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Função Quadrática ou Função do 2º grau Bhaskara

Função Quadrática ou Função do 2º graujoinville.ifsc.edu.br/~dani.prestini/Integrado...Bhaskara Babilônia (1.800 a.C) alguns métodos de resolução de equações de 2º grau

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Função Quadrática ou Função do 2º grau

Bhaskara

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Babilônia (1.800 a.C) algunsmétodos de resolução deequações de 2º grau já eramconhecidos.

Egípcios: já trabalhavam comequações lineares e usavamincógnitas em seus problemas(Papiro de Rhind)*

* Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes -1.650 a.C - cópia de um trabalho aindamais antigo. Detalha a solução de 85problemas (aritmética, frações, cálculode áreas, volumes, equações lineares,geometria; dentre outros.

Um pouco de História...

Fonte:http://www.navegandodelpasadoalfuturo.net/babilonia

Fonte: http://www.matematica.br/historia/prhind.html2

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Um pouco de História...

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tartaglia

Fonte: http://www.mathworks.com/matlabcentral

Europa

Século XVI: Del Ferro, Tartaglia, Cardano,Ferrari dentre outros, iniciaram estudossobre equações de terceiro e quartograus.

Século XIX: Galois resolveu um antigoproblema em aberto envolvendo as raízesde um polinômio e cria um novo campoda álgebra abstrata: a teoria dos grupos.

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Definição

Denomina-se função quadrática na variável x toda função na forma: f(x) = ax2 + bx + c = 0 com x R, a 0

Gráfico da Função Quadrática: sempre é uma parábola.

a: é sempre o coeficiente de x2

b: é sempre o coeficiente de xc: é o coeficiente ou termo independente

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Exercitando....

Dadas as funções quadráticas determine os coeficientes a, b e c de cada função.

a) f(x) = x2 - 6x +8 a = ____; b = ____; c = ____

b) y = -3x2 + 4x – 4 a = ____; b = ____; c = ____

c) f(x) = x2 – 6 a = ____; b = ____; c = ____

d) y = -2x2 + 8x a = ____; b = ____; c = ____

e) f(x) = x2 – 1 a = ____; b = ____; c = ____

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ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU

São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

1º caso: b = 0• Igualar a função a zero• Isolar a variável x e o termo independente

x2 – 1= 0

x2 = 1

x = +/-√1

x = +/- 1

x2 – 9 = 0

x2 = 9

x = +/-√9

x = +/- 3

2x2 – 14 = 0

2x2 = 14

x2 = 14/2

x =+/- √7

x2 + 9 = 0

x2 = - 9

x =+/- √-9

Não existe solução

a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = x2 – 9 c) f(x) = 2x2 – 14 d) f(x) = x2 + 9

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Exercitando....

Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x2 – 16 b) y = -x2 + 36

c) f(x) = 2x2 – 8 d) y = -2x2 + 10

e) f(x) = 2x2 – 6 f) y = x2 + 10

a) 4;b) 6; c) 2; d) 5; e)R 3; f): 10

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

2º caso: c = 0• Igualar a função a zero

• Colocar a variável x em evidência.

x2 – 5x = 0

x(x – 5) = 0

Raízes:

x = 0x = 5

x2 + 2x = 0

x(x + 2) = 0

Raízes:

x = 0x = -2

2x2 + 6x = 0

2x(x + 3) = 0

Raízes:

x = 0x = -3

a) f(x) = x2 – 5x b) f(x) = x2 + 2x c) f(x) = 2x2 + 6x

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Exercitando....

Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x2 + 3x b) y = x2 + 4x

c) f(x) = x2 – 4x d) y = x2 - 5x

e) f(x) = 2x2 – 12x f) y = 2x2 – 2x

R: a) x’= 0 e x’’ = -3; b) x’= 0 e x’’ = -4; c) x’= 0 e x’’ = 4; d) x’= 0 e x’’ = 5; e) x’= 0 e x’’ = 6; f) x’= 0 e x’’ = 1;

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Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara

3º caso: cálculo das raízes da função completa

x =−b ± ∆

2ax =

−b ± b2 − 4ac

2a

∆ = b2 − 4ac

Fórmula de Bháskara

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Gráficos da função quadrática

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Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau

x2 – 7x + 6 = 0 9x2 + 6x + 1 = 0 -2x2 + 3x – 5 = 0

Não existe solução que satisfaça f(x) = 0

a) f(x) = x2 – 7x + 6 b) f(x) = 9x2 + 6x + 1 c) f(x) = -2x2 + 3x - 5

2

2( 7

b

)

4

4.1.6

49 24

25

.a.c

( 7) 25x

2.1

7 5x ' 6

2

7 5x '' 1

2

2

2

(6) 4.9.1

36 3

b 4.

0

a c

6

.

6 0x

2.9

6 0 1x '

18 3

6 0 1x ''

18 3

2

2

(3) 4.( 2).( 5)

9 40

b 4.a.c

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Exercitando....

Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x² + 3x – 10

b) f(x) = 4x² – 4x + 2

c) y = 2x2 - 4x + 5

d) y = -x² - 6x + 5

e) y = -x² + 6x + 5

f) f(x) = -x2 + 12x + 20

g) f(x) = 2x2 - 3x + 5

h) f(x) = 5x2 + 10x + 5

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Cálculo do Vértice de uma ParábolaValor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática

Valor Máximo

Valor Mínimo

v

v

bx

2a

y4a

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Exemplos

1) Qual é o vértice da parábola y = x2 – 2x + 5?

2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função definida por y = 2x2 – 5x + 2. As coordenadas do vértice V da parábola são:

Letra A

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3) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x2 – 2x – 3 e diga se é um ponto de máximo ou mínimo da função.

a) V (1, -4); ponto de mínimob) V (2, 4); ponto de máximoc) V (-1,-4); ponto de máximod) V (2,-4); ponto de mínimo

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Exercitando....

Em cada um dos itens abaixo ache o vértice e classifique como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.

a) f(x) = x2 + 8x + 9 b) f(x) = -x2 + 4x + 4

c) f(x) = 4x2 + 8x - 3 d) f(x) = -x2 + 2x - 1

e) f(x) = -x2 + 9 f) f(x) = -x2 - 9x

Gabarito:a) (-4, -7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximoc) (-1, -7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximoe) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, -9), ponto de máximo

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Domínio e Imagem da função quadrática

D(f) = R

Im(f) = y ≥ 2 ou [2, [

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Exemplo 1:

O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:

a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo?

b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos?

Aplicações

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Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:

a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades

Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima temposição em função do tempo dada pela função h(t) = 40 t – 5t2 onde aaltura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos.Calcule:

a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.a) A altura máxima atingida pelo objeto.

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v

b ( 0,6)x 50 km / h

2a 2.0,006

1. A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h é dado por C(x) = 0,006x2 – 0,6x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo?

a) 46 km/hb) 47 km/hc) 48 km/hd) 49 km/he) 50 km/h

Exemplos: Máximo e Mínimo

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a) 2 s

b) 8 m

2. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = -2t2 + 8t, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Calcule:

a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima;b) A altura máxima atingida pela bola.

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3. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: T(t) = 2 + 4t – t2. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo?

a) 1,0 s d) 2,5 sb) 1,5 s e) 3,0 sc) 2,0 s

Letra C

4. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P, em recipientes, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n2 + 50n + 6.000. Calcule:a) A produção se o número de operadores for 4.b) A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores.

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Ler a teoria na pág. 86 a 95

Fazer os exercícios das pág. 96 e 97:

1 ao 12

Ler a teoria na pág. 98 a 100

Fazer os exercícios da pág. 101:

14 ao 22

Ler a teoria na pág. 102 a 105

Fazer os exercícios das pág. 106 e 107:

25 ao 37