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Fundamentos Teóricos e Metodológicos sobre ensino-aprendizagem de Números e
Medidas
FSA-2011
Antonio Carlos Brolezzi
Quantas unidades,quantas dezenas e
quantas centenas há em
825?
Video Pequenos Cientistas
• Escreva o número
10.500.000
de três formas diferentes• Qual ou quais formas são mais
usadas pela mídia para escrever números?
• O que isso acarreta no nosso ensino?
AtividadeAtividadeValoresValores
Eu tenho as seguintes moedas:Eu tenho as seguintes moedas:
2 x R$ 0,012 x R$ 0,011 x R$ 0,051 x R$ 0,052 x R$ 0,102 x R$ 0,101 x R$ 0,251 x R$ 0,25
Qual o total de preços diferentes que Qual o total de preços diferentes que poderei pagar sem receber troco? poderei pagar sem receber troco?
AtividadeAtividadeValoresValores
Eu tenho as seguintes moedas:Eu tenho as seguintes moedas:
2 x R$ 0,012 x R$ 0,011 x R$ 0,051 x R$ 0,052 x R$ 0,102 x R$ 0,101 x R$ 0,251 x R$ 0,25
Qual o total de preços diferentes que Qual o total de preços diferentes que poderei pagar sem receber troco? poderei pagar sem receber troco?
Resp: 26 preços diferentesResp: 26 preços diferentes
AtividadeAtividadeValoresValores
Qual o menor número de notas (e Qual o menor número de notas (e moedas) de que necessito para moedas) de que necessito para
compor R$ 87,76? compor R$ 87,76?
AtividadeAtividade
ValoresValores
Qual o menor número de notas (e Qual o menor número de notas (e moedas) de que necessito para moedas) de que necessito para
compor R$ 87,76? compor R$ 87,76?
Resp: Resp: 50+20+10+5+1+1+0,50+0,25+0,01 50+20+10+5+1+1+0,50+0,25+0,01
= 4 notas e 5 moedas = 4 notas e 5 moedas
Atividade Atividade
TempoTempo
Quantos horas, minutos e segundos Quantos horas, minutos e segundos tem um ano de 365 dias?tem um ano de 365 dias?
8760 horas, 525.600 minutos e 8760 horas, 525.600 minutos e 31.536.000 segundos31.536.000 segundos
Atividade Atividade
CalendárioCalendário
O que é o ano bissexto?O que é o ano bissexto?
Atividade - CalendárioAtividade - Calendário
Ano bissextoAno bissexto
O O ano bissextoano bissexto tem 366 dias, um dia a mais que os anos comuns. tem 366 dias, um dia a mais que os anos comuns.
Coloca-se 1 dia extra a cada 4 anos no mês de fevereiro, que Coloca-se 1 dia extra a cada 4 anos no mês de fevereiro, que passa a ter 29 dias. passa a ter 29 dias.
Ocorre geralmente de 4 em 4 anos, já que o ano bissexto é Ocorre geralmente de 4 em 4 anos, já que o ano bissexto é divisível por 4. divisível por 4.
Mas, se o ano terminar em 00, deve ser também divisível por 400Mas, se o ano terminar em 00, deve ser também divisível por 400
Exemplo: o ano 2000 foi bissexto, pois termina em 00 mas é Exemplo: o ano 2000 foi bissexto, pois termina em 00 mas é divisível por 400.divisível por 400.
Mas o ano 2100 não será, pois não é divisível por 400.Mas o ano 2100 não será, pois não é divisível por 400.
Ano bissextoAno bissexto
A razão é que o ano de fato dura 365,25 dias. Ou seja, a terra A razão é que o ano de fato dura 365,25 dias. Ou seja, a terra demora aproximadamente 365,25 dias solares para dar uma demora aproximadamente 365,25 dias solares para dar uma volta completa ao redor do Sol.volta completa ao redor do Sol.
O ano comum (por convenção) tem 365 dias. O ano comum (por convenção) tem 365 dias.
Portanto, faltam aproximadamente seis horas (0,25 dia) a cada Portanto, faltam aproximadamente seis horas (0,25 dia) a cada ano. ano.
Para simplificar, as horas excedentes serão somadas e, a cada Para simplificar, as horas excedentes serão somadas e, a cada quatro anos, adicionadas ao calendário na forma de um dia (4 X quatro anos, adicionadas ao calendário na forma de um dia (4 X 6 6 horashoras = 1 = 1diadia).).
Atividade Atividade
ComprimentoComprimento
Uma polegada = 2,54 cmUma polegada = 2,54 cmUm pé = 30,48 cmUm pé = 30,48 cm
Uma jarda = 91,44 cmUma jarda = 91,44 cm
Quantos polegadas tem um pé? Quantos polegadas tem um pé? Quantos pés tem uma jarda?Quantos pés tem uma jarda?
Questão: Essas unidades são usadas Questão: Essas unidades são usadas até hoje? Por quê?até hoje? Por quê?
Atividade Atividade
ComprimentoComprimento
Qual o tamanho da tela de uma Qual o tamanho da tela de uma televisão de 22 polegadas?televisão de 22 polegadas?
Atividade Atividade
VelocidadeVelocidade
Que unidade de medida você utilizaria Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade:para medir a velocidade:
1.1.De um automóvel?De um automóvel?2.2.De uma formiga?De uma formiga?3.3.Da luz? Da luz?
Atividade Atividade VelocidadeVelocidade
Que unidade de medida você utilizaria Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade:para medir a velocidade:
1.1.De um automóvel? Km/h (quilômetro De um automóvel? Km/h (quilômetro por hora)por hora)
2.2.De uma formiga? (milímetros por De uma formiga? (milímetros por segundo)segundo)
3.3.Da luz? Km/s (quilômetros por Da luz? Km/s (quilômetros por segundo)segundo)
Atividade Atividade
DistânciasDistâncias
Depois do Sol, qual a distância da Depois do Sol, qual a distância da estrela mais próxima da Terra? estrela mais próxima da Terra?
Atividade - VelocidadeAtividade - Velocidade
Qual a distância da estrela mais próxima? Qual a distância da estrela mais próxima?
A estrela mais próxima de Terra depois do Sol é A estrela mais próxima de Terra depois do Sol é Alfa Centauro. Alfa Centauro.
Ela concentra-se a uma distância de 40 trilhões Ela concentra-se a uma distância de 40 trilhões de quilômetros (40.000.000.000.000) da Terra.de quilômetros (40.000.000.000.000) da Terra.
Mas, como as distâncias no Universo são Mas, como as distâncias no Universo são imensas, fica difícil utilizar números com tantos imensas, fica difícil utilizar números com tantos zeros. zeros.
Atividade - VelocidadeAtividade - Velocidade
Qual a distância da estrela mais próxima? Qual a distância da estrela mais próxima?
Para facilitar a compreensão das distâncias, Para facilitar a compreensão das distâncias, utilizamos então a unidade de medida chamada utilizamos então a unidade de medida chamada ano-luz, que nada mais é do que a distância ano-luz, que nada mais é do que a distância percorrida pela luz em um ano. percorrida pela luz em um ano.
A luz viaja a uma velocidade de 300 mil A luz viaja a uma velocidade de 300 mil quilômetros por segundo (nada viaja mais rápido quilômetros por segundo (nada viaja mais rápido do que ela), percorrendo 9,46 trilhões de do que ela), percorrendo 9,46 trilhões de quilômetros por ano entre os astros. Assim , a quilômetros por ano entre os astros. Assim , a distância de distância de Alfa CentauroAlfa Centauro até nós passa a ser de até nós passa a ser de 4,2 anos-luz (40 trilhões / 9,46).4,2 anos-luz (40 trilhões / 9,46).
Atividade Atividade
Volume e capacidadeVolume e capacidade
Quantos litros de água tem no Oceano Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico? Atlântico?
Atividade Atividade CapacidadeCapacidade
Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico? Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico?
O Oceano Atlântico tem um volume médio de O Oceano Atlântico tem um volume médio de
323.600.000 quilômetros cúbicos.323.600.000 quilômetros cúbicos.
Cada quilômetro cúbico equivale a Cada quilômetro cúbico equivale a 1.000.000.000.000 litros (um trilhão de litros).1.000.000.000.000 litros (um trilhão de litros).
Logo, o Oceano Atlântico tem aproximadamenteLogo, o Oceano Atlântico tem aproximadamente
323.600.000.000.000.000.000323.600.000.000.000.000.000
Trezentos e vinte e três quintilhões e seiscentos Trezentos e vinte e três quintilhões e seiscentos quatrilhões de litros.quatrilhões de litros.
Números grandes:Números grandes:
Quantos zeros tem em um Quantos zeros tem em um decilhão?decilhão?
Número escrito Como se lê
1000 Mil
1 000 000 Milhão
1 000 000 000 Bilhão
1 000 000 000 000 Trilião
1 000 000 000 000 000 Quatrilhão
1 000 000 000 000 000 000 Quintilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 Sextilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 Setilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Octilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Nonilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Decilhão
Atividade Atividade
ÁreaÁrea
Como medir a área da superfície de Como medir a área da superfície de um lago?um lago?
Livro: Atividade e jogos com Áreas e Livro: Atividade e jogos com Áreas e Volumes – Marion Smoothey – Editora Volumes – Marion Smoothey – Editora
Scipione, 1997Scipione, 1997
Pode-se dividir a História da Matemática em duas etapas:
a matemática pré-helênica e
a matemática abstrata, ou matemática propriamente dita, que é aquela que nasceu com os gregos antigos.
Há milênios os babilônios possuíam métodos de completar quadrados e assim resolviam problemas que em nossa linguagem resultariam em equações quadráticas.
Euclides (300 aC) desenvolveu métodos geométricos de completar quadrados, mas não lidava com equações, e sim com grandezas geométricas
Os gregos reverteram a questão dos números.
Passaram a considerar “Números” somente os inteiros positivos, a partir do número 2.
Estudaram as propriedades dos números naturais.
Estudaram as primeiras seqüências infinitas de números figurados.
A história das sequencias e séries em matemática mostra as dificuldades em se lidar com a idéia do infinito, que se tornou um desafio para muitos matemáticos.
A idéia básica de seqüência está ligada às primeiras manifestações da humanidade no que se refere ao conhecimento que hoje é chamado de matemática. A simples possibilidade de contar ou de ordenar uma lista de objetos ou eventos já é uma idéia matemática. Algumas teorias sobre a origem dos números afirmam que a seqüência dos numerais ordinais (primeiro, segundo, terceiro...) teria sido conhecida da humanidade antes mesmo da seqüência dos numerais cardinais (um, dois, três...).
A explicação para isso estaria no fato de que os numerais ordinais estão mais ligados à lógica de uma seqüência de eventos ordenados temporalmente, de acordo com a teoria que diz que a matemática surgiu da observação de padrões e regularidades principalmente em relação à passagem do tempo. Teria sido crucial, para a sobrevivência da espécie humana, a possibilidade de prever a sucessão das estações do ano, de acordo com a contagem dos dias e a construção dos primeiros calendários. A observação das regularidades temporais teria permitido à humanidade desenvolver técnicas de armazenagem de alimentos para sobreviver no inverno, por exemplo. Assim, o tema das sequencias numéricas estaria ligado às sequencias de eventos astronômicos que, estudados, permitiram à humanidade controlar melhor seus mantimentos, o que definiu a sobrevivência da espécie.
Ao que tudo indica, as sequencias numéricas passaram a interessar a humanidade devido à necessidade de construção de calendários. Os homens desenvolveram a matemática necessária para registrar e acompanhar os ciclos das estações de um ano completo, percebendo que este ciclo dura aproximadamente 360 dias. Perceberam que o ciclo lunar dura aproximadamente 28 dias. Dividiram o mês lunar em 4 semanas de 7 dias cada uma. Depois, percebendo a necessidade de adequar essas medidas à passagem real do tempo, criaram calendários mais sofisticados, com dias de festa para completar o ano em 365 dias, aumentando para isso a duração de alguns meses. Todo esse estudo das sequencias temporais ajudou a desenvolver a matemática.
Além de desenvolver a astronomia, os gregos antigos passaram a estudar a chamada Teoria dos Números, identificando as propriedades das sequencias numéricas. Dividiram os números em pares e ímpares, percebendo que formavam sequencias e iniciaram o estudo das chamadas séries matemáticas, ou seja, a soma dos termos de uma seqüência. É atribuída aos pitagóricos (seguidores de Pitágoras de Samos, que viveu entre 570 e 497 aC) a percepção de diversas propriedades das sequencias e séries numéricas. Por exemplo, perceberam que a soma dos n primeiros números é sempre um número triangular, como vemos nos seguintes diagramas:
1 3 6 10 15
1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5
1 4 9 16
1 1+3 1+3+5 1+3+5+7
Observaram também que a soma dos primeiros n números ímpares é sempre um número quadrado. Veja:
Atividade
Mostre que todo número quadrado é a soma de dois triângulares consecutivos.
Os números quadrados e o teorema de Pitágoras.
1 4 9 16
1 1+3 1+3+5 1+3+5+7
1 4 9 16
1 1+3 1+3+5 1+3+5+7
n2 + (2n + 1) = (n+1)2
Se 2n + 1 = m2 ,
então n = (m2 – 1)/2
e n + 1 = (m2 + 1)/2
n2 + (2n + 1) = (n+1)2
Se 2n + 1 = m2 , então n = (m2 – 1)/2 e n + 1 = (m2 + 1)/2,
isto é, a fórmula acima se escreve como
(m2 – 1)2/4 + m2 = (m2 + 1)2/4
m (m2 – 1)/2 (m2 + 1)/2
3 4 5
O quadrado da soma: uma relação conhecida há muitos milênios
a2 + b2 + 2ab = (a+b)2
Álgebra Geométrica
• Típica da Grécia Antiga
• Assunto do Livro II de Os Elementos de Euclides
• Um número é representado por um segmento de reta
Álgebra Geométrica Livro II de Os Elementos de Euclides
(300 aC)Fragmento da Proposição 5ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4
Fragmento da Proposição 5: ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4
ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4
Fórmula de Bháskara
Nome dado no Brasil à fórmula da equação do 2º grau em homenagem a
Bháskara (ou Bháskara II ou Bhaskaracharya – Bháskara o Professor)
Astrônomo hindu que viveu entre 1114 e 1185.
Chefe do observatório astronômico de Ujjain, na Índia, local onde já tinham trabalhado os astrônomos e matemáticosVarahamihira (505 - 587) e Brahmagupta (598 - 670).
Bháskara I (c. 600 - c. 680) Primeiro a escrever no sistema decimal
indo-arábico usando um círculo para o zero.
Fórmula de Bháskara: vem da relação entre quadrados
Fórmula de Bháskara: uma aplicação de quadrados perfeitos
AtividadeAtividade
Proporções entre os planetasProporções entre os planetas
TerraVênus
Marte Mercúrio Plutão
Júpiter
Saturno
UranoNetuno
Terra
Plutão
Sol
Júpiter
Terra
Plutão
Sol
Júpiter tem a proporção de 1 pixel
Nessa escala a terra é invisível
Antares é a 15ª estrela mais brilhante no céu. E está há mais de 1000 anos-luz de distância.
Sol (1 pixel)
Nessa escala Júpiter é invisível
