao (com opcao nao linear para o decaimento) . 13310.5 Imposicao de condicoes iniciais e de contorno e a energia do
sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13510.6 Condicoes de estabilidade para a modelagem hidrodinamica 2D13710.7 Analise da dispersao para a modelagem 2D . . . . . . . . . . 14010.8 Modelagem hidrodinamica 2D considerando contornos conti-
nentais e ilhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.9 Equacoes basicas de modelos 2D simplificados . . . . . . . . 14210.10Modelagem 2D com a equacao da vorticidade . . . . . . . . 144
iii
Sumario
10.11Discretizacao da modelagem 2D com a equacao da vorticidade148
11 Gradeamento em modelos 2D 150
11.1 Grades alternadas (de Arakawa) . . . . . . . . . . . . . . . . 15011.2 Refinamento e aninhamento de grades . . . . . . . . . . . . . 15511.3 Tipos de grades: inclinadas, curvilıneas, irregulares e de
contorno terrestre variavel no tempo . . . . . . . . . . . . . 158
12 Metodos de iniciacao de modelos numericos 164
12.1 Iniciacao de modelos: metodo dos mınimos quadrados . . . . 16412.2 Iniciacao de modelos de equacoes primitivas . . . . . . . . . 16712.3 Modelagem hidrodinamica 2D para uma regiao geografica
especıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13 Equacoes hidrodinamicas basicas de modelo 3D 173
13.1 Equacoes basicas de modelo numerico hidrodinamico 3D . . 17313.2 Coeficientes de difusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613.3 Modelos de multi-camadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.4 Equacoes basicas de modelo 3D simplificado e insercao de
condicoes de contorno na superfıcie . . . . . . . . . . . . . . 17913.5 Discretizacao das equacoes basicas de modelo 3D simplificado 180
14 Modelos numericos hidrodinamicos 3D 185
14.1 Modelo de coordenadas z explıcito com 2 nıveis de tempo . . 18514.2 Modelo de coordenadas z explıcito com 3 nıveis de tempo . . 19014.3 Discretizacao de termos com formulacao implıcita . . . . . . 19314.4 Tipos de modelos 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
15 Separacao de modos; coordenadas verticais sigma, isopic-
nais e hıbridas 200
15.1 Separacao de modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20015.2 Coordenadas verticais sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20215.3 Coordenadas verticais isopicnais . . . . . . . . . . . . . . . . 20515.4 Coordenadas verticais hıbridas . . . . . . . . . . . . . . . . . 20815.5 Solucao espectral na vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20915.6 Modelagem hidrodinamica 3D para uma regiao geografica
especıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
16 Modelos atuais em Oceanografia 216
iv
Sumario
16.1 Modelos do transporte de sedimentos . . . . . . . . . . . . . 21616.2 Modelos de propagacao de ondas de superfıcie . . . . . . . . 21716.3 Modelos de qualidade da agua (Eulerianos e Lagrangeanos) . 21916.4 Modelos ecologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
17 O metodo de elementos finitos 225
17.1 Modelos numericos de elementos finitos 2D (verticalmenteintegrados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
17.2 Modelos numericos de elementos finitos 3D . . . . . . . . . . 234
Referencias Bibliograficas 242
v
Lista de Figuras
1.1 Grafico da funcao e derivadas, como calculadas ao final daexecucao do programa exp01 01diferencas finitas.m. . . . . . . . 7
1.2 Configuracao final do resultado do modelo exp01 02adv ordem01.m. 151.3 Configuracao final do resultado do modelo exp01 03adv ordem01.m. 16
2.1 Resultado do modelo exp02 01dif explic.m, com sinal retangularinicial na parte central da grade (em vermelho) e sua configuracaofinal devido a difusao (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Resultado do modelo exc02 04adv implic.m, com sinal retangularinicial na parte central da grade (em vermelho) e sua configuracaofinal devido a adveccao (em azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Solucao da equacao da adveccao de um sinal retangular que semove numa grade uni-dimensional a velocidade de 2 m/s (posicaoinicial do sinal assinalada em vermelho e posicao final em azul);(a) solucao analıtica: ao final de 300 s, o sinal se moveu 600 m; (b)erro de instabilidade: ao final de apenas 45 s, a solucao apresentaamplitudes erroneas; (c) erro de dispersao: a localizacao do sinaladvectado (em azul) e diferente da solucao analıtica (em preto),pois a velocidade de fase da solucao e diferente da analıtica; (d)existencia de modos computacionais (ruıdo) nos resultados domodelo; e (e) erro de difusao: a forma da solucao foi modificada. 27
3.2 Resultado do modelo exp03 01adv exp ord01.m. Adveccao de umsinal retangular inicialmente no centro da grade, com esquemaexplıcito e diferencas finitas de primeira ordem. . . . . . . . . . 38
vi
Lista de Figuras
3.3 Resultado do modelo exc03 01adv exp ord02.m. Adveccao de umsinal retangular inicialmente no centro da grade, com esquemaexplıcito e diferencas finitas de segunda ordem. . . . . . . . . . 39
3.4 Resultado do modelo exc03 02adv implic ord01.m. Adveccao deum sinal retangular inicialmente no centro da grade, com esquemaimplıcito e diferencas finitas de primeira ordem no tempo e noespaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Resultado do modelo exc03 03adv implic ord02.m. Adveccao deum sinal retangular inicialmente no centro da grade, com esquemaimplıcito e diferencas finitas de segunda ordem no tempo e noespaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Resultado do modelo exc03 04adv semi implic ord01.m. Ad-veccao de um sinal retangular inicialmente no centro da grade,com esquema semi-implıcito e diferencas finitas de primeira ordemno tempo e no espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Resultado do modelo exc03 05adv semi implic ord02.m. Ad-veccao de um sinal retangular inicialmente no centro da grade,com esquema semi-implıcito e diferencas finitas de segunda ordemno tempo e no espaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Resultado do modelo exp04 01adv dif 2d bx ord.m. Adveccao edifusao 2D com esquema de baixa ordem. . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Resultado do modelo exc04 02adv dif 2d alta ord.m. Adveccaoe difusao 2D com esquema de alta ordem. . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Resultado do modelo exp04 02adv dif dec 2d.m. Simulacao doprograma de adveccao–difusao–decaimento 2D, aplicado a con-centracao inicial de poluente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Resultado do modelo exc04 03adv dif dec 3d.m. Simulacao doprograma de adveccao–difusao–decaimento 3D, aplicado a des-carga contınua de poluente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Resultado do modelo exp05 01adv cc rig.m. Configuracao dosinal senoidal modelado apos reflexao no final da grade, devidoao uso de condicao de contorno na forma de parede rıgida. . . . 65
5.2 Resultado do modelo exc05 01adv cc grad.m. Configuracao dosinal senoidal modelado com o uso de condicao de contorno naogradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
vii
Lista de Figuras
5.3 Resultado do modelo exc05 02adv cc extrap.m. Configuracaodo sinal senoidal modelado com o uso de condicao de contornocorrespondente a extrapolacao linear de resultados do modeloem pontos internos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Resultado do modelo exc05 03adv cc lat.m. Configuracao dosinal senoidal modelado com o uso de condicao de contornocorrespondente a diferenca finita lateral. . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Resultado do modelo exp05 02dif cc rig.m. Configuracao dosinal retangular submetido a difusao com o uso de condicao decontorno na forma de parede rıgida (nas duas extremidades dagrade). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Resultado do modelo exc05 10dif cc rad.m. Configuracao dosinal retangular submetido a difusao com o uso de condicao decontorno radiacional (nas duas extremidades da grade). . . . . . 70
5.7 Resultado do modelo exc05 10dif cc rad.m. Configuracao dosinal retangular submetido a difusao com o uso de condicao decontorno radiacional (nas duas extremidades da grade). . . . . . 71
5.8 Resultado da simulacao do modelo exp05 04disp reg geog.m,com adveccao–difusao–decaimento 2D na Baıa da Guanabara,aplicado a descarga contınua de uma substancia na regiao. . . . 72
6.1 Resultado do modelo exp06 01filtros1d.m. Funcao 1D (em azul)e sua filtragem, com e sem ponderacao (em verde e vermelho,respectivamente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Resultado do modelo exp06 03adv ord01.m. Adveccao de umsinal 1D com solucao numerica de 1a ordem, com monitoramentoda conservacao (em vermelho, a condicao inicial). . . . . . . . . 82
6.3 Resultado do modelo exc06 02adv ord02.m. Adveccao de umsinal 1D com solucao numerica de 2a ordem, com monitoramentoda conservacao (em vermelho, a condicao inicial). . . . . . . . . 83
6.4 Resultado do modelo exc06 03adv dif ord02.m. Adveccao de umsinal 1D com solucao numerica de 2a ordem, com monitoramentoda conservacao e controle do ruıdo computacional atraves dedifusao (em vermelho, a condicao inicial). . . . . . . . . . . . . 84
6.5 Resultado do modelo exc06 04adv filt continua ord02.m. Ad-veccao de um sinal 1D com solucao numerica de 2a ordem, commonitoramento da conservacao e controle do ruıdo computacionalatraves de filtragem contınua (em vermelho, a condicao inicial). 85
viii
Lista de Figuras
6.6 Resultado do modelo exc06 05adv filt period ord02.m. Adveccaode um sinal 1D com solucao numerica de 2a ordem, com mo-nitoramento da conservacao e controle do ruıdo computacionalatraves de filtragem periodica (em vermelho, a condicao inicial). 86
7.1 Resultado do modelo exp07 01adv ordem01.m. Adveccao de umsinal retangular com esquema de 1a ordem no espaco. . . . . . . 89
7.2 Resultado do modelo exc07 01adv ordem03filt5.m. Adveccaode um sinal retangular com esquema de 3a ordem no espaco (efiltragem periodica dos resultados). . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Resultado do modelo exc07 03adv quick.m. Aplicacao do es-quema QUICK para a adveccao de um sinal 1D retangular. . . . 96
7.4 Resultado do modelo exc07 04adv quick filt3p.m. Aplicacao doesquema QUICK para a adveccao de um sinal 1D retangular,com filtragens periodicas dos resultados do modelo. . . . . . . . 97
8.1 Resultado do modelo exp08 01eq helmoltz.m. Solucao da equacaode Helmholtz, para funcao constante no contorno. . . . . . . . . 112
9.1 Esquema de grade alternada para pontos tipo η e u com suanumeracao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2 Resultado do modelo exp09 01hidr1d 01.m. Distribuicoes deelevacao e correntes calculadas pelo modelo hidrodinamico 1Dforcado por oscilacao harmonica no ponto inicial da grade, aofinal de 30 minutos de simulacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.1 Grade 2D alternada, para os pontos tipo η, U e V , definicao dosespacamentos de grade e numeracao dos pontos de grade. . . . . 130
10.2 Resultado do modelo exp10 01hidr2d 01.m. Exemplo de resul-tado de modelo numerico hidrodinamico 2D forcado por ventode Sudoeste, com elevacoes (esquerda) e correntes (direita) aofinal de 10 minutos de simulacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.1 Grades de Arakawa, dos tipos A (nao alternada) e B, C, D e E(alternadas). Note-se que, em geral, ao utilizar grades alternadas,se consideram os mesmos ındices (j, k) para cada trio de pontos
η, U e V (como apresentado no Capıtulo 10). Somente no estudo
comparativo de grades deste Capıtulo 11 e que serao utilizados ındices
(j, k) para cada posicao ao longo dos eixos (x, y). . . . . . . . . . . 151
ix
Lista de Figuras
11.2 Relacoes de dispersao analıtica (11.6) e referentes as grades deArakawa A–E (equacoes 11.8 a 11.12). . . . . . . . . . . . . . . 154
11.3 Aninhamento de grade em sub-regiao de interesse. . . . . . . . . 15511.4 Aninhamento de grades e processamento com influencia nos dois
sentidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15611.5 Grades principal e aninhada (alternadas) e numeracao de seus
pontos, com ındices J,K (maiusculas) referentes a grade maior eındices j, k (minusculas) referentes a grade menor. . . . . . . . . 157
11.6 Exemplo de grade inclinada. GP: grade principal; A1: gradeaninhada 1 e A2: grade aninhada 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.7 Exemplo de grade curvilınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.8 Exemplo de grade irregular (com espacamento variavel ∆xjk). . 16011.9 Grade alternada com contorno terrestre variavel no tempo, for-
mada por pontos tipo u (−) e η (+), nesta ordem, com um ındicej para cada par de pontos u, η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.1 Grade e pontos (×) de coordenadas x0 e y0 com medicoes f0a serem usadas no ajuste de mınimos quadrados para imporcondicoes iniciais no processamento de um modelo. . . . . . . . 166
12.2 Resultado do modelo exp12 01hidr2d 01baia.m. Exemplo decalculo de modelo numerico hidrodinamico 2D numa regiao semi-fechada, forcado por vento de Sudoeste, com elevacoes (esquerda)e correntes (direita) ao final de 10 minutos de simulacao. . . . . 170
12.3 Resultado da simulacao do modelo exc12 04hidr2d reg geog.m,com elevacoes da superfıcie e correntes medias na vertical, naBaıa da Guanabara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
13.1 Esquema de modelo de duas camadas. . . . . . . . . . . . . . . 17713.2 Resultado do modelo exp13 01hidr3d 01.m. Exemplo de calculo
de modelo numerico hidrodinamico 3D numa regiao fechada,forcado por vento de Sudoeste, com elevacoes (esquerda) e cor-rentes em varios nıveis (direita) ao final de 30 minutos de simulacao.184
14.1 Parte x, y da grade alternada tri-dimensional x, y, z: + pontostipo η, − pontos tipo u e | pontos tipo v (elipses delimitampontos com mesmos ındices j, k). . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
x
Lista de Figuras
14.2 Parte x, z da grade alternada tri-dimensional x, y, z: + pontostipo TS, − pontos tipo u e | pontos tipo w (elipses delimitampontos com mesmos ındices j, l). Os coeficientes de difusaovertical sao referentes aos pontos tipo w. . . . . . . . . . . . . . 197
14.3 Parte y, z da grade alternada tri-dimensional x, y, z: + pontostipo TS, − pontos tipo v e | pontos tipo w (elipses delimitampontos com mesmos ındices k, l). Os coeficientes de difusaovertical sao referentes aos pontos tipo w. . . . . . . . . . . . . . 198
14.4 Grade alternada tri-dimensional x, y, z completa. . . . . . . . . 199
15.1 Modelos de grades com coordenadas verticais sigma, sobre ummonte submarino (a cima, incluindo nıveis z) e de uma regiaocosteira para uma area profunda (a baixo). . . . . . . . . . . . . 203
15.2 Esquema de coordenadas hıbridas, passando de coordenadasisopicnais (densidades ρ) para coordenadas de nıvel e para coor-denadas sigma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
15.3 Resultado da simulacao do modelo exc15 01hidr3d reg geog.m,com elevacoes da superfıcie e correntes na superfıcie, na Baıa daGuanabara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
17.1 Grades de modelos de elementos finitos, de baixa resolucao (a) ealta resolucao (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
xi
Lista de Tabelas
1.1 Evolucao dos espacamentos de grade utilizados em modelosnumericos em Oceanografia no decorrer das ultimas decadas. . . 3
1.2 Diferencas finitas no espaco x e no tempo t, de 1a e 2a ordens,de 2 e 3 pontos, laterais (avancadas ou retardadas) e centradas. 6
1.3 Nıveis de tempo e representacao da variavel f na forma matricial. 9
4.1 Resumo das condicoes de estabilidade para a equacao da adveccao. 454.2 Resumo das condicoes de estabilidade para a equacao da difusao. 454.3 Resumo das condicoes de estabilidade para a equacao do decai-
mento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Resumo das condicoes de estabilidade para a equacao do oscilador. 48
6.1 Caracterısticas de modelos lineares e nao lineares quanto aosnumeros de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
15.1 Esquemas de modelos 3D, 2D e 3D′. . . . . . . . . . . . . . . . 201
xii
Prefacio
Este livro e produto de muitos anos ministrando cursos de Modelagemnumerica em Oceanografia no Instituto Oceanografico da Universidade deSao Paulo, desde 1982, ao nıvel de graduacao, pos-graduacao e especializacao.
Tenho a agradecer imensamente a muitas turmas de alunos que sededicaram a este aprendizado e me proporcionaram enorme experiencia deensino nesta area do conhecimento. Sem as correcoes, crıticas, observacoes esugestoes dos alunos esta obra nao seria concretizada.
Agradeco tambem a meus professores e docentes colegas da universidade,por seus ensinamentos e constantes trocas de informacoes e experiencias.Agradeco em especial a meus orientadores, Alm. Alberto dos Santos Franco(in memoriam) e Prof. Dr. Afranio Rubens de Mesquita, e meu colega deinumeras pesquisas, Prof. Dr. Ricardo de Camargo.
Agradeco aos funcionarios e tecnicos do Instituto Oceanografico daUniversidade de Sao Paulo, pelo apoio permanente em minhas atividades deensino e pesquisa, especialmente a Sra. Vanilde Ferreira de Oliveira.
Um agradecimento especial e dirigido a meus familiares, que tanto meapoiaram em todas as fases de minha carreira academica, meus pais CesarYoussef Harari ״ל) (ז e Rachel Harari ״ל) ,(ז minha irma Camille Harari, meussogros Chyia Szajnbok e Dvorah Szajnbok, meus filhos Rachel SzajnbokHarari e Cesar Szajnbok Harari e, especialmente, minha querida esposaGina Szajnbok Harari, autora de diversas cuidadosas revisoes do texto.
Finalmente, agradeco a Deus Todo Poderoso, Criador do Universo,fonte da sabedoria que permite aos homens desenvolverem as ciencias e oconhecimento do Universo.
Joseph HarariSao Paulo, 2015
xiii
Introducao
Este livro tem como objetivo apresentar os conceitos basicos e as tecnicasutilizadas na modelagem numerica em Oceanografia. Pode ser utilizado emcursos de varios nıveis—como graduacao, pos-graduacao ou especializacao—dependendo do grau de aprofundamento determinado pelos professoresresponsaveis em cada topico abordado.
Na parte inicial do livro sao apresentados os conceitos basicos em mo-delagem numerica em Oceanografia, esquemas de diferencas finitas, analisede erros em modelos numericos, determinacao de condicoes de estabilidade,imposicao de condicoes de contorno em modelos e utilizacao de filtragens deresultados de modelo.
Ao final da parte introdutoria, se encontram esquemas numericos de altaprecisao, solucoes de equacoes elıpticas e modelos numericos hidrodinamicos1D (em uma dimensao, ao longo de um canal, por exemplo).
Na parte final do livro, sao apresentados numericos hidrodinamicos 2D(em duas dimensoes, verticalmente integrados), com a utilizacao de gradescobrindo as regioes modeladas e metodos de iniciacao de modelos numericos;a seguir, sao analisados modelos numericos hidrodinamicos 3D (em tresdimensoes), com varios tipos de solucao na vertical.
Como complementacao, sao apresentados, em linhas gerais, modelosatuais em Oceanografia, como por exemplo modelos do transporte de sedi-mentos, modelos de propagacao de ondas de superfıcie, modelos de qualidadeda agua, modelos ecologicos e, finalmente, o metodo de elementos finitos(em duas e tres dimensoes).
Em cada capıtulo, sao fornecidos exemplos e exercıcios com solucoes, emlinguagemMATLAB r©. Os exemplos sao identificados como expCAP numeronome.me os exercıcios como excCAP numeronome.m, onde CAP e o numero de
xiv
identificacao do capıtulo e numeronome contem o numero e a identificacaodo exemplo ou exercıcio.
E altamente recomendavel que alunos e usuarios do livro tentem resolveros exercıcios antes de consultar as solucoes apresentadas. Os exemplose exercıcios foram organizados de forma simples e didatica, evitando-seotimizacoes exageradas e procurando facilitar o seu entendimento pelosusuarios. Tambem nao foram elaborados com a finalidade de uso imediatoem analises oceanograficas, porem podem vir a ser usados com este objetivo,desde que sejam ajustados os coeficientes e parametros de cada programapara as aplicacoes desejadas, e que seus resultados sejam devidamentecomparados com medicoes ou informacoes independentes.
Finalizando, e solicitado aos leitores deste livro que encaminhem ao autorcorrecoes, aprimoramentos, comentarios e sugestoes, para que o mesmo possaser continuamente aprimorado e possa ser de utilidade a alunos interessadosnas aplicacoes da modelagem numerica em Oceanografia.
xv
1
Conceitos basicos em ModelagemNumerica
1.1 Introducao
O metodo cientıfico consiste em quatro etapas:
1. observacao de um fenomeno;2. medicao de parametros, de modo a quantificar o fenomeno;3. elaboracao de teorias para explicar o fenomeno;4. reproducao do fenomeno em laboratorio ou sua previsao.
Como exemplo da aplicacao da metodologia cientıfica, em meteorologia,sao observados perıodos de frio em latitudes medias da America do Sul; saorealizadas medicoes de temperatura, pressao atmosferica, umidade e ventos;teorias sobre a geracao de frentes frias em altas latitudes e sua evolucao saodesenvolvidas; e novos perıodos de frio podem entao ser previstos.
Em Oceanografia, a modelagem numerica utiliza medicoes e teorias sobreo comportamento do oceano, de modo a possibilitar simulacoes e previsoesdos processos que nele ocorrem, como a circulacao marıtima, o transporte desedimentos, a cadeia alimentar, etc. Em particular, a modelagem numericahidrodinamica utiliza medicoes de nıvel do mar, correntes e propriedadesfısico–quımicas da agua do mar e resolve numericamente as equacoes hidro-dinamicas basicas, de modo a reproduzir e prever a circulacao marıtima e adistribuicao de propriedades. De fato, a modelagem da circulacao constituia base dos demais modelos em Oceanografia, visto que seus resultados saoutilizados na modelagem de ondas, sedimentos, poluentes, etc. . .
Ha dois tipos de modelos de circulacao marıtima: os gerais e os especıficos.Os modelos gerais procuram modelar o oceano da maneira mais completa
1
1.1. Introducao
possıvel, sintetizando conjuntamente diversos processos fısicos e adotandohipoteses simplificadoras e parametrizacoes dos processos de escala menores.Um exemplo de um modelo geral e o da circulacao geral dos oceanos, queconsidera conjuntamente todas as componentes da circulacao, devidas aventos, mares e variacoes de densidade. Ja os especıficos, procuram estudarfenomenos de forma individual, isolando-os de outros processos (ate ondepossıvel). Um exemplo de modelo especıfico e um modelo da circulacao demare, que evidentemente nao inclui as componentes de circulacao geradaspelo vento e por variacoes de densidade.
Uma divisao importante nos modelos em Oceanografia (hidrodinamicos,do transporte de sedimentos, da cadeia alimentar etc. . . ) e referente a suasescalas espaciais:
1. grande escala: para simulacoes em escala global ou de bacia oceanica;2. meso-escala: estuda processos em plataformas continentais e3. pequena escala: cobre regioes costeiras e estuarios.
A escala esta intimamente relacionada com a resolucao de um modelo,definida pela distancia horizontal entre os pontos de calculo de uma gradecomputacional (δx, “espacamento de grade”). A evolucao da informatica,de certa forma, definiu ao longo dos ultimos anos a resolucao adotada porcada escala, como exemplificado na Tabela 1.1.
2
1.1.Intro
ducao
Tabela 1.1: Evolucao dos espacamentos de grade utilizados em modelosnumericos em Oceanografia no decorrer das ultimas decadas.
Espacamentos de grade [km]
Escalas Decada de 1980 Decada de 1990 Decada de 2000 Decada de 2010
Grande 100 10,0 1,01 0,100Meso 010 01,0 0,10 0,010
Pequena 001 10,1 0,01 0,001
3
1.2. Metodo de diferencas finitas
A resolucao de um modelo define que fenomenos sao efetivamente in-cluıdos nas simulacoes e quais sao omitidos ou simplesmente parametrizados,por possuırem distancias horizontais caracterısticas da mesma ordem (oumenor) que os espacamentos de grade adotados. E importante notar queos espacamentos de grade devem ser muito menores que os comprimentosde ondas das oscilacoes modeladas (∆x ≪ L), ou seja, deve haver umgrande numero de pontos (e espacamentos) de grade para representar umcomprimento de onda (no mınimo, L = 20 ∆x ou L = 30 ∆x).
Em geral, modelos requerem dados iniciais e de contorno para o seuprocessamento, alem de dados para calibracao e validacao; esses dadospodem ser obtidos atraves de medicoes in situ ou remotas, ou de resultadosde outros modelos. A calibracao consiste na comparacao de resultados domodelo com um conjunto de dados, visando obter os valores dos coeficientesde friccao e de atenuacao mais adequados. Uma vez calibrado um modelo,a validacao consiste na comparacao de seus resultados com outro conjuntode dados, de modo a inferir a qualidade dos resultados das simulacoes domodelo.
E evidente que modelos, teorias e observacoes devem se desenvolverconjuntamente, afim que haja interacao entre os mesmos, com observacoesresultando em teorias mais aprimoradas, que conduzem a modelos mais sofis-ticados, os quais, por sua vez, demandam observacoes melhores e possibilitamaprimorar as teorias.
Por fim, vale ressaltar a grande similaridade entre a modelagem emMeteorologia e Oceanografia, uma vez que as equacoes que descrevem seusprocessos fısicos sao muito semelhantes (Haltiner, 1971; Haltiner e Williams,1980; Ramming e Kowalik, 1980; Kowalik e Murty, 1993).
1.2 Metodo de diferencas finitas
A aplicacao do metodo de diferencas finitas na modelagem numericaconsiste em discretizar o espaco e o tempo, de modo que se possa substituirderivadas por diferencas finitas (Fortuna, 2000).
A partir da discretizacao do espaco x com espacamentos ∆x e ındicesj (x = j ∆x, ∆x > 0), o ponto de partida do metodo de diferencas finitasprovem da Serie de Taylor (1.1) de uma funcao f(x):
f(x+∆x) = f(x) + f ′(x)∆x+ f ′′(x)∆x2
2!+ f ′′′(x)
∆x3
3!+ · · · (1.1)
4
1.2. Metodo de diferencas finitas
Isolando a primeira derivada, tem-se:
f ′ (x) =f (x+∆x)− f (x)
∆x+R (1.2)
onde o termo de maior ordem no resıduo R e f ′ (x)∆x
2!.
Se R for desprezado, a aproximacao 1.2 e chamada de diferenca finita
avancada, uma vez que ∆x e maior que zero, sendo uma diferenca finita de2 pontos e ordem ∆x, cuja representacao e O(∆x). Esta ordem representa oerro de truncamento das diferencas finitas, o que indica sua precisao.
Contudo, a serie de Taylor pode ser expressa tambem da seguinte forma:
f (x−∆x) = f (x)− f ′ (x)∆x+ f ′′ (x)∆x2
2!− f ′′′ (x)
∆x3
3!+ · · · (1.3)
que, analogamente ao primeiro caso, conduz a:
f ′ (x) =f (x)− f (x−∆x)
∆x+R (1.4)
A equacao 1.4 representa uma diferenca finita retardada, de 2 pontos etambem de ordem de precisao O(∆x).
Ainda e possıvel subtrair (1.1) de (1.2), resultando em:
f ′ (x) =f (x+∆x)− f (x−∆x)
2∆x+R (1.5)
Esta aproximacao e uma diferenca finita centrada, de 3 pontos e ordemde precisao O(∆x2), sendo portanto superior as outras duas. Embora demelhor precisao, a diferenca centrada nao pode ser aplicada no primeiro e noultimo ponto da grade, sendo necessarias as diferencas avancada e retardada,respectivamente.
Tambem se pode somar (1.1) de (1.2), permitindo determinar a segundaderivada, em diferenca finita centrada, com 3 pontos e ordem de precisaoO(∆x2):
f ′′ (x) =f (x+∆x)− 2f (x) + f (x−∆x)
∆x2+R (1.6)
Vale lembrar que para o modelo seja de qualidade e necessario que oespacamento de grade seja muito menor que o comprimento de onda dofenomeno a ser estudado.
5
1.2. Metodo de diferencas finitas
Tabela 1.2: Diferencas finitas no espaco x e no tempo t, de 1a e 2a ordens,de 2 e 3 pontos, laterais (avancadas ou retardadas) e centradas.
Espaco Tempo
∂f
∂x=
fj+1 − fj∆x
∂f
∂t=
fn+1 − fn
∆t
1a ordem2 pontosavancada
∂f
∂x=
fj − fj−1
∆x
∂f
∂t=
fn − fn−1
∆t
1a ordem2 pontosretardada
∂f
∂x=
fj+1 − fj−1
2∆x
∂f
∂t=
fn+1 − fn−1
2∆t
2a ordem3 pontoscentrada
∂2f
∂x2=
fj+1 − 2fjfj−1
∆x2
∂f
∂t2=
fn+1 − 2fn + fn−1
∆t2
2a ordem3 pontoscentrada
Expressoes similares a (1.2), (1.4), (1.5) e (1.6), referentes a coordenadax, podem ser estabelecidas para derivadas em relacao as coordenadas y e ze ao tempo t. Para espacamentos ∆x, ∆y, ∆z, ∆t e ındices j, k, l, n, saoconsideradas discretizacoes da forma x = j ∆x , y = k ∆y , z = l ∆z et = n ∆t, respectivamente. Uma funcao de x, y, z, t sera representada por:
f = f (x, y, z, t) = f (j∆x, k∆y, l∆z, n∆t) = fnj,k,l (1.7)
de modo que as diferencas finitas, escritas em termos de ındices, para x e t,se encontram na Tabela 1.2.
Exemplo 1.1: exp01 01diferencas finitas.m
programa exp01 01diferencas finitas.m, para calculo de primeiras esegundas derivadas da funcao f(x) = sen(x), atraves de formulasanalıticas e de diferencas finitas de 1a e 2a ordem, utilizando asrelacoes (1.2), (1.4), (1.5) e (1.6), e incluindo estatısticas dos erros(ver Figura 1.1).
6
1.3. Diferencas finitas de alta ordem
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3−1
−0,5
0
0,5
1
x
f,df
dxalta
ordem
Funcao (azul) e diferencas finitasavancada (vermelho), retardada (verde), centrada (preto)
Figura 1.1: Grafico da funcao e derivadas, como calculadas ao final daexecucao do programa exp01 01diferencas finitas.m.
1.3 Diferencas finitas de alta ordem
Diferencas finitas laterais de segunda ordem podem ser obtidas atravesda utilizacao das expressoes de Series de Taylor (1.1) e (1.3), levando emconta aproximacoes da segunda derivada (1.6) centradas nos pontos (x+∆x)e (x−∆x); resultam entao, para as diferencas finitas avancada e retardadade segunda ordem (Mitchell e Griffiths, 1980),
∂f
∂x=
−3fj + 4fj+1 − fj+2
2∆x+R (1.8)
∂f
∂x=
3fj − 4fj−1 + fj−2
2∆x+R (1.9)
Tomando a media dessas duas expressoes resulta uma diferenca finita
centrada de terceira ordem:
∂f
∂x= 2
fj+1 − fj−1
2∆x−
fj+2 − fj−2
4∆x+R (1.10)
7
1.4. Equacao da adveccao
Exercıcio 1.1: exc01 01diferencas finitas alta ordem.m
desenvolver o programa exc01 01diferencas finitas alta ordem.m, paracalcular as primeiras derivadas da funcao f(x) = sen(x), atraves deformulas analıticas e de diferencas finitas de 2a e 3a ordem, utilizandoas relacoes (1.8), (1.9) e (1.10), e incluindo estatısticas dos erros.
Exercıcio 1.2: exc01 02diferencas finitas qq f.m
desenvolver o programa exc01 02diferencas finitas qq f.m, para calcu-lar as primeiras derivadas da funcao f(x) = x sen(x) exp(−x2), atravesde formulas de diferencas finitas de 1a, 2a e 3a ordem, utilizando asrelacoes (1.6), (1.5), (1.6), (1.8), (1.9) e (1.10).
1.4 Equacao da adveccao
Uma primeira abordagem do metodo das diferencas finitas pode ser feitaem uma equacao linear simples com coeficientes constantes, comumentechamada de equacao da adveccao, que representa o transporte de umapropriedade:
∂f
∂t+ c
∂f
∂x= 0 (1.11)
onde t e o tempo, x o espaco, f a propriedade advectada e c, diferente dezero, e a velocidade, ou ainda, a velocidade de fase, no caso de se considerarondas. A equacao (1.11) e similar a versao linearizada dos primeiros termosda equacao do movimento, da equacao da termodinamica e da equacaoda vorticidade, entre outras. A equacao da adveccao considerada podeser aproximada pelas diferencas descritas acima, sendo que, inicialmente,sera utilizada a diferenca finita avancada no tempo e retardada no espaco(portanto, de 1a ordem):
fn+1
j − fnj
∆t+ c
fnj − fn
j−1
∆x= 0 (1.12)
cuja formula de recorrencia e:
fn+1
j = fnj − c
∆t
∆x
(
fnj − fn
j−1
)
(1.13)
8
1.5. Estrutura de um modelo
Tabela 1.3: Nıveis de tempo e representacao da variavel f na forma matricial.
Nıveis de tempo Variaveis Matrizes Instante
(n− 1) fn−1 fant “anterior”(n) fn fatu “atual”
(n+ 1) fn+1 fren “renovado”
onde ∆x corresponde ao espacamento de grade e ∆t, ao passo no tempo. Aseguir, a Tabela 1.3 apresenta a notacao matricial (dependente do espaco)da variavel f em funcao dos nıveis de tempo n− 1, n, n+ 1. Ao programara formula de recorrencia (1.13), a variavel f e considerada em dois nıveisde tempo, sendo portanto representada no espaco por duas matrizes, fren efatu (ver Tabela 1.3).
Portanto, a equacao de recorrencia para a equacao da adveccao (1.13),na forma matricial, pode ser escrita como:
fren (j) = fatu (j)− c∆t
∆x(fatu (j)− fatu (j − 1)) (1.14)
A solucao da equacao da adveccao (1.11) por diferencas finitas centradasno tempo e no espaco, de 2a ordem portanto, conduz a:
fn+1
j − fn−1
j
2∆t+ c
fnj+1 − fn
j−1
2∆x= 0 (1.15)
cuja relacao de recorrencia e:
fn+1
j = fn−1
j − c∆t
∆x
(
fnj+1 − fn
j−1
)
(1.16)
e sua forma matricial corresponde a:
fren(j) = fant(j)− c∆t
∆x(fatu(j + 1)− fatu(j − 1)) (1.17)
1.5 Estrutura de um modelo
Primeiramente, vale lembrar que as variaveis em um modelo sao usu-almente representadas como matrizes espaciais. Alem disso, uma variavel
9
1.6. Metodo de elementos finitos
em instantes distintos de tempo e representada atraves de uma matriz para
cada instante, a qual e renovada a cada passo de tempo. Desta forma, nasequacoes discretizadas segundo a forma matricial, se considera que: o termofn−1
j corresponde a matriz fant (variavel no instante de tempo anterior), o
termo fnj corresponde a fatu (variavel no instante atual) e fn+1
j correspondea matriz fren (variavel no instante renovado).
Assim, um modelo pode ser estruturado segundo as seguintes etapas:
1. Definicao dos parametros do modelo (∆x, ∆t, c, etc.)2. Estabelecimento da grade computacional3. Calculo de constantes iniciais4. Imposicao de condicoes iniciais, por exemplo: fn=1
j e fn=2
j
5. Inıcio do laco (loop) no tempo6. Especificacao de condicoes de contorno, quando houver7. Evolucao da solucao no tempo com a formula de recorrencia8. Gravacao de resultados (graficos, arquivos, etc.)9. Transferencia de variaveis no tempo (fant = fatu e fatu = fren,
nesta ordem)10. Retorno ao inıcio do laco no tempo, ate atingir o numero total de
iteracoes11. Final do processamento
1.6 Metodo de elementos finitos
Quanto a solucao numerica das equacoes que compoem um modelo, ha
duas formulacoes : 1) no metodo de diferencas finitas, acima apresentado, asderivadas sao substituıdas por diferencas finitas, para pontos de grade noespaco e nıveis de tempo (Ferziger e Peric, 1997; Strickwerda, 1989); 2) nosegundo metodo, o de elementos finitos, uma solucao e expressa em termosde uma expansao com funcoes base que levam em conta sua dependenciaespacial (pre-estabelecidas), tendo cada funcao base um coeficiente quedepende do tempo (a determinar). Ao substituir as expansoes nas equacoesdo modelo, resultam equacoes diferenciais ordinarias para os coeficientes;esses coeficientes, por sua vez, evoluem no tempo atraves de calculos pordiferencas finitas (Zienkiewicz e Morgan, 1984; Reddy, 1984).
10
1.6. Metodo de elementos finitos
Um exemplo da aplicacao do metodo de elementos finitos e dado para aequacao da adveccao linear 1D aplicada num canal de comprimento L:
∂f
∂t+ c
∂f
∂x= 0 (1.18)
E considerada uma expansao da solucao f(x, t) com funcoes base depen-dentes do espaco pre-escolhidas fr(x) e coeficientes dependentes do tempo adeterminar φr(t); sendo r o ındice de cada termo da expansao:
f (x, t) =∞∑
r=1
φr (t) fr (x) (1.19)
Ao substituir (1.19) em (1.18) resulta:
∂∞∑
r=1
φr (t) fr (x)
∂t+ c
∂
∞∑
r=1
φr (t) fr (x)
∂x= 0 (1.20)
Levando em conta a dependencia das variaveis no tempo e no espacoresulta:
∞∑
r=1
fr∂φr
∂t+ c
∞∑
r=1
φr
∂fr∂x
= 0 (1.21)
Multiplicando esta equacao por fs e integrando no domınio [0, L]:
∞∑
r=1
L∫
0
fsfr dx∂φr
∂t+ c
∞∑
r=1
L∫
0
fs∂fr∂x
dxφr = 0 (1.22)
que pode ser escrito na forma matricial (para um numero limitado de termosda expansao, suficientemente grande)
L∫
0
fs frdx
[
∂φr
∂t
]
+ c
L∫
0
fs∂fr∂x
dx
[φr] = 0 (1.23)
[
∂φr
∂t
]
+ c
L∫
0
fs fr dx
−1
L∫
0
fs∂fr∂x
dx
[φr] = 0 (1.24)
11
1.6. Metodo de elementos finitos
a qual e resolvida por diferencas finitas:
[
φn+1r − φn−1
r
2∆t
]
+ c
L∫
0
fs frdx
−1
L∫
0
fs∂fr∂x
dx
[φnr ] = 0 (1.25)
[
φn+1
r
]
−[
φn−1
r
]
+ 2∆t c
L∫
0
fs fr dx
−1
L∫
0
fs∂fr∂x
dx
[φnr ] = 0 (1.26)
[
φn+1
r
]
=[
φn−1
r
]
− 2∆t c
L∫
0
fs fr dx
−1
L∫
0
fs∂fr∂x
dx
[φnr ] = 0 (1.27)
Como as funcoes base fr sao pre-escolhidas, as integrais que contem essasfuncoes e suas derivadas em (1.27) podem ser calculadas antes da integracaodesta equacao no tempo. Uma vez renovados os valores dos coeficientes φr,a expansao (1.19) e utilizada para renovar a solucao (no espaco e no tempo).Varios tipos de funcoes podem ser considerados para as funcoes base, comopor exemplo funcoes trigonometricas da forma:
fr (x) = cos [(r − 1) πx/L] (1.28)
Finalizando esta secao, e importante notar que a vantagem do metodode diferencas finitas esta na formulacao matematica simplificada, seja nosprocedimentos de avanco no espaco e no tempo dos esquemas explıcitos,seja na transformacao de equacoes de 3 pontos em equacoes de 2 pontosdos esquemas implıcitos e semi-implıcitos. Por outro lado, a vantagemdo metodo de elementos finitos se encontra na flexibilidade da escolha depontos de grade no domınio espacial do modelo, a qual pode contemplar altadensidade de pontos em sub-areas de interesse. Por outro lado, esquemas dediferencas finitas podem tambem adotar grades com espacamentos variaveis.
Na presente publicacao, serao apresentadas as tecnicas de modelagembaseadas no metodo de diferencas finitas; a utilizacao de elementos finitossera restrita aos capıtulos finais, em modelos numericos hidrodinamicosbi-dimensionais (para as duas coordenadas espaciais) e tri-dimensionais(somente para a coordenada vertical ou para as tres coordenadas espaciaisconjuntamente).
12
1.7. Validacao dos resultados de um modelo
1.7 Validacao dos resultados de um modelo
Um dos aspectos mais importantes da modelagem se encontra na suavalidacao, ou seja, na comparacao de seus resultados com outro conjuntode dados, de modo a inferir a qualidade dos resultados das simulacoes domodelo (Cecılio, 2006). Ha varios metodos estatısticos para esta finalidade,que serao abordados a seguir, considerando Xn resultados do modelo e Y n
observacoes em N instantes de tempo, que possuem valores medios Xmed eY med, respectivamente (n e o ındice de tempo, n = 1 : N).
O primeiro parametro comparativo e o coeficiente de correlacao linear:
corr =
∑
n
(Xn −Xmed) (Y n − Y med)
∑
n
√
(Xn −Xmed)2 ·∑
n
√
(Y n − Y med)2(1.29)
Este coeficiente varia entre −1 e 1, com os seguintes significados:corr = 1: ha uma correlacao perfeita positiva entre as series Xn e Yn;corr = −1: ha uma correlacao negativa perfeita entre as duas series, isto
e, se uma aumenta, a outra diminui (e vice versa); ecorr = 0: as duas series nao dependem linearmente uma da outra; no
entanto, pode existir uma dependencia nao linear entre elas e, portanto, acomparacao deve ser investigada por outros meios.
O segundo parametro comparativo e o “erro absoluto medio” (EAM),calculado como:
EAM =
∑
|Xn − Y n|
N(1.30)
O terceiro parametro e o “erro absoluto medio relativo a media” (EAMR),dado por:
EAMR =EAM
Ymed(1.31)
Outra forma muito conveniente de verificar a concordancia entre re-sultados de um modelo Xn com observacoes Y n (ou outras informacoesindependentes) foi proposta por Wilmott (1981), que calcula um parametro“Skill”, o qual e mais proximo a 1 quanto melhor o ajuste entre as series emais proximo a zero quanto maior o desajuste, sendo o calculo baseado na
13
1.7. Validacao dos resultados de um modelo
seguinte expressao:
S = 1−
∑
(|Xn − Y n|)2
∑
(|Xn − Y med|+ |Y n − Y med|)2(1.32)
Exemplo 1.2: exp01 02adv ordem01.m
o programa exp01 02adv ordem01.m representa a adveccao de umsinal com variacao senoidal no tempo no ponto inicial da grade, comdiferencas finitas de primeira ordem (1.12).
Exercıcio 1.3: exc01 03adv ordem02.m
desenvolver o programa exc01 03adv ordem02.m, analogo ao do exem-plo exp01 02adv ordem01.m, porem com solucao de 2a ordem, comdiferencas finitas centradas no tempo e no espaco (1.15).
Comparando os resultados dos dois programas de adveccao (Figuras 1.2e 1.3), se nota que, para o mesmo passo de tempo, o de 1a ordem atenua aamplitude da oscilacao no interior da grade, o que nao ocorre com a solucaode 2a ordem.
14
1.7. Validacao dos resultados de um modelo
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800−0,6
−0,4
−0,2
0
0,2
0,4
0,6
Distancia na grade [m]
[m]
Adveccao de sinal senoidal na borda (1a ordem)tempo 360 segundos
Figura 1.2: Configuracao final do resultado do modeloexp01 02adv ordem01.m.
15
1.7. Validacao dos resultados de um modelo
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800−0,6
−0,4
−0,2
0
0,2
0,4
0,6
Distancia na grade [m]
[m]
Adveccao de sinal senoidal na borda (2a ordem)tempo 360 segundos
Figura 1.3: Configuracao final do resultado do modeloexp01 03adv ordem01.m.
16
