FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Fundamentos de … · ... é dito fechado se ele inclui a e b e é representado ... definimos a “bola aberta” de centro (x 0, y 0) e raio r como

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

3.1 Definição3.2 Funções de três ou mais variáveis3.3 Domínios3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível 3.5 Funções implícitas 3.6 Funções inversas3.7 Limite e continuidade

Gil da Costa Marques

3FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Fund

amen

tos

de M

atem

átic

a II

47

Fundamentos de Matemática II

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

3.1 DefiniçãoNeste texto, estenderemos o conceito de função de uma variável para o caso de funções de

várias variáveis. No próximo texto, aplicaremos tal conceito à geometria espacial, notadamente

na descrição de entes geométricos como curvas e superfícies no espaço tridimensional. Para tal,

empregaremos a geometria analítica.

Considerando primeiramente o caso de funções de duas variáveis, se a cada ponto (x, y)

de uma região do plano, definida como o domínio da função, associarmos um e apenas um

número real z, de acordo com alguma regra, dizemos que z é uma função das variáveis x e y a

valores reais e escrevemos

3.1

As variáveis x e y são denominadas variáveis independentes e z é a variável dependente.

Muitas vezes, as variáveis independentes não são coordenadas associadas a pontos no plano, mas

grandezas físicas.

Exemplos

• ExEmplo 1: A área de um retângulo é função do comprimento de seus lados:

3.2

z f x y= ( ),

z xy=

Figura 3.1: A Área de um retângulo é uma função dos comprimentos de seus lados.

48

3 Funções de várias variáveis


• ExEmplo 2: Desprezando a interação e o tamanho das moléculas de um gás – situação que denominamos ideal – podemos mostrar que a pressão é função da temperatura T e do volume V ocupado pelo gás, segundo a relação:

3.3

onde N, na equação 3.3 é o número de moléculas, k é a constante de Boltzmann, n é o número de moles do gás e R é outra constante, denominada constante universal dos gases. Se levarmos em conta o tamanho das moléculas, a relação se altera. Nesse caso, é mais fácil escrever a temperatura T como função da pressão P e do volume V. De acordo com Van der Waals,

3.4

onde a e b são parâmetros que dependem do gás.

P P T V Nk TV

nR TV

= = =( , )

T T P V P a nV

Vn

b= = +

−

( , )

2

Johannes Diderik van der Waals (Leiden, 23 de novembro de 1837 - Amsterdã, 8 de março de 1923)

Físico neerlandês que formulou equações descrevendo os estados líquido e gasoso, trabalho fundamental para a medição do zero absoluto. Ele tentou descobrir por que as equações de Robert Boyle e Jacques Charles não correspondiam exatamente à forma segundo a qual os gases e os líquidos se comportam. Concluiu que o tamanho da molécula e a força que atua entre elas afetam tal comportamento. Embora as moléculas de gás sejam extremamente pequenas, cada uma delas tem um tamanho diferente - circunstância que afeta o comportamento das moléculas de diferentes gases. As forças que atuam entre as moléculas de um gás são

denominadas forças de van der Waals. Em virtude desse trabalho, Johannes van der Waals foi agraciado com o Nobel de Física de 1910. Fonte: Wikipedia. A enciclopédia livre. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Diderik_van_der_Waals>. Acesso em 10/7/2012

Figura 3.2: Johannes Diderik van der Waals

http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Diderik_van_der_Waals

http://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Diderik_van_der_Waals

49



Como no caso de funções de uma variável, as funções de várias variáveis podem ser

representadas de três formas: numericamente (utilizando uma tabela, por exemplo), alge-

bricamente, por meio de fórmulas (o que é mais usual) ou, ainda, graficamente (quando

utilizamos o gráfico da função).

3.2 Funções de três ou mais variáveisConsideremos agora o caso de funções de três variáveis. De uma forma análoga ao caso

anterior, se a cada ponto (x, y, z) de uma região do espaço, o domínio da função, associarmos

um e apenas um número real u, de acordo com alguma regra, dizemos que u é uma função das

variáveis x, y e z a valores reais e escrevemos

3.5

As variáveis x, y e z são denominadas variáveis independentes e u é a variável dependente.

• ExEmplo 3: Lembremos que o volume de um paralelepípedo de dimensões x, y e z é dado pela função:

3.6

Como já mencionamos, uma grandeza física pode ser função das coordenadas do ponto no

espaço, bem como do tempo.

u x y z= ( )ϕ , ,

u xyz=

Figura 3.3: O volume de um paralelepípedo é função dos comprimentos de suas arestas.

50



• ExEmplo 4: A energia potencial, quando depender também do tempo, se escreve:

3.7

As grandezas físicas podem depender de muitas variáveis, às vezes em número tão grande que se torna necessário um tratamento estatístico.

• ExEmplo 5: A energia cinética de um sistema composto por N partículas é função da velocidade delas. Se todas

as partículas do sistema têm a mesma massa m, e se a velocidade da i-ésima partícula for designada por

v i, a energia cinética é uma função quadrática das velocidades e se escreve da seguinte maneira:

3.8

Assim, a função energia cinética depende de 3N variáveis – as compo-nentes das velocidades. Num gás real, esse número de variáveis das quais a energia cinética depende é extremamente alto.

3.3 DomíniosComo vimos, as funções de uma variável real são definidas em um intervalo – o seu domínio –

que pode até mesmo ser o conjunto = ]−∞, +∞[. Um intervalo delimitado pelos valores a e b, que são denominados extremos ou extremida-

des dele, é dito fechado se ele inclui a e b e é representado por [a, b]. Nesse caso, a função é de-

finida para os valores da variável independente que pertencem ao conjunto: {x ∈ : a ≤ x ≤ b}.

Podemos também definir um intervalo aberto ]a, b[ no qual as extremidades não estão

incluídas. Nesse caso, a função é definida para os valores da variável independente que pertencem

ao conjunto: {x ∈ : a < x < b}.

De maneira análoga, podemos definir um intervalo aberto à direita [a, b[ ou aberto à

esquerda ]a, b].

E V x y z t= ( , , , )

Figura 3.4: Nem todas as moléculas num gás têm a mesma velocidade.

E m v m v v vi

i

N

xi

yi

zi

i

N

= ( ) = ( ) + ( ) + ( )( )= =∑ ∑2 2

2

1

2 2 2

1

51



Necessitamos agora introduzir o conceito de domínio para funções de várias variáveis. Isso

pode ser feito de maneira análoga ao caso de funções de uma variável e, uma extensão natural,

para o caso de funções de duas variáveis, por exemplo, seria considerar como domínio o retân-

gulo obtido pelo produto cartesiano de dois intervalos abertos, fechados ou semiabertos.

Por exemplo, no caso de funções de duas variáveis,

quando especificamos que o domínio de uma função

é definido pelos intervalos:

3.9

estamos especificando que o domínio da função é

um retângulo obtido pelo produto cartesiano de dois

intervalos fechados.

No entanto, o domínio, para uma função de duas variáveis, pode ser um círculo, o interior

de uma elipse etc.

Assim, o domínio de uma função de mais de uma variável é:

• uma região do plano 2 quando se trata de uma função de duas variáveis;

• uma região do espaço 3 quando se trata de uma função de três variáveis;

• uma hiper-região do espaço n quando se trata de uma função de n variáveis.

Como já mencionado, em se tratando de funções de duas variáveis, dependendo da natureza

do problema, o domínio não é necessariamente um retângulo. No caso tridimensional o domínio

poderá ser um cubo, uma esfera etc.

Para o caso bidimensional, no plano xy, conjuntos de pontos são coleções quaisquer de

pontos que são caracterizados por suas coordenadas x e y. No espaço tridimensional, os

conjuntos de pontos são caracterizados pelas coordenadas x, y e z de cada ponto.

No plano, definimos a “bola aberta” de centro (x0, y0) e raio r como sendo o conjunto de

todos os pontos “interiores” ao círculo de centro (x0, y0) e raio r. Se A é um subconjunto não

vazio de 2, dizemos que ( , )x y é um ponto interior a A se existir uma bola aberta de centro

( , )x y contida em A. Se A é um subconjunto não vazio de 2, dizemos que A é “aberto” se todo

ponto de A for ponto interior. Finalmente, uma vizinhança V de um ponto (x0, y0) de 2 é um

subconjunto do plano que contém uma bola aberta centrada em (x0, y0).

Figura 3.5: Possível domínio no plano.

a x bc y d

≤ ≤≤ ≤

52



Em 2, dizemos que um ponto P = (x, y) pertence a uma vizinhança de raio R do ponto

P0 = (x0, y0) se a distância de P a P0 satisfaz a desigualdade:

3.10

Dizemos que um subconjunto F de 2, não vazio, é “fechado” se os pontos não pertencentes

a ele constituem um conjunto aberto. Em outras palavras, F é fechado se o seu complementar é

aberto. Por exemplo, os pontos pertencentes a uma circunferência constituem um conjunto fechado.

Um conjunto L é dito “limitado” se existir um número suficientemente grande m tal que L

esteja contido numa bola de raio m. Por exemplo, o conjunto constituído por todos os pontos

no interior de uma elipse é um conjunto limitado.

Um “ponto de contorno” ou “ponto de fronteira” de um conjunto é qualquer ponto tal que

toda vizinhança contém pontos do conjunto, bem como pontos de seu complementar.

De maneira análoga, define-se no espaço “bola aberta”, centrada em (x0, y0, z0) de raio r, bem como subconjunto aberto de 3, subconjunto fechado de 3.

Em 3, dizemos que um ponto P = (x, y, z) pertence a uma vizinhança de raio R do ponto

P1 = (x1, y1, z1) se a distância de P a P1 satisfaz a desigualdade:

3.11

Como já é sabido, dados dois pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) do plano, definimos a

distância d(P1, P2) entre eles como

3.12

Em 3, dados P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2), definimos a distância d(P1, P2) entre eles como

3.13

Os conjuntos abertos são usualmente definidos a partir de desigualdades.

Por exemplo, no plano, o interior da elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor 2 pode

ser definido como o conjunto de pontos (x, y) tais que

3.14

d P P R( , )0 < ou d P P R20

2( , ) <

d P P R( , )1 < ou d P P R21

2( , ) <

d P P x x y y( , ) ( ) ( )1 2 1 22

1 22= − + −

d P P x x y y z z( , ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22

1 22

1 22= − + − + −

x y2 2

4 91+ <

53



Outro exemplo é o semiplano constituído pelos pontos que satisfazem a condição

3.15

Observamos que é possível ter um domínio constituído pelos pontos (x, y) do plano tais que

x2 + y2 < 1; os pontos (x, y) do plano tais que x2 + y2 = 1 são o contorno da região anterior;

os pontos (x, y) do plano tais que x2 + y2 ≤ 1 são uma região fechada, que é reunião do aberto

com o contorno.

Analogamente, o conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que 1 < x2 + y2 < 2 é um aberto, cujo

contorno é formado pelo conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que x2 + y2 = 1 ou x2 + y2 = 2.

A região constituída pelos pontos (x, y) do plano tais que 1 ≤ x2 + y2 ≤ 2 é uma região fechada.

Vamos examinar com mais detalhes as funções de duas ou três variáveis definidas num

domínio D.

Quando dizemos que u = u(x, y, z) no domínio D, queremos dizer que u é dada como uma

função das variáveis x, y e z que são as coordenadas dos pontos de D do espaço tridimensional.

Por exemplo, a função u

3.16

é definida no domínio

3.17

De maneira semelhante, podemos definir funções de duas variáveis, z = z(x, y), bem como

funções de quatro variáveis, w = w(x, y, z, t), e assim por diante.

3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível Seja z = f (x, y), onde (x, y) ∈ D, uma função de duas variáveis reais. O conjunto

3.18

é denominado o gráfico de f. Notamos, portanto, que Graf ( f ) é um subconjunto de 3.

x > 0

u u x y z R x y z= = − − −( , , ) 2 2 2 2

( , , ) :x y z x y z R∈ + + <{ }

3 2 2 2 2

Graf ( ) ( , , ) : ( , ), ( , )f x y z z f x y x y D= ∈ = ∈{ }

3

54



Muitas vezes, a fim de visualizar o gráfico de uma função f desse tipo, podemos examinar

suas curvas de nível. Vejamos o que significa.

Dada z = f (x, y), onde (x, y) ∈ D e seja c um número real pertencente à Im f. O conjunto

de todos os pontos do domínio D tais que f (x, y) = c é denominado curva de nível de f correspondente ao nível c. Isso significa que nos pontos de uma curva de nível a função f tem o

mesmo valor. É preciso notar que, enquanto o gráfico da função é um subconjunto de 3, uma

curva de nível é um subconjunto do domínio D, portanto de 2.

Figura 3.6: O domínio da função z = f (x,y) se encontra no plano xy e o seu gráfico é uma superfície no espaço.

Figura 3.7: Gráficos de funções de duas variáveis. Figura 3.8: O gráfico de uma função de duas variáveis no espaço e algumas curvas de nível (em vermelho) no plano.

55



• ExEmplo 6: A função que estabelece uma relação entre a temperatura (T ), a pressão (P) e o volume (V ) de um gás ideal é dada por

3.19

onde n e R são constantes.As curvas de nível da função T são denominadas isotérmicas ou isotermas. Uma vez que devemos ter T(V, P) = c, c constante, temos o produto VP constante. No plano VP as curvas isotérmicas são hipérboles (Figura 3.9).As isotérmicas (temperatura constante) ou as isobáricas (pressão constante) da equação de Van der Waals

3.20

são apresentadas na Figura 3.10.

T V P VPnR

( , ) =

T T P V P a nV

Vn

b= = +

−

( , )

2

Figura 3.9: Isotérmicas de um gás perfeito.

Figura 3.10: Isotérmicas e isobáricas da equação de Van der Waals.

56



Para funções de três variáveis, como, por exemplo,

3.21

cujo gráfico é um subconjunto de 4, o lugar geométrico dos pontos do espaço tridimensional,

para os quais

3.22

para um mesmo valor de c, constante, é denominado uma superfície

de nível da função u. Nesse caso, as superfícies de nível da função u

são superfícies esféricas concêntricas definidas por

3.23

para os diferentes níveis ci.

3.5 Funções implícitas Sendo u = F (x, y, z) uma relação entre as variáveis x, y e z, então a equação

3.24

define z implicitamente como uma ou mais funções de x e y. Por exemplo, considerando a função

3.25

a equação x2 + y2 + z2 − R2 = 0 define implicitamente as funções:

3.26

Vale a pena relembrar o conceito de função implícita para o caso de funções de uma variável real.

Figura 3.11: Superfícies de nível associadas à função 3.23.

u u x y z R x y z= = − − −( , , ) 2 2 2 2

u x y z c( , , ) =

R c x y zi2 2 2 2 2− = + +

F x y z( , , ) = 0

F x y z x y z R( , , ) = + + −2 2 2 2

z R x y= + − −2 2 2 e z R x y= − − −2 2 2

57



3.6 Funções inversasA partir do que foi dito acima, podemos considerar o caso em que temos duas funções

envolvendo quatro variáveis, e as equações associadas

3.27

que, quando consideradas simultaneamente, definem uma transformação de coordenadas. De fato,

utilizando o conceito de funções implícitas, podemos encontrar, a partir das equações de 3.27,

3.28

que, a partir de u e v, fornecem x e y.

Convém observar que as equações

3.29

poderiam ser utilizadas para definir funções implícitas u e v nas variáveis x e y.

3.30

Essas funções u e v introduzem outra transformação, a qual é definida como a transformação

inversa da anterior.

Assim, as equações 3.27 definem dois conjuntos de funções implícitas, sendo o segundo

conjunto formado pelas funções inversas do primeiro e reciprocamente.

F x y u v( , , , ) = 0 e G x y u v( , , , ) = 0

x x u v= ( , ) e y y u v= ( , )

F x y u v( , , , ) = 0 e G x y u v( , , , ) = 0

u u x y= ( , ) e v v x y= ( , )

58



• ExEmplo 7: Coordenadas polaresConsideremos as equações

3.31

A partir delas, podemos escrever ρ e φ como funções de x e y:

3.32

que fornecem as coordenadas polares (ρ, φ) em função das coordenadas cartesianas (x, y).Analisemos agora a questão das transformações inversas. Para tal, notamos que podemos escrever 3.32 sob a forma:

3.33

Ademais, constatamos que a partir da segunda equação em 3.33 podemos escrever

3.34

E, portanto, a primeira equação pode ser escrita como

3.35

ou seja,

3.36

Considerando-se valores do ângulo φ positivos, a única solução aceitável (já que a variável ρ é sempre positiva) é:

3.37

o que nos leva, considerando a equação 3.34, à expressão:

3.38

F x y x y( , , , )ρ ϕ ρ= − + =2 2 0 e G x y yx

( , , , ) arctgρ ϕ ϕ= −

= 0

ρ = +x y2 2 e ϕ =

arctg yx

ρ2 2 2= +x y e tgϕ = yx

y x= tgϕ

ρ ϕ ϕ ϕ2 2 2 2 2 2 2 21= + = + =x x x xtg ( tg ) sec

ρ ϕ2 2 2cos = x

Figura 3.12: O mesmo ponto pode ser caracterizado pelas coordenadas cartesianas ou pelas coordenadas polares.

x = ρ ϕcos

y = ρ ϕsen

59



Uma vez que agora expressamos as coordenadas cartesianas (x, y) como funções das coordenadas polares (ρ, φ), as transformações 3.37 e 3.38 definem as funções inversas de 3.32. Exemplificando, dado P em coordenadas polares, P = (3, π/6), podemos encontrar suas coordenadas cartesianas:

3.39

Logo P = ⋅

3 3

232

, em coordenadas cartesianas.

Dado agora P = (2, −2), determinemos sua representação em coordenadas polares.Sendo, por definição ρ positivo, obtemos, a partir de 3.33,

3.40

3.41

Como P = (2, −2) está no quarto quadrante, podemos tomar, considerando 0 ≤ φ ≤ 2π, a solução φ = (7π)/4. Assim, em coordenadas polares, podemos escrever

P =

2 2 7

4, π

.

Vale observar que φ não é determinado de modo único a partir de tgφ = y/x, pois quando 0 ≤ φ ≤ 2π, cada valor de tgφ ocorre duas vezes, sendo necessário então observar o quadrante em que se encontra o ponto dado em coordenadas cartesianas. Podemos considerar curvas de nível em coordenadas polares:

• ρ = C1: é uma circunferência centrada na origem e raio C1. De fato, ρ = C1 significa que

C12 = x2 + y2;

• φ = C2: é uma semirreta a partir da origem com coeficiente angular dado por tgC2.

• ExEmplo 8: Coordenadas esféricas Consideremos as equações associadas a três funções de seis variáveis

3.42

3.43

x = = ⋅36

3 32

cos π e y = = ⋅ =36

3 12

32

sen π

ρ = + = =4 4 8 2 2

tgϕ = − = −2

21

Figura 3.13: Coordenadas polares.

F r x y z r x y z( , , , , , )θ ϕ = − + + =2 2 2 0

G r x y z zx y

( , , , , , ) arccotgθ ϕ θ= −+

=

2 20

60



3.44

As equações acima introduzem três funções implícitas:

3.45

3.46

3.47

Procedendo de uma forma análoga ao que foi feito no caso das coordenadas polares, concluiremos que as funções inversas são:

3.48

As superfícies de nível, determinadas pelas funções 3.48, são a superfície esférica, a superfície cônica e o semiplano.

H r x y z yx

( , , , , , ) arctgθ ϕ ϕ= −

= 0

r x y z x y z, ,( ) = + +2 2 2

θ x y z zx y

, , arccotg( ) =+

2 2

ϕ x y z yx

, , arctg( ) =

x r r

y r r

z r r

, , sen cos

, , sen sen

, , cos

θ ϕ θ ϕ

θ ϕ θ ϕ

θ ϕ θ

( ) =( ) =( ) =

Figura 3.14: N Superfícies de nível.

61



3.7 Limite e continuidadeOs conceitos de limite e continuidade para funções de muitas

variáveis não são uma generalização pura e simples daqueles das

funções de uma variável. É importante observar que, naquele caso,

ao considerar x tendendo a x0, isso só podia ser feito de duas

maneiras: pela esquerda ou pela direita de x0, e que, se

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x→ →− +

≠0 0

, então não existe lim ( )x x

f x→ 0

.

No caso de uma função de duas variáveis, por exemplo, ao con-

siderar (x, y) tendendo a (x0, y0 ), isso pode ser feito por infinitas

direções e uma infinidade de maneiras, ou seja, é possível fazer (x, y) tender a (x0, y0) por uma infinidade de caminhos diferentes.

A fim de que exista lim ( , )( , ) ( , )x y x y

f x y→ 0 0

será então necessário

que, por qualquer caminho segundo o qual (x, y) tenda a (x0, y0 ), o resultado seja o mesmo. Se existirem pelo menos dois caminhos

diferentes ao longo dos quais a função tenha limites diferentes quando (x, y) tende a (x0, y0 ), não existe lim ( , )

( , ) ( , )x y x yf x y

→ 0 0

.

De maneira mais precisa temos a seguinte definição:

Seja f uma função de duas variáveis definida num domínio D e seja (x0 , y0 ) um ponto

pertencente ou não a D, mas tal que seja possível a aproximação a (x0 , y0 ) por pontos de D.

Dizemos que o limite de f (x, y), quando (x, y) tende a (x0 , y0 ), é igual a L e escrevemos

3.49

se, para todo número ε > 0 existe em correspondência um número δ > 0 tal que, para todo (x, y) no domínio D e pertencente a uma vizinhança de (x0 , y0 ) de raio δ, se tenha | f (x, y) − L| < ε.

Em outras palavras, se (x, y) ∈ D e sua distância a (x0 , y0 ) é menor do que δ, isto é,

0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )

2 < δ2, então a distância de f (x, y) a L é menor do que ε, ou seja,

| f (x, y) − L| < ε.

Figura 3.15: x tendendo a x0 pela esquerda e pela direita.

Figura 3.16: (x, y) tendendo a (x0, y0) por infinitas direções.

lim ( , )( , ) ( , )x y x y

f x y L→

=0 0

62



Dizemos que uma função f é contínua no ponto (x0, y0) do seu domínio se existe o limite

da função no ponto e

3.50

Se a função f é contínua em todos os pontos de seu domínio D, dizemos que f é

contínua em D.

Como no caso das funções de uma variável, a soma, o produto e o quociente de funções

contínuas em D são funções contínuas em D. No caso do quociente, evidentemente, é necessário

que a função do denominador não se anule no ponto em que o limite está sendo calculado.

Do mesmo modo que para as funções de uma variável, a operação de composição é outra

maneira de obter uma função contínua a partir de outras funções contínuas.

• ExEmplo 9: Determinar o subconjunto de 2 no qual é contínua a função

3.51

Uma vez que a função g(x, y) = x/y é contínua, exceto nos pontos da reta y = 0 e a função h(t) = ln t é contínua sempre que t > 0, a função composta

3.52

é contínua sempre que o quociente x/y > 0, ou seja no conjunto

3.53

que é formado pelos pontos do plano cujas coordenadas têm o mesmo sinal.

lim ( , ) ( , )( , ) ( , )x y x y

f x y f x y→

=0 0

0 0

f x y xy

( , ) ln=

f x y h g x y( , ) ( ( , ))=

( , ) :x y xy

∈ >

2 0

Figura 3.17: Representação gráfica da função f(x, y) = ln(x/y).

63



• ExEmplo 10: Calcular

3.54

Convém observar que a função considerada é a soma de funções contínuas e, portanto, é contínua. Logo

3.55


3.56

Novamente o limite é imediato, pois a função dada é um produto de funções contínuas e, portanto, é contínua. Logo

3.57


3.58

Esse limite também é imediato e temos

3.59

• ExEmplo 13: Encontrar o

3.60

Temos imediatamente que

3.61

lim cos( , ) ( , )x y

x y y x→

+ +

1 0

22

25

lim cos( , ) ( , )x y

x y y x→

+ +

= + =

1 0

22

25 1

25 11

2

lim .( , ) ( , )x y

x yxy→

− −

1 1

102 2

e

lim .( , ) ( , )x y

x yxy→

− − −

=1 1

210 102 2

e e

limln( )( , ) ( , )x y

xy y xx y→

+ ++

0 10 2 2

limln( ) ln( , ) ( , )x y

xy y xx y→

+ ++

=0 10 2 2

10100

lim( , , ) ( , , )x y z

x y zA→

− − −

0 0 0

2 2 2

e

lim( , , ) ( , , )x y z

x y zA A A→

− − − = =0 0 0

02 2 2

e e

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