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29/7/2010 20:26:18

Manual de Matemática Financeira

29/7/2010 20:26:18

Manual de Matemática Financeira

SUMÁRIO

1. FUNDAMENTOS ............................................................................................................ 3

2. OPERAÇÕES BÁSICAS ................................................................................................ 4

3. JUROS SIMPLES ........................................................................................................... 8

4. DESCONTO SIMPLES ................................................................................................. 12

5. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA .................................................................................... 16

6. VI - DESCONTO COMPOSTO ..................................................................................... 26

7. SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES .................................................................. 28

8. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS E DE PLANOS DE PAGAMENTOS ........................... 40

9. ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA .................................................................................. 41

10. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS .............................................. 46

2

OBJETIVO Proporcionar conhecimentos teóricos e práticos da Matemática Financeira, apresentando problemas de acordo com a realidade do mercado visando, desenvolver o raciocínio financeiro do acadêmico, fornecer os subsídios indispensáveis ao desenvolvimento das disciplinas que dependem do conhecimento prévio da disciplina e mostrar a importância da mesma para a formação e desenvolvimento do futuro profissional de negócios. EMENTA Introdução ao estudo da Matemática Financeira. Operações básicas. Capitalização simples. Descontos simples. Capitalização composta. Desconto composto. Séries de pagamentos. Equivalência em fluxos de caixa. Sistemas de amortização de empréstimos. PROGRAMA 1) INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Objeto do estudo da Matemática Financeira. Conceitos de juros, capital e taxa de juros 2) OPERAÇÕES BÁSICAS

Porcentagem. Taxa de juros na forma unitária. Operações com lucro e prejuízo. Margem de lucro/prejuízo sobre o preço de compra/venda. Taxa única para acréscimos/descontos sucessivos.

3) CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Juros Simples. Taxas proporcionais. Tempo exato/aproximado decorrido entre duas datas. Juros simples exatos e juros simples comerciais. Valor Futuro.

4) DESCONTO SIMPLES A operação de desconto. Desconto simples comercial. Desconto simples racional. Valor Atual. Equação de valor. Equivalência de capitais pelo desconto simples comercial. Valor e prazo médio (ponderado) de “k” títulos. Relação entre taxa de juros simples e a taxa do desconto simples comercial.

5) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Diferença entre regimes de capitalização. Juros compostos. Valor futuro a juros compostos (convenção exponencial) . Taxas equivalentes. Taxas: efetiva e nominal. Valor futuro pela convenção linear. Taxa real.

6) DESCONTO COMPOSTO Desconto composto racional. Valor atual. Equação de valor. Equivalência de capitais pelo desconto composto racional.

7) SÉRIES DE PAGAMENTOS Noções sobre fluxos de caixa. Classificação das séries de pagamentos. Amortização: Séries uniformes postecipadas, antecipadas e diferidas. Capitalização: Séries uniformes postecipadas e antecipadas.

8) EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA Conceito de equivalência. Planos equivalentes de financiamento consideradas séries uniformes e não uniformes.

9) SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Sistema francês. Sistema de amortização constante.

BIBLIOGRAFIA a) BÁSICA

Puccini, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada -5ªed – São Paulo: Saraiva, 1998. Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações - 4ª ed.- São Paulo: Atlas, 1998. Tosi, Armando José. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000: aplicável às versões 5.0, 7.0 e 97 – São Paulo: Atlas, 2000. Hazzan, Samuel. Matemática Financeira. Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeo - 5a ed - São Paulo: Saraiva, 2001.

b) COMPLEMENTAR Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. - 6ª ed.- São Paulo: Atlas, 1997. Shinoda, Carlos. Matemática Financeira para usuários do EXEL 5.0 – 2a ed. - São Paulo: Atlas, 1998 Samanez, Carlos Patrício. Matemática Financeira. São Paulo: Makron Books, 1995. Crespo, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil. - 12ª ed.- São Paulo: Saraiva, 1997. Bauer, Udibert Reinold. Calculadora HP-12C: manuseio, cálculos financeiros e análise de investimentos. São Paulo : Atlas, 1996. Zentgraf, Walter. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo : Atlas, 1994.

3

1. FUNDAMENTOS

A Matemática Financeira objetiva estudar o valor do dinheiro no tempo. Desta

maneira, o conceito de juro é um dos pilares desta disciplina. Outros conceitos

fundamentais e que serão trabalhados na seqüência são a equivalência de capitais e as

ferramentas utilizadas nos cálculos sendo as mesmas os juros simples e os juros

compostos.

Definimos “capital” em Matemática Financeira, como qualquer valor expresso em

moeda e disponível em determinada época.

Sob o ponto de vista do tomador do empréstimo, juro é o custo desse empréstimo,

ou de maneira simplificada, o aluguel que ele deverá pagar para utilizar o capital. Sob o

ponto de vista de quem empresta, juro é a remuneração do capital emprestado.

Chamamos de taxa de juros a razão entre os juros recebidos ou pagos ao final de

um período de tempo e o capital inicialmente empregado ou emprestado, ou seja, é o valor

do juro numa unidade de tempo, expressa como uma fração do capital.

Exemplo: qual a taxa de juro cobrada num empréstimo de $ 10.000,00 a ser

resgatado por $ 15.000,00 ao final de 1 ano?

Capital inicialmente emprestado $ 10.000,00

Juro ‘ $ 15.000,000 – $ 10.000,00 = $ 5.000,00

Taxa de juro $ 5.000,00/ $ 10.000,00 = 0,5 ou 30% ao ano.

Na formação da taxa de juro devem ser considerados os seguintes fatores: (1) o

fator risco, definido como a probabilidade do tomador do empréstimo não honrar o

compromisso; (2) o fator despesas, incluídas aí aquelas despesas operacionais, tributárias

e contratuais para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança; (3) o fator

inflação caracterizado como a perda do poder aquisitivo da moeda estimada para o prazo

do empréstimo; (4) o fator lucro, que é estabelecido em função do custo de oportunidade

do capital, que, por sua vez, se justifica pela postergação da utilidade do capital.

A taxa de juros assim formada deve ser comparada com a taxa de juros do mercado,

normalmente balizada pelos bancos centrais dos diversos países ao estabelecer a

remuneração de seus papéis colocados à disposição dos investidores. Tal taxa funciona

4

como uma “taxa livre de risco” e é um sinalizador para o mercado.

A regra básica para se estudar o valor do dinheiro no tempo é que “não se pode

comparar, somar ou subtrair dinheiros que se encontrem em datas diferentes”. Esse

conceito é primordial na Matemática Financeira e está diretamente ligado ao conceito de

equivalência de capitais e de planos de pagamentos.

Dois capitais são ditos equivalentes financeiramente, quando tem o mesmo valor em

uma data qualquer tomada como referência (data focal). Esse conceito vale para

capitalização simples e para capitalização composta. Uma vez mostrado que dois capitais

são iguais em uma data tomada como referência, considerada determinada taxa de juros i,

esses mesmos capitais serão iguais em qualquer outra data, desde que se utilize a mesma

taxa inicialmente empregada.

Como extensão da equivalência de capitais, temos a equivalência de planos de

pagamentos. “Diz-se que dois planos de pagamentos, A e B, são equivalentes, quando o

valor atual dos termos do plano A, for igual ao valor atual dos termos do plano B,

considerada determinada taxa de juros i”. O assunto equivalência será abordado

novamente, mais adiante, quando da apresentação das ferramentas de análise de fluxos

de caixa.

2. OPERAÇÕES BÁSICAS

Formas de apresentação da taxa

Centesimal ou percentual(%) - Corresponde a referência da taxa a cem unidades de

capital.

Exemplos

1. i = 6% ao mês

2. i = 0,25% ao dia

Unitária

Corresponde a referência da taxa a uma unidade de capital.

Exemplos

1. 6% (forma centesimal) corresponde a 0,06 na forma unitária

2. 0,25% (forma centesimal) corresponde a 0,0025 na forma unitária

5

Operações com lucro

Elementos Notação

Preço de compra .................................................. PC

Preço de Venda ................................................... PV

Margem de lucro sobre o preço de compra .......... iC

Margem de lucro sobre o preço de venda ............ iV

Margem de lucro calculada sobre o preço de compra

PC 1

PV 1+ iC ∴ )i1(PP CCV +⋅=

Exemplos

1. Determinado produto foi adquirido por R$ 800,00 obtendo-se na venda a margem de

lucro sobre o preço de compra de 25%. Qual o preço de venda do produto?

Dados: PC = R$ 800,00; iC = 25%; PV = ?

00,000.1$)25,01(800)1( RiPP CCV =+⋅=+⋅=

2. Um produto foi adquirido por R$ 480,00 e vendido por R$ 696,00. Calcule a margem de

lucro obtida sobre o preço de compra.

Dados: PC = R$ 480,00; PV = R$ 696,00; iC = ?

)i1(PP CCV +⋅= ∴ CC

V i1P

P+= ∴ %4545,01

480

6961 ==−=−=

C

VC P

Pi

Margem de lucro calculada sobre o preço de venda

PV 1

PC 1 – iV ∴ )i1(PP VVC −⋅=

6

Exemplos

1. Determinado produto foi adquirido por R$ 900,00. Se a margem de lucro sobre o preço

de venda obtida foi igual a 20%, qual o preço de venda do produto?

Dados: PC = R$ 600,00; iC = 20%; PV = ?

)1( VVC iPP −⋅= ∴ 00,125.1$2,01

900

1R

i

PP

C

CV =

−=

−=

2. Um produto foi adquirido por R$ 560,00 e vendido por R$ 700,00. Calcule a margem de

lucro obtida sobre o preço de venda.

Dados: PC = R$ 560,00; PV = R$ 700,00; iV = ?

)i1(PP VVC −⋅= ∴ VV

C i1P

P−= ∴ %00,2020,0

700

56011 ==−=−=

V

CV P

Pi

Relação entre margem de lucro sobre o preço de compra e preço de venda

Se 1P

Pi

C

VC −= então

C

VC P

P1i =− (I) e sendo

V

CV P

P1i −= logo

C

V

V P

P

i1

1 =−

(II).

Igualando (I) e (II) temos: V

C i11

1i−

=− portanto: V

VC i1

ii

−= e

C

CV i1

ii

+=

Exemplos

1. Se a margem de lucro sobre o preço de compra é igual a 25%, qual a margem de lucro

sobre o preço de venda?

Dados: iC = 25%; iV = ?

%202,025,1

25,0

25,01

25,0

i1

ii

C

CV ===

+=

+=

2. Se a margem de lucro sobre o preço de venda é igual a 20%, qual a margem de lucro

sobre o preço de compra?

Dados: iV = 20%; iC = ?

%2525,08,0

2,0

2,01

2,0

i1

ii

V

VC ===

−=

−=

7

Taxa Única para acréscimos e decréscimos sucessivos

No comércio de mercadorias de uma maneira geral é comum se querer saber qual a

taxa única capaz de substituir acréscimos ou decréscimos percentuais aplicados sobre o

preço de determinado bem. As fórmulas utilizadas para este fim são as que seguem:

}1)]1)...(1).(1).(1{[( 321 −++++= na iiiii taxa para acréscimos sucessivos;

)]}1)...(1).(1).(1[(1{ 321 nd iiiii −−−−−= taxa para decréscimos sucessivos.

Exercícios Propostos

1) Um comerciante adquire uma mercadoria por R$ 700,00. Qual deverá ser o preço de

venda desta mercadoria de modo a se obter a margem de lucro de 28% sobre o

preço de compra? R: R$ 896,00

2) Uma pessoa adquiriu um produto por R$ 480,00 com o objetivo de revendê-lo com a

margem de lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda do

produto? R: R$ 600,00

3) Sobre o valor bruto de uma fatura de R$ 800,00 foram concedidos abatimentos

sucessivos de 10% e 8%. Qual o valor líquido pago? R: R$ 662,40.

4) Uma mercadoria foi vendida por R$ 537,00 com margem de lucro de 35% sobre o

preço de compra. Qual o preço de compra? R:R$ 397,78.

5) Ao preço de uma mercadoria incorporados acréscimos sucessivos de 10%, 6% e

0,5%. Qual a taxa única que substitui estes acréscimos sucessivos? R: 17,183%.

6) Uma pessoa adquiriu um imóvel de R$ 58.000,00( preço de tabela) com desconto de

2,5%. No dia seguinte, vendeu o imóvel por um valor de 2% acima do preço de

tabela. Qual o percentual total de lucro desta pessoa? R: 4,6153846%.

7) Um comerciante pagou 30% de uma dívida. Do restante, pagou 20% e com mais R$

28.000,00 liquidou a dívida. Qual o valor da dívida? R: R$ 50.000,00.

8) Um comerciante comprou tecidos por R$ 38.200,00 e alimentos por R$ 29.000,00.

Revendeu os tecidos com a margem de prejuízo de 8% e os alimentos com margem

de lucro de 12% ambos sobre o preço de compra. No geral, qual o percentual de

ganho/prejuízo do comerciante? R: + 0,6309524%.

9) Um comerciante comprou enlatados por R$ 12.500,00 e produtos para limpeza por

R$ 9.000,00. Revendeu os enlatados com a margem de prejuízo de 5% e os

8

produtos para limpeza com margem de lucro de 12%,ambos sobre o preço de

compra. No geral, qual o percentual de ganho/prejuízo do comerciante? R: +

2,11628%.

10) Uma pessoa investiu seu capital sucessivamente em 3 empresas. Na primeira

obteve margem de lucro de 7%, na segunda margem de prejuízo de 4%, e na

terceira margem de lucro de 3%. Essa pessoa, em relação ao capital inicial obteve

lucro, prejuízo ou manteve seu capital inicial. Caso a resposta tenha sido lucro ou

prejuízo, qual o percentual em relação ao capital inicial. R: - 0,3616%.

3. JUROS SIMPLES

O regime de juros simples ou de capitalização simples é aquele em que a taxa de

juros incide somente sobre o capital inicial e não sobre os juros acumulados período a

período.

Elementos Notação

Valor Futuro ou Montante ...................................... M

Valor Presente ou Principal .................................... P

Taxa de juros .......................................................... i

Número de períodos ............................................... n

Juros simples ......................................................... J

Cálculo dos juros simples

niPJ ⋅⋅= (I)

Exemplo: A dívida de R$ 1.200,00 deverá ser liquidada 18 dias após o vencimento à taxa

de juros de 0,25% ao dia. Calcular os juros simples a serem pagos.

Dados: P = R$ 1.200,00; i = 0,25% ao dia; n = 18 dias; J = ?

00,54$R180025,0200.1niPJ =⋅⋅=⋅⋅=

Cálculo dos juros simples pela HP-12C

A HP-12C calcula simultaneamente o juro tanto com base no ano comercial (360 dias), como no ano civil (365

dias). Seqüência :

1. Dê entrada do período em dias (n)

9

2. Dê entrada da taxa anual (i)

3. Dê entrada do valor atual, com sinal trocado (CHS PV)

4. Aperte f int para obter os juros. Se quiser o montante final aperte (+).

5. Para o ano civil, R↓ e em seguida x < y.

Outros exemplos para apresentação em sala de aula :

Exemplo 1 : Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 100.000,00, pelo prazo de 15

meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% am? R: R$ 45.000,00.

Exemplo 2 : Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar

a taxa correspondente. R: 2% am.

Exemplo 3 : Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00.

Qual a taxa anual correspondente à essa aplicação? R: 33% aa.

Exemplo 4 : Sabendo-se que os juros de R$ 120.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 150.000,00, a

taxa de 8% ao trimestre, pergunta-se em que prazo? R: 2,5 anos.

CÁLCULO DO VALOR FUTURO OU MONTANTE

JPM += (II) ∴ niPPM ⋅⋅+= ∴ )ni1(PM ⋅+⋅= (III)

Exemplo: A dívida de R$ 800,00 deverá ser liquidada 16 dias após o vencimento à taxa de

juros de 0,35% ao dia. Calcular a quantia que liquidará a dívida.

Dados: P = R$ 800,00; i = 0,35% ao dia; n = 16 dias; M = ?

80,844$R)160035,01(800)ni1(PM =⋅+⋅=⋅+⋅=

Exemplo 1 : Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% aa rende R$

72.000,00 de juros, determinar o montante. R: 112.000,00

Exemplo 2 : Certa pessoa obtém R$ 40.000,00 emprestados de um agiota, entregando-lhe uma NP de R$

80.000,00, com vencimento para 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual de juros cobrados pelo

agiota. R: 8,33% am. e 100% aa.

Exemplo 3 : Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00,

considerando-se uma taxa de 30% aa? R: 1,75 anos ou 21 meses.

Exemplo 4 : Em quanto tempo um capital aplicado a 48% aa. dobra de valor? R: 25 meses.

Exemplo 5 : A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros iguais a ¼ de seu valor?

R: 2,5% am.

Exemplo 6 : Um capital foi aplicado a juros simples por 4 meses e produziu um montante de R$ 472.000,00.

Este mesmo capital aplicado durante 198 dias, à mesma taxa, produziu um montante de R$ 518.800,00.

Calcule a taxa anual de aplicação e o capital aplicado. R: 54% aa; R$ 400.000,00.

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Exemplo 7 : Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 500.000,00 a taxa simples de 8,4% am. Algum tempo

depois, encontrando quem lhe emprestasse R$ 1.000.000,00 a taxa simples de 7,5 % am., liquidou o

empréstimo anterior com sobras. Sabendo-se que pagou, após um ano, um total de juros simples de R$

622.800,00, pelos dois empréstimos, determinar os juros pagos pelo primeiro e também pelo segundo

empréstimo. R: R$ 352.800,00 e R$ 270.000,00.

Proporcionalidade entre as taxas

No regime de juros simples, existe proporcionalidade entre as taxas. Quando uma

taxa é fornecida em uma unidade de tempo diferente daquela à que se refere o prazo da

operação, basta modificarmos a sua unidade de tempo utilizando uma proporção.

Exemplo: A dívida de R$ 3.200,00 deverá ser liquidada 21 dias após o vencimento à taxa

de juros de 4,5% ao mês. Calcular a quantia que liquidará a dívida.

Dados: P = R$ 3.200,00; i = 4,5% ao mês; n = 21 dias; M = ?

i m 6%

i d x

%15,030

%5,4x == ao dia ∴ 80,300.3$R)210015,01(200.3)ni1(PM =⋅+⋅=⋅+⋅=


1) Determine o capital que aplicado durante 25 dias a taxa de 7,2 % ao mês produz R$

240,00 de juros simples. R: R$ 4.000,00.

2) Em quanto tempo (dias) a quantia de R$ 4.500,00 aplicada a taxa de juros de 5,4%

a.m. produziu juros simples de R$ 137,70? R : 17 d.

3) A que taxa de juros mensal, a quantia de R$ 3.700,00 aplicada durante 25 dias,

produziu R$ 194,25 de juros simples? R: 6,3% ao mês.

4) Qual a taxa de juros diária de aplicação do capital de R$ 2.800,00 que no prazo de

18 dias produziu o montante a juros simples de R$ 2.991,52. R: 0,38% ao dia.

5) Qual prazo de aplicação (dias) de R$ 2.600,00 a taxa de juros de 0,27% ao dia e

que produziu o valor futuro a juros simples de R$ 2.761,46. R: 23 dias.

6) Com R$ 7.000,00 paguei um empréstimo que havia contraído há 18 dias, a taxa de

juros simples de 4,5% ao mês. Quanto havia pedido emprestado? R: R$ 6.815,96.

11

7) Uma pessoa aplicou 1/3 de seu capital a taxa de 3,6% ao mês durante 6 dias e o

restante a taxa de 4,2% ao mês pelo prazo de 9 dias. A diferença entre os juros

simples produzidos pelas aplicações foi de R$180,00. Qual o valor total inicialmente

aplicado? R: 30.000,00.

8) Determinada quantia foi aplicada a juros simples por 24 dias e produziu o valor

futuro de R$ 5.24,00,00. Se essa mesma quantia, aplicada durante 40 dias

produziria o valor futuro de R$ 5.400,,00, determine a taxa anual de juros e a quantia

aplicada. R: 72% ao ano/ R$ 5.000,00.

9) Dois capitais, o primeiro de R$ 2.000,00 e outro de R$ 2.800,00 foram aplicados a

mesma taxa. O primeiro capital em 40 dias rendeu R$ 32,00 de juros simples mais

que o segundo em 24 dias. Calcular a taxa mensal de juros simples envolvida nas

operações. R: 7,5% a.m.

10) Emprestei R$1.500,00 em duas partes diferentes mas pelo mesmo prazo. A primeira

parte a taxa de juros de 3,5% ao mês e a segunda a taxa de juros de 48% ao ano.

As duas partes renderam juros simples iguais. Calcular o valor das partes. R: R$

800 e R$ 700.

11) Determinada mercadoria tem seu preço a vista fixado em R$1.000,00 mas pode ser

adquirida da seguinte forma: entrada correspondente a 40% do preço a vista e mais

um pagamento no valor de R$ 640,00 para 40 dias após a compra. Calcule a taxa

mensal de juros simples cobrada pela loja na venda a prazo. R: 5% a.m.

12) Um comerciante para atender aos pagamentos de suas encomendas necessitará de

R$ 3.500,00 no prazo de 16 dias e R$ 4.200,00 doze dias após. Dispondo de

reservas, gostaria de aplicá-las em uma instituição financeira que remunera os

depósitos a taxa de juros simples de 6,3 % ao mês. Com este objetivo, quanto

deverá aplicar hoje, de forma que possa efetuar os pagamentos nos prazos

estabelecidos sabendo-se que ao final das operações o saldo da conta deverá ser

de R$ 1.000,00? R: R$ 8.293,52.

13) Determinado capital ficou depositado durante 14 dias a taxa de juros simples de

5,4% ao mês. A soma deste capital e dos juros relativos a este periodo foram

reaplicados pelo prazo de 16 dias a taxa de juros simples de 6,6% ao mês. Ao final

das operações o total resgatado foi de R$ 4.535,00. Calcule o valor da aplicação

inicial. R$ 4.273,12.

12

4. DESCONTO SIMPLES

O desconto, seja simples ou composto, deve ser entendido como sendo a diferença

entre o valor futuro (valor nominal) de um título e seu valor presente (valor atual) quando o

mesmo é negociado antes do vencimento. O desconto é denominado simples quando é

obtido através de cálculos lineares.

Elementos Notação

Valor Nominal ou valor futuro ................................. N

Valor Presente ou valor atual.................................. V

Taxa do desconto simples....................................... i

Número de períodos de antecipação ou prazo ...... n

Desconto simples comercial ................................... d

Desconto simples comercial ou desconto “por fora”

O desconto simples comercial é calculado sobre o valor nominal do título, ou seja:

niNd ⋅⋅=

Portanto, o valor atual do título pode ser obtido fazendo-se:

dNV −= ∴ niNNV ⋅⋅−= ∴ ( )ni1NV ⋅−⋅=

Exemplo 1 - Um título no valor de R$ 8.000,00 deverá ser negoc iado 90 dias antes do

vencimento à taxa do desconto simples comercial de 5% ao mês. Determinar o valor do

desconto bem como o valor atual do título.

Dados: N = R$ 8.000,00; i = 5% ao mês; n = 90 dias = 3 meses; V = ?

Cálculo do desconto simples comercial:

00,200.1$R305,0000.8niNd =⋅⋅=⋅⋅=

Cálculo do valor atual do título:

13

00,800.6$R200.1000.8dNV =−=−=

Exemplo 2 - Uma duplicata é descontada em uma instituição financeira produzindo um

crédito na conta do cliente de R$ 6.244,00. Se a taxa do desconto simples comercial da

operação foi de 6% ao mês e a duplicata foi negociada 54 dias antes do vencimento,

determinar o valor futuro (nominal) da duplicata.

Dados: V = R$ 6.244,00; i = 6% ao mês; n = 54 dias = 1,8 meses; N = ?

( )ni1NV ⋅−⋅= ∴ 00,000.7$R8,106,01

244.6

ni1

VN =

⋅−=

⋅−=

Exemplo 3 - Um título no valor de R$ 3.000,00 foi negociado 75 dias antes de seu

vencimento por R$ 2.625,00. Determinar a taxa do desconto simples comercial envolvida

na operação.

Dados: V = R$ 2.625,00; n = 75 dias = 2,5 meses; N =R$ 3.000,00; i= ?

( )ni1NV ⋅−⋅= ∴ ( )5,2i1000.3625.2 ⋅−⋅= ∴ i5,21000.3

625.2 ⋅−= ∴

875,01i5,2 −=⋅ ∴ 125,0i5,2 =⋅ ∴ %505,05,2

125,0i === ao mês

Desconto simples racional ou por dentro

O desconto simples racional é calculado sobre o valor atual do título, ou seja:

niPd ⋅⋅=

Portanto, o desconto racional em função do valor nominal do título pode ser obtido

fazendo-se:

dPN += ∴ ).1( ni

NP

+= ∴

).1(

..

ni

niNd

+=

14

Exemplo 1 - Um título no valor de R$ 8.000,00 deverá ser negoc iado 90 dias antes do

vencimento à taxa do desconto simples comercial de 5% ao mês. Determinar o valor do

desconto bem como o valor atual do título.

Dados: N = R$ 8.000,00; i = 5% ao mês; n = 90 dias = 3 meses; V = ?

Cálculo do desconto simples racional:

48,043.1$)3.05,01(

3.05,0.00,000.8

).1(

..R

ni

niNd =

+=

+=

Cálculo do valor atual do título:

52,956.6$48,043.1000.8 RdNV =−=−=

Exemplo 2 - Uma duplicata é descontada em uma instituição financeira produzindo um

crédito na conta do cliente de R$ 6.244,00. Se a taxa do desconto simples comercial da

operação foi de 6% ao mês e a duplicata foi negociada 54 dias antes do vencimento,

determinar o valor futuro (nominal) da duplicata.

Dados: V = R$ 6.244,00; i = 6% ao mês; n = 54 dias = 1,8 meses; N = ?

niVd ..= ∴ 35,918.6$35,6748,1.06,0.00,244.6 RdVNd =+=∴==

Exemplo 3 - Um título no valor de R$ 3.000,00 foi negociado 75 dias antes de seu

vencimento por R$ 2.625,00. Determinar a taxa do desconto simples comercial envolvida

na operação.

Dados: V = R$ 2.625,00; n = 75 dias = 2,5 meses; N =R$ 3.000,00; i= ?

niVd ..= ∴ amnV

di %714,505714,0

5,2.00,625.2

00,375

.====

Desconto simples comercial bancário

Alguns bancos e/ou instituições financeiras costumam cobrar uma taxa de

administração para proceder o desconto de títulos. Tal taxa é variável de instituição para

instituição. A fórmula para o desconto “bancário”seria então:

15

)( hniNd +⋅⋅=

onde “h”é a taxa de administração. Portanto, o valor atual do título pode ser obtido

fazendo-se:

dNV −= ∴ )( hniNNV +⋅⋅−= ( )hniNV −⋅−⋅= 1


1) O título de R$ 4.000,00 foi resgatado 25 dias antes de seu vencimento a taxa do

desconto simples comercial de 0,45% ao dia. Calcule o desconto. R: R$ 450,00.

2) O título de R$ 5 mil foi descontado a taxa de 0,42% ao dia. Sabendo-se que o valor

do desconto simples comercial foi de R$ 378,00, calcule o periodo de antecipação

(dias) no resgate do título. R: 18 d.

3) Um título foi descontado a taxa de 0,35% ao dia, estando a 21 dias de seu

vencimento. Sabendo-se que o valor do desconto simples comercial foi de R$

352,80, calcule o valor nominal do título. R: R$ 4.800,00.

4) Um título no valor de R$ 10.000,00 foi resgatado 45 dias antes de seu vencimento a

taxa do desconto simples comercial de 6,3% ao mês. Calcule o valor de resgate do

título. R: R$ 9.055,00.

5) Um título foi resgatado por R$ 3.200,00 a taxa do desconto simples racional de

3,6% ao mês estando a 21 dias de seu vencimento. Calcule o valor nominal do título.

R: R$ 3.280,64.

6) Um título no valor de R$ 2.800,00 foi resgatado por R$ 2.531,20 a taxa do desconto

simples comercial de 4,8% ao mês. Calcule o número de períodos (dias) de

antecipação no resgate do título. R: 60 dias.

7) O preço de um produto sofreu o acréscimo de 25%. Qual o desconto que deve

incidir sobre o novo preço do produto para que a mesmo retorne ao preço inicial?

8) A diferença entre os valores atuais de um título pelos descontos simples comercial e

racional é de R$ 155,40. Calcular o valor nominal deste título sabendo-se que o

mesmo vence em 50 dias e a taxa do desconto é de 66% ao ano. R: R$ 20.152,83.

9) Um título foi descontado 3 meses e 15 dias antes de seu vencimento a taxa de 45%

ao ano. Se o desconto fosse o racional, o devedor teria desembolsado mais R$

16

3.045,58 para resgatá-lo. Calcule o valor nominal do título. R: R$ 200.000,00.

10) Um título no valor de R$ 5.500,00 foi descontado em uma instituição financeira que

cobra uma taxa de administração de 2%. Sabendo-se que o título foi descontado 90

dias antes de seu vencimento e que a taxa do desconto simples comercial é de 40%

ao ano, determine o desconto bancário e quanto recebeu o dono do título R: R$

660,00.

11) Um título sofreu o desconto bancário de R$ 600,00 estando a 48 dias de seu

vencimento, a taxa do desconto simples de 5,4% ao mês. Sabendo-se que a

instituição na qual o título foi descontado cobra uma taxa de administração de 1,8%,

qual o valor nominal do título? R: R$ 5.747,13.

12) Um título no valor de R$ 4.500,00 deverá ser descontado 35 dias antes de seu

vencimento a taxa do desconto simples de 3,9% ao mês. Sabendo-se que na

instituição financeira na qual será descontado o título é cobrada a taxa de

administração de 1% calcule o valor de resgate do título. R: R$ 4.250,25.

13) Uma empresa deve dois títulos, ambos no valor de R$ 6.000,00, vencíveis em 18

dias e 33 dias. Prevendo não poder resgatá-los nos prazos estabelecidos solicita ao

credor a substituição destes títulos por único título vencível em 60 dias. Estabelecida

a taxa do desconto simples comercial de 3,6% ao mês, qual o valor nominal do novo

título? R: R$ 12.535,34.

14) Uma empresa deve 4 títulos. Os dois primeiros no valor de R$ 5.000,00 vencíveis

em 25 dias e 36 dias, e os demais, no valor de R$ 6.500,00 com prazo de

vencimento para 45 dias e 54 dias. Prevendo não poder resgatá-los nos prazos

estabelecidos, solicita ao credor a substituição por único título com vencimento para

60 dias. Sendo adotada a taxa do desconto simples comercial de 6% ao mês, qual o

valor nominal do novo título? R: R$ 23.980,68.

5. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o

capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período imediatamente anterior. Neste

regime de capitalização a taxa de juros varia exponencialmente em função do tempo.

17

Elementos Notação

Valor Futuro ou Montante ...................................... FV

Valor Presente ou Principal .................................... PV

Taxa de juros .......................................................... i

Número de períodos de capitalização ou prazo ..... n

Juros compostos .................................................... J

Fluxo de caixa da operação FV ( + )

0 1 2 3 ... n-1 periodos de capitalização

n

PV ( - )

Cálculo do valor futuro ou montante

JPVFV += (I)

0

00 )i1(PVFV +⋅=

10

101 )i1(PV)i1(FVFV +⋅=+⋅=

20

11012 )i1.(PV)i1()i1(PV)i1(FVFV +=+⋅+⋅=+⋅=

M M M M

1n0

2n02n1n )i1(PV)i1()i1(PV)i1(FVFV −−

−− +⋅=+⋅+⋅=+⋅=

n0

1n01nn )i1(PV)i1()i1(PV)i1(FVFV +⋅=+⋅+⋅=+⋅= −

−

Generalizando, n)i1(PVFV +⋅= (II), onde n)i1( + é denominado fator de

acumulação de capital para pagamento único que depende da taxa de juros e do número

de periodos de capitalização.

Cálculo dos juros compostos

Da equação (I) temos que: PVFVJ −= .

18

Substituindo a equação (II) em PVFVJ −= obtemos

PV)i1(PVJ n −+⋅= ∴ ( )[ ]1i1PVJ n −+⋅= (III)

Obs.: O periodo de capitalização e a taxa de juros devem estar sempre referidos à mesma

unidade de tempo.

Exemplo 1 - Calcular o valor futuro produzido pela aplicaç ão de R$ 3.500,00 pelo prazo de 5

meses à taxa efetiva de juros de 3% ao mês.

Dados: PV = R$ 3.500,00; n = 5 meses; i = 3% ao mês; FV = ?

( ) 46,057.4$R159274,1500.303,01500.3)i1(PVFV 5n =⋅=+⋅=+⋅=

HP 12C

f fin CLx

3.500 CHS PV

3 i

5 n

FV R$ 4.057,46

Exemplo 2 - Determinar a quantia que aplicada pelo prazo de 6 meses à taxa efetiva de

juros de 2% ao mês, produziu o valor futuro de R$ 2.027,09

Dados: FV = R$ 2.027,09; i = 2% ao mês; n = 6 meses; PV = ?

n)i1(PVFV +⋅= ∴ ( ) ( )

00,800.1$R12616242,1

09,027.2

02,01

09,027.2

i1

FVPV

6n==

+=

+=

HP 12C

f fin CLx

2.027,09 FV

2 i

6 n

PV CHS R$ 1.800,00

Exemplo 3 - O empréstimo de R$ 4.200,00 foi liquidado após 4 meses por R$ 4.727,14.

Calcule a taxa efetiva de juros da operação.

Dados: FV = R$ 4.727,14; PV = R$ 4.200,00; n = 4 meses; i = ?

19

n)i1(PVFV +⋅= ∴ ( )PV

FVi1 n =+ ∴ n

PV

FVi1 =+

∴ %303,0103,111255088,11200.4

14,727.41

PV

FVi 44n ==−=−=−=−= ao mês

HP 12C

f fin CLx

4.727,14 FV

4.200 CHS PV

4 n

i 3

Exemplo 4 - Determinar o número de períodos (meses) da aplicação de R$ 1.500,00

efetuada à taxa efetiva de juros de 3,5% ao mês e que produziu o valor futuro de R$

2.513,02.

Dados: FV = R$ 2.513,02; PV = R$ 1.500,00; i = 3,5% ao mês; n = ?

n)i1(PVFV +⋅= ∴ ( )PV

FVi1 n =+ ∴

=+PV

FVln)i1ln( n ∴

=+⋅PV

FVln)i1ln(n ∴

( ) ( ) 1503440143,0

51602011,0

035,1ln

67534667,1ln

035,01ln

500.1

02,513.2ln

i1ln

PV

FVln

n ===+

=+

= meses

Resolução utilizando calculadora financeira

HP 12C

f fin CLx

2.513,02 FV

1.500 CHS PV

3,5 i

n 15

V.1 - Taxas

Taxa Efetiva: A taxa efetiva pressupõe incidência de juros apenas uma única vez em cada

período a que se refere a taxa, isto é, a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade

de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa efetiva é a taxa por período de

capitalização. Quando o período de capitalização não é mencionado, fica subentendido que

o mesmo coincide com o período de tempo da taxa.

20

Exemplos:

1. 12 % ao ano, capitalização anual ou 12% ao ano.

2. 2,4% ao mês, capitalização mensal ou 2,4% ao mês.

3. 0,2% ao dia, capitalização diária ou 0,2% ao dia.

Taxa nominal: A taxa nominal pressupõe incidência de juros mais de uma vez em cada

período a que se refere a taxa, isto é, a unidade de tempo a que se refere a taxa não

coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Quando uma taxa for

enunciada desta forma, para que a mesma seja aplicável às fórmulas com as quais

trabalhamos, devemos primeiramente transformá-la em taxa efetiva utilizando o critério da

proporcionalidade, fazendo coincidir a unidade de tempo da taxa com a unidade de tempo

do período de capitalização.

Exemplos:

1. 12% ao ano, capitalização mensal ou 1% ao mês.

2. 2,4% ao mês, capitalização diária ou 0,08% ao dia. (1 mês com 30 dias)

Taxas equivalentes: duas taxas são ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de

tempo diferentes, se aplicadas sobre o mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o

mesmo valor.

Elementos Notação

Taxa que quero calcular.........................iq

Taxa que tenho.......................................it

Unidade da taxa que quero calcular.......q

Unidade da taxa que tenho.....................t

Cálculo da taxa equivalente: ( ) 1i1i tq

tq −+=

Exemplo 1 - Suponha as taxas de 5% ao mês e 10,25% ao bimestre. Considere o capital

de R$ 10.000,00 aplicado durante 2 meses a essas taxas. Os valores futuros produzidos

são:

21

Dados:

PV = R$ 10.000,00; n = 2 meses = 1 bimestre; i1 = 10% ao mês; i2 =10,25% ao bimestre

( ) 00,025.11$R05,01000.10)i1(PVFV 2n1 =+⋅=+⋅=

( ) 00,025.11$R1025,01000.10)i1(PVFV 1n2 =+⋅=+⋅=

Nesse caso podemos afirmar que as taxas de 5 % ao mês e 10,25% ao bimestre são

equivalentes, senão vejamos,

Exemplo 1- Qual a taxa bimestral equivalente a taxa de 5% ao mês?

Dados: it =5% ao mês; t = 1 mês; q = 1 bimestre = 2 meses; iq = ?

( ) ( ) 25,101025,011025,1105,1105,011i1i 212

tq

tq ==−=−=−+=−+= ao bimestre

Exemplo 2 - Determinar a taxa anual equivalente a taxa de 1% ao mês.

Dados: it =1% ao mês; t = 1 mês; q = 1 ano = 12 meses; iq = ?

( ) ( ) %6825,12126825,01126825,1101,1101,011i1i 12112

tq

tq ==−=−=−+=−+= aa

Exemplo 3 - Determinar a taxa mensal equivalente a taxa de 60% ao ano.

Dados: it =60% ao ano; t = 1 ano = 12 meses; q = 1 mês; iq = ?

( ) ( ) %99441,30399441,010399441,116,116,011i1i 0833333,0121

tq

tq ==−=−=−+=−+= ao mês

Exemplo 4 - A quantia de R$ 5.000,00 será aplicada a taxa de 36% ao ano capitalização

mensal pelo prazo de 12 meses. Determinar o valor futuro (montante) produzido pela

aplicação.

Dados: PV = R$ 5.000,00; i = 36% ao ano cap. mensal; n = 12 meses; FV = ?

A taxa apresentada é nominal pois a unidade de tempo da taxa (ano) é diferente da

unidade de tempo a que se refere o periodo de capitalização(mês), portanto,

primeiramente devemos transforma-la em taxa efetiva utilizando o critério da

proporcionalidade.

i a 30% 12 meses

i m x 1 mês

%312

%36x == ao mês ∴

22

( ) 80,128.7$R425760887,1000.503,01000.5)i1(PVFV 12n =⋅=+⋅=+⋅=

Exemplo 5 - Considerando o mesmo enunciado do exemplo anterior mas supondo que a

taxa seja de 36% ao ano, qual o valor futuro produzido pela aplicação? Compare com o

resultado obtido no exemplo anterior.

Dados: PV = R$ 5.000,00; i = 36% ao ano; n = 12 meses = 1 ano; FV = ?

A taxa apresentada agora é efetiva pois, embora omitido, fica subentendido que o periodo

de capitalização coincide com a unidade de tempo da taxa (ano). Nesse caso, podemos

aplicá-la diretamente na fórmula, efetuando a mudança conveniente no prazo da aplicação

(se for o caso).

( ) 00,800.6$R36,1000.536,01000.5)i1(PVFV 1n =⋅=+⋅=+⋅=

V.2 - Convenção Linear (Mista)

A convenção linear ou mista é aquela em que se aplica o conceito de juros compostos

durante os períodos inteiros de capitalização e, na fração própria do período de

capitalização, é aplicado juros simples.

Elementos Notação

Valor Futuro ou Montante ...................................... FVL

Valor Presente ou Principal .................................... PV

Taxa de juros .......................................................... i

Número de períodos inteiros de capitalização ....... n1

Fração própria do periodo de capitalização ........... n2

Cálculo do valor futuro considerando a convenção linear

)n.i1()i1(PVFV 2n

L1 +⋅+⋅=

23

Exemplo 1 - A quantia de R$ 10.000,00 foi emprestada pelo prazo de 2 anos e seis meses

à taxa efetiva de juros de 15% ao ano. Tomando como base a capitalização anual dos

juros calcular o valor futuro considerando a convenção linear. Dados: PV = R$ 10.000,00; i

= 15% ao ano; n1 = 2 anos; n2 = 6 meses = 0,5 ano

86,216.14$R)5,015,01()15,01(000.10)n.i1()i1(PVFV 22

nL

1 =⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅=

Convém observar que se esse problema fosse resolvido considerando a convenção

exponencial, ou seja, considerados juros compostos tanto nos periodos inteiros quanto na

fração própria do periodo, obteríamos o seguinte resultado:

23,182.14$R)15,01(000.10)i1(PVFV 5,2n =+⋅=+⋅=

Resolução utilizando calculadora financeira HP 12C

f fin CLx

10.000,00 CHS PV

15 i

2,5 n

FV R$ 14.182,23 Valor futuro pela convenção exponencial

STO EEX Apaga o “c” do visor

FV FV R$ 14.216,86 Valor futuro pela convenção linear

Exemplo 2 - A dívida de R$ 5.000,00 deverá ser liquidada 6 meses e 15 dias após o

vencimento à taxa efetiva de juros de 10% ao mês. Calcular a quantia que liquidará a

dívida considerando:

Dados: PV = R$ 5.000,00; i = 10% ao mês; n1=6 meses; n2=0,5 mês; n = 6 meses; a) a

convenção exponencial (FV = ?)

14,290.9$R)1,01(000.5)i1(PVFV 5,6n =+⋅=+⋅=

a convenção linear (FVL =?)

69,300.9$R)5,01,01()1,01(000.5)n.i1()i1(PVFV 62

nL

1 =⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅=

HP 12C

f fin CLx

5.000,00 CHS PV

10 i

6,5 n

24

FV R$ 9.290,14 Valor futuro pela convenção exponencial

STO EEX Apaga o “c” do visor

FV FV R$ 9.300,69 Valor futuro pela convenção linear

Exercícios propostos

1) A quantia de R$ 500,00 foi aplicada durante 6 meses a taxa de juros de 5% ao mês.

Calcule o valor futuro (montante) produzido pela aplicação considerando: a)

capitalização simples R: R$ 650,00; b) capitalização composta. R: R$ 670,05.

2) A quantia de R$ 500,00 foi aplicada durante 6 meses a taxa de juros de 60% ao ano.

Qual o montante a juros compostos produzidos pela aplicação? R: R$ 632,46.

3) Calcular as taxas equivalentes a seguir indicadas: a) i = 10% ao mês; i = _____ %

ao dia R: 0,3182058%; b) i = 0,2% ao dia; i = _____ % ao mês R:

6,1772923%; c) i = 60% ao ano; i = _____ % ao mês R: 3,9944108%; d) i =

0,1% ao dia; i = _____ % ao ano R: 43,307161%.

4) R$ 3.000,00 foram aplicados pelo prazo de 468 dias a taxa de 7% ao mês.

Determine o valor futuro (montante) gerado pela aplicação considerando: a) a

convenção exponencial. R: R$ 8.620,02; b) a convenção linear (mista). R: R$

8.624,73.

5) R$ 8.000,00 foram aplicados pelo prazo de 1 ano, 3 meses e 12 dias a taxa de juros

de 96% ao ano capitalização bimestral. Calcule o montante produzido pela aplicação

considerando: a) a convenção exponencial. R: R$ 25.085,13; b) a convenção linear.

R: R$ 25.142,05.

6) Calcule as taxas efetivas a partir das taxas nominais a seguir relacionadas: a) 12%

ao ano, cap. mensal ; i = _____% ao mês. R: 1% ao mês; b) 6% ao mês,

cap. diária ; i = _____% ao dia. R:0,2% ao dia; c) 18% ao ano, cap.

trimestral; i = _____% ao trimestre. R: 4,5% ao trim.; d) 15% ao ano, cap. mensal

; i = _____% ao semestre. R: 7,7383181% ao trim.; e) 9% ao trim. cap. mensal ;

i = _____% ao mês. R: 3% ao mês;

7) Qual a taxa média mensal de inflação para que os preços: a)dupliquem em 1 ano.

R: 5,946309436% ao mês; b)tripliquem em 1 ano. R: 9,587269114% ao mês;

c)quadrupliquem em 1 ano. R:12,24620483% ao mês.

8) Uma loja deseja cobrar uma taxa real de 2% ao mês, em um período que a taxa

inflacionaria é de 3% ao mês. Determine a taxa efetiva a ser cobrada pela loja: a)

25

mensal; R: 5,06% ao mês ; b) anual; R:80,82095% ao ano.

9) Uma pessoa dispõe de R$ 10.000,00 e aplica-os em duas financeiras, em partes

diferentes, ambas pelo prazo de 24 meses. A primeira parte a taxa de 8,25% ao mês

e a outra a taxa de 8,75% ao mês. Ao final do prazo, as aplicações produziram

valores futuros (montantes) a juros compostos iguais. Determine: a) o valor dos

capitais iniciais aplicados em cada uma das financeiras; R: R$ 5.276,22 e R$

4.723,78; b) o valor futuro (montante) total produzido pelas aplicações. R: R$

70.733,00.

10) Determinado capital foi aplicado a juros compostos por 5 meses e produziu o

montante de R$ 17.389,11. Este mesmo capital, aplicado durante 210 dias, a

mesma taxa, produziu o montante composto de R$ 18.448,11. Determine: a) a taxa

mensal de juros de aplicação destes capitais; R: 3% ao mês; b) o capital inicial; R:

R$ 15.000,00.

11) Uma pessoa empregou certo capital a taxa de 120% ao ano, capitalização mensal.

Decorridos 4 meses da aplicação, retirou capital e juros e reaplicou-os a taxa de

12% ao mês pelo prazo de 5 meses, obtendo o montante a juros compostos de R$

5.160,49. Determine o capital relativo a primeira aplicação. R: R$ 2.000,00.

12) Determinada mercadoria é oferecida pelo preço a vista de R$ 500,00 ou a prazo,

nas seguintes condições: Entrada correspondente a 40% do preço a vista e mais um

pagamento de R$ 327,40 para 45 dias após a compra. Determine a taxa mensal de

juros compostos cobrada pela loja na venda a prazo. R: 6% ao mês.

13) Em quantos meses, o montante a juros compostos produzido pelo capital de R$

7.462,15 aplicado a taxa de 5% ao mês se iguala ao montante composto produzido

pelo capital de R$ 7.049,61 aplicado a taxa de 6% ao mês? R: 6 meses.

14) Determinada mercadoria é oferecida pelo preço a vista de R$ 4.000,00 ou em dois

pagamentos mensais iguais de R$ 2.048,78, primeiro pagamento dado com entrada.

Calcule a taxa mensal de juros compostos cobrada pela loja na venda a prazo. R:

5% ao mês.

15) Um comerciante para atender aos pagamentos de suas encomendas necessitará de

R$ 5.500,00 ao final de oito dias e de R$ 4.500,00 sete dias após. Dispondo de

reservas, gostaria de aplicá-las em uma financeira que remunera os depósitos a taxa

de juros compostos de 6% ao mês. Quanto deverá aplicar hoje, de forma que possa

efetuar os pagamentos nos prazos citados e o saldo na conta, após o último

pagamento seja zero? R: R$ 9.795,98.

26

16) R$ 4.000,00 foram aplicados pelo prazo de 1 ano e 8 meses a taxa de juros de 90%

ao ano capitalização trimestral. Calcule o montante produzido pela aplicação

considerando: a) a convenção exponencial; R: R$ 15.475,12; b) a convenção linear;

R: R$ 15.544,41.

17) Um comerciante adquiriu uma mercadoria por R$ 250,00 e revendeu-a 45 dias após

por R$ 315,00. Se a taxa inflacionária mensal é de 4%, qual a taxa real mensal

obtida pelo comerciante na venda da mercadoria? R: 12,17094%.

6. VI - DESCONTO COMPOSTO

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é idêntico ao do regime de

juros simples: corresponde ao abatimento por saldar-se um compromisso antes do seu

vencimento. A diferença é devida apenas ao regime de juros, sendo o raciocínio financeiro

o mesmo. O que fazemos é calcular a diferença entre o valor nominal e o atual do

compromisso na data em que se propõe que seja efetuado o desconto. O desconto

corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal e o valor descontado é a diferença

entre o valor nominal e o desconto.

Elementos Notação

Valor Nominal ou valor futuro ................................. FV

Valor Presente ou valor atual.................................. PV

Taxa do desconto.................................................... i

Número de períodos de antecipação ou prazo ...... n

Desconto composto ............................................... d

Fluxo de caixa da operação FV ( + )

0 1 2 3 ... n-1 periodos de antecipação

n

PV ( - )

27

Cálculo do valor atual ou valor presente: ( )ni1

FVPV

+=

Cálculo do desconto composto: PVFVd −=

Exemplo 1 - Um título no valor de R$ 5.000,00 deverá ser negociado 90 dias antes do vencimento à

taxa efetiva do desconto composto de 4% ao mês. Determinar o valor do desconto bem como o

valor atual do título.

Dados: FV = R$ 5.000,00; i = 4% ao mês; n = 90 dias = 3 meses; PV = ?

Cálculo do valor atual do título

( ) 98,444.4$R124864,1

000.5

)04,01(

000.5

i1

FVPV

3n ==+

=+

=

Cálculo do desconto

02,555$R98,444.4000.5PVFVd =−=−=

HP 12C

f fin CLx

5.000 FV

3 n

4 i

PV CHS R$ 4.444,98

RCL FV CHS R$ 555,02


1) Um título no valor de R$ 4.000,00 deverá ser resgatado 2 meses antes de seu

vencimento a taxa do desconto composto de 5% ao mês. Calcule o valor de resgate

do título e o desconto. R: R$ 3.628,12/R$371,88.

2) Um título foi resgatado por R$ 4.319,19 a taxa do desconto composto de 5% ao mês

estando a 3 meses de seu vencimento. Qual o valor nominal do título? R: R$

5.000,00.

3) Uma empresa contraiu um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 para ser liquidado

após um ano a taxa de juros de 5% ao mês. Decorridos 9 meses do empréstimo a

empresa decide liquidar a dívida. Se adotada a taxa do desconto composto de 4%

ao mês, Calcule o desconto composto. R: R$ 3.986,93.

28

4) Uma empresa obteve um empréstimo para ser liquidado no prazo de 6 meses, a

taxa de juros de 6% ao mês. Decorridos 4 meses, a empresa liquidou a dívida com

um pagamento de R$ 26.966,69 a taxa do desconto composto de 66% ao ano,

capitalização mensal. Calcule o valor do empréstimo. R: R$ 21.159,11.

7. SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES

VII.1 - SÉRIES DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL

É a série que mostra o retorno do capital através de pagamentos iguais e

periódicos. Este retorno pode ser de um empréstimo ou da aquisição de um bem.

Elementos Notação

Valor Presente ou valor financiado ......................... PV

Pagamento ou prestação ....................................... PMT

Taxa de juros .......................................................... i

Número de pagamentos (prestações) .................... n

Periodo de diferimento ou carência ........................ m

VII.1.1 - Série de “n” pagamentos, periódicos, iguais e postecipados

Caracterização da série PV

0 1 2 3 4 5 k-3 k-2 k-1 k períodos

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

Cálculo do pagamento:

−++=

1)1(

.)1(.

n

n

i

iiPVPMT ; o fator que multiplica PV no segundo lado

da equação é denominado FRC ou fator de recuperação de capital.

29

Exemplo 1 - O preço à vista de uma geladeira é de R$ 900,00. Entretanto a mesma pode

ser adquirida em 12 pagamentos mensais iguais, com primeiro pagamento efetuado 30

dias após a compra. Se, nos financiamentos, a loja cobra a taxa efetiva de juros de 8% ao

mês, determinar o pagamento mensal a ser efetuado.

Dados: PV = R$ 900,00; n = 12 pagamentos mensais; i = 8% ao mês; PMT = ?

( )( )

43,119$R108,01

08,008,01900

1)i1(

i.)i1(.PVPMT

12

12

n

n

=

−+⋅+⋅=

−++=

HP 12C

f fin CLx

900 CHS PV

8 i

12 n

g END PMT R$ 119,43

Exemplo 2 - O preço à vista de um televisor com tela de 20 polegadas é de R$ 600,00.

Entretanto o mesmo pode ser adquirido da seguinte forma: entrada correspondente a 30%

do preço a vista e o restante financiado em 6 pagamentos mensais iguais. Se, nos

financiamentos, a loja cobra a taxa efetiva de juros de 7% ao mês, determinar o pagamento

mensal a ser efetuado.

Dados: PV = 00,420$R6007,0 =⋅ ; n = 6 pagamentos mensais; i = 7% ao mês; PMT = ?

( )( )

11,88$R107,01

07,007,01420

1)i1(

i.)i1(.PVPMT

6

6

n

n

=

−+⋅+⋅=

−++=

HP 12C

f fin CLx

420 CHS PV

7 i

6 n

g END PMT R$ 88,11

Cálculo do valor presente:

+−+

=i.)i1(

1)i1(.PMTPV

n

n

; o fator que multiplica PMT no segundo

lado da equação é denominado FVA ou fator de valor atual.

30

Exemplo 1 - Para liquidar um empréstimo uma pessoa deverá efetuar 24 pagamentos

mensais iguais de R$ 199,04. Sabendo-se que a financeira a taxa efetiva de juros de 6%

ao mês, calcule a quantia que essa pessoa tomou emprestado.

Dados: PMT =R$ 79,68; n = 24 pagamentos mensais; i = 6% ao mês; PV = ?

( )( )

00,000.1$R06,006,01

106,0168,79

i.)i1(

1)i1(.PMTPV

24

24

n

n

=

⋅+−+⋅=

+−+=

HP 12C

f fin CLx

79,68 CHS PMT

6 i

24 n

g END PV R$ 1.000,00

VII.1.2 - Série de “n” pagamentos, periódicos, iguais e antecipados

Caracterização da série PV

0 1 2 3 4 5 k-3 k-2 k-1 k períodos

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT


−++=

−

1)1(

.)1(.

1

n

n

i

iiPVPMT

Exemplo 1 - O preço à vista de uma geladeira é de R$ 900,00. Entretanto a mesma pode

ser adquirida em 12 pagamentos mensais iguais, com primeiro pagamento dado como

entrada. Se, nos financiamentos, a loja cobra a taxa efetiva de juros de 8% ao mês,

determinar o pagamento mensal a ser efetuado.

Dados: PV = R$ 900,00; n = 12 pagamentos mensais; i = 8% ao mês; PMT = ?

( )( )

58,110$R108,01

08,008,01900

1)i1(

i.)i1(.PVPMT

12

112

n

1n

=

−+⋅+⋅=

−++=

−−

31

HP 12C

f fin CLx

900 CHS PV

8 i

12 n

g BEG PMT R$ 110,58

Exemplo 2 - O preço à vista de um televisor com tela de 20 polegadas é de R$ 600,00.

Entretanto o mesmo pode ser adquirido em 10 pagamentos mensais iguais de R$ 78,66,

com primeiro pagamento dado com entrada. Determinar a taxa efetiva mensal de juros

cobrada pela loja. Dados: PV = R$ 600,00; n = 10 pagamentos mensais; PMT = R$ 78,66 ;

i = ? Em virtude da impossibilidade de isolarmos a taxa (i) nas fórmulas anteriores,

recomenda-se a utilização de uma calculadora financeira.

HP 12C

f fin CLx

600 CHS PV

78,66 PMT

10 n

g BEG i 6,6% ao mês


+−+

= − i.)i1(

1)i1(.PMTPV

1n

n

Exemplo 1 - Uma empresa adquiriu determinado equipamento e para liquidar a dívida

comprometeu-se a efetuar 12 pagamentos mensais iguais de R$ 645,62, primeiro

pagamento dado como entrada. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros da operação é de

3% ao mês, calcule o valor financiado.

Dados: PMT = R$ 585,22; n = 12 pagamentos mensais; i = 3% ao mês; PV = ?

( )( ) 00,000.6$R

03,003,01

103,0122,585

i.)i1(

1)i1(.PMTPV 112

12

1n

n

=

⋅+−+⋅=

+−+= −−

HP 12C

f fin CLx

585,22 CHS PMT

3 i

12 n

32

g BEG PV R$ 6.000,00

VII.1.3 - Séries de “n” pagamentos, periódicos iguais e postecipados, diferidos de “m”

períodos de tempo.

Caracterização da série

PV

1 2 3 m-1 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n

. . . . .

0

PMT PMT PMT PMT PMT PMT


−++=

+

1)i1(

i.)i1(.PVPMT

n

mn

Exemplo 1 - O empréstimo de R$ 25.000,00 deverá ser liquidado em 6 pagamentos

mensais iguais à taxa efetiva de juros de 4% ao mês. Sabendo-se que está estipulado para

a operação o periodo de carência de 3 meses, calcular o pagamento mensal a ser

efetuado.

Dados: PV=R$ 25.000,00; n=6 pag. mensais; i=4% ao mês; m=3 meses; PMT= ?

( )( )

53,364.5$R104,01

04,004,01000.25

1)i1(

i.)i1(.PVPMT

6

36

n

mn

=

−+⋅+⋅=

−++=

++

HP 12C

f fin CLx

25.000 CHS PV

3 n

4 i

FV R$ 28.121,60

f fin CLx

28.121,60 CHS PV

6 n

4 i

g END PMT R$ 5.364,53

33


+−+= + i.)i1(

1)i1(.PMTPV

mn

n

Exemplo 1 - Determinada dívida deverá ser liquidada em 12 pagamentos mensais iguais

de R$ 1.439,48. Sabendo-se que está envolvida na operação o periodo de carência de 6

meses e que a taxa efetiva de juros é de 3% ao mês, calcular o valor da dívida.

Dados: PMT=R$1.439,48; n=12 pag. mensais; i=3% ao mês; m=6 meses; PV = ?

( )( )

00,000.12$R03,003,01

103,0148,439.1

i.)i1(

1)i1(.PMTPV

612

12

mn

n

=

⋅+−+⋅=

+−+=

++

HP 12C

f fin CLx

1.439,48 CHS PMT

12 n

3 i

PV R$ 14.328,59

f fin CLx

14.328,59 CHS FV

6 n

3 I

PV R$ 12.000,00

VII.2 - SÉRIES DE FORMAÇÃO DE CAPITAL

É a série que mostra a acumulação de capital através de depósitos iguais e

periódicos. O valor futuro (montante) produzido pelas aplicações poderá servir como

poupança ou para a aquisição de bens.

Elementos Notação

Valor futuro ou montante ........................................ FV

Depósito ou Pagamento ....................................... PMT

Taxa de juros .......................................................... i

Número de depósitos (pagamentos) ...................... n

VII.2.1 - Séries de “n” depósitos (pagamentos) periódicos, iguais, e antecipados.

34

Caracterização de série FV

0 1 2 3 4 5 k-3 k-2 k-1 k períodos


Cálculo do depósito:

−++×=

1)1(.

1

1ni

i

iFVPMT ; o fator que multiplica FV, no segundo

termo da equação é denominado FFC, ou fator de formação do capital.

Exemplo 1 - Uma pessoa que tem como objetivo obter o montante de R$ 3.000,00 um mês

após ter efetuado o 6o depósito mensal, deseja saber qual o valor desses depósitos

sabendo-se que os mesmos serão remunerados à taxa efetiva de juros de 2% ao mês.

Dados: FV = R$ 3.000,00; n = 6 depósitos mensais; i = 2 % ao mês; PMT = ?

( )25,466$R

102,01

02,0

02,01

000.3

1)i1(

i.

i1

FVPMT

6n=

−+⋅

+=

−++=

HP 12C

f fin CLx

3.000 CHS FV

2 i

6 n

g BEG PMT R$ 466,25

Cálculo do valor futuro: ( )

−++=

i

1)i1(.i1PMTFV

n

;

Exemplo 2 - Se forem efetuados 10 depósitos mensais iguais de R$ 300,00 remunerados à

taxa efetiva de juros 1,5% ao mês, determinar o valor futuro produzido pelas aplicações,

um mês após o último depósito.

Dados: PMT = R$ 300,00; n = 10 depósitos mensais; i = 1,5% ao mês; FV = ?

( ) ( ) ( )98,258.3$R

015,0

1015,01015,01300

i

1)i1(.i1PMTFV

10n

=

−+⋅+⋅=

−++=

HP 12C

35

f fin CLx

300 CHS PMT

1,5 i

10 n

g BEG FV R$ 3.258,98

VII.2.2 Séries de “n” depósitos (pagamentos) periódicos, iguais e postecipados

Caraterização da série FV

0 1 2 3 4 5 k-3 k-2 k-1 k períodos



−+=

1)i1(

i.FVPMT

n

Exemplo 1 - Uma pessoa que tem como objetivo obter o montante de R$ 4.000,00

imediatamente após ter efetuado o 10o depósito mensal, deseja saber qual o valor desses

depósitos, sabendo-se que os mesmos serão remunerados à taxa efetiva de juros de

1,8% ao mês.

Dados: FV = R$ 4.000,00; n = 10 depósitos mensais; i = 1,8 % ao mês; PMT = ?

( )66,368$R

1018,01

018,0000.4

1)i1(

i.FVPMT

10n=

−+⋅=

−+=

HP 12C

f fin CLx

4.000 CHS FV

1,8 i

10 n

g END PMT R$ 368,66

36

Cálculo do valor futuro (montante):

−+=i

iPMTFV

n 1)1(. ; o fator que multiplica PMT no

segundo lado da equação é denominado FAC ou fator de acumulação de capital.

Exemplo 2 - Se forem efetuados 18 depósitos mensais iguais de R$ 500,00 remunerados à

taxa efetiva de juros 1% ao mês, determinar o valor futuro produzido pelas aplicações,

imediatamente após o último depósito.

Dados: PMT = R$ 500,00; n = 18 depósitos mensais; i = 1% ao mês; FV = ?

( )37,807.9$R

01,0

101,01500

i

1)i1(.PMTFV

18n

=

−+⋅=

−+=

HP 12C

f fin CLx

500 CHS PMT

1 i

18 n

g END FV R$ 9.807,37


1) Uma pessoa efetua seis depósitos no final de cada mês no valor de R$ 200,00 cada

um. Se a financeira remunera estes depósitos a taxa de juros de 4% ao mês, qual o

valor futuro (montante) produzido pelas aplicações? R: R$ 1.326,60.

2) Uma pessoa efetua 6 depósitos no início de cada mês no valor de R$ 200,00 cada

um. Se a financeira remunera estes depósitos a taxa de juros de 4% ao mês, qual o

valor futuro (montante) produzido pelas aplicações? R: R$ 1.379,66.

3) Qual a quantia que devo depositar, no início de cada mês e durante 1 ano para

constituir o valor futuro de R$ 1.484,55 se a taxa de juros é de 4% ao mês? R: R$

95,00.

4) Se forem efetuados 12 depósitos no valor de R$ 250,00 cada um, no final de cada

mês, a taxa de juros de 4% ao mês, qual o montante produzido pelas aplicações 6

meses após o último depósito? R: R$ 4.753,11.

5) Se forem efetuados 12 depósitos no valor de R$ 250,00 cada um, no início de cada

mês, a taxa de juros de 4% ao mês, qual o montante produzido pelas aplicações 6

37

meses após o último depósito? R: R$ 4.753,11.

6) Se forem efetuados 12 depósitos no valor de R$ 500,00 cada um, no final de cada

mês, a taxa de juros de 60% ao ano, qual o montante produzido pelas aplicações 1

ano após o último depósito? R: R$ 12.016,79.

7) Se forem efetuados 12 depósitos no valor de R$ 500,00 cada um, no início de cada

mês, a taxa de juros de 60% ao ano capitalizados mensalmente qual o montante

produzido pelas aplicações 1 ano após o último depósito? R: R$ 14.292,44.

8) Uma pessoa se propõe a efetuar 24 depósitos, no início de cada mês, de R$ 200,00

cada um. Entretanto, também efetuará 3 depósitos extras de R$ 500,00 cada um,

coincidentes com o 4º, 8º e 12º pagamentos mensais. Sabendo-se que a taxa de

juros é de 55% ao ano, qual o montante produzido pelas aplicações? R: 10.531,44.

9) Sendo efetuados 18 depósitos no início de cada mês, os 8 primeiros de R$ 300,00 e

os demais de R$ 450,00 qual o valor futuro produzido pelas aplicações se a taxa de

juros é de 12% ao ano capitalização mensal? R: R$ 7.528,30.

10) Uma pessoa prevendo que nos finais dos meses de agosto a dezembro terá

despesas mensais de R$ 500,00, deseja saber quanto deverá depositar

mensalmente e, no início de cada mês, de janeiro a abril do mesmo ano, a taxa de

juros de 3% ao mês, para que possa efetuar tais retiradas e que o saldo final da

conta seja zero. R: R$ 486,30.

11) Uma série de “n” depósitos, periódicos, iguais e postecipados produziu o montante

de R$8.900,40. Esta mesma série, considerada agora antecipada, produziria o

montante de R$ 9.345,42. Qual a taxa de juros envolvida na operação? R: 5% .

12) Com o objetivo de constituir um fundo para aposentadoria, um jovem executivo se

propõe a depositar, no início de cada mês, a importância de US$ 100.00. Se a taxa

que remunera as aplicações é de 1% ao mês, calcule a quantia disponível no fundo

para aposentadoria após: a)15 anos; R: US$ 50,457.60 b) 20 anos; US$ 99,914.79

c) 25 anos; R: US$ 189,763.51; d) 30 anos; US$ 352,991.38.

Séries – Amortização

1) Ao adquirir um eletrodoméstico, uma pessoa se compromete a efetuar 4

pagamentos mensais iguais de R$ 119,29, primeiro pagamento efetuado 30 dias

após a compra. Se a loja cobra a taxa de juros de 5% ao mês, qual o preço a vista

do eletrodoméstico? R: R$ 423,00.

38

2) Um veículo de preço a vista igual a R$ 10 mil deverá ser adquirido da seguinte

forma: 40% do preço a vista como entrada e 12 pagamentos mensais iguais à taxa

de juros de 5% ao mês. Determine o pagamento mensal. R: R$ 676,95.

3) Ao adquirir um veículo uma pessoa dá como entrada 30% do preço a vista e mais 6

pagamentos mensais de R$ 1.200,86. Se a financeira cobra uma taxa de juros de

90% ao ano, qual o preço a vista do veículo? R: R$ 8.571,43.

4) O preço a vista de uma máquina é de R$ 150.000,00. Ao adquiri-lo, uma empresa dá

como entrada 30% desse valor e financia o restante da seguinte forma: 24

pagamentos mensais iguais de R$ 6.078,59 e simultaneamente a estes deverá

efetuar 4 pagamentos semestrais. Se a taxa de juros é de 8% ao mês, qual o

pagamento de periodicidade semestral? R: R$ 28.566,81.

5) Uma loja, para vendas a prazo, opera com planos de financiamento em até 4

pagamentos mensais iguais. Se a taxa de juros cobrada pela loja é de 10% ao mês,

pede-se: a) elaborar a tabela de multiplicadores do valor financiado (fator de

recuperação de capital) para facilitar os vendedores da loja a calcular os

pagamentos mensais.; R: 1,1 ; 0,5761905 ; 0,4021148 ; 0,3154708; b) calcular o

pagamento mensal para o financiamento integral em 3 prestações de uma compra

no valor de R$ 600,00. R: R$ 241,27; c) determinar o pagamento mensal a ser

efetuado por uma pessoa que adquiriu uma mercadoria de preço a vista R$ 800,00

dando como entrada 30% deste valor e financiando o restante em 4 pagamentos

mensais iguais. R: R$ 176,66.

6) Ao adquirir determinado equipamento uma empresa dá como entrada 20% de seu

preço a vista e financia o restante da seguinte forma: doze pagamentos mensais

iguais de R$ 1.500,00, primeiro pagamento dado como entrada e simultaneamente a

estes, efetuará 4 pagamentos no final de cada trimestre de R$ 4.000,00. Se a taxa

de juros envolvida no financiamento é de 6% ao mês, qual o preço a vista do

equipamento? R: R$ 29.830,13.

7) Uma loja utiliza o fator 0,3054094 para financiamentos em 5 pagamentos mensais

iguais. Se a taxa inflacionaria mensal é de 4%, qual a taxa real mensal obtida pela

loja? R: 11,53846% ao mês.

8) Uma loja indica o "preço a vista" de determinado produto como sendo de R$ 500,00,

podendo ser adquirido em 10 pagamentos mensais, primeiro pagamento dado como

entrada. Entretanto, se o pagamento total for efetuado no ato da compra, a loja

concede o desconto de 20% sobre o "preço a vista". Qual a taxa de juros mensal

39

cobrada pela loja na venda a prazo? R: 5,3446167% a.m.

9) Ao adquirir um equipamento, uma empresa obtém financiamento integral e para

liquidar a dívida se propõe a efetuar 12 pagamentos mensais iguais de R$ 6.000,00

com o primeiro pagamento efetuado 6 meses após a assinatura do contrato.

Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% ao mês, qual o preço a

vista do equipamento? R: R$ 41.667,54.


liquidar a dívida, se propõe a efetuar 12 pagamentos mensais iguais de R$ 6.000,00

com carência de 5 meses a partir da assinatura do contrato. Sabendo-se que a taxa

de juros do financiamento é de 5% ao mês, qual o preço a vista do equipamento? R:

R$ 41.667,54.


liquidar a dívida, se propõe a efetuar 12 pagamentos trimestrais iguais de R$

10.000,00 com o primeiro pagamento efetuado 5 meses após a assinatura do

contrato. Se a taxa de juros da operação é de 10% ao mês, qual o preço a vista do

equipamento? R: R$ 24.160,46.

12) Ao adquirir um equipamento cujo preço a vista é de R$ 40.000,00, uma empresa, se

propõe a efetuar 12 pagamentos mensais iguais com período de carência de 7

meses a partir da assinatura do contrato. Sabendo-se que a taxa de juros do

financiamento é de 6% ao mês, qual o valor do pagamento mensal? R: R$ 7.173,94.

13) Ao adquirir um equipamento cujo preço a vista é de R$ 20.000,00, uma empresa, se

propõe a efetuar 8 pagamentos bimestrais com período de carência de 1 ano a

partir da assinatura do contrato. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é

de 60% ao ano, qual o valor do pagamento bimestral? R: R$5.599,87.

14) O empréstimo de R$ 21.922,87 deverá ser liquidado em 6 pagamentos mensais

iguais de R$ 5.000,00. Se a taxa de juros é de 5% ao mês e foi estabelecido na

operação, um período de carência, calcule-o. R: 3 meses.

15) Para liquidar uma dívida, uma empresa se compromete a efetuar 24 pagamentos

mensais, sendo os doze primeiros de R$ 1.000,00 , seis pagamentos intermediários

de R$ 1.500,00 e os demais de R$ 2.000,00. Se a taxa de juros da operação é de

5% ao mês, qual o valor da dívida? R: R$ 17.320,86.

16) Para liquidar uma dívida, uma empresa se compromete a efetuar 12 pagamentos

mensais alternados entre as quantias de R$ 1.000,00 e R$ 1.600,00, primeiro

pagamento dado como entrada. Se a taxa de juros da operação é de 5% ao mês,

40

qual o valor da dívida? R: R$ 12.030,24.

17) Para liquidar uma dívida de R$ 15.000,00, uma empresa se compromete a efetuar

18 pagamentos mensais alternados entre os valores de R$ 500,00, e R$ 750,00,

nessa ordem, primeiro pagamento dado como entrada e mais um pagamento extra

coincidente com o pagamento da décima prestação mensal. Se a taxa de juros da

operação é de 10% ao mês, qual o valor do pagamento extra? R: R$ 13.168,60.

18) Ao adquirir equipamentos de preço a vista igual a R$ 40mil uma empresa se

compromete a efetuar 12 pagamentos mensais, sendo os 6 primeiros de R$ 5 mil e

os demais de R$ 6 mil. Qual a taxa mensal de juros da operação. R: 8,2725%.

19) Ao adquirir equipamentos de preço a vista igual a R$ 60 mil uma empresa dá como

entrada 30% desse valor e se propõe a efetuar 12 pagamentos mensais de R$ 10mil

após o período de carência de 8 meses. Qual a taxa mensal de juros da operação.

R: 7,7537% a.m.

8. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS E DE PLANOS DE PAGAMENT OS

Conceitualmente, os capitais nPPPP ,...,,, 321 , com vencimentos nas datas ntttt ,...,,, 321 ,

respectivamente, considerados a partir da data de referência 0t , são ditos equivalentes, se

os seus respectivos valores na data de referência 0t , considerada determinada taxa de

juros i, forem iguais. Portanto, tais capitais serão equivalentes se

ntn

ttt i

P

i

P

i

P

i

P

)1(...

)1()1()1( 321

321

+==

+=

+=

+ , onde i representa a taxa periódica de juros e it o

prazo.

Exemplo 1 – Dados os capitais R$ 14.200,00 e R$ 15.973,07, vencíveis de hoje a 5 e 8

meses, respectivamente, verificar se são equivalentes, considerada a taxa de juros de 4%

ao mês.

Solução: Esses capitais serão equivalentes se 36,671.11...)04,01(

07,973.15

)04,01(

00,200.1485

==+

=+

, o que

se verifica.

41

Uma vez mostrado que dois ou mais capitais são equivalentes em determinado

ponto tomado como referência, a uma determinada taxa, esses mesmos capitais serão

equivalentes em qualquer outro ponto tomado como referência, considerada a mesma taxa.

A equivalência de planos de pagamentos é uma extensão da equivalência de

capitais. “Diz-se que dois planos de pagamentos A e B são equivalentes, quando o valor

atual dos termos do plano A, na data de referência 0t , for igual ao valor atual dos termos do

plano B nessa mesma data, considerada determinada taxa de juros i”.

Exemplo 2 : Verificar se os dois planos seguintes são equivalentes, considerando-se as

taxas de juros de 2% e de 3% ao mês: Plano A – 10 pagamentos mensais, iguais e

consecutivos de R$ 1.000,00; Plano B – 1 pagamento de R$ 4.500,00 no final de 5 meses

e outro de R$ 6434,56 no final de 11 meses.

Solução: a) para 2% am

59,982.802,0)02,01(

1)02,01(00,000.1

10

10

=×+

−+×=AP

89,250.9)02,01(

56,434.6

)02,01(

00,500.4115

=+

++

=BP

a) para 3% am

20,530.803,0)03,01(

1)03,01(00,000.1

10

10

=×+

−+×=AP

20,530.8)03,01(

56,434.6

)03,01(

00,500.4115

=+

++

=BP

9. ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA

Para analisarmos um fluxo de caixa utilizamos, comumente, dois métodos práticos. Os mais conhecidos são o do valor presente líquido (NPV) e o da taxa interna de retorno (TIR), estes métodos são largamente utilizados nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimentos. Calcularemos através de máquinas calculadoras a TIR (taxa interna de retorno) e o NPV (valor presente líquido) dos fluxos de caixa apresentados. Para tanto é necessário sabermos que:

42

PV = Valor presente, capital inicial;

PMT = prestações periódicas;

FV = valor futuro, montante;

n = prazo, número de parcela;

i = taxa de juros;

IRR = taxa interna de retorno

Npv = valor presente líquido;

CFo = fluxo de caixa inicial;

CFj = fluxo de caixa de ordem " n ";

Nj = número de repetições de cada fluxo.

IX.1-MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA

Entre os métodos mais conhecidos destacam-se o do valor presente líquido (VPL ou

NPV) e o da Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR). Esses métodos consistem basicamente

em se comparar a soma algébrica dos valores presentes de cada um dos fluxos futuros de

caixa (pagamentos ou recebimentos) ocorridos "hoje", onde esses valores presentes são

calculados de acordo com o regime de capitalização composta e com base em dada taxa

de juros.

VALOR PRESENTE LÍQUIDO O Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) é uma técnica de análise de fluxo de caixa

que consiste em calcular o valor presente de um fluxo de caixa a uma taxa conhecida e

deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou

investimento), ou seja:

FCoi

FCjVPL

n

jj−

+=∑

=1 )1(

Em que FCj representa os valores dos fluxos de caixa de ordem "j", sendo j = 1,2,3,...,n;

FCo representa o fluxo de caixa inicial e "i" a taxa de juros da operação financeira ou a taxa

interna de retorno do projeto de investimentos.

Essa técnica, criada inicialmente para análise de projetos de investimentos, foi

bastante difundida numa época em que os instrumentos disponíveis para cálculos eram

extremamente precários. Assim um empresário, ao analisar a conveniência da compra de

um equipamento, fixava a taxa mínima de retorno desejada, e com base nesta, calculava o

43

valor presente das receitas líquidas estimadas para os próximos meses e anos, que seriam

geradas pela utilização do novo equipamento. Conforme o valor obtido como resultado

fazia-se a opção pelo investimento ou não.

TAXA INTERNA DE RETORNO A Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) é a taxa que equaliza (iguala) o valor de um

investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa.

Como normalmente se tem um fluxo inicial que representa o valor do investimento, ou do

empréstimo ou do financiamento e diversos fluxos futuros de caixa representando os

valores das receitas, ou das prestações, a equação que nos dará a taxa interna de retorno

(TIR ou IIRR) pode ser escrita assim:

∑

==

+−

n

jji

FCjFCo

10

)1(

OBS.: A solução dessa equação somente pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja

"tentativa e erro".


1) Uma empresa deve quatro títulos de R$ 50.000,00 vencíveis em 30/60/90/120 dias e

deseja substituí-los por único título com vencimento para 150 dias. Se adotada a

taxa do desconto composto de 3% ao mês, calcule o valor nominal do novo título. R:

R$ 215.456,79

2) Uma empresa deve quatro títulos de R$ 80.000,00 vencíveis em 30/60/90/120 dias e

deseja substituí-los por dois títulos com vencimentos para 90 e 180 dias. Se adotada

a taxa do desconto composto de 3% ao mês, calcule o valor nominal dos novos

títulos. R: R$ 169.669,90

3) Uma empresa deve quatro títulos de R$ 100.000,00 vencíveis em 30/60/90/120 dias

e deseja substituí-los por dois títulos de valores nominais crescentes em 20% com

vencimentos para 75 e 150 dias. Se adotada a taxa do desconto composto de 3% ao

mês, calcule o valor nominal dos novos títulos. R: R$ 189.271,47/ 227.125,76

4) Um título no valor de R$ 40.000,00 com vencimento para 120 dias deverá ser

44

substituído por três novos títulos de valores nominais crescentes em 15% com

vencimentos para 30/60/90 dias à taxa do desconto composto de 4% ao mês.

Calcule o valor nominal dos novos títulos. R: R$ 10.683,46 / 12.285,98 / 14.128,88.

5) Um título no valor de R$ 41.600,00 com vencimento para 30 dias deverá ser

substituído por três novos títulos de valores nominais decrescentes em 15% com

vencimentos para 60/90/120 dias à taxa do desconto composto de 4% ao mês.

Calcule o valor nominal dos novos títulos. R: R$ 17.407,96 / 14.796,77 / 12.577,25.

6) Uma empresa deve quatro títulos de R$ 60.000,00 com vencimentos previstos para

36/54/75/90 dias e deseja substituí-los por único título de R$ 239.163,67. Se a taxa

do desconto composto é de 3% ao mês, calcule o prazo (em dias ) para o

vencimento do novo título. R: 60 dias.

7) Uma pessoa obteve o empréstimo de R$ 18.000,00 e deverá liquidá-lo em 8

pagamentos mensais iguais à taxa efetiva de juros de 5,5% ao mês. Na data em que

efetuou o 5o pagamento mensal, solicita ao credor o refinanciamento da dívida em 6

pagamentos mensais iguais. Mantida na renegociação a taxa efetiva de juros de

5,5% ao mês, qual o novo pagamento mensal a ser efetuado? R: R$ 1.534,63.

8) Uma pessoa obteve o empréstimo de R$ 18.000,00 e deverá liquidá-lo em 8


efetuou o 5o pagamento mensal, solicita ao credor o refinanciamento da dívida em 6

pagamentos mensais iguais.. O credor concorda com a renegociação desde que

seja mantida para o cálculo do valor presente da dívida a taxa de 5,5% ao mês mas

para o cálculo dos novos pagamentos mensais a taxa efetiva de juros a ser utilizada

é de 6% ao mês. Qual o novo pagamento mensal a ser efetuado ?. R: R$ 1.559,04.

9) Uma empresa recebeu o empréstimo de R$ 1.000.000,00 para ser liquidado em

doze pagamentos mensais iguais à taxa efetiva de juros de 3,5% ao mês. Quinze

dias após ter efetuado o 6o pagamento no prazo estabelecido solicita ao credor o

refinanciamento da dívida para seis pagamentos bimestrais iguais. Calcule o

pagamento bimestral a ser efetuado supondo que para a renegociação taxa do

desconto composto de: a) 3% ao mês; b) 3,5% ao mês; c) 4% ao mês. R: R$

116.028,32; R$ 120187,41; R$ 115.626,44 .

10) Uma loja deseja comercializar seus produtos da seguinte forma: entrada igual a 10%

sobre o preço de vitrine e o saldo dividido em 12 prestações mensais iguais (a

prestação mensal é obtida dividindo-se o saldo pelo número de prestações). Qual o

percentual que deverá incidir sobre o preço à vista verdadeiro dos produtos

45

(obtenção do preço de vitrine) para que a operação descrita seja possível se a loja

cobra taxa efetiva mensal de juros de 6% ao mês? R: 37,2140588%.

11) O empréstimo de R$ 35.000,00 deve ser liquidado em 12 pagamentos mensais

sendo que os cinco primeiros pagamentos serão calculados à taxa efetiva de juros

de 3% ao mês, os três pagamentos intermediários (6 °, 7 ° e 8 ° ) à taxa de 5% ao

mês e os demais à taxa de 10% ao mês. Calcular os pagamentos. mensais a serem

efetuados e a taxa efetiva de juros para toda a operação. R: R$ 3.516,17; R$

3.785,92; R$ 4.235,10.


sendo que os seis primeiros pagamentos serão calculados à taxa efetiva de juros de

4,4% ao mês, do 7 ° ao 10 ° pagamentos à taxa de 6,7% ao mês e os demais à taxa

de 7% ao mês. Calcular os pagamentos. R: R$ 5.086,11 / 5.627,50 / 5.672,99.

13) O empréstimo de R$ 10.000,00 deve ser liquidado em 8 pagamentos mensais à taxa

efetiva de juros de 5% ao mês. Na data em que efetuou o terceiro pagamento,

prevendo que não poderia liquidar os dois próximos pagamentos nos prazos

estipulados solicitou ao credor que os mesmos fossem incorporados aos três últimos

pagamentos. Mantida na renegociação a taxa efetiva de juros de 5% ao mês,

determine o valor dos três últimos pagamentos a serem efetuados. R: R$ 2.711,93.


sendo os seis primeiros pagamentos de R$ 5.086,11 os quatro pagamentos

intermediários (7 ° ao 10 °) de R$ 5.627,50 e os demais de R$ 5.079,01. Calcule a

taxa efetiva mensal de juros da operação. R: i = 4,791715956 % ao mês.

15) Uma pessoa obteve o empréstimo de R$ 50.000,00 para ser liquidado em 18


efetuou o sétimo pagamento propôs ao credor efetuar um pagamento extra junto

com a 8 ª prestação mensal de tal forma que sejam considerados quitados do 13 °

ao 18 ° pagamentos mensais. Calcular a parcela que deverá ser paga

adicionalmente à 8 ª prestação mensal. R: R$ 17.661,37.

16) A dívida de R$ 400.000,00 deverá ser liquidada em 6 pagamentos semestrais iguais

à taxa efetiva de juros de 16,64% ao ano com primeiro pagamento efetuado um ano

e sete meses após a obtenção do empréstimo. Quatro meses após ter efetuado o

segundo pagamento semestral, a empresa devedora solicita a seguinte

reformulação na forma de pagamento: quitação, hoje, de 25% do valor atual da

46

dívida e mais quatro pagamentos mensais de valores decrescentes em 5% para

90/120/150/180 dias. A empresa credora concorda com a proposta desde que a taxa

do desconto composto para a renegociação seja de 16,2% ao ano capitalização

mensal. Estando as partes de acordo, qual o pagamento mensal a ser efetuado?

R: R$ 73.265,66; R$ 68.675,26; R$ 64.372,47; R$ 60.339,27.

17) Uma empresa quer comprar um caminhão por $ 103.000,00. A utilização desse

caminhão nos próximos 5 anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em

$ 30.000,00, $ 35.000,00, $ 32.000,00, $ 28.000,00 e $ 20.000,00 respectivamente.

Sabendo-se que no final do 5º ano se espera vender o caminhão por $ 17.000,00,

verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno de 15 % a.a. e 18 %

a.a.R: VPL= 4997,13 (15%) e VPL= -2348,50 (18%) e TIR=17% aa.

18) Um veículo é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de

$ 3.250,00 e mais três prestações semestrais (balões) de $ 7.750,00, $ 8.750,00 e

$ 9.750,00. Calcular o valor do financiamento sabendo-se que a taxa cobrada é de

8,7 % a.m. R: R$ 39.120,00.

19) Um banco credita $ 180.530,00, na conta de um cliente, referente ao desconto de

três duplicatas de valores de $ 52.600,00. $ 63.400,00 e $ 93.570,00, com prazos de

42, 57 e 85 dias respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrado na

operação, calculada de acordo com o regime de juros compostos.R: 7,0862638%

am.

10. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa importância é emprestada

por certo período de tempo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os

juros devidos, no prazo definido. Para tanto, utilizam-se sistemas de amortização ou

pagamentos que já estão predefinidos. No nosso caso estudaremos o Sistema Francês de

Amortização ou Sistema da Tabela Price e o Sistema de Amortização Constante - SAC,

que são os mais utilizados.

IX.1 - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (TABELA PRICE)

O Sistema Francês de Amortização é mais conhecido no Brasil como Sistema da

Tabela Price ou simplesmente, Tabela Price. A denominação "Tabela Price” é devida ao

47

nome do matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que no século XVIII

incorporou a teoria dos juros às amortizações de empréstimos (financiamentos).

A denominação "Sistema Francês" deve-se ao fato desse sistema ter sido

efetivamente desenvolvido na França, no século XIX.

O sistema Francês consiste em um plano de amortização de uma dívida em

prestações periódicas, iguais e sucessivas dentro do conceito de série postecipada, em

que o valor de cada prestação, ou pagamento é composto por duas parcelas distintas: uma

de juros (J) e outra de amortização (A), assim:

AJPMT +=

É importante observar que o Sistema Francês não implica necessariamente em

prestações com periodicidade mensal, como geralmente se entende. Estas podem ter

periodicidade bimestral, trimestral, semestral ou anual; basta que se enquadre no conceito

de série de pagamentos periódicos, iguais e postecipados.

O pagamento (prestação) periódico é calculado com base na fórmula utilizada para

séries de pagamentos uniformes postecipados, isto é:

( )( )

−+⋅+⋅=1i1

ii1PVPMT

n

n

Exemplo 1 - O empréstimo de R$ 1.000,00 deverá ser liquidado em cinco pagamentos

mensais iguais à taxa efetiva de juros de 10% ao mês de acordo com o sistema francês de

amortização.

Dados: PV = R$ 1.000,00; i = 10% ao mês; n = 5 pagamentos mensais; PMT = ?

a) Cálculo do pagamento (prestação) mensal

( )( )

( )( )

80,263$R11,01

1,01,01000.1

1i1

ii1PVPMT

5

5

n

n

=

−+⋅+⋅=

−+⋅+⋅=

b) Cálculo da parcela de juros inclusa no primeiro pagamento mensal

48

Ë obtido fazendo com que a taxa efetiva de juros incida sobre o saldo devedor relativo ao

periodo imediatamente anterior.

1tt SDiJ −⋅= ∴ 00,100$R000.11,0SDiJ 01 =⋅=⋅=

c) Cálculo da parcela de amortização inclusa no primeiro pagamento mensal

É obtida subtraindo-se do pagamento efetuado a parcela de juros

tt JPMTA −= ∴ 80,163$R10080,263JPMTA 11 =−=−=

d) Cálculo do saldo devedor após efetuado o primeiro pagamento mensal

É obtido subtraindo-se do saldo devedor relativo ao periodo imediatamente anterior a

parcela de amortização

t1tt ASDSD −= − ∴ 20,836$R80,163000.1ASDSD 101 =−=−=

e) Cálculo da parcela de juros inclusa no segundo pagamento mensal

1tt SDiJ −⋅= ∴ 62,83$R20,8361,0SDiJ 12 =⋅=⋅=

f) Cálculo da parcela de amortização inclusa no segundo pagamento mensal

tt JPMTA −= ∴ 18,180$R62,8380,263JPMTA 22 =−=−=

g) Cálculo do saldo devedor após efetuado o segundo pagamento mensal

t1tt ASDSD −= − ∴ 02,656$R18,18020,836ASDSD 212 =−=−=

h) seguindo o raciocínio através dos cálculos indicados nos itens anteriores, completar o

plano de amortização do empréstimo.

49

t PMT J A SD

0 1.000,00

1 263,80 100,00 163,80 836,20

2 263,80 83,62 180,18 656,02

3 263,80 65,61 198,19 457,83

4 263,80 45,79 218,01 239,82

5 263,80 23,98 239,82 0,00

Utilizando-se de uma calculadora financeira podemos obter os valores da planilha da

seguinte forma:

HP 12C f fin CLx

1.000 CHS PV [ valor do empréstimo ou valor financiado]

10 i [ taxa efetiva de juros}

5 n [ número de pagamentos ]

g END [ indicação de pagamentos no final do periodo ( mês) ]

PMT 263,80 [ pagamento mensal ]

1 f AMORT 100,00 [ parcela de juros inclusa no 1 o pagamento ]

x ↔ y 163,80 [ parcela de amortização inclusa no 1 o pagamento ]

RCL PV - 836,20 [ saldo devedor após efetuado o 1 o pagamento ]












RCL PV 0,00 [ saldo devedor após efetuado o 5 o pagamento ]

IX.2 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC

A denominação do sistema deriva da sua principal característica, ou seja, as

amortizações periódicas são todas iguais ou constantes.O SAC consiste em um plano de

amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em

progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos (postecipadas).

A parcela de amortização é obtida dividindo-se o valor financiado pelo número de

prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinada multiplicando-se a taxa

efetiva de juros pelo saldo devedor relativo ao período imediatamente anterior.

50

Exemplo 1 - O empréstimo de R$ 1.000,00 deverá ser liquidado em cinco pagamentos

mensais iguais à taxa efetiva de juros de 10% ao mês de acordo com o sistema de

amortização constante.

Dados: S0 = R$ 1.000,00; i = 10% ao mês; n = 5 pagamentos mensais; A = ?

Cálculo da parcela de amortização mensal

00,200$R5

00,000.1

n

SA 0 ===

b) Cálculo da parcela de juros inclusa no primeiro pagamento mensal

É obtido fazendo com que a taxa efetiva de juros incida sobre o saldo devedor relativo ao

periodo imediatamente anterior.

1tt SDiJ −⋅= ∴ 00,100$R00,000.11,0SDiJ 01 =⋅=⋅=

c) Cálculo do primeiro pagamento mensal

É obtido somando-se a parcela de amortização a parcela de juros

tt JAP += ∴ 00,300$R00,10000,200P1 =+=

d) Cálculo do saldo devedor após efetuado o primeiro pagamento mensal

É obtido subtraindo-se do saldo devedor relativo ao periodo imediatamente anterior a

parcela de amortização

ASDSD 1tt −= − ∴ 00,800$R00,20000,000.1ASDSD 01 =−=−=

e) Cálculo da parcela de juros inclusa no segundo pagamento mensal

1tt SDiJ −⋅= ∴ 00,80$R00,8001,0SDiJ 12 =⋅=⋅=

f) Cálculo do segundo pagamento mensal

51

tt JAP += ∴ 00,280$R00,8000,200P2 =+=

g) Cálculo do saldo devedor após efetuado o segundo pagamento mensal

ASDSD 1tt −= − ∴ 00,600$R00,20000,800ASDSD 212 =−=−=

h) seguindo o raciocínio através dos cálculos indicados nos itens anteriores, completar o

plano de amortização do empréstimo.

t P J A SD

0 ---- ---- ---- 1.000,00

1 300,00 100,00 200,00 800,00

2 280,00 80,00 200,00 600,00

3 260,00 60,00 200,00 400,00

4 240,00 40,00 200,00 200,00

5 220,00 20,00 200,00 0,00

Documents

fundofixo.net - Manual Matemática Financeira