UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULINSTITUTO DE FSICA

FUSO COMPLETA E INCOMPLETA DENCLEOS FRACAMENTE LIGADOS

GUILHERME DOMINGUES KOLINGER

Porto Alegre2015

Guilherme Domingues Kolinger

FUSO COMPLETA E INCOMPLETA DE NCLEOSFRACAMENTE LIGADOS1

Dissertao de mestrado apresentada aoInstituto de Fsica da Universidade Federaldo Rio Grande do Sul, como requisito parcialpara obteno do ttulo de Mestre em Fsica.

Orientador: Prof. Dr. Sergio Ricardode Azevedo SouzaCo-orientador: Prof. Dr. Raul Donan-geloa

aUniversidade Federal do Rio de Janeiro e Uni-versidad de la Republica (Uruguai)

Porto Alegre2015

1O presente trabalho foi realizado com financiamento do Conselho Nacional de Desenvolvimento Ci-entfico e Tecnolgico (CNPq).

Sumrio

Agradecimentos

Resumo

Abstract

1 Introduo p. 4

1.1 Reaes nucleares e fuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5

1.2 Reaes com ncleos exticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

1.3 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

2 Tratamento terico p. 13

2.1 Tratamento puramente clssico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

2.1.1 Espalhamento clssico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

2.1.2 Fuso clssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

2.1.3 Modelos clssicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

2.2 Tratamento puramente quntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.2.1 Espalhamento ondulatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.2.2 Seo de choque de fuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2.2.3 Ondas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2.2.4 Matriz de espalhamento e Phase Shift . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2.5 Modelo ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.3 Canais Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.3.1 Acoplamento com estados do contnuo . . . . . . . . . . . . . . p. 27

2.4 Aproximao semi-clssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.4.1 Seo de choque semi-clssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.4.2 Potencial de interao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

2.4.3 Auto-funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

2.4.4 Evoluo temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

2.4.5 Distribuio de momentum relativo . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

2.4.6 Sees de choque de fuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

3 Aplicao Computacional p. 38

3.1 Funes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

3.2 Fatores de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

3.3 Dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

3.4 Sees de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

3.5 Otimizaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

4 Resultados e Discusses p. 44

4.1 O sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

4.2 Os pontenciais pticos de interao com o alvo . . . . . . . . . . . . . . p. 45

4.3 Convergncia dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

4.3.1 Energia mxima do contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

4.3.2 Densidade de bins por MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

4.3.3 Nmero de ondas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

4.3.4 Multipolaridade mxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

4.4 Anlise dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

4.4.1 Diferentes discretizaes do contnuo . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

4.4.2 Diferentes potenciais pticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

4.4.3 Outro projtil: 10Be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

4.5 Comparao com dados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

5 Consideraes finais p. 57

Apndice A -- Clculo das funes de onda para os fatores de forma p. 59

A.1 O mtodo de Numerov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

A.2 Aplicao soluo dos estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

A.3 Determinao do auto-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

Referncias Bibliogrficas p. 65

Agradecimentos

Primeiramente agradeo minha famlia, em especial aos meus pais, Harry e Miriam,pelo apoio incondicional s minhas escolhas pessoais, sempre ajudando com tudo que fossepossvel e compreendendo a minha ausncia em diversos momentos durante esses ltimosanos. No posso deixar de citar tambm minha v Luci, meu irmo Luis Fernando e minhanamorada, Dbora, por todo apoio que me forneceram para que eu pudesse completar essetrabalho.

Essa dissertao certamente no existiria se no fosse a participao do meu orien-tador, Sergio, sempre presente, desde s reunies semanais para discutir assuntos rela-cionados a este trabalho at s conversas triviais do dia-a-dia, tornado-se um amigo.Meu coorientador, Raul, tambm sempre esteve presente nas grandes discusses, mesmomorando em outro pas. Sou muito grato por toda a ateno que eles sempre me deram.

No posso deixar de agradecer aos meu grandes amigos, desde aqueles presentes dia-riamente para tomar um caf aps o almoo at aqueles que resolveram conquisar todosos continentes desse mundo afora, sejam eles Fsicos ou no. Felizmente vivemos em umtempo em que distncias fsicas no significam distncias nas amizades.

Um muito obrigado a todas essas pessoas, tenham elas influenciado a realizao dessetrabalho direta ou indiretamente.

When everyone else is more comfortable remaining voiceless

Rather than fighting for humans that have had their rights stolen

I might not be the same, but thats not important

No freedom til were equal, damn right I support it

Macklemore and Ryan Lewis (featuring Mary Lambert)Same Love

Resumo

Com a disponibilidade de feixes instveis, o interesse em ncleos longe do vale deestabilidade cresceu consideravelmente [1] e abriu novas possibilidades na Fsica Nuclear[2, 3]. Um exemplo importante o processo de fuso de ncleos exticos, um mecanismomais complexo do que a reao de fuso usual entre ncleos fortemente ligados. Noprimeiro caso h a possibilidade de quebra do projtil, podendo levar fuso incompleta,onde um ou mais, porm no todos, os fragmentos do projtil so absorvidos pelo alvoenquanto parte da carga do projtil escapa da regio de interao. Tambm pode ocorrer aabsoro sequencial dos fragmentos, produzindo o mesmo ncleo composto de uma reaodireta [2]. O entendimento dessa diversidade de processos pode fornecer informaesimportantes sobre propriedades nucleares.

No presente trabalho, estudamos um procedimento semi-clssico que considera a pos-sibilidade de fuso incompleta, fuso completa direta e fuso completa sequencial, baseadanos trabalhos das Referncias [1,4], que estudam a coliso 6Li + 209Bi e apresentam bomacordo com resultados experimentais. O desenvolvimento de um cdigo simples, pormeficiente, que possibilite o uso deste procedimento semi-clssico pela comunidade cient-fica de grande importncia, uma vez que sua aplicao a uma vasta gama de problemaspossibilitar melhor entendimento dos diferentes mecanismos envolvidos em reaes comncleos exticos. Neste trabalho estudamos as colises dos projteis 10,11Be no alvo 209Bi,um sistema que nunca foi estudado com o modelo semi-clssico.

O objetivo desta dissertao o desenvolvimento de tal cdigo para o estudo da fusode ncleos fracamente ligados e torn-lo disponvel comunidade da Fsica Nuclear atravsde uma base de programas cientficos.

Abstract

With the availability of unstable beams, the interest in nuclei far from the stabilityvalley has grown considerably [1] and has opened new possibilities in Nuclear Physics [2,3].An important example is the fusion process of exotic nuclei, which is a much more complexmechanism than the usual fusion process that takes place between strongly bound nuclei.In the former situation there is the possibility of projectile breakup, leading to incompletefusion, where one or more, but not all, of the breakup fragments are absorbed by the targetwhereas part of the projectiles charge escapes the interaction region. It can also happensthat all the projectiles fragments are sequentially absorbed by the target, producing thesame coumpound nucleus as in the case of direct fusion [2]. The understanding of thisdiversity of processes can provide important information on the properties of nuclei.

In the present work, we study a semiclassical procedure that takes into account thepossibility of incomplete fusion, direct complete fusion and sequential complete fusion,based on References [1, 4] that study the collision 6Li + 209Bi and show good agreementwith experimental data. The development of a simple, yet efficient code that enablesthe scientific community to use this semiclassical procedure is of great significance, sinceits application to a variety of systems will allow a better understanding of the differentmechanisms involved in reactions with exotic nuclei. In this work we have studied thecollisions of the projectiles 10,11Be in the target 209Bi, a system never studied with thesemi-classical model before.

The purpose of this dissertation is the development of such a code to study the fusionprocess of weakly bound nuclei and make it available to the Nuclear Physics communitythrough a repository of scientific computer programs.

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1 Introduo

As primeiras idias sobre a composio da matria vm desde os antigos pensadoresgregos. At o Sculo XVIII, com Dalton, acreditou-se de que todo corpo com massa eraconstitudo de uma unidade elementar e indivisvel, que recebeu o nome de tomo [5].Entretanto a histria moderna da Fsica Nuclear comeou no final do Sculo XIX, em 1896,com a descoberta da radioatividade na Frana por H. A. Becquerel [6]. Em 1909, Geiger eMardsen estudaram o espalhamento de partculas alfa (ncleos de hlio) atravs de finasfolhas de ouro e prata [7]. Nestes estudos foi verificado que a cada 8000 projteis um eraretroespalhado, enquanto a grande maioria dos outros sofria uma pequena deflexo na suatrajetria de at um grau. Analisando estes dados, Rutherford (1911) chegou hiptesedo ncleo atmico positivo (contendo essencialmente toda a massa do tomo) cercado poruma nuvem eletrnica com um raio aproximadamente cinco ordens de grandeza maiorque o desse prprio ncleo [7]). Dois anos depois, a hiptese de Rutherford foi confirmadapor Geiger e Mardsen, derrubando de vez o modelo de J. J. Thomson que afirmava queo tomo era uma esfera slida contendo cargas positivas e negativas (o chamado modelodo Pudim de Passas) e reafirmando o modelo do tomo nuclear [8].

Em 1919 Rutherford verificou a emisso de prtons aos incidir partculas alfa emtomos de nitrognio, realizando a primeira transmutao em laboratrio [6, 7]. Com ostrabalhos de de Broglie (1924), Schrdinger, Born, Heisenberg e Jordan (1926) houve odesenvolvimento da Mecnica Quntica [9] e foi possvel avanar mais nos estudos doncleo atmico. At 1932, acreditava-se que o ncleo era composto apenas por prtons,porm os estudos de Chadwick mostraram a existncia de outra partcula, essa de carganeutra: o nutron [58]. No mesmo ano, Heisenberg props que ambos, prton e nu-tron, formavam o ncleo [6] e ento receberam o nome de nucleons. Em seguida, NielsBohr props o Modelo da Gota Lquida (1936) para o ncleo [8], considerando interaescoletivas entre os nucleons.

Em 1939, Hahn e Strassmann descobriram a fisso nuclear ao quebrar ncleos pesadosem dois mais leves na captura de um nutron. Fermi e colaboradores, nos EUA, cons-truram em 1942 o primeiro reator nuclear [6], possibilitando a gerao de energia eltricaatravs da fisso induzida de tomos pesados. Tais estudos tambm levaram possibi-lidade de fabricar armas nucleares de destruio em massa. Em 1945, na fase final daSegunda Guerra Mundial, foram usadas as nicas duas armas nucleares em uma guerra athoje, dia 6 de agosto s 08:15 em Hiroshima e 9 de agosto s 11:02 em Nagasaki [1012].Ambas armas foram desenvolvidas e usadas pelos EUA.

Nos meados do Sculo XX vieram as outras contribuies importantes para a baseterica da estrutura nuclear, com o Modelo de Camadas (1949) de Mayer (EUA) e Haxel,Jensen e Suess (Alemanha), e o Modelo Coletivo (1953) de Aage Bohr e Ben Mottelson

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(Dinamarca) [6].

1.1 Reaes nucleares e fuso

A coliso entre dois ncleos chamada de reao nuclear e, assim como numa reaoqumica, os produtos finais podem ser diferentes dos iniciais [13]. Seja, genericamente,um projtil a incidindo em um alvo A que, por simplicidade, est em repouso em relaoao obervador. Como resultado da coliso temos a formao de um ncleo B e a emissode uma partcula b [8]:

a+AB+ b .Porm, reaes nucleares no esto limitadas apenas a pares de ncleos. Reaes entreum ncleo com qualquer partcula e radiao tambm so chamadas assim, mas nestadissertao o foco ser para colises de ncleos. A Figura 1.1 representa esquematicamenteum experimento de espalhamento, ou seja, pode tambm representar uma coliso nuclear.

Figura 1.1: Representao esquemtica de um experimento de espalhamento: incidncia de umfeixe de partculas em um alvo estacionrio [14].

Os canais de reao descrevem a fsica envolvida em cada coliso, sendo de grandeimportncia para o entendimento qualitativo e quantitativo de uma reao nuclear. An-tes da coliso o sistema se encontra no canal de entrada com ambos ncleos no estadofundamental. Vrias possibilidades existem no canal de sada, de acordo com a energiadisponvel para a coliso. No canal elstico, apenas as direes de movimento (e possi-velmente os momentos angulares) das partculas so alteradas, mas no h a produode excitaes intrnsecas nos ncleos [15]. Quando o projtil e o alvo mantm suas iden-tidades mas um ou ambos ficam excitados (i.e., com energia intrnseca mais alta) aps acoliso, diz-se que tal coliso tem como canal de sada o espalhamento inelstico. A mai-oria das reaes nucleares apresenta um ncleo excitado no canal de sada. Nos chamadoscanais de reao, o projtil e/ou alvo mudam de identidade, podendo ser observadas maisde duas partculas no final da coliso.

Uma quantidade importante nos canais inelstico e de reao a diferena de energiaentre os canais de entrada e de sada, chamado de valor-Q:

Q 0 , (1.1)

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onde 0 a energia do canal de entrada e a energia do canal- de sada (e i =mic2).De fato, dada a conservao de energia, o Q est diretamente relacionado com a diferenade energia cintica entre os canais de sada e entrada. Sendo E = Ki +mic2 a energiatotal, a Eq.(1.1) assume a forma [8,14]:

Q=K K0 . (1.2)

Um dos parmentros importantes que define o resultado de uma reao nuclear o parmetro de impacto. A Figura 1.2 mostra uma representao dos possveis canaisde sada de uma coliso dados diferentes parmetros de impacto. As colises onde noh grande aproximao entre o projtil e o alvo levam ao canal elstico, enquanto umparmetro de impacto menor leva aos canais inelsticos, como colises profundamenteinelsticas e fuses incompletas [16]. Colises mais centrais podem levar fuso. A Figura1.3 mostra os mesmos mecanismos em termos do momento angular orbital associado acada coliso. Nota-se que o espalhamento elstico est associado a maiores valores demomento angular [17].

Figura 1.2: Esquema de classificao de colises baseado no parmetro de impacto [17].

As colises quasi-elsticas esto associadas a grandes valores de momento angular eparmetro de impacto (ainda menores que no caso do espalhamento elstico). Nelas, o

Figura 1.3: Esquema de classificao de co-lises baseado no momento angular transfe-rido. De menor transferncia maior: fu-so, colises profundamente inelsticas, coli-ses quasi-elsticas, colises elsticas e exci-taes coulombianas [15].

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Figura 1.4: Soma dos potenciaisnuclear, coulombiano e centrfugopara o sistema 11Be+209Bi para di-versos valores de momento angu-lar l (indicados no grfico). Noteque com o aumento de l o poo dopotencial diminui at desaparecerquando o momento angular cheganum valor crtico, aqui prximo de80. Sem a existncia do poo nopotencial, no h fuso.

tempo de interao entre as partculas razoavelmente pequeno e a interao projtil-alvo superficial, incluindo apenas pequenas excitaes e possivelmente transferncia demassa. Caso o parmetro de impacto seja um pouco menor, tem-se uma interao maislonga entre o alvo e o projtil, permitindo a transferncia sequencial de massa e carga, oque caracteriza as colises profundamente inelsticas [15]. Tais colises so mais comunsquando o produto dos nmeros atmicos dos ons/tomos colidindo grande (maior que2000) [17], e elas envolvem grandes perdas de energia cintica para as excitaes intrnsecasdo projtil e do alvo, mas no chegam a se fundir e formar um Ncleo Composto (CN,do ingls Compound Nucleus), no qual a memria do canal de entrada, excetuando-se asquantidades conservadas, apagada.

A fuso o processo no qual dois ncleos se unem em um s [16], que pode estar alta-mente excitado aps sua formao e se tiver alto momento angular decair preferencial-mente atravs de emisses alfa ou fisso caso o CN seja suficientemente pesado. Se tiver umpequeno momento angular, dever emitir partculas mais leves e/ou radiao gama [16].Esse um dos fatores limitantes para a produo de elementos super-pesados [13]. Nadinmica que leva fuso, os ncleos se aproximam a ponto de a interao nuclear serrelevante, porm para isso necessrio vencer a barreira coulombiana, resultante da somado potencial nuclear com o coulombiano e centrfugo, como ilustrado na Figura 1.4, parao caso de um potencial Woods-Saxon1. Durante a coliso, ocorre a converso de parteda energia cintica em excitaes intrnsecas dos ncleos. Caso a perda de energia sejasuficientemente grande aps a barreira de potencial ter sido ultrapassada, os ncleos ficampresos no potencial ncleo-ncleo e iro se fundir, criando o ncleo composto final [16].Dado um certo parmetro de impacto e uma energia do projtil, existe uma certa probabi-lidade finita de o sistema ficar preso no poo do potencial por tempo suficiente para ocorrera fuso e a formao do CN. Naturalmente, tal probabilidade cresce com a profundidadee largura do poo [15].

Para estudar colises interessante analisar uma quantidade que seja independentedas condies dos experimentos e dependa exclusivamente das propriedades fsicas doprojtil e do alvo. Tal quantidade a seo de choque diferencial. Voltando Figura 1.1

1Este quadro no realista caso os ncleos envolvidos na coliso sejam muito pesados, pois suasdeformaes dinmicas devem ser consideradas [18] e pode ser necessrio uma energia extra para quehaja fuso [19].

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e contando o nmero de eventos que levam populao do canal- quando a partcula emitida no ngulo slido , N (,), algumas consideraes precisam ser feitas [14]:

Se a abertura do detector for pequena, ento N (,) deve ser proporcional ;

Se o alvo for fino o suficiente para desconsiderarmos espalhamentos mltiplos, entoN (,) deve ser proporcional densidade superficial n do alvo;

Desprezando as interaes entre as partculas do feixe incidente, N (,) deveser proporcional ao fluxo incidente J .

Com isso, N (,) pode ser reescrita:

N (,) = n Jd()d

,

onde a constante de proporcionalidade

d()d

=N (,) n J

a seo de choque diferencial para o canal-. Frequentemente estamos interessados naseo de choque total de algum canal, como por exemplo do canal elstico, ento feitaa integrao sobre o ngulo slido:

el =

d

[

del()d

]

.

O estudo sobre as sees de choque importante porque a probabilidade de uma reaoter algum canal de sada especfico est associada seo de choque deste canal [14].

1.2 Reaes com ncleos exticos

A Figura 1.5 mostra uma distribuio de istopos. A linha cheia na diagonal mostraa posio no grfico onde o nmero de nutrons e prtons o mesmo. V-se, claramente,que os ncleos estveis (quadrado preto) apresentam um nmero maior de nutrons do quede prtons, e isso ocorre para que a fora de atrao nuclear consiga vencer a repulsocoulombiana entre os prtons. Os ncleos exticos so aqueles que saem da linha deestabilidade, apresentando um excesso ou deficincia de nutrons.

Quando uma reao nuclear apresenta um projtil e/ou alvo extico se abre uma novagama de possibilidades para os canais de sada, pois a reao - especialmente a fuso - setorna mais complexa [2]. Com projteis radioativos existe uma grande possibilidade dequebra (seo de choque de quebra alta) e isso ocorre devido baixa energia de ligaodos nucleons perifricos desses ncleos [21]. Com essa quebra existe a possibilidade de queapenas parte do projtil se funda com o alvo, um processo chamado de Fuso Incompleta(IF, do ingls Incomplete Fusion) [16]. Esse mecanismo compete com a Fuso Completa(CF, do ingls Complete Fusion), onde todo o projtil se funde com o alvo, seja de forma

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Figura 1.5: Tabela de istopos e o decaimento esperado daqueles que so instveis [20].

direta ou em sequncia aps sua quebra. O processo direto chamado de Fuso CompletaDireta (DCF, do ingls Direct Complete Fusion), enquanto o segundo a Fuso CompletaSequencial (SQ) [2,3]. A Figura 1.6 mostra esquematicamente os possveis canais de sadade uma coliso de um projtil fracamente ligado com um alvo mais pesado [3].

Diversos modelos tericos j foram propostos para estudar reaes de fuso com n-cleos exticos, desde modelos clssicos simples at outros inteiramente qunticos [2]. Taismodelos, entretanto, no permitem a separao entre a fuso incompleta e a completasequencial, permitindo estudar apenas a seo de choque total para os processos. Nas re-ferncias [1, 2, 4] foi apresentado um tratamento semi-clssico que consiste em aproximaro projtil por dois ncleos fracamente ligados que interagem com o alvo atravs de umpotencial, que pode ser separado:

V (r1,r2) = V1(r1)+V2(r2) ,

onde ri , i= 1,2, representa a coordenada do ncleo 1 ou 2 em relao ao alvo e Vi o res-pectivo potencial de interao entre eles. Esse potencial escrito como uma contribuiode um potencial ptico V0 e uma interao de acoplamento U(R,r), onde r corresponde separao relativa entre os ncleos 1 e 2 e R representa a posio do centro de massados projteis em relao ao alvo, cuja trajetria descrita atravs da mecnica clssica.

A dinmica intrnseca entre os fragmentos do projtil, por sua vez, tratada quan-ticamente. A funo de onda que descreve o movimento relativo dos ncleos fracamenteligados (em um determinado instante de tempo t e para um certo parmetro de impactob) escrita como a contribuio de estados ligados i com energia i e outra componente

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Figura 1.6: Representao esquemtica da (possvel) fuso e quebra de um projtil fracamenteligado em um alvo. Por simplicidade se assume que o projtil se quebra em dois fragmentos; ageneralizao de tal situao direta [3].

no contnuo C [2]:(b, t) =

i

ci(b, t)i eiit/h + C(b, t) ,

onde ci(b, t) so as amplitudes associadas aos estados ligados, assim como c(b, t) soas amplitudes associadas base de estados na discretizao do contnuo [2], que serdiscutida mais adiante nas Sees 2.3.1 e 3.1:

C(b, t) =

l j J M

d c(b, t)ei t/h .

Note que ambas amplitudes ci(b, t) e c(b, t) dependem tanto do tempo quanto da traje-tria clssica, atravs do parmetro de impacto e energia de coliso [4]. J representa omomento angular total, M a sua projeo ao longo do eixo z, enquanto l e j denotamos nmeros qunticos do movimento angular do movimento relativo do fragmento 1 emtorno de 2. O rtulo representa o conjunto desses nmeros qunticos, alm da energia [1]. A funo de onda representa um auto-estado com esses auto-valores.

O hamiltoniano do sistema ento descrito como

H = h(p,r)+U(t,r) ,

onde h(p,r) est associado ao movimento relativo dos ncleos fracamente ligados (proj-til). Resolvendo a Equao de Schrdinger dependente do tempo se obtm as equaessemi-clssicas dos canais acoplados (i.e., a evoluo temporal dos coeficientes da expan-so) [4]:

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i h ci(b, t) =

j

Uij(t)ei(ij)t/h cj(b, t)

+

ljJM

dUi(t)ei(i)t/h c(b, t) (1.3)

i h c(b, t) =

j

Uj(t)ei(j)t/h cj(b, t)

+

ljJM

dU(t)ei()t/h c(b, t) (1.4)

onde,U =

U

so os Fatores de Forma, ou seja, so os elementos de matrix do potencial de acoplamentoU(t,r) [1]. Ao resolver as Equaes (1.3) e (1.4) possvel obter as sees de choque dacoliso e saber quais os canais de sada mais relevantes. Voltaremos a esse tratamentocom mais detalhes mais adiante, uma vez que ser um dos focos centrais dessa dissertao.

1.3 Motivao

A disponibilidade de feixes radioativos abriu novas possibilidades na Fsica Nuclear.Em particular, colises de ncleos fracamente ligados ganharam grande interesse na l-tima dcada. Tendo em vista as caractersticas exticas de tais ncleos, o estudo dessesprocessos possibilita uma compreenso mais aprofundada sobre a estrutura nuclear [3].Uma vez que no possvel obter informaes diretamente de um sistema microscpico,para estudar as interaes entre tais sistemas necessrio [14]:

a) alguma hiptese sobre a natureza da interao;

b) usando tal hiptese, realizar previses sobre o experimento de espalhamento;

c) realizar o experimento e comparar as expectativas tericas com os dados experimentais.

Porm, como tais sistemas so de muitos corpos, regidos pela mecnica quntica e tmum grande nmero de graus de liberadade interagentes, resolver a Equao de Schrdinger algo extremamente complicado. Por isso so desenvolvidos modelos aproximados, masque ainda devam reproduzir os principais aspectos do sistema, levando a equaes demovimento mais simples [14]. A compreenso da fuso envolvendo ncleos radioativosvem crescendo com trabalhos recentes [2, 14], e um tratamento simples, porm eficaz,para o estudo dos canais de quebra na fuso de sistemas exticos se torna fundamentalneste momento.

Motivado por esses ltimos avanos, este trabalho apresenta um mtodo semi-clssicopara calcular as sees de choque das fuses completa e incompleta em colises de ncleos

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fracamente ligados. Tal mtodo j apresentou sucesso para reaes de quebra [4] e consisteem tratar o movimento relativo entre o alvo e o projtil com mecnica clssica, enquanto adinmica intrnseca do projtil extico tratado quanticamente. As ferramentas compu-tacionais disponveis hoje em dia, como aqueles discutidos na referncia [2], exigem vriosdias de uso de CPU o que torna a aplicao do cdigo muito difcil. O desenvolvimentode um cdigo numrico baseado naquele das referncias [1, 2, 4], porm mais eficiente eque permita a computao de tais colises, e sua distribuio comunidade de grandeimportncia para permitir o aprofundamento da compreenso de diferentes aspectos dencleos exticos, e este o objetivo principal da presente dissertao.

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2 Tratamento terico

A compreenso de uma abordagem semi-clssica para a fuso nuclear necessita doentendimento dos tratamentos clssico e quntico. Em uma coliso, os ncleos podempassar por estados internos excitados e trocar partculas, processos que alteram a se-o de choque de fuso do sistema. Tais processos de reao envolvem a participaoativa de diversos graus de liberdade, que devem ser includos na descrio terica. Estesgraus de liberdade interagem entre si, portanto necessrio incluir explicitamente seusacoplamentos no tratamento da fuso nuclear [3]. Esse estudo denominado de CanaisAcoplados.

Para realizar uma descrio semi-clssica precisamos definir quais partes do sistemasero tratadas classicamente ou quanticamente. Nas colises nucleares, a trajetria domovimento relativo entre o projtil (ou seus fragmentos) e o alvo tratada classicamenteenquanto a dinmica intrnseca do projtil tratada utilizando a mecnica quntica einclui explicitamente o acoplamento entre os graus de liberdade relevantes do sistema.Este captulo tem o objetivo de descrever toda a base necessria para a compreensoda abordagem semi-clssica da fuso nuclear estudada nesse trabalho, comeando pelotratamento clssico, e seguido pelo quntico. A terceira seo apresenta o formalismo deCanais Acoplados e o captulo se encerra com a apresentao da aproximao semi-clssicapara a fuso de ncleos fracamente ligados.

2.1 Tratamento puramente clssico

2.1.1 Espalhamento clssico

Na fuso nuclear, sobre um ponto de vista clssico, podemos simplificar a colisoentre o projtil e o alvo em um problema de um nico corpo de massa-reduzida e oespalhamento tratado atravs de uma fora central [22, 23]. Qualquer interao entreduas partculas sob influncia de um potencial mtuo pode ser representada pela Figura2.1.

A seo de choque clssica para diferentes parmetros de impacto b e momentosangulares relativos J que levam ao mesmo ngulo de espalhamento tem a seguinteforma [7,14,23], onde (b) a funo de deflexo clssica:

d

d=

i

bisin

d(b)db

1

b=bi

.

14

Figura 2.1: Esquerda: Coordenadas para a descrio de um espalhamento clssico. Direita:Possveis trajetrias de uma coliso com diferentes parmetros de impacto [7].

2.1.2 Fuso clssica

Em colises de ons pesados grande parte da seo de choque de reao correspondes colises profundamente inelsticas. Entretanto as caractersticas (carga e massa) doprojtil e do alvo so geralmente conservadas, apesar de grande parte da energia do sistemaficar armazenada em excitaes internas. Em tais colises, o comprimento de onda dede Broglie para o movimento relativo das partculas muito menor do que os tamanhosgeomtricos do sistema, portanto se justifica um tratamento clssico desta dinmica [24].

As sees de choque de fuso clssicas so calculadas atravs de modelos de dinmicanewtoniana que contm foras conservativas e dissipativas. A trajetria de cada projtil uma funo do tempo e suas caractersticas (energia, massa, parmetro de impactoe momento angular) determinam se ele (o projtil) ficar preso no poo do potencial,caracterizando a fuso, ou se ir escapar da barreira aps perder uma certa energia (colisoamortecida) [25]. A fuso poder ocorrer se o projtil tiver um momento angular menor doque um valor crtico lcr, pois acima desse valor no h mais o poo de potencial, como sepode ver na Figura 1.4. O poo diminui com o aumento do momento angular, at chegarno valor crtico. Esse valor crtico depende da natureza do projtil e do alvo. Quando ha fuso, a partcula perde energia devido s foras dissipativas ao se aproximar do alvo,mas ainda tem energia suficiente para vencer a barreira de potencial, e ento entrar nasua regio atrativa, de onde ele no conseguir mais escapar [24] (veja a Figura 2.2).

importante notar que a fuso neste contexto determinada sem ambiguidade (ouseja, dados os parmetros da coliso, sabe-se exatamente se haver fuso ou no), eno produz um composto final nos termos usuais de um sistema em equilbrio estticoem todos seus graus de liberdade intrnsecos. A fuso que estes modelos prevem apenas um sistema preso dentro da barreira do potencial internuclear efetivo e no levaem considerao a evoluo subsequente do sistema [25].

15

Figura 2.2: Potencial efetivo em colises de 40Ar+232Th com energia de 400 MeV. So esque-matizadas trajetrias com diferentes momentos angulares [24].

Figura 2.3: Graus de liber-dade para dois ons pesadosinteragentes [25].

2.1.3 Modelos clssicos

Podemos comparar dois modelos clssicos e analisar suas diferenas e validades. Aseo de choque de fuso clssica [22,2426]:

CF

= 2lcr

l=0

(2l+1) = 2(lcr +1)2 , (2.1)

onde = /(2). O modelo de Gross et al. [22, 24] assume que h perda de energia poratrito durante a trajetria do projtil em direo ao alvo. No contexto de um sistema deuma nica partcula, a perda de energia ocorre enquanto ela se aproxima do centro dopotencial. Haver fuso se a partcula tiver energia suficiente para vencer a barreira dopotencial, mas no consiga escapar posteriormente. O trabalho de Frbrich [26] comple-menta este modelo incluindo as deformaes dinmicas dos ncleos e permite flutuaesestatsticas dos graus de liberdade importantes. O modelo de Birkelund et al. [25] con-sidera mais variveis dinmicas que os outros: a separao radial dos centros de massado projtil e do alvo, a orientao angular do sistema e a orientao do alvo e do projtil(veja a Figura 2.3). A Figura 2.4 compara estes dois ltimos modelos para dois diferentessistemas.

16

Figura 2.4: Medidas da seo de choque de fuso para 24Mg+18O esquerda e 28Si+18O direita. A linha contnua mostra o clculo segundo o modelo de Frbrich e a linha pontilhadamostra o clculo de Birkelund et al. [26].

Estes modelos apresentam limitaes devido suas simplicidades. Processos de coli-ses que levam a compostos instveis so chamados de captura, e no fuso, e no socontemplados nestes tratamentos clssicos. Outra grande limitao ocorre em colises demais alta energia e/ou com ons mais leves, onde pode ocorrer a fuso incompleta, que completamente ignorada por esses modelos. Para ver mais detalhes, recorra s refernciasde cada modelo.

2.2 Tratamento puramente quntico

2.2.1 Espalhamento ondulatrio

Pode-se, de forma genrica, descrever as colises entre ncleos complexos incluindofenmenos inelsticos e reaes de troca atravs da Equao de Schrdinger e da funode onda do sistema. A onda plana incidente no alvo tem a seguinte forma, no caso emque a direo z coincidir com a direo de propagao [7]:

a = A0 exp{i(kazat)} ,

onde ka = 2/a = 1/a o nmero de onda relacionado ao momento linear pa = hka,a = 2a =Ea/h a frequncia angular relacionada energia da partcula. A amplitudeA0 determinada pelo fluxo do feixe. A parte espacial da funo de onda pode assumiruma forma genrica, independente do alinhamento da direo de propagao do feixe comeixos escolhidos para anlise:

a A0 exp(ikaz) = A0 exp(ikar cos) = A0 exp(ika r) .

17

Figura 2.5: Representao esquemtica de um espalhamento. As linhas contnuas representamas frentes de onda, as linhas retas e verticais so para o feixe incidente e as circulares so asondas espalhadas pelo alvo. A escala de tamanhos das ondas e do equipamento experimentalno realista, mas essa representao forma facilita a compreenso [7].

O alvo composto por ncleos A com momentum pA = hkA e energia EA = hA, portantosua descrio se d atravs de

A =N1/2 exp{i(kA rA At)} ,

onde a normalizao corresponde a N partculas alvo por unidade de volume. A repre-sentao desta coliso pode ser vista na Figura 2.5.

A funo de onda do sistema completo antes do espalhamento :

= aA

=N1/2A0 exp{i(ka ra +kA rA)} exp{i(a +A) t} (2.2)=N1/2A0 exp{i(K R)} exp{i(k r)} exp(it) ,

onde h = EA +Ea a energia total, K = kA +ka momentum total em unidades de he R a posio do centro de massa:

R = RCM =mAra +mArAma +mA

.

A separao entre projtil e alvo dada por r = ra rA, enquanto o momentum relativo descrito por [7]:

k =mAka makAma +mA

.

Na ausncia de campos externos h a conservao da energia total, portanto o fatorexp(it) no alterado pela coliso e ento podemos o omitir da notao daqui emdiante. O mesmo ocorre com o momentum total K, que tambm no precisa ser escrito

18

explicitamente. Portanto, quando h apenas a interao entre o projtil e o alvo, a funode onda que descreve seu movimento relativo apenas:

N1/2A0 exp{i(k r)} .

Os estados internos dos ncleos so descritos por funes de onda independentes: Ae a. Elas descrevem o spin e o estado excitado, se houverem, do alvo e do projtil. Anormalizao tal que

|i(i)|2di = 1, onde i = a,A. Portanto, a funo de onda quedescreve o sistema antes da coliso , para N = 1,

A0 exp{i(k r)}aA , (2.3)

que chamada de onda incidente.

Aps a coliso, haver o espalhamento de ondas esfricas concntricas centradas noalvo e em todos os canais de sada abertos, . Sendo o ncleo residual B e outro maisleve b o espalhado, a onda representando esse sistema :

scatt, ,

portanto a funo de onda completa do sistema dada por:

= A0 exp(ik r)aA +

scatt, . (2.4)

O comprimento de onda das ondas espalhadas ser igual ou diferente daquele da ondaincidente dependendo se o canal de sada representa um canal elstico ou inelstico,respectivamente. O alvo, por sua vez, sempre gera uma sombra na direo = 0, po-rm uma sombra s existe caso haja interferncia destrutiva entre a onda incidente e asespalhadas, o que apenas ocorre no espalhamento elstico ( = ). Isso mostra que oespalhamento inelstico sempre estar acompanhado por um canal de sada elstico. Aose afastarem, as partculas deixam de interagir uma com a outra e a dependncia radialdas ondas esfricas dos canais de sada tm a forma exp(ikr)/r, portanto sua inten-sidade cai com o quadrado da distncia entre os dois ncleos. Esta amplitude tambm modulada por um fator que depende dos ngulos de espalhamento, e , e da energia deincidncia. Portanto, neste limite, a onda espalhada fica:

limr

scatt,(r,,) = A0 f(,)eikr

rbB . (2.5)

Caso nenhuma das partculas tenha spin, haver simetria axial e a modulao f serdependente apenas do ngulo de espalhamento , sem depender do ngulo azimutal .

2.2.2 Seo de choque de fuso

Para sistemas com energias baixas, o modelo clssico descreve bem a seo de choquede fuso com a Equao (2.1). Porm, quando a energia cresce h um decrscimo daseo de choque de fuso, ou seja, duas reaes com os mesmos parmetros podem ou no

19

levar fuso dependendo de sua energia. O potencial deixa de ter um mnimo capaz deaprisionar o sistema, mas a fuso pode ocorrer em uma frao dos eventos [15]. Partindoda Eq.(2.4), pode-se obter a seo de choque de fuso. Como estamos interessados emuma regio do espao onde o limite da Eq.(2.5) vlido e considera-se apenas um niconcleo-alvo por unidade de volume, a densidade de partculas espalhadas dada pelomdulo quadradado da equao integrado sobre os graus de liberdade internos dos dois

ncleos [7], ou seja, r2

A0f(,)

2. Estas partculas espalhadas se afastam do ncleo

residual da coliso com velocidade relativa . Ento o nmero de partculas emitidas

sob um elemento de ngulo slido d por unidade de tempo

A0f

2d. Dividindo

esta quantidade pelo fluxo incidente, |A0|2, temos a seo de choque diferencial para areao A(a,b)B [7]:

dd

=

f(,)

2,

onde o ndice representa algum canal de sada e o o canal de entrada.

Para ocorrer a fuso necessrio que haja uma troca suficientemente grande de massae energia entre os ncleos. A seo de choque de fuso :

CF

=h

2ER2B ln

[

11+exp{2[EVB (RC/RB)2(EVB)/h]}

]

. (2.6)

Na equao acima, h mede a curvatura da barreira, RC a distncia a partir da qual- no caso clssico - ocorre a fuso, VC V (RC) a chamada Barreira Coulombiana, RB a distncia entre os ncleos que representa o mximo do potencial e VB V (RB). Opotencial na vizinhana da barreira escrito como:

V (r) =12m2(rRB)2 , (2.7)

e obtido a partir da derivada segunda do potencial aplicada no ponto da barreira (RC).Para baixas energias, a Eq.(2.6) volta ao caso clssico (Eq.(2.1)), e para altas energiaspode ser aproximada por:

CF

= R2C

(

1 VcE

)

. (2.8)

Estas ltimas relaes no so vlidas para colises de ncleos leves.

2.2.3 Ondas Parciais

A tcnica de ondas parciais uma expanso da funo de onda de um sistema quedescreve o movimento relativo de partculas envolvidas em um espalhamento na sua de-pendncia em momento angular [7]. Esta expanso se justifica devido ao curto alcance dasforas nucleares e s bordas bem definidas dos ncleos, fazendo com que apenas partculascom um momento angular relativo menor que certo valor crtico interajam efetivamentecom o ncleo alvo. Este valor crtico, por sua vez, (usualmente) baixo, portanto poucostermos precisam ser considerados na expanso. Alm disso, a Equao de Schrdinger emtrs dimenses se reduz a uma srie de equaes independentes, cada uma para um valorde momento angular.

20

Considerando o espalhamento por um potencial central, o momento angular umaconstante do movimento, com isso a funo de onda para um certo valor de l pode serfatorada em partes radial e angular (m a componente do momento angular na direoz):

lm(r) = Rl(r)Y ml (,) . (2.9)A funo de onda total , ento, descrita por:

(r,,) =

lm

clm Rl(r)Y ml (,) , (2.10)

onde Y ml so os harmnicos esfricos com autovalor l(l+ 1)h2 para L2 e mh para Lz.

A Equao de Schrdinger se divide em uma parte radial e outra angular. Para quea Equao (2.10) seja vlida, as funes Rl(r) devem ser solues da parte radial daEquao de Schrdinger, que pode ser melhor escrita em termos de u(r) r Rl(r) [27]:

h2

2md2uldr2

+

[

V (r)+h2

2ml(l+1)r2

]

ul = Eul . (2.11)

O termo entre colchetes na equao acima mostra o potencial efetivo: soma do potencialcoulombiano com um termo repulsivo dependente do momento angular. Por crescer juntocom o momento angular e com a proximidade dos ncleos (valor maior quando r menor),este termo chamado de Potencial Centrfugo [7].

2.2.4 Matriz de espalhamento e Phase Shift

Esta seo segue a descrio realizada no trabalho da Ref. [7] e faz a descrio paraum caso de potenciais de curto alcance, como o potencial nuclear, mas no abrange ascomplexidades de tratar potenciais de longo alcance, como o Coulombiano. A Matriz deEspalhamento (tambm chamada de Matriz-S) e o Phase Shift (em portugus, Mudanade Fase) descrevem a transio do sistema desde antes at depois da coliso. Se noh espalhamento, ou for puramente elstico, a amplitude da onda aps a coliso deverser a mesma da onda incidente, por conservao de probabilidade, no importando oque acontea na regio de interao com o potencial. Entretanto, no existe a garantiade que as ondas tero a mesma fase [27]. Isso resulta em um phase shift que pode serrepresentado pelo termo da parte radial u(r) da funo de onda assinttica (onde j noh mais interao com o potencial) [28]:

uk l 1kr

sin

(

kr l2

+ l

)

. (2.12)

Sendo a funo de onda para o canal elstico a soma de um termo de entrada comum de sada temos [7]:

ul,(r) N(

(1)leikr l,eikr)

, (2.13)

onde N um termo de normalizao para R tal que = exp(ik r). Os termos l,so chamados de amplitudes de espalhamento de onda parcial, que so os elementos da

21

Matriz-S. Quando no h espalhamento temos:

l, = , =

1, se b + B = a + A (elstico)

0, se b + B 6= a + A (inelstico),(2.14)

onde l, acaba sendo igual delta de Kronecker. importante notar que um ncleo emum estado excitado considerado como diferente de um no estado fundamental (A* 6=A). Como no h alterao da amplitude da onda no espalhamento elstico [27], o phaseshift e os elementos da Matriz-S se relacionam da seguinte forma [7]:

l,

= 1 l, = e2il , (2.15)

onde l o phase shift da onda parcial com momento angular l.

Quando h tambm espalhamento inelstico, a Eq.(2.15) no ser verdadeira [29],uma vez que o fluxo no canal de sada elstico ( = ) ir diminuir: | l,| < 1. Essadiferena aparecer nos canais de sada inelsticos. Considerando uma reao simples(a+A B+ b), para cada par = (a,A) a menos no canal de sada elstico, tem-seum par = (b,B) a mais nos canais inelsticos. Entretanto, em um sistema sem spin, omomento angular relativo entre a e A dever ser o mesmo que entre b e B. A onda desada fica com o fluxo dependente da seguinte relao [7]:

6=

l,

2= 1

l,

2, (2.16)

ou ainda, incluindo todos os canais de sada (inclusive o elstico = ):

l,

2= 1 . (2.17)

Estas relaes mostram a unitariedade da matriz de espalhamento, j que l, so osseus elementos. Quando conhecidos todos os elementos desta matriz para cada valor demomento angular, tem-se todo o conhecimento possvel dos resultados do espalhamentodo sistema a+A. Outra propriedade importante da Matriz-S sua simetria, pois oselementos da reao A(a,b)B so iguais aos da reao temporalmente inversa b(B,A)a1.Para a matriz de espalhamento se usa a notao S, ento as propriedades de unidade esimetria podem escritas como:

S l,

2= 1 ,

S l, = Sl, .

1Se o sistema tiver spin, a reverso temporal precisa ser tomada com mais cuidado, pois o vetor demomento angular muda de sinal perante troca de t por t.

22

2.2.5 Modelo ptico

O modelo mais elementar para o estudo da fuso em termos ondulatrios o Modeloptico (MO). Tal modelo descreve a interao de um projtil nuclear sob um ncleo alvosimilar forma que um feixe luminoso interage com um alvo opaco, sendo parcialmenteabsorvido e parcialmente espalhado. O MO apresenta um potencial fenomenolgico deforma simples, com parmetros ajustados de acordo com resultados experimentais. Aabsoro que ocorre na reao (ou seja, os canais inelsticos) descrita atravs de umaparte imaginria no potencial2. Apesar de sua simplicidade, o MO descreve bem diversossistemas em uma grande gama de energias, mesmo mantendo os mesmos parmetros,indicando uma base bastante slida no seu significado fsico.

Na sua forma mais simples, o MO tem a seguinte forma [30]:

V = (U + iW ) f(r) , (2.18)

onde U e W so as intensidades das partes real e imaginria do potencial, respectivamente,e f(r) o fator de forma radial. A partir de sua deduo (que pode ser vista na Ref. [15]),o potencial ptico tem a forma de um potencial de folding, porm por simplicidade comum assumir a geometria de Woods-Saxon:

f(r) =1

1+exp(

rRa

) . (2.19)

Os parmetros R e a so, respectivamente, o raio e a difusividade da distribuio. Estaforma do potencial pode ser utilizada na Equao de Schrdinger para obter a seo dechoque elstica e de reao de partculas carregadas. Com partculas neutras, apenas seobtm a seo de choque total do espalhamento. Para energias mais baixas a interaoocorre principalmente na superfcie dos ncleos, ento se utiliza um fator de forma comum mximo nessa regio para a parte imaginria do potencial:

g(r) = 4adf(r)dr

=4e(rR)/a

[

1+e(rR)/a]2 . (2.20)

O fator 4a garante que g(R) = 1. O potencial imaginrio com o fator de forma f(r) chamado de Absoro no Volume, e com g(r) de Absoro na Superfcie.

Adicionando uma interao spin-rbita, h a possibilidade de estudar a polarizaodas partculas espalhadas [30]:

Vso(r) =

(

h

mc

)2

(Us + iWs)1r

dfs(r)dr

L . (2.21)

O MO, como est descrito aqui, trata explicitamente apenas do espalhamento els-tico, pois os canais inelsticos so tomados de forma indireta a partir da absoro dofluxo incidente por parte do potencial imaginrio. Para tratar os canais inelsticos ex-plicitamente necessrio utilizar o formalismo de Canais Acoplados, que ser estudado

2Estendendo a analogia com a luz, esta parte imaginria do potencial anloga absoro de luz porum meio com ndice de refrao complexo.

23

Figura 2.6: Distribuio angular e seo de choque elstica da reao 24Mg + a 42 MeV [7].

a seguir. A Figura 2.6 mostra a relao entre a distribuio angular e seo de choqueelstica da reao 24Mg + com energia de 42 MeV e um ajuste utilizando o MO. V-seque o modelo descreve o sistema muito bem.

2.3 Canais Acoplados

Nas colises em que a energia no centro de massa muito inferior altura da barreiracoulombiana se esperaria que essa interao dominasse a reao, ento seria possvelcalcular a seo de choque sem grande problemas. Entretanto, as previses do modeloradial unidimensional subestima os resultados experimentais para a seo de choque defuso para tais sistemas [15]. Essa diferena ocorre devido s excitaes internas dosncleos geradas pela coliso e tambm pela transferncia de partculas, um processo queenvolve diversos graus de liberdade e que devem ser inclusos na descrio da coliso.Assim, para avaliar a seo de choque de cada canal de sada, necessrio desenvolver umformalismo que considere explicitamente o acoplamento dos graus de liberdade relevantes[3,14]. Os canais menos importantes (fracamente acoplados) podem ser tratados com umateoria de perturbao de ordem elevada. Porm, mais conveniente resolver exatamenteum conjunto deN equaes acopladas para osN canais fortemente acoplados e tratar essesoutros canais atravs da parte imaginria de um potencial complexo. Esse truncamento chamado de Aproximao de Acoplamento Forte, que em ingls chamado de StrongCoupling Approximation [7, 14].

Para uma partcula sem estados internos, a Equao de Schrdinger simplesmente

H(r) =[

h22m

2 +U(r)]

(r) = E(r) , (2.22)

24

onde H o hamiltoniano do sistema. Considerando estados internos, teremos os hamilto-nianos respectivos do projtil a e do alvo A: ha e hA. As funes de onda que descrevemos estados intrnsecos de cada ncleo so a e A, e os auto-valores, caso no houvesseinterao, so dadas pelas Equaes de Schrdinger para cada ncleo: hii = ii. Ohamiltoniano completo da coliso , ento:

H = ha +hA h2

22 +U , (2.23)

onde = {a,A} denota o par de ncleos nos estados a e A, o laplaciano 2 age sobre adistncia entre os dois ncleos r e U o potencial de interao [7].

Os estados intrnsecos dos ncleos formam uma base na qual a funo de onda totalpode ser expandida:

=

a()A() . (2.24)

Assim a Eq.(2.22), agora com estados internos, reescrita como [7]:

[

(a + A E)h2

22 +U

]

(r)a()A() = 0 . (2.25)

A funo de onda descreve o movimento relativo dos ncleos nos estados = {a,A}.Multiplicando esquerda pelo complexo conjugado das funes de onda dos ncleos, i ,integrando sob todos os estados internos e usando a ortonormalidade

i (i)i(i)di =i i , obtm-se:

[

2 U(r)+k2]

(r) =

6=

(r)U(r) , (2.26)

que a equao de canais acoplados para o canal . Sem interao entre os ncleos, k o nmero de onda e k2 =

(

2/h2)

(E a A). A diferena da energia total com asenergias intrnsecas a energia cintica do movimento relativo dos ncleos. Os elementosde matriz do potencial de interao so:

U(r) =2h2

a(a)A(A) U a(a)A(A)dadA

2h2

U

; () a()()A()() . (2.27)

Esperamos que ao conhecer todos os elementos dessa matriz seja possvel descrever porcompleto a reao, porm h infinitos termos na expanso. Portanto, necessrio reali-zar uma aproximao para poder truncar a expanso da funo de onda em um nmeropequeno de N canais, aqueles que so fortemente acoplados. Os outros canais so inici-almente desconsiderados. Escrevendo a funo de onda total como (r, ), onde r aseparao entre o projtil e o alvo e representa as coordenadas intrnsecas do sistemaprojtil-alvo, podemos escrever o hamiltoniano (Eq.(2.23)) de forma mais compacta [14]:

H = h+K+U , (2.28)

onde h o hamiltoniano que descreve os estados internos dos ncleos e K a energia

25

cintica do movimento relativo. As autofunes de h, que descrevem o sistema com osncleos nos estados a e A, so descritas por |) e ( h)|) = 0. A interao pode serdividida em dois termos:

U=U(1) +U(2) , (2.29)

onde U(1) diagonal no espao de canais, porm usualmente construdo tal que U(2) sejacompletamente no-diagonal:

U(1) =

|)U(| , (2.30)

U(2) =

|)U(| , (2.31)

onde os termos do potencial de dentro da somatria so similares Equao (2.27), pormcom o potencial dividido:

U(r) =

d |()|2U(1)(r, )

U(r) =

d ()U(2)(r, )() .

Para garantir U completamente no-diagonal:

U(r) =

d ()U(r, ) U(r) .

Para obter as equaes de canais acoplados, usamos a funo de onda do sistemaexpandida em N canais,

| =N1

=0

| |) , (2.32)

na Equao de Schrdinger.

Os canais que desconsideramos na expanso da funo de onda so aqueles fracamenteacoplados. Entretanto, eles no podem ser completamente ignorados. A sua influncia naseo de choque poder ser tratada atravs da parte imaginria do potencial de interaocomplexo:

U = V iW . (2.33)

Da mesma forma que obtivemos a Equao (2.26), porm utilizando os termos daexpanso da Eq.(2.32), (r), temos:

[

E +h2

22 U(r)

]

(r) =N1

=0

U(r)(r) , (2.34)

onde E = E = E a A.Fazendo [(r)][Eq.(2.34)] [(r)][Eq.(2.34)] e usando o potencial complexo

26

da Eq.(2.33) [14]:

h

2i

[

(r)2(r)(r)2(r)]

= 2hW(r) |(r)|2

+1ih

N1

=0

[(r)U(r)(r)(r)U(r)(r)] . (2.35)

Podemos reescrever o lado esquerdo da Equao (2.35) como:

[

h

2i( )

]

j(r) , (2.36)

onde j representa o fluxo pelo canal . Para obter a corrente total somamos sobre osN canais considerados. Caso no houvesse perda de fluxo devido aos canais fracamenteacoplados, o lado direito da Equao (2.35) seria nulo e a equao da continuidade noseria quebrada, porm no isso que ocorre:

N1

=0

j(r)

= 2h

N1

=0

W(r) ||2

+1ih

N1

,=0

[(r)U(r)(r)(r)U(r)(r)] .

O ltimo termo desta equao desaparece quando o potencial acoplado de interao, U , hermitiano e resta apenas a expresso mais simples para a perda de fluxo devido aoscanais fracamente acoplados:

N1

=0

j(r) = 2h

N1

=0

W(r) |(r)|2 . (2.37)

A Equao (2.37) leva a uma expresso generalizada para a seo de choque de absoro,que ocorre devido perda de fluxo atravs dos canais desprezados na expanso (Eq.(2.32)).Para obter a seo de choque de absoro a partir da Equao (2.37) precisamos avaliaro fluxo da corrente total atravs de uma superfcie esfrica S com raio grande o suficientepara englobar todo o sistema. O nmero de partculas saindo desta esfera [14]:

N total = N1

=0

Sds j(r) =

N1

=0

Vd3r r(j) , (2.38)

onde foi usado o Teorema da Divergncia. Aplicando a Eq.(2.37), temos:

N total =2h

N1

=0

Vd3rW(r) |(r)|2

2h

N1

=0

W

. (2.39)

A seo de choque total de absoro A, dada pela razo entre N total e o fluxo

27

incidente3 [14]:

A =1

|A|22hv0

N1

=0

W

=1

|A|2k0E

N1

=0

W

, (2.40)

onde o fator |A|2 garante que a seo de choque de absoro seja independente danormalizao da funo de onda, v0 a velocidade da partcula incidente com momentump0 = hk0, ento 2/(hv0) = k0/E.

Podemos, ainda, definir a seo de choque total da reao, R, que est associada probabilidade de que o sistema no se encontre no canal de entrada aps a coliso:

R = A +

6=0

, (2.41)

onde a seo de choque integrada do canal :

=

dk

[

d(k,k0)d

]

. (2.42)

possvel separar a parte imaginria do potencial de interao em uma parte respon-svel pela fuso e outra pela perda de fluxo devido reaes diretas, respectivamente:W =WF +W

D . Com isso a seo de choque de fuso, F , pode ser escrita como:

F =k0E

N1

=0

WF

. (2.43)

2.3.1 Acoplamento com estados do contnuo

O conjunto de Equaes (2.26) suficiente para descrever os espalhamentos elsticoe inelstico, porm no consegue descrever colises em que h rearranjo ou quebra dosncleos. Para poder descrever tal sistema necessrio incluir estados no-ligados, ou seja,do contnuo. Estados intrnsecos do contnuo so especialmente importantes na quebrade ncleos fracamente ligados, pois o canal de quebra influencia as sees de choque dediversos processos, como do espalhamento elstico, inelstico e da fuso [14]. Entretanto,com o acoplamento a canais no-ligados sendo relevante, aproximaes perturbativas noso suficientes para a descrio de colises com rearranjo e/ou quebra, ento o trata-mento com canais acoplados se torna importante. Contudo, a aplicao numrica destemtodo se torna invivel quando estamos no contnuo, pois teremos um nmero infinitode equaes acopladas, mesmo se truncarmos a expanso em canais numa energia m-xima. Portanto, necessrio utilizar outra aproximao: Canais Acoplados do ContnuoDiscretizado (CDCC, do ingls Continuum Discretized Coupled Channels).

3A intensidade do feixe dada pela corrente associada onda plana incidente (jin):

J = z jin = h2i

[

eikzd

dz

(

eikz)

eikz ddz

(

eikz)

]

= v0|A|2 .

28

O mtodo CDCC consiste em truncar o nmero de estados do contnuo limitando oespectro do contnuo em uma energia mxima. Cria-se, ento, uma malha para discretizaresse espao contnuo limitado, o que pode ser feito de duas formas: criando uma malhaigualmente espaada para o momentum ou para a energia [31]. Ao criar uma malhano espao de energia, as funes de onda do contnuo so substitudas pelo conjunto depacotes de onda [7]:

(x) =

d( )(x) ; = 1, . . . ,NC , (2.44)

onde NC o nmero de estados do contnuo. Os pacotes no espao de energia, ( ),so centrados em e tm largura .

A malha da discretizao pode ter um espaamento uniforme no espao de momentum,resultando em uma malha na energia com as larguras crescendo quadraticamente e queno so mais centradas em , pois esse valor se refere ao centro do pacote em momento:k. Ento as funes de onda do contnuo so discretizadas para ter a energia referenteao valor mdio k da largura k [31]:

=h

2

k1 + k2

2

+k2

12

. (2.45)

Essas duas possibilidades podem ser vistas na Figura 2.7. A discretizao em energia mais conveniente quando h ressonncias no sistema, assim se escolhe o espaamento(que no ser uniforme) de modo a fornecer mais detalhes na regio da ressonncia.Em sistemas mais simples, sem ressonncia, a escolha entre a discretizao no espao demomento ou de energia no leva a consequencias relevantes nos observveis aqui estudados,como veremos mais adiante.

Figura 2.7: Representao grfica da discretizao do espao contnuo de momento em um kfixo, resultando em um espaamento quadrtico na energia.

As funes de onda (x) obtidas da Eq.(2.44) no so auto-estados de energia, po-rm so funes localizadas compostas pela superposio de diferentes auto-estados ,que no so localizadas. Para obtermos mais detalhes do sistema no espectro de ener-gia necessrio diminuir a largura dos canais do contnuo. Porm, devido ao Princpiode Incerteza, isso diminui a preciso no espao, aumentando o alcance de (x), comopodemos ver na Figura 2.8.

29

Figura 2.8: Funes de onda intrnse-cas, (r), de um contnuo discretizadoatravs dos pacotes de onda ( )centrados em = 200 keV para um mo-delo simplificado para a quebra de 11Liem um ncleo 9Li mais um di-nutron.A figura mostra resultados utilizandotrs diferentes larguras para a malha deenergias = 100, 40 e 20 keV [14].

2.4 Aproximao semi-clssica

Em certas circunstncias pode ser interessante pensar nas colises nucleares em termosde partculas clssicas se movendo por trajetrias localizadas. Entretanto, em grande partedos sistemas no podemos desconsiderar certos efeitos ondulatrios, como a interferncia,difrao e tunelamento. Quando a teoria clssica modificada para incluir tais fenmenosqunticos surge a descrio semi-clssica. O modelo semi-clssico utilizado aqui tambm chamado de Aproximao de Trajetria Clssica, onde o movimento relativo entre oprojtil e o alvo tratado classicamente, enquanto os graus de liberdade intrnsecos sotratados quanticamente [14]. Porm, assim como qualquer outro modelo semi-clssico, ocomprimento de onda de de Broglie associado ao sistema pequeno comparado algumcomprimento caracterstico da interao [7].

2.4.1 Seo de choque semi-clssica

De acordo com o Princpio da Correspondncia os resultados da teoria quntica devemse aproximar queles da mecnica clssica quando muitos quanta so includos, ou seja,no limite h 0 [9], porm isso no garante que a aproximao semi-clssica sempre darum resultado satisfatrio para as sees de choque, uma vez que para diversos potenciaisde interao os valores quntico e clssico convergem de forma no-uniforme4. A seode choque, considerando efeitos ondulatrios, pode ser escrita como [7]:

d

d=

i

(

did

)1/2

exp(ii())

2

,

4As sees de choque clssica e quntica convergem uniformemente para partculas no idnticasinteragindo atravs de um potencial proporcional ao inverso do quadrado da distncia.

30

onde (di/d) representa a seo de choque clssica para a i-sima trajetria e a expo-nencial contm a fase correspondente i.

Em colises no-elsticas, as transies para canais excitados intrnsecos do sistemaprecisam ser tratadas quanticamente, porm se considera que as partculas tm trajetriasclssicas antes e depois desse evento (aproximao que s vlida caso o evento inelsticorepresente apenas uma pequena perturbao do movimento relativo alvo-projtil). Assim,a seo de choque para o canal de excitao pode ser aproximado por:

d()d

P (b())del()d

, (2.46)

ondedel()d

=b

sin()db()d

a seo de choque elstica, que pode ser calculada classicamente, P(b) a probabi-lidade do sistema entrar no estado intrnseco , que dada a partir dos coeficientes daexpanso em canais da funo de onda do sistema. Um mesmo ngulo de espalhamento() pode ser obtido atravs de diferentes trajetrias, ou seja, diferentes parmetros deimpacto (b) podem resultar em um ngulo de espalhamento igual, portanto necessrioconsiderar todas essas possibilidades ao calcular a seo de choque total para o canal-.Para potenciais esfericamente simtricos ela dada por:

= 2

P(b)bdb . (2.47)

2.4.2 Potencial de interao

Para calcular a probabilidade de fuso de ncleos fracamente ligados necessriocalcular a cinemtica completa do sistema de trs corpos para poder considerar a possvelquebra do projtil, e tal clculo pode ser feito atravs da aproximao semi-clssica.Dado um certo parmetro de impacto, o movimento relativo entre o projtil e o alvo determinado unicamente por uma trajetria clssica, R(t). A interao separada emduas partes, cada uma representando o potencial entre o alvo e um dos fragmentos doprojtil, ou c1 ou c2:

V (R,r) = V1(r1)+V2(r2) , (2.48)

onde ri (i=1,2) representa a separao entre o fragmento ci e o alvo e R a separao docentro-de-massa do projtil ao alvo. Utilizando as coordenadas da Figura 2.9 podemosescrever:

V (R,r) = V1(

R +A2AP

r

)

+V2(

R A1AP

r

)

,

onde A1 e A2 so os nmeros de massa de cada fragmento e AP = A1 +A2 o nmerode massa do projtil. Na aproximao semi-clssica a interao dividida num Potencialptico, V0, e numa interao de acoplamento, U(R,r), que responsvel pela (possvel)quebra do projtil. A trajetria clssica definida pela parte real do Potencial ptico esua parte imaginria responsvel por absoro ao longo da trajetria. Eles so dadospor:

V0(R) = V (R,r = 0) = V1(R)+V2(R) (2.49)

31

Figura 2.9: Coordenadas utilizadas para a representao da coliso nuclear onde o projtil composto por dois fragmentos [4].

eU(R,r) = V (R,r){V0(R)} . (2.50)

2.4.3 Auto-funes

Nesta representao onde o projtil considerados como dois fragmentos, as autofun-es do contnuo com momento angular total J e projeo M na direo z, e o spin esua projeo em do i-simo fragmento so si e i, ento [1, 4]:

l j J M =

m2

jms2 2

JM

l j m s2 2 (2.51)

onde descreve o movimento do fragmento c1 em torno de c2 com momento angularorbital l:

l j m(r) = R l j(r)

ml 1

lml s1 1

jm

Yl ml(r) s1 1 , (2.52)

com R(r) sendo a funo de onda radial do movimento relativo entre os fragmentos doprojtil. O ndice representa o conjunto de nmeors qunticos = {, l, j, J, M}.Como os spins dos fragmentos so fixos, eles no so includos explicitamente neste con-junto. A normalizao tal que

= ( )(l, l)(j, j)(J,J)(M,M) . (2.53)

A funo de onda dependente do tempo que descreve o movimento relativo entre osfragmentos c1 e c2 no referencial do projtil pode ser expandida em canais da seguinteforma:

(b, t) =

i

ci(b, t)ieii t/h +C(b, t) , (2.54)

32

onde i representa os estados ligados e C(b, t) a componente da funo de onda nocontnuo:

C(b, t) =

l j J M

dc(b, t)ei t/h . (2.55)

As amplitudes ci e c dependem tanto do tempo quanto da trajetria clssica, que especificada atravs da energia de coliso e do parmetro de impacto. c est associada,tambm, base dos estados do contnuo discretizado, . Seguindo essa notao, daquiem diante os ndices gregos estaro associados a estados no contno, ao passo que i e jsero reservados para os estados ligados, a no ser que seja mencionado explicitamentealgo contrrio.

2.4.4 Evoluo temporal

No incio da coliso o projtil est no estado fundamental (i= 0), ento as amplitudestm os seguintes valores iniciais:

c0(b, t ) = 1 ,ci6=0(b, t ) = 0 ,c(b, t ) = 0 .

Estes coeficientes evoluem durante a coliso e seu estado final contm as informaesrelevantes sobre a seo de choque de quebra do sistema. As suas evolues temporais soobtidas atravs da Equao de Schrdinger com o hamiltoniano H = h(p,r)+U(t,t), ondeh(p,r) o operador hamiltoniano associado ao movimento relativo entre os fragmentose a interao U(t,r) U(R(t),r) corresponde ao potencial de acoplamento reponsvelpela quebra do projtil em dois fragmentos (Eq.(2.50)). importante salientar que astrajetrias clssicas so afetadas pelas partes coulombiana e nuclear do potencial ptico.

Usando as Equaes (2.54) e (2.55) na Equao de Schrdinger dependente do tempo,

ih(t)t

= [h+U(t)](t) ,

temos as equaes semi-clssicas de canais acoplados:

ihci(b, t) =

j

Uij(t)ei(ij)t/h cj(b, t)

+

l j J M

dUi(t)ei(i)t/h c(b, t) (2.56)

e

ihc(b, t) =

j

Uj(t)ei(j)t/h cj(b, t)

+

l j J M

dU(t)ei()t/h c(b, t) . (2.57)

33

Acima, os fatores de forma so dados por:

U(t) U(R(t)) =

U(R(t))

(2.58)

(Uij , Ui e Uj so anlogos). Estes termos so os elementos de matriz do potencial deacoplamento da Equao (2.50). Assumindo que o operador de acoplamento no dependados spins das partculas do sistema, usamos as auto-funes do contnuo (Eq.(2.51)) paraescrever os fatores de forma [1,4]

U(t) =

mm 2

jm s2 2

JM

JM

jms2 2

f,2(t) , (2.59)

ondef,2(t) = f

c1,2

(t)+f c2,2(t) , (2.60)

sendofs,2(t) =

l j (M2)

U(|R(r)sr|)

l j(M2)

, (2.61)

com

c1 =m2

m1 +m2c2 =

m1m1 +m2

.

Fazendo uma expanso multipolar, esses elementos de matriz podem ser escritos como [2]:

fs,2 =

(1)M+21/2[

1+(1)l+l+2

]

(2j +1)(2j +1)2+1

j(2 M)j(M 2)

(M M)

j12j

12

0

Y (MM)(R) Is(R) , (2.62)

ondeIs(R) =

22+1

0dr r2 R(r)Fs(r,R)R(r) (2.63)

e

Fs(r,R) =2+1

2

0d sinP(cos)U

(

2sr2 +R2 2s rRcos

)

. (2.64)

Nestas relaes acima, R(r) a parte radial da funo de onda (r), Y e P so osharmnicos esfricos e os polinmios de Legendre, respectivamente.

2.4.5 Distribuio de momentum relativo

A partir das amplitudes calculadas nas equaes semi-clssicas de canais acoplados(Eqs.(2.56) e (2.57)) possvel obter as sees de choque de fuso, mas para isso ne-cessrio determinar a distribuio de momentum relativo antes. Para uma coliso comparmetro de impacto b, em um certo tempo t, onde os spins dos fragmentos tm projees

34

1 e 2, a distribuio de momentum relativo aps a quebra dada por [2]

A1 2(k, t, b) =

()1 2(k, t)

C(b, t)

(2.65)

onde ()1 2(k, t) a funo de onda com condies de contorno de entrada que descreveo espalhamento dos fragmentos. Calculando a funo de onda e expandindo a Equao(2.65) temos [4]:

A1 2(k, t, b) =hk

l j J M

JM

j (M +2)j2 (2)

j (M +2)

l (M +1 +2)s(1)

Y l (M+1+2)(k) eil il (1)JM ck l j J (M)(b, t) , (2.66)

onde a massa reduzida dos fragmentos do projtil. O mdulo quadrado dessa distri-buio pode ser interpretado como a densidade de probabilidade no espao de momentumde que o projtil ir se quebrar em dois fragmentos com momentum relativo hk em umacoliso com parmetro de impacto b.

Nestes clculos semi-clssicos no h a conservao de energia enquanto o projtilsegue sua trajetria clssica pr-determinada pelas condies iniciais da coliso. Paracorrigir isso, utiliza-se a teoria de Alder e Winther [32] para o espalhamento inelstico, naqual a trajetria do projtil associada energia do centro-de-massa, que definido pelamdia geomtrica entre a trajetria correspondente ao canal de entrada (com energia E0)e a trajetria com uma energia igual do canal de entrada descontando a mdia do valorda energia de quebra do projtil (), E0 .

2.4.6 Sees de choque de fuso

A seo de choque para a fuso completa direta calculada usando a probabilidade deque o projtil com momentum hK na onda parcial L v se fundir com o alvo (T (P )L (K))e sua probabilidade de quebra (P bupL =

q 6=0 |aq(b, t )|2) [2]:

DCF

=

K2

L

(2L+1)(

1P bupL)

T(P )L (K) . (2.67)

As probabilidades de fuso so dadas pela frmula aproximada de Hill-Wheeler se R rb0 :

T(P )L (K) =

1

1+exp

[

2h0

(

VB0 +h2

2P T

(L+1/2)2

r2b0

E)] , (2.68)

onde a energia E = h2K2/2P T e VB0 , rb0 e h0 so, respectivamente, a altura, o raio ea curvatura da barreira de potencial do sistema projtil-alvo. Caso R< rb0 , consideramos

que a fuso garantida, portanto T (P )L (K) = 1.

Para calcular a seo de choque de fuso incompleta onde o fragmento ci se fundeusamos:

IFi

=

K2

L

(2L+1)

d3k

AL(k)

2PFi(k) , (2.69)

35

e para a fuso completa sequencial temos a seguinte seo de choque:

SQ

=

K2

L

(2L+1)

d3k

AL(k)

2P

SQ(k) . (2.70)

Nas relaes acima, AL(k) a distribuio de momento relativo entre os fragmentos doprojtil no instante de mxima aproximao (tf ) [2]:

AL(k) =

1 2

A1 2(k, tf , b) , (2.71)

ou seja, a soma da Equao (2.65) sobre as projees dos spins dos fragmentos c1 e c2.

Na Eq.(2.69), PFi(k) a probabilidade de que apenas o fragmento ci v fundir com oalvo. Sendo cj o fragmento que no funde, tal probabilidade dada por:

PFi(k) = T(ci)li

(Ei)(

1T (cj)lj (Ej))

. (2.72)

A Eq.(2.70) descreve a probabilidade de que ambos os fragmentos acabem por se fundircom o alvo:

PSQ

(k) = T (c1)l1 (E1)T(c2)l2

(E2) . (2.73)

Nestas ltimas equaes, T (ci)li (Ei) a probabilidade de que o fragmento ci, com energia Eie momento angular li, v tunelar pela barreira do potencial de interao com o alvo. Note

que[

1T (cj)lj (Ej)]

a probabilidade de no haver tunelamento do outro fragmento. A

utilizao da frmula de Hill-Wheeler (Equao (2.68)) precisa ser tomada com cuidado,uma vez que necessrio considerar a trajetria clssica e a velocidade relativa entreos fragmentos do projtil e o alvo. A conservao de energia requer que a velocidaderelativa entre o projtil e o alvo u seja modificada aps a quebra do projtil, porm (porsimplicidade) a direo considerada como inalterada, de tal forma que os fragmentosseguem a mesma trajetria caso no tivesse ocorrido a quebra. A nova velocidade descrita por [2]:

u =

u2 12P T

v2 2BP T

, (2.74)

onde representa a massa reduzida dos sistemas projtil-alvo e dos fragmentos c1 e c2e v = |v| a velocidade do projtil em relao ao alvo. A velocidade de cada fragmento(tambm em relao ao alvo) dada por

vi = u mimP

v (2.75)

e a energia do movimento relativo entre o projtil ci e o alvo fica

Ei =12iv

2i +Vi(ri) , (2.76)

onde i a massa reduzida do fragmento ci com o alvo e Vi(ri) o potencial de interaoentre esses nucleons na posio em que feito o clculo da fuso (usualmente na posiode mxima aproximao). O momento angular desse sistema ci-alvo com respeito ao seu

36

centro de massa hli = iri vi . (2.77)

Usando li = |li| e VBi , rbi e hi como a altura, raio e curvatura da barreira de potencialdo sistema ci-alvo, a formula de Hill-Wheeler pode ser usada nas Equaes (2.72) e (2.73)para calcular a probabilidade da fuso de apenas um fragmento (fuso incompleta) ou deambos os fragmentos aps a quebra do projtil (fuso sequencial):

T(ci)li

(Ei) =1

1+exp

[

2hi

(

VBi +h2

2i

(li+1/2)2

r2bi

Ei)] . (2.78)

Quando o fragmento est dentro da barreira (R < rbi) se considera que h certamente o

tunelamento: T (ci)li (Ei) = 1.

As ferramentas descritas neste captulo so aquelas necessrias para o estudo semi-clssico da coliso de ons fracamente ligados. Ela apresenta excelentes resultados quandocomparados com outros modelos puramente qunticos ou com resultados experimentais,como podemos ver nas Figuras 2.10 e 2.11, respectivamente.

Figura 2.10: Seo de choque diferencial como funo do ngulo de espalhamento do centrode massa do sistema p+7Be. A linha contnua corresponde ao clculo inteiramente quntico,enquanto os resultados dessa aproximacao semi-clssica, representados pela linha pontilhada,esto em timo acordo com o primeiro [1].

37

Figura 2.11: Seo de choque de fuso total e completa em funo da energia do centro demassa da coliso 6Li + 209Bi [2].

38

3 Aplicao Computacional

Com o desenvolvimento e popularizao dos computadores digitais a partir da me-tade do Sculo XX houve um grande aumento na utilizao de mtodos numricos parasolues de problemas do mundo real. Entretanto, grande parte dos problemas de in-teresse envolvem funes e variveis em espaos contnuos, algo que impossvel de sefazer numericamente devido limitao de memria nos computadores, alm do tempoinfinito necessrio para se tratar infinitos graus de libertade, e ao fato da informaoser armazenada em bits, uma varivel discreta. Para contornar este problema necess-rio discretizar o sistema a ser estudado, ou seja, adaptar as variveis contnuas em seushomlogos discretos, um processo por vezes chamado de discretizao ou quantizao.Este processo faz uma mapeamento de muitos-para-poucos, sendo ento um processono-linear e irreversvel, uma vez que no possvel obter os dados de entrada a partirdo resultado gerado por este mtodo discreto [33]. natural que surjam erros duranteeste processo, j que o sistema discreto no exatamente igual ao contnuo, apesar deser equivalente. O objetivo, ento, construir algoritmos e mtodos computacionais quesejam eficientes e mantenham um limite razovel dos erros que surgem naturalmente.

Neste captulo ser apresentada a sequncia de clculos computacionais necessriospara a computao das sees de choque fuso completa e incompleta de ncleos fraca-mente ligados, abordando as discretizaes e mtodos numricos mais relevantes que foramutilizados. A apresentao deste contedo ser na mesma sequncia utilizada computa-cionalmente, facilitando a compreenso do clculo realizado. No final do captulo, seroapresentadas as otimizaes computacionais realizadas em relao ao cdigo numrico dostrabalhos de referncia [1, 2, 4]. Com isso apresentado, ser possvel estudar a interaode ncleos fracamente ligados com alvos nucleares mais pesados. Estes resultados estoapresentados no captulo seguinte.

3.1 Funes de onda

O clculo das funes de onda de um determinado sistema necessita de dois mtodosdiferentes, um para as funes de onda do sistema ligado e outro para o sistema nocontnuo. Para gerar estas funes de onda, precisa-se ter conhecimento sobre o potencialde interao entre os fragmentos do projtil. Estados excitados ligados tambm podemser gerados, mas pode ser necessrio usar diferentes parmetros para o potencial.

As funes de onda do sistema ligado e seus auto-valores so obtidos utilizando oalgoritmo de Numerov, que um mtodo eficiente para a integrao de equaes dife-renciais [34]. Detalhes sobre a aplicao e soluo numrica podem ser encontradas no

39

Apndice A. Para obter as funes de onda dos estados do contnuo necessrio realizara discretizao desse espao contnuo, que feita seguindo o mtodo CDCC [1,4,31], quej foi descrito na Seo 2.3.1, mas aqui ser abordado em mais detalhes:

1. Divide-se o contnuo em um nmero finito de sees de momento ou energia (bins)(que podem ter diferentes larguras) n = 1,2,3, . . . centradas em:

n = 1, 2, 3, . . . ou

kn = k1, k2, k3, . . . ;

2. Cria-se o conjunto q, composto pelo n-simo bin e pelos nmeros qunticos de mo-mento angular: q {n, l, j,J,M};

3. Verifica-se quais estados esto presentes no conjunto q. Diz-se que um estado pertence a tal conjunto se l = l, j = j, J = J eM =M e seu momento (ou energia,dependendo da discretizao), se encontra dentro do bin de momento (energia) q.

As funes de onda presentes no n-simo bin so aproximadas pela seguinte expresso:

n . (3.1)

Se no h ressonncias no sistema, como nos casos estudados aqui, podemos discretizaro espao de momentum em uma malha com espaamento k fixo, o que resulta em umadiscretizao quadrtica na energia n [31]:

n =h2

2

kn1 + kn2

2

+k2

12

. (3.2)

Com o espao do contnuo discretizado, sabe-se os auto-valores n das funes de onda aserem calculadas. Para tal, utilizado o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem [34,35].

3.2 Fatores de forma

Os fatores de forma so os elementos de matriz de acoplamento entre os estadosligados e do contnuo. Foram estudados na Seo 2.4.4 e vm das Equaes (2.56) e(2.57), resultando na Equao (2.58), repetida abaixo:

U(t) U(R(t)) =

U(R(t))

, (3.3)

onde Uij , Ui, Uj so anlogos, i e j representam os estados ligados e e os estados do contnuo. As Equaes (2.62), (2.63) e (2.64) apresentam os clculos quedevem ser feitos para se obter os fatores de forma, que so realizados utilizando as funesde onda previamente calculadas. Uma consequencia direta de utilizar funes de ondacalculadas pelo mtodo CDCC que diferentes fatores de forma relacionados a funes

40

de onda que esto no mesmo bin q acabam tendo o mesmo fator de forma, isto :

U = U se

, q, q .

(3.4)

A parte nuclear do potencial da Eq.(3.3) do tipo Woods-Saxon:

Unuc(r) =U (0)nuc

1+exp(

rRa

) , (3.5)

onde U (0)nuc a sua intensidade, R o seu raio e a a sua difusividade. O potencialCoulombiano, por sua vez, tem a seguinte forma:

Ucoul(r) =

Z1Z2e2

r ; r > R032

Z1Z2e2

R0

[

1 13(

rR0

)2]

; r R0 .(3.6)

3.3 Dinmica

Para calcular a evoluo do sistema necessrio discretizar as Eqs.(2.56) e (2.57), queso repetidas abaixo:

ihci(b, t) =

j

Uij(t)ei(ij)t/h cj(b, t)

+

l j J M

dUi(t)ei(i)t/h c(b, t) (3.7)

e

ihc(b, t) =

j

Uj(t)ei(j)t/h cj(b, t)

+

l j J M

dU(t)ei()t/h c(b, t) . (3.8)

Isso feito utilizando o mtodo CDCC [1, 31], que foi descrito nas Sees 2.3.1 e 3.1.Normalizando a funo de onda para que haja apenas um estado com momento angular{l, j, J, M} por unidade de energia, a populao de estados em um certo bin q dadapor novas amplitudes: ai = ci para os estados ligados e aq =

ncq para os estados do

contnuo. A evoluo destas amplitudes descrita de forma similar s equaes analticas[1, 4]:

ihai(b, t) =

j

Uij(t) ei(ij)t/h aj(b, t)+

qUiq(t)

n ei(in)t/h aq(b, t) (3.9)

41

e

ihaq(b, t) =

i

Uqi(t)

n ei(ni)t/h ai(b, t)

+

qUq q(t)

n

n ei(nn)t/h aq(b, t) . (3.10)

Para computar essa evoluo necessrio utilizar o mtodo de Runge-Kutta compasso adaptativo, visando obter uma boa acurcia do resultado com o menor esforocomputacional possvel [35]. Isso feito com um Runge-Kutta com monitoramento doerro local de truncamento para garantir boa preciso e poder ajustar o tamanho do passoadequadamente. O passo da integrao controlado pelo algoritmo de Runge-Kutta Cash-Karp, que avalia o valor da funo calculada em seis pontos e utiliza esses resultadosparciais para garantir um passo adequado ao clculo da equao diferencial de interesse[35,36].

3.4 Sees de choque

O passo final para este estudo o clculo das sees de choque de fuso, para assimconseguir realmente analisar o comportamento do sistema e compreender como o projtile seus fragmentos interagem com o alvo. Com essa informao ser possvel estudar asfuses completa, incompleta e sequencial da reao.

Iniciando o clculo pelas fuses incompletas (onde apenas um dos fragmentos doprojtil se funde com o alvo) e sequencial (onde ambos os fragmentos se fundem com oalvo aps a quebra do projtil), preciso calcular a probabilidade de haver a fuso de cadafragmento com a frmula de Hill-Wheeler (Eq.(2.78)), que utiliza a separao, velocidade,energia e momento angular relativo de cada fragmento com o alvo. Com esses resultados,as Equaes (2.72) e (2.73) calculam a probabilidade de haver a fuso de cada fragmentocom o alvo. A seo de choque de fuso incompleta para cada fragmento descrita pelaEq.(2.69):

IFi

=

K2

L

(2L+1)

d3k

AL(k)

2PFi(k) , (3.11)

enquanto a de fuso completa sequencial dada pela Eq.(2.70):

SQ

=

K2

L

(2L+1)

d3k

AL(k)

2P

SQ(k) . (3.12)

Em ambos os casos calculada a distribuio de momento relativo, descrita pela Eq.(2.66),que utiliza os resultados da dinmica calculada anteriormente.

A seo de choque de fuso completa direta, por sua vez, calculada com a Eq.(2.67):

DCF

=

K2

L

(2L+1)(

1P bupL)

T(P )L (K) , (3.13)

que utiliza a Eq.(2.68). Isso permite, ento, estudar por completo como a interao dosistema e em que casos ocorre fuso direta do alvo com o projtil, apenas algum dos seus

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fragmentos ou ambos fragmentos sequencialmente.

3.5 Otimizaes

A fim de tornar os clculos numricos mais eficientes em relao ao cdigo originaldas referncias [1, 2, 4], foram feitas diversas otimizaes. Desde pequenas alteraes noslimites mximos da malha radial na qual so feitos os clculos, at grandes reformula-es de certas partes do algoritmo original. Diversos arquivos originais foram unificados,adaptando o algoritmo original que usa diversos programas para os clculos em um nicoprograma, facilitando o uso dessa ferramenta.

Para calcular os fatores de forma (Eq.(2.58)) coulombianos realizamos os procedimen-tos a seguir. Substituindo-se u cos(), a integral dessa expanso multipolar pode serescrita como:

I = +1

1duP(u)U

(

2sr2 +R2 2s rRu

)

. (3.14)

Dada as condies das Eq.(3.6) com o argumento da Eq.(3.14) acima, temos trs regiesdistintas de interesse em relao ao raio de interao coulombiana do alvo (R0):

1. s r+R R0 ;

3. |s rR| R0 e s r+R R0 .

Da primeira condio acima temos o resultado analtico completo de forma simples, poisos nicos termos sobreviventes da ortogonalidade dos Polinmios de Legendre so aquelescom = 0 e = 1:

I =32Z1Z2e

2

R0

{

2

[

1 13R20

(

2s r2 +R2

)

]

0 +4sRr9R20

1

}

. (3.15)

Da segunda condio temos:

I = Z1Z2e2 +1

1duP(u)

1

2s r2 +R2 2s rRu

=Z1Z2e

2

2s rR

+1

1du

P(u)u , (3.16)

onde foi definida a varivel

2s r

2 +R2

2s rR. (3.17)

A Eq.(3.16) pode ser calculada analiticamente, porm ao aumentar surgem polinmiosde graus elevados nos resultados. Assim, surgem instabilidades numricas, alm de no serum clculo computacional eficiente, e por isso o clculo a partir de 4 feito utilizandoo mtodo de Gauss-Legendre [34].

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A ltima regio de interesse apresenta um caso intermedirio, que divide as integraesno ponto

u0 =2sr

2 +R2 R202srR

, (3.18)

ento:

I =32Z1Z2e

2

R0

+1

u0duP(u)

[

1 13R20

(

2sr2 +R2 2sRru

)

]

+Z1Z2e2 u0

1duP(u)

1

2sr2 +R2 2sRru

. (3.19)

Utilizando a Eq.(3.17):

I =32Z1Z2e

2

R0

+1

u0duP(u)

[

1 2sRr3R20

(u)]

+Z1Z2e

2

2srR

u0

1du

P(u)u . (3.20)

Novamente, as integrais acima podem ser resolvidas analiticamente. O termo com a raizno numerador o mesmo que aparece na Eq.(3.16), exceto pelo limite da integral, epor isso surgem as mesmas limitaes computacionais mencionadas anteriormente. Osoutros termos no apresentam uma instabilidade numrica to grande, porm tambmapresentam altos valores em expoentes quando cresce, o que muito custoso paraum clculo computacional. Assim, se restringe o clculo analtico apenas para 4,utilizando a quadratura de Gauss-Legendre [34] novamente para os clculos com termoselevados nessa expanso multipolar. As integrais dos fatores de forma no so feitasquando o seu integrando muito pequeno, o que evita que sejam calculadas integrais queresultariam em um valor muito pequeno. Isso particularmente importante no caso dopotencial nuclear, cuja intensidade decai exponencialmente com a distncia.

Outra implementao que afeta significativamente o tempo de computao foi a uti-lizao de OpenMP com a sua API (Interface de Programao de Aplicaes, do inglsApplication Programming Interface) que permite que o clculo seja feito em mltiplosprocessadores com memria compartilhada pararelamente. Com o estudo desta API foipossvel utilizar melhor a tecnologia dos computadores modernos para otimizar a com-putao sem afetar a sua preciso. A construo dos fatores de forma, a evoluo dadinmica do sistema e a integrao com o mtodo de Gauss-Legendre puderam ser para-lelizadas com esta API, alterando significativamente o tempo de computao necessriapara os clculos.

Com as ferramentas apresentadas nesse captulo, possvel estudar a coliso de umprojtil fracamente ligado em um ncleo alvo pesado sob a aproximao de trajetriasemi-clssica. Isso permite que, de forma indita, computaes que tomavam diversosdias de uso de CPU necessitem de apenas algumas horas. Assim, a aplicao desse cdigose torna vivel para o estudo de diversos sistemas, uma vez que possvel obter resultadosem tempos muito menores do que os clculos puramente qunticos de canais-acoplados,como o cdigo FRESCO [37]. Esse estudo, juntamente com uma comparao com dadosexperimentais, ser feito no captulo seguinte.

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4 Resultados e Discusses

O estudo de reaes com quebra de ncleos fracamente ligados tem recebido muitaateno da comunidade de Fsica Nuclear devido disponibilidade de feixes radioativose pelo interesse em se compreender a influncia dessa quebra nas sees de choque dosistema [1, 4]. Diversos estudos recentes, tanto tericos quanto experimentais, foramrealizados nas ltimas dcadas, como aqueles citados na Referncia [38]. Entretanto,ainda no se encontrou uma concluso definitiva sobre a influncia da fuso completa eincompleta na total. Tambm h trabalhos que prevem a supresso da seo de choquede fuso total devido ao acoplamentos do movimento relativo dos ncleos com os canaisde quebra, enquanto outros prevem o aumento dessa seo de choque [38].

4.1 O sistema

Os trabalhos das referncias [1,4,39,40] j mostraram a importncia que o acoplamentodos estados do contnuo tem para a fuso de ncleos fracamente ligados para o sistema 8B+ 58Ni. A reao 6Li + 209Bi foi estudada na referncia [2] e tambm mostra a influnciaque a quebra do projtil tem sobre as sees de choque de fuso. Isso nos leva a crer queo acoplamento entre estados do contnuo tambm v afetar o papel da quebra do projtilna fuso de ncleos com halo (ou seja, com um nucleon de valncia), como o caso dosistema 11Be + 209Bi, uma vez que o 11Be fracamente ligado. Esse sistema ser estudadoa seguir, com a abordagem semi-clssica revisada nos captulos anteriores.

A reao 11Be + 209Bi envolve trs corpos: o caroo (C) 10Be, o nutron de valncia(v) e o alvo (T, do ingls target) 209Bi. Os potenciais de interao a cada par de partculasdependem apenas das suas coordenadas relativas: VCT , VvT e VvC . O 11Be apresenta doispossveis estados ligados, o fundamental 1/2+ e um excitado 1/2. Suas energias deligao so, respectivamente, -0.50 e -0.18 MeV. Esses estados apresentam configurao2s1/2 para o estado fundamental e 1p1/2 para o estado excitado ligado. Eles podemser geradas a partir de dois diferentes potenciais Woods-Saxon incluindo um termo despin-rbita para o estado excitado [38]. Para o fundamental, a intensidade do potencial V0 = 51,51 MeV, enquanto para o excitado V0 = 30 MeV, alm do termo spin-rbita V SO0 = 17,7 MeV. O alcance e a difusiv