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Fundamentos de Telecomunicações Aula 3: Ruídos e Erros

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Fundamentos de Telecomunicações

Aula 3:

Ruídos e Erros

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Sumário

Introdução Sinais AleatóriosRuído Erros

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Introdução

Do ponto de vista do destinatário– Todos os sinais de comunicação são aleatórios e

imprevisíveis – Se conhecesse o comportamento exacto do sinal

a informação recebida seria nula– O receptor conhece

Características gerais dos sinais usados: largura de banda, densidade espectral de potência, código e técnica de modulação

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Introdução

Impossibilidade de descrição matemática determinísticas para sinais de informação

– Lida-se com descrições probabilísticas em que os sinais são modelados por processos aleatórios

Em qualquer sistema de transmissão– Para além dos de informação gerados pela fonte…– …estão presentes outros sinais indesejáveis designados

por ruído, que não é possível eliminar totalmente

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Introdução: Ruído

É intrinsecamente aleatório pela natureza dos fenómenos que o originam

– Podem e devem ser descritos com processos aleatórios Sinais aleatórios são a manifestação de processos

aleatórios ou estocásticos que têm lugar ao longo do tempo

Vamos abordar os fundamentos da descrição de sinais por processos aleatórios e em especial o ruído

– Suas características mais importantes– A forma como afecta as comunicações

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Sinais aleatórios

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Sinais aleatórios

Considere um conjunto de formas de onda correspondentes à emissão de diferentes mensagens por uma fonte de informação.

A mensagem concreta que é emitida a cada instante é desconhecida à priori, sendo portanto imprevisível a forma de onda que irá ser produzida

O conjunto de todas formas de onda geradas pela fonte é representado formalmente por s(t,a)

– Cada elemento do conjunto é designado por função amostra corresponde a determinado sinal for exemplo si(t)= s(t,ai)

O argumento fulcral que faz de s(t,a) é a assumpção de que quando se está a observar uma função amostra não se sabe quais das amostras de trata

– Num instante t1 pode ocorrer um qualquer do conjunto dos valores possíveis s(t1,a) o que significa que s(t1,a) constitui uma variável aleatória que toma valores definidos por s(t1,a1), s(t1,a2),…, s(t1,ai)…

– s(t2,a) constitui outra variável aleatória… ,

)()...,(),( 21 tststs i

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Forma de onda num sinal s(t,a)

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Sinais aleatórios

Um processo aleatório s(t)=s(t,a) não é mais que uma família de variáveis aleatórias s(t1), s(t2), s(t3),....s(ti)

– cujas funções densidade de probabilidade (fdp) descrevem o processo aleatório nos respectivos instantes de tempo

1)1())1(( 1 dsspAtsp

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Médias de conjunto

dstspstsE

E

dstssptsE

sptspsptsp

tsp

n ),()]([(t)s

diferentesser poderem,....,)s(t

,)s(t médias das facto pelo tempodo função é média a

constante, é t [], esperança de operação Na

),()]([s(t)

S(t) de médioou valor aEstatístic Média

)(),();(),(

fdp todasde conjunto),(

n

2

1

22221111

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Processos estacionários e ergódicos

Um processo aleatório estacionário é aquele cujas características permanecem invariantes no tempo

– Translação na origem dos tempos para o conjunto de sinais amostra {s(t,ai)} não afecta os valores das médias estatísticas

tempodo depende não )(

)(...)()()( 321

ts

tstststs

n

innnn

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Processos estacionários e ergódicos

SdttstsEts

dttstsEts

ts

m

mstsE

mstsE

iT

i

iT

i

ss

ss

s

2

T

2

T-

222

2

T

2

T-

2

2222

)( )]([)](

)( )]([)](

)( aleatório processo do

variânciae média a são e

)]([

)]([

lim

lim

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Sinal estacionário e ergódico

O valor médio ms é igual à amplitude da componente DC

O quadrado da média ms2 é igual à potência normalizada

da componente contínua (DC) O valor quadrático médio é igual à potência média

total armazenada A variância é igual à potência média das componentes

variáveis no tempo de s(t) ou seja a potência AC O desvio padrão é igual à raiz do valor quadrático médio

ou seja ao valor eficaz das componentes variáveis no tempo de s(t)

2s2

)(ts2s

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Sinal estacionário e ergódico

Para efeitos de análise de sistema de informação– A função densidade de probabilidade p(s) de um

sinal aleatório ergódico substitui a sua descrição temporal

Os sinais de comunicação são razoavelmente bem modelados por processos estocásticos ergódicos

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Ruído

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Ruído

Sinais eléctricos indesejáveis– Origem humana

Influência de outros sistemas de comunicaçãoDispositivos de ignição e comutação eléctrica…

– Origem natural Descargas atmosféricasRadiação extra-terrrestreRuído dos circuitos elétricos

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Ruído

Um projecto de sistema de transmissão bem conseguido pode– Reduzir ou eliminar completamente certos tipos

de ruído– Mas a presença de outros é mesmo inevitável o

que impõe limitações fundamentais ao desempenho dos sistemas

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Categorias de Ruído

Ruído térmicoRuído de IntermodulaçãoCrosstalkRuído impulsivo

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Ruído Térmico

Provocado pela agitação térmica dos electrões nos condutores– Movimento aleatório de partículas carregadas– É uma função da temperatura a que o sistema se

encontra

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Ruído de Intermodulação

Acontece quando sinais com diferentes componentes de frequência partilham o mesmo meio de transmissão– Interferem entre si– Produzem sinais que são a soma ou a diferença

das frequências que compõem os sinais originais

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Crosstalk

Pode ocorrer no acoplamento eléctrico ou magnético entre pares de fios próximos ou entre fios coaxiais (+ raramente)– Acoplamento indesejável entre percursos

geográficos dos sinais– Exemplo: escuta de conversações telefónica por

causa de cruzamentos de linhas

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Ruído Impulsivo

Ocorrência irregular de pulsos ou estalos de curta duração e de relativamente grande amplitude (spikes)

Causas variadas– Perturbações electromagnéticas externas

(descargas atmosféricas)– Falhas ocasionais no próprio sistema de

transmissão

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Ruído impulsivo

Perturba pouco as comunicações analógicas– Uma transmissão telefónica pode ser corrompida

por pulsos ou estalos curtos sem perder inteligibilidade

Perturba bastante as transmissões digitais– Principal fonte de erro– Um pulso de ruído de 10 ms corrompe cerca de

50 símbolos de dados transmitidos a 4800 bauds

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Ruído Térmico

A teoria cinética das partículas diz que a energia média de uma partícula à temperatura absoluta de T é proporcional a kT em que k é a constante de Boltzman

Quando uma resistência metálica de valor R está a uma temperatura T, o movimento aleatório dos electrões produz uma tensão aleatória de ruído n(t) aos seus terminais

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Ruído térmico

De acordo com o teorema do limite central – n(t) possui uma fdp gaussiana pN(n) com

Planck de constante undoJoules.seg 1060.6

Boltzman de constante vin Joules/Kel 1038.1

eKelvin º em medida é ra temperatua Onde

Volt 3

)(2

0

2

1)(

34

23

22

22

)(

2

2

2

xh

xk

Rh

kn

nm

enp

n

n

mn

n

Nn

n

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Ruído Térmico

Resultados da mecânica quântica– Equações do slide anterior– Densidade espectral de potência do ruído térmico

produzida por uma resistência de R ohms

/HzVolt 2)(

prática Na

para /HzVolt )2

1(2)(

22

22

RkTfN

h

KTf

kT

fhRkTfN

R

R

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Circuito equivalente de Thévenin

Watt/Hz24

)()(

22 kT

R

fNfN R

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Ruído branco e gaussiano

Para além do ruído térmico– Muitas outras fontes se caracterizam por

Uma fdp gaussianaUm densidade espectral constante ao longo de quase

todo o espectro.Chamado Ruído Branco por analogia com a luz branca

– Nas comunicações o ruído branco e gaussiano é um modelo aceitável para o ruído total presente e manifesta-se de forma aditiva

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Características do ruído branco e gaussiano

térmico)o (incluindo ruído de fontes todasde combinação

watt/Hz2

)(2

fN

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Largura de banda equivalente de ruído

Uma densidade de potência de ruído constante – Daria uma potência de ruído infinita no receptor– Isso não acontece porque o sistema de

transmissão tem uma largura de banda limitadaLimita a potência de ruído e limita-o

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Largura de banda equivalente de ruído

Ruído de Banda de Largura

ou Ruído de eEquivalent Banda de Lagura-

)(

)(1

com

)()(2

)()(

max2

0

2

0

2222

N

NN

B

fHg

dffHg

BgBN

dffHdffHdffHfNN

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Exemplo 4.1

Considere-se o sistema de transmissão de 1ª ordem, com largura de banda a 3dB igual a BT, representado pela característica de potência

2

2

11

1)(

TB

fH

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Exemplo 4.1

TTT

N

T

TT

T

N

BBB

farctgB

df

Bf

BBdf

Bf

B

57.12

1

1

1

1

0

02

02

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LB equivalente de ruído num sistema PB

Interpretação geométrica a BN. Verifica-se que a largura de banda deruído é cerca de 50% superior a largura de banda a 3 dBs (BT)

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LB equivalente de Ruído

É a largura de banda de um filtro ideal que deixa passar a mesma potência de ruído que esse sistema e tem o mesmo ganho máximo

– Se o sistema do ex. 4.1 fosse mais selectivo com uma transição de corte mais abrupta

Tn

TN

gBN

BB

2

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Erros

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Regeneração do sinal digital

Suponhamos uma transmissão digital binária unipolar

– Os símbolos transmitidos são pulsos rectangulares com Ts de duração que podem tomar apenas dois valores

)()(

instante noreceptor do entrada à Entrada

1 lógico valor

0 lógico valor 0

kkk

k

k

k

tnaty

t

Aa

a

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Receptor binário de banda base

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Regeneração de sinal binário unipolar

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Probabilidade de erro

Existe erro quando a estimativa não coincide com o valor transmitido

Interessa conhecer a probabilidade de erro porque é uma medida importante da qualidade do sistema de transmissão digital

)()(~ tkxtkx

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Probabilidade de erro

))((A V excede ruído o )( 1 é do transmitisímbolo O

))(( V excede ruído o )0( 0 é do transmitisímbolo O

se erro a origem dá oRegeneraçã

0

Vlimiar Amplitude

VtknAak

Vtknak

AV

e

ou

e

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Probabilidade de erro

)()(2

12

1)()0(eisequiprováv 0 e 1

..

tesindependen amenteestatistic Símbolos

)().()().0(

)())(())((

ioestacionár é Ruído

))(().())(().0(

1100

VAnPVnPP

AaPaP

PPPPP

VAnPAaPVnPaPP

xnPxtnPxtnP

VAtnPAaPVtnPaPP

e

kk

eee

kke

oook

kkkke

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Probabilidade de erro

gaussiana cauda da adeProbabilid2

1)(

2

1

)()()(

)()(

2

1

0

2

dxekQ

VAQ

VQP

VAQdnAnpdnnpAVnPP

VQdnnpVnPP

k

x

nne

AV

n

V

NNe

Vn

Ne

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Probabilidade de cauda gaussianaÁbaco

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Probabilidade de erro

Se os símbolos forem equiprováveis Se o ruído afecta em média igualmente os símbolos

transmitidos Vopt=A/2 (minimiza a probabilidade de erro)

s

sT

n

n

r

SQPe

rBN

N

SQPe

ASN

AQPe

erro de adeprobabilid a parainferior Limite2

22 e

2

22

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Amplitude de limiar de decisão e probabilidades de erro

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Probabilidade de Erro

É habitual representar Pe em função da energia média por símbolo Es

ruído-sinal relação à eequivalent

Joules .

s

s

se

sss

EQ

r

SQP

r

STSE

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Probabilidade de erro

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Exemplo 4.2

Um computador transmite por uma porta de comunicações pulsos unipolares ao ritmo de 106 bps= 1 MBps para transmissão por um sistema de ruído de densidade espectral de potência 4x10-20 W/Hz. Pretende-se determinar o valor da potência média do sinal de modo a que a taxa de erros não exceda um bit por hora

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Solução