FunGeo_Parte 3A_Cargas e Darcy

Fluxo de Água em Solos

PUC-RioNGA

FUNDAMENTOS DE GEOTECNIAC

once

itos

Bás

icos

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)

Fluxo de Água em SolosPUC-Rio

NGA •Solos são permeáveis em função da existência devazios interconectados pelos quais a água pode fluirde pontos de alta energia para pontos de baixaenergia.

•O estudo de fluxo de água em solos é de vitalimportância para o engenheiro, pois a água, ao semover no interior de um maciço de solo, exerce emsuas partículas sólidas forças que influenciam oestado de tensões do maciço.

•Os valores de poro-pressão e, com isso, os detensão efetiva em cada ponto do maciço sãoalterados em decorrência de alterações no regime defluxo.

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)

Fun

dam

ento

s de

Geo

tecn

ia –

Par

te 3

Conceitos de fluxo de água nos solos são aplicados em problemas tais como:

Estimativa da vazão de água através de uma zona de fluxo (p.ex. uma

barragem);

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Fluxo de água em solos

Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do

lençol freático;

Problemas de colapso e expansão em solos não saturados;

Dimensionamento de sistemas de drenagem;

Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de resíduos;

Previsão de recalques ao longo do tempo (adensamento de solos moles

– baixa permeabilidade);

Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa

de solo (estabilidade de taludes);

Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão interna ou

“piping”, etc.Transporte de contaminantes pelo

subsolo;

Análise da possibilidade de ocorrência de problemas de instabilidade hidráulica no meio poroso (e.g. levantamento de fundo de escavações; areia movediça)

Fluxo em Solos

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.P.

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ampo

s (2

011)


Fluxo em escala microscópica (real)

Fluxo em escala macroscópica (adotado)

Escalas micro e macroscópica

Exemplos de Condições de Fluxo:

� Unidimensional:Fluxo paralelo ou subparalelo à superfície deuma encosta

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� Bidimensional:

Fluxo pela fundação de uma barragem deconcreto

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.P.

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� Tridimensional:

Fluxo em um poço de extração de fluido

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Planta

Perfil

Fluxos Laminar e Turbulento

� Fluxo Laminar: a trajetória seguida por uma partícula de água qualquer no domínio de fluxo é a mais linear possível, não interceptando a trajetória seguida por nenhuma das outras partículas de água fluindo na direção do escoamento.

v < vc

� Fluxo Turbulento: a trajetória seguida por uma partícula de água qualquer é caótica, cruzando a trajetória seguida por uma outra partícula qualquer no domínio de fluxo.

v > vc

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s (2

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v < vc

v > vc

Fluxos Laminar e Turbulento

vc = velocidade crítica, abaixo da qual o fluxo é laminar (LT-1)D = diâmetro do conduto (L)γw = peso específico da água (ML-2T-2)µw = viscosidade absoluta ou dinâmica da água (ML-1T-1)g = aceleração da gravidade (LT-2)νw = viscosidade cinemática da água (L2T-1)ρw = massa específica da água (ML-3)R = número de Reynolds

Assumindo que o diâmetro dos poros, φ, é pelo menos 10 vezes menor que odiâmetro dos grãos do solo, δ, e que R=2.000 (válido para a maioria das tubulaçõesde água comerciais) constitui um limite inferior para a ocorrência de fluxo turbulento,obtém-se as velocidades críticas, vc, abaixo. Comparando estas com as velocidadesde percolação, vp, assumidas como representativas para os materiais considerados,verifica-se ser de se esperar que, em solos, predomine a ocorrência de fluxo laminar.

DD

gv

w

wc

υ

γ

µ ℜ=

ℜ=

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Solo ν (m2/s) R δ (mm) φ (mm) vc (m/s) vp (m/s)Pedregulho 1,0E-06 2000 6,0 6,0E-01 3,33 1,0E-01

Areia 1,0E-06 2000 0,2 2,0E-02 1,0E+02 1,0E-03Silte 1,0E-06 2000 0,06 6,0E-03 3,3E+02 1,0E-05

Argila 1,0E-06 2000 0,002 2,0E-04 1,0E+04 1,0E-07

Fluxos Permanente e Transiente

� Fluxo permanente ou estacionário: As característicasdo fluxo da água através do solo não variam com o tempo.

Ex.: fluxo através de uma barragem de terra, tempos após oenchimento do reservatório, que permanece com alturaconstante ao longo do tempo.

Tipo de problema a ser tratado no presente curso.

� Fluxo transiente: as características do fluxo da águaatravés do solo variam com o tempo.

Ex.: fenômeno de adensamento de solos.

Tipo de problema a ser tratado no Curso de Mecânica dosSolos subseqüente ao de Fundamentos de Geotecnia

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Fluxo: Equações Principais

� Equação de Bernoulli → Conservação de energia

� Lei de Darcy → Equação constitutiva fenomenológica (define permeabilidade)

� Equação de Laplace → Conservação de massa (fluxo 2D)

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Equação de BernoulliO conceito de energia total de um fluido em um dado ponto foiformulado por Bernoulli (Mecânica dos Fluidos), sendorepresentado por:

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eΦ+Φ+Φ=Φ vp

p = pressão; ρ = massa específica do fluido; g = aceleração da gravidade;v = velocidade de fluxo do fluido; M = massa; L = comprimento; T = tempo

Φ = energia total [ ML ]

= energia de pressãoρ

pMp =Φ

2

2Mv

v =Φ

MgLe =Φ

= energia cinética

= energia potencial

=

2

23

22T

ML

M

L

LT

MLM

2

2

T

ML

=

2

2

2T

MLL

T

ML

T.M

.P.

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ampo

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011)


Conceito de CargasEm solos, é usual expressar a equação de Bernoulli em termosde carga, ou seja, em termos de energia por unidade de peso, ouseja:

PUC-RioNGA

u = pressão da água nos vazios do solo; γw= peso específico da águavp = velocidade de percolação da água; g = aceleração da gravidade;z = distância de um referencial ou datum ao ponto considerado.

evp hhh ++=H

H = carga total [L]

= carga de pressãow

p

u

Mg

pMh

γρ==

g

v

Mg

Mvh

p

v 22

22

==

zMg

MgLhe ==

= carga de velocidade

= carga de elevação

= L

ML

T

M

L

LT

MLM23

22

= L

ML

T

T

ML2

2

2

= L

ML

T

T

MLL2

2

T.M

.P.

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ampo

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011)


Conceito de Cargas

PUC-RioNGA

Nível de Referência ou Datum

Nível piezométrico

wγ

u

2gv2p

z

H

=wγ

u

=z

=2g

v2p

carga de pressão ou carga piezométrica (L)

carga de velocidade (L)

carga de elevação ou carga altimétrica (L)

Ppiez

ômet

ro

T.M

.P.

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011)


Cargas em Solos Saturados

PUC-RioNGA

Conforme se verá adiante, a velocidade de percolação da águaem solos é muito pequena, fazendo com que a carga develocidade (vp

2/2g) se torne desprezível em presença das cargasde pressão e de elevação. Logo, a carga total (H) em um dadoponto no solo será:

zγ

uH

w

+=+= ep hh

Carga de pressão, hp

Carga de elevação, he

T.M

.P.

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ampo

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011)


Perda de carga entre dois pontos

PUC-RioNGA

A

B

w

A

γ

u

w

B

γ

u

Bz

AH

BH

L

DATUM

Piezômetros

A carga piezométricaem um ponto é igualà altura da colunad’água no interior dopiezômetro instaladono ponto

A perda de carga h entre os pontos A e B será igual à

T.M

.P.

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ampo

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011)


Conceito Fundamental

PUC-RioNGA

Para que haja fluxo de água entre dois pontos é necessário que a carga total existente em cada um destes dois pontos seja diferente, ou seja, que exista diferença de carga total entre os dois pontos.A água fluirá sempre do ponto de maior para o de menor carga total.

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Ponto Carga de elevação

Carga de pressão

Carga total

A

B

Aeh

Beh

Aph

Bph

HhhAp

Ae =+

HhhBp

Be =+

N.A.

A

B

Datum

Aeh

Beh

Aph

Bph

H

No balde impermeável, cheio de água, as cargas de elevação e de pressão em A e B são diferentes. Entretanto, não há fluxo,

pois as cargas totais em A e B são iguais.

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T.M

.P.

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ampo

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011)


Princípio de Bernoulli

BABA HHH ,∆+=

Dados dois pontos A e B, onde HA > HB, tem-se:

ou seja:

A carga total em um ponto B é igual à carga total em um ponto A menos a perda de carga entre estes dois pontos, com a carga total em A sendo maior do que a carga total em B.

Assim sendo, conhecendo-se a direção do fluxo de água no solo, a carga total em um dado ponto e a perda de carga entre este ponto e outro qualquer, é possível obter a carga total neste segundo ponto.

Cargas em Solos Não SaturadosPUC-Rio

NGA Em solos não saturados, a carga de pressão, hp,

passa a ser dada por:

A carga total, H, passa, então a ser igual a:

sendo: hs = carga decorrente da sucção matricial eho = carga decorrente da sucção osmótica

ose hhhH ++=

osp hhh +=

w

soo

uh

γ=

( )

w

was

uuh

γ

−=

T.M

.P.

de C

ampo

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011)


Lei de Darcy

PUC-RioNGA

Henry Darcy (1856) realizou um experimento clássico para estudar as propriedades dofluxo de água através de uma camada de areia saturada.

Darcy demonstrou que a vazão de água que flui entre dois pontos de uma amostra desolo é diretamente proporcional à diferença entre as cargas totais atuantes nestespontos, diretamente proporcional à área da seção transversal da amostra einversamente proporcional à distância entre os pontos, ou seja:

(Eq. 1)

onde: Q = vazão

∆Vw= variação de volume de água

∆t = intervalo de tempo

H1 e H2 = cargas totais nos pontos 1 e 2

L1,2 = distância entre os pontos 1 e 2

A = área transversal da amostra

A constante de proporcionalidade da Eq. 1 foi definida como sendo a permeabilidadeou coeficiente de permeabilidade, k, do solo. Assim, a equação da lei de Darcy é dadapor:

Onde: h = (H1 – H2) e L = L1,2

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


AL

HH

t

VQ w •

−≈

∆

∆=

2,1

21

AL

hkQ =

Experimento de Darcy

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


A Figura mostra um esquema aproximado do experimento de Darcy.

Considerando que a perda de carga nas tubulações é desprezível, ou seja, que só ocorre perda de carga no solo, tem-se:

Solo

Reservatório superior

Reservatório inferior

Tubulação

L

P1

P2

PA

PB

N.A.

N.A.

Área AZ1

Z2DATUM

AL

hkQDarcydeLei =Ponto he hp H

PA Z1 0 Z1

P1 Z2+L Z1-(Z2+L) Z1

P2 Z2 -Z2 0

PB 0 0 0

A carga total em P1 é maior que em P2. Assim, o fluxo é vertical descendente.

A perda de carga total, igual à diferença entre a carga total em P1 e P2, é :

h = Z1

Gradiente Hidráulico

PUC-RioNGA

A lei de Darcy pode, então, ser reescrita da seguinte forma:

AikQ ∗∗=

ikA

Qv ∗==

T.M

.P.

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ampo

s (2

011)


A razão entre a perda de carga total (h = diferença entre as cargas totais nos pontos P1 e P2) e a distância entre estes pontos (L) é denominada gradiente

hidráulico, i, ou seja:

L

h

L

Hi =

∆=

A razão entre a vazão e a área tem a dimensão de velocidade, logo:

Velocidade de Fluxo ou de Darcy

Velocidades de Fluxo e de Percolação

PUC-RioNGA

A velocidade de fluxo (v), definida a partir da lei de Darcy,corresponde ao volume de água fluindo por unidade de tempo(vazão) através da área de uma seção transversal do solo, que énormal à direção do fluxo. Tal velocidade não corresponde àvelocidade real com que a água flui através dos vazios do solo.

A velocidade efetiva da água pelos espaços vazios, denominadavelocidade de percolação, vp, é maior que a velocidade de fluxoou de Darcy, v.

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


ikA

Qv ∗==

Velocidade de Percolação (vp)

PUC-RioNGA Vazão, Q Vazão, Q

L

=

Área da amostra de solo = A

Área de sólidos = As

Área de vazios = Av

n

vvp =T.

M.P

. de

Cam

pos

(201

1)


n = porosidade

( )

( ) ( )

( )

+∗=

+

∗=+∗

=

∗

∗+∗=

+∗=

∗=+∗=

e

e1v

VV

VV

1

vV

VVvv

LA

LAAv

A

AAvv

vAAAvQ

s

v

s

v

v

svp

v

sv

v

svp

pvsv

sv AAA +=pv vAAvQ ∗=∗=

Coeficiente de Permeabilidade (k)

PUC-RioNGA

[k]=[L/T]Tipicamente, k é definido em cm/s ou m/s, sendo que:

1 m/s = 10-2 cm/s

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Da Lei de Darcy:i

vk =

Como o gradiente hidráulico, i, é adimensional, k tem a dimensão de velocidade:

AREIA MUITO FINA E SILTE, MISTURA DE AMBOS E ARGILA

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade entre as cotas 0 e 26.

Obs.: Não há perda de carga na tubulação. A carga de pressão nos N.A. = 0

Ponto H (cm) he (cm) hp (cm)

P1 80 80 0

P2 80 0 80

P3 80 5 75

P4 50 21 29

P5 50 26 24

P6 50 50 0

Solo Areiak (cm/s) 0,5n 0,33

0

21

5

42

50

26

80

Solo

N.A.

N.A.

Cot

a (c

m)

P3

P1

P2

P4

P5

P6

DA

TU

M

875,116

5080

L

H4-H3

L

hi =

−===

0,94cm/s1,8750,5 ki v =∗==

cm/s84,20,33

0,94

n

vvp ===

Dir

eção

do

Flux

o

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)



0

21

5

42

50

26

80

Solo

N.A.

N.A.

Cot

a (c

m)

P3

P1

P2

P4

P5

P6

DA

TU

M

Dir

eção

do

Flux

o

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80Cargas (cm)

Co

ta (

cm

)

H hp he

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3Velocidade (cm/s)

Co

ta (

cm

)

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade ao longo do mesmo.

Ponto H (m) he (m) hp (m)

P1 12 4 8

P2 12 8 4

P3 12 8 4

P4 4 8 -4

P5 4 8 -4

P6 4 4 0

0,18

412

L

H4-H3

L

hi =

−===

0,5cm/s1,00,5 ki v =∗==

cm/s52,10,33

0,5

n

vvp ===


Direção do Fluxo

Par

Solo

0 84 12 16

N.A. N.A.

4

8

12

0DATUM

Cota (m)

Distância (m)

Par = 8mH2O

P1

P2 P5P3

P6

P4

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)



Direção do Fluxo

Par

Solo

0 84 12 16

N.A. N.A.

4

8

12

0DATUM

Cota (m)

Distância (m)

Par = 8mH2O

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Distância (m)

Ca

rga

s (

m)

H

hp

he

0

1

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16Distância (m/s)

Ve

loc

ida

de

(m

/s)

(m)

Fluxo em Meios Estratificados

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Paralelo ao Acamamento

k1

kn

Z1

k2 Z2

Zn

ki ZiFluxo

x

z1

2

i

n

Não há fluxo na direção z, logo a perda de carga nesta direção é nula. Assim sendo, a carga total é constante em qualquer ponto ao longo de uma mesma linha z (no caso, linha vertical), o que leva a:

fluxo) do direção na(i solo no carga de perdah sendohhhh ini21 ====

Além disto, sendo Q a vazão de entrada, tem-se que:

ni21 QQQQQ +++++= LL

Permeabilidade Equivalente, keq

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Fluxo Paralelo ao Acamamento

k1

kn

A1

k2 A2

An

ki AiFluxo

x

z1

2

i

n

ni21 hhhh ===

nQQQQ 21 +++= L

nn

nn2

2

221

1

11eq A

l

hkA

l

hkA

l

hkA

l

hk +++= L

l

a bln

ni21 llll ===

A

Ak...AkAkk nn2211

eq

+++=

a b

A

Fluxo em Meios Estratificados

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Perpendicular ao Acamamento

k1

kn

Z1

k2 Z2

Zn

ki Zi

Flux

o

x

z1

2

i

n

Sendo Q a vazão de entrada, pelo princípio da continuidade tem-se que:

ni1 QQQQ ===

Além disto, tem-se:

i solo no carga de perda a éh ondehhhhh ini21 +++++= LL

Permeabilidade Equivalente, keq

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Fluxo Perpendicular ao Acamamento

k1

kn

l1

k2 l2

ln

ki li

Flux

o

x

z 1

2

i

n

ni1 QQQQ ===

n21 hhhh +++= L

a b

ba A

An

n21 AAAA ==== L

ln21 vvvv ==== L

k

lvh

l

hkikv

∗=∴=∗=

n

nn

2

22

1

11

eq k

lv

k

lv

k

lv

k

lv ∗+⋅⋅⋅+

∗+

∗=

∗

n

n

2

2

1

1eq

kl

kl

kl

lk

+⋅⋅⋅++

=

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade entre as cotas 0 e 67,8cm.

Ponto H he hp

P1 67,80 67,80 0

P2 67.80 57,50 10,30

P3 49,31 27,5 21,81

P4 0 7,50 -7,50

P5 0 0 0

62,030

31,498,67

L

H-Hi

1

321 =

−==

0,62cm/s0,621,0 v1 =∗=

0

67,8

27,5

7,5

57,5

N.A.

N.A.

Solo 1

Sol

o 2

P1

P2

P3

P4

P5

Cot

a (c

m)

Flu

xoD

AT

UM

Solo 1 2

k (cm/s) 1,0 0,50

n 0,5 0,33

A (cm2) 40 20

21 QQ =222111 AikAik =

22

4321

1

321 A

L

HHkA

L

HHk

−=

−

2020

03H5,040

30

H8,671 3 −

=−

67,8 - H3 = 0,375*H3

47,220

031,49

L

H-Hi

2

432 =

−==

cm/s23,12,470,5 v2 =∗=

1,23cm/s0,5

0,62 v

1p ==

3,74cm/s0,33

1,23 v

2p ==

(Cargas em cm)

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


0

10

20

30

40

50

60

70

-10 0 10 20 30 40 50 60 70

Cargas (cm)

Co

ta (

cm

)

H hp he

0

67,8

27,5

7,5

57,5

N.A.

N.A.

Solo 1

Solo

2

P1

P2

P3

P4

P5

Cot

a (c

m)

Flu

xoD

AT

UMSolo 1 2

k (cm/s) 1,0 0,50

n 0,5 0,33

A (cm2) 40 20

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

0 1 2 3 4Velocidade (cm/s)

Co

ta (

cm

)

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade entre as cotas 0 e 60,0cm.

Ponto H he hp

P1 60 60 0

P2 e P3 60 46 14

P4 e P5 0 16 -16

P6 0 0 0

0,230

060

L

H-Hi

1

421 =

−==

2,0cm/s2,01,0 v1 =∗=

0,230

060

L

H-Hi

2

532 =

−==

cm/s0,12,00,5 v2 =∗=

4,0cm/s0,5

2,0 v

1p ==

3,03cm/s0,33

1,0 v

2p ==

(Cargas em cm)

Solo 1 2

k (cm/s) 1,0 0,50

n 0,5 0,33

A (cm2) 40 20

N.A.

So

lo 1

So

lo 2

P1

P2 P3

P4 P5

0

60

46

16

Cot

a (c

m)

Flu

xo

DA

TU

M

N.A.

P6

532421 HHhHHh −==−=

546321 HHHeHHH ====

2025,040*21AikAikQQQ 22211121 ∗∗+∗=+=+=

221

3 cm60AAAA

vs/cm100Q =+===

s/cm67,1v60

100v =∴=

Cálculo de Cargas

PUC-RioNGA

T.M

.P.

de C

ampo

s (2

011)


Solo 1 2

k (cm/s) 1,0 0,50

n 0,5 0,33

A (cm2) 40 20

N.A.

So

lo 1

So

lo 2

P1

P2 P3

P4 P5

0

60

46

16

Cot

a (c

m)

Flu

xo

DA

TU

M

N.A.

P6

0

10

20

30

40

50

60

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

Cargas (cm)

Co

ta (

cm

)

H hp he

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4Velocidade (cm/s)

Co

ta (

cm

)

Solo 1

Solo 2

Documents

FunGeo_Parte 3A_Cargas e Darcy